GM202

- 1 – BOUAZIZI Mohamed Lamjed I.S.E.F.C- Département des Sciences Physiques E-mail: [email protected] et Techniques : Cours de vibration-Février_2007

Présentée à

L’INSTITUT SUPERIEUR DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION CONTINUE (I.S.E.F.C.) –DÉPARTEMENT DES SCIENCES PHYSIQUES ET TECHNIQUES

Par

BOUAZIZI Mohamed Lamjed


SOMMAIRE

Introduction générale 3 I- Cas linéaire

Chapitre 1 : Notions générales 4

1.1 : Introduction 4 1.2 : Caractérisation des actions 5 1.2.1 : Chargement déterministe 5 1.2.2 : Chargement aléatoire 8

Chapitre 2 : Système mécanique linéaire à un degré de liberté (1 ddl)

9

2.1 : Définition d’un ddl 9 2.2 : Discrétisation 9 2.3 : Equation de mouvement de l’oscillateur élémentaire de la mécanique 10

2.4 : Régime libre de l’oscillateur élémentaire 13 2.5 : Régime permanent harmonique 19 2.6 : réponse de l’oscillateur à une force quelconque 25 I- Cas non linéaire

Chapitre 3 : Traitement des systèmes non linéaire 26

Introduction 26 3.1 : Formulation analytique 28

3.2 : Algorithme de résolution 31 3.3 : Exemple : Le pendule élastique 32 3.4 : Résultats numériques 33

Annexes 1 et 2 36

Références bibliographiques 37


INTRODUCTION Les vibrations mécaniques apparaissent dans toutes les structures, constructions de génie civil et éléments de machines, automobile, aéronautique etc… Elles ont une influence non négligeable sur le fonctionnement et la durée de vie de ces structures. Très longtemps, on a étudié les vibrations des structures et des machines dans le but de les atténuer et si possible de les supprimer afin de résoudre les problèmes de bruit, de confort et de tenue en fatigue. Exemples de vibrations perturbatrices à combattre : - Vibration de certains organes de machines qui est la cause d’imprécision, de bruit

et d’usure ; - Les vibrations des voitures, des avions, des trains, des bateaux provoquent des

inconvénients majeurs par exemple l’inconfort des voyageurs et diminuent parfois gravement la sécurité de conduite de ces véhicules ;

- Les vibrations peuvent conduire à la rupture. On peut citer l’exemple des grandes structures métallique ou les vibrations peuvent atteindre des proportions catastrophiques (rupture du pont suspendu de San Francisco entraînée par le vent).

L’étude des vibrations de structure est aujourd’hui encore essentielle mais n’est plus la seule. On construit actuellement de plus en plus d’appareils qui utilisent les vibrations pour remplir une fonction désirée. Citons par exemple : - Vibreurs mécaniques et ultrasoniques de toute sortes (appareil de détartrage

dentaire, moteur à ultrason….) ; - Usinage par ultrason ; - Polisseurs à vibrations.

En ce qui concerne le sujet des vibrations perturbatrices, on peut dire qu’une légère modification constructive peut réduire notablement les vibrations. Cela ne signifie pas qu’il soit toujours facile de corriger une machine ou une structure existante, mais cela prouve la nécessité de se préoccuper des vibrations dans tout projet de construction. L’étude de base est celle d’un système à un ddl. Nous verrons par la suite, que pour les systèmes faiblement amortis, l’analyse modale permet d’interpréter le mouvement d’un système linéaire à N ddl comme la superposition des mouvements de N systèmes linéaires fictifs à un ddl.


CHAPITRE 1 NOTIONS GENERALES

1.1 INTRODUCTION Un phénomène d'origine dynamique se caractérise par une sollicitation variant à la fois dans le temps et dans l'espace, dans lequel les forces d'inertie, produit de la masse par l'accélération, jouent un rôle significatif dans la réponse. Par abus de langage, le terme "chargement dynamique" est souvent et improprement attribué à des phénomènes dont la seule caractéristique est d'être variable dans le temps; si la vitesse de chargement est lentement variable, l'accélération est faible et les forces d'inertie ne représentent plus une part significative de la réponse. De tels phénomènes sont qualifiés de cycliques, si la charge est alternée ou de quasi-statique monotone. A titre d'exemple, on citera :

Phénomène quasi-statique monotone: mise en charge lente d'une structure par une force ( )P t croissante (figure 1.1a) dans lequel ( )P t varie "lentement"; les seules forces appliquées à la poutre sont, outre la force ( )P t , les réactions ( )R t aux points d'appuis, elles aussi variables dans le temps;

Phénomène impact de la structure résultant par exemple d'une chute de missile, produisant une force P(t); les forces appliquées sont alors la force ( )P t , les réactions '( )R t aux points d'appuis et les forces d'inertie ( )if t dépendant de la répartition des masses et des accélérations dans la structure (figure 1.1b);

Chargement cyclique : sollicitation de la structure de la figure_1a par une force lentement croissante, puis décroissante; c'est le cas de l'action de la houle sur une plate-forme offshore;

Chargement dynamique alterné : la force ( )P t varie rapidement de façon croissante, puis décroissante comme dans le cas d'une machine vibrante posée sur la structure de la figure 1.1a. Ce type de chargement est également celui induit par une sollicitation sismique imposée à la structure.


1.2 CARACTÉRISATION DES ACTIONS Les actions agissant sur les structures peuvent être classées en sollicitations déterministes et aléatoires, suivant le degré de connaissance de celles-ci, et pour les sollicitations déterministes en actions périodiques, impulsives ou entretenues suivant leur forme de variation dans le temps. A chaque type d'action correspond un mode de caractérisation et une méthode de résolution la mieux appropriée. 1.2.1 CHARGEMENT DETERMINISTE Si le chargement appliqué est parfaitement défini par sa variation temporelle et spatiale, le chargement est qualifié déterministe. Un tel chargement peut être : i) Périodique si le diagramme de chargement se reproduit à l'identique au bout d'une durée T, appelée période de la sollicitation. Parmi les chargements périodiques, on distinguera les chargements harmoniques. Un chargement harmonique est typiquement celui engendré par une machine tournante (figure 1.2). La sollicitation est définie par son amplitude A, et sa pulsation ω. Elle est décrite par une fonction sinusoïdale :

( )=A sin( )y t tω (1.1) On verra dans la suite du cours qu'il est souvent pratique de définir les sollicitations harmoniques sous la forme d'une fonction complexe :

