Gestion actif passif par optimisation et application à l...
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Gestion actifpassif par
optimisationet
application àl'ALM
nucléaired'EDF
Le problème
La gestionactuelle
Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Gestion actif passif par optimisation et applicationà l'ALM nucléaire d'EDF
Séminaire FiME
17 Juin 2016
Gestion actifpassif par
optimisationet
application àl'ALM
nucléaired'EDF
Le problème
La gestionactuelle
Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Table of contents
1 Le problème
2 La gestion actuelle
3 Une proposition de modélisation
4 Résultats Black Scholes
5 Résultats Minimal Market Model
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optimisationet
application àl'ALM
nucléaired'EDF
Le problème
La gestionactuelle
Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Contraintes de portefeuille
Le portefeuille investi actualisé At doit rester au dessus du
passif actualisé Lt aux dates L (tous les 6 mois).
Dt somme des dotations actualisées e�ectuées depuis le
début pour satisfaire la contrainte.
Retrait du portefeuille tous les mois date R.
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Date de retrait
Date de contraintes L
R
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Le problème
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Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Formule du passif actualisé
Formule du passif à la date t
Passif
actualise
date t
Actualisation reelle
Lt = e(γ−r)t∑
tj>t,tj∈RD̂tje
−aLT (tj−t)
In�ationmoins taux sans
risque
Somme
long
terme
Decaissementen euros constants
sur date futures
des retraits
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Le problème
La gestionactuelle
Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Gestion actuelle
Gestion en constant mix 50% action-obligations.
Dans ce nombreux cas théoriques (Fontana-Tankov), la
gestion constant mix est optimale.
Peut on faire mieux ? Que veut dire �mieux� ?
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Le problème
La gestionactuelle
Unepropositiondemodélisation
RésultatsBlackScholes
RésultatsMinimalMarketModel
Distribution du portefeuille netté des
dotations
Maturité T = 20 ans, γ = 2%, r = 2% , aLT = 2.6%, la DFs'intéresse à la distribution de PT = AT − DT − LT .
Figure � Distribution de PT enmillions d'Euro, modèles Black Scholes etMinimal Market Model, avec GestionConstant Mix 50%
Quantile 1% ' −20Quantile 5% ' −15Quantile 20% ' −7/10
Table � Quantiles de PT enmilliards d'Euros
BS (modèle peu réaliste surtout à long terme) exagère les gains,
Les deux modèles en concordance sur les queues des �pertes�.
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Le problème
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RésultatsBlackScholes
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Les modèles de prix
Black Scholes pour actif actualisé
dSt = St((µ− r)dt + σdWt)
µ = 7.5%, σ = 18%.
Minimal Market Model de Platen :
dSt = αtdt +√StαtdWt
αt = α0eηt ,
Calage sur MSCI world de 1976-2016 :
α0 ' 2.317
η ' 0.0542
AOA véri�ée pour les portefeuilles à valeur positive.
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Le problème
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RésultatsBlackScholes
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Fonction d'optimisation
Minimisation d'une fonction coût : E (g(−PT )),
contrôle : φ = (φt ∈ [0, 1]) proportion d'actifs risqués dans
le portefeuille.
Cas Black-Scholes
V (t,At ,Dt) = minφ
E (g(DT + LT − AT )|At ,Dt)
dAt = φtAt((µ− r)dt + σt)dWt
Cas MMM :
V (t,At ,St ,Dt) = minφ
E (g(DT + LT − AT )|At ,St ,Dt)
dAt = φtAt
St(αtdt +
√StαtdWt)
dSt = αtdt +√
StαtdWt
Dynamique de Dt : dDt = 1t∈L(Lt − At)+
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Technique de résolution
Méthodes Déterministes de la librairie StOpt
Utilisables pour BS,
Pas utilisables pour le MMM (coe�cients non Lipschitz)
Développement d'une méthode couplée :
Monte Carlo pour la dynamique de St ,
Pour le MMM, discrétisation pour le niveau de St par uneméthode de type quanti�cation,
Grille de discrétisation pour At , Dt .
Mise en oeuvre dans la librairie StOpt :
généricité de la mise en oeuvre (quant au modèle de prix)
Parallélisation MPI, OPENMP de la librairie
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Paramètres de résolution
20 ans d'optimisation,
Pas de discrétisation du portefeuille 200 millions,
Pas de discrétisation de la dotation 500 millions,
Nombre de trajectoires de Monte Carlo en optimisation :
50000 pour BS, pas de discrétisation sur les niveaux de St ,600000 pour le MMM, discrétisation sur 100 niveaux de St
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BS : distribution de PT en millions d'euros
pour quelques fonctions de pénalisation
(a) g(x) =(x + 0.4x2)1x>0
(b) g(x) = (x +0.4x2 + 4e−4x3)1x>0
(c) g(x) = (x +0.4x2 + 4e−5x3)1x>0
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BS Quantiles de PT ,
g(x) = (x + 0.4x2 + 4e−5x3)1x>0
Résultats obtenus avec 50000 simulations
Quantile Par optimisation Constant Mix
1% -20139 -20043
2% -16612 -17730
5% -11625 -14179
10% -8439 -10922
20% -5579 -6922
Table � Quantile de PT en millions d'euros par optimisation et parconstant mixt dans le modèle de Black Scholes
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BS : vers une heuristique de simulation
Heuristique
φt = F
(t,At − Dt
Lt
)
(d) φt à 3 ans (e) φt à 8 ans (f) φt à 15 ans
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BS : heuristique quadratique linéaire en
temps
(g) Approximation F (t, x) =(a0+a1t)+(b0+b1t)x+(c0+c1t)x
2(h) Constant Mix, solution
optimale et heuristique
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BS : heuristique quadratique
Figure � Heuristique F (t, x) := F (x) = −0.113x2 − 0.377x + 0.731
Quantile Par optimisation Constant Mix heuristique1% -20139 -20043 -179175% -11625 -14179 -1211710% -8439 -10922 -953520% -5579 -6922 -6777
Table � Quantile de PT par optimisation, constant mix etheuristique quadratique dans le modèle de Black Scholes
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BS : in�uence de aLT sur l'approximation
quadratique
(a) Heuristique quadratique (b) Cas aLT = 2.6%, constant mix, gestionquadratique, gestion quadratique optimiséeavec aLT = 2.2%, gestion quadratiqueoptimisée avec aLT = 3.%
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MMM : g(x) = x + 0.4x2 + 4e−5x3, heuristiquelinéaire quadratique
Modèle MMM :
Figure � HeuristiqueF (t, x) = (a0 + a1t) + (b0 + b1t)x + (c0 + c1t)x
2
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MMM :Heuristique quadratique
Figure � Heuritisque F (t, x) := F (x) = 0.0487x2 − 0.247x + 0.481
Quantile Par optimisation Constant Mix heuristique1% -20499 -20800 -169535% -12798 -15113 -1282410% -10287 -12301 -1096220% -8120 -9131 -9025
Table � Quantile de AT − LT − DT par optimisation, constant mixet heuristique quadratique dans le modèle de Black Scholes
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Conclusion
Figure � Comparaison des stratégies obtenues par les deux modèles
Les deux stratégies approchées sont de même type :
On sécurise quand la cible est atteinte,On prend d'autant plus de risques que l'on a fortementdoté et que la valeur du portefeuille est faible
La stratégie MMM est plus reserrée que la stratégie BlackScholes.
Les stratégies sont stables par rapport à la valeur de aLT .