Gestion Production

UNIVERSITE MOHAMED V

Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales Agdal - Rabat

BENYASSINE Hicham

GESTION DE PRODUCTION

CLASSIFICATION DES SYSTÈMES PRODUCTIFS

FORMULATION EN MODÈLES MATHÉMATIQUES

ORDONNANCEMENT DE PROJETS

MATIERE :

A- INTRODUCTION À LA GESTION DE PRODUCTION__________________________2

1. CLASSIFICATION DES SYSTÈMES PRODUCTIFS________________________________21.1 Organisation de type série unitaire_________________________________________21.2 Organisation en ateliers spécialisés_________________________________________21.3 Organisation en lignes de production_______________________________________21.4 Les industries de process____________________________________________________2

2. FORMULATION EN MODÈLES MATHÉMATIQUES__________________________________2

3. EXERCICES D’APPLICATION_________________________________________________2Cas 1 : Problème de transport.___________________________________________________2Cas 2 : Optimisation du plan directeur de production._________________________2Cas 3 : Location de surfaces d’entreposage.____________________________________2Cas 4 : Fabrication de châssis____________________________________________________2

B- ORDONNANCEMENT DE PROJETS_______________________________________2

1. FORMULATION DU PROBLÈME______________________________________________2

2. Représentation graphique du problème__________________________________2

BENYASSINE Hicham



A- INTRODUCTION À LA GESTION DE PRODUCTION

Pour pouvoir donner une définition de la gestion de production, il faut d’abord définir ce que l’on entend par la production. La production consiste en une transformation de ressources (humaines ou matérielles) en vue de la création de biens ou services :• La production d’un bien s’effectue par une succession d’opérations consommant des ressources et transformant les caractéristiques de la matière. Un exemple classique est la production de voitures.• La production d’un service s’effectue par une succession d’opérations consommant des ressources sans qu’il n’y ait nécessairement transformation de matière. Des exemples classiques sont la mise à disposition de produits aux consommateurs (la vente), le traitement de dossier (par un notaire), la maintenance d’équipements.

On peut alors définir la gestion de production comme suit :La gestion de la production consiste en la recherche d’une organisation efficace de la production des biens et services.

La gestion de production consiste donc à l’obtention d’un produit donné dont les caractéristiques sont connues en mettant en œuvre un minimum de ressources.

En gestion de production, on considérera, généralement, comme données les caractéristiques du produit que sont :• La définition du produit;• Le processus de fabrication;• La demande à satisfaire.Ces trois caractéristiques du produit relèvent des sciences de l’ingénieur et de la gestion commerciale.

Les outils de la gestion de la production sont un ensemble de techniques d’analyse et de résolution des problèmes de manière à produire au moindre coût.

Nous verrons dans ce cours un certain nombre de problèmes types rencontrés en gestion de production. Pour situer ces différents problèmes entre eux, on classifie souvent les décisions de gestion en trois classes :

Les décisions stratégiques : il s’agit de la formulation de la politique à long terme pour l’entreprise (c’est-à-dire à un horizon de plus de deux ans).Entrent dans ces décisions :

- La définition du portefeuille d’activités ;- La définition des ressources stables : aussi bien humaines (engagements,

licenciements, préretraites,…) que matérielles (décisions d’investissement, de cession, de fermeture,…).

Les décisions tactiques : il s’agit des décisions à moyen terme parmi lesquelles on trouve la planification de la production à 18 mois. Il s’agit de produire au moindre coût pour satisfaire la demande prévisible en s’inscrivant dans le cadre fixé par le plan stratégique de l’entreprise (donc à ressources matérielles et humaines connues).

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Les décisions opérationnelles : il s’agit des décisions de gestion quotidienne pour faire face à la demande au jour le jour, dans le respect des décisions tactiques. Parmi ces décisions, on trouve :

- La gestion de stocks ;- La gestion de la main d’œuvre ;- La gestion des équipements.