(i )( )= e ty t ωρ (1.2)où bien évidemment seule la partie réelle de l'équation (1.2) a une signification. Dans l'équation (1.2) ρ est un nombre complexe. Le chargement peut être également périodique, sans être harmonique; on le qualifier a

d'anharmonique. Ce type de chargement est celui engendré, par exemple, par un propulseur de navire (figure 1.3). L'analyse de Fourier nous indique que le chargement


peut être exprimé comme une somme de chargements harmoniques caractérisés chacun par une amplitude Aj et une pulsation ωj. Reprenant la formulation de l'équation (1.2) un tel chargement s'écrit sous la forme d'une somme d'harmoniques :

0

+i(j )

j( )= A e t

jy t

∞ω

= − ∞∑ (1.3)

où 0ω est la pulsation de l'harmonique fondamentale.

ii) non périodique, de type impulsif ou entretenu; le chargement ne se reproduit pas à l'identique après un intervalle de temps T. Le chargement impulsif est caractérisé par une sollicitation de faible durée totale, telle celle induite par le front d'une onde de choc heurtant la structure (figure 1.4). Par faible durée, il faut entendre une sollicitation dont la durée est petite en regard de la période de vibration de la structure. Un tel chargement est défini par sa variation temporelle

( )= ( )y t f t (1.4) Si l'on ne s'intéresse qu'à la réponse maximale de la structure sous l'effet de cette impulsion, on verra qu'il est possible de caractériser ce chargement à l'aide d'une quantité simplifiée, appelée spectre de choc. Le spectre de choc définit le déplacement maximal d'une structure simplifiée (oscillateur à 1 degré de liberté; cf. chapitre 2) soumis au chargement (1.4).


Le chargement entretenu peut être défini comme le chargement résultant d'une succession d'impulsions. C'est typiquement le cas d'une sollicitation sismique si l'accélération du sol est connue de façon déterministe (figure 1.5).

Par opposition au chargement impulsif, la durée totale de la sollicitation est grande vis-à-vis de la période propre de la structure. Typiquement une sollicitation non périodique entretenue peut être définie à l'aide d'une équation du type (1.4). On verra cependant que des méthodes de résolution avantageuses des équations du mouvement font appel à l'analyse fréquentielle pour laquelle la sollicitation est définie par son spectre de Fourier, qui n'est autre que l'analogue de l'équation (1.3) pour une fonction non périodique.

+i

( )1( )= A e

2ty t d

∞ω

ω ω

− ∞π ∑ (1.5)

De façon similaire à la sollicitation impulsive, si l'on ne s'intéresse qu'à la réponse maximale de la structure, la sollicitation pourra être définie par son spectre de réponse qui caractérise le déplacement maximal d'une structure à 1 degré de liberté soumise à la sollicitation (1.4) représentée sur la figure 1.5.


1.2.2 CHARGEMENT ALEATOIRE Beaucoup des chargements sollicitant les structures de Génie Civil ne peuvent être définis de façon déterministe par une équation du type (1.4). Ils ne sont généralement connus que par leur valeur moyenne. Il s'agit typiquement des mouvements vibratoires engendrés par le trafic ferroviaire ou routier (figure 1.6), le vent…. La sollicitation est dite aléatoire et est représentée par sa densité spectrale de puissance (DSP). La réponse de la structure à des chargements aléatoires, fait l'objet de la dynamique stochastique qui ne sera pas abordée dans ce cours.


CHAPITRE 2

SYSTEME MÉCANIQUE LINÉAIRE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ (1DDL)

1.1 DEFINITION D’UN DDL Un système ne possède qu’un seul DDL quand son état peut être décrit dan un seul paramètre. Exemples : - Un pendule se déplaçant dans un seul plan (figure 2.1a). - Une masse guidée suspendue par un ressort (figure 2.1b). - Un circuit électrique ne comportant qu’une seule boucle (figure 2.1c).

Figure 2.1a Figure 2.1b Figure 2.1c Plus généralement, si la description du système requiert N paramètres, le système sera à N DDL. Exemples : - Un disque qui roule sans glissement : 1DDL. - Un disque qui roule avec glissement : 2 DDL. - Une poutre encastrée libre : ∞ DDL.

1.2 DISCRETISATION En général, tout système mécanique à une infinité de DDL – une masse ne peut pas être parfaitement rigide, un ressort ne peut pas être sans masse. Une modélisation discrète remplace les caractéristiques de la masse par une ou plusieurs masses équivalentes. Les caractéristiques de la rigidité du système sont remplacées par une modélisation de plusieurs ressorts linéaires (figures 2.2).


Figure 2.2

Le système continu est caractérisé par ses dimensions E et ρ (module d’Young et densité). Le modèle discret est constitué d’éléments de raideur k et de masse m qui donnent les mêmes caractéristiques dynamiques que le système réel. On suppose que le raideur k et une constante. Donc la force agissant sur la masse f kx= ou x est le déplacement.

Le valeur de k est fonction des caractéristiques statiques du système réel. Le valeur de m est fonction des caractéristiques dynamique du système réel.

( ) ( )modm éle m réel⟩ pour un modèle a un degré 1.3 EQUATION DE MOUVEMENT DE L’OSCILLATEUR

ELEMENTAIRE DE LA MECANIQUE On désigne sous le nom d’oscillateur élémentaire linéaire un système mécanique à un degré de liberté dont le comportement en fonction du temps est traduit par une équation différentielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants. Rappelons qu’un système mécanique possède un seul degré de liberté, quand sa configuration peut être à chaque instant caractérisée par une seule variable. L’oscillateur mécanique élémentaire comprend les éléments représentés par la figure ci-dessous.

Figure 2.3 Soit :

Une masse m indéformable Un ressort sous masse qui fournit une force élastique proportionnelle et

opposé au déplacement ( )x t le coefficient de proportionnalité k est appelé régidité ou raideur du ressort

Un amortisseur qui fournit une force de freinage proportionnelle et opposé à la vitesse ( )x t . Le coefficient de proportionnalité c est appelé constante d’amortissement visqueux linéaire ou résistance.

x(t)

m

c

k

F(t)


1.3.1 EQUATION DE MOUVEMENT ET REGIMES VIBRATOIRES Si une force extérieure ( )f t agit sur la masse, la loi de Newton s’écrit

( )mx kx cx f t= − − + Soit

( )mx cx kx f t+ + = (1)

Il s’agit bien d’une équation différentielle du second ordre, linéaire et à coefficients constants. On distingue

Le régime libre : Correspondant à la solution générale de l’équation différentielle sans second membre

( )( )0f t = . Si en plus cx est nul (ou négligé), le régime est dit régime libre conservatif correspondant à la solution de l’équation 0mx kx+ =

Le régime force : Correspondant à la solution complète avec second membre. Il dépend donc essentiellement de la nature de ( )f t force pulsionnelle, harmonique, périodique de forme quelconque, aléatoire, etc…

Le régime permanent : Est le régime forcé, après disparition des termes translatoires provoqué par une force périodique. Il n’est pas influencé par les conditions initiales. NB : Quant le système est conservatif (amortissement nul), il n’excite pas de régime permanent puisque le comportement du système est influencé par les conditions initiales.

