GIN FA INSTRUMENTATION P Breuilpbreuil/capmes/mesure istp .pdfTP1 M-d/2 M M+d/2 d Moyenne M...

1

GIN FAndash INSTRUMENTATION P Breuil

OBJECTIFS

bull connaitre les bases des statistiques de la mesure afin de pouvoir drsquoune partcomprendre les speacutecifications drsquoun composant et drsquoautre part eacutevaluer avecrigueur les performances drsquoune chaine de mesure

bull Etre capable de comprendre le suivi des solutions drsquoinstrumentation(eacutetalonnage veacuterification du fonctionnementhellip)

bull Comprendre le fonctionnement drsquoune chaicircne drsquoacquisition de mesure lesdiffeacuterents signaux mis en œuvre et les principales opeacuterations de traitementde signaux associeacutes

bull Etre capable de choisir des capteurs et de superviser leur mise en œuvre enfonction de lrsquoinformation souhaiteacutee (type preacutecisionhellip) de lrsquoenvironnementet du systegraveme de traitement de lrsquoinformation

bull Pour cela connaicirctre les principes physiques et les principales technologiesutiliseacutes dans les capteurs

Calendrier

eacutevalueacute

15 ou 1710 TP 4h Excel

Stats mesure (1)

18 ou 2110 TP 4h Excel

Stats mesure(2)

2812020 Cours2h

Signal amp capteurs

311 ou 42 TP 4h (eacutevalueacute)

TP signal capteurs

52 ou 72 TP 4h Mesure+ reacuteconciliation

72 ou 112 TD 4h Prep exam

122 Exam (2h)

Total 22 heuresAutonomie

Cours TD TP

2 4 16 gt12

2

Contact amp lien

Ressources du cours drsquoinstrumentation

httpscampusemsefrcourseviewphpid=260

si le mail istp est gin18aeinsteineleve-istpcomle login EMSE sera gin18aeinstein (en minuscules)

(si oubli mot de passe httprazmdpemsefr adresse de secours = ISTP)

Alternative temporaire wwwemsefr~pbreuilcapmes

votre compte Mines Saint-Etienne

pbreuilemsefr

Evaluation 1TPs (coef 14)

Evaluation sur les laquo rendus raquo en fin de seacuteance drsquoun TP 2egraveme)

3

Evaluation 2Examen (coef 34)

bull Preacuteparation plus speacutecifique lors du dernier TDbull 2 hbull Pas de documentsbull Formulaire fourni (4 pages)

Statistiques de la Mesure

Philippe Breuil octobre 2019

bullMesure Measurement

bullIncertitude uncertainty

bullEtalonnage Calibration

4

La Mesure

Mesure=

Instrument de mesure uniteacute de mesure meacutethode de mesurehellip

Mesurage = action de mesurer (measurement)

laquo Lobjectif dun mesurage consiste agrave deacuteterminer la valeur du mesurande (measurand) cest-agrave-dire la valeur de la grandeur particuliegravere agrave mesurer raquo (GUM 2008)

laquo En geacuteneacuteral le reacutesultat dun mesurage est seulement une approximation ou estimation de la valeur du mesurande et de ce fait est seulement complet lorsquil est accompagneacute par une expression de lincertitude de cette estimation raquo (GUM 2008)

Guide to the expression of Uncertainty in Measurement

Meacutetrologie

Meacutetrologie = science de la mesure

bullAspect physique et matheacutematique

bull Statistiques de la mesurebull - calcul des incertitudes

bull - Etalonnage

bull Moyens de mesure Capteurs

bullAspect leacutegal

bull Obligations lors drsquoune transaction commerciale

bull Obligations lors de la publication drsquoune mesure

bullAspect eacuteconomique

bull Traccedilabiliteacute et fiabiliteacute

bull Optimisation de la qualiteacute

5

Mesure drsquoune grandeur

Le mesurage se fait agrave laide dun instrument de mesure

bullPar comparaison ex megravetre rapporteurhellip

bull Plus geacuteneacuteralement lrsquoinstrument de mesure va servir agrave transformer un pheacutenomegravene physique en un autre plus facilement mesurable par lrsquointermeacutediaire drsquoun capteur

-- pHmegravetre grandeur chimique -gt grandeur eacutelectrique

-- boussole grandeur magneacutetique -gt grandeur geacuteomeacutetrique (angle)

Cf cours suivanthellip

10

Meacutetrologie chaine de mesure

Laboratoire National

drsquoEssais

NIST (US) PTB (D) NPL (UK)hellip

EtalonsCGPM tous les 4 ans

Comite Franccedilais drsquoaccreacuteditation

6

Uniteacutes de Mesure Systegraveme International

Systegraveme International (SI) baseacute sur 7 grandeurs eacutetalon


Systegraveme International (SI) 1960 baseacute sur le systegraveme meacutetrique (CGS puis MKSA)

7

Uniteacutes de Mesure

Autres uniteacutes autoriseacutees-Composeacutees agrave partir des uniteacutes primaires joule (J)=kgm2s-2

-Autoriseacutees car signification physique universelle degC heure eVhellip-Multiples puissances de 10

10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14

Erreur absolue diffeacuterence entre la valeur reacuteelle et la mesure

Erreur relativeerreur |mesure| (x 100 si en )

Erreur systeacutematique erreur de valeur moyenne non nulle

Erreur aleacuteatoire erreur non preacutevisible de valeur moyenne nulle

Le vocabulaire est normaliseacute par le BIPMVIM Vocabulaire International de Meacutetrologie

8

Vocabulaire (2)

15

Sensibiliteacute drsquoun SDMdydx pour x donneacute (x=mesurande y=valeur fournie par le SDM)Ex capteur de pression mVhPa

Reacutesolution drsquoun SDM plus petite variation du mesurande deacutetectable

Incertitude laquo Paramegravetre non neacutegatif qui caracteacuterise la dispersion des valeurs attribueacutees agrave un mesurande agrave partir des informations utiliseacutees raquo