Ces trois classes de décisions de gestion de production se différencient par au moins trois éléments :

par l’horizon de temps considéré :• Les décisions opérationnelles se prennent au jour le jour;• Les décisions tactiques concernent la planification à 18 mois;• Les décisions stratégiques concernent la planification à long terme.

par le niveau d’agrégation :• Les décisions opérationnelles se prennent au niveau d’un atelier;• Les décisions tactiques se prennent au niveau d’une usine;• Les décisions stratégiques se prennent au niveau de l’ensemble de l’entreprise.

par le niveau de responsabilité :• Les décisions opérationnelles sont prises par les agents de maîtrise;• Les décisions tactiques sont prises par les cadres;• Les décisions stratégiques sont prises par la direction générale.

1. CLASSIFICATION DES SYSTÈMES PRODUCTIFS

On peut classer les modes d’organisation de la production en quatre grandes classes :• L’organisation en série unitaire;• L’organisation en ateliers spécialisés;• L’organisation en ligne de production;• L’organisation en industries de process.Nous examinerons, dans chaque cas, le type de ressources à mettre en œuvre et le problème principal de leur utilisation.

1.1 Organisation de type série unitaireDéfinition : La production de type “série unitaire” est une production mobilisant sur une période assez longue l’essentiel des ressources d’une entreprise pour réaliser un nombre très limité de projets.Comme exemples, on peut citer la construction de navires de grande taille (qui se font, le plus souvent, en quelques exemplaires), les grands travaux publics (tel que la construction d’un barrage ou la construction d’un pont suspendu).En ce qui concerne les ressources mobilisées, on fait le plus souvent appel à un personnel hautement qualifié vu le caractère non répétitif des tâches.

En ce qui concerne le problème d’ordonnancement, le problème majeur est l’arbitrage entre la recherche d’un coût compétitif et le respect des délais. En effet, d’une part, les commandes seront rapidement honorées si beaucoup de ressources sont mises en œuvre. Mais, d’autre part, le coût des ressources est généralement croissant avec leur niveau d’utilisation : la location de machines supplémentaires et l’engagement d’intérimaires coûtent généralement plus cher que l’utilisation des ressources propres de l’entreprise.

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Dans les deux cas, l’ordonnancement des tâches, c’est-à-dire la détermination de l’ordre d’exécution des tâches) est essentiel. En effet, non seulement l’ordre d’exécution des tâches détermine la date de livraison, mais il influence les coûts dans la mesure où une mauvaise coordination s’accompagne souvent de chômage technique pour certaines ressources et du paiement de pénalités pour non respect des délais.

1.2 Organisation en ateliers spécialisés

Définition : On parle d’organisation en ateliers spécialisés lorsque tous les équipements assurant une fonction spécialisée sont réunis en un même lieu.Comme exemple, on peut citer un atelier d’emboutissage des tôles de voitures ou un atelier de peinture dans une usine d’assemblage automobile.

En ce qui concerne les ressources mobilisées, la main d’œuvre est plutôt qualifiée et les équipements sont polyvalents.

En ce qui concerne le problème de l’organisation efficace des ressources, deux problèmes principaux sont à considérer :• Lors de la conception de l’atelier, le problème principal est la gestion des coûts de manutention entre les différents postes de travail. Afin de diminuer ces coûts on détermine la meilleure localisation des machines les unes par rapport aux autres dans l’atelier. Ceci fait appel aux méthodes d’agencement dans l’espace.• Lors de la gestion quotidienne de l’atelier, le problème principal est de déterminer l’ordre d’exécution des diverses tâches sur une ou plusieurs machines.

1.3 Organisation en lignes de production

Définition : On parle d’organisation en lignes de production lorsque qu’un flux régulier de produits passe d’un poste à l’autre, l’ordre de passage étant fixé. Comme exemple, on peut citer les lignes d’assemblage d’automobiles.

En ce qui concerne les ressources mises en œuvre, les équipements sont généralement très spécialisés. En ce qui concerne l’organisation efficace des ressources, le problème majeur consiste en l’équilibrage de la chaîne : c’est-à-dire à définir les tâches à réaliser à chaque poste de manière à avoir le même temps de réalisation à chaque poste. En effet, un mauvais équilibrage de la chaîne entraînera une sous-utilisation des ressources puisque la chaîne tourne à la vitesse de l’élément le plus lent.Deux autres problèmes sont très importants dans ce mode d’organisation de la production. Il s’agit de : la fiabilité de la chaîne (un maillon défectueux et toute la chaîne s’arrête) et de la fiabilité du système d’informations.