1.3.2 FORMES MODIFIEES DE L’EQUATION DE MOUVEMENT Revenons à l’équation (1). Elle exprime que la force extérieure c est égale à la somme de 3 forces (Force d’inertie + Force de résistance visqueuse + Force élastique)

( )mx cx kx f t+ + = Divisons par la masse :

( )122c kx x x f tm m m

+ + =

En introduisant les notations suivantes:

* 20 0

km

k mω ω= ⇒ = Pulsation propre du système conservatif (2)

* 2cm

λ = Coefficient d’amortissement (3)

*0 02

cm

ληω ω

= = Amortissement relatif (ou facteur d’amortissement) (4)


Dés lors, l’équation différentielle s’écrit :

( )20

12x x x f tm

λ ω+ + = (5)

Les quatre termes ont la dimension physique d’une accélération. Si l’on divise (1) par la régidité k , l’équation comporte des termes ayant la dimension d’un déplacement.

( )1m cx x x f tk k k

+ + = (6)

Le second membre représente le déplacement élastique que provoquerait la force extérieure si le système ne comportait que la régidité k .

( ) ( )e

f tx t

k= (7)

En utilisant les définitions précédentes, l’équation devient :

( )2 20 0

1 2ex x x x tλ

ω ω+ + = (8)

Cette dernière forme de l’équation du mouvement convient bien quand on recherche le régime forcé provoqué par un déplacement imposé au système. 1.3.3 INTERPRETATION ENERGETIQUE DE L’EQUATION DE MOUVEMENT

DU SYSTEME LIBRE Nous avons vu que l’équation de mouvement

0mx cx kx+ + = Au terme d’inertie est associée la forme quadratique énergie cinétique

212cmx E mx→ = (9)

Au terme de raideur est associée la forme quadratique énergie potentielle de déformation

212pkx E kx→ = (10)

L’énergie mécanique E du système est la somme de l’énergie cinétique et l’énergie potentielle.

c pE E E= + (11)

La condition pour que E reste constante au cours du mouvement :

0pc dEdEdEdt dt dt

= + =


[ ]0 0 0dE x mx kx mx kxdt

= ⇒ + = ⇒ + =

Pour cette raison, on dit qu’un système est conservatif lorsque son équation de mouvement est donnée par 0mx kx+ = (régime libre conservatif) Dans la réalité, les systèmes conservatifs n’existent pas, il y’a toujours des causes de dissipation d’énergie. Cela est caractérisé par la présence du terme d’amortissement. Cette dissipation d’énergie peut être obtenu à partir de l’équation 0mx cx kx+ + = correspondant au régime libre dissipatif. En effet

[ ] [ ]

2

pc dEdEdE x mx kx x cxdt dt dt

dE cxdt

= + = + = −

⇒ = −

[ ] 2 2

11

2 0t t

ttc x dtE⇒ = − ⟨∫ énergie dissipée entre 1t et 2t . (12)

1.4 REGIME LIBRE DE L’OSCILLATEUR ELEMENTAIRE 1.4.1 REGIME LIBRE CONSERVATIF OSCILLATEUR HARMONIQUE Le régime libre décrit le comportement de l’oscillateur élémentaire après un lâcher initial, sans fourniture ultérieure d’énergie par une force extérieur. En d’autre terme lorsque ( ) 0f t = . Ce lâcher est défini au temps 0t = par une élongation initiale ( )0 0X x= .

Nous savons que l’oscillateur est dit conservatif lorsque 0c = (soit 02c

mλ = = ). Ainsi, l’équation de mouvement s’écrit :

0mx kx+ = (13) Soit :

20 0x xω+ = (14)

Avec : 20

kmω =

L’équation (14) se résoud en posant :

0 0

2

2 20 0

1 2

0

rt rt

i t i t

x e x r er r i

x c e c eω ω

ω ω−

= ⇒ =

⇒ + = ⇒ = ±

⇒ = −

Avec : 0

0

0 0

0 0

cos sin

cos sin

i t

i t

e t i t

e t i t

ω

ω

ω ω

ω ω−

⎧ = +⎪⎨

= −⎪⎩ (15)

En remplaçant i te ω− par leur valeur dans l’expression de x on obtient :

( )0 0

0 0

cos sin

cos cos 2

x A t B t

A t B t

ω ωπω ω

= +

= + − (16)


Les deux fonctions harmoniques sont égales aux projections sur un axe de deux vecteurs de longueur A et B tournant à la même vitesse angulaire 0ω (figure 2.4).

Figure 2.4

( )0cosx X tω ϕ⇒ = − (17) Leur somme est donc égale à la projection du vecteur résultant de longueur X et de phase ϕ . Les nouvelles constantes d’intégration X et ϕ sont liés aux anciennes A et B par les relations :

2 2X A BBtg Aϕ

= +

= (18)

On obtient la vitesse par dérivation de (17)

( ) ( )0 0 0 0sin cos 2x t t πω ω ϕ ω ω ϕ= − × − = × − + (19)

Une nouvelle dérivation donne l’accélération

( ) ( )2 20 0 0 0cos cosx t tω ω ϕ ω ω ϕ π= − × − = × − + (20)

Remarque : Ces résultats signifient que la vitesse et l’accélération sont respectivement en quadrature et en opposition de phase avec les déplacements. 1.4.2 REGIME LIBRE DISSIPATIF L’oscillateur est qualifié de dissipatif quand l’amortissement n’est pas nul. Revenons à l’équation (5) avec ( ) 0f t = .

202 0x x xλ ω+ + =

Elle a pour solution : 1 2r t r tx Ae Be= + (21)

0

X

( )x t

B

2π

ϕx

0tω

A


Avec 1r et 2r solution de équation du second degré 2 202 0r rλ ω+ + = .

