GME Diapositives

© gaëtan morin éditeur ltée, 2001. Tous droits réservés. La recherche opérationnelle, 3e édition (Nobert, Ouellet, Parent)

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Matériel reproductible

NOP 1.1 Maude : trajet de distance minimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3NOP 1.1 Maude : trajet de durée minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4NOP 1.1 Maude : subdivision en secteurs d’un territoire postal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5NOP 1.1 Maude : tournée du facteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6NOP 1.3 Méthode scientifique et RO: représentation schématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7NOP 2.1.1 Les chaises de M. Eugène : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8NOP 2.1.1 Les chaises sans cuisson : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9NOP 2.1.5 Un problème de mélange : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10NOP 2.1.5 Un problème de mélange : schéma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11NOP 2.1.5 Un problème de mélange : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12NOP 2.1.5 Un problème de mélange : une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13NOP 2.1.6 Vitrex : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14NOP 2.1.6 Vitrex : une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 1re version : données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 1re version : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 3e version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 3e version : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19NOP 2.1.8 Bobines-mères : commandes et plans de coupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20NOP 2.1.8 Bobines-mères : le modèle linéaire et quelques solutions optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21NOP 2.1.9 Pastissimo : données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22NOP 2.1.9 Pastissimo : une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23NOP 2.2.1 Franchises : division de la région en secteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24NOP 2.2.1 Franchises : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25NOP 2.2.2 Rotation du personnel : données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26NOP 2.2.2 Rotation du personnel : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27NOP 2.2.3 Chemin le plus court : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28NOP 2.2.3 Chemin le plus court : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29NOP 2.3.3 Les chaises et leur cuisson : le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30NOP 2.4.1 Parcours des éboueurs : plan du quartier et circuits optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31NOP 2.4.1 Parcours des éboueurs : durée des passages sur les tronçons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32NOP 3.1.1 FRB: description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33NOP 3.1.2 FRB: les contraintes technologiques et la région admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34NOP 3.1.2 FRB: le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35NOP 3.1.4 FRB: repérage graphique de la solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36NOP 4.2 Intersections des droites associées aux contraintes de (FRB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37NOP 4.2 Coordonnées des intersections des droites associées aux contraintes de (FRB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38NOP 4.3 Organigramme de l’algorithme du simplexe dans le cas (PLS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39NOP 4.3 Tableau du simplexe : gabarit pour (FRB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40NOP 4.3 Modèle (FRB) : séquence des tableaux du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41NOP 4.4 Région admissible de (PMF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42NOP 4.4 Le modèle (PMF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43NOP 4.4 Tableau du simplexe : gabarit pour (PMF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44NOP 4.4 Modèle (PMF) : séquence des tableaux du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45NOP 4.5 (PMult) : le modèle linéaire et la région admissible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46NOP 4.5 (PMult) : un tableau optimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47NOP 4.5 Un modèle (P) sans solution admissible : dernier tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48NOP 4.5 Un modèle non borné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49NOP 4.5 (PDég) : le modèle linéaire et la région admissible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50NOP 4.5 Exemple (PDég) : séquence des tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51NOP 5.6 Expro : le modèle et les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52NOP 5.6 Expro : le tableau optimal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53NOP 5.7 Kalinine : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54NOP 5.7 Kalinine : le modèle linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55NOP 5.7 Kalinine : un tableau final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


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NOP 5.8 CinéFam: variables et modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57NOP 5.8 CinéFam: tableau optimal et intervalles de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58NOP 6.2 Exemple 1 : résolution graphique des modèles (P0) et (Px1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59NOP 6.2 Exemple 1 : résolution graphique des modèles (Px2) et (Px1x2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 1re séparation (selon x1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 2e séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 3e séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63NOP 6.3.3 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 1re séparation (selon x2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64NOP 6.3.4 Plan de production d’appareils électroniques : description du contexte, modèle et solutions optimales . . . . . . . . . . . . . . . . 65NOP 6.3.5 Exemple 4 : arbres d’énumération après 2 et 4 séparations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66NOP 6.3.5 Exemple 4 : arbre d’énumération complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67NOP 6.3.6 Exemple 4 : arbre selon le critère du meilleur cj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68NOP 6.4 Tableau initial de la phase I et tableau final de la phase II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69NOP 7.1.1 Nitrobec : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70NOP 7.1.2 Nitrobec : réseau sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71NOP 7.1.2 Nitrobec : le réseau et une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72NOP 7.1.4 Nitrobec : le modèle linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73NOP 7.1.5 Nitrobec : le chiffrier STORM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74NOP 7.2.1 Nitrobec : modifications apportées au contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75NOP 7.2.1 Nitrobec modifié : le réseau et une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76NOP 7.2.1 Nitrobec modifié : le chiffrier STORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77NOP 7.2.3 Problème des toques : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78NOP 7.2.3 Problème des toques : description d’une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79NOP 7.2.3 Pastissimo : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80NOP 7.2.3 Meerrettich : données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81NOP 7.2.3 Meerrettich : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82NOP 7.2.3 Meerrettich : une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : description du contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : portions du réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : le chiffrier STORM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87NOP 7.2.5 Nevera Nieve : le secteur confié à Roger T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88NOP 7.2.5 Nevera Nieve : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89NOP 7.2.5 Nevera Nieve : le chiffrier STORM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90NOP 7.2.5 Nevera Nieve : une solution optimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91NOP 7.3.1 Problème du CNRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92NOP 7.4 Sporcau : description du contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93NOP 7.4 Sporcau : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94NOP 7.4 Sporcau : le tableau de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95NOP 7.5.1 Xanada : le réseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96NOP 7.5.3 Provi : le réseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97NOP 7.5.3 Provi : une solution optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98NOP 8.1 Projet RESO: description des tâches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99NOP 8.2 Un projet abstrait : description des tâches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100NOP 8.2 Un projet abstrait : le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101NOP 8.2 Projet RESO: le réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102NOP 8.3 Projet RESO: le chiffrier STORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103NOP 8.3 Projet RESO: sortie graphique de STORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104NOP 8.3 Projet RESO: sortie numérique de STORM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105NOP 8.4 Émission d’actions : description des tâches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106NOP 8.4 Émission d’actions : réseau et moments au plus tôt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107NOP 8.4 Un projet abstrait : coûts d’accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108NOP 8.4 Un projet abstrait : le modèle linéaire pour l’accélération des tâches à coût minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109NOP 8.5 Un projet abstrait, version PERT : durée des tâches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110NOP 8.6 Projet abstrait et réseau potentiels-tâches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111NOP 8.6 Projet abstrait et réseau potentiels-tâches : moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112NOP 8.6 Contraintes des modèles linéaires avec et sans accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113NOP 8.6 Le réseau potentiels-tâches du projet RESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


3

NOP 1.1 Maude: trajet de distance minimale

FIGURE 1.1

GeoRoute 5 - redr01 01/06/2001 16:56 - END - Page 1/1

Maude

B

C

A

Mont Royal

U


4

NOP 1.1 Maude: trajet de durée minimale

FIGURE 1.2GIRO Inc. Network Map Graphic Report Effective: 01/06/2001

GeoRoute 5 - redr01 01/06/2001 16:38 - END - Page 1/1

Maude

B

C

A

Mont Royal

U


5

NOP 1.1 Maude : subdivision en secteurs d’un territoire postal

FIGURE 1.3


6

NOP 1.1 Maude : tournée du facteur

FIGURE 1.4

1Y5

2A3

2A2

2G2

2G3

2P3

1R4

1N1

1M9

1N2

1N4

1N7

1N6

1N5

1R7

1R6 1L

6 1L5

1N3

1R5

2G4

rue Alexandre-Lacoste

av. de Poutrincourt

av. Alfred

rue Joseph-Casavant

av. James-Morrice

rue Suzor-Côté

rue Pasteur

Benjam

in Sulte

rue Dudem

aine

Laure-C

onan

Étienne-Parent

rue de Louisbourg

rue de Louisbourg

Laliberté


7

NOP 1.3 Méthode scientifique et RO : représentation schématique

FIGURE 1.5

1. Détectiond’un problème

2. Formulation du problème

7. Prise de décisions et implantation de la solution

3. Élaboration d’un modèle

4. Collecte des données

5. Résolution du modèle

6. Validation du modèle


8

NOP 2.1.1 Les chaises de M. Eugène : description du contexte

Résumé des données de fabrication

Produits et demande

Type Description Commandes acceptées Marché potentiel

AB

en porte-à-fauxBarcelone

4253

100100

Opération

Durée de fabrication d’une chaise Nombre d’heures

disponiblesA

Porte-à-fauxB

Barcelone

BrasageLaquageCuisson

Capitonnage

1,5 heure30 minutes

8 heures2 heures

2 heures45 minutes

6 heures3 heures

250100140327

Profit par chaise 450 $ 800 $

Note pour les modèles de la section 2.3.3 : Les chaises sont regroupées par lot pour la cuisson. Le four peutcontenir un maximum de 10 chaises en porte-à-faux ou un maximum de 5 chaises Barcelone. La cuisson d’unlot coûte 100 $.


9

NOP 2.1.1 Les chaises sans cuisson : le modèle linéaire

Variables de décision:

xA = nombre de chaises A à fabriquer d’ici 3 semaines

xB = nombre de chaises B à fabriquer d’ici 3 semaines

Objectif :

Max z = 450 xA + 800 xB

Contraintes :

xA ! 42 (1)

xB ! 53 (2)

xA " 100 (3)

xB " 100 (4)

1,5 xA + 2 xB " 250 (5)

0,5 xA + 0,75 xB " 100 (6)

2 xA + 3 xB " 327 (7)

xA, xB ! 0 et entiers


10

NOP 2.1.5 Un problème de mélange : description du contexte

Données relatives aux liquides A, B, C et D

A B C D

Disp. (en L)Achat (en $/L)Vente (en $/L)

8 0005,506,00

4 2504,505,00

16 0007,508,00

2 00011,2511,75

MélangeEFG

! 30 %! 25 %! 20 %

! 10 %" 20 %! 15 %

40 %20 %40 %

" 35 %! 10 %" 20 %

Données relatives aux liquides E, F et G

E F G

Demande (en L)Vente (en $/L)Produit P

! 400111/3

! 80015–

! 200142/3

Le produit P se vend 22 $/L.


11

NOP 2.1.5 Un problème de mélange : schéma

FIGURE 2.1

A

Ventes Ventes

Ventes Ventes

Ventes

Ventes

Ventes Ventes

EE

B

F GG

D

P

C


12

NOP 2.1.5 Un problème de mélange : le modèle linéaire

Variables de décision :xIJ = nombre de litres du liquide I affectés à l’usage J

où I = A, B, ..., G, P et J = E, F, G, P, V. Par exemple,xAE = nombre de litres du liquide A qui entrent dans la composition du mélange ExGV = nombre de litres du mélange G qui seront vendus sur le marché.

On introduit également des variables d’étape :xI = nombre de litres du produit I utilisés,

où I = A, B, C, D, E, G.

Fonction-objectif : Max z = Ventes – Achats, oùVentes = 6 xAV + 5 xBV + 8 xCV + 11,75 xDV + 11 xEV + 15 xFV + 14 xGV + 22 xPV

Achats = 5,50 xA + 4,50 xB + 7,50 xC + 11,25 xD

Contraintes : Elles se regroupent en 5 catégories.