1.4 Les industries de processDéfinition : On parle d’industries de process lorsque le mode d’organisation est caractérisé par un flux régulier et important de matières premières destinées à être transformées en matières plus élaborées. Comme exemples, on peut citer la sidérurgie, la pétrochimie, le secteur de la chimie lourde, le secteur agro-alimentaire, etc.….

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En ce qui concerne l’organisation efficace des ressources, vues l’importance et la régularité de la demande, le problème d’organisation au coût minimum est généralement assez simple. Il peut être résolu par la programmation linéaire.

2. FORMULATION EN MODÈLES MATHÉMATIQUES

Par modèle mathématique, on entend la représentation par des équations mathématiques d’un problème de la vie réelle. Nous allons illustrer la construction d’un modèle mathématique sur un exemple très simplifié de planification de la production : Une usine peut produire cinq produits (notés PROD1 à PROD5). La marge bénéficiaire unitaire, c’est-à-dire la différence entre le prix de vente et le coût de production d’un produit, est donnée pour chacun des produits au tableau suivant. Chaque produit nécessite le passage par trois étapes de fabrication.

Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5Marge 550 600 350 400 200

Marge par produit

Les temps requis à chaque étape sont donnés en heures pour chaque produit au tableau suivant :

Produit PROD1 PROD2 PROD3 PROD4 PROD5Etape 1 12 20 0 25 15Etape 2 10 8 16 0 0Etape 3 20 20 20 20 20

Temps de fabrication (en heures par produit).

Enfin, il faut tenir compte des ressources en facteurs disponibles données au tableau suivant. Les deux premières étapes sont effectuées sur machine tandis que la troisième ne nécessite que l’intervention de main d’œuvre. En ce qui concerne les deux premières étapes, l’usine travaille en deux pauses de huit heures par jour, et ceci, au maximum six jours par semaine. En ce qui concerne la troisième, chaque personne travaille 8 heures par jour et, au maximum, 6 jours par semaine.

Produit Ressources Heures par jour Jours par semaineEtape 1 3 machines 16 6Etape 2 2 machines 16 6Etape 3 8

personnes8 6

Ressources en facteurs

La question que se pose le gestionnaire de l’usine est la suivante. Quelles sont les quantités à fabriquer de chaque produit pour maximiser le profit net ?La construction d’un modèle est, en général, une opération en trois étapes :1. le choix des variables de décisions,2. l’expression de l’objectif en fonction de ces variables,3. l’expression des contraintes en fonction de ces variables.

La première étape consiste donc à définir les variables de décision.

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Définition : On appelle variable de décision toute quantité utile à la résolution du problème dont le modèle détermine la valeur.Généralement, elles sont notées par les lettres de la fin de l’alphabet (x, y, z, etc...).Ici, on note simplement par xi, la quantité du produit i fabriquée par semaine, i allant de un à cinq.Une première remarque importante s’impose. Il est fondamental de bien préciser les unités selon lesquelles sont exprimées les variables. En effet, l’ordre de grandeur des coefficients de l’objectif et des contraintes dépend de ces unités.

La deuxième étape consiste en la formulation de l’objectif.

Définition : L’objectif est la quantité que l’on veut minimiser ou maximiser.Ici, il s’agit de la somme des contributions de chacune des productions au profit net de l’usine. Elle s’exprime simplement par :

max z = 550x1 + 600x2 + 350x3 + 400x4 + 200x5

La troisième étape consiste en la formulation des contraintes.

Définition : Les contraintes sont toutes les relations entre les variables qui limitent les valeurs possibles que peuvent prendre ces variables.

La première concerne la limite d’utilisation des machines à l’´etape 1. Il y a trois machines, utilisées 16 heures par jour et, au maximum, six jours par semaine, ce qui donne un nombre maximum d’heures par semaine1 :

3 × (2 × 8) ×6 = 288 heures disponibles.

Une unité de produit 1 demande 12 heures sur machine à l’étape 1. Si x1 unités de produit 1 sont produites par semaine, cela demande 12 x1 heures sur la machine 1. Par un raisonnement semblable pour les autres produits, on obtient finalement la contrainte :

12x1 + 20x2 + 0x3 + 25x4 + 15x5 ≤ 288.

