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Le groupe Al-Kashi, seul groupe spécialisé en cours de répétions à domicile et aux préparations à domicile aux concours d’entrée dans les

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" Quand le soleil s'éclipse, on en voit la grandeur. "

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" Tout ce qui peut être fait un autre jour, le peut être aujourd'hui. "

1-1 : Cercle et droites (c)

On considère, dans un repère orthonormé ( ; , )O i j

, les points A(1 ; −2), B(4 ; −1) et C(4 ; 4). 1. a. Déterminer une équation de la médiatrice D1 du segment [AB]. b. Déterminer une équation de la médiatrice D2 du segment [BC]. c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des droites D1 et D2 .

Préparation au POBATOITRE S (math) SESSION 2009

G A




d. Comment appelle-t-on le point I par rapport au triangle ABC ? 2. Soit le cercle (C) d’équation cartésienne 2 2 3 3 8 0x y x y+ − − − = . a. Déterminer les coordonnées du centre Ω du cercle (C) ainsi que son rayon. b. Que remarquez-vous ? c. Montrer que (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Correction

1. a. D1 : K le milieu de [AB] a pour coordonnées 5 3;

2 2 −

d’où

53 15 32. 0 0 3 0 3 6 0

3 1 2 22

xKM AB x y x y

y

− = ⇔ = ⇔ − + + = ⇔ + − =

+

.

b. D2 : J le milieu de [BC] a pour coordonnées 34 ;

2

d’où

40 3

. 0 0 5 0 2 3 035 2

2

xJM BC y y

y

− = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = −

.

c. 3 6 0 3 / 2

3 / 2 3 / 2

x y x

y y

+ − = = ⇒ = =

.

d. Le point I est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

2. a. 2 2 2 2

2 2 3 9 3 9 3 3 503 3 8 0 8 0

2 4 2 4 2 2 4x y x y x y x y + − − − = ⇔ − − + − − − = ⇔ − + − =

.

Ω a pour coordonnées 3 3;

2 2

, le rayon du cercle est 50 5 2

4 2= .

b. IΩ = .

c. Il suffit de calculer par exemple 2 23 3 1 49 50

1 22 2 4 4 4

A Ω = − + − − = + =

; donc (C) est le cercle

circonscrit au triangle ABC. 1-2 : Courbe (c)

Quelle est la nature de la courbe C d’équation 2 22 1 2x x y y− + = − ? Correction

2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 14

2 1 2 2 2 1 0 02 2 2 4 4 16

x x y y x y x y x y x y x y − + = − ⇔ + − − + = ⇔ + − − + = ⇔ − + − = −

.

Cette courbe est vide. 1-3 : Lignes de niveau 1 (c)

Construire un triangle isocèle ABC tel que AB = AC = 13 et BC = 10. On note G son centre de gravité. 1. Calculer les longueurs AG, BG et GC. 2. Montrer que pour tout point M du plan on a 2 2 2 2 2 2 23MA MB MC MG GA GB GC+ + = + + + . 3. Déterminer et construire l'ensemble des points du plan tels que 2 2 2 194MA MB MC+ + = . 4. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que 2 2 22 0MA MB MC− − = . Correction




G

KJ

I

A

CB

AB = AC = 13 et BC = 10, G le centre de gravité.

1. Avec Pythagore : 2 2 2 2169 25 144 12 .12 8

3AI AB BI AI AG= − = − = ⇒ = ⇒ = = ;

2 2 2 25 16 41 41BG BI IG BG CG= + = + = ⇒ = = . 2. 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ... 3 2 ( ) ...MA MB MC MG GA MG GA GB GC MG GA GB GC+ + = + + = + + + + + + =

3. 2 2 2 2 23 64 41 41 3 146M A M B M C M G M G+ + = + + + = + donc l’ensemble de points cherché est l’ensemble des points M tels que 2 23 146 194 16 4M G M G M G+ = ⇔ = ⇔ = , soit le cercle de centre G, de rayon 4. 4. 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 . 2 . 2 ( ) 338MA MB MC MA MA MA AB AB MA MA AC AC MA AB AC− − = − − − − − − = − + −

.

L’ensemble cherché est l’ensemble des points M tels que 169(2 ) 169 .

2MA AI AM AI= − ⇔ =

. On se place dans le

repère ( , )A AI

où le point M a pour abscisse x tel que 169

2x = ; c’est la droite perpendiculaire à (AI) passant par

ce point. 1-4 : Lignes de niveau 2 (c)

1. Soient les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que 2 2 10MA MB+ = . Représenter cet ensemble. 2. Soit A(5 ; 3) et B(2 ; 4). Déterminer par une équation l'ensemble des points M du plan tels que

2 2 2MA MB− = − . Tracez cet ensemble. 3. Soient A et B deux points du plan tels que AB = a . Déterminez l'ensemble des points M tels que 2.MA MB a=

.

Correction

1. A(1 ; 1), B(1 ; 0); 2 2 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 ) ( ) 2 2 4 2 3M A M B x y x y x y x y+ = − + − + − + − = + − − + . On cherche donc les points

tels que 2

2 2 27 1 7 1 192 ( 1) 1

2 2 2 4 4x y x y x y + − − = ⇔ − + − = + + =

. C’est le cercle de centre C (1 ; 1/2) et de rayon 19

2.

2. A(5 ; 3), B(2 ; 4). 2 2 2 2 2 2(5 ) (3 ) (2 ) (4 ) 14 6 2M A M B x y x y x y− = − + − − − − − = − + . L’ensemble cherché est la droite d’équation 14 6 2 2 3 8 0x y x y− + = − ⇔ − − = .

3. AB = a. 2 2. ( ) ( )A BA B A B A B A B

A B

x x x xM A MB x y x x x y y y x x y y

y y y y

→ → − − = = + − + − + + + − −

. Prenons le centre du repère en I,

milieu de [AB], les coordonnées A(−p ; 0) et B(p ; 0) où p = a/2 ; on a alors 2

2 2 2 2 2 25

4 4

ax y p a a a+ = + = + = , soit le

cercle de centre I et de rayon 52

a .




1-5 : Lignes de niveau 3 (c)

Soient les points A(−1 ; 1) et B(0 ; 2). 1. Déterminer l'ensemble E des points M(x ; y) tels que 2 2 2MA MB AB+ = . Tracez cet ensemble. 2. Déterminer l'ensemble F des points M du plan tels que 2 2 2MA MB AB− = . Tracez cet ensemble. 3. Déterminer l’intersection de E et F. Correction

1. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 21 1 0 2 2 2 2 2 6 6 2MA MB AB x y x y x y x y+ = ⇔ − − + − + − + − = ⇔ + + − + = , soit 2 2

2 2 1 3 1 93 1 0 1 1

2 2 4 4x y x y x y

+ + − + = ⇔ + + − = − + + =

; c’est le cercle de centre 1 3;

2 2I −

et de rayon 1.

2. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 0MA MB AB x y x y x y x y− = ⇔ − − + − − − − − = ⇔ + − = ⇔ + − = , soit une droite

orthogonale au vecteur AB

. 3. Pour qu’il y ait intersection il faut que 2 2 2MB AB MA= − et 2 2 2MB MA AB= − , ce qui n’est possible que si

0M B M B= ⇔ = . Comme B n’est ni dans E ni dans F l’intersection est vide. 1-6 : Fonction scalaire de Leibniz

Soit ABC un triangle, on pose : a = BC, b = AC et c = AB. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [ ] [ ] [ ], ,BC AC AB et G le centre de gravité du triangle ABC.

1. a. Montrer que 2 2 2 21 1

2 2GB GC GA BC+ = + .

b. Après avoir écrit deux autres relations analogues, montrer que: ( )2 2 2 2 2 21

3GA GB GC a b c+ + = + + .

2. A tout point M du plan, on associe le réel : ( ) 2 2 2f M MA M B M C= + + .

a. Montrer que pour tout point M du plan, ( ) 2 ² ² ²3

3

a b cf M MG

+ += + .

b. Pour tout réel k, soit kL l’ensemble des points M du plan tels que ( )f M k= . ( kL est la ligne de niveau k de

l’application 2 2 2:f M M A M B M C+ +֏ ). Déterminer suivant les valeurs du réel k, la nature de l’ensemblekL .

3. Calculer de deux façons différentes le carré scalaire ( )2M A M B M C+ +

et en déduire que

² ² ²2 ' 3 ²

6

a b cM A M A M B MC M G

+ + ⋅ + ⋅ = −

.

4. On considère les points communs aux cercles de diamètres [ ] [ ]'AA et BC . Montrer que lorsqu’ils existent ces

points appartiennent à un cercle( )Γ de centre G, dont on donnera le rayon en fonction de a, b et c. (on pourra

utiliser le résultat du 3°). Déterminer la valeur du réel k tel que ( ) kLΓ = .

1-7 : Distance d’un point à une droite (c)

Soient les points ( )2 ;1A − et ( )3 ; 2B du plan.