(a) Disponibilité des liquides :xAV + xAE + xAF + xAG = xA et xA " 18 000xBV + xBE + xBF + xBG = xB et xB " 14 250xCV + xCE + xCF + xCG = xC et xC " 16 000xDV + xDE + xDF + xDG = xD et xD " 12 000

(b) Pour un mélange, quantité vendue ou utilisée = quantité fabriquée :xAE + xBE + xCE + xDE = xE et xE = xEV + xEP

xAF + xBF + xCF + xDF = xFV xAG + xBG + xCG + xDG = xG et xG = xGV + xGP

xEP + xGP = xPV

(c) Conditions imposées dans l’élaboration des mélanges :xAE = 0,30 xE et xBE ! 0,10 xE et xCE = 0,40 xE et xDE " 0,05 xE

xAF ! 0,25 xFV et xBF " 0,20 xFV et xCF = 0,20 xFV et xDF ! 0,10 xFV

xAG = 0,20 xG et xBG ! 0,15 xG et xCG = 0,40 xG et xDG " 0,20 xG

xGP = 2 xEP

(d) Quantités minimales imposées par le carnet de commandes :xEV ! 400 et xFV ! 800 et xGV ! 200

(e) Enfin, il faut ajouter les contraintes usuelles de non-négativité.


13

NOP 2.1.5 Un problème de mélange : une solution optimale

TABLEAU 2.4

E F G P Ventes Total

ABCDEG

1 5991 332,52 132

266,5––

4 389 0

1 254 627––

2 0122 917,54 0241 106,5

––

––––

4 9309 860

0 0

8 590 0 400 200

8 0004 250

16 0002 0005 330

10 060

Total 5 330 6 270 10 060 14 790 – –


14

NOP 2.1.6 Vitrex : description du contexte

TABLEAU 2.5 Vitrex : besoins minimaux en espaces

TABLEAU 2.6 Vitrex : coûts de location selon la durée du bail

Mois Besoins minimaux (en 00 m2)

1 35 2 20 3 30 4 10 5 15 6 20

Durée (en mois) 1 2 3 4 5 6

Coût (en $/100 m2) 200 360 500 625 745 850


15

NOP 2.1.6 Vitrex : une solution optimale

x11 = 15

x13 = 5

x16 = 15

x33 = 10

x66 = 5

z = 21 250 (dollars).

Examinons ce programme de baux en regard des besoins minimaux de Vitrex.

TABLEAU 2.7

Mois Besoins Espaces loués Excédent

123456

352030101520

15 5 15 10 515 15 10 5

15 5 15 10 515 5 15 10 5

15 10 5115 5 15 15 10 5

000500


16

NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 1re version : données

TABLEAU 2.9 Horaire des standardistes : description des données, 1re version

FIGURE 2.2 Horaire des standardistes : représentation schématique

Heures 0 # 3 3 # 6 6 # 9 9 # 12 12 # 15 15 # 18 18 # 21 21 # 24

Besoins 6 4 12 20 20 24 14 14

Salaire 86 $ 86 $ 86 $ 75 $ 75 $ 75 $ 80 $ 80 $

!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!

0 h

x0

x3

x6

x9

x12

3 h 6 h 9 h 12 h 15 h 18 h • • •

•••


17

NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 1re version : le modèle linéaire

Variables de décision :xj = nombre de standardistes prenant leur service à j heures

Objectif : Minimiser z, oùz = 86 x0 + 86 x3 + 86 x6 + 75 x9 + 75 x12 + 75 x15 + 80 x18 + 80 x21

Contraintes :

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 + x21 ! 6

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 + x21 ! 4

x0 + x3 + x6 ! 12

x0 + x3 + x6 + x9 ! 20

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 ! 20

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 ! 24

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 ! 14

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 + x21 ! 14

x0 + x3 + x6 + x9 + x12 + x15 + x18 + x21 = xT

Toutes les variables sont non négatives et entières.


18

NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 3e version

FIGURE 2.3 Horaire des standardistes : représentation schématique de la 3e version

Salaire 90 80 80 80 80 80 80 80 80 85 85

Min DomVariable x0 y7 x8 y8 x9 y9 x15 y15 x16 x23 y23

0 h – 1 h $ $ $ 61 h – 2 h $ $ $ 5 10 h – 1 h2 h – 3 h $ $ 23 h – 4 h $ 24 h – 5 h $ $ $ 3 10 h – 1 h5 h – 6 h $ $ $ 3 10 h – 1 h6 h – 7 h $ $ $ 4 10 h – 1 h7 h – 8 h $ $ 128 h – 9 h $ $ $ 209 h – 10 h $ $ $ $ $ 23 11 h – 12 h

10 h – 11 h $ $ $ $ $ 24 11 h – 12 h11 h – 12 h $ $ $ 2412 h – 13 h $ $ $ 2013 h – 14 h $ $ $ $ 2214 h – 15 h $ $ $ $ $ 24 11 h – 12 h15 h – 16 h $ $ $ $ $ $ 2516 h – 17 h $ $ $ $ $ 2217 h – 18 h $ $ $ 2018 h – 19 h $ $ 1819 h – 20 h $ 1620 h – 21 h $ $ $ 15 19 h – 20 h21 h – 22 h $ $ $ 14 19 h – 20 h22 h – 23 h $ $ $ 9 19 h – 20 h23 h – 24 h $ $ $ 7


19

NOP 2.1.7 Horaire des standardistes, 3e version : le modèle linéaire

Variables de décision :xj = nombre de standardistes prenant leur service à j heures et leur pause-repas

3 heures après l’arrivée au travailyj = nombre de standardistes prenant leur service à j heures et leur pause-repas

4 heures après l’arrivée au travail

Objectif : Min z = 90 x0 + 80 (y7 + x8 + y8 + x9 + y9 + x15 + y15 + x16) + 85 (x23 + y23)

Contraintes :

x0 + x23 + y23 ! 6

x0 + y23 ! 2

x23 ! 2

x0 + y7 ! 12

y7 + x8 + y8 ! 20

y8 + x9 + y9 ! 24

y7 + x8 + y9 ! 20

y7 + x8 + y8 + x9 ! 22

x8 + y8 + x9 + y9 + x15 + y15 ! 25

x9 + y9 + x15 + y15 + x16 ! 22

x15 + y15 + x16 ! 20

y15 + x16 ! 18

x15 ! 16

x16 + x23 + y23 ! 7

x0 + y7 + x8 + y8 + x9 + y9 + x15 + y15 + x16 + x23 + y23 = t

Toutes les variables sont non négatives et entières.


20

NOP 2.1.8 Bobines-mères : commandes et plans de coupe

TABLEAU 2.13 Commandes déjà acceptées

Largeur (en cm) Longueur (en m) Nombre de rouleaux

64 250 36060 250 18035 250 180

TABLEAU 2.14 Plans de coupe

LargeurPlan de coupe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

64 cm60 cm35 cm

3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 0 0 2 0 2 4 1 2 4 6

Chutes 23 27 17 31 21 11 0 25 15 5


21

NOP 2.1.8 Bobines-mères : le modèle linéaire et quelques solutions optimales

Variables de décision :xj = nombre de mises en œuvre du plan de coupe numéro j

Objectif : Min z = x1 + x2 + ... + x10

Contraintes :

3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + … + 0 x10 ! 360

0 x1 + 1 x2 + 0 x3 + … + 0 x10 ! 180

0 x1 + 0 x2 + 2 x3 + … + 6 x10 ! 180

xj ! 0 et entier j = 1, 2, …, 10

Solutions optimales :

Solution A Solution B Solution C

x1 = 120 x1 = 80 x1 = 110x7 = 60 x3 = 60 x6 = 30x10 = 20 x7 = 60 x7 = 60z = 200 z = 200 z = 200Chutes = 2 860 cm Chutes = 2 860 cm Chutes = 2 860 cm

Solution D Solution E Solution F

x1 = 100 x1 = 95 x1 = 104x3 = 30 x3 = 30 x3 = 12x7 = 60 x6 = 15 x6 = 24x10 = 10 x7 = 60 x7 = 60z = 200 z = 200 z = 200Chutes = 2 860 cm Chutes = 2 860 cm Chutes = 2 860 cm


22

NOP 2.1.9 Pastissimo: données

TABLEAU 2.15 Pastissimo: l’entente avec Les Grands Moulins

Pastissimo s’est engagée à livrer 4 tonnes de spaghettis à la fin de chacun des 6 prochains

mois, contre une rémunération de 1,28 $ le kilo. Le tableau 2.15 décrit l’entente de

Pastissimo avec son fournisseur ; le tableau 2.16 donne la capacité de production et les

coûts de production. Pastissimo peut stocker jusqu’à 3 tonnes de matière première, à un

coût mensuel de 20 $ la tonne, et jusqu’à 1 tonne de produits finis, à un coût mensuel de

25 $ la tonne. Pastissimo disposera au début du 1er mois de 2 tonnes de matière première

et désire en retrouver la même quantité à la fin des 6 mois.

Mois Prix (en $/t) Minimum (en t) Maximum (en t)

123456

1 000 975

1 000 980

1 0201 025

435245

647376

TABLEAU 2.16 Pastissimo: l’entente avec Hyper-Halli

Mois Capacité de production (en t) Coûts (en $/t)

123456

654443

160150150160175165


23

NOP 2.1.9 Pastissimo: une solution optimale

TABLEAU 2.17

Mois 1 2 3 4 5 6 Coûts

aj : Achats 4 5 4 4 4 3 3 825

xj : Production 4 3 5 3 4 5 24 070

ej : Entrepôt – Blé 2 – 1 – – – 60

sj : Magasin – Spaghettis – 1 1 1 1 – 100

P = R – z = 30 720 – 28 055 = 2 665


24

NOP 2.2.1 Franchises : division de la région en secteurs

FIGURE 2.4

1

23

910 4

87

5

6


25

NOP 2.2.1 Franchises : le modèle linéaire

Objectif : Min z = v1 + v2 + … + v10

Contraintes :

v1 + v2 + v3 ! 1

v1 + v2 + v3 + v4 + v5 + v7 + v10 ! 1

v1 + v2 + v3 + v9 + v10 ! 1

v2 + v4 + v7 + v8 + v10 ! 1

v2 + v5 + v6 + v7 ! 1

v5 + v6 + v7 ! 1

v2 + v4 + v5 + v6 + v7 + v8 ! 1

v4 + v7 + v8 + v9 + v10 ! 1

v3 + v8 + v9 + v10 ! 1

v2 + v3 + v4 + v8 + v9 + v10 ! 1

vj = 0 ou 1 j = 1, ..., 10


26

NOP 2.2.2 Rotation du personnel : données

TABLEAU 2.18 Coûts (en 000 $) des affectations possibles

Sergent

Poste

a b c d e f g h m n

ABCDEFGHMN

* 12 15 11 17 15 11 12 10 106 * 14 12 16 11 17 18 18 168 17 * 21 17 16 14 12 10 157 16 9 * 12 18 18 14 11 147 13 8 12 * 22 19 12 13 128 8 11 14 12 * 12 17 9 186 9 13 9 11 16 * 14 13 167 14 16 11 16 22 15 * 14 18