2 21 0' 2 2

02 2

1 0

r

r

λ λ ωλ ω

λ λ ω

= − + −∆ = − ⇒

= − − − (22)

Posons 2

2 2 2 21 0 0 2

0

1λω λ ω ωω

= − = −

2 2 21 0 1ω ω η⇒ = − (23)

En fonction de la valeur de l’amortissement relatif η il est nécessaire pour la suite de distinguer les trois cas suivants :

1η⟩ Amortissement sur critique 1η = Amortissement critique

1η⟨ Amortissement sous critique

1.4.2.1 Amortissement sur critique Dans ce cas 2 21 1η η− = −

( )2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 12

0

1 1 1λλ ω ω ω η ω η ωω

⎛ ⎞⇒ − = − = − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Les racines 1r et 2r s’écrivent alors comme suit :

1 1 21 0

1 1

1r

avecr

λ ωω ω η

λ ω= − +⎧

= −⎨ = − −⎩ (24)

Ainsi, Le déplacement s’écrit alors :

( )1 1t ttx e Ae Beω ωλ −−= + (25)

On obtient la vitesse par dérivation ( ) ( ) ( )1 1 1

1 1t t ttx e Ae Be Beω ω ωλ λ ω λ ω − −− ⎡ ⎤= − − + + +⎣ ⎦ (26)

Pour un lâcher correspondant aux conditions initiales ( ) ( )0 00 , 0x X x V= = , les relations précédentes donnent :

( ) ( )0

0 1 1

X A B

V A Bλ ω λ ω

= +⎧⎪⎨ ⎡ ⎤= − − + +⎪ ⎣ ⎦⎩

On en déduit les constantes d’intégration A et B

( )

( )

0 1 01

0 1 01

12

12

A X V

B X V

λ ωω

λ ωω

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

− ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

(27)


D’où

0 00 1 1

1

t X Vx e X ch t sh tλ λω ωω

− ⎡ ⎤+⇒ = +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (28)

Avec : 1 1

1 1

1

1

2

2

t t

t t

e ech t

e esh t

ω ω

ω ω

ω

ω

−

−

+=

−=

1.4.2.2 Amortissement critique Quand 1η = , l’équation caractéristique de (5) admet une solution double (voir équation (22) et (4)) 1 2 0 0r r λ ηω ω= = − = − = La solution générale de toute équation différentielle du second ordre est donnée par la combinaison linéaire de deux solutions particulières linéairement indépendantes. Une première solution particulière est de la forme 0

1tx e ω−=

Vérifions (d’après (5)) 21 1 0 12 0x x xλ ω+ + =

On peut se rendre compte qu’il existe une deuxième solution particulière de la forme

( ) 02

tx U t e ω−= Vérifions que 2

2 2 0 22 0x x xλ ω+ + = En effet,

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0

0

0 0

0

2 0

2 0

2 0 0 0

22 0 02

t t

t

t t

t

x U t e U t e

x e U t U t

x e U t U t e U t U t

x e U t U t U t

ω ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω ω

ω ω

− −

−

− −

−

• = −

⎡ ⎤⇒ = −⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤• = − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ = − +⎣ ⎦

Sachant que 0λ ω= , l’équation différentielle du mouvement s’écrit ( )22 2 0 22x x xλ ω+ + :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 02 200 0 0 0

222

t t te U t U t U t e U t U t U t eω ω ωωω ω ω ωλ

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − +⎣ ⎦⎣ ⎦

Cette expression n’est nulle que si ( ) 0U t = Soit ( ) ( ) 0

2tU t Ct D x Ct D e ω−= + ⇒ = +

D’où la solution générale pour ( )x t s’écrit :

( ) 01 2

tx Ex Fx E FD FCt e ω−⎡ ⎤= + = + +⎣ ⎦ et par changement d’écriture

( ) 0tx A Bt e ω−= + (29) La vitesse est ainsi :

( ) 00 0

tx B A Bt e ωω ω −⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (30) Les conditions initiales ( ) 00x X= et ( ) 00x V= déterminent les constantes A et B


0

0 0 0

A XB X Vω

=⎧⎨ = +⎩

En remplaçant A et B par leur valeurs dans l’expression de x et de x , on obtient :

( ) 00 0 0 0

tx X X V t e ωω −⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ (31)

( ) 00 0 0 0 0

tx V X V t e ωω ω −⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (32) 1.4.2.3 Amortissement sous critique Revenons aux racines (22) l’équation caractéristique

2 21 0

2 22 0

r

r

λ λ ω

λ λ ω

=− + −

=− − −

Lorsque 2 20

0

1 , 0λη λ ωω

= ⟨ − ⟨ , il en résulte que 1r et 2r sont complexes

1 1

2 1

r ir i

λ ωλ ω

= − +⎧⇒ ⎨ = − −⎩

( ) 1 11 2

i t i ttx t e C e C eω ωλ −− ⎡ ⎤⇒ = +⎣ ⎦

Avec : 1

1

1 1

1 1

cos sin

cos sin

i

i

e t i t

e t i t

ω

ω

ω ω

ω ω

⎧ = +⎪⎨

= −⎪⎩

On obtient

( ) [ ]1 1cos sintx t e A t B tλ ω ω−= + (33)

On en déduit la vitesse

( ) ( ) ( )1 1 1 1cos sintx t e A B t A B tλ λ ω ω ω λ ω− ⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ (34)

Pour un lâcher avec condition initiales ( ) ( )0 00 , 0x X x V= = , on trouve les valeurs des constantes.

0

0 0

1

A XX VB λ

ω

=⎧⎪

+⎨ =⎪⎩

(35)

Le régime libre de l’oscillateur amorti (amortissement sous critique) se met alors sous la forme

( ) 0 00 1 1

1

cos sint X Vx t e X t tλ λω ωω

− ⎡ ⎤+= +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (36)


Qui est une expression analogue à (28) dans le sens que les fonctions hyperboliques sont simplement remplacées par des fonctions trigonométriques. La courbe représentant le déplacement en fonction du temps pour le régime libre de l’oscillateur amorti (amortissement sous critique) a l’allure suivante

Figure 2.5

Puisque on montre que ( )x t peut s’écrire sous la forme

( ) 0 00 1 1

1

cos sint X Vx t e X t tλ λω ωω

− ⎡ ⎤+= +⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )1costx Xe tλ ω ϕ−⇒ = − (37) Avec

22 0 00

1

0 0

1 0

X VX X

X VtgX

λω

λϕω

⎧ ⎛ ⎞+⎪ = + ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨⎪ +

=⎪⎩

Nous remarquons que l’amortissement diminue la pulsation et augmente la période de oscillations. En effet : 2

1 0 1 01ω ω η ω ω= − ⇒ ⟨

Sachant que 11

2T πω

= et 00

2T πω

=

01 1 021

TT T Tη

⇒ = ⇒ ⟩−

(38)

Dans beaucoup de problèmes pratiques, le terme 2η est très petit par rapport à l’unité et la période 1T peut être confondue avec 0T sans erreur appréciable. Dans l’exploitation des mesures, il est utile d’utiliser la notation de décrément logarithmique définie par :

