Girard - Logique et informatique

8/7/2019 Girard - Logique et informatique

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Reports/Studies

Rapports/Etudes

Langue originale : francais

Philosophie de In logique Ilneaire :

- logique et informatfque : point de vue d'un logicien

- 10 logique comme science de I'lnteraction

Deux etudes de

Jean-Yves GIRARD

c Unesco 1988

Les opinions exprlmdes dans Ie prdsent document, le cholx des I alts r nentlonnds

et l'lnterprdtntlon qui ell cst donndo n'engogcnt que 10 responsabilltd de

l'autour et ne refl~tent pas nccessolrement los vucs de l 'Unesco,


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2 4 A P R 1 9 8 9


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TABLE DES MATIERES

Logique et Informatique : point de vue

d'un logicien

La logique comme science de l'interaction

Note sur l'auteur


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-1-

LOGIQUE ET INFORMATIQUE POINT DE VUE D'UN LOGICIEN

j ea n- yv es g ir ar d

di rec teur de recherc hes

au CNRS

Rappeler l ' impor ta~ce cro issante de la logique en informat ique es t un

t ru isme ; cec i d i t , l a p lupar t des informat ic iens ne dominent pas les

pr inc ipes logiques , tandi s que les logic iens Boot souvent peu au fa i t

des rea l i t~s de l ' in for rna t ique ( l ' au teur de ces l ignes acceptant

d 'e t re range dnns la deuxi~me categor ie ) . I I y a donc un enorme trava i l

A fa l . re pour rapp rocher deux communautes : d ' un c8te , nous avons une

ac t iv i te d 'or ig ine t r~s recente , e t au u~veloppement ten tacula i re , sans

ver i tab le t rad i t ion ; de l ' au t r -e une disc ip l ine bimi l lena i re , mais qui

n 'a t rouve sa methodologie qu 'A la f in du s i~c le dern ier , e t qui a

deJA plus d 'un demi-s i~c le de t rad i t ion technique ( Ie mei l leur cotoyant

Ie p i re ) . La di f f icu l te pour e tab l i r la Jonct ion res ide en par t icu l ie r

dans la mul t ip l ic i te des approches logiques , e t sur tout dans Ie fa i t

que les sous-domaines de la logique per t inents A l ' i n format iquc , Boot

souvent ceux qui ont e te Ie p lus negl iges dans un paase recent , par

exemple les logiques "a l te rna t ives" , ou regnai t souvent la mediocr i tc

pour ne pas di re p lus- ; Ie probl~rne se pose donc en t :es t e rmes :

i ) de terminer les poin ts de contac t en t re logique e t informat ique


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ii) degager des pr inc ipes methodologiques , en par t icu l ie r th ' it e r Lea

approches qui denotent une ignorance des grandes l ignes de la logique ,

ou des probl~mec ree ls de l ' in format ique .

L 'au teur de ces l ignes n 'a pas la pre ten t ion de fa i re un panorama ccmple t

d e l 'i nt er ac ti on l og iq ue /i nf orma ti qu ~ i i l se contentera de discuter

des quelques prob1~mes auque1s i1 s 'es t in te resse , en proposant des

i nt er pr et at io ns , d es s ol ut io ns, n ec es sa ir em en t s uj et te s a discuss ion . ( . )

1 . les grandes or ien ta t ions de 1a logique

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

1.1 . qu 'es t -ce-que la logique ?

La logique es t la sc ience du ra isonnement i mais

i ) ce ra isonnement peut s ' appl iquer a des obje ts b ien di f fe ren ts , par

exemple les veri tes universe l les des mathemat iques , ou les deduct ions

cont ingentes fa i tes par un sys t~me exper t .

I i ) ce ra isonnement peut emprunter b ien des voies : ce l Ie du formali sme

(qui cor respond, grosso modo,aux mathemat iques) , cel Ie -vois ine- du

mecanisme (par exemple les ca lcu ls numer iques sur machine) , sans

oubl ie r Ie bon sens , qui es t a la base de not re compor tement quot id ien .

La logique mathemat ique a fa i t un choix methodologlque c la i r , en

s 'a t tachanl aux ver i tes universe l les e t aux sys t~mes formels (auxquels

s~ ra t tachent les mecanismes de ca lcu l ) : en la i ssant dans l 'ombre

l ' aspec t induct i f (par exemple la genera l i sa t ion a par t i r de cas

par t icu l ie rs ) du ra isonnement , aspec t que l ion ne peut n6g1iger dans

l es p ro bl ~m es d' in te ll ig en ce a rt if i ci el 1e .

I I y a d 'au t re par t une indubi tab le compos ante anthropomorphique dans

( . ) en par t icu l ie r , l ' adopt ion d 'une nouvel le logique , la logique l ineai re (1]

qui semble plus adaptee aux rea l i tes informat iques .


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l a f a~on dont l aque l l e le s ra i sonnement s fo rmel s su i vent -de lo in - Ie

modele du ra i sonnement humain i on ne sau ra i t s ' en pl a ind re quand i l

s ' ag i t d 'e ssayer , au moyen de mach ines , de mime t i se r la pensee i pa r

con t r e , la geomet r i e des demonst ra t ions a e t e sys tema t iquement neg l igee ,

-on rep re sent e Ie r a i sonnemen t sous fo rme arbo re scen te , ou p i re , l inea i r e ,

ce qui e s t cor r ec t du po in t de vue huma in - a lor s que , a in s i que nous

Ie ver rons , la geome tr ie des demonst ra t i ons es t proche de l a geome tr ie

des p rogrammes , e t que l ' on pevt a t tend re de p rogres s t ruc tu re l s sur l es

demons t r a t ions des amel io ra t i ons subs tan t ie l le s au n iveau machine .

1 .2 . s ens e t denota t ion

C' es t F~ege , Ie pere de la logique mode rne qu i e s t a l ' o r i g ine de ce t t e

d i s t inc t ion essen t i e l le , que nous a l lons exp l iquer su r un exemple

e lemen ta i l ' e : l es formu le s (prop r i e t es ) 2 + 2 = 4 e t 27 X 37 = 999

son t tout e s l es deux vra ie s : leur deno ta t i on commune es t "v ra i"

pa r cent re , e l le s n ' on t pas I e m8me sens : s i e l le s s igni f i a i en t r i en

d ' au t r e que "vra i" , on ec r i ra i t "v ra i" a l a p l ace de 27 X 37 = 999

au t r emen t d i t Ie sens nous pose une ques t ion , a l aquel le r epond la

deno ta t i on . Es t - ce -que 27 X 37 = 999 1 OUI.

La m8me di s t inc t i on s ' appl ique aux termes (exp re ss ions qui repesent ent

des obje t s ) : la denota t ion de 27 X 37 es t 999 i mais 27 X 37 n 'a pas

I e m8me ~ que 999 , s inon , nous n 'aur ions pas , sur not re ca l cu la t r ic e

de poche , une touche perme t tan t de pose r l a ques t i on : 27 X 37 1, a

l aquel le l a machine repond "999" .

La d is t i nc t i on sens /denota t ion a 6 t e occul tee par le s deve loppemen ts

techniques de la logique qui oub l i en t I e sense On s ' es t rendu compte

que l 'on pouvai t fa i r e l ' e conomie du sens , e t t r ava i l l e r su r l a

denota t ion de fa~on puremen t a lgebr ique (Boole , Lowenheim etc . )


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ce fa i sant , on crea i t un unive rs concep tue l d i rec tement ope ra to i re ( l a

d en ot at io n e t an t p ar ti cu li ~r em ent s im pl e a comprendre , a lor s que Ie sens

e st d if fi ci le a c on ce pt ua li se r) , m en an t a une des pr inc ipa le s branches

de la log ique , la theo r i e des mod~le s . Du fa i t qu 'e l le igno re Ie sens ,

l a thcor ie des mod~ l "~ 'n ' a aucun rappor t se r ieux avec l ' i n forma t ique

on vo i t cependant des a r t ic le s d ' in fo rma t ique theor ique pre t endant

u t i l i se r de l a theo r io des mode L e s : en ge l l. . . r-a l ce s ar t i c le s n ' ont pan

( i l s ' en faut de beaucoup) 1a qua l i te de la theo r ie des mod~ les c la ss ique ,

e t de plus l I s ne reso lvent r i en en informa t ique .

L ' i nforma t ique doi t pr endre en compte Ie SAns en premi~re p r ior i t e ; en

e f f e t un p rogramme resoud une ques t i on au moyen de son execu t ion . Le

resu l ta t de l ' execu t ion es t la deno ta t ion , a lor s que la ques t ion posee

donne Ie ~ du pr .ogramme . On peu t d 'a i11eur s voi r I e p rog ra r r~e comme

une demons t r a t ion pe rmet tan t de pas se r de la ques t ion ( sens ) a sa

r ep on sa ( de no ta ti on ).

Bien que 1a s i t ua t i on s ' amtHio re , l ' a spec t "scns" e s t sous-deve loppe en

log ique . Cet .a spec t es t p r~sent dans tout e 1a t r ad i t ion syn taxique ,

qu i pr iv i1egi e I e symbol i sme au depends de l ' aspec t semant ique qui

p redomine en theo r i e des mod~ le s ; b ien ent endu , 1a syntaxa n 'e s t pas

Ie sens , i l s ' en faut de beaucoup, e l1e n 'en es t que la t race ecr i t e .

La theor ie de 18 demonst ra t ion , grande manipu l a t r i ce de synt sxe , e s t ,

a l 'h eu re a ct ue ll e, la me il l eu re a pp ro xi ma ti on a une 10g iquo du sens

q u' il r es te ra it a e l ahorer . Bien qu ' impa rf a i t s , l os grands resu l ta t s

de theor ie de l a demonst ra t i on , enoncent des prop r i e te s s t ruc ture l1es

p ro fondes , de s symet r i es au ntveau du sens ; 11 en es t a ins i du

t he or ~m e d 'H er br an d ( 1930 ) ou du theo r~me de Gentzen (Haup tsa t z ) do

1934 . (vo i r pa r example ( 2 J )


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1.3 . 1es symetr ies de 1a 10gique

i ) 1a symetr ie 1a plus connue es t 1a synle t r ie demonst ra t ions /mode1es , dont

nous rappe10ns Ie pr inc ipe :

- on s ' in te resse d 'une par t aux ver i tes universe l1es , que l 'on demontre

au moyen d 'ax iomes e t de regles

- on s ' in te resse d 'au t re par t aux ver i tes coherentes , pour lesque11es

i1 s 'ag i t de cons t ru i re un modele .

Le theoreme de comp1etude (Gade1 1930) di t que A es t demontrab1e s i e t

seu1ement s i sa nega t ion ,A n 'a pas de modele . Grosso modo, s i A n 'es t

pas demontrab1e , c 'es t que i A est coherent i e n s at ur an t p ro gr es si v em en t

1es formu1es demontrables avec des enonces coherents , on obt ien t a ins i

un modele de 1A.

Un des aspec ts de la dual i te demonst ra t ions /modeles , c ' es t 1a poss ib i1 i te

de demontrer A en essayant de cons t ru i re un modele de ,A : de l ' echec de

toutes les ten ta t ives on obt ien t un arbre qui n 'es t au t re que 1a

d emon st ra ti on c he rc he e.

ii) 1 a s ym et ri e p os i t i f /n eg at if

I I s ' ag i t d 'un aspec t b i en moins connu, e t cependant d 'un in ter8 t inf in i -

ment super ieur pour l ' in format ique A ce1ui de 1a symetr ie precedente .