La deuxième contrainte concerne la limite d’utilisation des machines à la deuxième étape. Le nombre maximum d’heures d’utilisation vaut :

2 × (2 × 8) ×6 = 192 heures, et la contrainte s’exprime comme :10x1 + 8x2 + 16x3 + 0x4 + 0x5 ≤ 192.

La troisième contrainte concerne la limite d’utilisation du personnel à la troisième étape. Le nombre maximum d’heures prestées en une semaine par les 8 personnes est de : 8 × (1 × 8) ×6 = 384 heures.

Et donc la contrainte s’exprime comme :

20x1 + 20x2 + 20x3 + 20x4 + 20x5 ≤ 384.

Enfin, il ne faut pas oublier les contraintes, presque toujours présentes, disant que l’on ne peut pas produire des quantités négatives :

x1, x2, . . , x5 ≥ 0.

3. EXERCICES D’APPLICATION

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Cas 1 : Problème de transport.

On dispose de deux usines de production dont les débouchés sont situés sur trois marchés distants géographiquement. On connaît la capacité de production de chacune des usines (en tonnes) ainsi que la demande de chacun des marchés (en tonnes). On dispose également des distances, exprimées en centaine de Km, entre les sites de production et les marchés.

Usines Marchés OffreDistance Casablanca Agadir Tanger

Marrakech 2,5 1,7 1,8 350Rabat 2,5 1,8 1,4 600

Demande 325 300 275Les données numériques du problème de transport

Les frais de transport d’une tonne sont de 90 Dhs par centaine de Km. On se demande combien d’unités du produit acheminer à chaque marché à partir de chaque usine de manière à minimiser les coûts de transport, les coûts de production, étant les mêmes dans toutes les usines, n’entrent pas en ligne de compte.

Formuler le problème de transport comme un modèle linéaire (choix des variables, expression de l’objectif et expression des contraintes).Eléments de réponse :a) Choix des variables : les quantités transportées de l’usine vers le marché.b) Expression de l’objectif : minimisation de la somme des coûts de transport.c) Expression des contraintes :

Respect de la capacité de l’usine, Satisfaction de la demande du marché, Positivité.

Cas 2 : Optimisation du plan directeur de production.

Une société voudrait établir son plan directeur de production, c’est-à-dire les quantités à produire chaque trimestre ainsi que les ressources à mobiliser chaque trimestre pour pouvoir satisfaire la demande à coût total annuel minimum. La demande pour les 4 prochains trimestres est donnée au tableau suivant.

Trimestre Demande Stock minimum Jours1 180 000 55 000 622 400 000 85 000 643 190 000 50 000 554 390 000 100 000 59

Optimisation du plan directeur de production

On suppose qu’un ouvrier peut produire 150 unités par jour ouvrable. Le nombre de jours ouvrables est également repris au tableau. Il y a un effectif initial de 32 ouvriers et un stock initial de 0. Le coût d’embauche d’un ouvrier est de 20 000 Dhs. Le coût de licenciement est de 50 000 Dhs. Le coût de stockage d’une unité pendant un trimestre est de 10 Dhs. On suppose que les licenciements et les embauches de personnel ne peuvent se réaliser qu’en début de chaque trimestre. De plus, pour des raisons commerciales, on souhaite avoir un niveau

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minimum de stock en fin de chaque trimestre afin de faire face aux demandes du début du trimestre suivant. Ce niveau minimum est donné au tableau. Les temps partiels sont permis.

On demande de déterminer les engagements et licenciements début de chaque trimestre, de manière à ce que l’effectif du mois soit suffisant pour satisfaire la demande (aucune rupture de stock n’est permise) à coût total minimum (somme du coût d’embauche, du coût de licenciement et du coût de stockage).Formuler le modèle correspondant (choix des variables, expression de l’objectif et expression des contraintes).

Indication : déterminez d’abord les variables indépendantes (celles à partir desquelles les autres seront calculées), ensuite les variables dépendantes (par exemple, la production dépend du nombre d’ouvriers, le nombre d’ouvriers dépendant lui-même des embauches et licenciements).

