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Chapitre II Structures de poutres

II - Structures de poutres

Au cours de ces deux trois dernires dcennies, les outils d'analyse disponibles pourl'ingnieur se sont modifis et accrus, surtout ceux utilisant les mthodes numriquesinformatises pour la modlisation gomtrique et la simulation du comportement. [7]

Argyris publie en 1955 une approche unifie de la mthode des forces et desdplacements. En 1956, Turner et Clough publient une prsentation systmatique de lamthode des dplacements.

Des lments de membrane, de coque, de volume sont ensuite dvelopps et desouvrages de rfrence dits: Zienkiewicz (1967), Gallagher (1975), Bathe et Wilson(1976), Dhatt et Touzot (1984), Hugues (1987), Batozet Dhatt (1990, 1992).

Dans le domaine de calcul des structures discrtises, ce sont les mcaniciens qui ontutilis en premier les mthodes matricielles, et plus particulirement la Mthode desElments Finis (M.E.F.), pour l'analyse d'assemblages de poutres.

A - Treillis plan de barresDans ce qui suit, ne sont mises en vidence que les notions importantes utiles la

comprhension du reste de l'expos. Se reporter l'annexe pour les autres dtails.

1 - Exemple

Soit une structure plane constitue de 2 barres articules leurs extrmits quilibrantun effort extrieur d'origine non prcise. Les deux lments finis sont les deux barresconnectes entre elles et au support par l'intermdiaire "d'objets" appels nuds.

Ici, on peut imaginer ces nuds comme des axes connectant les lments. Les effortsextrieurs connus sont appliqus sur ces nuds et les liaisons imposes le sont aussi auniveau des nuds.

[F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


L'tude statique en lasticit linaire consiste, connaissant les caractristiques deslments-barres (matriau, section) et la gomtrie de la structure, calculer :

- les dplacements des nuds non lis au support;- les efforts de liaison exercs par le support sur les nuds concerns;- les contraintes dans les barres.

2 - Matrice de rigiditUn lment est caractris par une matrice de rigidit (ou de raideur) reliant les efforts

exercs par les nuds (ici i et j) aux dplacements de ces nuds. [8]Base locale l'lment (f - n - 2) Base globale la structure

i\^' /v ^ /,f/\ "'"/'. / F X j />

TKNI/isL uU/^ UJ FYit// ,' fr-n-i,Tj 0 0 0 0 vi ^e = F du noeud 'sur '' lment e : barre i - j

Pour effectuer des oprations matricielles, un changement de base est effectu afinque la relation prcdente soit exprime en base globale. Chaque sous-matrice devient :

KJ:^ Rjj.Kjj.Rjj R:: = ~- = -- . - Fp = Kp.Up (r-II-2)IJ IJ u IJ

L-sina cosaJ LFHeJ LKJ' I KJjJLUJj

Pour cette structure plane, a est l'angle entre l'axe X (global) et l'axe x (local).

3 - AssemblageA l'quilibre du nud 1 de la structure prcdente, correspond l'quation matricielle :Fext->i - F^ + F^ et donc : F^ = F, = [^ + K^j.U, -h K2.U2 + K*3.U3Ces relations, pour tous les nuds, correspondent l'opration d'assemblage :

F, K^ + K^ K12 K13 U-jF2 = K21 K22 - U2 F = K.U : pour la structure complte, (r-n-3)F if ii if ii eL. 3J L 31 33J LU3>

II-2 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


4 - Rsolution

On remarque qu'il y a autant d'quations que d'inconnues, sachant que dans U, lesinconnues de dplacements sont: Uxi et UY1 et dans F, celles d'efforts sont: FX2, FY2,FX3, FY3.

Les dplacements sont calculs en premier, d'o la dsignation : "mthode des dpla-cements".

La connaissance de tous les dplacements permet le calcul des efforts de liaison puisle calcul des contraintes dans chaque lment.

RemarqueLes matrices K et Ke sont symtriques et, moyennant une numrotation approprie des

nuds, K prend la forme d'une "matrice-bande".

B - Ossature plane de poutres

Dans ce qui suit, ne sont mises en vidence que les notions juges utiles pour la suitede l'expos. Se reporter l'annexe n pour d'autres dtails.

1 - Matrice de rigiditComme prcdemment et pour tous les lments suivants, elle relie les efforts exercs

par les nuds sur l'lment considr aux dplacements de ces nuds.

Pour une poutre droite, qui se diffrencie de l'lment prcdent par le fait que lesnuds peuvent transmettre des moments aux extrmits, la matrice de raideur fait aussiintervenir le moment quadratique I [8]. $

n\5 ^J^V / .