( )( )1

1 x tLn

n x t nTΛ =

+ (39)


Nous avons d’après (37)

( )1costx Xe tλ ω ϕ−= −

( ) ( ) ( )( ) ( )1 11 1 1cos .t nT n Tx t nT Xe t nT x t eλ λω ϕ− + −⎡ ⎤+ = + − =⎣ ⎦

D’où 1

11 n TLne Tn

λ λΛ = = (indépendant de n )

Comme 0λ ηω= et 1 20

21

T πω η

=−

Le décrément logarithmique n’est fonction que de l’amortissement relatif η

2

21

πηη

Λ =−

(40)

Et réciproquement, on trouve

2 24η

πΛ

=+ Λ

(41)

Quand :

2 12

η ηπΛ

⇒ ≈ (42)

1.5 REGIME PERMANENT HARMONIQUE Rappelons que le régime forcé est le comportement de l’oscillateur soumis à l’action d’une force extérieure. Nous allons traiter ici le cas d’une force extérieure de la force

( ) cosf t F tω= 1.6.1 AMPLITUDE ET PHASE EN FONCTION DE LA FREQUENCE L’équation du mouvement s’écrit :

cosmx cx kx F tω+ + = (43) Et cherchons une solution sous la forme :

2 2

2

2

cos sinsin cos

cos sin

cos

sin cos

x A t B tx A t B tx A t B t

t A m Bc kA

t B m Ac kB F t

ω ωω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

= +⇒ = − +

⇒ = − −

⎡ ⎤⇒ − + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + =⎣ ⎦

Par identifications des termes en cos tω et sin tω on obtient les deux équations suivantes :


( )( )

2

2 0

A k m B c F

A c B k m

ω ω

ω ω

⎧ − =⎪⎨

− + − =⎪⎩

On en tire facilement les constantes A et B

( )

( )

2

22 2 2

22 2 2

.

k mA Fk m c

cB Fk m c

ω

ω ω

ω

ω ω

⎧ −=⎪

− +⎪⎪⎨⎪ =⎪ − +⎪⎩

(44)

Sachant que ( )sin cos 2t t πω ω= −

( )1cos cos 2x A t B t πω ω⇒ = + −

Figure 2.6

( )cosx X tω ϕ⇒ = − (45)

Avec 2 2 , BX A B tgA

ϕ= + = en remplaçant A et B par leur valeur (figure 2.6), on

obtient :

( )22 2 2

FXk m cω ω

=− +

(46)

2

ctgk m

ωϕω

=−

(47)

Pour étudier comment X et ϕ varient en fonction de ω , nous allons introduire les paramètres suivants

20

kmω = pulsation propre de l’oscillateur conservatif

02

cm

ηω

= amortissement relatif

0

ωβω

= pulsation relative de la force extérieure

sFXk

= déplacement statique dû à une force constante F

B

A

X

ϕtω

2π


s

XX

µ = facteur d’amplification dynamique

Dans ce cas, ( )x t donné par (46) peut s’exprimer sous la forme :

2 22 2 2 22

22

0 0

1 1 4

sF XkXm ck k

ω ω ωω ηω ω

= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

En divisant par sX , on obtient le facteur d’amplification dynamique

( )( ) ( )22 22

1

1 4µ

β η β=

− +

(48)

L’évolution de µ en fonction de la pulsation relative β , avec l’amortissement relatif η comme paramètre est présentée par la figure (2.7) suivante.

Figure 2.7 Toutes les courbes sont issues du point commun 0 , 1β ω µ= = = . Cela correspond au fait qu’une force de pulsation nulle est une force statique (soit sX X= ). Alors

1sXX

µ = = . Elles passent ensuite par un maximum (sauf si 2 02

η ≥ = ) pour tendre

vers zéro quand la pulsation tend vers l’infini (le système reste immobile si on l’excite infiniment vite). L’oscillateur est en résonance d’amplitude X quand X est maximum.


On détermine la pulsation correspondante 2ω en exprimant que le dénominateur de (48), et donc son carré est minimum.

( )22 2 2

2 2

1 4 0

4 1 2 0

dd

β η ββ

β β η

⎡ ⎤⇒ − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ − + + =⎣ ⎦

La solution 0 0β ω= ⇒ = correspond au point commun qui est un maximum de µ

pour 22

η ≥ . La solution non nulle donne la pulsation cherchée.

22 1 2β η⇒ = −

Et par conséquent 2

2 0 1 2ω ω η= − (49) En introduisant 2β dans (48), on obtient le facteur d’amplification dynamique maximum

max 2

12 1

µη η

=−

(50)

Si 1β = , la relation (48) donne ( )01β ω ω= ⇒ =

01

2µ

η= (51)

Comme, on le voit sur la figure ci-dessus, 0µ et maxµ on pratiquement la même valeur quand 1η . Revenons maintenant au déphasage du déplacement sur la force

extérieure (47) ( )02 22

1

cc ktg c mmk m k

ωωϕ η ωω ω

= = =− −

.

0 20

02

2

0

12 ,

2

1 1

c m mk k k

ck

mk

ω ω η ωω

ωω ηω

ωωω

⎛ ⎞• = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

⇒ =

⎛ ⎞• − = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

02

0

2

1

tg

ωηωϕωω

⇒ =⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

En introduisant la pulsation relative 0

ωβω

= il vient

2

21

tg ηβϕβ

=−

(52)


Quelle que soit la valeur de l’amortissement relatif η (voir figure ci-dessous), la force extérieure et le déplacement sont

• En phase ( )0ϕ = si la pulsation tend vers zéro

• En quadrature de phase 2πϕ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ si ( )1 0β ω= =

• En opposition de phase ( )ϕ π= si la pulsation tend vers l’infini

On dit que l’oscillateur est en résonance de phase quand 2πϕ = donc pour 0ω ω=

1.6.2 PULSATIONS PROPRES ET PULSATIONS DE RESONANCE L’oscillateur élémentaire linéaire possède 4 pulsations remarquables dont 3 nous sont déjà connues ( 0 1,ω ω et 2ω ). Avant de résumer la situation, ce qui est l’objet de ce paragraphe il est encore nécessaire, de déterminer en régime permanent les pulsations de résonance de vitesse et de résonance d’accélération. Nous avons d’après (45)

( )cosx X tω ϕ= − avec

( )22 2 21 4

ss

XX Xµβ η β

= =− +

La vitesse est ainsi ( ) ( )sin sinx x t V tω ω ϕ ω ϕ= − − = − −

Ecrivons son amplitude V

( )0 22 2 21 4

sV X X βω ωβ η β

= =− +

(52)