Incertitude relative incertitude|mesure|

Systegraveme de mesure

Vocabulaire (3)

16

Non lineacuteariteacute deacuteviation maximale par rapport agrave la courbe approximant la reacuteponse

Offset drsquoun SDM valeur du signal de sortie quand le mesurande est agrave 0

laquo Slew rate raquo vitesse maximale de variation du signal de sortie sans distorsion

Temps de reacuteponselaquo agrave X raquo Temps ou bout duquel en reacuteponse agrave un laquo eacutechelon raquo de

grandeur agrave mesurer le signal a atteind X de sa valeur asymptotique (typiquement 95)

Hysteresis drsquoun SDM aptitude drsquoun SDM dont le signal de sortie agrave lrsquoeacutetat stationnaire ne deacutepend pas que du mesurande mais aussi de lrsquohistoire des signaux anteacuterieurs


9

Vocabulaire (4)

17

Deacuterive Lente variation du signal de sortie en fonction du temps ou de la tempeacuterature agrave entreacutee constante

Limite de deacutetection drsquoun SDM plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non

ReacutepeacutetabiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages

reacutepeacuteteacutes dans les mecircmes conditions (lieacutee agrave erreur aleacuteatoire)

ReproductibiliteacuteEtroitesse de lrsquoaccord entre les valeurs obtenues par des mesurages

reacutepeacuteteacutes en faisant varier certaines conditions de mesure


18

Quelques rappels sur lerreur et lincertitudehellip

Erreur systeacutematique eB

Systematic error

Erreur accidentelle ou aleacuteatoire eA

Random or accidental error

Mesure x drsquoune variable de valeur reacuteelle xR

ABRxx ee Erreur variable e=xR-x

10

19

Erreur systeacutematique ou aleacuteatoire

Par deacutefinition lerreur aleacuteatoire est impreacutevisible (et donc non corrigeable) et de valeur moyenne nulle

Le caractegravere systeacutematique ou aleacuteatoire de lerreur peut deacutependre du contextehellip

20


Ex mesure dune masse agrave laide dune balance numeacuterique

ea Erreur aleacuteatoire non expliqueacutee

eT Deacuterive en tempeacuterature

eo Erreur opeacuterateur

eu Erreur propre agrave lappareil

es Erreur systeacutematique de la seacuterie ()

Erreur e= ea+eT+eo+eu+es

Conditions des expeacuteriences ea eT eo eu es

1 opeacuterateur le mecircme jour 1 appareil

Idem + eacutetaleacute sur plusieurs jours

Idem + plusieurs opeacuterateurs

Idem + tests sur un lot dappareils

11

Encore du vocabulairehellip

21

Erreur aleacuteatoire

Reacutepeacutetabiliteacute fideacuteliteacute

Variables influenccedilantes

Erreur systeacutematique

biaisjustesse

Reproductibiliteacute

exactitude

22

Caracteacuterisation de la mesure

Moyenne estimeacutee de n mesures dune mecircme valeur xR

n

ixn

x1

1

xR = valeur reacuteelle

R

n

xx

)lim(

(loi des grands nombres)

Estimated mean

Law of large numbers

(Si erreur aleacuteatoire)

2RxxV Variance (de lrsquoerreur aleacuteatoire)

Variance (of random error)Homogegravene au carreacute de la

grandeur mesureacutee

Caracteacuterisation de lrsquoerreur aleacuteatoire

=Moyenne du carreacute de lrsquoerreur

12

23

n

i xxn

s1

2)(1

1Ecart-type estimeacute de

lerreur aleacuteatoire

Ecart-type de lerreur aleacuteatoire

xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle

Agrave priori inconnuehellip

Standard deviation of random error

Ecart-type de

lerreur aleacuteatoire V

et s ont mecircme espeacuterancehellip

Homogegravene agrave la grandeur mesureacutee

n

ixn

x1

1

n

xx

)()(

Ecart-type de la moyenne de n mesures

24

Distributions drsquoerreurs (aleacuteatoires)

Gaussienne ou normale

Uniforme

Poissonnienne

Etchellip La plus reacutepandue gracircce au Theacuteoregraveme central limitehellip

e0

F(e)Courbe de distribution

de lerreur

Distributions of errors

Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A

Probabiliteacute P(A)= 119860 119865 120576 119889120576

13

25

Theacuteoregraveme central limite

Si une variable est la reacutesultante dungrand nombre de causes petites agrave effetadditif cette variable tend vers une loinormale

Cest agrave cause de cette interpreacutetation quela loi normale est tregraves souvent employeacuteecomme modegravele (malheureusement pastoujours agrave raison)

Demo

Central Limit Theorem

26

La distribution Gaussienne (ou normale)

0

01

02

03

04

05

3 2 0 2 3Ecart agrave la moyenne x-x = eacutecart-type

683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ

Tableau des coefficients laquo t raquo de Student

tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)

N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s gt20

2

2

1

2

1)(

xx

exF

14

httpwwwjybaudotfrInferentielletstudenthtml

Le coefficient t de Student

tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)

N= nb eacutechantillons utiliseacutes pour le calcul de s -1= nb de degreacutes de liberteacute

Coefs de Student t

intervalle de conf 900 950 980 990 999

p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

Relation eacutecart-type Gaussienne valable uniquement si eacutecart-type s parfaitement connu (n=infin)Pratiquement s issu dun calcul statistique-gtLoi de Student(tend vers gaussienne si n grand ngt20)

t=LOISTUDENTINVERSEBILATERALE(PN)

Rappel valable uniquement pour loi gaussienne

28

Distribution de Poisson

Ex comptage drsquoeacutevegravenements non simultaneacutes (deacutesinteacutegration radioactive queuehellip)