1. Montrez que le vecteur 1

5n −

est orthogonal à AB

. Déduisez-en que 5 7 0x y− + = est une équation de la

droite (AB). 2. Soit D le point de coordonnées (1 ; 1). Vérifiez que D n’est pas sur (AB). On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (AB). 3. a. Montrez que le produit scalaire .DH n

vaut −3 ; on posera que H a pour coordonnées (x ; y) et on utilisera le

fait que H est sur (AB). b. En utilisant le fait que DH

est colinéaire à n

, montrez que . . 26DH n DH= ±

.

c. Déduisez-en la distance DH.




4. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point ( ; )D DD x y à une droite d’équation 0ax by c+ + = . Correction

( )2 ;1A − , ( )3 ; 2B .

1. 5 1

. . 5 5 01 5

ABn

= = − = −

; équation de (AB) :

2 1. . 2 5 5 5 7 0

1 5

xAM n x y x y

y

+ = = + − + = − + = − −

. Ok !

2. 1 5 7 3 0− + = ≠ donc D n’est pas sur (AB). On cherche la distance de D à (AB), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (AB).

3. a. 1 1

. . 1 5 5 5 41 5

xDH n x y x y

y

− = = − − + = − + − −

;

or H est sur (AB) donc vérifie 5 7 0 5 7x y x y− + = ⇔ − = − ; en remplaçant on a

. 5 4 7 4 3DH n x y= − + = − + = −

.

b. ( ) 2 2. cos , . 1 ( 5) . 1 26= = + − ± = ± DH n DH n DH n DH DH .

c. En faisant l’égalité des deux calculs on a 3 326 3

26 26DH DH± = − ⇔ = =∓ puisque DH est positif.

4. En classe… 1-8 : Droite d’Euler (c)

On considère le triangle ABC où A(0 ; 0), B(6 ; 0) et C(2 ; 4) dans un repère orthonormé de centre A. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure (unités : 2cm). 1. Déterminez les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit (Γ ) au triangle ABC. Déterminez le rayon de ( Γ ). 2. Déterminez les coordonnées de l’orthocentre H de ABC puis celles du centre de gravité G. 3. Montrez que Ω, H et G sont alignés. Déterminez la valeur du réel k tel que H k GΩ = Ω

; montrez alors que

H A B CΩ = Ω + Ω + Ω

. 4. On note HC le pied de la hauteur issue de C. Déterminez les coordonnées de H’, symétrique de H par rapport à la droite (AB). Montrez que H’ est sur (Γ). Correction

1. Médiatrice de [AB] : x = 3 ; médiatrice de [AC] : le milieu est I(1 ; 2), on a l’équation en faisant le

p.s. :1 2

. 2 4 10 02 4

xIM AC x y

y

− = = + − = −

. Le point d’intersection est Ω (3 ; 1). Le rayon du cercle est 10AΩ = .

2. Pareil pour H ; hauteur issue de C : x = 2, hauteur issue de B : x+2y−6 = 0, H a pour coordonnées (2 ; 2). Pour

G on fait : 6 2 / 3(1 6) 8 / 320 2 / 3(2 0) 4 / 33

x xBG BI

y y

− − = = ⇔ = ⇔ − − =

.

3. On calcule 2 3 1

2 1 1H

− − Ω = = −

et

1/ 3

1/ 3G

− Ω =

; on vérifie facilement que 3H GΩ = Ω

donc les points sont

alignés… Pour le reste on a facilement que 3A B C GΩ + Ω + Ω = Ω

. 4. Le symétrique de H est H’(2 ; −2) ; il appartient au cercle car ' 1 9 10HΩ = + = . 1-9 : Droite d’Euler - 2 (c)

Soit ABC un triangle, O le centre de son centre circonscrit, G son centre de gravité et H le point tel que OH OA OB OC= + +

. 1. Démontrer que . 0AH BC =

. Qu’en déduit-on ?

2. Donner deux relations semblables faisant intervenir A, B, C et H. 3. Montrer que H est l’orthocentre du triangle ABC. 4. Démontrer que O, G et H sont alignés. Correction




1. 2OH OA OB OC OH OA OB OC AH OI= + + ⇔ − = + ⇔ =

où I est le milieu de [ ]BC . On a alors . 2 . 0AH BC OI BC= =

car O est le centre du cercle cisrconscrit, soit le point d’intersection des médiatrices (OI est donc perpendiculaire à BC). 2. Avec les deux autres côtés du triangle on a de la même manière . 0BH CA=

et . 0CH AB=

. 3. H est sur la hauteur passant par A ( . 0AH BC =

), sur celle passant par B ( . 0BH CA=

) et sur celle passant par C

( . 0CH AB=

). C’est bien l’orthocentre de ABC.

4. Introduisons I dans OH OA OB OC= + +

: 2OH OA OI IB OI IC OA OI= + + + + = +

; par ailleurs on a 2

3AG AI=

,

soit en introduisant O : 2 2 1 2

3 23 3 3 3

AO OG AO OI OG OA OI OG OA OI+ = + ⇔ = + ⇔ = +

d’où on tire bien 3OH OG=

. 1-10 : Puissance d’un point - analytique (c)

On se donne un cercle (C) de centre O, de rayon R ainsi qu’un point A. Le but de l’exercice est de montrer que si (d) est une droite passant par A et coupant (C) alors . 'AM AM cste= où M et M’ sont les points d’intersection de (d) avec (C). 1. Faire la figure en prenant un repère de centre A et O sur (Ox). Pour simplifier on prendra O à l’abscisse 1 (ça ne change pas grand-chose au final). 2. Ecrire l’équation d’une droite de coefficient directeur t passant par A. Déterminer l’équation du 2nd degré (E) satisfaite par les abscisses des points M et M’. 3. Le discriminant de cette équation (E) est 2 2 24[ (1 ) ]− −R R t . Discuter suivant les valeurs de t le nombre de points d’intersection entre (C) et (d). Que se passe-t-il (géométriquement parlant) lorsque ce discriminant est nul ?

4. On note u et v les solutions de (E) lorsqu’elles existent. Montrer que 2

2

1

1

Ruv

t

−=+

.

5. Vérifier que . 'AM AM k= est équivalent à 21

kuv

t= ±

+. Conclure.

Correction

1.

M'

M

A FE O

2. Comme A est à l’origine, l’équation d’une telle droite est y = tx. Le cercle quand à lui a pour équation : 2 2 2 2 2 2( 1) ( 0) ( 1)x y R x y R− + − = ⇔ − + = . Les points M et M’ ont des coordonnées x et y qui satisfont les deux équations, soit




2 2 2 2 2 2( 1) ( ) (1 ) 2 1 0x tx R t x x R− + = ⇔ + − + − = .

3. C’est une équation du second degré avec 2 21 , 2, 1a t b c R= + = − = − . On a bien 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4(1 )(1 ) 4 4(1 ) 4[ (1 ) ]t R t R t R R R t∆ = − + − = − + − − = − − .

Lorsque 1R> , 21 0R− < et 2 2 24[ ( 1) ] 0R R t∆ = + − > , il y a deux points d’intersection pour n’importe quelle valeur de t (heureusement puisque c’est le cas où A est à l’intérieur du cercle…). Lorsque R = 1, 4∆ = , l’équation est 2 2(1 ) 2 0t x x+ − = qui a toujours deux solutions : 0 (solution A) et autre chose. Lorsque 1R< , il faut factoriser ∆ :

( )( )2 24 1 1R t R R t R∆ = − − + − qui est positif lorsque 2 21 1

R Rt

R R

− ≤ ≤− −

puisque dans ce cas le coefficient de

2t dans ∆ est 2 1R − qui est négatif (signe du trinôme : deux racines, coefficient a négatif, donc ∆ est positif entre les racines).

Lorsque 21

Rt

R= ±

−, 0∆ = , il y a racine double, c’est le cas où (C) et (d) sont tangents.

4. D’une manière générale le produit des racines est 2 2

1 2 2

( 4 ).

2 2 4

b b b b ac cx x

a a aa

− − ∆ − + ∆ − −= = = , on a donc ici

2

2

1

1

Ruv

t

−=+

.

5. On a au carré : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2. 'AM AM x y x y x x y y x y y x = + + = + + + ; mais x1 et x2 sont les

abscisses de M et M’, les ordonnées sont alors y1 = tx1 et y2 = tx2, ce qui donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )22

2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 22

1. ' 1 1 1

1

RAM AM x t x x t x t x x t R

t

− = + + = + = + = −

+

d’où 2. ' 1AM AM R k= − = .

1-11 : Classique (c)

Dans le repère orthonormal ( ; , )O i j

on considère les points A( –1 ; 2), B(0 ; –3) et C(3 ; 1). Un graphique complet, montrant l’ensemble de l’exercice sera réalisé. 1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB

, AC

et BC

. b. Calculer les longueurs AB, AC et BC. c. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle ACB. 2. Calculer .CA CB

puis .CH CB

où H est le pied de la hauteur issue de A, dans le triangle ABC.

