Sección 8.1Introducción a la Teoría de Grafos

Tomado de: Rosen, K (2004), Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones Esteban Andrés Díaz Mina

Introducción

La teoría de grafos es una disciplina antigua con muchas aplicaciones modernas. Sus ideas básicas las introdujo el matemático suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII. Euler utilizó los grafos para resolver el famoso problema de los puentes de Königsbersg.

Introducción

Una de las razones de este reciente interés en la teoría de gráficas es su capacidad de aplicación en campos muy diversos, incluyendo las ciencias de la computación, la química, la investigación de operaciones, la ingeniería eléctrica, la lingüística y la economía.

Introducción

Por ejemplo, los grafos pueden ser usados para:

Determinar si un circuito puede ser implementado en una board.

Determinar si dos computadores están conectados por una línea de comunicación usando el modelo de grafos para redes de computadores.

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Los grafos con peso asignado a las aristas se pueden usar para resolver problemas tales como:

Encontrar el camino de menor peso entre dos ciudades

Recorrer todas las ciudades y regresar al punto inicial con el menor peso asociado, en un grafo dado.

Definición 1

Un grafo es una estructura discreta que consiste de puntos llamados vértices, y líneas que unen los vértices llamadas aristas. Existen diferentes tipos de grafos que difieren con respecto al tipo y al número de aristas que puede conectar un par de vértices.

Grafo Simple

Definición 1. Un grafo simple G=(V, E) consiste de V, un conjunto no vacío de vértices, y E, un conjunto de pares no ordenados de elementos distintos de V, llamados aristas.

Multigrafo

Definición 2. Un Multigrafo G=(V, E) consiste de un conjunto V de vértices, un conjunto E de aristas y una función f de E a {{u,v} | u, v que pertenece a V, u es diferente de v}. Las aristas e1 y e2 son llamados múltiples o paralelas si f(e1)=f(e2).

Pseudografo

Definición 3. Un Pseudografo G=(V, E) consiste de un conjunto de vértices, un conjunto E de aristas, y una función f de E a {{u,v} | u, v que pertenece a V}. Una arista e es un bucle o lazo, si f(e)={u, u}={u} para algún u que pertenece a V.

Grafo Dirigido

Definición 4. Un Grafo Dirigido G=(V, E) consiste de un conjunto V de vértices y un conjunto E de aristas, que son pares ordenados de elementos de V.

Multigrafo Dirigido

Definición 5. Multigrafo dirigido G=(V, E) consiste de un conjunto de vértices, un conjunto E de aristas, y una función f de E a {{u,v} | u, v que pertenece a V}.

Se dice que las aristas e1 y e2 son aristas múltiples si f(e1)=f(e2).

Grafos como Modelos

Los grafos se emplean en una gran variedad de modelos. Se presenta a continuación algunos ejemplos de diversas áreas.

Red Social

Podemos usar modelos de grafos para representar relaciones entre personas. Por ejemplo, podemos usar un grafo para representar el hecho de que dos personas se conozcan. Cada persona se representa mediante un vértice. Se utiliza una arista no dirigida para conectar dos personas cuando estas dos personas se conocen.

Red Social

Grafos de Influencia

Se ha observado en estudios del comportamiento de grupos que ciertas personas pueden influir en la forma en que piensan otras personas. Puede usarse un grafo dirigido, llamado grafo de influencias, para representar este comportamiento. Cada persona del grupo se representa por un vértice. Existe una arista dirigida del vértice a al vértice b si la persona representada por el vértice a influye sobre la persona representada por el vértice b.

Grafos de Influencia

Grafo de precedencia y procesamiento concurrente

Los programas informáticos pueden ejecutarse más rápidamente si ciertas sentencias se ejecutan simultáneamente. Es importante no ejecutar sentencias que requieran el resultado de sentencias aún no ejecutadas. La dependencia de sentencias con respecto a sentencias previas se puede representar por medio de un grafo dirigido.

Grafo de precedencia y procesamiento concurrente

Problemas Propuestos

Problemas Sección 8.1

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