Moyenne m

Variance m

demo

15

29

Distribution Uniforme

Ex discreacutetisation de la mesurehellip

TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type

Les tests drsquohypothegravese

30

Significance tests

bull Deacutemarche consistant agrave eacutevaluer une hypothegravese statistique agrave partir dun jeu de donneacutees (eacutechantillon)

bull Le reacutesultat du test nrsquoest pas absolu mais est une probabiliteacute qui est une aide agrave la validation ou non de lrsquohypothegravese initiale il ne constitue donc jamais une preuve

Tests parameacutetriques(hypothegravese sur distribution + ou ndash neacutecessaire)

1-sample T-test Comp Eacutechantillon agrave valeur de reacutefeacuterence intervalle de confiance

2-samples T-test Comparaison de 2 eacutechantillons

F-Test Comparaison de la variance de 2 eacutechantillons

ANOVA Analyse de variance analyse des variances de K eacutechantillons comparaison des moyennes

Chi-Square test Utilisation notamment pour veacuterifier une hypothegravese de distribution

Grubbsrsquo test Deacutetection des valeurs aberrantes (laquo outliers raquo)

Tests non parameacutetriques(pas drsquohypothegravese sur distribution)

Test WilcoxonMW Comparaison de 2 eacutechantillons meacutethode de rang

En rouge tests deacutecrits + loin sinon voir biblio ou google

16

31

95

one-sample T-test laquo simplifieacute raquoComparaison de la mesure M drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normale

Hypothegravesesbull laquo M est diffeacuterent de R raquobull laquo M est significativement diffeacuterent de R raquo

Cette hypothegravese de diffeacuterence H1 est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple) (ou si la probabiliteacute drsquoeacutegaliteacute est infeacuterieure agrave 5 (H2)

1 mesure M eacutecart-type estimeacute de la mesure s distr gaussienne

MR

-4srsquo -3srsquo -2srsquo ndashsrsquo 0 srsquo 2srsquo 3srsquo 4srsquo

Hypothegravese retenue si

stRM

si s est calculable laquo preacuteciseacutement raquo

(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

Oui quasiment toujours agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoirehellip

bull laquo La diffeacuterence entre M et R nrsquoest pas due qursquoagrave lrsquoerreur aleacuteatoire raquo

ngt20 sinon tableau des coefs de Studenthellip

32

95

one-sample T-test laquo officiel raquo

Comparaison de la moyenne micro drsquoun eacutechantillon agrave une valeur de reacutefeacuterence R on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre la moyenne de n mesures et une valeur de reacutefeacuterence nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo

Cette hypothegravese est retenue si sa probabiliteacute est supeacuterieure agrave 95 (par exemple)

n mesures moyenne m eacutecart-type estimeacute de chaque mesure s

On montre (+ loinhellip) que lrsquoeacutecart-type estimeacute de la moyenne est n

ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17

one-sample T-test exemple

Hypothegravese laquo la diffeacuterenceentre la moyenne de npesages drsquoune masse eacutetalonde 1 kg et la valeur de cettemasse nrsquoest pas due qursquoauxerreurs aleacuteatoires raquo

n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st

Il existe un laquo biais raquohellip

34

two-sample T-test

Comparaison de 2 moyennes de 2 eacutechantillons on suppose que la distribution est normaleHypothegravese laquo la diffeacuterence entre les 2 moyennes nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo

Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2

Ecart type estimeacute s1 s2

Moyenne estimeacutee m1 m2

Comparaison de m1 et m2Peut se ramener agrave un 1-sample-test en comparant |m1-m2| agrave 0

On prend alors comme eacutecart-type de |m1-m2|

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss

(deacutemontreacute dans partie laquo lois de propagation de lrsquoerreur raquo)

Et le nombre de degreacutes de liberteacute est en 1ere approx n1+n2-2

st21 mmHypothegravese retenue si


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18

two-sample T-test exemple

2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443

358810682 350481358 eacutecart-type s 004510027 004809217

353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss

Hypothegravese laquo la diffeacuterence entre les moyennes de pesages drsquoune mecircme masse par 2 opeacuterateurs nrsquoest pas due qursquoaux erreurs aleacuteatoires raquo

1 2

Il existe un laquo biais entre les 2 opeacuterateursraquohellip

TP2

36

Intervalle de confianceLintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute

xx

La calcul de et en fonction de la probabiliteacute P (geacuteneacuteralement 95) deacutepend de la loi de

distribution de lerreur

0

et = incertitude agrave p (95)

Distribution symeacutetrique

bull =

bullValeur moyenne de la mesure

= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR

Distribution normale

19

37

Intervalle de confiance cas de la distribution normale

Lintervalle de confiance agrave p (95) drsquoune mesure x est un intervalle de valeurs qui a une probabiliteacute centreacutee p (95) de contenir la vraie valeur xR du paramegravetre estimeacute

xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95

Eacutecriture drsquoune mesure (distribution normale)

Le reacutesultat drsquoune mesure doit comporter 4 eacuteleacutements Ex CNO = 1253 ppb 17 ppb (agrave 95 ou t=2)

1 2 3 41 Valeur numeacuterique avec un nombre correct de deacutecimales2 Uniteacute3 Incertitude eacutelargie = t4 Le coefficient drsquoeacutelargissement t utiliseacute

Probabiliteacute en pour que la valeur reacuteelle

soit dans lrsquointervalle tsxtsx

1 Numerical value with a correct number of decimals2 Unit3 expanded uncertainty = ts4 Coverage factor t

20

39

Eacutevaluation de lrsquoincertitude

Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures (laquo type A raquo)

(geacuteneacuteralement mesure mais aussi simulation)

Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes

sources drsquoincertitude (laquo type B raquo laquo par tout autre moyen raquo) elles mecircme

eacutevalueacutees

par une meacutethode de type A

par des donneacutees constructeur drsquoeacutetalonnage etchellip

Il est alors neacutecessaire de connaicirctre les lois de propagation de

lrsquoerreurhellip

GUM Guide to the expression of Uncertainly in Measurement (1993)