3. a. Citer un vecteur normal de la hauteur (AH). b. Déterminer une équation de (AH). 4. a. Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC. b. G est-il un point de (AH) ? 5. a. Déterminer les coordonnées du point D tel que ACDB soit un parallélogramme.

b. Déterminer l’ensemble des points M du plan 1

2MC M B AD+ =

.

Correction




H

D

B

C

A

j

iO

1. a. 1

5AB

= −

,

4

1AC

= −

,

3

4BC

=

.

b. 1 25 26AB= + = , 16 1 17AC = + = , 9 16 25 5BC = + = = .

c. Avec AL-Kashi, on a 2 2 2 26 17 25 16

cos2 . 10 17 10 17

AB AC BCACB

AB AC

− − − −= = =−

d’où 67ACB≈ ° .

2. 4 3

. . 12 4 8 .1 4

CA CB CH CB− −

= = − = = −

puisque H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

3. a. (AH) est orthogonale à (BC), donc BC

est un vecteur normal de la hauteur (AH).

b. 1 3

. 0 . 0 3 4 5 02 4

xAM BC x y

y

+ = ⇔ = ⇔ + − = −

.

4. a. On cherche les coordonnées de I, milieu de [BC] : I(3/2, −1) et on a 1 3 / 2 1 2 / 32 22 1 2 03 3

G G

G G

x xAG AI

y y

+ + = = ⇒ = ⇒ − − − =

.

b. Remplaçons x et y par les coordonnées de G dans l’équation de (AH) : 3(2 / 3) 4(0) 5 0+ − ≠ donc non.

5. a. Il faut que 4 4

1 3 4D D

D D

x xAC BD

y y

= = ⇔ = ⇔ − + = −

.

b. 1

2MC M B AD+ =

: posons ( , )M x y et remplaçons en élevant au carré :

( )2

2 2 2 2 2 231 1 61(4 1) ( 4 2) (3 2 ) ( 2 2 )

1 34 4 4

x xMC M B AD x y

y y

− − + = ⇔ + = + + − − ⇔ − + − − = − − −

,

soit en divisant par 2 dans les parenthèses : ( )2

23 611

2 16x y − + + =

, ce qui correspond à un cercle de centre I et

de rayon 61

4.

1-12 : Un triangle très spécial (c)

ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que BC = 1 et les angles à la base vérifient ɵ 72B C= = ° ; (BD) est la bissectrice de l’angle ɵB ; E est le milieu de [AB] et H celui de [BC] (figure ci-dessous, inutile de la refaire). 1. a. Montrer que les triangles BCD et BDA sont isocèles.




b. En déduire que BC = BD = AD = 1. c. En déduire que (ED) est perpendiculaire à (AB). 2. On pose AB= x. Exprimer cos 36° et sin 18° en fonction de x en utilisant des triangles rectangles convenables. 3. a. En utilisant la formule 2cos2 1 2sinα α= − , montrer que x vérifie l’équation 3 22 1 0x x− + = . b. Développer 2( 1)( 1)x x x− − − et résoudre l’équation ci-dessus. 4. En déduire en les justifiant les valeurs exactes de cos 36°, sin 36°, sin 18° et cos 18°.

E

D

A

H CB

Correction ABC est un triangle isocèle de sommet principal A tel que BC = 1 et les angles à la base vérifient ɵ 72B C= = ° ; (BD) est la bissectrice de l’angle ɵB ; E est le milieu de [AB] et H celui de [BC] (figure ci-dessous, inutile de la refaire). 1. a. On a évidemment 36BAD DBA= = ° donc BDA est isocèle. De même 36CBD = ° et 72BCD = ° donc 180 36 72 72BDC = − − = ° , BCD est isocèle. b. Comme BC = 1, BC = BD = 1 et BD = AD = 1. c. Comme E est le milieu de [AB], et que ABD est isocèle, DE est la médiatrice de [AB] et est donc perpendiculaire à (AB).

2. Si on prend le triangle ABH, on a BH = 1/2 et AB = x d’où 1/ 2 1cos72 sin 18

2

BH

AB x x° = ° = = = . Prenon

maintenant le triangle AED : 2

xAE= , 1DA = d’où cos36

2

AE x

AD° = = .

3. a. On remplace α par 18° dans 2cos2 1 2sinα α= − : 2cos36 1 2sin 18° = − ° , soit 2

3 2 3 22 2

1 2 11 2 2 4 2 2 1 0

2 4 2 2

x x xx x x x

x x

−= − ⇔ = ⇔ = − ⇔ − + = .

b. 2 3 2( 1)( 1) 2 1x x x x x− − − = − + d’où les solutions 0 1 2

1 5 1 51, ,

2 2x x x

+ −= = = .

4. Tous les cosinus et sinus cherchés sont positifs, on doit donc garder 11 5

2x

+= ce qui donne

1

1 1 5 1sin 18

2 41 5x

−° = = =+

d’où 2 5 1 2 5 10 2 5 10 2 5cos18 1 sin 18 1

16 16 4

+ − + +° = − ° = − = = ,

1 5 1cos36

2 4

x +° = = et 2 10 2 5sin 36 1 cos 36

4

−° = − ° = .




1-13 : 3 carrés (c)

cba

Soit les trois carrés ci-dessus. Calculer cos a, sin a, cos b, sin b, sin c et cos c puis sin cos sin cosa b b a+ . Qu'en déduit on entre a, b et c ? Correction

On prend le côté égal à 1, ce qui donne 3 1 2 1cos , sin , cos , sin

10 10 5 5a a b b= = = = . On en déduit

1 2 1 3 5 1 2sin cos sin cos sin( ) sin

2 410 5 5 10 50 2a b b a a b

π+ = + = = = ⇔ + = d’où 4

a bπ+ = .

1-14 : Repérage

Un bateau avance à 24 km/h. Pour aller de B en A, il devra passer par C car la profondeur est insuffisante entre la terre et l'île. A 8 heures il passe en B et le capitaine trouve 32ABC = ° . A 8 heures 20 mn le bateau arrive en C. Juste avant de virer vers A le capitaine mesure ACx et trouve 57°. A quelle heure le bateau arrivera-t’il en A ?

ile des palmiers

côte ...

B

A

C

terre

x

1-15 : Projeté orthogonal (c)

Un parallélogramme ABCD est tel que AB = 15 cm, BC = 12 cm et AC = 13 cm. 1. Faire une figure exacte. Soit b l’angle ( , )BA BC

.

2. Donnez les valeurs exactes de cos b, sin b et tan b. Calculez une valeur approchée de l’angle ( , )BA BC

. 3. Donnez alors une valeur approchée de l’aire du parallélogramme, puis sa valeur exacte. 4. Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB). Calculer l’aire du triangle ACH. Correction 1.




H

D C

BA

2. 2 2 2

2 2 2 169 225 144 52 . .cos cos

2 . 2.15.12 9

AC AB BCAC AB BC AB BC b b

AB BC

− − − −= + − ⇒ = = =− −

; comme l’angle est inférieur à 90°

on a 2 25 2 14sin 1 cos 1

81 9b b= − = − = et 2 14

tan5

b = et finalement 1cos (5 / 9) 56,25b −= ≈ ° .

3. L’aire du parallélogramme ABCD vaut 2 14. . .sin 15.12. 40 14

9ABCH AB BC b= = = .

4. Pour le triangle ACH on a 21 1 5 2 14 80 14cos . sin cos 72. .

2 2 9 9 9BH BC b Aire CH BH BC b b= ⇒ = = = = .

1-16 : Equation trigo (c)

1. Montrer que pour tout réel x, ( ) ( )2cos 3 cos 3 3 sin 33

x x xπ + = −

.

2. Résoudre l'équation ( ) ( )cos 3 3 sin 3 1x x− = − . Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique. Correction

1. ( ) ( ) ( ) ( )2cos 3 2cos cos 3 2sin sin 3 cos 3 3 sin 33 3 3

x x x x xπ π π + = − = −

.

2. ( ) ( ) 1cos 3 3 sin 3 1 2cos 3 1 cos 3

3 3 2x x x x

π π − = − ⇔ + = − ⇔ + = −

.

On a donc

2 23 2

3 3 9 32 2

3 23 3 3 3

kx k x

kx k x

π π π ππ

π π π ππ

+ = + ⇔ = + + = − + ⇔ = − +

.

Les solutions sur le cercle trigonométrique entre 0 et 2π sont 2 7 4 13, ,

9 9 3 9 9 3 9

π π π π π π π+ = + = pour la première ligne

et 2 4 6 5, ,

3 3 3 3 3 3 3 3

π π π π π π π ππ− + = − + = − + = pour la deuxième.

1-17 : Plan et plan (c)

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k

. On appelle P le plan d’équation 2 5 0x y− + = et P’ celui d’équation 3 0x y z+ − = .

1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation paramétrique est 5 2

5 5

x t

y t

z t

= = + = +

où t

est un réel quelconque. 2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses : * D est parallèle au plan R d’équation 5 5 0x y z− + − = .




