Equilibrages des charges Plusieurs types de produits et temps opératoires

stochastiques

Encadré par : M. Fouad JAWAB Réalisé par : Aboubakr MOUBARAK et Youssef EL MOUKADDEM

Licence professionnelle : Logistique industriel

Equilibrage des charges : Plusieurs types de produits et

temps opératoires stochastiques

Première partie : Fiche « connaissances »

I. Introduction

Une ligne d’assemblage est un ensemble de stations de travail (postes de travail)

interconnectées entre elles à l’aide d’un moyen de transfert mécanisé (comme un

convoyeur, un tapis roulant, un bol vibrant etc.). Le produit est transféré sur les stations pour

subir les diverses opérations d’assemblage nécessaires. A la fin de la ligne, le produit

assemblé sort de la ligne.

Le problème de l’équilibrage d’une ligne d’assemblage consiste à affecter les opérations

d’assemblage aux stations de la ligne de façon à équilibrer les charges entre les stations tout en

respectant des contraintes de production. Ce problème se pose lors de la conception préliminaire

d’une nouvelle ligne, mais également au moment d’un changement important de la production. En

effet, une mauvaise affectation des opérations aux stations peut entraîner un temps mort nonjustifié et donc des coûts supplémentaires inutiles pour chacune des pièces produites.

Exemple :

Dans l’exemple, les pièces des produits P passent par les quatre stations sur la ligne pour exécuter les opérations

Quelques définitions de lignes d’assemblage

Opération (ou tâche) : C’est la plus petite unité de travail. Elle est pratiquement indivisible.

Un travail à réaliser sur un produit peut être divisé en plusieurs opérations indivisibles. A

chaque opération sont associés au moins deux types de paramètres qui correspondent à

sa durée et à des contraintes. La durée nécessaire pour compléter une opération est dite

temps d’opération ou temps opératoire.

Temps de cycle : temps compris entre la production de deux unités sur une ligne

d’assemblage. Généralement le temps de cycle est donné par la station qui a le temps

de station le plus grand (station goulet). Il correspond à la productivité de la ligne

d'assemblage. Remarquons qu’on le confond souvent avec le temps de réponse outemps du système qui est le temps de présence d'un produit dans la ligne.

Temps mort : Le temps mort d’une station correspond à la différence entre son temps de

station et le temps de cycle de la ligne. Le temps mort représente un gaspillage des

ressources et par conséquent augmente le coût de production.

Contraintes de précédence : ils présentent l’ordre partiel de réalisation des opérations,et ce en raison des restrictions technologiques (ex. dans une ligne d’assemblage des

ordinateurs, la carte mère doit être fixée dans le boîtier d’ordinateur avant d’installer les

cartes sur la carte mère).

Station : c’est un élément de la ligne où les opérations sont réalisées sur un produit. La

totalité du travail à réaliser sur une station est appelée la charge de cette station. La

durée d’exécution de la charge d’une station s’appelle le temps de station.

II. Problèmes d’équilibrage de lignes

d’assemblage

L’équilibrage d’une ligne d’assemblage est un problème d’optimisation

combinatoire Il s'agit d'affecter les opérations aux stations tout en respectant les

différentes contraintes de façon à optimiser un critère d’efficacité donné. Ce problème

se pose lors de la conception préliminaire d’une nouvelle ligne, mais également au

moment d’un changement important de la production. Une mauvaise répartition desopérations aux stations peut entraîner un temps mort non justifié et des coûts

supplémentaires inutiles pour chacune des pièces produites.

Problèmes d’équilibrage de la ligne

d’assemblage

Modèle simple (SALBP) Modèle mixte

Les temps opératoires

sont déterministe

La ligne d’assemblage est

dédiée à un seul produit (Ou à des produits trèssimilaires au plan de la

gamme de fabrication etde temps opératoires

Les temps opératoires

sont stochastiques

La ligne d’assemblage

est dédier à plusieursproduits

Rarement réaliser

dans la pratique

le modèle mixte où plusieurs types de produits sont fabriqués sur la ligne. Les produits de différents

types sont lancés sur la ligne en respectant des ratios donnés, mais sans regroupement obligatoire partype, c’est-à-dire qu'à chaque instant un mélange de produits de différents types peut être présent surla ligne

Temps opératoire : La durée nécessaire pour compléter une opération (taches)

Le mot stochastique est synonyme d'aléatoire et s’oppose par définition

au déterminisme. Qui dépend, qui résulte du hasard.

