B6/chapitre 9(version du 12/11/02) Cnam Paris Gotechnique C. Plumelle

Chapitre 9. Modle hyperbolique............................................................................................... 2

9.1 Prsentation du modle hyperbolique .................................................................................. 2

9.2 Dtermination du modle hyperbolique........................................................................ 3

9.3 Dtermination du palier de rupture ............................................................................... 3

9.4 Dtermination de lvolution de Ei en fonction de 3 ................................................. 39.5 Dtermination des paramtres de la droite de dchargement ....................................... 4

9.6 Dtermination des paramtres de la courbe dformation volumique dformation

axiale ....................................................................................................................................... 4

9.7 Modlisation d essais triaxiaux drains ....................................................................... 5

B6/chapitre 9(version du 12/11/02) Cnam Paris Gotechnique C. Plumelle 2

Chapitre 9. Modle hyperbolique

9.1 Prsentation du modle hyperbolique

Le modle lastique linaire parfaitement plastique prsente linconvnient de fixer unmodule de Young E constant, indpendant de la dformation et de la contrainte moyenne pet davoir le mme module en chargement et dchargement alors que les essais triaxiauxdrains comportant un cycle de chargement dchargement montrent (Fig.9.1) :

lors du premier chargement une lasticit non linaire ; lors du dchargement une lasticit linaire avec un module de dchargement Eurnettement plus lev que le module tangent de premier chargement Ei ;et dautre part si on ralise plusieurs essais triaxiaux avec des contraintes de confinement 3croissantes on constate une augmentation du module Ei avec cette contrainte de confinement3.Pour mieux reprsenter les courbes dviateur q dformation axiale 1 de ces essais triaxiauxDuncan et Chang (1970) ont propos un modle hyperbolique qui a t amlior ensuite dansles programmes de calculs comme Plaxis, par exemple. Kondner a dabord utilis (1963) laloi hyperbolique suivante :

a

1

i

1

qE1

q += (9.1)

Avec Ei : module tangent du premier chargement, qa : valeur asymptotique horizontale du dviateur Donc, quand 1 tend vers linfini, le dviateur q tend vers la valeur asymptotique du dviateurultime qa et quand 1 tend vers 0, dq/d1 tends vers Ei, module tangent (Fig.9.1).

1-3

1

1

Ei

qa

qf

asymptote

ligne de rupture

E501

Eur

1

Fig.9.1 Relation entre la contrainte et la dformation dans le modle hyperbolique

B6/chapitre 9(version du 12/11/02) Cnam Paris Gotechnique C. Plumelle 3

Elle a ensuite t complte par Duncan et Chang qui ont exprim que le module tangentaugmente avec la contrainte 3.

m

a

3ai p

pkE

= ' (9.2)

o k et m sont des paramtres dtermins partir dessais triaxiaux drains et pa est lapression de rfrence, gnralement la pression atmosphrique ; k dpend de la nature du solet de sa compacit. Pour un sable m est de lordre de 0,5, pour une argile m est voisin de 1.Le palier de rupture qf est dtermin par le critre de Mohr-Coulomb (7.31), il tronque lacourbe dviateur-dformation hyperbolique (Fig.9.1). Rf est le rapport qf / qa ; gnralement ilest compris entre 0,8 et 0,9.

9.2 Dtermination du modle hyperbolique

Classiquement dans le cas dun modle hyperbolique on trace la droite 1/ q en fonction de 1.

i1

a

1

E1

q1

q+=

Lordonne lorigine dtermine 1/Ei et la pente de la droite permet de calculer 1/qa .On dtermine gnralement E50, module scant correspondant au dviateur qf / 2 (Fig. 9.1). Encrivant :

i50

a

50

E1

q1

q+=

et Rf = qf / qa

On en dduit : E50 = Ei ( 1 Rf / 2 )

9.3 Dtermination du palier de rupture

On dtermine et C, dans les axes de Mohr (7.32), dans les axes de Cambridge (7.34) oudans les axes de Lambe (7.35 et 7.36). La valeur de qf est donne par (7.31).

qf = (1 - 3) = 2cos + (1 + 3) sinOn en dduit Rf = qf / qa

9.4 Dtermination de lvolution de Ei en fonction de 3On dtermine k et m en crivant (9.2) en cordonnes logarithmiques : log (Ei / pa) = log k + m log (3 / pa )

B6/chapitre 9(version du 12/11/02) Cnam Paris Gotechnique C. Plumelle 4

9.5 Dtermination des paramtres de la droite de dchargement

On considre quon est en lasticit linaire, on dtermine donc Eur, et ur daprs (7.37) et(7.38). Comme Ei , Eur varie avec 3.

m

a

3aurur p

pkE

= ' (9.3)

kur est comme on la vu nettement suprieur k, dautant que le sol est lche ou peu compact.Pour des sables lches il peut tre 3 fois plus grands, pour des sables trs compacts il peut tresuprieur de 20%.Un ordre de grandeur souvent utilis est kur = 3 k50.

9.6 Dtermination des paramtres de la courbe dformation volumique dformationaxiale

La loi hyperbolique sadapte bien la description de la courbe dformation volumique v enfonction de la dformation axiale 1 pour les essais triaxiaux dans le domaine normalementconsolid, par contre dans le domaine surconsolid langle de dilatance doit tre calculdaprs (7.39).

B6/chapitre 9(version du 12/11/02) Cnam Paris Gotechnique C. Plumelle 5

9.7 Modlisation d essais triaxiaux drains

Le mme triaxial quen 7.3.2.2 (Fig. 7.13) a t modlis partir du modle hyperboliqueadapt du modle de Duncan. Trois essais triaxiaux consolids drains avec mesures de ladformation volumique ont t effectus sous 3 contraintes de confinement 3 de 100, 200 et300 kPa (Arafati 1997). Les rsultats prsents sur la figure 9.2 (K. Serrai 2001) montrent unebonne modlisation tant pour les courbes dviateur dformation axiale que pour les courbesdformation volumique dformation axiale.

0 3 6 9 121(%)

0

500

1000

1500

2000

q(kPa)

0 3 6 9 121(%)

-2

0

2

4

6

v(%)

0 3 6 9 121(%)

0

500

1000

1500

2000

q(kPa)

0 3 6 9 121(%)

-2

0

2

4

6

v(%)

0 3 6 9 121(%)

0

500

1000

1500

2000

q(kPa)

0 3 6 9 121(%)

-2

0

2

4

6

v(%)

3=96kPa3=100kPa

simulation ajuste-Duncan

3=197,7kPa3=196,3kPa

simulation ajuste-Duncan

3=299,8kPa3=299,7kPa

simulation ajuste-Duncan

Fig.9.2 Modlisation dessais triaxiaux drains sur du sable (K. Serrai 2001)

Chapitre 9. Modle hyperbolique9.1 Prsentation du modle hyperboliqueDtermination du modle hyperboliqueDtermination du palier de ruptureDtermination de lvolution de Ei en fonction dDtermination des paramtres de la droite de dDtermination des paramtres de la courbe dforModlisation d essais triaxiaux drains