* Soit D’ la droite de représentation paramétrique 3

1

2 2

x u

y u

z u

= − = + = +

où u est un réel quelconque. Les droites D et D’

ont un point commun. Correction

P le plan d’équation 2 5 0x y− + = et P’ celui d’équation 3 0x y z+ − = .

1. On essaie de résoudre : 2 5 0

2 5 0 2 53 0

3 0 3 5 5

x t x tx y

t y y tx y z

t y z z t y t

= = − + = ⇔ − + = ⇔ = + + − = + − = = + = +

.

2. * Vrai : Un vecteur directeur de D est 1

2

5

u

=

; un vecteur normal à R est

5

5

1

n

− = −

. Si D est parallèle à R

son vecteur directeur doit être orthogonal à n

, et c’est le cas : . 5 10 5 0u n= − + − =

. * Faux : Si D et D’ ont un point en commun ce point satisfait les deux systèmes d’équation :

3 3 3

1 2 5 1 6 5 7 4

2 2 5 5 2 2 15 5 17 3

x u t t u t u

y u t u u u

z u t u u u

= − = = − = − = + = + ⇒ + = − + ⇔ = = + = + + = − + =

ce qui est manifestement impossible.

On considère la suite nu définie par 0

1

5

25

3n n

u

u u+

= = − +

.

1. Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ? 2. On pose 3n nv u= − ; montrer que nv est une suite géométrique, donner l’expression de nv puis celle de nu en fonction de n. Prouver les résultats obtenus de manière divinatoire au a. 3. On considère 0 1 ...n ns v v v= + + + et 0 1 ...n nS u u u= + + + . Donner les expressions de ns et nS en fonction de n ; déterminer leurs limites quand n tend vers l’infini 1-18 : Distance d’un point à un plan (c)

Soient les points ( )2 ;1 ; 0)A − , ( )1 ; 2 ;1B et ( )0 ;1 ; 1C − de l’espace.

1. Montrez que A, B et C ne sont pas alignés.

2. Montrez que le vecteur1

5

2

n

−

est orthogonal à AB

et AC

. Déduisez-en que 5 2 7 0x y z− + + = est une équation

du plan (ABC). 3. Soit D le point de coordonnées (1 ; 1 ; −2). Vérifiez que D n’est pas dans (ABC). On cherche la distance de D à (ABC), soit la distance DH où H est le projeté orthogonal de D sur (ABC). 4. a. Montrez que le produit scalaire .DH n

vaut 1 ; on posera que H a pour coordonnées (x ; y ; z) et on utilisera

le fait que H est dans (ABC). b. En utilisant le fait que DH

est colinéaire à n

, montrez que . . 30DH n DH=

.

c. Déduisez-en la distance DH. 5. Proposez une méthode générale permettant de donner la formule donnant la distance d’un point ( ; ; )D D DD x y z à un plan d’équation 0ax by cz d+ + + = . Correction




1. 1 2 3

2 1 1

1 0 1

AB

+ = − = −

,

0 2 2

1 1 0

1 0 1

AC

+ = − = − − −

; il est impossible que AC k AB=

.

2. . 3.1 5.1 2.1 0ABn= − + =

et . 2.1 5.0 2.( 1) 0AC n= − + − =

; 2 1

. 1 . 5 ( 2) 5( 1) 2 5 2 7 0

2

x

AM n y x y z x y z

z

+ = − − = + − − + = − + + =

.

3. On remplace dans 5 2 7 0x y z− + + = : 1 5 4 7 1 0− − + = − ≠ , donc pas dans (ABC).

4. a. 1 1

. 1 . 5 1 5 5 2 4 5 2 8 7 8 1

2 2

x

DH n y x y z x y z

z

− = − − = − − + + + = − + + = − + = +

puisque 5 2 7x y z− + = − .

b. 2 2 2. . . 1 ( 5) 2 30DH n DH n DH DH= = + − + =

.

c. Finalement 1

30DH DH= =

.

5. a

n b

c

=

, on calcule . .

D

D D D D D D D

D

x x a

DH n y y b ax by cz ax by cz ax by cz d

z z c

− = − = + + − − − = − − − − −

; par ailleurs

2 2 2

.. . D D D

DH n ax by cz dDH n DH n DH

n a b c

+ + += ⇒ = =

+ +

.

1-19 : Distance d’un point à un plan 2 (c)

J

N M

R

LK

IO

L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, OJ, OK)

, on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.

On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : 2KB KN.

3=

On appelle P le plan passant par les

points O, A et B. 1. a. Préciser les coordonnées des points A et B. b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u

orthogonal à OA

et OB

.

2. a. Montrer que l'aire du triangle OAB vaut 14.

6

b. Le point 1C 1 ; ;1

3

appartient-il à P ? Justifier votre réponse.

3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que son volume vaut1

9.

b. En déduire la distance du point K au plan P.




N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de la hauteur correspondante. Correction

A

B

J

N M

R

LK

IO

A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par 2.

3KB KN=

P le plan passant par les points O, A et B.

1. a. A est le milieu de I(1, 0, 0) et L(1, 0, 1), il a pour coordonnées : 11, 0,

2

; B est tel que

0 0 0 02

0 1 0 2 / 33

1 1 1 1

B B

B B

B B

x x

y y

z z

− − = − = − ⇔ = − − =

.

b. On pose a

u b

c

=

et on effectue les produits scalaires : 1 2

. 0, . 02 3

uOA a c uOB b c= + = = + =

. On obtient alors en

posant c = t : / 2

3 / 2

a t

b t

c t

= − = − =

qui sont les équations paramétriques d’une droite passant par O et de vecteur directeur

1/ 2

3 / 2

1

u

− = −

, lequel est un des vecteurs cherchés (il y en a une infinité possible…).

2. a. Avec Pythagore on a 5

2OA = et 4 13

19 3

OB= + = ; l’aire du triangle est (avec D le projeté orthogonal de

B sur OA) : 1 1. . .sin

2 2OA BD OA OB AOB= .

On cherche le cosinus :

1 0. 6 6 1 3 9 56 2 14

cos 0 2 / 3 sin 1. 2 65 6565 65 65 65

1/ 2 1

OA OBAOB AOB

OA OB

= = = = ⇒ = − = =

.

On termine : 1 1 5 13 2 14 14. .sin

2 2 2 3 665OA OB AOB= = .




A

B

J

N M

R

LK

IO

b. 11 ; ;1

3C

appartient à P si OC

est orthogonal à u

: 1 1/ 2

1 1. 1/ 3 . 3 / 2 1 0

2 21 1

OC u

− = − = − − + =

donc oui.

3. a. Le tétraèdre OABK a pour volume base x hauteur

3 ; on peut prendre comme base le triangle OAK et comme

hauteur KB. Ceci nous donne une base de 1/2 et une hauteur de 2/3, soit un volume de 1

9.

b. Si on prend comme volume 1aire( ).distance( , )

3OAB K OAB, on a

1 14 1 2 14( , ) ( , )

3 6 9 714d K OAB d K OAB= ⇒ = = .

1-20 : Pyramide (c)

SABCD est une pyramide régulière. Sa base ABCD est un carré de côté a et de centre H. La hauteur [SH] mesure 2a. On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SC]. On rappelle que, dans une pyramide régulière, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles isométriques.

J

I

S

H

A B

CD

Partie I : Les tracés demandés dans cette partie se feront sur la figure de la page suivante que vous joindrez à votre copie.




1. Dessiner l'intersection du plan (BIJ) avec les faces SAB et SBC. 2. La droite (IJ) coupe le segment [SH] en K. Montrer que (BK) et (SD) sont sécantes. 3. On appelle L le point d'intersection des droites (BK) et (SD). Dessiner l'intersection du plan (BIJ) avec les faces SAD et SDC. 4. Tracer en rouge la section de la pyramide SABCD par le plan (BIJ). Partie II 1. Calculer la longueur AC. En déduire la longueur IJ.

2. Montrer que la longueur SA est égale à 3 2

2

a .

3. Calculer, en fonction de a, les longueurs BI et BJ. 4. Déterminer à un degré près la mesure de l'angle IBJ . Correction

1. En vert. 2. (IJ) coupe [SH] en K. (BK) et (SD) sont sécantes : (BK) est dans le plan BSD de même que (SD) ; elles ne sont pas parallèles sinon BSD ne serait pas un triangle… 3. Intersection du plan (BIJ) avec les faces SAD et SDC : comme (BK) est dans le plan (BIJ), et qu’elle coupe (SD) en L cette intersection est constituée des segments [LI] et [LJ]. 4. En rouge.

L

K

J

I

S

H

A B

CD

Partie II

1. 2AC a= . 1 2

2 2

aIJ AC= = (Thalès).

2. Pythagore : 2

2 2 2 2 2 2 21 1 9 3 3 24

4 2 2 22

a a aSA AH HS AC HS a a SA= + = + = + = ⇒ = = .