Cet te symetr ie s ' a r t icu1b aut~ur d 'un pivot cons t i tu6 par I e symbo1e

de negat ion , de lo in l 'opera t ion 10gique 1a plus impor tan te e t 1a plus

problemat ique . C 'es t Gentzen qui , en 1934, eut l ' idee de formuler la

10gique de faQon symetr ique par rappor t A la negat ion , en creant Ie

ca lcu l des sequents i en ef fe t , jusqu 'A Gentzen (avec l ' except ion notable

du theoreme d 'Herbrand , pref igura t ion du calcu1 des sequent s ) , la logique

e ta i t expr imee A l 'a ide de sys temes d 'ax iomes e t de regles assez arb i t ra i res ,

sans qu 'on puisse y dis t inguer de regular i te profonde . Ces sys temes

arb i t ra i res n 'oxpr iment pas bien l 'un iversa l i te , 10 carac tere na ture l


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des lo is log iques .

Un sequent e s t une expres s ion A1, , A n 1- B1, ,B m, formee de deux sui te sf i ndes de formu le s , sepa rees pa r I e symbole "1-"; I e sequen t indique l a

s imul tane i t e d ' in fo rmat ions nega t ives sur l e s Ai e t d ' i n forma t ions pos i t ives

sur l es B J' so i t ,A 1 v V,A n v B1 v v Bm' "v" e t an t Le symbole de

d is jonc t ion e t " , " ce lu i de negat ion . La symet r i e profonde du ca l cu I e s t

ce l I e qui echange droi te e t gauche dans un sequen t ; e l l e es t exp r imee au

moyen d~ pr inc ipcs duaux : (on ut i l i s e ~,~ ,Q pour denoter des su i te s de fo rmules )

- le s ax iomes B 1- B d ' i d en t i t e

- le s reg l e s A 1- B,Q ~',B 1- C' de c ou pu re- - -- - -- -- -- -- -- -- -- -- Cu t

Ces deux pr inc ipes ~noncent l es deux f&ces complemen ta i r es de l ' iden t i te

"B es t B" .

I I Y a ensu i te un second groupe de r~g le s non logiques , qui conce rnen t la

ges t i on des sequen ts : l es r~gl es s t ruc tvro l le s- lc s r~g le s d 'echange pe rmet ten t de modi f ie r l 'o rd re des formu le s , du m~me

c6 te du symbolc de sepa ra t i on "1-".

A 1- ~',C,D,~"-- -- -- dE

A 1- ~ ' ,D,C,~"

~ ' ,B ,C ,~" 1- D-- -- -- gE

!}_' ,C,B,!}_" 1- D

- l es r~g le s d 'a f fa ib l i ss emen t pc rmet ten t d 'a jout cr , de par t e t d 'au t re

du symbo le de separa t ion , des fo rmu le s super f lues

~ 1- C A 1- Q---dA

!}_1- B,---gA!}_,B 1- Q

- l cs r~gl es de cont rac t ion pe rmet ten t d '6 l1mlncr lc s rcdondances de par t

a t d ' au t r e du symbole "I-"; ce Boot l es r~g le s lc s p lu s impor tan t cs du sysUme

A 1- 8,B , !}_,B ,B1- dC gC

A 1- B, !}_,B1-


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Les r~g le s l og iq ue s p erme tt en t f'Lna Lemr t d ' i nt ro du ir e d es s ym bo le s l og iq ue s

de pa r t e t d 'au t re du symbole de sepa ra t ion i pa r exemple

negat ion ~,B 1 - s A 1 - B,d, g ,

A I - 'B , ~, 'B 1 -

con jonc t ion A' 1 - B, ! ! ' All 1 - C, ! ! " ~ ,B 1 - D ~,C 1 - ! !d / \ g11\ g2/ \

~ ' , ~I I 1 - B AC ,! ! ' , !! I I ~ ,BAC 1 - D ~ ,BAC 1 - D

Ce cal cu l es t une forma l i sa t i on de la log ique parmi d 'au t re s i i l s e

d i s t i ngue des aut re s pa r Ie Haupt sa t z (Gen tzen , 1934) , qu i enonce

i ) l ' 6 l im inab i l i te de la r eg Ie de coupure des demonst ra t i ons

i i ) au moyen d 'un a lgor i t hme d '6 l imina t i on des coupures .

Le theo reme de Gen tzen repose es sent ie l l emen t su r I e f a i t que le s pa r t ie s

d ro i t es a t gauches des regl es logiques se " repondent " pa r f a i tement i en

pa r t icu l ie r , au del~ de l a l i s t a , necessa i rement con t ingen te , des ope ra t i ons

log iques que nous cons iderons , s e dess ine l ' i dee gene ra le d ' une opera t ion

log ique , ~ savo i r des r eg le s d ro i t es e t gauches complementa i re s au Bene

de l ' e l imina t i on des coupures .

Nous revi endrons su r l ' impor t ance du Haup tsa t z , qu i a donne nai ssanc~ ~

beacoup d ' idees en in fo rma t ique , pa r exemple PROLOG. 11 es t cependan t ~

remarquer qu ' i l s ' ag i t d 'une f i l i a t ion occu l t e , ca r I e ca l cu l des sequen ts

e s t p re sque inconnu des informa t i c i ens , y compr i s de ceux qui conna is sent

l a log ique ( Ie l iv re recen t de Jean Ga l l i e r (21, devra i t comble r ce t te

l acune impor t an te de la cul tu re in fo rmat ic i enne ) ; Ie ca l cu l des sequen ts

ne se t rouve en in fo rma t ique que de j~ ma le ~ des cons ide ra t i ons de con t r6 l e ,

comme dans l a methode de re so lu t i on de Rob inson (1965) , ou dans l es

t ab leaux semant iques . 11 s ' ag i t dans tous le s ca s de modi f i ca t i ons

~echniques du ca lcu l p ropres ~ Ie fa i r e ren t re r su r machines ; souven t

ce s me thodco son t enco rc imparfn i te s , e t on cherche a lor s ~ l cs ame l ior er ,


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mais l ' i gnorance de la s t ruc tu re -mare I Ie ca lcu l des s~quent s , don t on

ne vio l e pas impunement l es sym~t r ie s , condui t a des a t roc i t~ s logiques

sans in t er e t in fo rmat ique . Par exemple la l i t t e ra tu re sur l a n~gat ion

dans PROLOG est l a t r i s te i l lu s t ra t ion de ce t te ignorance des bases

log iques de l a "prog rammat ion log ique" .

i i i) l a s yme t ri e d emons t ra t io n s/ co n tr e -d emons t ra t io n s

La log ique in tu i t ionni s t e de Brouwer donne la pr~~~f inence aux demons t ra t i ons

la fo rm ule A veut d i re " j ' a i une demonst r a t ion de Al i i d em on st ra ti on n on

pas dans un sens fo rme 1 I mais dans un sens plus vague , a pr~ci ser (ce

qu i n ' a jama is e te f a i t de fa


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- une p reuve de A ~B es t une fonct ion (donnee pa r un p rogramme) , qu i

a t ou te demonst ra t i on p de A, as soc i e une demonst ra t i on F(p ) de B.

Pa r exemple , l a fonct ion de p ro jec t ion , qui a (p ,q ) a ssoc ien1 (p ,q ) p ,

es t une p reuve de l ' impl ica t ion (A/ \ B) ~ A.

11 es t f ac i l e de cons t ru i r e le s obj e t s fonct i onne ls cor re spondan t aux

demons t ra t i ons du ca lcu l des sequen ts in tu i t i onni s t e i cec i d i t , l a

deduct ion na tu re l l e ( es sen t i e l lement e tud iee par Prawi t z , voi r (4](5]) es t b i en

p luB in te re ssan t e dans ce t t e op t ique . La deduct ion na tu re l l e , que

nous a l l ons rap idemen t decr i r e , cons t i t ue l ' au t r e sya t eme logique de

re fe re nce , p lus s pe ci fi qu eme nt a da pt e a l ' i n tu i t i onnJ sme .

Une deduc t ion se presen te aous fo rme a rborescen te , de fo rmules r e l ie e s

par des regl es logiques i la r a~ ine de l ' a rbre e s t la conclus ion ,

tand is que ses sommet s se d iv is en t en deux c la sses : - l es hypo theses

- l cs f 'o r rnu la decha rgees ( ind iquees pa r t< ) qu i nc son t p lus des

hypothesc s (ma ls qu i l ' on t e t e a des e t apes p recedentcs ) . Une deduc t ion

sans hypothese es t appel ec demonst ra t i on . Donnons quelques regl cs de

fo rma ti on d e d ed uct io ns

A

(u n a rb re h une seu le fo rmule , 8 l a fo is hypothese c t conc lus ion )

A =) B

B

(8 pa r t i r de deduct ions de conc lus ions re spec t i ve s A et A ~a, on peut

former une deduc t ion de conc lus ion B)

B~I

A := ) B


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(A parUr d'une deduction de conclusion B, on peut former une deduction

de A =) B; on a Ie droit de decharger auta,t d'occurences de A en

hypoth~:3e que l'on veut; 1a representation graphique utilisee sugger-e

une decharge, a10rs que Ie nombre de dechargcs de A est illimite, et

peut d'ai11eurs etre nul.)

Le theo:r~me de normalisation de Prawi tz (1'365) est I' analogue, pour 1a

d~duction naturel1e, du Hauptsatz. II consiste A faire disparattre

cer-tafnes sucessions de reg1~I3, jugees redondantes ; par exemp1e, 1a

configuration

B

--=-.1A A =)8-- --: >E

B

est remp1acee par A

B

c'est A dire que chaque A decharge est remplace par sa deduction A

Le theor~me de Prawitz encnce la convergence de ce procede : en l'iterant,

on arrive A eliminer toutes les configurations indeoirables j de plus,

Ie resul tat est independent de l'ordre sui vi pour eJiminer 1es "mauvaf sea

configurations", en contraste avec Le thecr~me de Gentzen, qui el imine

1cs coupures, mais dont 10 reBul tat depene) du "chemin sui v;"', Les

demc,nstrations obtenues au t.erme du procec'\6 de normalisation sont

di t(IS rorma1es.

L' ~!Iomc.rphiame de Curry-Howard est une appr-oche purement fonctionnella

A In d~duction naturolle, qui interpr~te ] es deductions commedes

tONles d I un 1ango~e fonctionne t . . . . .-~-iC"


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Les formu le s son t ma in tenant vues comme des ~ : par exemple AI \ B

en tan t que type , e s t vu comme Ie p rodu i t car t6s ien de A et B, a lo rs

que A = > Beat vu comme l ' ensemble des fonc t ions (donnees par un

prog ramme) envoyan t A dans B . Une deduc t ion ID de la conclus ion A

sous l e s hypo th~ses B1, ,B n sera vue comme un terme fonc t ionne l

t de type A, ut i l i s an t des var iab l e s 1 ibres x 1, , x n, de types

re se pc ti fs B 1, B n Pur exemple

A

- l a deduct ion A se ra repr6scn tee par I e t e rme x fo rme d 'une

va r i ab le de type A

- la deduct ion 6cr i t e pr6c6dcmment avec (=>E) se ra in t erp l '6 t6e a ins i

a i nous avons d6ja in te rp r6 t6 le s deduc t ions de A =)B e t A par des

t e rmes t de type A =)B et u de type A, a lo ra no t r e deduc t ion se ra

vue comme t (u ) . l ' app l i ca t i on de l a fonct ion t A l ' a rgument u .

- la deduc t ion 6c r i te p lu s hau t avec (~I ) ae ro in to rp re t60 a in s i

s i nous avons de jA in to rp re te l a deduct ion do B par t , f o ioons

appa ra t t ro dans t Ie s occurcnCOD d'une va r i ab lo x co rroopondant nu~

A decha l ' g6s , so i t t = t [xl i ol or s n ot .r -ed ed uc ti on s or o v ue CO1M'''

~ x . t [x l , 10 fonct ion qui , A x assoc ie t x Cet t e dorn i~ro ope ra t i on

a ' appe l l e } . - ' abs t r ac t i on , e t l es ca lcu l s obt enus par i aomorphi smo do

C ur rY-H ow ar d, ' ). -c al cu la t y pe s.