Eléments de réponse :a) Choix des variables indépendantes : les embauches et licenciements de début de période. Choix des variables dépendantes : les effectifs, la production et le stock de fin de période.b) Expression de l’objectif : minimisation de la somme des coûts d’embauche, de licenciement et de stockage.c) Expression des contraintes :

• Bilan sur les effectifs présent chaque période,• Calcul de la production à chaque période,• Bilan sur les stocks à chaque fin de période,• Stock minimum de fin de période,• Positivité.

Cas 3 : Location de surfaces d’entreposage.

Le bâtiment d’entreposage d’une firme fabriquant des peintures vient d’être complètement ravagé par le feu.Pour pouvoir continuer à stocker ses surplus de production prévus pour les 6 prochains mois (soit la période de reconstruction de l’entrepôt), la firme doit disposer des surfaces minimum reprises au tableau suivant.

Mois 1 2 3 4 5 6Surface (en 100 m2) 35 20 30 10 15 20

Besoins minimaux en surface d’entreposage

La société s’adresse à une firme spécialisée dans l’entreposage qui permet de louer n’importe quelle surface pour un nombre quelconque de mois. Le coût de location est décroissant en fonction de la longueur du bail. La firme peut donc signer chaque mois autant de baux qu’elle le désire pour la durée et la surface qu’elle juge utiles. L’objectif est de minimiser le coût total des baux qui permettront de couvrir les besoins en entreposage des 6 prochains mois.

Durée du bail (en mois) 1 2 3 4 5 6Coût du bail (Dhs pour 100

m2)35 20 30 10 15 20

Coût des baux

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On vous charge d’établir le calendrier de début et de fin de chacun des baux ainsi que la surface sur laquelle ils portent.Formuler le problème correspondant (choix des variables, expression de l’objectif et expression des contraintes). Indication : pensez à utiliser des variables à doubles indices (premier pour le début, second pour la fin du bail).

Eléments de réponse :a) Choix des variables : les surfaces louées de début de mois i à la fin du mois j.b) Expression de l’objectif : minimisation de la somme des coûts de location.c) Expression des contraintes :

• Satisfaction du besoin de surface à chaque période,• Positivité.

Cas 4 : Fabrication de châssis

Nous prenons un exemple d’une entreprise de fabrication de châssis qui envisage la production de deux nouveaux modèles au moyen des capacités résiduelles de ses trois ateliers. Il s’agit respectivement d’un châssis en aluminium et d’un châssis en bois. Le premier produit nécessite le passage dans le premier atelier pour fabriquer le cadre en aluminium et dans le troisième atelier où le verre est mont´e sur le châssis. Tandis que le second produit nécessite le passage dans le deuxième atelier pour fabriquer le cadre en bois et dans le troisième atelier où le verre est monté sur le châssis. Les marges unitaires, les temps de fabrication de chacun des produits dans chacun des ateliers ainsi que les capacités hebdomadaires résiduelles de ces ateliers sont donnés au tableau suivant :

Produit 1 (heures/produit)

Produit 2 (heures/produit)

Capacité disponible

(heures/semaine)Atelier 1 1 0 4Atelier 2 0 2 12Atelier 3 3 2 18Marge 3 5

Marges, temps d’usinage et capacités.

La question qui se pose est la suivante : “Combien faut-il produire de châssis de chaque type par semaine pour maximiser le profit net ?”La formulation d’un problème d’optimisation comporte toujours les trois étapes suivantes :

• choix des variables du modèle;• formulation de l’objectif;• formulation des contraintes.

a) Choix des variablesLa première étape consiste à choisir les variables du problème.La définition des variables permet de différencier les variables des paramètres, qui sont des données qui peuvent varier, par exemple d’une période à l’autre ou d’un scénario à l’autre. Ici les quantités que le modèle doit déterminer sont les productions de châssis par semaine. Notons donc :x1 = nombre de châssis de type 1 produits par semaine,x2 = nombre de châssis de type 2 produits par semaine.

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b) Expression de l’objectifLa deuxième étape consiste à formuler mathématiquement l’objectif.Ici l’entreprise désire maximiser son profit net. La marge étant de 3 pour le premier type de châssis et de 5 pour le second, l’objectif s’exprime comme suit :

max z = 3x1 + 5x2

c) Expression des contraintesLa troisième étape est la formulation les contraintes du problème.Ces relations peuvent être de simples bornes sur les variables. Par exemple, les quantité produites ne peuvent être négatives. Mathématiquement :

x1, x2 ≥ 0.