3. On peut par exemple se fixer un repère en prenant comme origine H et comme vecteurs directeurs HA

, HB

et HK

: on a alors 2, 0, 0

2

aA

, 20, , 0

2

aB

, ( )0, 0, 2S a d’où 2, 0,

4

aI a

et la longueur BI :




( )2 2 2 2 2 2

22 22 2 2 2 13 26 260 0 0

4 2 16 4 8 16 4

a a a a a aBI a a BI a

= − + − + − = + + = = ⇒ =

.

4. On en déduit avec Al-Kashi : ( )2 2 2

2 2 2

2

2 26 26114 16 16cos ,

2 . 13262

4

a a aIJ BI BJBI BJ

BI BJa

− −− −= = =−

−

d’où 32,2IBJ ≈ ° .

" Trois choses donnent la mesure de l'homme : la richesse, le pouvoir, l'adversité. "

2. Barycentres +Homothétie

Dans le plan, on considère un triangle équilatéral ABC tel que ( , )3

AB ACπ=

. On appelle Γ le cercle circonscrit à

ABC, I le milieu de [AB] et J celui de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent Γ respectivement en D et E. 1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm) 2. On note G l’isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer OG

en fonction de OB

puis en fonction de OJ

et

OD

. En déduire une construction géométrique simple de G. 3. A tout point M du plan on fait correspondre le point M’ = f(M) défini par :

( )1'

4MM MA MB MC MD ME= + + + +

.

Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport.

3. Transformation1

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

. 1. On considère l’application f de P dans lui-même qui, à tout point M(x ; y), associe le point M’(x’ ; y’) défini par

3 3 1'

4 4 2

3 1 3'

4 4 2

x x y

y x y

= + −

= + +

.

Montrer que, pour tout point M, le vecteur 'M M

est colinéaire à un vecteur fixe. 2. Déterminer l’ensemble des points invariants par f. 3. Quelle est la nature de l’application f ? 3 Transformation2

Dans le plan on considère un triangle équilatéral ABC tel que ( , )3

AB ACπ=

. On appelle Γ le cercle circonscrit à

ABC, I le milieu de [AB] et J celui de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent Γ respectivement en D et E. 1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm) 2. On note G l’isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer OG

en fonction de OB

puis en fonction de OJ

et

OD

. En déduire une construction géométrique simple de G. 3. A tout point M du plan on fait correspondre le point M’ = f(M) défini par :




( )1'

4M M M A MB M C MD M E= + + + +

.

Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport. " L'homme arrive novice à chaque âge de la vie. "

SUITES NIMERIQUES PREMIERES C D ET E 3-21 : Basique 1

1. (un) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 4. a. Calculer u1, u2, u3. b. Donner un en fonction de n et calculer u19. 2. (vn) désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 2 et de raison 3. a. Calculer v1, v2, v3. b. Donner vn en fonction de n et calculer v10. c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (vn). 3-22 : Basique 2

Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un nénuphar éclôt au centre d'un étang circulaire d'un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon. 1. Exprimer la surface Sn du nénuphar après n jours en fonction de l'entier n. 2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l'étang. 3. Montrer que le rayon rn du nénuphar, après n jours, est le terme général d'une suite géométrique dont on précisera la raison. 4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l'un de l'autre. L'un mesure 1 cm de rayon, l'autre 2 cm. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront. 3-23 : Basique 3

(un) est la suite définie sur ℝ par 2

32

1nu

n= −

+. Déterminer le sens de variation de cette suite. Préciser sa limite.

3-24 : Basique 4

(un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 1

2.

1. Calculer les termes u1, u2, u20.

2. Montrer que la somme 0 1 20...S u u u= + + + est égale à 21

17

2 1

2

−

3-25 : Basique 5

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et 12

2 3n

nn

uu

u+ =+

.

1. Calculer les termes u1 et u2. 2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ? 3. Reprsenter graphiquement les premiers termes de un. Quelles conjectures émettez-vous ?

4. On admet que, pour tout n, un n’est pas nul. On pose 21n

n

vu

= + .

a. Calculer v0, v1, et v2. b. Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique. c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.




3-26 : Basique 7

Déterminer la monotonie des suites ( )nu et ( )nv définies par 322007 12008

2 3nu n n= + − et 2

n n

nv = (on

pourra comparer 1n

n

v

v+ et1 ).

3-27 : Basique 6

On considère la suite ( )1n n

w≥

définie par 1 1 1 1..............

1 2 3nw n

n= − + + + + + .

1. Écrire le terme général nw à l'aide du symbole Σ .

2. Donner une valeur approchée de 1w , 2w et 3w à 0,1 près. Conjecturer la monotonie de la suite ( )nw .

3. Démontrer votre conjecture. 3-28 : Salaires

Un chef d’entreprise paie 60 000 F par an pour l’entretien de ses machines. Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules : Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an. 1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la nième année. 2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année. 3. Au bout de combien d’années le contrat dépasserait-il le double du contrat initial ? 4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années. Contrat B : Le contrat augmente de 3500 F par an. 1. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la nième année. 2. Calculer le montant du contrat pour la 10ème année. 3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années. 4. Quel est le contrat le plus avantageux ? 3-29 : Les lettres de Gaston (c)

On définit la suite ( )nu par 0 13

2000, 2004n nu u u+= = + .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y x= et 3200

4y x= + , puis les

premiers termes de la suite ( )nu . 2. On pose pour tout n 800n nv u= − . Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression de nu en fonction de n et la limite de ( )nu . Au bout de combien de temps a-t-on 810nu < ? 3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ? 4. La question a. est indépendante de ce qui précède

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par 0 1...

1n

nx x x

yn

+ +=

+. Montrer que ( )ny est croissante et que pour

tout n on a n ny x≤ . Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas ses affirmations). b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer nM en fonction de n. Quel est le sens de variation de( )nM . La suite ( )nM est-elle convergente ?




Généralisation : On considère une suite v donnée (???) et la suite u dont le terme général un est la moyenne

arithmétique : 1

1n

n k

k

u vn

=

= ∑ .

A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer. Correction

1.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500

2. 800n nv u= − . ( )1 13 3 3

800 200 800 800 6004 4 4n n n n nv u u v v+ += − = + − = + − = .

On a donc 0 0 800 2000 800 1200v u= − = − = et 31200

4

n

nv =

puis 3800 1200 800

4

n

n nu v = + = +

.

n un n un 0 2000 9 890,1016235 1 1700 10 867,5762177 2 1475 11 850,6821632 3 1306,25 12 838,0116224 4 1179,6875 13 828,5087168 5 1084,765625 14 821,3815376 6 1013,574219 15 816,0361532 7 960,1806641 16 812,0271149 8 920,135498 17 809,0203362

A n = 17 on a 810nu < . 3. Le pauvre Gaston L. n’arrivera jamais à éliminer son courrier en retard… : il en restera toujours au moins 800. Et m’oiselle Jeanne sera bien déçue…

4. a. Remarquons que : ( )00

...... 1

1n

n n nx x

y x x n yn

+ += ⇒ + + = +

+ ; cherchons 1ny + :




( ) 10 1 11

1...

2 2n nn n

nn y xx x x x

yn n

+++

+ ++ + += =+ +

.

Si ny est croissante on a 1n ny y+ ≥ d’où ( ) ( ) ( )11 1

11 2

2n n

n n n n n nn y x

y n y x n y x yn

++ +

+ +≥ ⇔ + + ≥ + ⇔ ≥

+.

Comme ( )nx est croissante, on a ( )0 1 1 1 1 1... ... 1n n n n nx x x x x x n x+ + + ++ + ≤ + + + = + donc

( ) 10 11

1...

1 1nn

n nn xx x x

y xn n

++

++ += ≤ =+ +

. CQFD.

En fait on avait ( ) ( )0 1

1... ... 1

1n

n n n n n n nn x

x x x x x x n x y xn

++ + ≤ + + + = + ⇒ ≤ =

+.

Voici un exemple sur une suite décroissante : 1 0,9n nx x+ = .

n xn 0

n

k

k

x=∑

0

1

1

n

k

k

xn

=+ ∑

0 10 10 10

1 9 19 9,5 2 8,1 27,1 9,03333333 3 7,29 34,39 8,5975 4 6,561 40,951 8,1902 5 5,9049 46,8559 7,80931667 6 5,31441 52,17031 7,45290143 7 4,782969 56,953279 7,11915988 8 4,3046721 61,2579511 6,80643901 9 3,87420489 65,132156 6,5132156 10 3,4867844 68,6189404 6,23808549 11 3,13810596 71,7570464 5,97975386 12 2,82429536 74,5813417 5,73702629 13 2,54186583 77,1232075 5,50880054 14 2,28767925 79,4108868 5,29405912 15 2,05891132 81,4697981 5,09186238 16 1,85302019 83,3228183 4,90134225 17 1,66771817 84,9905365 4,72169647 18 1,50094635 86,4914828 4,55218331 19 1,35085172 87,8423345 4,39211673 20 1,21576655 89,0581011 4,24086196 21 1,09418989 90,152291 4,09783141 22 0,9847709 91,1370619 3,96248095

La suite ny semble également décroissante. On peut remarquer simplement que ny est la moyenne des termes de nx .

b. ( )0 1 0 1 0 1 800 1... 800 800 ... 800 ...