La pulsation pour laquelle l’oscillateur est en résonance de vitesse (V maximale) s’obtient en écrivant

( )22 2 22

10 1 4V β η ββ β

∂ ⎡ ⎤= ⇒ − +⎢ ⎥⎣ ⎦∂ est minimale et par conséquent son carré

2221 4 0d

dβ η

β β

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⇒ + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )( )

'2 2

2 2 2

2

2 23

1 12 0

1 2 12 0

2 1 1 0

β ββ β

β β ββ β

β ββ

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎡ ⎤− − − +

⇒ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ − − + =⎣ ⎦

β étant réelle et positive, de valeur finie 21 0 1β β⇒ − = ⇒ = soit 0ω ω= Ainsi la résonance de vitesse se produit pour 0ω ω= . En procédant de même pour l’accélération il vient ( ) ( )2 cos cosx X t A tω ω ϕ ω ϕ= − − = − −


( )

22 2

0 22 2 21 4sA X X βω ω

β η β= =

− +

0Aβ

∂=

∂ correspondant à A est maximum

( )22 2 24

1 1 4β η ββ

⎡ ⎤⇒ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ doit être minimum et par conséquent son carré.

( )

( ) ( )

22 2 24

22 2

4 5

2 2

2 3

2 2

1 1 4 0

1 4 1

4 8

2 1 1 0

dd

dd

dd

β η ββ β

β β

β β β

η ηβ β β

β η

⎧ ⎫⎡ ⎤− + =⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

− −= −

⎛ ⎞ −=⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤⇒ − + − =⎣ ⎦

i

i

Appelons 3β la solution de cette équation 3

2

11 2

βη

=−

La résonance d’accélération apparaît pour une pulsation 3ω supérieure à 0ω 0

3 21 2ωω

η=

−

En résumé un oscillateur élémentaire linéaire possède les pulsations remarquables suivantes :

0k

mω = → pulsation propre sans amortissement

→ pulsation de résonance de phase → pulsation de résonance de vitesse 2

1 0 1ω ω η= − pulsation propre avec amortissement

22 0 1 2ω ω η= − pulsation de résonance d’amplitude

03 21 2

ωωη

=−

pulsation de résonance d’accélération

Elles sont classées dans l’ordre suivant : 2 1 0 3ω ω ω ω⟨ ⟨ ⟨ Il est ainsi utile, quand on parle de pulsation de résonance d’un oscillateur de préciser à laquelle on fait référence. On peut constater que lorsque 2 1η , on pourra écrire que

2 1 0 3ω ω ω ω≈ ≈ ≈ . 1.6 REPONSE DE L’OSCILLATEUR A UNE FORCE QUELCONQUE Après avoir traité en détail la réponse d’un oscillateur élémentaire à une force excitatrice particulière, qui est la force harmonique, le cas d’excitation périodique, et le cas d’excitation quelconque vont être brièvement abordés (faute de temps).


1.6.1 FORCE PERIODIQUE QUELCONQUE

Rappelons qu’une force périodique ( )f t de période 2T πω

= , peut être décomposée en

série de fourier. ( ) 01

1 cos sin2 n n

xf t F A n t B n t

ω

ω ω=

= + +∑

Avec :

( )

( )

( )

0 0

0

0

2

2 cos

2 sin

T

T

n

T

n

F f t dtT

A f t n tdtT

B f t n tdtT

ω

ω

⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩

∫

∫

∫

NB : Quand la fonction ( )f t est paire ( ) ( )( )f t f t− = , les constantes nB t nulles, et la série ne comporte que des termes en cosinus. Réciproquement, si ( )f t est impaire

( ) ( )( )f t f t− = − , et la série ne comporte que des termes en sinus En groupant les cosinus et les sinus correspondant à la même valeur de n , on obtient

( ) ( )0

01

1 cos2 n n

xf t F F n tω

=

= + − Ψ∑

Avec : 2 2 nn n n n

n

BF A B tg A= + Ψ =

L’équation du mouvement de l’oscillateur ( )( )mx cx kx f t+ + = étant une équation différentielle linéaire, la solution s’obtient en superposant les solutions particulières correspondant à chaque terme de la série. Le problème est alors ramené à l’étude de l’oscillateur soumis à une excitation harmonique.

( ) ( ) ( )1 101

1 sin cost u tx t e uf t u du Xe t

mλ λω ω ϕ

ω− −= − + −∫

2T πω

=

Force excitatrice périodique


CHAPITRE 3

TRAITEMENT DES SYSTÈMES NON LINÉAIRE

3.1 INTRODUCTION Ce chapitre 3 présente une brève introduction au traitement des systèmes non linéaire. Pour cela, nous contenterons ici de donner quelques notations élémentaires pour la résolution des équations dynamiques dans le cas non linéaire, sans toutefois considérer dans le détail l’origine même des non linéarités qui peut être soit géométrique, soit matérielle. Considérons le cas où les équations régissant la réponse transitoire d’une structure en régime non linéaire peuvent être mises sous la forme générale.

( ) ( )0 0

, ,, donnés

Mq f q q g q tq q

⎧ + =⎪⎨⎪⎩

(53)

Dans la quelle on fait l’hypothèse que les coefficients d’inertie ne dépendent pas de la configuration. Ceci implique que la configuration de référence est immobile et que le mouvement est décrit par rapport à celle-ci en coordonnées cartésiennes. Le terme ( ),f q q représente les forces internes dans la structure ; dans le cas général, il est fonction des déplacements et des vitesses. Il inclut à la fois la contribution des forces élastiques et celle des forces de dissipation interne. On le calcule au niveau élémentaire par intégration sur le volume des contraintes ( ),σ ε ε variant de façon non linéaire avec le tenseur des déformations ε et celui ε des vitesses de déformation du matériau :

( ) ( ), ,Te eV

f q q B dVσ ε ε= ∫ (54)

Si le système reste géométriquement linéaire, eB est la matrice élémentaire des déformations ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , ,B x x x DN x x x= reliant les déformations locales aux déplacements nodaux. Pour un système géométriquement non linéaire, eB exprimerait la relation entre variations des mêmes quantités. Le terme ( ),g q t représente les forces extérieures. Dans le cas général, il peut varier avec les déplacements subis par le système. Tout comme dans le cas linéaire, l’intégration de la réponse transitoire demande une intuition préalable du comportement de la solution des équations du mouvement (53). On y retrouve une contribution de termes oscillatoires dont l’amplitude peut changer constamment avec la mise en charge et / ou les non linéarités du système. Lorsque la réponse est avant tout dominée par les hautes fréquences il s’agit d’un problème de type propagation d’ondes, tandis qu’on peut considérer qu’il s’agit d’un problème classique de dynamique des structures si les basses fréquences sont dominantes. Selon que le problème relève de l’une ou l’autre catégorie, on a recours de préférence à un opérateur d’intégration de type explicite ou implicite. * Le cas explicite :


Lorsqu’on fait appel à un algorithme d’intégration explicite, la non linéarité du système n’apporte en elle-même aucune difficulté particulière par rapport au cas linéaire. En effet, les équations d’équilibre dynamique sont alors utilisées sous la forme :

( )( ) ( )1 , ,q M g q t f q q−= − (55) Qui montre que la prédiction explicite des déplacements et des vitesses permet d’utiliser l’équation d’équilibre dynamique pour calculer les accélérations sans itération sur la non linéarité du système. Le schéma d’intégration explicite de la figure (3.1) reste donc valable dans le cas non linéaire.