Temps opératoires stochastique

Exemple de ligne d’assemblage pour un modèle mixte

Avec

trois sortes de produits

différents

modèle stochastique : dans une ligne manuelle, la performance de la ligne de

production est forcément dépendante du travail des opérateurs. Le temps

d’opération peuvent être très différents en raison des compétences et des

motivations différentes des opérateurs. Même si le temps d’opération est presque

constant dans une ligne automatisée, une variation des taux de production desstations peut se produire cause des pannes des machines. Dans la littérature, les

temps des opérations d'une ligne manuelle sont souvent donnés selon une loi

normale.

Solutions pour équilibrer la charge de plusieurs types de produit

et temps opératoires stochastiques

La loi de probabilité triangulaire La simulation

Consiste à Fournir des bornes on

supposant que le tempsopératoire le plus probable sesitue à égale distance de ces

borne.

Lorsque l’on ne

souhaite pas introduire une approximation

normale

Lorsque

interviennent des produits de

variables aléatoires

Utilisée soit

Opération difficile de traduire en une loi de probabilité simple

Avantage Inconvénient

• Il est possible de substituer à cette loi une loi normale de même

moyenne et de même écart type

sans pour autant perturber considérablement les résultats.

• Il arrive parfois que l’approximation par loi normale ne soit pas possible (parfois le temps opératoire est donné à l’aide de deux bornes, mais le temps opératoire le plus probable ne soit pas équidistant des deux bornes)

L’approche de la loi de probabilité triangulaire

L’approche de la loi de probabilité triangulaire

Temps opératoires

Ils sont les valeurs prises par des variables

aléatoires continues (densités de probabilité)

Composition du lot de fabrication

Ils sont des valeurs prises par des

variables aléatoires discrètes

Densité de probabilité triangulaire

𝐹 𝑥 =

Dans la pratique, il suffira donc de définir a et b et de considérer que la loi de probabilité

de temps opératoire a comme moyenne et écart type les valeurs m calculées

Le choix d’une telle répartition est raisonnable car il permet de rendre compte d’une valeur debase du temps opératoire (la valeur moyenne) et d’une dispersion d’une autour de cette valeur

moyenne, la probabil ité d’une valeur étant d’autant plus faible que cette valeur est éloignée de la

moyenne. Dans la suite, une telle loi sera qualifiée de ¨Triangulaire¨

Un autre choix est l’approximation par une loi normale ayant même écart type que la loi

triangulaire. L’avantage de ce choix est de pouvoir mener les calculs théoriques beaucoup plus loin(La convolution de loi normales est aisée) et la probabil ité que la valeur prise reste comprise

l’intervalle [a,b] est supérieure à 0,9855

Dépassement de la capacité d’une station

Nous adoptons l’approximation des lois triangulaire par des lois normales pour les opérations à exécuter dans une stations K donnée. Soit i= 1,2…nk les opérations à exécuter dans cette station. Soit [ai, bi] l’intervalle dans lequel nous souhaitons contraindre le temps opératoires suit une loi normale :

De moyenne 𝑀𝑘 = 𝑖=1𝑛𝑘 𝑎𝑖+𝑏𝑖

2

De variance 𝑀𝑘2 = 𝑖=1

𝑛𝑘 (𝑏𝑖+𝑎𝑖)2

24

La relation nous donne donc la probabilité que la station considérée ne

soit pas en mesure d’exécuter les opérations qui lui sont assignées durant

une période de cadencement.

Application 1 : Conception d’une ligne d’assemblage plusieurs produit avec temps de fabrication aléatoires

Une ligne d’assemblage fabrique des lots de Cinque produits noté : P1,P2,P3,P4 et P5. Les produits qui figurent dans un lot on à subir 14 opérations notées A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M et N.La composition de ces lots est variable. Le nombre de produits Pi dans un lot est compris entre deux bornes (bornes exclues) et est réparti suivant une loi triangulaire, comme indiqué ci-dessous. Pour chaque valeur possible du nombre d’unité de produit figurant dans un lot, la probabilité est donnée entre parenthèses.