1 1 1 1n n n

nnu u u v v v v v v

Mn n n n

++ + + + + + + + + + + += = = ++ + + +

;

or nv est géométrique donc 11 1

0 1 01 1 (3 / 4) 3

... 1200 4800 11 1/ 4 4

nn n

nq

v v v vq

++ + − − + + + = = = − − d’où

11 0,754800 800

1

n

nMn

+−= ++

.




Comme nu est décroissante, nM doit être également décroissante. La suite converge également : le terme

11 0,75n+− tend vers 1, 11 0,75

1

n

n

+−+

tend vers 0 donc nM tend vers 800.

FonctionsFonctionsFonctionsFonctions numériquesnumériquesnumériquesnumériques premièrespremièrespremièrespremières CDE CDE CDE CDE

3-30 : Lecture graphique et interprétation

La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur I = ]1 ; +∞ [ 1. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9). b. Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions de l’équation f(x) = 0. c. Déterminer le signe de f sur I. 2. a. Que vaut f’ (5) ? (Justifier) b. Donner une équation de la droite (T). Quel nombre dérivé peut-on en déduire ? c. Dresser le tableau de variations de f sur I.

3. f est de la forme ( )1

cf x ax b

x= + +

− .

a. Calculer f ’(x) en fonction de a et de c. b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu’en S la tangente est horizontale. c. En déduire un système d’inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l’expression de f(x).

4. On admet que 16( ) 10

1f x x

x= − +

−.

a. Montrer que la droite (D) d’équation y = x – 10 est asymptote à la courbe (C) en +∞ . b. Etudier la position de (D) par rapport à (C). c. Déterminer l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 2. d. Résoudre par le calcul l’équation f(x) = 0 et retrouver le résultat de la question 1. b.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

x

y

A

B

S

(T)




3-31 : Vrai/Faux sur les fonctions

Chaque question comporte 5 réponses, chacune vraie ou fausse. Chaque bonne réponse rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point, pas de réponse : 0 point. Répondre simplement en mettant V ou F sur votre copie pour chaque question. Aucune justification n’est demandée. Question 1 Soit f une fonction définie et dérivable sur [– 4 ; +∞ [ dont la représentation graphique est donnée ci-après :

On précise que pour tout x ∈ [−4 ; +∞ [, ( ) 0f x ≥ et que la droite y = 0 est asymptote à la courbe de f en +∞.

a. L'équation f(x) = 0 admet au moins trois solutions sur [– 4 ; +∞[. b. f ’ change de signe en x = 1. c. La dérivée seconde de f est positive entre −4 et −2. d. Pour tout a ∈ [0 ; +∞ [, l'équation f(x) = a admet au moins une solution dans [ – 4 ; 6]. e. Il existe deux réels a et b tels que a est différent de b et f(a) = f(b). Question 2 Soit 3( ) (1 )f x x x= − , définie sur ℝ . Alors :

a. 3'( ) 4 3f x x x= − + . b. 0 est un extrémum de f sur ℝ .

c. Pour tout réel x, 3( )

4f x f ≤

.

d. La courbe de f a une unique tangente horizontale. e. lim ( )

xf x

→+∞= +∞ .

Question 3 Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ−1 dont le tableau de variation est :

6 4 1

y=x

-2 -4




a. L'équation f (x) = 2 admet exactement deux solutions. b. Pour tout a ∈ ℝ , l'équation f (x) = a admet au moins deux solutions. c. La courbe de f admet deux asymptotes horizontales. d. L’équation f '(x) = 0 admet au moins une solution. e. f(−50) = 0. Question 4

Soit 1( )h x x

x= − définie sur ℝ−0 et (H) sa courbe représentative.

a. 0

( )lim 2

1x

h x

x→=

−.

b. La courbe (H) est toujours en dessous de la droite (y = x). c. La courbe (H) ne coupe jamais la droite (x = 0). d. La dérivée seconde de f (la dérivée de la dérivée) s’annule au moins une fois.

e. La courbe (H) est en dessous de (y = 1) lorsque 1 3; 0 ;

2 2x ∈ −∞ − ∪

.

Question 5

Soit 2

2

2( )

1

x xf x

x

−=−

et (C) sa courbe représentative.

a. Le signe de f’ est celui de 2 1x x− + . b. (C) coupe la droite (y = 1) en au moins un point. c. f est toujours décroissante. d. Il existe deux points de (C) où la tangente à (C) est parallèle à (y = −x). e. (C) a un seul point d’ordonnée 2 2 2− . Question 6 Soit f une fonction définie et dérivable sur ℝ . On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. (C) admet la droite d’équation y = x – 1 comme asymptote en +∞ . Soit (T) la tangente à (C ) au point d’abscisse 1. Son équation est y = x + 2. a. lim ( )

xf x

→+∞= +∞ .

b. lim [ ( ) ] 0x

f x x→+∞

− = .

c. f’(1) = 1. d. f(1) = 1. e. f admet une asymptote horizontale en +∞ . Correction

Question 1 a. Faux : L'équation f(x) = 0 admet deux solutions sur [– 4 ; +∞[ : – 4 et 1 à vue de nez. Après 3 la fonction est strictement positive, donc elle ne s’annule pas. b. Vrai : f ’ change de signe en x = 1 puisque f est décroissante avant 1 puis croissante après 1. c. Faux : Sur [ – 4 ; 6], f(x) > x lorsque x ∈ [– 4 , 0] puis x ∈ [2 , 4] ce n’est donc pas un intervalle.

x

f(x)

−∞

– ∞

+ ∞

1

4

3

+ ∞

1

0




d. Faux : Si a est supérieur au plus grand des deux maximums de f, l’équation f(x) = a n’a pas de solution dans [– 4 ; 6]. e. Vrai : Toutes les valeurs de x qui ont même image satisfont à la question. Il y en a plein. Question 2 Soit 3( ) (1 )f x x x= − , définie sur ℝ . Alors :

a. Faux : 3 4 3 3 2( ) (1 ) '( ) 4 3f x x x x x f x x x= − = − + ⇒ = − +

b. Faux : 3 2 2'( ) 4 3 ( 4 3)f x x x x x= − + = − + , la dérivée s’annule bien mais elle ne change pas de signe. 0 n’est donc pas un extrémum de f sur ℝ .

c. Vrai : Lorsque 3

4x < , f’ est positive et f est croissante, lorsque 3

4x > f est décroissante donc on a un

maximum en 3/4 et 3( )

4f x f ≤

.

d. Faux : La courbe de f a deux tangentes horizontales, en 0 et en 3/4. e. Faux : 4lim ( ) lim

x xf x x

→+∞ →+∞= − = −∞ .

Question 3 a. Faux : L'équation f (x) = 2 a une solution entre −∞ et 1 puis en a deux entre 1 et +∞ , donc 3 solutions. b. Faux : Lorsque a > 1, on a 3 solutions, pour 0<a<1 on en a deux et pour a<0 on en a 1. c. Vrai : La courbe de f a deux asymptotes horizontales : y = 0 et y = 1. d. Vrai : f '(x) = 0 admet au moins une solution, mais on ne peuut pas dire si c’est 1 ou plus… e. Faux : f(−50) = n’importe quoi de positif. Question 4

a. Faux : 2

0 0 0

( ) 1 1lim lim lim

1 ( 1)x x x

h x x x

x x x x→ → →

− += = = +∞− −

.

b. Faux : La courbe (H) est en dessous de la droite (y = x) lorsque 10 0x

x− < ⇔ > .

c. Vrai : La droite (x = 0) est asymptote de (H).

d. Faux : La dérivée seconde de f est 3

2

x et ne s’annule jamais.

e. Faux : 2

1 5 1 5( )( )

1 1 2 2( ) 1 1x x

x xh x x

x x x

− +− −− −− = − − = = qui est négatif pour

1 5 1 5; 0 ;

2 2x

− +∈ −∞ ∪

.

Question 5 2

2

2( )

1

x xf x

x

−=−

et (C) sa courbe représentative.

a. Vrai : 2 2 3 2 3 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

(2 2)( 1) ( 2 )(2 ) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 1'( ) 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x x x x x xf x

x x x x

− − − − − − + − + − + − += = = =− − − −

.




b. Vrai : 2

2 22

2 1( ) 1 2 1

21

x xf x x x x x

x

−= = ⇔ − = − ⇔ =

−.

c. Faux : on a 2 1 0x x− + > puisque son discriminant est positif. d. Faux : la dérivée est toujours positive, elle ne peut valoir −1. e. Faux : 2 2 2 0,8− ≈ − ; la courbe montre bien qu’il y a deux points possibles.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Question 6 a. Vrai : lim ( ) lim 1

x xf x x

→+∞ →+∞= − = +∞ .

b. Faux : lim [ ( ) ] 1x

f x x→+∞

− = − .

c. Vrai : La tangente en 1 est y = x + 2 donc f’(1) = 1. d. Faux : La tangente en 1 est y = x + 2 donc f(1) = 3. e. Faux : il ne peut y avoir deux asymptotes au même endroit…

3-32 : Vrai/Faux sur les dérivées

Répondre par Vrai ou Faux et justifier la réponse. 1. La dérivée sur ℝ de la fonction 3: (3 7)f x x−֏ est 23(3 7)x − .

