DYNAMIQUE DES STRUCTURES Analyse modale numérique

Thomas GMÜR

Notes de lecture par Bruno QUINNEZ, EDF Thomas Gmür, professeur à l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne, a publié fin 1997 aux Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR), un livre consacré à la Dynamique des structures et plus particulièrement à l’Analyse modale numérique. Ce livre très pédagogique est avant tout destiné aux étudiants de second cycle, de DEA ou d’écoles d’ingénieurs. Il ne s'agit pas d'un ouvrage de plus sur l’analyse modale. L'une de ses originalités réside dans l’adaptation des méthodes utilisées habituellement en analyse modale pour les systèmes conservatifs aux systèmes gyroscopiques et aux structures amorties non proportionnellement. Les nombreux exercices dirigés et commentaires, par lesquels l’auteur transmet tout son savoir-faire et communique son expérience, permettent au lecteur de mettre rapidement en pratique et de mieux assimiler les méthodes ou algorithmes décrits. Pour chacune, les aspects mathématiques, algorithmiques et pratiques sont équitablement abordés. Après un premier chapitre présentant brièvement "le monde des vibrations" dans l’industrie, le deuxième chapitre traite des différentes formulations du comportement dynamique des systèmes continus : formulation forte, formulation faible approchée ou discrète, formulation variationnelle. Dans le troisième chapitre, Th. Gmür présente la méthode des éléments finis appliquée à la dynamique : obtention des matrices de rigidité, de masse et d’amortissement. Différents types d’éléments sont décrits : élément fini tridimensionnel, élément fini de coque, élément fini de poutre, ainsi que des éléments finis de transition solide-coque et solide-poutre. Dans ces pages, l’auteur permet au lecteur de comprendre rapidement dans sa globalité les principes de la méthode des éléments finis et les différents processus qui la constituent (discrétisation spatiale, construction des matrices élémentaires, intégration spatiale, élément fini de référence, ...). Le quatrième chapitre est consacré à la caractérisation et à la détermination des fréquences de vibration et des modes de vibration associés. Pour les systèmes conservatifs, trois familles de méthodes d’extraction modale sont étudiées en détail : celles d’itération sur un sous espace, de Lanczos et de réduction de Guyan-Irons. Pour chacune, Th. Gmür explique le principe général, décrit l’algorithme et analyse la convergence. Il insiste également sur les difficultés inhérentes à chaque méthode et fournit toutes les informations nécessaires (choix des vecteurs initiaux, tests d’arrêt, ...) à ceux qui souhaiteraient mettre en œuvre de tels algorithmes. Enfin, il conseille, selon le problème à étudier (taille, nombre de fréquences recherchées, dispersion du spectre fréquentiel), l’emploi de telle ou telle méthode. Il détaille également leur extension pour analyser les vibrations des systèmes gyroscopiques et des systèmes dissipatifs. Dans le cinquième chapitre, l’auteur présente la méthode de superposition modale pour les systèmes conservatifs ou faiblement dissipatifs en délimitant son domaine d’application. Dans

un premier temps, il construit la solution analytique complète pour le calcul de la réponse dynamique en régime forcé. Il adapte cette solution pour le cas de la troncature modale et explique la correction statique qui permet d’améliorer la solution obtenue. Dans un second temps, il présente les méthodes numériques d’intégration temporelle, en particulier, la famille des algorithmes de Newmark et quelques schémas classiques à pas multiples (méthode de Houbolt, méthode de collocation). L’obtention des algorithmes, leur analyse de convergence et de précision sont décrites avec soin, ce qui permet au lecteur de mieux comprendre leur comportement. L’auteur ne se contente pas d’énumérer un catalogue de méthodes, il les compare entre elles et conseille à nouveau le lecteur dans le choix à opérer selon le problème dynamique à résoudre. Comme pour le chapitre précédent, une extension de la méthode de superposition modale est effectuée pour les systèmes tournants et les structures dissipatives à amortissement non proportionnel. Après avoir décrit et analysé en détail les différentes étapes d’un calcul en analyse modale, l’auteur présente dans le sixième chapitre plusieurs études académiques ou industrielles permettant de montrer l’efficacité et la précision des techniques numériques développées en dynamique des structures et des systèmes tournants. A partir de ces exemples concrets, le lecteur assimile plus aisément la mise en œuvre de toutes ces méthodes. Enfin, pour ceux, sans aucun doute nombreux, à qui l’auteur aura donné envie d’étendre encore leurs connaissances dans les techniques d’analyse modale, une bibliographie abondante d’environ trois cents articles est fournie. Cet ouvrage très pédagogique – répétons-le – saura se rendre indispensable aux étudiants et aux ingénieurs qui utilisent l’analyse modale "en boîte noire" et qui souhaitent mieux comprendre ses fondements, en particulier ses comportements numériques, afin de mieux interpréter les résultats obtenus.

Paru dans le bulletin XXII-3 de ΦΦΦΦ2AS (distribué le 19 novembre 1998) IPSI