Elles peuvent être plus complexes comme les contraintes de capacité de production.Le temps pour assembler 1 châssis de type 1 dans l’atelier 1 est de 1 heure où il reste 4 heures disponibles. D’où la contrainte de capacité de l’atelier 1 :

x1 ≤ 4

Semblablement, on peut construire les contraintes de capacités des deux autres ateliers :

2x2 ≤ 123x1 + 2x2 ≤ 18

d) Résolution graphiqueReprenons la formulation sous la forme condensée suivante :

max z = 3x1 + 5 x2s.c.q.

x1 ≤ 42x2 ≤ 12

3x1 + 2x2 ≤ 18x1 ≥ 0x2 ≥ 0

Dans le cas de deux variables de décision, un problème linéaire peut être résolu de manière purement graphique en suivant le processus en trois étapes :1. représentation graphique de la région réalisable,2. représentation graphique des contraintes,3. détermination de la solution optimale.

d) Résolution par le solveur d’Excel

Nous allons maintenant résoudre le problème au moyen du solveur d’Excel. La première chose à faire est de rentrer les données numériques du problème et les formules de calcul de la fonction objectif ainsi que du membre de gauche des contraintes. Pour la clarté du modèle, il est indispensable de mettre également des commentaires. Comme le problème est linéaire, on peut rentrer les coefficients numériques sous forme d’une matrice. On remarquera au tableau suivant que les coefficients d’une même équation ainsi que sa formule de calcul ont été rangés dans une même ligne qui contient comme commentaire le nom de l’équation (Atelier 1, Atelier 2,…). De même, les coefficients se rapportant à une même variable ont été rangé en colonne sous le nom de la variable (x1, x2). Remarquez ici, pour comprendre les formules, que l’on a choisi de placer la valeur de x1 en cellule $B$2$, tandis que celle de x2 est placée en cellule $C$2.



Il reste maintenant à indiquer à Excel, où se trouvent les variables, la fonction objectif, le membre de gauche, de droite et le sens des contraintes. Ceci peut être mis en œuvre en Excel de la manière suivante :

A B C D E1 Aluminiu

mBois b

2 Production de châssis3 Profit 3 5 =B3*$B$2+C3*$C$24 Capacité de l’atelier 1 1 0 =B4*$B$2+C4*$C$2 45 Capacité de l’atelier 2 0 2 =B5*$B$2+C5*$C$2 126 Capacité de l’atelier 3 3 2 =B6*$B$2+C6*$C$2 18

1. Dans le menu “Outils”, choisir le sous-menu “Solveur”.2. Dans la zone “Cellule à définir”, mettre la référence de la cellule de calcul de l’objectif (ici $D$3).3. Dans la zone “Egale à”, choisir Max ou Min (ici Max).4. Dans la zone “Cellules variables”, mettre les références des cellules contenant les variables (ici $B$2:$C$2).5. Dans la zone “Contraintes”, choisir “ajouter une contrainte”. Le menu suivant apparaît :

Cellule : Relation : Contrainte :

6. Dans ”Option”, choisir ”Modèle supposé linéaire”. On doit également choisir l’option ”Supposé non négatif” qui correspond aux contraintes de positivité des variables.7. Lancer la commande “Résoudre”.



B- ORDONNANCEMENT DE PROJETS

Lors de tout projet de grande envergure (construction d’un bateau, d’un avion, d’un Bâtiment,...), un problème crucial qui se pose est celui du calendrier d’exécution des tâches. Le problème est de déterminer dans quel ordre doivent s’enchaîner les diverses tâches de manière à minimiser le temps total d’exécution du projet.

Prenons l’exemple où l’on veut construire un nouveau bâtiment de manière à pouvoir déménager au plus tôt. Certaines tâches (voir tableau suivant) ne peuvent s’exécuter qu’après que d’autres soient terminées. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont terminées. D’autres tâches peuvent s’exécuter simultanément. Par exemple, les travaux d’électricité et de plomberie peuvent être menés de pair. On doit tenir compte, dans les problèmes d’ordonnancement, de divers types de contraintes.