11 16 17 15 17 18 21 22 * 118 9 8 13 9 7 8 9 8 *


27

NOP 2.2.2 Rotation du personnel : le modèle linéaire

Variables de décision :vIj = 1 si le sergent I est muté du poste i au poste j

Objectif : Min z = 500 vAa + 12 vAb + 15 vAc + ... + 9 vNh + 8 vNm + 500 vNn

Contraintes : vAa + vAb + vAc + vAd + vAe + vAf + vAg + vAh + vAm + vAn = 1vBa + vBb + vBc + vBd + vBe + vBf + vBg + vBh + vBm + vBn = 1vCa + vCb + vCc + vCd + vCe + vCf + vCg + vCh + vCm + vCn = 1vDa + vDb + vDc + vDd + vDe + vDf + vDg + vDh + vDm + vDn = 1vEa + vEb + vEc + vEd + vEe + vEf + vEg + vEh + vEm + vEn = 1vFa + vFb + vFc + vFd + vFe + vFf + vFg + vFh + vFm + vFn = 1vGa + vGb + vGc + vGd + vGe + vGf + vGg + vGh + vGm + vGn = 1vHa + vHb + vHc + vHd + vHe + vHf + vHg + vHh + vHm + vHn = 1vMa + vMb + vMc + vMd + vMe + vMf + vMg + vMh + vMm + vMn = 1vNa + vNb + vNc + vNd + vNe + vNf + vNg + vNh + vNm + vNn = 1

vAa + vBa + vCa + vDa + vEa + vFa + vGa + vHa + vMa + vNa = 1vAb + vBb + vCb + vDb + vEb + vFb + vGb + vHb + vMb + vNb = 1vAc + vBc + vCc + vDc + vEc + vFc + vGc + vHc + vMc + vNc = 1vAd + vBd + vCd + vDd + vEd + vFd + vGd + vHd + vMd + vNd = 1vAe + vBe + vCe + vDe + vEe + vFe + vGe + vHe + vMe + vNe = 1vAf + vBf + vCf + vDf + vEf + vFf + vGf + vHf + vMf + vNf = 1vAg + vBg + vCg + vDg + vEg + vFg + vGg + vHg + vMg + vNg = 1vAh + vBh + vCh + vDh + vEh + vFh + vGh + vHh + vMh + vNh = 1vAm + vBm + vCm + vDm + vEm + vFm + vGm + vHm + vMm + vNm = 1vAn + vBn + vCn + vDn + vEn + vFn + vGn + vHn + vMn + vNn = 1

vIj = 0 ou 1 tout (I ; j)


28

NOP 2.2.3 Chemin le plus court : le réseau

FIGURE 2.5 Réseau orienté

5 7

4

3 3 4 67

9

6 5

6

7 82

5 3

6

2 4

2 5 2

1

O

2 6

5

7

3 8 A

4 9


29

NOP 2.2.3 Chemin le plus court : le modèle linéaire

Variables de décision :vij = 1 si l’objet emprunte le tronçon (i ; j).

Objectif : Min z = 5 v O1 + 3 vO2 + 4 vO3 + 7 v13 + ... + 2 v9A

Contraintes :

Origine vO1 + vO2 + vO3 = 1

Sommet 1 vO1 # v13 # v14 = 0

Sommet 2 vO2 # v23 # v25 # v26 # v28 = 0

Sommet 3 vO3 + v13 + v23 # v34 # v38 = 0

Sommet 4 v14 + v34 # v48 # v49 = 0

Sommet 5 v25 # v56 # v57 = 0

Sommet 6 v26 + v56 # v67 # v68 # v6A = 0

Sommet 7 v57 + v67 # v78 # v7A = 0

Sommet 8 v28 + v38 + v48 + v68 + v78 # v89 # v8A = 0

Sommet 9 v49 + v89 # v9A = 0

Arrivée v6A + v7A + v8A + v9A = 1

vij = 0 ou 1 tout (i ; j)


30

NOP 2.3.3 Les chaises et leur cuisson : le modèle linéaire

Variables de décision : xA, xB, LA, LB, rA, rB, vA, vB, où, par exemple,xA = nombre de chaises A à fabriquer d’ici trois semainesLA = nombre de lots complets de 10 chaises ArA = nombre de chaises A dans un éventuel lot résiduelvA = 1 si 1 " rA " 9

Objectif : Max z = 450 xA + 800 xB # 100 LA # 100 vA # 100 LB # 100 vB

Contraintes : xA ! 42xB ! 53xA " 100xB " 100

1,5 xA + 2 xB " 2500,5 xA + 0,75 xB " 1002 xA + 3 xB " 327

xA # 10 LA # rA = 0 vA " rA " 9 vA

xB # 5 LB # rB = 0 vB " rB " 4 vB

8 LA + 6 LB + 8 vA + 6 vB " 140

xA, xB, LA, LB, rA, rB ! 0 et entiersvA, vB = 0 ou 1


31

NOP 2.4.1 Parcours des éboueurs : plan du quartier et circuits optimaux

FIGURE 2.6

Circuits optimaux : xA, xB, LA, LB, rA, rB, zA, zB, où, par exemple,1%6%4%7%6%4%2%1%4%5%7%8%5%8%3%2%5%3%2%11%4%5%7%8%5%3%8%5%2%3%2%1%2%4%7%6%4%6%1

1

6

5

8

4 5

3 6

6

7 4

6 3

5

9

7

2

4 5

3

6 7 8


32

NOP 2.4.1 Parcours des éboueurs : durée des passages sur les tronçons

TABLEAU 2.27

Tronçon Passage avec enlèvement Passage hors service

1 – 2 20 4 1 – 4 30 6 1 – 6 35 8 2 – 3 22 5 2 – 4 12 3 2 – 5 30 6 3 – 5 35 7 3 – 8 50 9 4 – 5 25 6 4 – 6 20 5 4 – 7 35 7 5 – 7 30 4 5 – 8 20 5 6 – 7 24 6 7 – 8 12 3

Total 400 min 84 min


33

NOP 3.1.1 FRB : description du contexte

Produits et demande

No Description Demande en tonnes Profit par tonne

12

TuyauterieGueuses

3414

1 000 $1 200 $

Durée de fabrication

Ébarbage Peinture

Temps requisTuyauterieGueuses

10 h/t15 h/t

2 h/t3 h/t

Heures disponibles 200 h 60 h

Note : Une tonne de tuyauterie requiert 10 heures au département d’ébarbage et 2 heures à celui de peinture.


34

NOP 3.1.2 FRB : les contraintes technologiques et la région admissible

10 x1 + 5 x2 " 200 (ébarbage) (1)

12 x1 + 3 x2 " 160 (peinture) (2)

10 x1 + 5 x2 " 34 (demande de tuyauterie) (3)

10 x1 + 5 x2 " 14 (demande de gueuses) (4)

10 x1 + 5 x2 ! 0 (5)

10 x1 + 5 x2 ! 0 (6)

x1

10 x1 + 5 x

2 = 200

x2

x1 = 34

x2 = 14

2 x1 + 3 x

2 = 60


35

NOP 3.1.2 FRB : le modèle linéaire

Variables de décision :x1 = nombre de tonnes de tuyauterie traitéesx2 = nombre de tonnes de gueuses traitées

Objectif : Max z = 1 000 x1 + 1 200 x2

Contraintes :

10 x1 + 5 x2 " 200 (ébarbage) (1)

12 x1 + 3 x2 " 160 (peinture) (2)

10 x1 + 5 x2 " 34 (demande de tuyauterie) (3)

10 x1 + 5 x2 " 14 (demande de gueuses) (4)

10 x1 + 5 x2 ! 0 (5)

10 x1 + 5 x2 ! 0 (6)


36

NOP 3.1.4 FRB : repérage graphique de la solution optimale

FIGURE 3.8

(x1 ; x2) = (15 ; 10)

z = 6 000 z = 12 000 z = p*

x2

x1O

**


37

NOP 4.2 Intersections des droites associées aux contraintes de (FRB)

FIGURE 4.3

x2

x1

E

H

IGD

C

BA

O

JK

F

L


38

NOP 4.2 Coordonnées des intersections des droites associées aux contraintes de (FRB)

TABLEAU 4.1

No VHB Solution Point Remarque

1 x1, x2 (0 ; 0 ; 200 ; 60 ; 34 ; 14) O2 x1, e1 (0 ; 40 ; 0 ; !60 ; 34 ; !26) L Inadmissible3 x1, e2 (0 ; 20 ; 100 ; 0 ; 34 ; !6) F Inadmissible4 x1, e3 --- --- Pas de solution5 x1, e4 (0 ; 14 ; 130 ; 18 ; 34 ; 0) A6 x2, e1 (20 ; 0 ; 0 ; 20 ; 14 ; 14) D7 x2, e2 (30 ; 0 ; !100 ; 0 ; 4 ; 14) G Inadmissible8 x2, e3 (34 ; 0 ; !140 ; !8 ; 0 ; 14) I Inadmissible9 x2, e4 --- --- Pas de solution

10 e1, e2 (15 ; 10 ; 0 ; 0 ; 19 ; 4) C11 e1, e3 (34 ; !28 ; 0 ; 76 ; 0 ; 42) E Inadmissible12 e1, e4 (13 ; 14 ; 0 ; !8 ; 21 ; 0) K Inadmissible13 e2, e3 (34 ; !8/3 ; !380/3 ; 0 ; 0 ; 50/3) H Inadmissible14 e2, e4 (9 ; 14 ; 40 ; 0 ; 25 ; 0) B15 e3, e4 (34 ; 14 ; !210 ; !50 ; 0 ; 0) J Inadmissible


39

NOP 4.3 Organigramme de l’algorithme du simplexe dans le cas (PLS)

FIGURE 4.6

CONSTRUCTION DUTABLEAU INITIAL

SOLUTIONOPTIMALE?