Le theo r~me de norma l i s a t ion de Prawi tz s~ t radu i t cn une opera t iona l i s a-

t ion du) -ca l cu l type : pa r exemple , l ' e l imina t i on de 10 conf igu ra t i on

cons ide r6e plus hau t se t radu i t par une r~gle de r6ecr i t ur e :

( A x .tfxl )(u) =/ t [u/xlou t (u /x) deno te Ie r emplacemon t ( subs t i tu t i on ) de u pour x dans t .

11 se ra i t f a s t id ieux d[en t r er dans le s de t a i l s , mai s tout cec i a uno

impor t ance t r~s g rande pour Ie ca lcu l : en ef fe t i l s e r a pos s ib l e


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de fa i re des ca l cu ls fonct ionne1s forme ls au moyen des r~g le s de r66c r i tu re

du genre de ce l i e cons id6r6e plus haut . e t Ie th6o r~me de Prawi tz a ssu re ral a t e rmina ison des ca l cu1s .

Le sys t~me bas6 sur la logique p ropos i t i onne11e usuel le es t en fa i t t r op

fa ib l e pou r l es app l i ca t i ons pra t iques . On a donc 6t6 amen6 A Ie

renforce r en cons id6ran t des log iques p lus for te s

- 1a sys t~me de Mar t i n-LHf ( 1971 ) . qui in t rodui t de s op6ra t i ons A mi -

chemin ent re quan t i f i ca t i on e t connec teur s (vo i r (6)

- l a sys t~me F de I 'au t eu r ( 1970 ) . qui cs t bas6 su r 1a logique propos i -

t ionne11e du second ord re . qui se di s t i ngue par une syn taxe t r~s s imple

(en tout quat re op6ra t ions ) c t un pouvo i r exprcs s i f pr esque i l1 imi t6 .

011i6 A uno gr~ndo modular i t 6 vcnant do 10 pOBs ib i l i t 6 d ' obs t ro i r e

pa r r appo r t oux types . (vo i r ( 7 ] . t o 1( .

- 10 oyot l lmo do Coquand- l l uc t ( t h6or io deD cono t ruc t i ons . 1985) . qui

00 pr6sen to comme uno oynth~Bo cnt r e los deux opprochco pr6c6den te s10 pouvo i r oxp reoo i f . I n modu1nr i t 6 Bon t encore nugmen t6eB . nu p r ix

cependant do compl i co t i onB eyn taxl quea un pou g6nnn teB. (voi r (9) )

- 10 t r ava i l o f fec tu6 r6comment po r Kr iv ino .s e ro t tache l I ' i somorph iomo

du Cur ry - l loward . o t au sys t~mo F i l o ' og i t do In cr60 t ion d 'un oyot~mo

AF2 (or i t hm6t iquo fonct ionno110 du socond ord ro) qui o jou te ro i t nux

cons id6 ro t i ons habi tue l1cs sur 10 prog rommat ion . ce l Ie do p reuve do

prog ramme in t6gr6e . un prog ramme 6tan t vu comme uno d6monst ro t i on

ma th6mat ique de so cor rec t ion . (vo i r ( 10 )

Nous avons 6t6 amen6s ~ rappe10r beaucoup de poinup1us ou moins c1as s iques

i l ne foudroi t pa s perdre de vue que nous 6 t ions pa r t i s de l ' id6e de

sym6t r i e ent re d6mons t r a t iona e t cont re -d6mons t r a t ions . Ce t t e id6e peu t

se l i re en f i l ig rane de r r i~ re l ' in te rp r6 t a t ion de Hey t ing : pa r exemp1e

( . ) I e sysUme F a 6t6 re t rouv6 par Reyno lds ((11


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- 1 3 -

a une demonstrat ion de A =) E' ( ou "A" a une signif icat ion "negat ive") , on

essaye d I opposer une demonst t-at ion de A : Le rtsul t at du conf 'Lix entre oe

A negatif et de A posi t i f , qui , en quelque sorte s 'annhilent , est une

demonstrat ion de Cft qui reste , a savoir B. On peut trouver trace de cet te

symet r ie dans toute la tradi t ion "construct ive" (interpretat ions fonct ionnel les ,

r6al i sabi l i te) et m~me dans Ie theor~me d'Herbrand.

Malheureusement , la logique intu i t ionniste est bAtie sur une asymetr~e

par exemple, en deduction na turel le , nous avons plusieurs hypoth~ses

mais une seule conclusion. "ypoth~ses et conclusions ne jouent pas un r6le

symet r ique dans Ie cas intui t ionniste , et ceci est i l lustre par Ie tr~s

mauvais compo rtement de 10 negation intui t ionnisto. Intui t ionnist iquement ,

"A n'est pas equivalent a Ai en fai t on a quand mcme"",A ~ 'A, mois

cet te equival~nce n'est pas un isom(lrphiamo. Or 10 sym6trie dont nous venona

do parler contient tout Ie c6te op6rat ionnol do 10 logique, c 'es t a dire

l 'essent iel des applicat ions de 10 Jog I que a l ' informatique

l.n si t unt ion ideale sor-att de pouvo t r combiner deux typos de sym6trle

- 10 symetr ie posi t i f /negat if (A)

- 10 sym6trio demonstrat ions/contre-demons trat ions (8)

Tradit ionnollement , on a ortmis, sons roison sfr ieuBo, quo les deux types

de sym6trio sont antagonistca : par exemp1e, 1a logiquc classique, qui

veri f ie 1a sym6trie (A), n 'a pas de eemontique des preuvea. La logique

intui t ionniste verif ie 10 symetr ie (B ) , mais pas 1a symetr ie (A). Quand

choix se 1imitni t a ces deux logiquea, on preferai t a coup sOr 1a !ogiquG

intui t ionniste , avec, 'ma1gre tout 1a nostalgie des si~plif icat ions

a pp or te es p ar u ne n eg at io no in vo lu ti ve .

La 10gique 1ineaire a, nous Ie verrons, 1es deux types d~ symetrie . Autrement

di t el le combine 10 construct ivi te (semantique des preuves) et l 'exis tence

d'une negat ion involut ivb, la negat ion l ineaire . De plus Ie pouvoir

expressif de cet te 10gique est superieur a ce1ui des log iques usuel les ,


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- 1 4 -

ce qui f a i t que se s qua1i t~s supp1~menta i re s on t une re tomb~e imm~dia te

su r l ea ap pr oc he s 1 0g iq ue s t r ad i ti on ne 11 es .

Nous au rons 1 ' occas ion de d~ ta i11e r 1a 10g ique 1in~ai r e dans ce qu i su i t .

Deux axes es sent ie1s peuvent @t re d~gag~s quand aux app l i ca t i ons de ce t t e

10gique :

1) 1a sym~t r i e n~ga t i f / pos i t i f qu ' e11e v~r i f i e , e s t une sym~tr i e en t r~es /

sor t i es , ce qu i perme t d ' esp~re r qu 'e11e es t adap t~e au ca1cu1 pa ra11~le

( con tr -a fr -e me rr t 1a Io gI qu e in tu i t io nn is te , q ui , pr iv ~e d 'un e t el l e

s ym ~t ri e, s e~ ai t s ~q ue nt ie 11 e)

2) 1a 10g iquo 1in~ai re es t une log ique des y~r i t~s fugaces : a ina i , 1a

con jonct ion expr im~e par Ie symbo1e H, ne v~r i f ie pas que A e t A H A Boo t

~qu iva1ent s : c ' e s t pa rce qu ' a f f i rmer A ou af fi rm er A deux foiE ' (pa r A B A )

on t un Bans op6ra t i onne1 t r~s di f f6rcn t I

2. 1es s6mant iques de la prog f ' ammat ion

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2.1 . qU 'os t -co quo 10 s6mon t iquo ?

Commo 10 nom l ' i nd iquo , i l s ' ag i t d ' i n t c rpr6 tor 1cs 1angogos . Co t to in to r -

pr6 t a t i on pout so fa i ro A deux n iveaux :

i ) lc s s~ ma nt i qu oB d 6n ot ot io nn o1 lo s, s ' in t 6r oB sc nt un iq ucm en t au x l ' 6s ul ta ts

des p rogrammes , c 'e s t A d i r e qu 'eHos no di f f6 r~nc ient pas un pr -ogr -amme

non encore cx6cut6 du r6su l t a t f i na l af f ich~ . Ce son t des s6man t iques

s ta t i ques , qu i ident i f ie ront 27 X 37 e t 999, e t de ce fa i t , n6cessa in~ment

d ' i n t6r8 t un peu l imi t6 i pa r cont ro on en connai t beaucoup.

i i ) le s s~mant iques op6~a t ionne l l e s me t t en t 1 ' accen t su r l '6X~cu t ion , ce

qui f a i t qu 'e l l es do iven t d i s t inguer ent re p rog ramme et r6 su1 ta t , e t

27 X 37 do i t , op6 ra t i onne11emen t , 8 t r e in t e rpr6 t6 d i f f6 remmen t de 999 .

I I n ' ex ia te pas A l 'heu re ac tue l le de s6man t ique op6ra t ionne l1e non

t r l v i a l e , A l 'excep t ion du t rava i l en cou rs u t i l i s an t 1a log ique l in6a i r e .


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-15-

Mais A quo i donc ser t la semant ique ? La ques t ion mer i te d '@t re posee

se r i eusemen t , car la p lupar t de s t ravaux de seman t ique n 'on t aucune

r et om be e, d ir ec te au in di r ec te , s ur la pr og ramma ti on .

- nous pensons qu 'une bonne semant ique deno ta t ionnel le devra i t f a i re

appara t t re des impe rfec t ions des l angages (par exemple : des equat ions

supplementa i re s oub l i ees , e t qu i raccou rc is sen t le s ca l cu ls s i on l es

adopte , de s opera t i ons plus s imp le s , p lus pr imi t i ve s que ce l l es que

l ' on a , e t c . ) j par cont re tou t l ' aspec t de la semant ique deno ta t ionnel le

qui s ' in te r es se A la comple tude des langages pa r r appor t ~ te l ou t e lgenre de mod~ le , n ' es t que de l a theo r i e des mod~ le s bon marche , s ans

r et ombe es a pp re ci ab le s.

- une seman t ique deno ta t i onnel le non t r iv ia l e (c 'e s t A d i r e n ' i n te rp re tan t

pas un prog rammo par lu i -mame I) dev ra i t fa i re appa ra t t re l a s t ruc tu re

profonde de 1 ' execut ion , c t pourr a i t debouche r SUI ' dc nouveaux types

do langagcs de bas n iveau , vo i r e de nouve l l es mach ines .

2 .2 . les se ma nt i qu es de no ta ti onn el le s

La seman t ique de Sco t t (1969) cs t basee Bur dos idees topolog iquos

l es fonc t ions do Avers B seron t con t inues pa r rappor t A cer ta ines

topo log i e s . II s ' ag i t de theor i se r l ' idee qu 'un prog ramme n 'u t i l i s e

que des info rmat ions"f in i es . Cet te uemant ique a pour pr inc ipa l mer i t e

d ' ex is te r , c ' es t A di r e de mon tr er la poss ib i l i te d 'une semant ique

deno ta t i onnel le non t r iv ia le . La mise en ~uvre es tpeu sa t i s fa i s an te ,

car e l l e u t i l i s e des techniques de codage t r~s lourdes , ce 4u i in te rd i t

(vo i r 12 )

toute ut i l i sa t i on , mame abs t ra i t e , car on n 'a r r i ve pas A ec r i r e l es

in te rpre t a t ions des a lgor i t hmes le s p lus immedia t e . Cet te seman t ique

a e t e s impl i f ie e pAr Berry e t Winekel l (131, (141 ) au moyen de l a no t ion de

s tab i l i t e (1978) . Une s imp l i f i ca t ion ul te r ieure a e t e obt enue par


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- 1 6 -

l ' aut eu r (e sp ace s c oh6 re nt s, 1984 ) , e t i l dev ient enf in possible d '6cr ire

la s6mantique d6notat ionnel le de quelques op6ra t ions s imples. (vo ir [15J)

2 .3 . t yp es c or nI nes p6 ci fi ca ti on s

D 6n ot at io nn el leme nt , u n ! lE! (par exemple dans les l-ca lculs typ6s 6voqu6s

plus haut ) joue Ie ro le d 'une sp6c if ica t ion . Par exemple, la fonc t ion

produi t , d6fin ie en tre en t ie rs , dcmande deux ent ie rs comme arghments ,

et rescort un entier comme rcsu l tat . ; ' e fa i t de ~ ce programme par

en t . :)( c nt =) _nt ) (ou ent es t Le type des .mt ie rs) expr ime ce fai t ,

qui ( lS t cap i tal . Dans Ie cas qui nous int6resse, s i on donne au programme

les deux arguments ~ntiers 27 et 37 , nous savons qu' i l nous rendra un

resul ta t en t ier , avant d 'avoi r ef fec tu6 l 'op6rat ion ; en par t icul ie r , i l

dev t en t possible d 'u t i l iser Le programme non ef fectu6 27 X 37 comme

ent r l ie d 'un autre algor i thme, qui prendra i t des arguments de type ent .