P1: 5(1/6) ; 6(2/6) ; 7(2/6) ; 8(1/6)P2: 4(1/9) ; 5(2/9) ; 6(1/3) ; 7(2/9) ; 8(1/9)P3: 3(1/16) ; 4(1/8) ; 5(3/16) ; 5(1/4) ; 7(3/16) ; 8(1/8) ; 9(2/16) P4: 5(1/4) ; 6(1/2) ; 7(1/4) P5: 2(0,05) ; 3(0,1) ; 4(0,15) ; 5(0,2) ; 5(0,2) ; 7(0,15) ; 8(0,1) ; 9(0,05)

La période de cadencement est égale à 400 unités de temps. Nous considérons que l’approximation de la loi de répartition triangulaire par une loi normale est valide.

Avec : (a/b) : C’est le nombre de produits Pi dans un lot.

Les temps opératoires sont déterministes ils figurent dans ce tableau

Les gammes de fabrication

Questions : 1: Trouves pour chaque opération, les paramètres de la loi normale qui gouverne les temps opératoire du lot.2. Calculer la probabilité de dépassement de chacune des stations

1. On remarque que les points dont les coordonnées sont le nombre d’unité de produits et leurs probabilité sont linéairement répartis jusqu’à la valeur médiane. On remarque également que les bornes inférieures des répartitions sont respectivement 4,3,2,4,1. Les bornes supérieures de répartition sont respectivement 9,9,10,8,10.

Si j=1…, J sont les opérations à effectuer, si i=1…,I sont les différents types de produits, si 𝑇𝑖𝑗 le temps

nécessaire pour effectuer l’opération j sur unité de produit i, et si 𝑛𝑖 est le nombre (variable) de produits de type i dans le lot.

Alors 𝑆𝑗 = 𝑖=1𝐼 𝑛𝑖 . 𝑡𝑖𝑗 est le temps nécessaire pour effectuer l’opération j sur l’ensemble des produits du

lot.

Donc sont écart type sera 𝑖=11 𝑡𝑖𝑗

2𝜎𝑖2

a. Calcul des paramètre qui gouvernent la variable aléatoire n1 qui correspond au produit P1.

𝜎12 =

1

2452−3 = 11

12si bien que 𝜎 =

33

6

Solution :

b. Calcul des paramètre qui gouvernent la variable aléatoire n1 qui correspond au produit P2.

𝜎22 = 1

2462−4 =

4

3Si bien que 𝜎2 =

2 3

3

c. La moyenne de la variable aléatoire normale du temps nécessaire pour faire subir l’opération A,B et C :

𝑚𝐴 = 1 × 6, 5 + 3 × 6 = 24,5𝑚𝐵 = 5× 6,5 + 1 × 6 = 38,5𝑚𝐶 = 2 × 6,5 + 3 × 6 = 31

Opérations A B C D E F G H I J K L M N

Moyenne 70,5 98 60 114,5 114 78,5 73 96 85,5 83,5 92,5 30 60,5 109

Ecart type 8,77 8,25 6,26 11,94 10,39 10,46 7,02 9,69 7,86 10,39 7,75 2,92 5,88 12,31

Caractérisation des temps opératoires du lot :

Le problème complet qui comporte cinq produits et 14 opérations nécessite l’écriture d’un programme simple. Ce programme conduit aux résultats qui figurent dans le tableau suivant :

La probabilité de dépassement de la période de cadencement est donnée par la formule classique :

Pr 𝑋 > 4000 = 1

𝜎 2𝜋 400

+∞

𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 − 𝑚 2/(2𝜎2) 𝑑𝑥 = 1

2𝜋 𝑅

+∞

exp −𝑥2

2𝑑𝑥

Ou R = (400-m)/𝜎,m est le temps moyen et 𝜎 est l’écart type.

Avec :

R : Vecteur des clés aléatoires.

Pr(x) : La probabilité de dépassement de la période de cadencementm: est le temps moyen𝜎 : est l’écart type.

Exemple :

Une compagnie de textile fabrique 3 types de produits : chemises , sacs en cuir et des pantalons. Noté respectivement C, S et P .Ces produits sont fabriqués dans la même ligne d’assemblage, répartie en 14 stations.