2. La dérivée de : 2 ( 1)f x x x+֏ est 3 1'( )

xf x

x

+= .

3. La fonction ( ) 2 1f x x= + est dérivable sur 1;

2 − + ∞

.

4. La dérivée sur ℝ de la fonction : cos 2f x x֏ est '( ) 2sin 2f x x= − .

5. La courbe représentant la fonction f, définie sur 50 ;

3

π

, par ( ) 2 cos3

f x xπ = + −

admet au point d’abscisse

4

3

π une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Correction

1. Faux : La dérivée de 3: (3 7)f x x−֏ est 23 3 (3 7)x× × − (utiliser la dérivée de un).

2. Vrai :La dérivée de : 2 ( 1)f x x x+֏ est 1 1 2 3 1'( ) 2 ( 1) 1 2

2 2

x x xf x x x

x x x

+ + + = + + × = =

.

3. Faux : La dérivée de ( ) 2 1f x x= + est 2'( )

2 2 1f x

x=

+ qui n’existe pas en 1

2− , par contre elle est dérivable sur

1;

2 − + ∞

.

4. Vrai : vous savez bien votre cours.

5. Vrai : la dérivée de f est '( ) sin3

f x xπ = − −

et 4 4

' sin sin 03 3 3

fπ π π π = − − = − =

.

Correction




1. a. f(2) = 8, f(3)= 1, f(9) = 1. b. f(x) = 0 lorsque x = 3,5 ou x = 7,5 environ. c. f est positive sur [1 ; 3, 5] [7, 5 ; [∪ + ∞ f est positive, sur [3, 5 ; 7, 5] f est négative. 2. a. f’ (5) vaut 0 car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale.

b. (T) passe par (1 ; 7) et par (3 ; 1) d’où 3 1 3

0 6 18 2 2 0 3 101 7 1

xx y y x

y

− −= ⇔ − + − = ⇔ = − +

− −. Comme (T) est

tangente à la courbe au point (3 ; 1), on a '(3) 3f = − , coefficient directeur de (T). c.

3. a. 2

( )( 1)

cf x a

x′ = −

− .

b. et c. f(2)=8 donc 2 8a b c+ + = , f(9) = 1 donc 9 18

ca b+ + = , '(5) 0f = donc 0

16

ca− = .

c. 2 8 18 8 18 8 1

72 8 8 88 8 8 11 1 10 .

16 0 16 16 16

a b c a b a b a

a b c a b a b b

a c a c a c c

+ + = + = + = = + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − − = = = =

4. 16( ) 10

1f x x

x= − +

−.

a. y = x – 10 est asymptote si lim ( ) ( 10) 0x

f x x→+∞

− − = or 16( ) ( 10)

10f x x

x− − =

− qui tend bien vers +∞ lorsque x tend

vers +∞ .

b. Comme x > 1, 16

01x

>−

donc C est au-dessus de D.

c. 2

16 16'( ) 1 '(2) 1 15

1( 1)f x f

x= − ⇒ = − = −

− et (2) 8 16 8f = − + = : la tangente a pour équation

15( 2) 8 15 38y x x= − − + = − + .

d. 2( 10)( 1) 16 11 26

( )1 1

x x x xf x

x x

− − + − += =− −

; 121 104 17∆ = − = , 111 17

3, 52

x−= ≈ et 1

11 177, 5

2x

+= ≈

3-33 : Second degré 1 (c)

Soit les fonctions f et g définies sur R par : 2( ) 2 3f x x x= − − et 21( ) 2 3

2g x x x= − − + .

1. Montrer que la courbe fC représentative de f est l’image de la parabole P d’équation 2y x= par une

translation dont on indiquera le vecteur.

2. Montrer que la courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole 'P d’équation 21

2y x= − par une

translation dont on indiquera le vecteur. 3. Tracer les courbes fC et Γ dans un même repère (unité graphique : 2 cm).

x

f

0

+∞

f’

+∞

1 −

+∞

5

+

−1




4. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de fC et Γ , puis vérifier les résultats

graphiquement. 5. Déterminer algébriquement le signe de la différence ( ) ( )f x g x− . Donner une interprétation graphique de ce signe. Correction

1. ( )22( ) 2 3 1 4f x x x x= − − = − − . La courbe fC représentative de f est donc l’image de la parabole Pd’équation 2y x= par la translation de vecteur 4u i j= −

.

2. ( )221 1( ) 2 3 2 5

2 2g x x x x= − − + = − + + . La courbeΓ représentative de gest l’image de la parabole 'P d’équation

21

2y x= − par la translation de vecteur 2 5v i j= − +

.

3. Tracé des deux paraboles fC et Γ .

4. Les coordonnées ( );x y des points d’intersection de fC et Γ vérifient :

2

2

2 3

12 3

2

y x x

y x x

= − −

= − − +

.

2 2 22

2 2 2 2

2 3 2 3 2 32 3

1 1 322 3 2 3 2 3 6 0

2 2 2

y x x y x x y x xy x x

xy x x x x x x x

= − − = − − = − − = − − ⇔ ⇔ ⇔ = ±= − − + − − = − − + − =

.

Les coordonnées des points d’intersection de fC et Γ sont donc ( )2; 3− et ( )2;5− .

5. ( )2 2 21 3( ) ( ) 2 3 2 3 6

2 2f x g x x x x x x − = − − − − − + = −

.

236

2x − est un trinôme du 2° positif à l’extérieur de ses racines –2 et 2.

Sur ] [; 2− ∞ − et sur ] [2;+ ∞ , ( ) ( )f x g x> et la courbe fC est donc au-dessus de la courbe Γ .

Sur ] [2;2− , ( ) ( )f x g x< et la courbe Γ est donc au-dessus de la courbe fC .


Pour Noël, les jumeaux Sophie et Robin ont reçu des jouets : Sophie, un bonhomme au bout d’un parachute et Robin un arc avec des flèches. Sophie se hâte de lancer son parachute du haut de leur immeuble. Au même moment, Robin, qui s’est installé au pied de l’immeuble, lance une flèche verticalement. La hauteur du parachute à l’instant t (t en s) durant la descente est donnée par la fonction p définie par

( ) 5 5,2p t t= − + .

La hauteur de la flèche à l’instant t est donnée par la fonction f définie par 2( ) 5 10f t t t= − + . 1. a. Etudier les variations de f sur ℝ .

b. Construire la courbe P représentative de la fonction f. Vous ferez le tracé sur l’intervalle [–1 ; 3] en prenant les unités suivantes : 4 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm sur l’axe des ordonnées. 2. a. A quels instants la flèche est-elle à une hauteur de 3,75 m ?

b. A quel instant la flèche retombe-t-elle sur le sol ?

3. Le drame : on suppose dans cette question que la flèche rencontre le parachute.

a. Représenter dans le même repère la fonction p.

b. Déterminer à quel instant et à quelle hauteur la flèche transperce le parachute. Correction

1. a. '( ) 10 10 0 1f t t t= − + ≥ ⇔ ≤ . Les limites sont celle de 25t− , soit −∞ .

x −∞ 1 +∞




( )'f x + 0 −

f

5 −∞ −∞

2. a. 2 2( ) 5 10 3,75 2 0,75 0f t t t t t= − + = ⇔ − + = , 0, 5t = ou 1, 5t = .

b. Lorsque f(t) = 0, soit à t = 2.

3. a.

b. 2 2( ) 5 10 5 5,2 5 15 5,2 0f t t t t t t= − + = − + ⇔ − + − = , soit t = 0,4 (lorsqu’elle monte) ou t = 2,6 (lorsqu’elle descend).


On considère un point M sur le diamètre [ ]AB d’un cercle. Il détermine

deux cercles de diamètre [ ]AM et [ ]M B . On pose 4AB= et AM x= .

1. Montrer que l’aire ( )A x de la surface colorée est définie par :

( )2( ) 42

A x x xπ= − + .

2. Déterminer la position de M pour laquelle ( )A x est maximale. 3. Existe-t-il une position de M pour laquelle ( )A x soit strictement supérieure à la somme des aires des deux disques de diamètre [ ]AM et [ ]M B ? 4. Déterminer les positions de M pour lesquelles ( )A x soit inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètre [ ]AM et [ ]M B . Correction

1. L’aire ( )A x de la surface colorée est définie sur [ ]0 ;4 par :

( ) ( )2 2 2 2 2

2 24( ) 2 4

2 2 2 2 2 2

AB AM M B x xA x x x

ππ π π π π π − = × − × − × = × − × − × = = − +

… .