L ' idoe es t donc que Ies types nous donnent des sp6c if ica t ions, dont Ie

respoct aSB~re la bonne marcho dcs programmcs . Lc non-rcspec t dcs

specxfica t ions (par excmple s i on donne A une fonct ion de type A ~>B

un argument qui n ' es t pas de type A) amene A des rcsul tat s imprevis ib les

Ie programme peut tr~s bien fonc t ionncr quand mame, ou il peut conduire

A dos boucles etc En par t icu l ier , analyser les types (dont nous avons

vu qu ' i ls sont des formules logiques) clest aussi ana lyser la na ture

des spaci f ica t ions , et pour ce lA la s6mant14ue d6notat ionnel le est

pr6c ie l Jse .

2 . 4 . 1a logique l in6ai re

8 i l ion consid~re les types courants a l a lumi~re dlune s6mant ique d6no-

tat ionne l le simple, comme les espaces coh6rents , i l saute aux yeux que

les op6rat ions de typage que nous connaissons sont trop compl iqu6es, clest

a di re qule l les combinent plus ieurs operat ions de typage plus primi t ives ,

mois qui nlont jamais e tc cons id6r6es auparavant . En faisant apparat t re


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-17-

df ' t e l s t ypes "caches" , e t en fa i s an t fonc t i onne r l ' i somorph i sme de Cur ry -

Howard a I ' enve r s , l ' au t eu r a ob tenu une " log ique l inea i r e " (1986). aux

prop r i e t e s a s sez cu r i euse s , e t qu i semble p lus p re s de l l i n fo rmat iqueque l e s log iques cons ide ree s hab i tue l l emen t . (vo i r ( I J , [ 1 6 ] )

Sans en t r e r dans l e s de t a i l s , d i sons que Ie p r inc ipa l changemen t cons i s t e

a abandonne r , dans Ie ca l eu l des scquen t s de Gen tzen , l e s r eg l e s s t ruc tu re l l e s

de con t . r - acIon e t d ' af f a ib l i s s emen t . Or ces r eg le s son t 11 a na lo gu e l og iq ue

des ope ra t i ons "memoi re " des ca l cu l s ( a f f a ib l i s s emen t e ff ac er , c on tr ac ti on

dup1 ique r ) , e t l eu r abandon pur e t s imp le , condu i r a i t a des pr-ogr-emmea

excu tab l e s sans mcmoi re , " e t donc d lun in t e r~ t un peu l imi t e ! En rea l i t e ,

on in t rodu i t en p lus deux connec t eu r s log iques ( ! e t 1 ) qu i pe rme t t en t

d l e f f ec tue r l e s ope ra t i ons de memoi re , ma i s ce t te fo is de fa~on exp l i c i t emen t

ind iquee pa r I e typage I Au t r ement d i t , l a composan t e "memoi re " du typage

e t an t i so l~e , on va pouvo l r r ega rde r l e s types en oub l i an t ce t a spec t .

P r - eaque t ou t es l e s cons t ruc t i ons de types on t une composn r r t e m 6moi l ' e j une

fo i s ce t t e composon te evacuee , on Be t rouve 6vec une va r i a t e de typogeb ien p lus r i che qu ia l l o rd ina i r e ( ca r l ' u t i l i s a t i on non l imi t ee do 10

mcmoi re f a i t d i spa ra t t r e beaucoup de nuances de progr-ammat.Ion}, Par

exemple , Le type A =)8 se decompose comme {IA)-0 B, ou "-0" es t

l ' imp l i ca t i on l i nea i r e . D i r e que l a fonc t ion f e s t de type A -0 B

s ign i f i e b i en sOr que f envo ie A dans 8 , ma is su r toub que f n lu t i l i s e

son a rgumen t qu lune fo i s , e t qu ' 11 n 'y a donc pas l i eu de Ie s t ecke r .

B ien en t endu , dans l a decompos i t i on ( IA) -0 B, comme nous commen~ons

pa r un s tockage , i nd ique pa r lA , i l n ' e s t pa s t r e s e tonnan t , qu ' ap re s

ce s tockage , un r - e stockage ne so i t pa s neces sa i r e I Ce qu i f a i t

l ' i n t e r~ t de l ' imp l i ca t i on l i nea i r e , c ' e s t qu ' e l l e peu t ~ t r e u t i l i s~e

tou te seu l e , s ans "1", e t- qu I a lo r s , e l l e donne des ind i ca t i ons p r - ecIeuaee


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non seu1ement su r le s en t r ee s / so r t ie s , ~a i s su r l ' execu t ion de l ' a l go r i thme,

cons ide ra t i ons qui sont de j a du pur domaine ope ra t i onne l . Voi r a ce su je t

(17], en co l l abo ra t i on avcc Y. La font .

L ' ame l ior a t ion l a p lu s fondamenta le de l a log iquc l inea i re pa r r appo r t a

la log ique in tu i t ionn i s t e , es t l a p re sence d 'une symet r i e r e t rouvee ,

exp r imee par l a negat ion l inea i r e Al : la symet r i e v ien t du pr inc ipe

qui perme t d ' i dent i f ie r Al l e t A . La nega t ion l inea i r e a une in te rp re ta t i on

Lnf 'o rmat .Lques imp le : 11 s 'ag i t de l a commuta t i on ent rees /sor t i e s :

au t r emen t d i t , une ent ree de type A peu t @t re vue comme une so r t ie dc

type Al , e t une sor t ie de type A peut 8 t r e vue comme une ent ree de type

Al . Une fonct ion l inea i re de Aver s 8 ( type : A -0 8 ) peu t @t re vue

comme une fonc t ion l inea i r e de 81 vera Al ( type : 8 1 -0 Al) , a lo rsque l a logique in tu i t ionn is te c s t basce su r une asyme tr le ent ra ~nt rccs

c t so r t ic s . C 'e s t pourquoi la log ique l inca i r e se propose de type r des

a lgo r i t hmes para l l~ l es , avcc communica t ions rcve rs ib lc s , a lor a que la

log ique In tu i t i onni s t e c s t p r l sQnn i~ re du cad re scqucnt ie l .

Dans l '6 ta t nc tue l , s cu le une pa r t ie de In 10glque l lnea i r e es t t r a i te e

de racon pa rfo i tcmen t sa t i s f a i san t e , I e r es te n I e tan t pas comp Ie temen t

degage de la t r ad i t ion in tu i t l onni s t e . La pa r t ie mat t r i s ee es t appe lec

"f ragment mu l t ip l1ca t i f" , e t se d is t i ngue pa r une syntaxe de type

nouveau , avec des consequences immed ia te s au niveau opera t lonnel .

Dans Ie f r agment mu l t ip l i ca t i f , l e s demons t ra t i ons appa ra is sent comme

des re seaux fo rmcs de fo rmules , e t r e l ie es ent re e l l es pa r des l i ens

logiques . Ces re seaux expr imen t des fo rmes var iees de coope ra t i on

ent re a lgo r i thmes , e t peuven t @t re compr i s comme des "demons t r a t ions

vn para l l~ l e" . I I y a une cond i t i on g loba le de co rr ec t i on d 'un reseau

qui cons i s t e a voyage r dans Ie graphe en suivant des ins t ruc t i ons

de parcou rs , s e l ec t i onnees pa r des in te r rupt eu rs : que lque soi t l a


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-Ui-

pos i t ion des in t er rup tp .u rs , I e graphe tou t en t i e r do i t pouvo i r e t r e

parcouru en une seul e fo is , au t r emen t d i t , i l n 'y a pas de cou r t -

c i rc u it d ' in f ormat i on .

2 .5 . p robl~mes de modu la r i te

Les ques t i ons de modu lar i t~ se posent avec acu i t c , des qu ' i l s ' ag i t de

remplace r , dans un pr-ogr -amme un sous-prog ramme defec tucux , ou qu 'on v ient

d 'ame l io re r . Le typage es t , b i en ent endu , en donn a nt l es spec i f ica t ions

d u a o ua - pr o gr amme a r em pl ac er , un e so lu ti on p ar fa it em en t sa ti sf ai sa nt e,

ma is ne peu t s ' app l ique r que s i I e modu le a r emplacer e s t de forme suf f i sam-m en t r eg ul i~ re .

Le p robl eme de modular i t e es t par fa i tement r eso lu dans Ie cadre l imi te

du fr agment mul t i p l ic a t i f de l a log iquc l inea i r e : s i je decoupe un

re seau B en deux rcseaux B ' e t B" , raccordes par l eu r f ron t i e r e commune

dB ' = dB" , 11 cs t pos s ib l e d ' expr imer que le s modu le s B ' e t B" sont

" comp l~me nt ai re s" , p or l eu r c om po rt em en t it l a f ront ie r e . Grosso modo

le s in s t ruc t ions de pa rcou rs de B ' e t de B" indu isen t des ensemble s

de permu ta t ions S(B ' ) e t S (B") de l a f ront ie re dB' . B ' e t B" son t

r acco rdab le s du fa i t que S(B ' ) 1 S(B" ) , ce qu i veu t d i re que , s i j e

cho is i s une permu ta t ion f dane S(B ' ) e t une pe rmuta t ion g dans S(B ' )

e t s i j e par s d ' un poin t a de dB ' en ut i l i s an t f , pu is g , pui s f ,

pu i s g e tc . , j e va i s parcour i r dB ' t ou t en t i e r deux fo i3 , avant

de reven i r en a par g . 11 es t donc poss ib l e de ~ B ' e t B"

par le s ensemble s de pe rmuta t ions S(B ' ) e t S (B") , e t cec i mon t r e ,

dans un cas encore l imi te , qu 'en theo r i e , Ie p robl eme de l a

modu la r i t6 a une so luUon s imple .

2 .6 . s em an ti qu es o pe ra ti on ne ll es

Comme nous ! ' avons d i t , i l n ' ex i s t e pas de seman t ique opera t ionnel le gene -

(vo i r (16)

r a l e pou r Ie ca l cu l . Ceci d i t , l es prog re s r ap ides de l a log ique l inea i r e


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- 2 0 -

perme t t en t d ' esp~re r une so lu t i on dans un proche aven1r . Nous nOUB con ten-

t e rons ic i de d i l ' e deux mots Bur l a so lu t i on de j a exi s tan t e pour Ie

f r agmen t mu l t ip l i ca t i f , e t nous t r ava i l l e rons Bur un exemple .

Supposons que nous vou l ions app l iquer une fonc t ion l inea i re h ( type A -0 B)

a un a rgumen t k ( type A) i Ie type A peu t e t re vu comme forme de permuta t i ons

d ' un ensemble f in i , i c i nous prendrons A a qua t r e ~ lementB a,h , c , d , e t

k(a) = b, k (b ) = c , k (c ) = a , ked) = d Ie type Bes t lu i - auss s i fo rme

de permuta t i ons d 'un ensemble f in i , i c i nous prend rons B a t ro is e le me nt s

e , f , g . Le type A -0 B se ra fo rme de ce r t a ine s pe rmuta t ions d ' un ensemble

a4

+3

=7

e le me nt s, a ' ,b ', c' ,d ', e, f, g ( a' ,b ' ,c ', d' c or res po nd an t aa ,b ; c ,d) , e t on suppose ra que h(a ' ) = g, h(b ' ) = e , h (c ' ) = f , h (d ' ) = c ' ,

h (e) = d ' , h ( f ) = b ' , h (g) = a ' . Nous vou lons former une permuta t ion

h(k) de type B , qui ser a uno pe rmuta t ion de c , f ,g .