Norme Franccedilaise X 07-020 AFNOR Aoucirct 1999

40

Eacutevaluation par analyse statistique de seacuteries de mesures

V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV

Mesure et calcul avec un grand nombre N

de reacutesistances laquo eacutetalon raquo (R connu)

Calcul de lrsquoeacutecart-type

(en fait eacutecart-type estimeacute shellip)

Incertitude agrave 95 = t 2 (si Ngt15hellip)

Ne tient pas compte

-De lrsquoincertitude du Vmegravetre (V)

-Des incertitudes sur E R0 les reacutesistances

eacutetalonhellip

Exemple eacutevaluation drsquoune meacutethode de mesure drsquoune reacutesistance

21

41

Eacutevaluation par calcul de lrsquoeffet sur lrsquoincertitude finale des diffeacuterentes sources drsquoincertitude

V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication

Loi de propagation des eacutecart-types

combined standard uncertainty


Quelle est la peseacutee la plus preacutecise

22

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes (1)

Exemple de la somme s=a+b

es

eb

ea

es=ea+ebRappel les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement

Et leur eacutecart-type

combined standard uncertainty for random amp independant errors

a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495

moyenne 300 180 480 480 somme moyennes

variance 011 005 016 016 somme variances

ecartype 033 023 039 055 somme eacutecart-types

000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas

)()()( bVaraVarbaVar

Les eacutecart-types ne srsquoajoutent pas

Les variances si

22baba 222

baba

Les eacutecart-types srsquoajoutent quadratiquement Si les erreurs sont indeacutependantes et aleacuteatoires

23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425

Rappel loi de propagation drsquoune laquo petite raquo erreur

n

i

i

xx

fy

1

)(

)( 1 ixxfy Fonction quelconque

)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy

Cas particulier produit-exposant

(Th accroissements finis)

Proprieacuteteacute de la deacuteriveacutee logarithmique

119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24

Loi de propagation de la variance et de lrsquoeacutecart-type


La variance est additive donc si les variables xi sont indeacutependantes

)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

Ecart type V(x)=((x))2

)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov

Cas geacuteneacuteral (variables non indeacutependantes)

(non deacutemontreacutehellip)

48

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires (1)

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I


Incertitude pour une distr normale I(y)=t(y) geacuteneacuteralement t~2

Sibull mecircmes coefs drsquoeacutelargissement tbull variables xi indeacutependantes

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires indeacutependantes cas particuliers (1)

Ex somme ou diffeacuterence

cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i

ii xay 2))(()( Combinaison lineacuteaire

n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2

Application fondamentale en instrumentation La moyenne

Demo

Loi des grands nombres

50

Lois de propagation des incertitudes des erreurs aleacuteatoires cas particuliers (2)

Produits et puissances

i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(

Somme quadratique des eacutecart-types relatifs

x

x)(Proprieacuteteacute inteacuteressante des eacutecart-types relatifs

21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3

Idem pour incertitudes I si I=t partout

26

51

Lois de propagation des erreurs aleacuteatoires exemple de la droite drsquoeacutetalonnage

Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh

a=08 LhmV plusmn001 (t=2)

Inc Sur V 01 mV (t=2)

Incertitude relative sur deacutebit Den fonction du deacutebit

22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI

V = tension fournie par capteurhellip

22)()(

D

VaI

a

aI

Mesure des faibles valeurs peu preacutecise

a = inverse de la sensibiliteacute

Si D 0

Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire

ou meacutethode de Monte-Carlo

Ex y=f(x1x2)

x1 et x2 ont des erreurs aleacuteatoires (pas forcement indeacutependantes) caracteacuteriseacutees par

leur eacutecart-type s1 et s2

bullSimuler un certain nombre drsquoexpeacuteriences avec les

mecircmes valeurs x1 et x2 + erreur aleacuteatoire (tirages ne)

yi=f(x1+e1x2+e2) N fois

bullCalcul de lrsquoeacutecart type des yi

bullLes ei sont calculeacutes agrave lrsquoaide drsquoun geacuteneacuterateur de nombre

aleacuteatoires agrave distribution adeacutequate (geacuteneacuteralement normale)

Excel =LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)TP4

27

Calcul de lrsquoincertitude par simulation de lrsquoerreur aleacuteatoire exemple

moyenne des D 50012 Dmax 100000

Deacutebit 50000 E Type des D 00526 a 08000

tension V 62500 Incertitude 01052 I(a) 00100

I(V) 01000

Ndeg tirage (400) erreur sur a erreur sur V valeur a valeur V D=aV

1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh


Inc Sur V = 01 mV (t=2)

Tirage aleacuteatoire normal

+

LOINORMALEINVERSE(ALEA()0eacutecart-type)

Les erreurs srsquoajoutent algeacutebriquement

54

lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation

La discreacutetisation intervient lorsque les valeurs finales constituent un ensemble discret

Reacutesolution d du systegraveme drsquoacquisition agrave ne pas confondre avec lrsquoincertitude ou la sensibiliteacute

d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee

Discretization uncertainty

28

55

lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (2)

32

d dEcart type de lrsquoerreur due agrave la discreacutetisation

295295

0

95

dIII Incertitude totale

5d 6d 7d

Erreur maxi d2

Approximatif Monte-Carlo parfois preacutefeacuterablehellip

Incertitude agrave 95 due agrave la discreacutetisation 2d 2975095 ddINon

058d 0485d

295 ddI

56

Le laquo Dithering raquo

La preacutesence drsquoerreur aleacuteatoire permet ici drsquoameacuteliorer la laquo preacutecision raquo de la mesure

Pas de laquo bruit raquo pas de moyennage Pas de laquo bruit raquo moyenne 50

signaux

laquo bruit raquo pas de moyennage laquo bruit raquo moyenne 50 signaux

La meacutethode du moyennage peut reacuteduire aussi lrsquoerreur de discreacutetisation (= quantification)