CHOIX DE LAVARIABLE ENTRANTE


CHOIX DE LAVARIABLE SORTANTE

CONSTRUCTION DUTABLEAU INITIALPIVOTAGE

FINOUI

IL N’EN EXISTE

PAS

NON

FIN

ÉTAPE A

ÉTAPE B

ÉTAPE C

ÉTAPE D


40

NOP 4.3 Tableau du simplexe : gabarit pour (FRB)

Tableau no Sommet

Base 1000 1200 0 0 0 0

Valeur LimiteCoeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3 e4

0

0

0

0

zjcj # zj


41

NOP 4.3 Modèle (FRB) : séquence des tableaux du simplexe

TABLEAU 4.11

Base 1000 1200 0 0 0 0

Valeur LimiteNo Coeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3 e4

0

O

0000

e1e2e3

&e4

10 5 1 0 0 02 3 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1

200603414

200/560/3*14/1

zjcj # zj

0 0 0 0 0 01000 1200 0 0 0 0

'0

1

A

000

1200

e1&e2

e3x2

10 0 1 0 0 # 52 0 0 1 0 # 31 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1

130183414

130/1018/234/1*

zjcj # zj

0 1200 0 0 0 12001000 0 0 0 0 # 1200

'16 800

2

B

01000

01200

&e1x1e3x2

0 0 1 # 5,0 0 10,01 0 0 0,5 0 # 1,50 0 0 # 0,5 1 1,50 1 0 0,0 0 1,0

409

2514

40/10*

25/1,514/1

zjcj # zj

1000 1200 0 500 0 # 3000 0 0 # 500 0 300

'25 800

3

C

01000

01200

e4x1e3x2

0 0 0,10 # 0,50 0 11 0 0,15 # 0,25 0 00 0 # 0,15 0,25 1 00 1 # 0,10 0,50 0 0

4151910

zjcj # zj

1000 1200 30 350 0 00 0 # 30 # 350 0 0 27 000


42

NOP 4.4 Région admissible de (PMF)

FIGURE 4.8

x2

x1

NM

O

C

Région admissible

D

F

P


43

NOP 4.4 Le modèle (PMF)

Modèle (PMF) :

Max z = 1 000 x1 + 1 200 x2

sous les contraintes :

10 x1 + 5 x2 " 200 (82)

2 x1 + 3 x2 = 60 (83)

10 x1 + 5 x2 " 12 (84)

10 x1 + 5 x2 ! 6 (85)

x1, x2 ! 0 (86)

Modèle équivalent (PMF=) :

Max z = 1 000 x1 + 1 200 x2 (87)


10 x1 + 5 x2 + e1 = 200 (88)

2 x1 + 3 x2 = 60 (89)

10 x1 + e3 = 12 (90)

10 x1 + 5 x2 – e4 = 6 (91)

x1, x2, e1, e3, e4 ! 0 (92)

Modèle avec variables de base pour chaque contrainte:

Max z = 1 000 x1 + 1 200 x2 (93)


10 x1 + 5 x2 + e1 = 200 (94)

2 x1 + 3 x2 + a2 = 60 (95)

x1 + 5 x2 + e1 + e3 = 12 (96)

2 x1 + 3 x2 + 5 x2 + e– e4 + a4 = 6 (97)

x1, x2, e1, e3, e4, a2, a4 ! 0 (98)


44

NOP 4.4 Tableau du simplexe : gabarit pour (PMF)

Phase : Tableau no Point

Base 0 0 0

Valeur LimiteCoeff. Var. x1 x2 e1 e3 e4 a2 a4

0

0

0

0

zjcj # zj


45

NOP 4.4 Modèle (PMF) : séquence des tableaux du simplexe

TABLEAU 4.14

Base 0 0 0 0 0 1 1

Valeur LimiteNo Coeff. Var. x1 x2 e1 e3 e4 a2 a4

I 0

O

0101

e1a2e3

&a4

10 5 1 0 0 0 02 3 0 0 0 1 01 0 0 1 0 0 00 1 0 0 # 1 0 1

20060126

4020*6

zjcj # zj

2 4 0 0 # 1 1 1# 2 # 4 0 0 1 0 0

'66

I 1

M

0100

e1&a2

e3x2

10 0 1 0 5 0 # 52 0 0 0 3 1 # 31 0 0 1 0 0 00 1 0 0 # 1 0 1

17042126

3414**

zjcj # zj

2 0 0 0 3 1 # 3# 2 0 0 0 # 3 0 4

'42

I 2

F

0000

e1e4e3x2

6,67 0 1 0 0 # 1,67 00,67 0 0 0 1 0,33 # 11,00 0 0 1 0 0,00 00,67 1 0 0 0 0,33 0

100141220

zjcj # zj

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 1 0

II 0

F

000

1200

e1e4

&e3x2

6,67 0 1 0 00,67 0 0 0 11,00 0 0 1 00,67 1 0 0 0

100141220

15211230

zjcj # zj

800 1200 0 0 0200 0 0 0 0'

24 000

II 1

P

00

10001200

e1e4x1x2

0 0 1 # 6,67 00 0 0 # 0,67 11 0 0 1,00 00 1 0 # 0,67 0

206

1212

zjcj # zj

1000 1200 0 200 00 0 0 # 200 0 26 400

1000 1200 0 0 0


46

NOP 4.5 (PMult) : le modèle linéaire et la région admissible

Max z = 1 000 x1 + 1 500 x2


10 x1 + 5 x2 " 200 (82)

2 x1 + 3 x2 " 60 (83)

10 x1 + 5 x2 " 34 (84)

10 x 1 + 5 x2 " 14 (85)x1, x2 ! 0

FIGURE 4.9 Région admissible de (PMult)

x2

x1

D

C

BA

O

z = 15000z = 9000

z = 30000


47

NOP 4.5 (PMult) : un tableau optimal

Tableau no 2 Sommet B

Base 1 000 1 500 0 0 0 0

ValeurCoeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3 e4

01 000

01 500

e1

x1

e3

x2

0100

0001

1000

#5,00,5

#0,50,0

0010

10,0#1,5#1,5#1,0

40092514

zjcj # zj

1 0000

1 5000

00

500#500

00

00 30 000


48

NOP 4.5 Un modèle (P) sans solution admissible : dernier tableau

TABLEAU 4.17

Phase I : Tableau no 2 Point C

Base 0 0 0 0 0 0 1 1

ValeurCoeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3 e4 a3 a4

0011

x1x2a3a4

1 0 0,15 ! 0,25 0 0 0 00 1 ! 0,10 0,50 0 0 0 00 0 ! 0,15 0,25 ! 1 0 1 00 0 0,10 ! 0,50 0 ! 1 0 1

15101914

zj

cj ! zj

0 0 ! 0,05 ! 0,25 ! 1 ! 1 1 10 0 0,05 0,25 1 1 0 0 23


49

NOP 4.5 Un modèle non borné

TABLEAU 4.18 Modèle non borné : dernier tableau du simplexe

FIGURE 4.10 Région admissible d’un modèle non borné

Phase II : Tableau no 1 Point (0 ; 2)

Base 1 2 0 0 0

Valeur LimiteCoeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3

020

e2x2e3

# 1,33 0 0,67 1 0# 0,67 1 0,33 0 0

0,67 0 3,00 0 1

12

36

***

zjcj # zj

# 1,33 2 0,67 0 02,33 0 # 0,67 0 0 4

'

x2

x1

z = 4

(0 ; 2)

(0 ; 1)

– 2 x1 + 3 x2 = 6

x2 = 16 x1 – 9 x2 = 18

(4,5 ; 1)


50

NOP 4.5 (PDég) : le modèle linéaire et la région admissible

Max z = 1 000 x1 + 1 200 x2


10 x1 + 5 x2 " 200 (82)

2 x1 + 3 x2 " 60 (83)

10 x1 + 5 x2 " 34 (84)

10 x 1 + 5 x2 " 20

x1, x2 ! 0

FIGURE 4.11 Région admissible de (PDég)

x2

x1

D

C

O

F


51

NOP 4.5 Exemple (PDég) : séquence des tableaux

TABLEAU 4.20

No

Base 1000 1200 0 0 0 0

Valeur LimiteCoeff. Var. x1 x2 e1 e2 e3 e4

0

O

0000

e1e2e3

&e4

10 5 1 0 0 02 3 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1

200603420

4020*

20

zjcj # zj

0 0 0 0 0 01000 1200 0 0 0 0

'0

1

F

000

1200

e1&e2

e3x2

10 0 1 0 0 # 52 0 0 1 0 # 31 0 0 0 1 00 1 0 0 0 1

1000

3420

100

34*

zjcj # zj

0 1200 0 0 0 12001000 0 0 0 0 # 1200

'24 000

2

F

01000

01200

&e1x1e3x2

0 0 1 # 5,0 0 10,01 0 0 0,5 0 # 1,50 0 0 # 0,5 1 1,50 1 0 0,0 0 1,0

1000

3420

10,7*,7

22,720,7

zjcj # zj

1000 1200 0 500 0 # 3000 0 0 # 500 0 300

'24 000

3

C

01000

01200

e4x1e3x2

0 0 0,10 # 0,50 0 11 0 0,15 # 0,25 0 00 0 # 0,15 0,25 1 00 1 # 0,10 0,50 0 0

10151910

zjcj # zj

1000 1200 30 350 0 00 0 # 30 # 350 0 0 27 000


52

NOP 5.6 Expro: le modèle et les données

Max z = 10 x1 + 6 x2 + 6 x3 + 8 x4


1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 " 200 (1)

2 x1 + 4 x2 + 6 x3 + 3 x4 " 360 (2)

2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 " 450 (3)

2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 ! 300 (4)

2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 ! 330 (5)

2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 ! 320 (6)

2 x1 + 5 x2 + 4 x3 + 3 x4 " 170 (7)

2 x1, x2, x3, x4 ! 0 (8)

TABLEAU 5.4 Expro : données de production

P1 P2 P3 P4

Heures disponibles

Profit (en $) 10 6 6 8

Atelier 1 11 1 1 1 200

Atelier 2 2 4 6 3 360

Atelier 3 2 5 4 3 450


53

NOP 5.6 Expro : le tableau optimal

TABLEAU 5.5

Base 10 6 6 8 0 0 0 0 0 0 0

Valeurcj Var. x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

010

00600

e1x1e3e4x2e6e7

0100000

0000100

!23

!2203

!3

!0,51,50,50,50,51,5

!1,5

1000000

!0,50,5

!1,51,50,50,5

!0,5

0010000

0001000

!121

!1!1

2!2

0000010

0000001

50120

609030

10050

zj

cj ! zj

100

60

30!24

15,5!7,5

00

5,5!5,5

00

00

14!14

00

00 1380


54

NOP 5.7 Kalinine: description du contexte

TABLEAU 5.12 Kalinine : confection des roubachki

TABLEAU 5.13 Kalinine : main-d’œuvre disponible (en minutes) dans chaque atelier le mois prochain

La demande de chaque modèle est supérieure à la capacité de production de Kalinine.

Carnet de commandes : au moins 1 000 L’UkrainienneCarnet de commandes : au moins 1 300 La Slavonne

Durée (en minutes) des opérations de fabrication

Atelier

Modèle

La Cosaque L’Ukrainienne La Slavonne La Tatare

CoupeCoutureBroderieEmballage

51020

5

88

156

67

105

86

254

Coûts de fabrication et prix de vente unitaires

Main-d’œuvreet fournituresTissuEmballage

7,50 $15,00 $

2,00 $

8,00 $12,00 $1,50 $

6,50 $8,00 $1,00 $

8,00 $10,00 $1,50 $

Prix de vente 44,50 $ 45,50 $ 39,50 $ 49,50 $

Atelier Coupe Couture Broderie Emballage

Disponibilité 21 000 33 000 50 000 25 000


55

NOP 5.7 Kalinine: le modèle linéaire

Variables de décision :xJ = nombre de roubachki du modèle J fabriquées et vendues le mois prochain,

où J = C (La Cosaque), U (L’Ukrainienne), S (La Slavonne) et T (La Tatare).