N° Tâche Durée (jours) Préalables1 terrassement 5 -2 fondations 4 13 colonnes porteuses 2 24 charpente toiture 2 35 couverture 3 46 maçonnerie 5 37 plomberie, électricité 3 28 coulage dalle béton 3 79 chauffage 4 8 et 6

10 plâtre 10 9 et 511 finitions 5 10

• Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’une tâche dans le temps : une tâche ne peut commencer avant une telle date, ou après une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques).

• Les contraintes de succession temporelle expriment les relations d’antériorité entre les tâches : une tâche ne peut commencer avant la fin d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations avant la fin du terrassement).

• Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tâches ne peuvent avoir lieu en même temps sans que l’on puisse dire laquelle doit être effectuée avant l’autre (par exemple, une même grue est utilisée sur deux chantiers).

Le problème d’ordonnancement avec des contraintes de localisation temporelle et de succession temporelle seulement est appelé problème central d’ordonnancement. Il s’agit de déterminer le calendrier de début de chacune des tâches de manière à terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles.Nous allons voir que ce problème utilise la notion de graphe, aussi bien pour sa formulation que pour sa résolution.



1. FORMULATION DU PROBLÈME

Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tâches à exécuter, indicées i = 1,…n. Utilisons également la notation di pour désigner la durée d’exécution de la tâche i (qui est ici une donnée). Désignons par t0 le temps de début d’exécution du chantier, supposé également connu.Les variables du problème sont les suivantes : ti note le temps de début d’exécution de la tâche i, et tf (= tn+1) note le temps de fin de chantier.Formulons maintenant l’objectif : il s’agit simplement de minimiser le temps de réalisation du chantier, autrement dit :

min z = tf − t0qui consistera à minimiser tf si on se fixe initialement t0 = 0.

Formulons maintenant les contraintes du problème central d’ordonnancement. Elles sont de trois types :

• Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tâche i ne peut commencer avant le début de chantier :

ti ≥ t0, ∀i sans prédécesseur

• Les contraintes de succession temporelle expriment que la tâche j ne peut débuter avant que toute tâche i préalable à j ne soit finie :

ti + di ≤ tj , ∀ tâche i antérieure à la tâche j

• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tâche i doit âtre finie avant la fin de chantier :

ti + di ≤ tf , ∀i sans successeur

2. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DU PROBLÈME

On associe donc au problème central d’ordonnancement un graphe dont les sommets représentent les diverses tâches du problème. On ajoute un nœud 0 qui correspond à la date de début de chantier et un nœud f = n + 1 qui correspond à la fin de chantier. Les arcs du réseau représentent les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante :

ti + di ≤ tjEn définissant d 0 = 0. Le problème central d’ordonnancement se formule donc ainsi :

min tf (−t0)s.c.q. ti + di ≤ tj , ∀(i, j) ∈ A

où A note l’ensemble des arcs du réseau.

2 2

4 2 3 0 5

5 10 5


1 2

3 4 5

6

7 8

010

9

11

12


3 3

Reprenons l’exemple. On peut construire systématiquement le graphe associé au problème d’ordonnancement de la manière suivante :

1. On relie d’abord toutes les tâches qui peuvent être effectuées sans préalable au nœud 0, début de chantier par un arc de longueur nulle. Dans l’exemple, seule la tâche 1 est dans ce cas.

2. Ensuite, on prend une tâche déjà dans le graphe et on examine si elle précède d’autres. Par exemple, la tâche 1 doit précéder la tâche 2. On doit donc avoir

t1 + d1 ≤ t2.On trace le nœud 2 et on le relie au nœud 1 par un arc de longueur d1. On fait de même pour représenter toutes les contraintes de succession temporelle.

3. Enfin, quand toutes les tâches sont dans le graphe, pour les seules tâches qui ne sont suivies d’aucune autre, on les relie au nœud n + 1, fin de chantier, avec un arc de longueur égale à la durée de la tâche. Ici, seule la tâche finition est dans ce cas, et il faut que cette tâche soit finie pour la fin du chantier. Il s’agit ici de représenter les contraintes de fin de chantier.


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