On peut gagner 1 bit de reacutesolution chaque fois que lrsquoon multiplie par 4 la freacutequence drsquoeacutechantillonnagehellip

hellip agrave condition que le signal avant numeacuterisation contienne un bruit (aleacuteatoire et indeacutependant) de valeur efficace supeacuterieure agrave la reacutesolution initialehellip

demo

29

57

lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (3) les deacutecimales significatives

Ecriture drsquoun nombre avec un nombre de chiffres fini Erreur de discreacutetisation

Pour une mesure lrsquoeacutecart type de lrsquoerreur introduite doit ecirctre petit devant celui

de lrsquoerreur de mesure initiale

Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = 055 (soit 0125 en relatif)

Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383

Mais les systegravemes numeacuteriques peuvent donner beaucoup de chiffres significatifshellip

438

58

Mesure afficheacutee

reacutesolution

ET erreur discreacutetisation

ET erreur finale drsquoerreur due agrave la discreacutetisation

438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434

lrsquoincertitude due agrave la discreacutetisation (4) les deacutecimales significatives exemple

32

d d

22 )()( dxX

Ex mesure = 4382659872 Eacutecart-type mesure = (x)= 055 (soit 0125 en relatif)

bullOn peut choisir la reacutesolution immeacutediatement plus petite que lrsquoeacutecart-type de la mesure

bullLrsquoeacutecart-type (ou lrsquoincertitude) afficheacute ne doit pas avoir plus de 2 chiffres significatifs

30

Capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure

Va deacutependre de la toleacuterance deacutesireacuteehellip

hellip et du coucirct de la mesure

capabiliteacute dun moyen de mesure = rapport entre lincertitude U du moyen de mesure et la toleacuterance IT exigeacutee

Veacuterification de la toleacuterance

Normes franccedilaises

( toleacuterance = exigence du client en terme de caracteacuteristique mesurable)

Toleacuterance capabiliteacute drsquoun systegraveme de mesure

T

Notion de risque-risque laquo client raquo(piegravece agrave rejeter mais retenue)-risque laquo fabricant raquo(piegravece agrave retenir mais rejeteacutee)

Mesure moyenne

T

Piegravece agrave rejeterPiegravece agrave retenir

T=ToleacuteranceU=incertitude

Distrib des erreurs de fabrication

Val reacuteelle

31

Reacuteconciliation des donneacutees

61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)

bull 3 mesures redondantes (car en theacuteorie D1=D2+D3)bull A cause des incertitudes on nrsquoa jamais exactement D1=D2+D3

bull Comment (in)valider les mesures


bull La redondance permet aussi de reacuteduire lrsquoincertitude (cf moyenne)

Dernier TPhellip

Limite de deacutetection - LDD (1)Limit of Detection - LOD

6280

Pic de signal ou bruit de fond

LDD plus petite valeur non nulle mesurable pour une certaine probabiliteacute drsquoerreur sur le fait que la valeur vraie est nulle ou non

Seuil de deacutecision deacutetection si (Mesure gt Seuil deacutecision)

2 types drsquoerreur de deacutecision Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)

Type 2 non deacutetection signal alors qursquoil est preacutesent (faux neacutegatif)

32

Limite de deacutetection (2)

6380

Type 1 deacutetection signal alors qursquoil est absent (faux positif)

Exemple probabiliteacute de 5 drsquoerreur de type 1 ou 2


165

5

Proba = 5 si seuil de deacutecision = 165

Si mecircme seuil de deacutecision (165) mecircme proba drsquoerreur si signal agrave 2 fois le seuil de deacutecision = 33

2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal

seuil de decision type 1 type 2 gt0

nb erreurs 9 9

bonnes deacutecisions 955

eacutecart type bruit analyseur 10

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1

signal theacuteorique

signal reacuteel

seuil de deacutecision

erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80

Si distr normale et probabiliteacute de 95LDD=33

On prend geacuteneacuteralement LDD=3 = eacutecart-type de la mesure laquo proche de zeacutero raquo

33

Etalonnage drsquoun systegraveme de mesure

Etalonnage laquo Opeacuteration consistant agrave eacutetablir une relation entre les valeurs de la grandeur indiqueacutees par un appareil de mesure et les valeurs correspondantes de la grandeur reacutealiseacutees par des eacutetalons raquo (VIM)

160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66

Etalonnage Creacuteation drsquoun modegravele de comportement

ETALONNAGE

Variables Xmesureacutees

(capteurs)

Variables Ymesureacutees(analyseshellip)

modegravele ou

Preacutedicteur F

Creacuteation modegravele

de comportement

Y=F(X)

PREDICTION

Variables Xmesureacutees(capteurs)

Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de

preacutedictiontensions

Calibration Creation of a behavior model

34

67

Eacutetalonnage - calibrage

Eacutetalonnage (calibration) = calcul complet du modegravele neacutecessite un laquo grand raquo nombre drsquoexpeacuteriences

tension

pression

bull Calibrage ou ajustement de zeacutero (zero adjustment) = laquo recalage raquo du modegravele neacutecessite 1 expeacuterience (laquo zeacutero raquo) voire 2 (laquo zeacutero + gain raquo)

tension

pression

bullCorrection variations de fabrication

bullCorrection deacuterive

bullCorrection changement conditions expeacuterimentales (tempeacuterature tarage drsquoune balancehellip)

bullEtchellip

Si le modegravele nrsquoest pas lineacuteaire le calibrage ne peut corriger que de faibles variationshellip

68

Les moindres carreacutes

Meacutethode des moindres carreacutes (monovariable)

laquo minimal raquo pour lrsquoensemble des mesures en trouvant la

fonction optimale f

On veut modeacuteliser pour toutes les mesures (i) ෝ119962119946 = 119839(119961119946) en fait agrave partir

des expeacuteriences on a 119962119946 = 119839 119961119946 + 119942119946 ougrave 119942119946 = laquo reacutesidu raquo ou erreur

