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Gestion actifpassif par

optimisationet

application àl'ALM

nucléaired'EDF

Le problème

La gestionactuelle

Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Gestion actif passif par optimisation et applicationà l'ALM nucléaire d'EDF

Séminaire FiME

17 Juin 2016

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application àl'ALM

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Le problème

La gestionactuelle

Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Table of contents

1 Le problème

2 La gestion actuelle

3 Une proposition de modélisation

4 Résultats Black Scholes

5 Résultats Minimal Market Model

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Le problème

La gestionactuelle

Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Contraintes de portefeuille

Le portefeuille investi actualisé At doit rester au dessus du

passif actualisé Lt aux dates L (tous les 6 mois).

Dt somme des dotations actualisées e�ectuées depuis le

début pour satisfaire la contrainte.

Retrait du portefeuille tous les mois date R.

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Date de retrait

Date de contraintes L

R

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Le problème

La gestionactuelle

Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Formule du passif actualisé

Formule du passif à la date t

Passif

actualise

date t

Actualisation reelle

Lt = e(γ−r)t∑

tj>t,tj∈RD̂tje

−aLT (tj−t)

In�ationmoins taux sans

risque

Somme

long

terme

Decaissementen euros constants

sur date futures

des retraits

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Le problème

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Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Gestion actuelle

Gestion en constant mix 50% action-obligations.

Dans ce nombreux cas théoriques (Fontana-Tankov), la

gestion constant mix est optimale.

Peut on faire mieux ? Que veut dire �mieux� ?

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Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Distribution du portefeuille netté des

dotations

Maturité T = 20 ans, γ = 2%, r = 2% , aLT = 2.6%, la DFs'intéresse à la distribution de PT = AT − DT − LT .

Figure � Distribution de PT enmillions d'Euro, modèles Black Scholes etMinimal Market Model, avec GestionConstant Mix 50%

Quantile 1% ' −20Quantile 5% ' −15Quantile 20% ' −7/10

Table � Quantiles de PT enmilliards d'Euros

BS (modèle peu réaliste surtout à long terme) exagère les gains,

Les deux modèles en concordance sur les queues des �pertes�.

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Unepropositiondemodélisation

RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Les modèles de prix

Black Scholes pour actif actualisé

dSt = St((µ− r)dt + σdWt)

µ = 7.5%, σ = 18%.

Minimal Market Model de Platen :

dSt = αtdt +√StαtdWt

αt = α0eηt ,

Calage sur MSCI world de 1976-2016 :

α0 ' 2.317

η ' 0.0542

AOA véri�ée pour les portefeuilles à valeur positive.

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RésultatsBlackScholes

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Fonction d'optimisation

Minimisation d'une fonction coût : E (g(−PT )),

contrôle : φ = (φt ∈ [0, 1]) proportion d'actifs risqués dans

le portefeuille.

Cas Black-Scholes

V (t,At ,Dt) = minφ

E (g(DT + LT − AT )|At ,Dt)

dAt = φtAt((µ− r)dt + σt)dWt

Cas MMM :

V (t,At ,St ,Dt) = minφ

E (g(DT + LT − AT )|At ,St ,Dt)

dAt = φtAt

St(αtdt +

√StαtdWt)

dSt = αtdt +√

StαtdWt

Dynamique de Dt : dDt = 1t∈L(Lt − At)+

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Technique de résolution

Méthodes Déterministes de la librairie StOpt

Utilisables pour BS,

Pas utilisables pour le MMM (coe�cients non Lipschitz)

Développement d'une méthode couplée :

Monte Carlo pour la dynamique de St ,

Pour le MMM, discrétisation pour le niveau de St par uneméthode de type quanti�cation,

Grille de discrétisation pour At , Dt .

Mise en oeuvre dans la librairie StOpt :

généricité de la mise en oeuvre (quant au modèle de prix)

Parallélisation MPI, OPENMP de la librairie

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Paramètres de résolution

20 ans d'optimisation,

Pas de discrétisation du portefeuille 200 millions,

Pas de discrétisation de la dotation 500 millions,

Nombre de trajectoires de Monte Carlo en optimisation :

50000 pour BS, pas de discrétisation sur les niveaux de St ,600000 pour le MMM, discrétisation sur 100 niveaux de St

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RésultatsBlackScholes

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BS : distribution de PT en millions d'euros

pour quelques fonctions de pénalisation

(a) g(x) =(x + 0.4x2)1x>0

(b) g(x) = (x +0.4x2 + 4e−4x3)1x>0

(c) g(x) = (x +0.4x2 + 4e−5x3)1x>0

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BS Quantiles de PT ,

g(x) = (x + 0.4x2 + 4e−5x3)1x>0

Résultats obtenus avec 50000 simulations

Quantile Par optimisation Constant Mix

1% -20139 -20043

2% -16612 -17730

5% -11625 -14179

10% -8439 -10922

20% -5579 -6922

Table � Quantile de PT en millions d'euros par optimisation et parconstant mixt dans le modèle de Black Scholes

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BS : vers une heuristique de simulation

Heuristique

φt = F

(t,At − Dt

Lt

)

(d) φt à 3 ans (e) φt à 8 ans (f) φt à 15 ans

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BS : heuristique quadratique linéaire en

temps

(g) Approximation F (t, x) =(a0+a1t)+(b0+b1t)x+(c0+c1t)x

2(h) Constant Mix, solution

optimale et heuristique

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BS : heuristique quadratique

Figure � Heuristique F (t, x) := F (x) = −0.113x2 − 0.377x + 0.731

Quantile Par optimisation Constant Mix heuristique1% -20139 -20043 -179175% -11625 -14179 -1211710% -8439 -10922 -953520% -5579 -6922 -6777

Table � Quantile de PT par optimisation, constant mix etheuristique quadratique dans le modèle de Black Scholes

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BS : in�uence de aLT sur l'approximation

quadratique

(a) Heuristique quadratique (b) Cas aLT = 2.6%, constant mix, gestionquadratique, gestion quadratique optimiséeavec aLT = 2.2%, gestion quadratiqueoptimisée avec aLT = 3.%

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MMM : g(x) = x + 0.4x2 + 4e−5x3, heuristiquelinéaire quadratique

Modèle MMM :

Figure � HeuristiqueF (t, x) = (a0 + a1t) + (b0 + b1t)x + (c0 + c1t)x

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MMM :Heuristique quadratique

Figure � Heuritisque F (t, x) := F (x) = 0.0487x2 − 0.247x + 0.481

Quantile Par optimisation Constant Mix heuristique1% -20499 -20800 -169535% -12798 -15113 -1282410% -10287 -12301 -1096220% -8120 -9131 -9025

Table � Quantile de AT − LT − DT par optimisation, constant mixet heuristique quadratique dans le modèle de Black Scholes

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RésultatsBlackScholes

RésultatsMinimalMarketModel

Conclusion

Figure � Comparaison des stratégies obtenues par les deux modèles

Les deux stratégies approchées sont de même type :

On sécurise quand la cible est atteinte,On prend d'autant plus de risques que l'on a fortementdoté et que la valeur du portefeuille est faible

La stratégie MMM est plus reserrée que la stratégie BlackScholes.

Les stratégies sont stables par rapport à la valeur de aLT .