Objectif : Max z = 20 xC + 24 xU + 24 xS + 30 xT

Contraintes technologiques :

Disp. coupe : 5 xC + 8 xU + 6 xS + 8 xT " 21 000 (1)

Disp. couture : 10 xC + 8 xU + 7 xS + 6 xT " 33 000 (2)

Disp. broderie : 20 xC + 15 xU + 10 xS + 25 xT " 50 000 (3)

Disp. emballage : 5 xC + 6 xU + 5 xS + 4 xT " 25 000 (4)

Carnet Ukraine : xU ! 1 000 (5)

Carnet Slavonne : xS ! 1 300 (6)


56

NOP 5.7 Kalinine : un tableau final

TABLEAU 5.14

Base20 24 24 30 0 0 0 0 0 0xC xU xS xT e1 e2 e3 e4 e5 e6 Valeur

xCe2e3e4xUxS

1 0 0 1,6 0,2 0 0 0 1,6 1,20 0 0 – 10 – 2 1 0 0 – 8 – 50 0 0 – 7 – 4 0 1 0 – 17 – 140 0 0 – 4 – 1 0 0 1 – 2 – 10 1 0 0 0 0 0 0 – 1 00 0 1 0 0 0 0 0 0 – 1

1 0405 5001 2007 3001 0001 300

zj

cj ! zj

20 24 24 32 4 0 0 0 8 00 0 0 – 2 – 4 0 0 0 – 8 0 76 000


57

NOP 5.8 CinéFam : variables et modèle

Variables de décision :TVj = nombre de téléviseurs de type j achetés j = A, BTA = nombre de transformateurs assemblés par CinéFam TF = nombre de transformateurs achetés du fournisseur EA = nombre d’enceintes assemblées par CinéFam EF = nombre d’enceintes achetées du fournisseur

Modèle : Min z = 500 TVA + 575 TVB + 100 TA + 110 TF + 60 EA + 70 EF sous les contraintes : DISP PROD 120 TVA + 140 TVB + 10 TA + 10 EA " 28 000 MAX TF TF " 100 MAX EF EF " 200 LIEN TV-T TVA + TVB # TA # TF " 0 LIEN TV-E 2 TVA + 2 TVB # EA # EF " 0 DEMANDE TVA + TVB ! 180 MAX A/B TVA # 0,8 TVB " 0

TVA, TVB, TA, TF, EA, EF ! 0


58

NOP 5.8 CinéFam : tableau optimal et intervalles de variation

TABLEAU 5.19 Un tableau optimal du modèle de CinéFam

Base500

TVA575

TVB100TA

110TF

60EA

70EF

0e1

0e2

0e3

0e4

0e5

0e6

0e7 Valeur

TVBe2e3

TVAEFTAEA

0001000

1000000

0000010

01

#1011

#1

0000001

0000100

0,00,00,10,0

#0,10,00,1

0100000

0010000

0010

#1#1

1

0010

#100

#0,5560,000

16,111#0,444

#16,111#1,00014,111

#0,5560,0001,1110,556

#1,1110,0001,111

10010010080

100180260

zjcj # zj

5000

5750

1000

1100

600

700

#1,01,0

00

00

#110110

#7070

#922,778922,778

#52,77852,778 138 100

TABLEAU 5.20 CinéFam : intervalles de variation

Intervalles de variation des cj Intervalles de variation des bi

VariableValeur

ContrainteValeur

présente minimale maximale présente minimale maximale

TVATVBTATFEAEF

5005751001106070

#1576,25#1480

(((#1110

6060

595Infini

(((Infini

7070

1 DISP PROD "2 MAX TF "3 MAX EF "4 LIEN TV-T "5 LIEN TV-E "6 DEMANDE !7 MAX A/B "

28 000100200

00

1800

27 0000

100#100#100173,8#90

29 00029 Infini29 Infini

100100186,290


59

NOP 6.2 Exemple 1 : résolution graphique des modèles (P0) et (Px1)

FIGURE 6.1 Résolution graphique du modèle continu (P0)

O D

A

B

C

x2

x1

z = 275

a b c d e f g h i

E = (5 ; 4,5)Solution optimale de (Px1)

FIGURE 6.2 Résolution de (Px1)

O D

A

B

C

x2

x1

(8)

(6)

(7)

z = 282,5

A = (0 ; 2,5)B = (4,5 ; 4,75)C = (8 ; 3)D = (8 ; 0)

Régionadmissible


60

NOP 6.2 Exemple 1 : résolution graphique des modèles (Px2) et (Px1 x2)

FIGURE 6.3 Résolution de (Px2)

FIGURE 6.4 Résolution de (Px1x2)

O D

A

B

C

x2

x1

z = 260

F = (6 ; 4)Solution optimale de (Px1x2)

O D

A

B

C

x2

x1

z = 260

F = (6 ; 4)Solution optimale de (Px2)

t

s

r

q

p


61

NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique NOP 6.3.2 après la 1re séparation (selon x1)

FIGURE 6.6 Exemple 1 : interprétation graphique de la séparation selon x1

O

x2

x1

BG E

C

D

A

54

Solution optimalede (P0) : B = (4,5 ; 4,75)de (P1) : G = (4 ; 4,5)de (P2) : E = (5 ; 4,5)

(P2)(P1)

z = 282,5

P1 : z1 = 265

x1 = 4x2 = 4,5

P2 : z2 = 275

P0

x1 ! 4 x1 " 5

x1 = 5x2 = 4,5

FIGURE 6.7 Exemple 1 : arbre d’énumération après la première séparation


62

NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 2e séparation

FIGURE 6.8 Exemple 1 : interprétation graphique de la séparation à partir de (P2)

x2

x1

HJ

E

C

D

4

5

5

Solution optimalede (P2) : E = (5 ; 4,5)de (P3) : H = (6 ; 4) de (P4) : aucune solution de (P4) : admissible

(P3)

FIGURE 6.9 Exemple 1 : arbre d’énumération après 2 séparations

P1 : z1 = 265

x1 = 4x2 = 4,5

P4

P0

P2

x1 ! 4 x1 " 5

x2 " 5x2 ! 4

# #

Aucune solutionadmissible

P3 : z3 = 260

x1 = 6x2 = 4


63

NOP 6.3.2 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique après la 3e séparation

FIGURE 6.10 Exemple 1 : interprétation graphique de la séparation à partir de (P1)

FIGURE 6.11 Exemple 1 : arbre d’énumération après 3 séparations

O

x2

x1

MG

B

K

A

4

Solution optimalede (P1) : G = (4 ; 4,5)de (P5) : K = (4 ; 4)de (P6) : aucune solution admissible

(P5)

5

4

P4

P0

P2

x1 " 5x1 ! 4

x2 " 5x2 ! 4

# #


P3 : z3 = 260

x1 = 6x2 = 4

P6

P1

x2 " 5x2 ! 4

# #


P5 : z5 = 240

x1 = 4x2 = 4


64

NOP 6.3.3 Exemple 1 : arbre d’énumération et graphique NOP 6.3.2 après la 1re séparation (selon x2)

FIGURE 6.12 Exemple 1 : le critère du meilleur cj

FIGURE 6.13 Arbre d’énumération pour le critère du meilleur cj

O

x2

x1

B

C

D

A

5

4

Solution optimalede (P0) : B = (4,5 ; 4,75)de (P1) : H = (6 ; 4)de (P2) : aucune solution admissible

(P1)

P H

P1 : z1 = 260

x1 = 6x2 = 4

P2

P0

x2 ! 4 x2 " 5

Aucune solution admissible

# #


65

NOP 6.3.4 Plan de production d’appareils électroniques : description du contexte,NOP 6.3.4 modèle et solutions optimales

TABLEAU 6.1 Données de production des appareils électroniques

Modèle :

xj = le nombre d’unités du produit j à fabriquer


i = 1, 2, 3

xj ! 0 j = 1, …, 7

xj entier j = 1, …, 7

Solutions optimales de la relaxation (P4C) et de (P4E)

No 1 2 3 4 5 6 7 bi

cja1ja2ja3j

14855

4914

13436

12254

3601

20624

4912

200150175

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 z

0 0 0 15,625 0 28,125 0 750

0 0 1 14 0 28 0 741

Max z cj xjj 1= = )

7

aij xj "j 1

bi)

7

=


66

NOP 6.3.5 Exemple 4 : arbres d’énumération après 2 et 4 séparations

FIGURE 6.14

FIGURE 6.15

P4

x6 " 28x6 ! 27

x4 " 16x4 ! 15

#


P3 : z3 = 741

x4 = 16,75x6 = 27

P2 : z2 = 747P1 : z1 = 746,67

x4 = 15x6 = 28,33

x4 = 16x6 = 27,75

P0 : z0 = 750

x4 = 15,625x6 = 28,125

P8 : z8 = 743

x3 � ! 1x3 = 0

x6 � ! 29x6 ! 28

""

P7 : z7 = 743,5

x1 = 0,25x4 = 15x6 = 28

x3 = 1x4 = 14,375x6 = 27,875

P6 : z6 = 736P5 : z5 = 746,5

x3 = 0,5x4 = 15

x4 = 13x6 = 29

x6 = 28

x6 � ! 28x6 ! 27

P4P3 : z3 = 741

x4 = 16,75x6 = 27


P0

P2

x4 � ! 16x4 ! 15

P1


67

NOP 6.3.5 Exemple 4 : arbre d’énumération complet

FIGURE 6.16

P10: z10 = 734

x1 " 1x1 = 0

#

#

#

#

P9: z9 = 741

x4 = 15x5 = 10,33x6 = 28

x1 = 11x4 = 15x6 = 27

P11: z11 = 741

x3 = 11x4 = 14x6 = 28

P12: z12 = 738

x3 = 11x4 = 15x6 = 27,25

P3: z3 = 741 P4


x3 " 1x3 = 0

x6 " 29x6 ! 28 x6 " 28x6 ! 27

x4 ! 15 x4 " 16

P6: z6 = 736

P7

x4 ! 14 x4 " 15

P8

P1 P2

P0

P5

###


68

NOP 6.3.6 Exemple 4 : arbre selon le critère du meilleur cj

FIGURE 6.17

P10: z10 = 734

x1 " 1x1 = 0

x3 " 1x3 = 0

x6 " 29x6 ! 28

x6 " 28x6 ! 27

x4 " 16x4 ! 15

#

#

# #

P9: z9 = 741

x4 = 15x5 = 10,33x6 = 28

x1 = 11x4 = 15x6 = 27

P11: z11 = 735,91

x1 = 10,09x3 = 11x4 = 15x5 = 10,545x6 = 27

P12: z12 = 741

x3 = 11x4 = 14x6 = 28

x6 ! 27 x6 " 28

##

P7: z7 = 743,5

x1 = 10,25x4 = 15x6 = 28

P8: z8 = 743

x3 = 11x4 = 14,375x6 = 27,875

P3: z3 = 746,5

x3 = 10,5x4 = 15x6 = 28

P1: z1 = 749

x4 = 15,75x6 = 28

P2: z2 = 736

x4 = 13x6 = 29

P0: z0 = 750

x4 = 15,625x6 = 28,125

P5: z5 = 741

x4 = 16,75x6 = 27

P6

Aucune solution admissible

P4: z4 = 747

x4 = 16x6 = 27,75

#


69

NOP 6.4 Tableau initial de la phase I et tableau final de la phase II

TABLEAU 6.4 Tableau initial de la phase I

Base 0 0 0 0 0 0 0 0 1

ValeurCoeff. Var. x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4 a4

0001

x1e2x3

"a4

1 5/7 0 !5/7 10/7 0 !1/7 0 00 !6/7 0 13/7 !61/7 1 4/7 0 00 2/7 1 12/7 !3/7 0 1/7 0 00 2/7 0 12/7 !3/7 0 1/7 !1 1