L ' i~ee es t "dQ par t i r d 'un poin t e , f ou g , en u t i l i ean t h e t k do man i~ ro

a l tc rneo , en cons ide rant que a = a ' , b = b ' , c = c ' :

i) n t e ) = d ' i ked) = d i h(d ' ) u c '

ii) h(f) = b ' i k(b) "= c i hf c ") = f

iii) h(g ) = a ' i k(a) = b i htb ") = e

k (c ) = a i h(a ' ) = g

Noue ob tenons f ina lement : h( c) ~ g h( f ) = f i h(g ) = c .

En pa r t icu l ic r cc t excmple mon tr e b ien que la par t i e mul t ip l i ca t i ve d 'un

p ro gr amme f on ct io nn e p ar i t er at io n de pe rmu ta ti on s.

11 re s t e r a i t A in t~grer ce t t e idee dans un cad re p lus vas t c , dc mani~re a

ten i r compte des au t r es aspec t e de l a log ique l inea i re . Ce t rava i l e s t

en cour s e t le s r esu l ta t s par t i c l e obt enue eon t encourageant s . (REMARQUE

s i cc t r ava i l abou t i t , i l donnc ra une eeman t ique opera t ionnel le pour dee

log iques p lus e t ab l i es , comme la log ique in tu i t ionn is te , pui sque nous

avons vu que cee log iques se t.r-adutaerrt en logique l inea i r e i dans

ce t te opUque , la logique l inea i re n 'appa ra i t ra i t p lu s que comme un


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au xi l i a i r e m~thodo log ique , pe rme t t an t de se r i e r l e s p l ' ob l~meBi pa r

exemple , I e p rob l~me compl iqu~ de l ' imp l i ca t i~n es t aho rc l~ p lus fac i l emon t

en t r a i t an t s~pa remen t-0

e t I.)

2.7 . I e pa ra l l~ l i sme

Une des ques t ions es sen t i e l l ea de m~thodo log ie pa r r appor t A ce domaine ~

encore t r~s expe r imen ta l , e s t de de te rmine r s ' i l a ou non un aspec t log ique

impor t an t . Les spec i a l i s t e s du su je t s emble ra i en t pense r que non : l e s

sy s t~mes proposes (pa r exempl e Ie sys t~me CCS de M~lne r ) , n ' on t

pas de s t ruc tu re log ique pa r eux-meme i tou t au p lus , on ten t e de p laquor

une s t ruc tu re log ique ex te rne (pa r exemple de log iques moda le s ou tempore l l e s

c omme P nu el i (17) qu i dev ra i t dcc r i r e I e compor t emen t des p rog rammes .

A no t r e av i s , t ou t e u t i l i s a t i on non in t cg rce de la log ique ne peu t pas

v ra imen t r c soudre l e s p rob l~mes , ca r l a log ique n ' e s t au fond quo la

s t ruc tu re -meme des p rog rammes . Nous pensons que la so lu t ion cs t A

reche rchor sous l a fo rme d 'un typago , co r r e spondnn t h une log iquo in t cg rco ,

comme dons Ie cos de l ' i somorph i smo dv Cur rY-Howard , s i p rcc i eux donsIe cad re scquen t i e l . La log ique l inca i r e a e t e p rcc i s~men t con~ue comme

une log ique dcba r r a s sce des l imi t a t i ons de type sequen t i c l qu i 8Qnt typ iques

de l a log ique in tu i t i onn i s t c (pa r exemple , l a log ique in tu t ionn i s t e n ' e s t

pas syme t r ique du po in t de vue en t r ces / so r t i e s ) i l a log iquo l inea i r e

s ' o rgan i se au tou r de c inq n iveaux : (vo i r [19J )

i ) l a communica t ion : i l s l ag i t de l a nega t ion l inea i r e ( . ) 1 , qu i

echange Ie ra l e des en t r ee s e t des s .~ :~ i e s . Lee r~g le s log iques de

l a nega t ion ( l ' ax iome log ique 1 - A,Al e t l a r~g l e de coupure ) se rven t

A e tab l i r ce t t e communica t ion .

i i ) l a coope ra t ion : i l s ' ag i t des connec teu r s mul t ip l i ca t i f s a t ~ ,

qu i exp r imen t de que l l e man i~ re une tache to t a l e peu t e t r e r epa r t i e

en deux sous - t ache s deno te l ' absence de coope ra t ion en t r e ces


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(.)~ous- taches , a10 rs que ~ indique leur imbr i ca t ion . 11 es t a n ot er } ' e xi st en ce

de c on ne ct eu rs m u1 ti p1 ic at if s d ' ar it e s up er ie ur e, n on r ed uc ti b1 es a des

coope ra t i ons b ina i re s , pa r exemp1e, i1 y a qua t r e fo rmes de coopera t i on

te rna i re p ropre , dont l ' aveni r noua d i r a a i oui ou non , i1s ont une

impor t ance informa t ique . Lea deux premiera n iveaux fo rment prec iaemen t ce

f r agment mu1 t ip l i ca t i f , pour l eque1 1a theo r- I e s t deve loppee juaqu I au

n iv ea u d e l a s cm an tiq ue o pe ra ti on ne 11 e.

i i i ) Ie par tage : i l a ' ag i t de s connect eura add i t i f s e e t &, qu i indique

commen t une tAche to t a1e peut a t r e r emp1acce par une aous- tache T ' ou

une sous- tache Ti l , s ans que l 'on sache 1aque11e , avant execu t ion du

programme (exemple : S I ... ALORS SINON ) . Lea p rob1~mes poure tcndre 1a scmnn t ique opc ra t i onne l l e au n lveau du par toge Boo t des prob lam~s

d~ synchron isa t ion: en e f f e t a i la t ache T devien t p lus t a rd , so i t T ' ,

so i t T" , t on t que l 'on ne oa i t pa s laqucl le des deux oous~ taches sera

e rrectueo , 11 impor t e de ne touche r n i it T ' , n i it Ti l (en po r t i cu l1or , s1 .

T ' e t T i l c ommandon t des ac t i ons I).

i v ) l a mcmoi re : 11 s ' ag i t de s connect eu rs exponen t i a l s I e t ? ; Le prcn i e r

conco rno la mioe en mcmoi re , I e second la ges t ion de l a mcmoire ( e f fncenen t ,

d up li ca ti on , l ec tu re ).

v ) I 'ab s t rac t i on : 11 s ' ag i" ; ;des quan t i f i ca teu rs du second ord re 1 \ 0 (e t \I r A . ;cea ope ra t i ons perme t t en t de def in i r des modu le s t r aa gene raux , ou l ea

types ne son t pas spcc i f i es . C 'e s t ce n iveau qu i donne l a pu is sance

e xp re ss iv e du ca lc ul .

I I e s t t r op t a t pou r juger de l a pe r t i nence des cons idera t ions de logique

l inea i re pa r rappor t au para l le l i sme ; seu le l a mise au po in t def in i t i vo

de l a semant ique ope ra t i onne l l e pou rr a i t perme t t re de conc l~ re .

( . ) un exemple d ' imbr ica t ion ea t donne pa r l ' impl ica t ion l inea i r e A -0 B,

qui n 'e s t r ien d 'au t r e que A l ~ .B~


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3. prob lemes de langage

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3.1. l angag e- sou rce e t l a ngage -ob je t

~n gener a l , un programmeur hUmain ec r i t d ans un langage evo lue ( pa r

exe mple PASCA L) , 16 l a ngage - sour ce ; pu i s ses i ns t ru c t ion3 son t comp i l ees ,

c ' e s t a d i r e t r adu i t e s dans une langue t r&s pr imi t ive , I e l a ngage -ob j f l t ,

qu i e s t l a l a ngue i n te r ne de la mach i ne . Le langage -ob je t e s t t r cD proche

de la s t ruc t u re de l a mp . ch ine ; on peu t pense r que , s i leg r eche r ches de

scman t ique opcr a t ionne l lo abou t i s sen t , co la devra i t in f luence r l eB

langages -ob je t s I ) t m ame dans une ce r t a i ne mesur-e , I e fonc t I onnemen t des

mach i nes ( J ' d r ch i t e c tu re ) . Comme nous avons d6 ja fa i t I e tou r - d u peu

quo nOI ;8 aavons su r 10 scman t ique oper-at.f onne He , nous nous concen t . r e r - ons

su r l e s l angoges -Bourco . Por de f ln i t i on , I e longoge - souce monipu le des

s egmen t s p lus ou moins comp lexe s de longoge -ob je t , qu i oppa : ' o i s sen t donc

comme deB ~du l es , que I e p rog rammeur os scmbl e comme le s p i c (es d ' un

jcu do cons t ruc t i on , . Le ~~ , en cnon


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Les langages types les p lus courants fouJ 'n i ssent des schemas pree tab l i s

pour former des types-va leurs . par exemp i e Le type boot e en , Ie type

des ent ie rs e tc . L ' ecuoil courant es t qUI! ( toutes les u ti l i sa t ions ne

pouvant e t re prevues au moment de la conC!ept ion du langage) . des types

impor tan ts sont a ins i exc lus , voi r par exemp Le l ' oubl i du type des

l i s ten . p ar les inventeurs de PASCAL. Les langages plus recents comme )e

sys t~Me F. la theor ie des cons t ruc t ions Inent ionnes plus haut . reso lvent

ce t te ques t ion de mani~re e legante . en nl~ f ourn issant aucune l i s te

pree tnbl ie . mais par cont re en adoptant des achemas te l lement generau>:

que tout- type de donnce "valeurs" r -alsonnab le :y soi t fac l lement typab1e.

On n " ls t a lors p lus du tout l imi te par des cholx syntaxiques cont r'af gnant.e,

e t on peut cr -eer- es types au gre des beaorns , Par exemple , F type tout

type de donneo " induct i f" de manter -o t r l l s s imple .

3 .3 . inconvenients du typage

Assur .~ment , 1e typage cs t uno cont ra in te ; 11 obl ige it ver i f ie r sans cuase

l 'adequat ion des types des modulcs quo l 'on vcut imbr iqucr . Ccci d i t ,

In quant t t ' I ca t f .ondu second ordro (abs t rac t ion sur les typos) it l ' oouvre

dans F ot ses der . ives , assoupl i t co type do cont ra in te . Par excmple , n i

T es t un typo, creons 10 type l i s t (T) forme de sui tes f in ies d 'obje t s

Tde type T, e t def in issons la fonct ion !E~end de type Hst (T) =) (T =) ; l1s t (T

qui , it une l i s te ( to , t n_l ) d 'ob je t s de type T, e t it t de type T.