^/Mj '-"~~~/^ ^s' >K&i s' UJ

Ti * NiX"!- , E> S' ! U> /XX^L

.^\ vi^ iMl

"V VN

2 - Fonctions d'interpolation

En ngligeant l'influence de l'effort tranchant, la matrice prcdente peut tre obtenueen utilisant les formules de Bresse. Une autre mthode consiste utiliser des fonctionsd'interpolation sur les dplacements [3] :



b - Matrice de raideur

Les fonctions prcdentes, polynmes d'Herm/fe, permettent le calcul de la matrice deraideur en considrant l'galit :

f J(^- + ^ ).dx = f "U. Ke . De EI.vlxx = Mf ES.u,x = N o f,x = -jp- EU* X EU. O (Jj\

(r-II-6)o : u,x = Ni ,x . ui + N2,x . uj v,xx = N3,xx . vi + N4,xx . 0i + N5,xx . vj + Ne.xx . 9j

En tenant compte de l'influence de l'effort tranchant T, cette matrice devient :

'ES -ESL L

12.EI 6.EI -12. El 6.EIL3.(1 + ) L2.(1 + X) L3.(1 + ) L2.(1 + X)

6.EI El. (4 +A.) -6.E.I EI.(2-X)R _ L2.(1 + ) L.Q + ) L2.(1 + X) L(1 + X). , _ 12.E.IKe- ^g-g ES ~ sTJ }

L L-12.E.I -6.E.I 12.E.I -6.E.I

L3.(1 + ) L2.(1 + ) L3.(1 + ) L2.(1 + )6.E.I EL (2-) -6.E.I EL (4 + )

L2.(1 + ) L(1 + X) L2.(1 + ) L(1 + )

3 - Charges en traveAprs assemblage, le systme linaire rsoudre (F=K.U) ne fait intervenir que les

efforts extrieurs (forces et moments) appliqus sur les nuds. Toute charge agissant surune poutre doit donc tre pralablement dcompose en efforts quivalents imposs auxnuds.

Pour une charge rpartie - p(x) suivant l'axe de la poutre, q(x) dans une directionperpendiculaire - et en utilisant le thorme des travaux virtuels, les efforts quivalentsNi, fi, Mi, Nj, fj, Mj sont calculs avec les galits :

TN3] fti"f / \ */ \ _i F~- A- " A - I f N4 r^. -* ^, .^-i MiJq(x).v(x).dx = [vi 61 vj 8jj.Jq.

N5 .dx = [vi 6i vj 9jJ. ^

|_N6J LMJ_(r-II-8)

I I r~ "i I"" '* ""

f / \ ^/ \ j r^- ^-i f N1 r/s. /S.T fSliJp(x).u(x).dx = [u. uj].Jp|N2J.dx = [u. uj].

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4 - Rsolutions

Rappel : toutes les formulations prcdentes correspondent des petits dplacements.

a Statique

Comme pour les treillis plans, et aprs sommation des efforts quivalents dus auxcharges en trave aux efforts directement imposs aux nuds, le systme rsoudre estde la forme : F = K U .

Des calculs de diagrammes de moment de flexion, d'effort tranchant, d'effort normal etde dplacement de la ligne moyenne sont ensuite effectus pour chaque poutre.

b - Dynamique : vibrations libres

Les polynmes N(x) donnent les coefficients de la matrice masse-consistante enexprimant l'nergie cintique (inertie de rotation de section droite nglige [3]) :

L _f JP.S.((U,t)2+(V,t)2).dX = -l. 'e . Me . e (r-II-9)

0

La recherche des modes propres (valeurs et vecteurs propres) s'effectue en rsolvantle systme : M . + K. U = 0.

Les dformes modales sont ensuite traces en utilisant les fonctions Ni(x).

c - Dynamique : vibrations forcesAvec amortissement, la formulation matricielle devient : M . + C . + K .U = F(t)

La rsolution peut se faire par superposition modale (voir annexe H) ou intgrationdirecte pas pas [2].

Cette expression sera reprise lors de l'expos sur la mthode de "dynamique explicite".

d - Bifurcation d'quilibre

A ce type d'tude, correspondent aussi les dsignations: "stabilit initiale" ou "flambageclassique" [7]. Cela consiste rechercher des valeurs et vecteurs propres.

Pour le mode n: [K + A,n.Kg].Qn = 0 o Kg = Kg(P): matrice gomtrique.

Il y a instabilit suivant le mode n si le chargement P servant calculer Kg estmultipli par A,n.

il - 6 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.


5 - Matrice gomtriqueAvant une utilisation ultrieure systmatique lors d'un calcul dans le domaine lastique

mais en non-linarit gomtrique, la notion de matrice "gomtrique" est dveloppe icide manire simple, physiquement interprtable. [6]

En tenant compte de l'influence du dplacement transversal (v), la dformation suivantune direction parallle la ligne moyenne a pour expression :

devi ^e = u,x-y.0,x+f(v,x)2 ov,x=~ -L- J3y -j^ l-!>

3X I dx j I dx .