50/7325/7

55/76/7

zj

cj ! zj

0 2/7 0 12/7 !3/7 0 1/7 !1 10 !2/7 0 !12/7 3/7 0 !1/7 1 0 6/7

#

TABLEAU 6.5 Tableau initial et final de la phase II

Base 4 5 9 11 0 0 0 0

ValeurCoeff. Var. x1 x2 x3 x4 e1 e2 e3 e4

409

11

x1e2x3x4

1 5/6 0 0 5/4 0 !1/12 !5/120 !7/6 0 0 !33/4 1 5/12 13/120 0 1 0 0 0 0 10 1/6 0 1 !1/4 0 1/12 !7/12

7,545,5

70,5

zj

cj ! zj

4 31/6 9 11 9/4 0 7/12 11/120 !1/6 0 0 !9/4 0 !7/12 !11/12 98,5


70

NOP 7.1.1 Nitrobec : description du contexte

Nitrocellulose : quantités disponibles (en t) et coûts de transport (en $/t)

Coûts de transport (en $/t) et demande (en t)

TABLEAU 7.3 Limites de poids (en t/mois) sur les routes usine-arsenal

TABLEAU 7.4 Coûts de transport interarsenaux (en $/t)

Fournisseur Quantité Usine T Usine U

FG

450495

98

1011

Usine Arsenal A Arsenal B Arsenal C

TU

314317

205206

206205

Demande 350 200 395

Usine Arsenal A Arsenal B Arsenal C

TU

170200

180150

190250

Arsenal A B C

ABC

–3–

3–2

–2–


71

NOP 7.1.2 Nitrobec : réseau sommaire

FIGURE 7.1

Transport de la nitrocellulose Transport des explosifs

F T

A

B

C

UG


72

NOP 7.1.2 Nitrobec : le réseau et une solution optimale

FIGURE 7.3 Réseau de Nitrobec

FIGURE 7.11 Solution optimale de Nitrobec

3 3

2 2

(395 ; 395)

(495 ; 495)

(450 ; 450)

(200 ; 200)

(350 ; 350)(0 ; 170)

(0 ; 150)(0 ; 200)

(0 ; 250)

(0 ; 180)(0 ; 190)

F T

A

B

C

UG

9

11

6

5

5

14

17

6

10

8

175

45

395

495

450

200

350170

5150

250

180190

F T

A

B

UG

45

0

405

495

C


73

NOP 7.1.4 Nitrobec : le modèle linéaire

Variables de décision :xij = flot sur l’arc (i ; j)

Objectif : Min z = 9 xFT + 10 xFU + … + 14 xTA + 5 xTB + … + 3 xBA + 2 xBC + 2 xCB

Contraintes : xFT + xFU = 450xGT + xGU = 495xTA + xTB + xTC – xFT – xGT = 0xUA + xUB + xUC – xFU – xGU = 0– xAB + xTA + xUA + xBA = 350– xBA – xBC + xTB + xUB + xAB + xCB = 200– xCB + xTC + xUC + xBC = 395xTA " 170 xTB " 180 xTC " 190xUA " 200xUB " 150xUC " 250xij ! 0 pour tous les arcs du réseau


74

NOP 7.1.5 Nitrobec : le chiffrier STORM

TABLEAU 7.5

ROW LABEL FROM NODE TO NODE UNIT COST LOWR BOUND UPPR BOUND

ARC 1 . F 0 450 450ARC 2 . G 0 495 495

ARC 3 F T 9 0 .ARC 4 F U 10 0 .ARC 5 G T 8 0 .ARC 6 G U 11 0 .

ARC 7 T A 14 0 170ARC 8 T B 5 0 180ARC 9 T C 6 0 190ARC 10 U A 17 0 200ARC 11 U B 6 0 150ARC 12 U C 5 0 250

ARC 13 A B 3 0 .ARC 14 B A 3 0 .ARC 15 B C 2 0 .ARC 16 C B 2 0 .

ARC 17 A . 0 350 350ARC 18 B . 0 200 200ARC 19 C . 0 395 395


75

NOP 7.2.1 Nitrobec : modifications apportées au contexte

TABLEAU 7.7 Nouvelles données pour les fournisseurs

Nouvelles données pour les usines

TABLEAU 7.6 Approvisionnements convenus pour les arsenaux

Fournisseur F G

(Min ; Max)Prix d’achat (en $/t)

(100 ; 450)220

(150 ; 495)235

Usine T U

(Min ; Max)Coût de production (en $/t)

(100 ; 400)22

(200 ; 420)25

Arsenal A B C

(Min ; Max)Prix (en $/t)

(100 ; 400)350

(0 ; 300)360

(150 ; 400)355


76

NOP 7.2.1 Nitrobec modifié : le réseau et une solution optimale

FIGURE 7.13 Réseau du problème modifié de Nitrobec

33

2 2

(150 ; 400)

(150 ; 495)

(100 ; 450)

(0 ; 300)

(100 ; 400)(0 ; 170)

(0 ; 150)

(0 ; 200)

(0 ; 250)

(0 ; 180)(0 ; 190)

F

A

B

G

T

U

9220(100 ; 400)

22

(200 ; 420)25235 11

6

5

5

14

17

6

10

8

–350

–360

–355

'T

'U

C

FIGURE 7.14 Solution optimale de Nitrobec modifié

70

40

400

370

450

300

12030

15020

250

180190

F T'

A

B

U'G

T

U

30 400

4200

420

370

C


77

NOP 7.2.1 Nitrobec modifié : le chiffrier STORM

TABLEAU 7.8


ARC 1 . F 220 100 450ARC 2 . G 235 150 495

ARC 3 F T 9 0 .ARC 4 F U 10 0 .ARC 5 G T 8 0 .ARC 6 G U 11 0 .

ARC 7 TP A 14 0 170ARC 8 TP B 5 0 180ARC 9 TP C 6 0 190ARC 10 UP A 17 0 200ARC 11 UP B 6 0 150ARC 12 UP C 5 0 250

ARC 13 A B 3 0 .ARC 14 B A 3 0 .ARC 15 B C 2 0 .ARC 16 C B 2 0 .

ARC 17 A . #350 100 400ARC 18 B . #360 0 300ARC 19 C . #355 150 400

ARC 20 T TP 22 100 400ARC 21 U UP 25 200 420


78

NOP 7.2.3 Problème des toques : le réseau

FIGURE 7.17

5

3 2

5

3 2

5

3 2

5

3 2

5

3 2

5

3 2

5

3 2

5

3 2

M1 S1(80 ; 80)

(70 ; 70)

(0; 100)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(0 ; 25)

(60 ; 60)

(75 ; 75)

(80 ; 80)

(45 ; 45)

(35 ; 35)

(65 ; 65)

90

M2 S2

M3 S3

M4 S4

M5 S5

M6 S6

M7 S7

M8 S8

M9

M10

M11


79

NOP 7.2.3 Problème des toques : description d’une solution optimale

Provenance des toques utilisées

TABLEAU 7.11 Toques : plan optimal d’entretien

Salies TraitéesJour d’utilisation

1 2 3 4 5 6 7 8

le jour j-1 sur place – 10 75 25 – – – –

le jour j-2 par le spécialiste – – 70 55 45 65 20 40

le jour j-3 par la communauté – – – – – 05 15 25

En surplus le jour j-1 130 50 00 00 00 00 00 00

Disponibles le matin jUtilisées le jour j

130180

6060

7575

8080

4545

7070

3535

6565

Jour ou soir 1 2 3 4 5 6 7 8 Total

Utilisées pendant le jourTraitées sur placeConfiées au dégraisseurConfiées à la communauté

801070–

605

55–

7525455

80–

6515

45–

2025

70–

4030

35––

35

65––

65

51040

295175


80

NOP 7.2.3 Pastissimo: le réseau

D1(4 ; 6)

(3 ; 4)

(5 ; 7)

(2 ; 3)

(4 ; 7)

(5 ; 6)

1 000

975

1 000

980

1 020

1 025

(0 ; 6)

(0 ; 5)

(0 ; 4)

(0 ; 4)

(0 ; 4)

(0 ; 3)

160

150

150

160

175

165

(4 ; 4)

(4 ; 4)

(4 ; 4)

(4 ; 4)

(4 ; 4)

(4 ; 4)

–1 280

–1 280

–1 280

–1 280

–1 280

–1 280

D2

D3

D4

D5

D6

F1

F2

F3

F4

F5

F6

(2 ;

2)(0

; 3)

20(0

; 3)

20(0

; 3)

20(0

; 3)

20(0

; 3)

20

(0 ;

1)25

(0 ;

1)25

(0 ;

1)25

(0 ;

1)25

(0 ;

1)25

(2 ;

2)

FIGURE 7.19 Le modèle multipériode de Pastissimo


81

NOP 7.2.3 Meerrettich : données

Tableau 7.12 Achats de raifort épluché

Tableau 7.13 Livraisons de pots de raifort

Des clauses du contrat d’approvisionnement liant Meerrettich et le grossiste prévoient que :• Meerrettich peut anticiper les livraisons de 1 ou 2 mois. Dans le cas d’une livraison anticipée

de 1 mois, elle accordera au grossiste un remboursement de 30 euros par tonne de raiforthaché ; ce remboursement augmentera à 50 euros la tonne dans le cas d’une livraison anticipéede 2 mois.

• Le grossiste consent des livraisons en retard de 1 mois pour compléter les commandes qu’il apassées chez Meerrettich, mais il recevra en contrepartie un rabais de 20 euros la tonne pourle raifort livré en retard.

Autres contraintes :• Meerrettich peut entreposer jusqu’à 10 tonnes de tubercules épluchés, à un coût mensuel de

200 euros la tonne ; elle souhaite avoir 8 tonnes de tubercules en stock à la fin de mai.• La capacité de traitement est comprise dans une fourchette allant de 14 à 18 tonnes par mois.

Les coûts de traitement (en euros la tonne de tubercules épluchés) s’élèvent à 1 300 euros pourchacun des deux premiers mois ; ils grimpent à 1 500 euros pour les deux mois suivants, puisreviennent à 1 300 euros au cours des derniers mois.

Meerrettich est à la recherche d’une politique optimale d’achat, de stockage, de production et delivraison.