On utilise geacuteneacuteralement la distance Euclidienne

laquo minimale raquo en optimisant les 120637119947

The least Squares

120637119947 repreacutesente ici le ou les paramegravetres de la fonction agrave optimiser f (ex coefs polynocircme)

119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69

La reacutegression lineacuteaire

Monovariable (y=f(x) ) + hypothegravese lineacuteaire (y=ax+b)

2 cas

X

Minimisations des erreurs sur Y

Reacutegression de yx

ybaxy e

Y

Minimisation des erreurs sur X

X

Reacutegression de xy

xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay

Attention une reacutegression de yx avec des

erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne une

erreur systeacutematique sur la pentehellip

Y

Linear regression

70

La reacutegression lineacuteaire yx ou xy

Attention une reacutegression de yx avec des erreurs sur x (ou lrsquoinverse) entraicircne

une erreur systeacutematique sur la pentehellip

Diffeacuterence neacutegligeable dans une majoriteacute de cashellip

y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

Reacutegression YX Reacutegression XY

36

71

Caracteacuteristiques de la reacutegression yx

Estimations de a et b

)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb

Minimisations des erreurs

sur Y

baxy ˆ

Y

Calcul Excel agrave lrsquoaide debull Courbe de tendancebull droitereg

72

Erreur lieacutee agrave la mesure


sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s

Ecart Type des reacutesidus

= ET de lrsquoerreur lieacutee agrave la mesure= ET de preacutediction que lrsquoon aurait (mecircmes conditions) si le modegravele eacutetait sans erreur

Mais le modegravele nrsquoest jamais exact

Erreur que lrsquoon aurait mecircme si le modegravele eacutetait parfait agrave cause de lrsquoerreur aleacuteatoire sur xhellipRepreacutesenteacutee par lrsquohellip

Rappel reacutesidu = eacutecart entre valeur preacutedite (sur droite de regression donc) et valeur expeacuterimentale

37

73

Erreur de modeacutelisation

Estimations incertitudes de a et b

baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a

)x(xEcart type de la pente

i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x

Ecart type de lrsquoordonneacutee agrave lrsquoorigine

Calcul Excel agrave lrsquoaide de la fonction laquo droitereg raquo

temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04

formule =DROITEREG(YX11)

pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5

Incertitude de preacutediction

74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy

bull m= nb eacutechantillons deacutetalonnagebull xi = valeurs deacutetalonnage dont moyenne xbull X = valeur deacutechantillon de preacutedictionbull Syx = eacutecart-type des reacutesidus

x

E Lieacutee agrave la mesure

E Type du modegravele

bull Si modegravele laquo parfait raquo (ou m grand) xystYI )ˆ(

bull Lrsquoincertitude augmente si X srsquoeacuteloigne de (problegraveme de lrsquoextrapolation) x

bull Deacutepend (un peuhellip) de X

I(pred)2=I(lieacutee agrave la mesure)2 + I(modelisation)2

TP6

38

75

Mesure de la qualiteacute dajustement dune reacutegression lineacuteaire

Var(Y) = Var( aX+b) + Var(e

information totale = information modeacuteliseacutee + information reacutesiduelle

Coef De deacutetermination

totale)Var(info

modeacuteliseacutee) Var(infodR

)()(

)(

YX

YXCovRc

Coef de correacutelation

Rd=Rc2

Y

76

Le coef de correacutelation utilisation

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075

Le cœfficient de correacutelation ne sert

agrave quantifier que les relations

lineacuteaires entre X et Yvariables

Il perd toute signification degraves lors

que les reacutesidus

R=08

R=08

R=08

39

77

Reacutegression lineacuteaire examen des reacutesidus

Veacuterification lineacuteariteacute

A corriger

eacuteventuellement avec

reacutegression non lineacuteaire

Deacutetection points

aberrants (outliers)A eacuteliminer apregraves

veacuterification et avec

preacutecautionshellip

Ri=yi-(axi+b)

Reacutesidu = information non

modeacuteliseacutee ideacutealement

erreur aleacuteatoire

residuals

paramegravetres modeacutelisation des donneacutees

ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)

Valeurs mesureacutees

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)

Graphe des reacutesidus mesure - droiteregr

78

Reacutegression non lineacuteaire reacutegression polynomiale

Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5

Permet de modeacuteliser la plupart des problegravemes peu non lineacuteaireshellip

demo TP7

40

79

Biblio amp liens utilesBouquins

Statistics for analytical Chemistry 3 rd ed JC Miller and JN Miller John Wiley amp Sons 1998

Multivariate Statistical Methods A Primer BFJ Monley Chapman amp Hall 1986

Modeacutelisation et estimation des erreurs de mesure M Neuilly CETAMA Lavoisier Paris 1993

Sites WWW

httpphysicsnistgovcuuUncertaintyindexhtml excellent site simple et succinct mais de reacutefeacuterence

sur la calcul des incertitudes ce document sen est beaucoup inspireacute Un cours plus complet de

statistiques est disponible agrave httpwwwitlnistgovdiv898handbook

httpswwwansesfrfrcontentguide-de-validation-des-mC3A9thodes-danalyses-des-laboratoires-de-rC3A9fC3A9rence Guide de lrsquoANSES Agence nationale de seacutecuriteacute sanitaire

de lrsquoalimentation de lrsquoenvironnement et du travail

httpwwwjybaudotfrStatsstatshtml Encyclopeacutedie des stats de Jean-Yves Baudot agrave la foi preacutecis vulgarisateur et marrant un challenge en statistiques

httpfrfreestatisticsinfoindexphp Collection de liens et surtout de Freewares sur les stats