Avec:JJy.ds = 0 et JJy2-dS = 1, l'nergie de dformation devient, limite cet ordre :Z

L L

iJJjE.a.dv = iJJJe.E.^^^0 0

La dernire intgrale, en considrant un effort normal N=E.S.(u,x) constant, donne :

f o l fui"N3,x vi

L L M4 v QifN.J(v,x)2.dx=f[ui vi 6i uj vj 9j]. N.J ' .[0 N3,x N4,x 0 N5,x N6,x].dx .

o o 0 ujN5,x vj

LN6'XJ jLei~0 0 0 0 0 0 "0 36 3.L 0 -36 3.L

i.^.dx^.'e.^.e; ^-^.0 ^ f l '30L ^


C - Complments

1 - Rsum des principales notions

- nuds et lments;- fonctions d'interpolation (Hermite)]- matrice de rigidit (base locale ou globale);- assemblage;- efforts quivalents;- mthode des dplacements;- matrice de raideur gomtrique.

2 - Bibliographie du chapitre IIPour ce qui concerne plus particulirement le calcul par lments finis d'assemblages

de poutres, des renseignements supplmentaires peuvent tre trouvs dans les ouvragessuivants :

[1] BATOZ, J.L, DHATT, G., Modlisation des structures par lments finis - Poutres etplaques, Volume. 2, Herms, Paris, 1990, 483 pages.

[2] CAPRA, A., DAVIDOVICI, V., Calcul dynamique des structures en zone sismique,Eyrolles, Paris, 1982,164 pages.

[3] COFFIGNAL, G., Mcanique des vibrations, Cours polycopi ENSAM, Paris, 1983,144 pages.

[4] DUBIGEON, S., Mcanique des milieux continus, Tome 3, Elments finis, polycopiENSM, Nantes, 1985, 88 pages

[5] DHATT, G., TOUZOT, G., Une prsentation de la mthode des lments finis,Maloine, 1984, 450 pages.

[6] GACHON, H., Mcanique des structures barres, Fascicule 3, Cours polycopi,ENSAM, Paris, 1986, 165 pages.

[7] IMBERT, J.F., Analyse des structures par finis, Editions CEPADUES,Toulouse, 1991, 505 pages.

18] MASSONNET, C., G., R.f MULLER, R., G.,Calculs des structures sur ordinateur Tome 2 , Eyrolles, Paris, 1972, 275

[9] ROCKEY, K.C., EVANS, H.R., GRIFFITHS, D.W., NETHERCOT, D.A.,Introduction la des finis, Eyrolles, Paris, 1979, 228 pages.

[10] WANG, PC, Calcul des structures par les numriques et matricielles,Dunod, Paris, 1969, 435 pages.

II-8 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

ainsi que 4 x 12 et 4 x 36 poutres dont les figures ne sont pas donnes ici.

b - Donnes numriques

Le rayon de la structure "circulaire" ainsi forme est gal = 3 m.

Les liaisons sont constitues d'une articulation en C et d'un appui horizontal en A oagit un effort vertical F = 1000 daN.

La section des poutres est rectangulaire - b = 81 cm, h = 4 cm - ce qui conduit unesection de 324 cm2 et un moment quadratique I = 432 cm4 (I = IGZ autour d'un axenormal au plan de la figure).

Le matriau a pour caractristiques : E = 2000000 daN/cm2 et v = 0,3.

II-9


D - ExempleL'exemple trait dans ce qui suit permet de mettre en vidence l'influence du nombre

de poutres dans le cas d'une structure de forme circulaire .

1 - Donnes

a - Modlisation gomtriqueLa structure prsente une double svmtrie et seot discrtisations sont tudies :


Chapitre II Structures de poutresf(-MD+-.R(1-cos9)).R.de = 0=>MD=-.R -o 2 2 n

i . ' . i *t A- i * -A i i 4 f. 2 r^ i/x F .R f 7l 2 1 F. VALnergie de dformation s crit : U = jM^.RdG = = ~ (r-n-ii)

Cette quation donne l'expression de VA prcise prcdemment.

il -10 [F.SABOURIN E.SALLE], [2000], INSA de Lyon, tous droits rservs.

Page de titreTable des matiresI - IntroductionII - Structures de poutresA - Treillis plan de barresB - Ossature plane de poutresC - ComplmentsD - Exemple

III - Elasticit plane et axisymtrieIV - Flexion des plaquesV - CoquesVI - Non linarit gomtriqueVII - Non linarit matrielleVIII -`S-+D`TH:@~jAnnexes

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