Figure 3.1 : Algorithme de la méthode de la différence centrée

0 0, , , ,M C K q q

( )

12

10 0 0

10 02

q M p Kqhq q q

−= −

= + 1

2

112t h=

Incrémentation temporelle (1)

12

12nn nt t h−= +

Incrémentation déplacements 1

21 nn n nq q h q −−= +

Calculs accélérations

( )1n n nq M p Kq−= −

Incrémentation vitesses

1 1 12 2 2

n n n nq q h q+ − += +

Incrémentation temporelle (2)

12

112n n nt t h+ += +


La seule modification à y apporter - et ce, même dans le cas – est de prévoir une prédiction explicite des vitesses lorsque les forces internes dépendent effectivement des vitesses de déformation (amortissement visqueux, matériau viscoplastique, …). 3.2 FOMULATION ANALYTIQUE Avec une méthode de résolution implicite, les déplacements, vitesses et accélérations apparaissant dans les équations d’équilibre (53) ne peuvent être considérés comme des quantités indépendantes puisque liés par l’opérateur équation régissant les déplacements ( )q t .

( ) ( ) ( ) ( ), , 0r q Mq t f q q g q t= + − = (56) Où r est le vecteur des résidus. Les relations d’intégration de Newmark temporelle peuvent être inversées sous la forme

( )

( )

*1 1 12

* *1 1 1 1

1n n n

n n n n

q q qh

q q q qh

βγ

β

+ + +

+ + + +

⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩

(57)

Avec l’expression des extraits de ( )1 1

2 21 1

1

12

n n n n

n n n n n

q q hq hq

q q hq h q h q

γ γ

β β

+ +

+ +

⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

en faisant

1 0nq + =

( )1

1

*

* 2

1

12

n

n

n n

n n n

q q hq

q q hq h q

γ

β

+

+

= + −

⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(58)

Par substitution de (57) dans (56), l’équation résiduelle devient une fonction de 1nq + seulement :

( )1 0nr q + = (59) Soit une approximation 1

knq + de 1nq + obtenue à l’itération k . Dans un certain voisinage

de celle-ci, l’équation résiduelle peut être décrite avec une précision satisfaisante par l’expression linéaire.

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1

1 1n n n n n

k k k k kL Lr q r q S q q q

+ + + + +

+ += + − (60)

En terme de la matrice jacobienne (ou matrice d’itération)

( )1

1

nkn

k

q

rS qq+

+

⎡ ⎤∂= ⎢ ⎥∂⎣ ⎦

(61)

Celle-ci a pour expression

( ) f f q q gS q Mq q q q q

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (62)


Et ses différents termes peuvent être interprétés comme suit : fq

∂∂

: est la variation des forces internes avec les déplacements et représente donc la

matrice de raideur tangente tK fq

∂∂

: est la variation des forces internes avec les vitesses et représente donc la matrice

d’amortissement tangente tC . gq

∂∂

: décrit la variation des forces externes avec la géométrie.

Contrairement aux deux premiers termes, le dernier est en général non symétrique et le plus souvent omis pour préserver la symétrie de la matrice d’itération. En termes des définitions ci-dessus et à condition de noter que les relations d’intégration (57) donnent lieu aux relations

2

1q qI et Iq h q h

γβ β

∂ ∂= =

∂ ∂ (63)

On obtient l’expression finale de la matrice d’itération

( ) 2

1t tS q K C Mh h

γβ β

= + + (64)

Le système non linéaire (59) peut ensuite être résolu de manière itérative par la méthode de Newton-Raphson de la manière suivante. Soit ( )1 1 1, ,k k k

n n nq q q+ + + l’approximation des déplacements, vitesses et accélérations obtenue à l’itération k du pas de temps 1n + . Celles-ci peuvent être corrigées sous la forme ( )1 1 1, ,k k k k k k

n n nq q q q q q+ + ++ ∆ + ∆ + ∆ . La correction des déplacements est solution de l’équation linéarisée

( )1k k

nS q r q +∆ = − (65)

Et les corrections de vitesses et d’accélérations y sont reliées par la loi d’intégration temporelle (57).

2

1k k

k k

q qh

q qh

βγ

β

⎧∆ = ∆⎪⎪⎨⎪∆ = ∆⎪⎩

(66)

Les relations ci-dessus donnent lieu au schéma d’intégration temporelle décrit par l’organigramme de la figure (3.2). Celui-ci comporte à l’intérieur de la boucle sur le temps une boucle d’itération sur l’équilibre qu’on arrête lorsque le résidu d’équilibre tombe en dessous d’un certain seuil de précision.

( )1knr q fε+ ⟨

La quantité f représente une mesure des forces en présence dans le système.


La procédure de calcul de la figure (3.1) appelle les quelques remarques suivantes :

1. A chaque pas de temps, l’itération doit être démarrée avec une prédiction des déplacements, vitesses et accélérations. L’expérience montre que la prédiction (58), qui correspond à poser *

1 0nq + = , est une approximation de départ donnant lieu à une procédure d’itération relativement stable.

2. la méthode de Newton-Raphson étant caractérisée par un certain rayon de

convergence dans le voisinage de la solution, la convergence de la procédure itérative n’est garantie que dans la mesure où la prédiction adoptée est suffisamment proche de la solution de (59). Il en résulte que, dans le cas non linéaire, le pas de temps non seulement gouverne la précision de la solution, mais influence aussi la stabilité de la procédure itérative. Son choix est donc en soi un problème délicat. Il existe des techniques pour le calculer automatiquement en fonction des caractéristiques de la réponse.