8062

La norme AFNOR la plus utiliseacutee

httpwwwasqualabcomdocumentsqualitemetrologie19-unites_pifometriquespdf

PDF

2

Contact amp lien

Ressources du cours drsquoinstrumentation

httpscampusemsefrcourseviewphpid=260

si le mail istp est gin18aeinsteineleve-istpcomle login EMSE sera gin18aeinstein (en minuscules)

(si oubli mot de passe httprazmdpemsefr adresse de secours = ISTP)

Alternative temporaire wwwemsefr~pbreuilcapmes

votre compte Mines Saint-Etienne

pbreuilemsefr

Evaluation 1TPs (coef 14)

Evaluation sur les laquo rendus raquo en fin de seacuteance drsquoun TP 2egraveme)

3








4

La Mesure

Mesure=






Meacutetrologie




bull - Etalonnage








5








10



drsquoEssais




6





7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

3








4

La Mesure

Mesure=






Meacutetrologie




bull - Etalonnage








5








10



drsquoEssais




6





7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

4

La Mesure

Mesure=






Meacutetrologie




bull - Etalonnage








5








10



drsquoEssais




6





7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

5








10



drsquoEssais




6





7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

6





7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

7




10-18 atto a

Vocabulaire (1)

14






8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

8

Vocabulaire (2)

15






Vocabulaire (3)

16








9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

9

Vocabulaire (4)

17








18



Systematic error





10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

10

19




20














11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

11


21





biaisjustesse


exactitude

22



n

ixn

x1

1


R

n

xx

)lim(


Estimated mean








12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

12

23

n

i xxn

s1

2)(1




xr

Ecart type

relatif

n

RiRi xxn

xx1

22)(

1

Valeur reacuteelle



Ecart-type de




n

ixn

x1

1

n

xx

)()(


24



Uniforme

Poissonnienne


e0


de lerreur


Gaussian or normal

Uniform

Poissonnian

නminusinfin

0

119865 120576 119889120576 = න0

+infin

119865 120576 119889120576 = 05

A


13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

13

25




Demo


26


0

01

02

03

04

05


683 des valeurs

2 955 des valeurs

3 997 des valeurs

Proba largeur

50 067middotσ

68 1middotσ

70 104middotσ

87 15middotσ

90 165middotσ

95 196middotσ

99 256middotσ

997 3middotσ

999 328middotσ

99999 999 8 6middotσ


tXXprobaP R

=1-LOISTUDENT(tN2)


2

2

1

2

1)(

xx

exF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

14



tXXprobaP R

P=LOISTUDENT(tN2)


Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

N=nb deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329




28



Moyenne m

Variance m

demo

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

15

29



TP1

M-d2 M M+d2

d

Moyenne M

Ecart-type


30

Significance tests













16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

16

31

95





MR



stRM


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328




32

95






ss

m R



n

stR m


(t=coef de Student)

H1 95 (ou H2 5)

H1 99 (ou H2 1)

H1 999 (ou H2 01)

t 196 256 328

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

17



n

stR m

n

s

Rt

m

1 104946993

2 111917309 Etalon R (kg) 10000

3 099865798

4 101040713

5 114655592

6 097054733

7 114894136

8 108005111 moyenne micro 104614199

9 103044121 Ecart-type s 005326172

10 098202478

11 105094267 00461

12 106252219

13 102608401

14 104961426 002381937 (t=2)

15 103483134 (n=20)