DébutTonnage maximal

retenuPrix garanti

(en euros/tonne)

1. Décembre2. Janvier3. Février4. Mars5. Avril6. Mai

201515202520

10 00010 50010 80011 00011 80012 400

FinTonnage

(en raifort haché)Prix

(en euros/tonne)

1. Décembre2. Janvier3. Février4. Mars5. Avril6. Mai

121915202510

20 00022 50023 50024 00025 00026 000


82

NOP 7.2.3 Meerrettich : le réseau

FIGURE 7.20

(0 ; 20)

(0 ; 15)

(0 ; 15)

(0 ; 20)

(0 ; 25)

(0 ; 20)

10 000

10 500

10 800

11 000

11 800

12 400

D1

D2

D3

D4

D5

D6

(8 ;

8)(0

; 10

)20

0(0

; 10

)20

0(0

; 10

)20

0(0

; 10

)20

0(0

; 10

)20

0

(14 ; 18)

(14 ; 18)

(14 ; 18)

(14 ; 18)

(14 ; 18)

(14 ; 18)

1 300

1 300

1 500

1 500

1 300

1 300

(12 ; 12)

(19 ; 19)

(15 ; 15)

(20 ; 20)

(25 ; 2 5)

(10 ; 10)

–20 000

–22 500

–23 500

–24 000

–25 000

–26 000

F3

F2

F4

F5

F6

F1 L1

L2

L3

L4

L5

L620

30

30

30

30

30

20

20

20

2050

5050

50


83

NOP 7.2.3 Meerrettich : une solution optimale

TABLEAU 7.14

Profit : 1 035 880 euros

Mois j 1 2 3 4 5 6

Achats • ! Dj

Production Dj ! Fj

Entrepôt Dj ! Dj+1

Livraison en période Fj ! Lj

Livraison anticipée Fj ! Lj+1

Livraison anticipée Fj ! Lj+2

Livraison en retard Fj ! Lj"1

2018

212

42

–

1517

015

020

1515

013

020

2018

218

000

2518

918

0–0

1415

810––5


84

NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : description du contexte

TABLEAU 7.15 Prix des billets (en $)

Départ

Destination

B C D E F

ABCDE

115 225 380 410 505– 160 310 355 410– – 180 230 305– – – 100 155– – – – 105

TABLEAU 7.16 Nombre de billets vendus

Départ

Destination

B C D E F

ABCDE

2 4 0 15 13– 1 3 10 14– – 0 15 13– – – 14 10– – – 1– 12

Total 2 5 3 14 12

Capacité de l’avion: 12 passagersDédit : 10 $


85

NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : portions du réseau

FIGURE 7.22 Réseau partiel du problème d’Air Taxi

FIGURE 7.23 Air Taxi : l’aéroport A

FIGURE 7.24 Le contrôle des dédits

F(0 ; 12)

E(0 ; 12)

D(0 ; 12)

C(0 ; 12)

B(0 ; 12)

A

A B

AB AC AE AF

(0 ; 12)

A B

AB

(0 ; 12)

(2; 2)

–115

10

(2; 2)

C

AC

(0 ; 12)

(4; 4)

–225

–160 10

10

BC

(1; 1)

(5; 5)


86

NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : le réseau

FIGURE 7.25

AB (2 ; 2)

–115

–225

–410

–505

–160

–310–410

–230–305

–100–105

1010

1010

10

10

10

10

10

10

10

AC (4 ; 4)

AE (5 ; 5)

AF (3 ; 3)

BC (1 ; 1)

BD (3 ; 3)

BF (4 ; 4)

CE (5 ; 5)

CF (3 ; 3)

DE (4 ; 4)

EF (2 ; 2)

(12 ; 12) FA

BC

D(0

; 12)

(14 ; 14)

(0; 12)

(3 ; 3)

(0; 12)

(5 ; 5)

(0; 12)

(2 ; 2)

(0; 12)

E


87

NOP 7.2.4 Problème de la société Air Taxi : le chiffrier STORM

TABLEAU 7.17


ARC 1ARC 2ARC 3ARC 4ARC 5ARC 6ARC 7ARC 8ARC 9ARC 10ARC 11ARC 12ARC 13ARC 14ARC 15ARC 16ARC 17ARC 18ARC 19ARC 20ARC 21ARC 22ARC 23ARC 24ARC 25ARC 26ARC 27ARC 28ARC 29ARC 30ARC 31ARC 32ARC 33ARC 34ARC 35ARC 36ARC 37ARC 38ARC 39ARC 40ARC 41ARC 42ARC 43

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.ABABACACAEAEAFAFBCBCBDBDBFBFCECECFCFDEDEEFEFABCDEBCDEF

ABACAEAFBCBDBFCECFDEEFABACAEAFBCBDBFCECFDEEFBCDEF.....

00000000000

#11510

#22510

#41010

#50510

#16010

#31010

#41010

#23010

#30510

#10010

#105100000000000

24531345342000000000000000000000000000253

1412

24531345342......................

1212121212253

1412


88

NOP 7.2.5 Nevera Nieve : le secteur confié à Roger T.

FIGURE 7.26 Le secteur confié à Roger T.

2

D

12 (4

)16

(5)

14 (5

)

20 (7

)

3

5

18 (6

)

20 (7)

16 (5)

16 (5)1

4

16 (5

)

18 (6)

14 (5

)

20 (7

)

22 (7)

18 (6)

18 (6)

16 (5

)

7 8

19 (6)

19 (6)6

18 (6)

18 (6)


89

NOP 7.2.5 Nevera Nieve : le réseau

FIGURE 7.29

21

(1 ; 1)

(1 ; 1) (1 ; 1)

18

6

18

(1; 1

)

20

(1 ; 1)22

6

7

7

(1; 1

)

14

53

4 D 5

(1 ; 1)

(1 ; 1)

16

5

16

14

(1 ; 1)20

(1 ; 1)18

(1; 1)20

7

7

5

6

(1; 1)

18

(1; 1

)12(1

; 1)

16

5

(1; 1

)16

5

4

(1; 1

)16

5

5

6

76

(1 ; 1)

(1 ; 1)18

618

6

8

(1 ; 1)

(1 ; 1)

19

6

19

6

(1; 1)

(1; 1)


90

NOP 7.2.5 Nevera Nieve : Le chiffrier STORM

TABLEAU 7.18


ARC 1ARC 2ARC 3ARC 4ARC 5ARC 6ARC 7ARC 8ARC 9ARC 10ARC 11ARC 12ARC 13ARC 14ARC 15ARC 16ARC 17ARC 18ARC 19ARC 20ARC 21ARC 22ARC 23ARC 24ARC 25ARC 26ARC 27ARC 28ARC 29ARC 30ARC 31ARC 32ARC 33ARC 34ARC 35ARC 36ARC 37ARC 38ARC 39ARC 40ARC 41ARC 42

.D111144664444DD66772277222233DDDD88773355

D.2222114422DD667766DDDD3333DD558877885588

00

186

186

165

165

207

227

145

186

186

124

165

165

165

145

207

186

196

196

186

207

111010101010101010101010101010101010101010

111.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.


91

NOP 7.2.5 Nevera Nieve : une solution optimale

FIGURE 7.29

1 2 3

D

76

4

8

5


92

NOP 7.3.1 Problème du CNRS

TABLEAU 7.19 Tonnages maximaux entre les aéroports

ÀDe A B C D Manaus

Buenos AiresABCD

15––––

2230–––

303520––

–121010–

––101040

FIGURE 7.31 Réseau des vols pour le problème du CNRS

(0 ; 67) 52 (0 ; 15) 12

(0 ; 30) 20

(0 ; 10) 10

(0 ; 10) 10

(0 ; 10) 10

(0 ; 22) 20

(0 ; 10) 10

(0 ; 12)

(0; 3

0)

(0; 2

0)

(0; 3

5)

12 (0 ; 40) 32D

B

A

C

BuenosAires Manaus–1

(0 ; 67) 52


93

NOP 7.4 Sporcau: description du contexte

TABLEAU 7.28 Tableau des distances (en km)

CentreLabo C1 C2 C3 C4 C5

L1L2L3

50250100

400250450

50150250

250300450

200350400

TABLEAU 7.29 Quantités disponibles et requises dans les laboratoires (en tonnes de chair à saucisse)

Laboratoire

Disponibilité Si

L1 L2 L3

240 160 260Total

660

Centre

Demande Dj

C1

120C2

130C3

145C4

125C5

140Total

660

Le coût de transport est de 2$/t le kilomètre.Sporcau recherche, pour les tonnes de saucisses, un plan d’acheminement à coûtminimal des laboratoires aux centres de distribution.


94

NOP 7.4 Sporcau: le réseau

FIGURE 7.36

L1 C1

(240 ; 240)8

1

4

5

5

2 9

9

8

5

36

7

(120 ; 120)

L2

C2

(160 ; 160)

L3

C3

(260 ; 260)

C4

C5

1

(130 ; 130)

(145 ; 145)

(125 ; 125)

(140 ; 140)

5


95

NOP 7.4 Sporcau : le tableau de transport

TABLEAU 7.30

C1 C2 C3 C4 C5 Si

L1

1 8 1 5 4

240

L2

5 5 3 6 7

160

L3

2 9 5 9 8

260

Dj 120 130 145 125 140 660


96

NOP 7.5.1 Xanada : le réseau

FIGURE 7.40

1(5

00; 5

00)

23

45

67

89

z0

%

(0; 5

0)

(0; 1

00)

(0; 1

00)

(0; 1

00)

10 %

6 %

9 %

0 %

(0; 5

0)

(0; 1

00)

10 %

(0; 5

0)

(0; 1

00)

10 %

(0; 5

0)

(0; 5

0)

10 %

9 %

0 %

6 %

9 %

9 %

9 %

0 %

0 %

0 %

6 %

10 %

6 %

(0; 5

0)10

%

0 %

6 %

0 %

9 %

9 %

6 %

6 %

9 %

(0; 1

00)

(0; 1

00)

(0; 1

00)


97

NOP 7.5.3 Provi : le réseau

FIGURE 7.43

(8; •

)(4

; •)

(2; •

)(6

; •)x 1

6

y 16

F 24

P 20

F 20

P 16

F 16

P 12

F 12

P 8

C 8C 1

2C 1

6C 2

0

E 8E 1

2E 1

6E 2

0

80

80

80

64y8

y12

y16

y 8y 12

64

64

(12

; •)

(2; •

)

(15

; •)

(6; •

)

(12

; •)

(1 ; •)

(12

; •)

(4; •

)

x12

x8

x 16

x 12

x 8


98

NOP 7.5.3 Provi : une solution optimale

FIGURE 7.44

8

88

4

11

33

22

26

12

6

00

00

2 7

712

77

12

F 24

P 20

F 20

P 16

F 16

P 12

F 12

P 8

C 8C 1

2C 1

6C 2

0

E 8E 1

2E 1

6E 2

0

1210

156

106

26

1216

4

0


99

NOP 8.1 Projet RESO : description des tâches

TABLEAU 8.1 Projet RESO : implantation d’un réseau micro-informatique

Code DescriptionPrédécesseur(s)

immédiat(s)Durée

(en jours)

A Évaluation initiale – 5B Élaboration de la structure du réseau A 10C Élaboration du plan de formation du personnel A 3D Analyse des coûts B, C 5E Révision des plans et approbation du budget B, C, D 5F Mise en place du câblage E 5G Montage des serveurs F 5H Montage des stations de travail G 3I Installation du logiciel d’exploitation du réseau H 4J Montage des lignes téléphoniques G 5K Montage des ponts G 3L Documentation de la structure du réseau I, J, K 5M Formation du personnel L 8N Négociation de la politique d’entretien H, J, K 2O Élaboration des procédures d’exploitation L, N 5P Élaboration des procédures de copies de sécurité O 5Q Élaboration des procédures d’entretien et de réparation O 5


100

NOP 8.2 Un projet abstrait : description des tâches

TABLEAU 8.2 Un projet abstrait : prédécesseurs immédiats

TABLEAU 8.3 Un projet abstrait : durée des tâches

Tâche Prédécesseur(s) immédiat(s)