Tassoc ie la Hste ( to ' Of tn_I ' t) . Dans F, append es t def in issoble pour

chaque T, mais auss i uni formement en T : on peut former append de tYPI3

AtI . . . ! i s t ( . t ) :)(GC. => l1 s t(O (l ) , q u i MUS d on ne a (l pe ndT pour chaque type

T, s implement en appl iquant append it T I Autrement d i t , i l n ' es t pas

T Uneceosa i re de programmer plus ieurs fonct ions append, app~nd etc . ,

~~ suff i ra I


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Une au t r e l imi ta t i on -beaucoup p lus se r i euse - du t ypage , es t qu ' i l ob l ige

par fo i s a mod i f i e r l e s a l gor i thmes aux depends de leur e f f i cac i t e . Un

exemple t yp ique es t fourn i , s u r l e s en t i e r s , pa r l a fone t ion de predeces seur

P(O) = 0 , P(Sx) = x (S d4no t e Ie suecess eur : Sn = n+1) j na tu re l l emen t ,

en presence d 'un a rgument S t , ce t a lgor i thme me rend la va leur " t " , sans

avo i r beso in d ' e f fec tue r t . Type dans F , Ie p redeces seur n ' a p lus Ie

meme a lgor i thme , c ' e s t a d i re que pour ca l cu le r P(S t ) , on do i t e f fec tue r

t , j u squ ' a ob ten i r une va leur en t i e re n j a lo r s on peu t conc lu re que

peSt ) = n . L ' a lgo r i thme de F ana lyse son argument , e t ne s ' a r re t e que

quand i l a ve r i f i e qu ' i l e s t d e la fo rme S SO , pu i s i l I e syn the t i s e

en "oub l i an t " un symbo le S . On t . rouver -a fac i l emen t d ' au t res exemp les de

ce t tp . s i tua t i on , ou l ' approche typee a l longe asse z inu t i l emen t l e s

ca lcu l s . I I e s t ev idemment ho I ' s de ques t i on de ra jou te r a un sy s teme

comme F, une pr - tmtt Ive pour Je predecesseur , ca r on n ' en f i n l ra i t p l us

de br i co le r de s ex tens ions , chacune de t ronee par l a p receden te .

Donnons un au t re exemple : Maurey a produ i t un \ - t e rme non type , base

sur unc idee as tu c ieuse , e t qu i ca lcu le !e p l us pe t l t de deux en t i e r s

In f (n ,m) dans un temps ega l ( a un coef f i c i en t de propor t ionna l l t6 p r es )

au p l us pe t l t de ces en t i e r s . Kr lv lne a mont re recemment t20~ que ce te rme

n ' e s t~pas typab le dan s F . Aut r~ment d l t , a lo r s que Ie tc rme de Maurey

6pe rmet , s ans types , de savo l r que In f (10 ,10 ) = 10 , en 10 e tapes ,

6 (.)

dans F nous au~ons beso ln de 10 e tape s . ce ' qu i es t r id i cu le . POUI '

pouvo i l ' t ype r ' ce t ype d ' a lgor i thme , Kr i v ine a e te amene a cons id l i r e r

de nouveaux schemas de fo rmat ion de types , pa r exemp1e , V e tan t

donne , d ' i n t rodu i re T e t U par des equa t ions symc t r iques :

U = T =) V

On voi t done que se ~~ss ine une nouve l l e t endance de 18 prog rammat ion

( . ) i l n ' e s t pas exc lu que des var i an tes de l ' a lgor i thme de Maurey so ien t

typab les dans F i cependan t c e r t a ines ten tn t ives por ten t ~ pensor que le

prob le f f i8se r i t a lo r s d~ m8me na tu r e que ce lu i du predcccs scur vu p lu s hau t .


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t yp~e , a savo i r l a poss ib i l i t~ de c r~e r des types , ho r s d~ tou te r~ f~ rence

a u ne s yn ta xe p ar ti cu li ~r e.

S i nous revenons a l ' i d~e de type comme ins t ruc t ion de branchemen t d 'un modu le ,

e t s i nops pensons que ces ins t ruc t ions de b ranchemen t on un Rens

op~ra t ionne l d i r ec t (pa r exemple des o r thogona l i t~s en t r e pe rmuta t ions ) ,

ce t t e s i t ua t ion es t a s sez na tu re l l e : i l e s t impos s ib l e qu 'un cad re

que lconque pour fo rmer des type s , pu i s se rep re sen te r tou te s l e s in s t ru c t ions

d e b ra nc he me nt p os si bl es .

3 .4 . evo lu t ions poss ib l e s du typage

Une premie re e t ape se ra i t l ' ob t en t ion d 'une sem an t ique ope ra t ionne l l e sa t i s -

f a i s an t e , pe rme t t an t de pa r l e r de t ype dans l ' abso lu ( sans re fe rence a

un langage pa r t i cu l i e r ) , en t an t qu ' i n s t ruc t ion s de b ranchemen t . S i cec i

e t a i t r ea l i s e , l e s in s t ruc t ions de b ranchemen t pour ra i en t e t r e dec r i t e s

pa r des fo rmules ma thema t iques ; un prog ramme dans10 l an ga ge -s ou rc e r es sembl e-

r a i t donc a une demons t r a t i on ma thema t ique de compa t ib i l i t~ en t r e l e s

fo rmules ma thema t iques dec r ivan t l e s modu le s qu i l a composen t . (Le

t r ava i l r ecen t de Kr iv ine , su r l ' a r i t hme t ique fonc t ionne l l e du second ord re

AF2 (10) , s ' o r i en t e : dans ce t t e d i r ec t ion . ) B ien en tendu , se pose Ie

p rob l~me de la ve r i f i ca t ion des demons t r a t i ons de compa t ib i l i t e . On

peu t imag ine r une s i tua t ion hybr ide , ou ce r t a in s theo r~mes se ra i en t

donnes a l a mach ine sans jus t i f i ca t ion , ce l l e - c i s e con ten tan t de

ve r i f i e r I e b i en - fonde de leu r app l i ca t ion dans t e l ou te l ca s .

4. p r o bl ~me s d ' a ut oma t is a ti o n

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4.1 . l a me thode de re so lu t ion

L ' au toma ti sn t ion du rn i sonnemen t log ique se heu r t c a l ' i ndec idab i l i t e


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du ca lcu l des pr-edf ca t. e, a savo i r que qu ' il n ' y .1 pas de moyenmecanf que ,

meme th eo r ique , pour savo i r s i une fo rmule donnee es t ou non un theo r~me

log ique . Meme dans Ie cad re dec idab le du ca l cu i p r~pos i t i o nne l , l e s

a lgo r i t hmes connus (comme les t ab lES de ve r i t e ) son t exponen t i e l s , c ' e s t

a d i r e qu ' i l s s e heu r t en t a des l imi t a t i ons p ra t iquBs de temps e t

d ' e space . Ces l imi t a t i ons n 'on t pas empeche la mise su r p i ed d ' a lgo r i t hmes

pe rme t t an t ( en theo r i e ) une semi -dec i s ion : cec i e s t poss ib l e , ca r l a

c l a s se des theo r~mes es t semi -dec i Jab le , ce qu i veu t d i r e qu ' en es sayan t

tou te s l e s demons t r a t i ons poss ib l e s , on t r aouve ra b ie~ une demons t r a t i on

de A, pourvu qu ' i l y en a i t une . Pa r con t r e , e s saye r une ap r~s l ' au t r e

tou te s l e s demons t r a t i ons log iques es t coOteax e t peu e f f i cace , aus s i

a - t -on ten t e de l imi t e r l a r eche rche , en se l imi t an t a d es d emon st ra ti on s

d c f or me p ar ti cu li ~r e.

i ) I e theo r~me d 'Herb rand (1930) pe rme t de redu i r e l a fo rme log ique

d 'u n p ro bl ~m e a u ne f or me ( pr es qu e) p ro po si ti on ne ll e.

i i ) dans Ie cad re p ropos i t i onne l , I e Haup t sa t z de Gen tzen (1934) pe rm~t

de se l imi t e r a des demons t r a t i ons de fo rme pa r t i cu l i~ re .

Un exemple typ ique es t fou rn i pa r PROLOG : Ie l angage es t fo rme de c lauscs

qu i son t des sequen t s in tu i t i onn i s t e s , fo rmes de fo rmules

a tomiques (c l auses de Horn ) ; on s ' i n t e r e s se aux sequen t s 1- A qui son t

consequencc s log iques dc t c l l c s c l auscs . Lc theo r~me dc Gen tzen s ' app l iquc

i c i , non pas pa r unc e l imina t ion to t a l e des coupurcs dans une demons t r a t i on

de 1- A, maiu pac l cu r r e s t r i c t i on aux fo rmules a tomiques . I I e s t

d ' a u t r c pa r t f ac i l e d~ vo i r que le s r~g lc s de con t r ac t ion , d ' echange , e t

d ' a ff a ib l i s semcn t son t r edondan te s , e t on a r r ivc a l a conc lus ion que ,

s i 1- A es t consequence log ique des c l auscs dc depa r t , i l c s t demon t rab l c

a pa r t i r dc -ccs c l ausus (p r i s c s comme ax iomes ) dans l c squc l l c s on a fa i t


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des subs t i t u t ions arb i t r a i re s , au moyen de l a r eg Ie de coupure .

La me thode de reso lu t ion de Rob inson (1965) donne une s t r a t eg i e pou r

r eche rche r , I e p lus e f f icacumen t poss ib l e , une t e l le demons t r a t ion ;

en pa r t icu l ie r , en reccu rant au p rocede d 'un i f ica t ion , qui l imi te au

minimum les subs t i tu t ions , on ob t ien t un a lgor i thme theo r ique assez

e f f icace , e t qu i t rouve toujou rs la so lu t ion , s ' i l y en a une . (voi r [2] )

La mise en oeuvre pra t i que es t p lus di scu tab l e : pour acc ro i t re

l ' e f f ic ac i t e , e t ev i te r des prob lemes de reche rche in f in i e l ie s al a sequen t ia l i te du fonct ionnement , i l a f a l lu de t ru i re la symet r i e

log ique de depa r t , ce qui fa i t que PROLOG, te l q~i l ex i s t e en ce moment ,

n ' a p lus qu 'un rappor t l o in ta in avec l ' idee de prog rammat ion log ique ,

pu isque l es r eponses donnees son t faus sees par l es npera t ions non- logiques

qu ' i l a fa l l u ra jout er . 11 y a i c i une ques t ion impor t an t e , a savo i r

l 'a de qu at i on d e P RO LOGa l a l og ique , e t sur tout , que l l e log ique .

11 es t a pr io r i exc lu , que le s s t ruc tu re s de cont ra le de PROLOG, t e l le s

qu ' e l le s sont , pu is sen t cor re spondre ades impe ra t i f s l og iques p rec i s ;

par con t re , i l es t concevab le que ces ope ra t i ons douteuses , convenab lemen t

ana ly sees , pui s modi f i ee s , pu is sent e t r e in tegree s dans un cadre log ique

d i f f e r en t du cadre de l a logique in tu i t ionn is te . Pour donne r un exe~p le

(nous ne p re t endons pas resoudre Ie p robl eMe ic i , s eu lemen t mon tr er commen t

de s c~ ns id er at ion s lo gi qu es i na tt en du es pe uv en t in te rv en ir ), PR OLOG .

nous l ' avons di t , e s t g rosso modo Ie co lcul des sequent s redu i t a l a

coupure e t ~ la subs t i t u t ion . En pa r t icu l ie r , i l n 'y a pas de reg l es

s t ruc ture11es , c ' e s t a d i r e que PROLOG gere se s sequent s comme 1a 10gique

1 inea i re . Pbu r s 'en convainc re , i 1 su f f i t de remarquer que s i PROLOG

rencon t r e success ivement deux foi~ Ie meme prob1eme A, i1 fer a deux

fo is 1a Ver i f i ca t i on af fe rent e , au t r ement d i t AA An 'n pns 18 val eu r


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de A, comme en log ique l inea i re , A ~ A se compor te t r e s d i f fe remment de A.

On peu t donc pens e r que les oper a t ions de la log i que l in ea i re devra ien t

a ide r a se r i e r l e s p rob lemes de la programmat i on l og ique ; en par t i cu l i e r

e l l e s pour ra ien t su r impose r a l ' a spec t log ique t rad i t ionne l d es ind ica t ions

sur Ie type de recherches e f fec tuees par l ' a lgor i thme . (Un produ i t t ensor i e l

A ~ A di t que l ' on u t i l i se A deux fo i s e tc . ) .