Pour fabriquer une chemise il faut 3 sortes de matières premières différents noté A, B et C Pour fabriquer un sac en cuir il faut 5 sortes de matières premières différents noté A, C, D, E,F Pour fabriquer un pantalons il faut 3 sortes de matières premières différents noté G, H et C

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Opérations A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B

F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Temps op.moyens

228,5

200 300,55

169 231,5 139 314 252,5

261,5

109 298 134 198 270,8

Question :

1. Calculer la probabilité de dépassement de chacune des stations de

façons à maximiser l’utilisation des stations de la chaine d’assemblage

La période de cadencement est égale à 400 unités de temps. Nous considérons que

l’approximation de la loi de répartition triangulaire par une loi normale est valide et le

coefficient de variation des temps opératoires est de : CV = 0,5

Le responsable de production à estimer que les stations sont chargées à 60% de leur

capacité

Solution

1. Nous appliquons un programme qui fonctionne en temps stochastiques et qui utilise les temps opératoires moyens.

Puisque les stations sont chargées à 60% de leur capacité, ce qui revient à dire que la période de cadencement est de 240 unités de temps. Pour chaque station, la moyenne est égale la somme des moyennes et l’écart type est égal à la racine carrée de la somme des variances.

400 × 60% = 240

La ligne d’assemblage avec chargement à 60%

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Opérations A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B

F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Temps op.moyens

228,5

200 300,55

169 231,5 139 314 252,5

261,5

109 298 134 198 270,8

Ecart type 114,25 100 150,275 84,5 115,75 69,5 157 126,25 130,75 54,5 149 67 99 135,4

Probabilité de dépassement de la capacité :

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B

F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Probabilité 12,64

14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,64

18,13

21,78 19,3 16,8 22,63

24,64 16

R : Vecteur des clés aléatoires.

R = (400-m)/𝜎

m: est le temps moyen𝜎 : est l’écart type.

Ce tableau donne les valeurs de R pour les différentes stations. La probabilité de dépassement se lit alors dans les tables. Dans ce cas, les tables nous indiquent que la probabilité de dépassement de capacité est pratiquement nulle. Cela signifie qu’il est possible de dépasser 60% de charge.

Nous examinons maintenant le cas où les stations sont chargées à 70% de leur capacité. Le résultat de la conception est donné de le tableau suivant :

La ligne d’assemblage avec chargement à 70%

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Opérations A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B

F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Temps op.moyens

2513,5 2200 3306,05 1859 2546,5 1529 3454 2777,5 2876,5 1199 3278 1474 2178 2978,8

Ecart type 1256,75 1100 1653,025 929,5 1273,25 764,5 1727 1388,75 1438,25 599,5 1639 737 1089 1489,4

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

R A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B

F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Probabilité 12,64

14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,64

18,13

21,78 19,3 16,8 22,63

24,64 16

Les probabilités de dépassement de capacité sont calculées comme précédemment. Elle sont rassemblées dans le tableau précédent. Nous sommes encore dans le cas où les probabilités de dépassement sont pratiquement nulles.Nous examinons enfin le cas où les stations sont chargées à 80% de leur capacité. Le résultat de conception est donné dans le tableau suivant :

Probabilité de dépassement de la capacité :

La ligne d’assemblage avec chargement à 80%

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Opérations A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F, A,B, F,C C,F,G,H

Temps op.moyens

228,5 200 300,55 169 231,5 139 314 252,5 261,5 109 298 134 198 270,8

Ecart type114,25 100 150,275 84,5 115,75 69,5 157 126,25 130,75 54,5 149 67 99 135,4

Probabilité de dépassement de la capacité :

Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Temps d’opérations

A,E, B

A,C,E, B

E, B,D,H

A,E, B F C,D G,E, H

B,E, H

C,B, H

G,E, F A,B, C,G,H

A,C,F,

A,B, F,C

C,F,G,H

Probabilité 12,64

14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,64

18,13 21,78 19,3 16,8 22,63

24,64 16

Nous tirons deux conclusions de ce qui précédé :

Même chargées à 80% de leur capacité, les stations sont capables d’absorber la charge qui leur estimpartie. Il y a à cela deux explications. Tout d’abord, la capacité affectée à la production n’est jamaisutilisé complétement, ce qui laisse aux aléas une flexibilité supérieure à la flexibilité consentie. La secondeexplication est que les aléas se compensent. En d’autres termes, plusieurs opérations exécutées dans lamême station exigent rarement un temps opératoire maximal en même temps.

En observant l’évolution des bornes R, nous voyons qu’en augmentant le pourcentage de charge laprobabilité de dépassement ne sera pas la même pour toutes les stations. Il faudrait donc pouvoir donnerdes pourcentages de chargements différents d’une station à l’autre, ce qui n’est pas possible