Y a-t-il plus ou moins de gouttes d'eau dans le lac Léman que de molécules

d'eau dans une goutte d'eau de 2,5 mm de diamètre ?

Y a-t-il plus ou moins de gouttes d'eau dans la mer Méditerranée que de

molécules d'eau dans une goutte d'eau de 2,5 mm de diamètre ?

Voilà deux questions dont on ne voit pas trop quoi répondre, une réponse affirmative ou

négative pour l’une ou l’autre ne semble pas affecter le moins du monde notre intuition

qui nous permettrait de dire « j’en suis presque certain ». Ces deux questions ont la

même caractéristique de faire intervenir des ordres de grandeur bien insaisissables et ce

d’autant plus qu’il s’agit d’objets familiers mais eux même d’ordre de grandeurs

complètement différents : une goutte d’eau de 2.5 mm de diamètre, le lac Léman et la

mer Méditerranée.

La notion de mole est sans aucun doute la notion la plus abstraite.

La mole (symbole : mol) est une unité de base du système international, apparue en 1971, qui

est principalement utilisée en physique et en chimie. La mole est la quantité de matière d'un

système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 0,012 kilogramme de

carbone 12 ; son symbole est mol[1]

.

Une mole d’atomes contient environ 6,022×1023

atomes (une approximation plus correcte

serait 6,02214179(30)×1023

). Ce nombre est appelé constante d'Avogadro, son symbole est

NA.

Formulé de manière plus compréhensible, la mole est une unité de comptage au même titre

que la "vingtaine" ou la "douzaine". De la même manière, qu'il y a autant d'éléments dans

une douzaine de pommes que dans une douzaine d'œufs, il y a le même nombre d'atomes

dans une mole de carbone que dans une mole de plomb.

Il y a donc 6,022×1023

molécules d’eau dans une mole d’eau et la masse molaire (

masse d’une mole ) de l’eau est de 18 g.

Le lac Léman occupe un volume de 89 millions de m3 et la mer Méditerranée s’étend

sur une surface de 2.5 millions de km2 et sa profondeur moyenne est de 1500 m.

J’ai trouvé ce petit problème dans un document de Michel Artigues où il n’est question que de

mer Méditerranée et j’ai trouvé intéressant de comparer les résultats entre une mer et un lac.

J’ai donc eu l’idée de mettre ces deux questions en rapport l’une de l’autre.

Comment allons-nous procéder ?

Les gouttes d'eau

Les calculs

Volume et masse d'unegoutte d'eau

Nombre de moles d'eaudans une goutte

Nombres de gouttesd'eau dans le Lac Léman

Nombre de gouttes d'eaudans la mer Méditerranée

Conclure

Diviser le nombre de gouttes du lacLéman par le nombre de moles de lagoutte d'eau

Diviser le nombre de gouttes de laMéditerranée par le nombre de moles dela goutte d'eauLes connaissances

La définition de la masse molaire

La définition de la masse volumique

Les puissances

Les conversions d'unité

Les formulesLa formule du volume de la sphère

La formule du volume du pavé droit

Les données

La masse molaire de l'eau

Les dimensions de la Méditerranée

La masse volumique de l'eau

Le volume du lac Léman

Le diamètre d'une goutte d'eau

Les gouttes d'eau.mmap ­ 01/07/2008 ­

Volume Vg d’une goutte d’eau de 2.5 mm de diamètre

Le volume d’une sphère de rayon 𝑟 est 4

3𝜋𝑟3 . Calculons Vg en m3 .

Vg = 4

3𝜋

2.5×10−3

2

3

≈ 8.177 × 10−9 m3

Nombre de moles dans une goutte d’eau

Volume d’une goutte d’eau en dm3 : 8. 177 × 10−9 × 103 dm3

8.177 × 10−6 dm3

Or la masse de 1 dm3 d’eau est de 1 kg ( 1000 kg = 1 T par m3 )

Masse d’une goutte d’eau en g : 8.177 × 10−6 kg

8.177 × 10−6 × 103 g

8.177 × 10−3 g

Proportionnalité

Nombre de molécules d’eau Masse en grammes 6 × 1023 18

x 8.177 × 10−3

Ainsi x = 6×1023 ×8.177×10−3

18 = 2.7 × 1020 molécules d’eau par goutte d’eau

On supposera par la suite que l’empilement des gouttes d’eau occupe complètement l’espace, ce

qui est vrai car elles se déforment, cela ne le serait pas si ce n’était pas le cas !

Nombre de gouttes d’eau dans le lac Léman

Volume du lac Léman en dm3 : 89 × 106 × 103 = 89 × 109 dm3

Nombre de gouttes d’eau

dans le lac Léman : 89×109

8.177×10−6 ≈ 1.088 × 1016 gouttes d’eau dans le lac Léman

Il y a donc environ 2.7×1020

1.088×1016 ≈ 24 816 fois plus de molécules d’eau dans une goutte d’eau que de

gouttes d’eau dans le lac Léman et donc 24 816 fois moins de gouttes d’eau dans le lac Léman

que de molécules d’eau dans une goutte d’eau.

Nombre de gouttes d’eau dans la Méditerranée

Volume de la Méditerranée en dm3 : 2.5 × 106 × (103)2 × 1.5 × 103 = 6.75 × 106+6+3 =

6.75 × 1015 m3 soit 6.75 × 1015 × 103 = 6.75 × 1018 dm3

Nombre de gouttes d’eau

dans la Méditerranée : 6.75×1018

8.177×10−6 ≈ 8.25 × 1023 gouttes d’eau dans la

Méditerranée

Il y a donc environ 8.25×1023

2.7×1020 ≈ 3055 fois plus de gouttes d’eau dans la Méditerranée que de

molécules d’eau dans une goutte d’eau.