I I e s t a r emarquer que PROLOG s ' appu ie -en 'p r inc ip c - , non pas sur l a symet r i e

demons t ra t ions / con t re -demons t ra t i ons , ma i s su r l a symet r i e pos i t i f / nega t i f

(merne s i l a res t r i c t ion aux c laus es de Horn f a i t pe rd re b ien des aspec t s

in te ress an t s de ce t t e symet r i e ) . En ef fe t , PROLOG es t suppose (en theo r i e )

fonc t ionner d ' une manie re d i f fe ren t e des au t res l angages , types ou non

- quand je programme, que ce so i t en BASIC ou dans Ie sys teme F, il ne

s ' ag i t pas de pose r un prob leme que I 'o rd ina teu r resoud par lu i -meme ; Ie

programmeur resoud la ques t ion en gener a l , l a mach ine adap tan t l a methode

a des cas par t i cu l i e r s

.- pa r con t re PROLOG a la pre ten t ion dc fonc t ionner su r Ie mode : posez la

~es t ion , nous fe rons Ie res t e l Aut rement d i t , I e seu l p rob leme reso lu

horo de l a mach ine es t l a reso lu t ion , que l i on app l ique a t ous le s

p rob lemes imag inab les . Ce t t e pos i t ion es t d i f f i c i l emen t t enab le p ra t iquement ,

e t c ' e~ t pourquo i PROLOG mul t ip l i e l e s ind ica t ions de con t ro l e , qu i

pe rmet t en t en fa i t de eon t ourne r l ' a lgor i thme genera l , t rop mauva i s ,

e t d 'u ti li se r a l a p lace des "as tu ees" . On redecouvr6 a lo r s l e s ve r tus

de la progr ammat ion in te l l igen te , ou Ie prog rammeur a un ro le ae t i f . On

peu t eependan t se demander s ' i l e t a i t b i en sage de vou lo i r a ce po in t

e l imine r . l ' i n t e rven t ion de l ' imag ina t ion dans la p rogrammat ion : eomme ce t t e

e l imina t ion ne se fa i t pas b ien , e t qu ' i l f au t quand meme programmer au

sens t rad i t ionne l d e t rouver des idees , dc les agence r e tc . , on se rc t rouvc

e i .gu l Le r -ement ; demuni , pu i s que PROLOG nI a r i en pr evu pour s t ruc tu rc r l e s


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i d e es de progr amma t i on .

En fa i t , PROLOG (y compr i s s e s s t r u c t u re s d e con t ro l e ) s ' appa r en t e , d avan t age

a un langage -ob j e t i i l e s t i n t e re s san t a c e propo s de remarque r l ' e t ro i t e

s imUi t ude en t re I ' ex e cu t ion d ' u n p rog r amme PROLOG e t l a fH~l l Jan t i queoper a t i on -

ne l l e de l a l og i que l i ne a i r e ( l e s p e rmu ta t ion s co r r e sponden t au pa rcour s

d es c l aus es , l ' un i f i c a t i on de PROLOG aux quan t i f i c a t eu~ s e t a l ' e xponen t i a t i on ,

~ t l ' e ch ec dan s PROLOG au t r a i t emen t de s connec t eu r s add i t i f s . )

4 .2 . p r ob l emes de ba s es de donnee s

l c i I e p r ob l eme v ien t d e l ' i n adequa t i on compl e te en t r e d ' une pa r t l a que s t i on

t r e s impo r t an t e de la comp l e t i on d 'un ens emb l e d ' i n f o rma t i ons ( p a r exemp le

un sys t eme expe r t , qu i do i t f a i r e de s cho i x ) , e t d ' a u t r e pa r t l a " t h eo r i e "

qu i e s t s uppoaee en r end re comp t e . Sou s Le nom de " l og i que non c r o i s s an te "

c e r t a in s au t eu r s ( e . g . Mc De rmo t t & DOy le !: ?l ) o nt p r- et en du r ep on dr e a

c e t t e ques t ion . Leu r i d ee e s t l a s u i v an t e : p r enon s une fo rmul e A, de deux

cho se s l ' u ne :

- so i t j e p eux -La d ec id er ( de rn or rt r- er -u r ef ut er ) a par t i r d e I ' et a t ac t ue l

de l a b a se de donnee s , a uque l c a s , t ou t v a b i en

- s i non j e peux dec id e r en t r e A e t sa nega t i on au moyen d ' un sy s teme de

p re f e r enc e s , e t r a j ou t e r c e t t e d e c i s ion a r na b as e

En log i que , ce type de con s t r uc t ion es t connu depu i s 1930 : i l s ' a g i t d e

la con s t r uc t ion d ' un mode l e ( t h eo reme de compl e tude ) i b i en p i r e , on

sa i t que l a con s t r u c t i on d ' un mode l e e s t ; v io l emmen t non -e f ' r e c t t ve , c ' e s t

a d i r e ne s aur a i t @t r e mecan i s ee . Ce qu i e s t p ropos e comme mode le de

fonc t i onnemen t d es sy s t emes expe r t s , e s t donc fondamen ta l emen t i nadap t e ,

pu inque la mach i ne n ' a u r a aucun moyen de ver i f i e r qu ' un enonce e s t ou

n ' e s t p as de ja dec i de I La so lu t ion propo s ee n ' a donc pa s de r ea l i t e

in f o l 'ma t i que (meme dan s I e cad re p ropo s i t i onne l , a c aus e du ca r ac t e r e

exponen t i e l de l ' a lgo r i t hme de dec i s ion ) , quand au po in t d e vue log ique ,


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-31-

I e con tenu va r i e b ien souven t - su r l e s exemples que nous avons pu juger - du faux

au t r iv ia l~*le s p ropr ie t e s b iza r res de non-c ro i s sance (non-mono ton ic i ty )

v i ennen t du fa i t qu ' i l s veu len t a tou t f- ~< t r a i t e r l e s mode l es comme

s ' i l s e t a i en t des theor i e s log i ques , avec les consequences que l ' on

imag ine . Pou r resoudre ce prob leme impor tan t de fa~on p lus sa t i s fa i s an te ,

i l f audra i t ga rde r a l ' e sp r i t que lques pr inc ipes :

i ) l a log ique n ' e s t pao une bo i t e no i r e , qu i , e t an t donnes des ax iomes ,

nous fou rn i t tou te s l e s consequences (e t encore moins c e qu i n ' e s t p as

consequence des ax iomes) . Ce la coOte de dedu i re , en temps , en espace . Un

sys teme se ra peu t e t r e a rn ene a adop te r - ,A , mai s pas par-ce.qui I sa i t que

A ne se ra jamais ob tenu , mai s s implement pa rce que la recherche de A

a dO et re in te r rompue , fau te ~e temps e t / ou de moyens . En adop tan t

7A, le sys teme dev ien t con t rad ic to i re au sens de l a l og ique c la ss ique ,

s i i l s e t rouve qu 'un ef fo r t p l us sou tenu aura i t amene a A. Ce la pos e

un prob leme , qu i amene encore une fo i s a changer de log i que .

i i ) c e n ' e s t pas pa rce qu 'un sys t eme a e te amene a af f i che r~A, fau te

d ' avo i r su mont re r A, qu ' il do i t memor i se r , A ! IJ. do i t memor l se r une

i n fo rmat ion qu i syn t he t i se , sous une fo rme log ique approp r iee , I e degr e

de recherches auque l 11 s ' e s t a r re t e . Seu les des log i ques dans l ' e sp r i t

de la log ique l inea i re , Gui p rennen t en compte l ' e f f o r t fourn i dans une

demons t ra t ion , peuven t espe re r repondr e a la ques t ion . B ien en tendu ,

ce t t e l og ique , l ine a i re ou au t re . devra i t e t r e a usage in te rne . l ' ec ran

ne fa i san t appara t t r e que des reponses fo rmule es en t e rmes OUI /NON.

4 .3 . I e p rob l~me de la con t rac t ion

Que ce so i t dans PROLOG. ou dans les base s de donnees , I e p rob leme essen t i e l

e s t ce lu i de savo i r a r re t e l ' Le s r echerches a t emps , .e t d '@tr e capab le

d ' e xp l ique r log i quement ce que l ' on a fa i t . Pourquo i des sys t~mes d ' ax iomes

( . ) ce r t a in s a r t i c l e s Comme ce lu i de Re i t e r (22) son t f ran chement su r rea l is t e s

i l adap te la reso lu t ion en y inco rporan t un te s t de sa t i s fa i sab i l i t e (:11);

on pour rn i t tou t auss i b ien propose r d ' a spe rge r l ' o rd ina teu r d ' e au ben i t e


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-32-

f in is a me ne nt -i ls a de s re che rche s in f i n i e s ? C ' e s t a caus e de la r eg Ie

de con t ra c t ion , qu i pe rme t d 'u t i l i s e r I e meme ax iome de fa~on i l l imi t e e .

La con t r ac t i on enonce que A et A A son t l a meme chos e , ce qu i e s t va l id e

du p~ ln t d e vue s eman t i que , ma i s f aux du po in t vue a lgor i t hm ique . En supp r iman t

l a con t r ac t i on , l a log i que l i ne a i r e p e rme t de d i s t ingue r en t re A e t A B A,

e t on ec r i r a 8 , A -0 B, (A B A) -0 B, (A B A B A) -0 B, e tc . s u i van t que ,

pour ob ten i r B , A a e t e u t i l i s e 0 fo i s , 1 f o i s , 2 fo i5 ; , 3 f o i s , e t c .

on vo i t a in s i que l ' on peu t con t ro le r 1a r eu t i l i s a t i on des ax iomes , tou t

en res t a n t dons un cadre l og i que sa t i s f a i s an t . I I r e s t e encor e a ver i f i e r

I e b i en - f onde p ra t ique de ces con s t a t a t i on s t heor iques .

5 . en gu i s e de conc l us ion

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Nous avon s es saye de dec r i r e ce que l a l og ique appo r t e , ou devr a i t a ppor t e r

a l ' i n fo rma t i que : une ce r t a i ne app roche modu l a i r e , ba se e su r d es syme t r i e s .

Ces symet r i e s s on t , pa r o rd re d ' impor t anc e , l a syme t r i e d emons t r a t ions / con t re -

d emons t r a t ions , e t l a symet r i e pos i t i f / nega t i f , qu e l a l og i que l i nea i r e

e s s aye de r econc i l i e r . Une au t r e oon s t a t a t ion a e t e fa i t e : 1 ' a ppor t d e la

log i que a l ' i n fo rma t ique , du moins sou s le s aspe c t s env i sages i c i , e s t

d 'o rd re e ss en t i e l l emen t ope ra t i onne l , c ' e s t a d i r e que l a l og ique a que lque

cho se a d i re au n iv eau de l a s t ru c t u r e de s p rogr ammes , de leu r" execu t ion .

(En pan t i cu l i e r l a mon ie qu 'on t ce r t a i ns i n f o rma t i c i e ns d ' ax ioma t i se r

ad naus eam, mon t r e que s i i l s on t comp r i s 1 ' impor t anc e de l a log i que pour

l e u r d i sc ip l i ne , i l s n e s aven t p as l ' u t i l i s e r ; en cor e une fo i s : l a l og ique

ce n ' e s t p as de s ax i omes e t de s reg le s , c ' e s t de s symet r i e s I). Bi en en te nd u,

dan s c e t t e re l a t i on , l a l og i que ne s e pr cscn t e pas sou s la fo rme d ' un co rp s

de doc t r i ne immuab le dan s l eque l i l n ' y au r a i t qu ' a pu i s e r pou r t r ouve r

d cs app l i ca t i on s : e l l e s o mod i f i e e l l e -mame SOliS l 'e ff c t de s app li ca ti on s,


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-33-

en o rgan i s an t s es th emes su i v an t de s l ignes d i f f e r en t e s : no t re d e r n ie r e

r emat-que !"o.::S cue ~~!!f~')_rr'~: i q , ; ! : _p J j o r te b e a l ' ~o~p a 1 n 10g ique . D I abo rd , -e L l e

o f ' f 'r ' en f ' Ln l i n d oma i ne d t app i r c . at i oua spec i f ' Lque it 1 < .1l o gi q ue , m o in s

c apr i c i e ux que l e s ma themat i ques , ou la log ique ne s ' e s t app l i que e qU ' au

coup pa r coup . De p l u s . l e s s pe c i f i c i t e s d e l ' i n f o rma t i que (p a r exempl e

l e s cons i de r a t i on s de t emps de ca l cu l ) i n t e rd i sen t d ' a pp l ique r mecan i quemen t

l e s t h eo r emes ex i s t a n t s : i l s do iv en t e t r e r evu s , ad ap t es a d es c on tr ai nt es

nouve l l e s . Dans c e pro ce s su s de rev i s i on c r i t i qu e . l e s v a leu r s l e s mi eux

e t ab l i e s d e l a l og i que son t r em i se s en cau se , e t d es p r ob l ema t i que s que

l ' o n c r oya i t e n te r r e e s depu i s un demi - s i ec l e rep rennen t souda i n une

v i gueur in a t t e ndue . C ' e s t donc , d 'un e ce r t a i ne man i e re , un r e tou r auy.

sour c es . une se conde j eunes s e qu i e s t o f f e r t e a l a log ique . Pourvu que

c ; a d u r e l


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- 3 4 -

BIBLIOGRAPHIE

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Ed imbu rgh 1981 .