TUWXYZ

##U

T, WU

X, Y

RS

UX, Y, R

Tâche Sommets Durée

TUWXYZRSF

112324254

323446565

744568460


101

NOP 8.2 Un projet abstrait : le réseau

4

5

61

3

2

Z

S

XT

U

W Y F

R


102

NOP 8.2 Projet RESO : le réseau

FIGURE 8.1

ML

IH

GF

ED

A

BF

1

C

JF

3

F2

NO

Q

1713

1210

87

65

42

1

3

1615

1411

9

KF

5F

4F

6P


103

NOP 8.3 Projet RESO : le chiffrier STORM

FIGURE 8.3

ROW LABEL SYMBOL ACT TIME START NODE END NODE

EVAL INIT A 5. 1 2PLAN RESEA B 10. 2 3PLAN FORMA C 3. 2 4ANAL COUTS D 5. 4 5REVIS PLAN E 5. 5 6INST CABLA F 5. 6 7INST SERVE G 5. 7 8INST STATI H 3. 8 10INST LOGIC I 4. 10 12INST TELEP J 5. 8 11INST PONTS K 3. 8 9DOC RESEAU L 5. 12 13FORM PERSO M 8. 13 17NEGO ENTRE N 2. 11 14PROC OPERA O 5. 14 15PROC COPIE P 5. 15 17PROC ENT&R Q 5. 15 16FICT 1 F1 0. 3 4FICT 2 F2 0. 9 11FICT 3 F3 0. 10 11FICT 4 F4 0. 11 12FICT 5 F5 0. 13 14FICT 6 F6 0. 16 17


104

NOP 8.3 Projet RESO : sortie graphique de STORM

FIGURE 8.3

BAR CHART: NONCRITICAL ACTIVITIES SORTED BY EARLIEST START

0 57––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+A ccccc |B | ccccccccccc |D | ccccc |F1 | c |E | ccccc |F | cccccc |G | ccccc |H | ccc |I | cccc |L | ccccc |O | cccccc |F5 | c |P | ccccc|Q | ccccc|F6 | cC | xxx........ |J | xxxxx.. |K | xxx.... |F2 | x... |F3 | x... |N | xx..... |F4 | x. |M | xxxxxxxxx..|––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+–––––+


105

NOP 8.3 Projet RESO : sortie numérique de STORM

FIGURE 8.3

ACTIVITIES IN THE ORDER AS ENTERED

Activity Activity Earliest LatestName Symb Time Start/Fin Start/Fin Slack

EVAL INIT A 5.0000 0.0000 0.0000 0.0000 c5.0000 5.0000

PLAN RESEA B 10.0000 5.0000 5.0000 0.0000 c15.0000 15.0000

PLAN FORMA C 3.0000 5.0000 12.0000 7.00008.0000 15.0000

ANAL COUTS D 5.0000 15.0000 15.0000 0.0000 c20.0000 20.0000

REVIS PLAN E 5.0000 20.0000 20.0000 0.0000 c25.0000 25.0000

INST CABLA F 5.0000 25.0000 25.0000 0.0000 c30.0000 30.0000

INST SERVE G 5.0000 30.0000 30.0000 0.0000 c35.0000 35.0000

INST STATI H 3.0000 35.0000 35.0000 0.0000 c38.0000 38.0000

INST LOGIC I 4.0000 38.0000 38.0000 0.0000 c42.0000 42.0000

INST TELEP J 5.0000 35.0000 37.0000 2.000040.0000 42.0000

INST PONTS K 3.0000 35.0000 39.0000 4.000038.0000 42.0000

DOC RESEAU L 5.0000 42.0000 42.0000 0.0000 c47.0000 47.0000

FORM PERSO M 8.0000 47.0000 49.0000 2.000055.0000 57.0000

NEGO ENTRE N 2.0000 40.0000 45.0000 5.000042.0000 47.0000

PROC OPERA O 5.0000 47.0000 47.0000 0.0000 c52.0000 52.0000

PROC COPIE P 5.0000 52.0000 52.0000 0.0000 c57.0000 57.0000

PROC ENT&R Q 5.0000 52.0000 52.0000 0.0000 c57.0000 57.0000

FICT 1 F1 0.0000 15.0000 15.0000 0.0000 c15.0000 15.0000

FICT 2 F2 0.0000 38.0000 42.0000 4.000038.0000 42.0000

FICT 3 F3 0.0000 38.0000 42.0000 4.000038.0000 42.0000

FICT 4 F4 0.0000 40.0000 42.0000 2.000040.0000 42.0000

FICT 5 F5 0.0000 47.0000 47.0000 0.0000 c47.0000 47.0000

FICT 6 F6 0.0000 57.0000 57.0000 0.0000 c57.0000 57.0000

The computations were based on 23 activitiesEarliest project completion time = 57.0000


106

NOP 8.4 Émission d’actions : description des tâches

TABLEAU 8.4

Code Description PrédécesseursDurée

(en jours)

A Obtention du mandat d’émission # 0B Élaboration de la stratégie de vérification A 2C Élaboration et approbation du budget de la vérification B 2D Sélection du personnel (incluant le personnel spécialisé

en informatique) B 0,5E Formation du personnel (pré-audit) A, D 0,5F Sélection des échantillons B 1G Établissement des travaux préparatoires effectués

par le client B, F 0,5H Coordination et exécution des travaux de vérification

informatique C, D, F 3I Coordination et exécution des mandats confiés

à des cabinets affiliés H 10J Coordination et exécution du travail chez le client E, H 20K Revue des dossiers complétés chez le client J 3L Revue des dossiers confiés à des cabinets affiliés I 2M Revue des états financiers du client P, K, L 2N Rencontre avec le client pour corriger les erreurs

éventuelles M 1O Préparation du rapport destiné aux actionnaires

et au comité de vérification N 1P Exécution par le client des travaux préparatoires G 3


107

NOP 8.4 Émission d’actions : réseau et moments au plus tôt

FIGURE 8.4

O 1

N 1

M

K 3

3 P

J 20

E 0,5

L 2

I 10 F3

F2

H 3

C 2

B 2

G 0,5

211

9

F1

1 F D 0,5

75

2

43

810

6

112

1314 34

3332

30

27

17

3,5 7

7

2,5

4

3

02


108

NOP 8.4 Un projet abstrait : coûts d’accélération

TABLEAU 8.6

Tâche

Programme normal Programme accéléréCoût d’accélération

(en $/période)Durée Coût (en $) Durée Coût (en $)

TUWXYZRS

74456846

7 00020 000

4 00010 00012 000

8 0008 000

18 000

44244535

10 00020 000

8 00014 00017 00014 00011 00021 000

1 000–

2 0004 0002 5002 0003 0003 000


109

NOP 8.4 Un projet abstrait : le modèle linéaire pour l’accélération NOP 8.4 des tâches à coût minimal

FIGURE 8.7

On cherche à minimiser la fonction-objectif

1 AccT + 2 AccW + 4 AccX + 2,5 AccY + 2 AccZ + 3 AccR + 3 AccS

sous les contraintes suivantes:

DEBUT PROJ : x1 = 0FIN PROJET : x6 " 18MAXACCEL U : AccU " 0DUREE U : – x1 + x2 + AccU ! 4MAXACCEL T : AccT " 3DUREE T : – x1 + x3 + AccT ! 7MAXACCEL W : AccW " 2DUREE W : – x2 + x3 + AccW ! 4MAXACCEL Y : AccY " 2DUREE Y : – x2 + x4 + AccY ! 6MAXACCEL R : AccR " 1DUREE R : – x2 + x5 + AccR ! 4MAXACCEL X : AccX " 1DUREE X : – x3 + x4 + AccX ! 5DUREE F : – x4 + x5 ! 0MAXACCEL Z : AccZ " 3DUREE Z : – x4 + x6 + AccZ ! 8MAXACCEL S : AccS " 1DUREE S : – x5 + x6 + AccS ! 6

NON-NÉGATIV : 0 " xj j = 1 à 60 " Acct t = T, U, W, X, Y, Z, R, S


110

NOP 8.5 Un projet abstrait, version PERT : durée des tâches

TABLEAU 8.7

Tâche Sommets

Durée

opt m pess

TUWXYZRSF

112324254

323446565

531345340

744568460

125778

147

110


111

NOP 8.6 Projet abstrait et réseau potentiels-tâches

TABLEAU 8.8 Un projet abstrait : description

FIGURE 8.9 Un exemple abstrait : le réseau potentiels-tâches

Tâche Prédécesseur(s) immédiat(s) Durée

TUWXYZRS

––U

T, WU

X, YU

X, Y, R

74456846

T

D

U

W Y F

X

Z

S

R


112

NOP 8.6 Projet abstrait et réseau potentiels-tâches : moments

FIGURE 8.10 Un exemple abstrait : débuts au plus tôt et au plus tard

Début0

U0 0

R

4Z

13 13

Fin21

T0 1

W4 4

Y4 7

X8 8

S13 15

7

54

4

4

4

5

6

6

6

8

114


113

NOP 8.6 Contraintes des modèles linéaires avec et sans accélération

Contraintes technologiques du modèle linéaire sans accélération

U AVANT W : – Déb(U) + Déb(W) ! 4

T AVANT X : – Déb(T) + Déb(X) ! 7

W AVANT X : – Déb(W) + Déb(X) ! 4

U AVANT Y : – Déb(U) + Déb(Y) ! 4

X AVANT Z : – Déb(X) + Déb(Z) ! 5

Y AVANT Z : – Déb(Y) + Déb(Z) ! 6

U AVANT R : – Déb(U) + Déb(R) ! 4

X AVANT S : – Déb(X) + Déb(S) ! 5

Y AVANT S : – Déb(Y) + Déb(S) ! 6

R AVANT S : – Déb(R) + Déb(S) ! 4

Z AVANT FIN : – Déb(Z) + DuréeP ! 8

S AVANT FIN : – Déb(S) + DuréeP ! 6

Contraintes technologiques du modèle linéaire avec accélération

U AVANT W : – Déb(U) + Déb(W) ! 4

T AVANT X : – Déb(T) + Déb(X) + Acc(T) ! 7

W AVANT X : – Déb(W) + Déb(X) + Acc(W) ! 4

U AVANT Y : – Déb(U) + Déb(Y) ! 4

X AVANT Z : – Déb(X) + Déb(Z) + Acc(X) ! 5

Y AVANT Z : – Déb(Y) + Déb(Z) + Acc(Y) ! 6

U AVANT R : – Déb(U) + Déb(R) ! 4

X AVANT S : – Déb(X) + Déb(S) + Acc(X) ! 5

Y AVANT S : – Déb(Y) + Déb(S) + Acc(Y) ! 6

R AVANT S : – Déb(R) + Déb(S) + Acc(R) ! 4

Z AVANT FIN : – Déb(Z) + DuréeP + Acc(Z) ! 8

S AVANT FIN : – Déb(S) + DuréeP + Acc(S) ! 6

DURÉE PROJ : DuréeP " 18

MAXACCEL T : Acc(T) " 3

MAXACCEL W : Acc(W) " 2

MAXACCEL X : Acc(X) " 1

MAXACCEL Y : Acc(Y) " 2

MAXACCEL Z : Acc(Z) " 3

MAXACCEL R : Acc(R) " 1

MAXACCEL S : Acc(S) " 1


114

NOP 8.6 Le réseau potentiels-tâches du projet RESO

FIGURE 8.11 Projet RESO : le réseau potentiels-tâches

Déb

ut0

A 0 0

D15

15

G30

30

B 5 5 C

5 1

2

E20

20

F25

25

55

5

10 3

5

5

G30

30

N40

45

H35

35

I38

38

K35

39

L42

42

3

3

5

5

O47

47

Fin

57Q

52 5

2

P52

52

M47

49

5

8

5

J35

37

55

33

5

2

4

5

5

55

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