3. le système linéaire donnant lieu au calcul de la correction implique l’évaluation de

la matrice jacobienne (64). Celle-ci variant avec l’état du système, doit être recalculée à chaque itération. La construction et la résolution du système (65) contribuent donc pour la plus large part au coût de la solution. De nombreuses variantes de la méthode existent dans lesquelles on se contente d’approximations à la matrice jacobienne inverse de manière à réduire le coût de la procédure itérative.


3.3 ALGORITHME DE RESOLUTION

0 0

, , ,,

M f p Sq q

Calcul de 0q

( )( )10 0 0 0,q M g f q q−= −

Incrémentation temporelle 1n nt t h+ = +

Prédiction ( )

( )1

21

1

1

0.50

n n n

n n n n

n

q q hq

q q hq h qq

γ

β+

+

+

= + −

= + + −

=

Evaluation du résidu ( )1 1 1 1n n n nr Mq f g+ + + += + +

Convergence ?1 1n nr f+ +⟨∈

Calcul de la correction ( )1 1n nS q q r+ +∆ = −

Correction 1 1

1 1

1 1 2

1

n n

n n

n n

q q q

q q qh

q q qh

γβ

β

+ +

+ +

+ +

= + ∆

= + ∆

= + ∆

Non

Oui


Figure 3.4 : Le pendule élastique

3.4 EXEMPLE : LE PENDULE ELASTIQUE Considérons le pendule élastique de la figure (3.4). Il possède deux degrés de liberté : si on adopte comme coordonnées généralisées les coordonnées absolues ( ),x y , ses énergies potentielle et cinétique ont pour expressions :

( )

( )

2 2

20

12

12

m x y

mgx k l l

τ

ν

= +

= − + −

Où 0l est la longueur au repos du pendule et 2 2l x y= + sa longueur instantanée. Les équations du mouvement correspondantes

( ) ( )0 00 0x ymx k l l mg my k l ll l

+ − − = + − =

Sont fortement non linéaires au travers de l’expression de la longueur. La matrice de raideur tangente a pour expression :

20 0 0

3 3

20 0 0

3 3

1

1

t

l l x l xyk kl l l

Kl xy l l yk kl l l

⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥=⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

La solution du système a été calculée par la méthode de Newmark 1 1,2 4

γ β⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

avec

les valeurs suivantes : 2

01 , 30 , 10 , 1m Kg k N m g m s l m= = = = 23 10 ,h s−= seuil de précision sur 5: 10r mg −

Configuration initiale : ( ) ( )( ) ( )0 0, 0 1.5

0 0 0

x y

x y

⎧ = =⎪⎨

= =⎪⎩

Dans ce qui suit, nous présentons les résultats de simulation sur Mathlab de l’exemple pendule. Les figures (3.5) jusqu'à (3.8) montrent successivement : - les réponses ( ) ( ) et entre 0 et 20x t y t t s t s= = (figure 3.5) ; - les vitesses associées ( ) ( ) et x t y t (figure 3.6) ; - la trajectoire du pendule dans le plan ( ),x y (figure 3.7) ; - les diagrammes de phase ( ) ( ), et ,x x y y dans l’intervalle de temps

0 à 60t s t s= = (figures 3.8 et 3.9).

m

mg x

y

k

l


3.5 RESULTATS NUMERIQUES

Figure 3.5 : Le pendule élastique : réponses non linéaires (x,y)

Figure 3.6 : Le pendule élastique : vitesses non linéaires


Figure 3.7 : Le pendule élastique : trajectoire de la masse On y observe clairement que le système évolue entre les limites (-1.5,1.5) selon y et que la valeur maximum de x vaut 2.35, ce qui correspond aux bornes données par les conditions initiales combinées avec l’effet de la gravité. Les différents diagrammes mettent bien en évidence le caractère presque périodique de la réponse malgré sa non linéarité.

Figure 3.8 : Le pendule élastique : diagramme de phase (x)

Le nombre d’itération ne dépasse jamais 3 avec le pas de temps relativement serré qui a été adopté.


Figure 3.9 : Le pendule élastique : diagramme de phase (y)


Annexe 1 : Propriétés fondamentales de la transformée de LAPLACE

( )f t ( ) ( )( )sF f t= L

( ) ( )1 1 2 2c f t c f t+ ( ) ( )1 1 2 2c f s c f s+ théorème de linéarité

( )( )( )

'

"n

f t

f t

f t

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1 2 1

0

0 ' 0

0 0 0

s

s

n n n ns

sF f

s F sf f

s F s f sf f− − −

−

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + +⎣ ⎦

( ) ( ) ( )

( ) ( )0

0

t

t

h t f u g t u du

f t u g u du

= −

= −

∫∫

(intégrale de convolution)

( ) ( ) ( )s s sH F G= Théorème de composition

Annexe 2 : Table élémentaire des transformées de LAPLACE

( )f t ( ) ( )( )sF f t= L ( )f t ( ) ( )( )sF f t= L

1 1s cost tω ( )

2 2

22 2

s

s

ω

ω

−

+

t 21

s sint tω ( )22 2

2 s

s

ω

ω+

nt 1

!n

ns + cosate tω−

( )2 2

s as a ω

+

+ +

ate 1

s a− sinate tω−

( )2 2s aω

ω+ +

atte ( )21

s a− ch tω 2 2

ss ω−

n att e ( ) 1!

nn

s a +− sh tω 2 2s

ωω−

( )1 atat e+ ( )2s

s a− 1 cos tω− ( )

2

2 2s sω

ω+

( )1 2

1 2

1 r t r te er r

−−

( )( )1 2

1s r s r− −

1ch tω − ( )2

2 2s sω

ω−

cos tω 2 2

ss ω+

t 2s s

π

sin tω 2 2sω

ω+ 1

t

sπ

théorème des dérivées


RÉFÉRENCES

1. M. LALANNE, P. BERTHIER et J. DER HAGOPIAN (1980), Mécanique

des vibrations linéaires « avec exercices corrigées et méthodes de calcul ».

2. M. GERDIN et D. RIXEN (1993), Théorie des vibrations « Application à la

dynamique des structures ».

3. C. SOIZE (2001), Dynamique des structures « Eléments de base et concepts

fondamentaux.

4. N. BOUHADDI (2000), Cours de vibrations des systèmes mécaniques « Licence

de technologie Mécanique », Université de Franche-Comté U.F.R. des Sciences

et Techniques, Besançon.

5. F. SALLES et C. LESVEUR, Les vibrations Mécaniques « Masson ».

6. R. SUISSI (1996), Cours de vibration à l’ E.S.S.T.Tunis.

7. L. MEIROVITCH (1975), Elements of vibration analysis « College of

Engineering Virginia Polytechnic Institute and State University.

8. Site Internet : « Cours de vibration et Dynamique des structures »

9. Divers.

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