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J ean-Yves G i r a r d : Mul t i p l i ca t i ve s , a pa ra i t r e dans le s

compt es - r endus du Congr es " log ic and compu te r sc ience : new t r end s and

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J ean -Yve s G i r a rd : L i nea r l og ic and par a l l e l i sm, a pa ra i t r e dans

le s compt es - r endus de l ' ~co le " seman t i c s o f pa ra l l e l i sm" tenu au lAC , Roma

en Sep temb re 1986 .

( 20 ) J ean -Lou i s Kr i v i n e : Un a1go r i thme non typab le dan s Ie sys teme F ,

Not e aux Comp te s -Rendus de l 'Academie de s Sc iences , 1987 .

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In t e l l i gence , s p ec ia l i s s ue on "non monoton ic log i c" , Ap r i l 1980 .

( 22 ] R . Re i t e r : A log ic f o r de f au l t r ea son i ng , i n Ar t i f i c i a l

I n t e l l ig ence , sp ec i a l i s s ue on "non mono ton i c log ic " , Apr i l 1980 .


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LA 100IQUE


40/70

-2 -

I, l' ~tion de 1a lOSique standard l 1& science "erdtnatre"

1.1. 1'b4dtNe du reductionniBlm:

L'obsession des fondement.'1(symbolisee par Ie mot Grundlllgen) est 1a cause

directe du spectaculaire ~ve10ppement de 1a Iogfque formelle A 1a fin du siee1e

passe. Bien que de tout temps l' on ai t cherche Ie pourquod du pourquoi , i 1

semble que seul Ie scienti&lle des annees 1900 ait cru l'avoir A portee de 1a

maIn : A cette epoque -en caricaturant un peu- :

a) 1a partie "exacte" de loa science avait eM depuis belle 1urette reduite

aux l18t:hlaatiquea

~) lea math&latiques elles-memes etaient en passe, au moyen de

1 'axlo.atlsatlon, de 1a ~rie des ensembles, de 1a logLque formelle, de se

r&tulre A un jeu creux de symboles,

Dens co jeu de reductions successives, l'etape a) etalt fort anclerme, avec

un moment fort au XVU' siee1e, que r e a un ebien Descartes, L'etape ~) est plus

specifique du scientisme fin de sieele, et peut etre rellt..mee par Ie progrUtae de

Hilbert, qui se donne precl~nt pour but cetta r&tuction des math6-.natiques A

presque r-Ien, On sait que Ie prograane de Hilbert fut refuM en 1931 par OOdel,

et que cetta refutation est sans appe1 ; on lira A ce sujet Ie beau livre de

Jean van Heijenoort [2], qui regroupe 1es oeuvres cbarnteres de cette

renaissance de 1a logique, Dans cette peri ode extreeeeent, f6conde, 1a Iogfquemodeme etait nee mais elle portait un stigmata, dO aux ambitions

reductionnistes de base : co n'etatt que 1a logique des m~th~tiques.

II est t e m p s de s'interroger sur la validi~ du point a) : 1a correctIon de

cetto reduction n o fait aucun d o u t e ; c n particulier, ai l'6tapo 1 1 ) avait pu

etre accomp1io, t o u t e l'activit6 acientifiquo - c n ce qu'e11c a d ' c x a c t - auroit

1ft logique co-.o OCiC0C8 do 1 t Internot.Ion


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-3 -

~te reduite A quelques manipulations mecaniqw~s. Ce qui fonde la possibili~ de

l'Mape a) c'est que tout ce qui est suffisanment p~is est mathematilJable.

Mais on est en droit de se poser la question de l'utilit.e de la r&luctiOI\ (I) I

~ lors Qu'eHe ne s'articule plus SUI' un prograDDe de type Jivaru. ~ 8J! rend

alors compte que la situation est bien plus CXlIDPlexe,t que les mathema.tiques

ont une relation Adouble detente avec les sciences exactes :

1- d'abord sous forme d'outil, par exenple l'kriture d'equations : c'est

la forme universellement utilisee. Dans ce c aB , il y a un discours scientLfique

plus ou mains rigoureux, tenu en langue vulgaf re , mais ponctue d'equations.

2- ensuite sous la forme de Ia possib1l1 te de fonnaliser Ie di:3COUI'S

scientifiql~ jusqu'A compl~te mathematisation.

Autant. la partie 1- est pertinente, autant la partie 2- est maladroite et

ne Joue au fond- qu'un role idoologique. En effet -COllIDe nous al Iona Ie

v~rifier !:IUI' des exemples couranta- 1 enchainement nature 1 des ~l,&aents

IIlUthema.tlques du discours scientlfique ne sutt, pas les lois du raisonnement

mat:.Mmatique(Le. La logique habituelle), mais d'autres Iofs , qui sont celles

de la lclgique linooire. Bien entendu, COCIIDe ces lois sont elles-memes

mat.h6MtiSl~bles, 2- reate correct coame possibilite, mais au prix de ~tours qui

~naturent la structure profonde des enchainements Iog iquea,

I I. 2. 1 & structure de 1& CODStSguence lodque

Les mnthema.tiquessont bas~s sur l' i~ de et tuet ton, c'est A dire de fait

stable. Pour simplifier, une situation est vraie 041 fausse , et Ia valeur de

v~rite (V/F) d'WlC situation, par exemple Ie fait que 0 = 1 est faux, n'est pas

alt.er6ti p6J~l'usage que nous en faisons : ce qu'on pourrait appeler Ie pr tnctpe

do peronn.1 te do l a v e r He. Ainsi, I" implication Iog ique A Q D (et de m e m elos

aut.rea op6J~ations quo sont 1& conJonction A 1\ D, 1a disJonction A V D, la

n6gation "A) est-olIo d6finic par un t t l b l 0 3 u d e v e r i t e , qui d6tenmine 1a valeur

JG!Ul-YV~s irard


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-4-

de v~rite de A ~ Ben fonction des valeurs de v~rite des constituants A et n

A B kill MB AVB .. A

V V V V V F

F V V F V V

V F F F V

F F V F F

Cette ~relUlite de la v6rite reste valable pour d'autres Iog iquea fond6es

sur l'6tude du raisonnement matllematique, coome La Iog ique tntuitionniste, qui

est loin pourtant. de se rCduire A des tableaux de v6ri te.

A cette Iog lque qui nanipule des v6ri tes ~ternellcs s' oppose Is Iogfque de

tous les jours, qui est aussi celIe des enchainements scientifiques

non-math6natiques. Tout se passe dans Ia vie courantc, coome si tout avait un

coot et si la JmJlipulation Log lque ~tait limitke par des homes de resnourcea

~videntes. Autrement dit, l'implication reclle ( c au s a J c ) est liea A l'id6e de

payer (ou d '6changor) 10 fait do payor d6finit slore la 10giquo canna un

logiquo defJ a c t i on s , c'est A dire des faits non reutilisnbles. Co qui s'opposo A

In l'6utiliaation des fnits -1 'acte de "payer"- correspond A In reaction des

p.'lyaiciens. Nous allons maintenant d6volopper quelquos oxeroplos tires do In vie

quotidiormo ou de manipulations Bcientifiqucs ramlli~res pour colA, nOUB

ut lHaerona los COlUlCCtoUI'8 l n e a l ros . . (implication lin6aire, avec 10 sons

d'uno implication causalo : en utiliBMt A, J'ai D, lire itA ontretno D") ot

(produit tenaor-Ie.l , avec 10 sens d'llno conjonction : faire A at faire D , lire

In logique C


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-5-

"A t ot s a").

ex) aupposons que lea cigarettes I08u10iaea" ct "Ce1tiquea" aoient au m e m o

prix, diaons 6F on peut cons iderer A : 5F, a: paquet de Gaul.of aea , C : 1

paquet de Ce1tiques. On n' est evidemnent pas habi tue A consfderer des objets

coome des proposd tions logiquea, mais ca peut. a' arranger en lisant A coome

j'ai 5F , etc. Le fait que pour 6F je peux avoir 1 paquet de O8uloiaes

s'ecrit alors au moyend'une implication 10gique :

A . . a

et pour lea memearaisons, on ecrira A .. C.

8i .. et e ~beiaS8ient aux loia de Ia logiquo usuelle (c'est A dire etaient

gouvernees per un tableau de verite coeee ci -dessus) , on aerai t en drof t de

conc1ure A .. D!C

c'eat A dire, que pour 6F je peux avoir un paquet, de Gauloiaes et un paquet de

Celtiquea, cc qui aerait In mine de l'economie liberale. Pnr contre, 11 est

legitime de conclurc que AeA .. J)tC

c'est A dire qu'on sut. avoir lea deux paquets pour 10F. Cet example illustrc

lea faits auivants :

quand on appliquo A .. a pour acheter a au moyen de A, une r&lction ao

produit (on pard 6F), et lea liF no sont, plus diaponibles pour un autro achat ,

10 fait quo MIA .. DaC eat, correct a lora que A .. n e e no l'eat p6S contredit

I e dogmodo l ' l d e . pot e n c o d o /8 con j onc t l on , c'est A dire que A Berait

~uivalent A A f f J A(qui est vrai ai on rcmplnco por ", voir tabl.enu do v6rit6).

J') po8S008 matntenant, A In chimie (A un nivenu tros aOOlMiro): prcnons

La r6nction chimique bien connuo qui fonne deux mol6culea d'cau A portir de deux

mol6culc9 d'hydrog~no ct d'W10 mo16culo d'oxyg~no pout s'6crire comnc

l'implication : A e A e D . .cae

JOOI'l-YVCBgi rard


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-6-

lei encore, on rencontre Ie phenomene de Ia non-idempotence de 1a

conjonetion (identifier A et NlA reviendrait a ignorer 1es proportions du

m61ange) j e'est iei que nous mentionnerons une autre partieularite. 8i nous


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-7 -

c om mut at lv lt e d ~ l a c on jon c tl on , a savoir que AeB serait equivalent a BeA

(principe veri f ie par " ' , voir tableau de ver i t e)

On p ou rra it mu lti pl ie r l es ex empl es a l ' inf ini , a propos du d ep la ceme nt d espieces aux echecs , du probl eme de 10. revision des Jugements dans un systeme

exp er t, o t :} . Dans toua los cas, on se retrouvorai t amene a refuser (ou du moins

a reexaminer) les trois dogmes de 10. logique tradi tionnel le que nous o.vons deja

rencontres, et que noua al lons rappeler ici i noua 1es faisons suivre de leur

nom technique en calcul des sequents

l ' imp li c at i on ma te r ie l 1e

l ' id empo te nc e d e 10.c on jo nc ti on

10.c ommu ta ti vi te d e 10. conj on ct io n

( a f f a l b l l s s emen t )

( con t r a c t i on )

( e r h ange )

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Girard - Logique et informatique

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