16 103475702

17 098306671

18 109287381

19 097490694

20 107697103

08

09

1

11

12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Rm

n

st


34

two-sample T-test


Ech 1 Ech 2

Nb mesures n1 n2





2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss





2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

18


2

2

2

1

2

121

n

s

n

st mm

op1 op2 op1 op2

359385514 349673556 moyenne micro 354463973 355551443


353371004 347201328

352760094 3553306 |micro1-micro2| 00108747344867115 357512954

351024893 355717682

360880932 362969549

353927667 366487781 00139361355719746 354702026

352552333 354598904 n 43 t=2

349798625 348741103

349706929 356409401 st 002787228

356771949 356622487

359781434 354564972

354032574 350388551

357799787 365577103

349003712 355839436

357276739 353637213

361263276 357229694

350544464 356392763

360261554

352637678

35652033

358384532

350903522

33

335

34

345

35

355

36

365

37

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

2

2

2

1

2

1

n

s

n

ss


1 2


TP2

36


xx



0



bull =


= la plus probable0

Confidence interval

21)()( pxxPxxP RR


19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

19

37



xx

0

01

02

03

04

05


683 des mesures

2 955 des mesures

3 997 des mesures

stxstx

Coefs de Student t


p 01 005 002 001 0001

deg lib

1 631 1271 3182 6366 63662

2 292 430 696 992 3160

3 235 318 454 584 1292

4 213 278 375 460 861

5 202 257 336 403 687

6 194 245 314 371 596

7 189 236 300 350 541

8 186 231 290 336 504

9 183 226 282 325 478

10 181 223 276 317 459

12 178 218 268 305 432

14 176 214 262 298 414

17 174 211 257 290 397

20 172 209 253 285 385

30 170 204 246 275 365

40 168 202 242 270 355

50 168 201 240 268 350

100 166 198 236 263 339

100000 164 196 233 258 329

38

Loi normale

95







20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

20

39






eacutevalueacutees




lrsquoerreurhellip



40


V

VERR

0

R0

R E

V mesureacute

0

0

RR

REV






Ne tient pas compte



eacutetalonhellip


21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

21

41


V

VERR

0

2

2

0

2

0

2

0 )()()()(

V

V

ERE

V

RR

U

UER

(R0) (E) (V) connus

R0

R E

V mesureacute

Explication





22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

22



es

eb

ea




a b a+b282 151 433

261 171 432

264 168 432

345 202 548

332 190 523

279 208 488

317 155 472

270 209 479

310 186 496

340 156 495




000

100

200

300

400

500

600

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a

b

a+b




)()()( bas



Les variances si

22baba 222

baba


23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

23


2

2

2

1 PIPIPI

54321 PPPPPP

2)(5 pIPI

)(5 pIPI

gkgP 2425


n

i

i

xx

fy

1

)(


)(xfy xdx

dfxfxxf )()(

xdx

dfy




119910 =119886 119887 1198883

11988912

∆119910

119910=

∆119886

119886+

∆119887

119887+ 3

∆119888

119888- 12

∆119889

119889

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

24




)()(1

n

i

i

xVx

fyV

)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy


)(2)()(1

1 11

2

2

2

ji

n

i

n

ij ji

i

n

i

xxx

f

x

fx

x

fy Cov



48


)()(1

2

2

i

n

i

xx

fyI I




)()(1

2

2

i

n

i

xx

fy

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

25

49



cbay

222 )()()()( cbay

i

ii xay i


n

ixn

x1

1

n

xx

nx

n )()(

1)(

1

2


Demo


50



i

iixAy

i i

ii

x

x

y

y2

)()(


x


21

3

d

cbay

2222)(

21)(

3)()()(

d

d

c

c

b

b

a

a

y

y

Exemple

TP3


26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

26

51


Etalonnage

Deacutebit D=aV

0 le D le 10 Lh




22)()()(

V

VI

a

aI

D

DI


22)()(

D

VaI

a

aI



Si D 0



Ex y=f(x1x2)










27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

27





I(V) 01000


1 -00010 00253 07990 62753 50142

2 00011 -00518 08011 61982 49654

3 00032 00436 08032 62936 50551

4 -00098 00026 07902 62526 49407

5 00021 00867 08021 63367 50824

6 -00064 -00202 07936 62298 49437

7 00017 -00820 08017 61680 49450

8 -00065 00444 07935 62944 49949

9 00009 00757 08009 63257 50663

10 -00049 -00318 07951 62182 49439

11 00130 00109 08130 62609 50901

12 00004 00084 08004 62584 50092

13 -00046 00031 07954 62531 49737

14 -00024 00249 07976 62749 50049

15 00047 00311 08047 62811 50543

16 -00021 -00251 07979 62249 49668

D=aV

0 le D le 10 Lh




+



54




d

V

0

001

002

003

004

005

006

007

008

009

01

0 005 01

Tension reacuteelle

Ten

sion

aff

icheacutee


28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

28

55


32


295295

0

95


5d 6d 7d

Erreur maxi d2



058d 0485d

295 ddI

56




signaux





demo

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

29

57






Doit-on eacutecrire

4382659872

438265

4383


438

58


reacutesolution



438265987

0000001

29 10-7 055 lt 10-3

43827

001

29 10-3 0550008 10-3

4383

01

0029 05506 014

438

1

029 062 13

440

10

289 294 434


32

d d

22 )()( dxX




30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

30









T


Mesure moyenne

T




Val reacuteelle

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

31


61

D1

I(D1)

D2

I(D2)

D3

I(D3)





Dernier TPhellip


6280






32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

32


6380




165

5



2x165

5


0

0

0

0

0

0

0

0

165 33

Niveau signal


nb erreurs 9 9



-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1


signal reacuteel


erreur type 1

erreur type 2

-20 0 20 40 60 80



33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

33



160

165

170

175

180

185

190

195

0 20 40 60 80 100

H

C pF

66


ETALONNAGE


(capteurs)


modegravele ou

Preacutedicteur F


de comportement

Y=F(X)

PREDICTION


Estimation des

variables Y

Modegravele

Calcul de



34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

34

67



tension

pression


tension

pression




bullEtchellip


68




fonction optimale f





The least Squares


119942119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 = 119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947

119946

119962119946 minus 119943 119961119946 120637120783 120637119947120784

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

35

69



2 cas

X



ybaxy e

Y


X


xbyax e ˆ

1ˆ

a

bx

ay




Y

Linear regression

70





y = 10036x - 00354

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12

y = 06669x + 16244

-2

0

2

4

6

8

10

12

-2 0 2 4 6 8 10 12


36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

36

71



)(

)(

)x(x

)y)(yx(x

=a2

i

i

ii

xVar

yxCov

i

xayb


sur Y

baxy ˆ

Y


72



sur Y

baxy ˆ

Y

2n

)y(yi

2

ii

yx

s






37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

37

73



baxy ˆ

Y

i

xyss

2

i

a


i

i

i

xybn

x

ss2

i

2

)x(x



temps h tension

0 300E-05

1 440E-05

2 900E-05

3 900E-05

4 100E-04


pente 00000186 00000336 OAO

s pente 413602E-06 101311E-05 s OAO

R 0870821587 130792E-05 s(resid)

2022369447 3 N DL

34596E-09 5132E-10000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5TP5


74

2

2

11)ˆ(

xx

xX

mstYI

i

xy


x







TP6

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

38

75





totale)Var(info


)()(

)(

YX

YXCovRc


Rd=Rc2

Y

76


0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10 12

R=075

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

R=075

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 5 10 15

R=075






R=08

R=08

R=08

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

39

77



A corriger







Ri=yi-(axi+b)




residuals


ET bruit

v0

v1

a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

y = 07063x - 39517

-100

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (m

V)

courant (mA)


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

ten

sio

n (

mV

)

courant (mA)


78


Ex courbe de

tendance dExcel

temps h

0

1

2

3

4

000E+00

200E-05

400E-05

600E-05

800E-05

100E-04

120E-04

0 1 2 3 4 5


demo TP7

40

79





Sites WWW








8062



PDF

40

79





Sites WWW








8062



PDF

GIN FA INSTRUMENTATION P Breuilpbreuil/capmes/mesure istp .pdfTP1 M-d/2 M M+d/2 d Moyenne M...

Documents

Transcript of GIN FA INSTRUMENTATION P Breuilpbreuil/capmes/mesure istp .pdfTP1 M-d/2 M M+d/2 d Moyenne M...