2. ( ) ( )22: 4 2 22 2

A x x x xπ π π→ − + = − − + est une fonction du 2° qui est croissante sur [ ]0 ;2 et décroissante sur

[ ]2 ;4 car le coefficient du 2x est négatif. A admet donc un maximum en x = 2 égal à 2π . La position de M

pour laquelle ( )A x est maximale est donc le milieu du diamètre [ ]AB .

A B




3. ( )A x est strictement supérieure à la somme des aires des deux disques de diamètre [ ]AM et [ ]M B signifie

que : ( )2 2

2 44

2 2 2

x xx x

π π π − − + > × + ×

; soit après calculs, 2 4 4 0x x− + < .

Or ( )22 4 4 2 0x x x− + = − ≥ . Il est donc impossible de trouver une position de M vérifiant le problème.

4. ( )A x est inférieure à la moitié de l’aire des deux disques de diamètre [ ]AM et [ ]M B signifie que :

( )2 2

2 1 44

2 2 2 2

x xx x

π π π − − + ≤ × + ×

; soit après calculs, 23 12 8 0x x− + ≥ .

Or 23 12 8x x− + est un trinôme du 2° positif à l’extérieur de ses racines 22 3

3− et 2

2 33

+ .

Les positions de M vérifiant le problème sont donc telles que 2 20 ;2 3 2 3 ;4

3 3x ∈ − ∪ +

.

3-36 : 3ème degré 3 (c)

Soit f la fonction définie sur ℝ par : ( ) 3 3 1f x x x= − − .

1. Etudier les variations de f sur ℝ (sens de variation et limites). 2. Déterminer une équation de la tangente 0T à la courbe fC de f au point d’abscisse 0 et préciser sa position

relative à fC .

3. Soit la parabole P d’équation : 2 2 1y x x= − + . a. Préciser les éléments caractéristiques de P . b. Vérifier que le point ( )2 ; 1A est un point qui appartient aux deux courbes fC et P .

c. Etudier la position de fC par rapport à P .

4. Tracer les courbes fC et P dans un même repère. Correction

1. 3: 3 1f x x x→ − − est dérivable sur ℝ , de dérivée : ( ) ( )2 2' 3 3 3 1f x x x= − = − .

a. Sur ℝ , ( )'f x a le signe de 2 1x − .

b. 2 1x − est positif (coefficient de 2x positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 1. c. f est donc croissante sur ] ]; 1− ∞ − et sur [ [1;+ ∞ , et f est décroissante sur [ ]1;1− .

d. 3 3lim 3 1 limx x

x x x→−∞ →−∞

− − = = −∞ et 3 3lim 3 1 limx x

x x x→+∞ →+∞

− − = = +∞ .

2. Une équation de la tangente 0T à la courbe fC au point d’abscisse 0 est : ( )3 0 1y x= − − − ; soit 3 1y x= − − .

( ) ( ) 33 1f x x x− − − = . Or 3 0x ≤ sur ] ];0− ∞ et 3 0x ≥ sur [ [0 ;+ ∞ .

fC est donc au-dessus de 0T sur [ [0 ;+ ∞ et fC est donc au-dessous de 0T sur ] ];0− ∞ .

3. Soit la parabole ( )22: 2 1 1 0P y x x x= − + = − + . a. P est une parabole de sommet ( )1;0S , d’axe la droite : 1x∆ = et verticale.

b. ( ) 32 2 3 2 1 1f = − × − = et 22 2 2 1 1− × + = . Le point ( )2 ;1A est un point des deux courbes fC et P .

c. ( ) ( )2 3 22 1 2f x x x x x x− − + = − − − . On vérifie que 2 est racine de3 2 2x x x− − − .

Après division, ( ) ( )3 2 22 2 1x x x x x x− − − = − + + . Or 2 1x x+ + est toujours positif car son discriminant est négatif

et le coefficient de 2x est positif. 3 2 2x x x− − − est donc du signe de 2x − . fC est donc au-dessus de P sur

[ [2 ;+ ∞ et fC est donc au-dessous de P sur ] ];2−∞ .

4. Courbes fC et P .




3-37 : Ficelle (c)

Avec une même ficelle de longueur 1 m, on forme un triangle équilatéral de côté x et un carré de côté a. On note s la somme des aires du triangle et du carré.

ax

1. Montrez que 2 23 1( ) (1 3 )

4 16s x x x= + − .

2. Pour quelle valeur de x, s est-elle minimale ?

3. Pour la valeur de x trouvée, quelle est la valeur de x

a ?

Correction

1. Aire du triangle équilatéral : 21 3 3

2 2 2 4

base hauteurx x x

× = = ; pour l’aire du carré il faut le côté ; comme on a

déjà consommé 3x de ficelle avec le triangle, il reste 3l x− pour faire 4 côtés, soit 3

4

l xa

−= . L’aire totale est

donc 2

2 2 23 1 3 1( ) ( 3 ) (1 3 )

4 4 4 16s x x l x x x = + − = + −

.

2. On calcule 3 1 3 3 9 3 9 3'( ) 2 2( 3)(1 3 )

4 16 2 8 8 2 8 8s x x x x x x

= + − − = − + = + −

. s’ s’annule en 3

4 3 9x =

+ qui est la

valeur pour laquelle s est minimale.

3. 9 4 3 4 12 4 3 91 3 1 3.

1 34 3 9 4 3 9 4 3 9 4 3

x xa x

a x

+= − = − = ⇒ = = =−+ + +

4. Fonctions rationnelles

4-38 : Hyperbole 1 (c)

1. Déterminer les réels a, b, c pour que la fonction ( )1

cf x ax b

x= + +

− passe par A(2 ; 4), admette en ce point une

tangente horizontale et aie au point d'abcisse 3 une tangente parallèle à la droite d'équation y = x + 4.

2. Soit 4 4( ) 1

3 3 3g x x

x= − +

−.

a. Etudier les variations de g ; correspond-t-elle à la fonction f du 1° ? b. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition. Quelles conclusions graphiques en tirez-vous ? c. Montrez que la courbe (C) de g a une asymptote oblique (D) et précisez la position de (D) par raport à (C). d. Déterminez la tangente (T) à (C) au point d’abscisse 3. Déterminez la position de (T) par rapport à (C). e. Tracez soigneusement (T), (D) et (C) dans un repère orthonormé : unités : 2 cm (ou 3 carreaux). Correction

1. ( )1

cf x ax b

x= + +

− passe par A(2 ; 4) si (2) 2 4f a b c= + + = ; on calcule

2'( )

( 1)

cf x a

x= −

−




elle a en ce point une tangente horizontale si 2

'(2) 0 0(2 1)

cf a a c= ⇔ − = ⇔ =

−

elle a au point d'abcisse 3 une tangente parallèle à la droite d'équation y = x + 4, soit '(3) 1f = , le coefficient

directuer de la droite. On a donc 41 1

4 4 3

c aa a a c− = ⇒ − = ⇔ = = .

On termine avec 2 4 4 4 0a b c b b+ + = ⇔ + = ⇔ = , soit 4 4( )

3 3( 1)f x x

x= +

−

2. Soit 4 4( ) 1

3 3 3g x x

x= − +

−.

a. g n’a pas la même écriture que f… mais c’est la même décalée de 1 ves le bas. 2

2 2 2

( 1) 1 ( 2)4 4 4 4'( )

3 3 33( 1) ( 1) ( 1)

x x xg x

x x x

− − −= − = = − − − .

Tableau de variation :

b & c. En +∞ et −∞ le terme 4

3 3x − tend vers 0, la fonction g se comporte comme D : 4

13

y x= − qui est donc son

asymptote : 4lim ( ) 1 0

3xg x x

→∞

− − =

et lim ( )x

g x→+∞

= +∞ , lim ( )x

g x→−∞

= −∞ .

A gauche de 1 on a : g(0,99)=−133, donc limite = −∞ ; à droite de 1 on a g(1,01)=133, donc limite = +∞ . La droite x = 1 est asymptote verticale.

Lorsque x > 1, 4

3 3x − est positif, C est au dessus de D, lorsque x < 1, 4

3 3x − est positif, C est en dessous de D.

d. (T) : 11 2'(3)( 3) (3) 1( 3)

3 3y g x g x x= − + = − + = + .

22 ( 3)2 4 4 2 1 5 4 6 9( ) 1

3 3 3( 1) 3 3 3 3( 1) 3( 1) 3( 1)

xx xg x x x x x

x x x x

−− + − + = − + − − = − + = = − − − − . Y-a-plus qu’à faire le signe… qui est

très facile.

x

g

−∞

0

0 +∞

g’ +

+∞

1

−∞

− −

−∞

+∞

2

−7/3

0 +

7/3




-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

4-39 : Tangente (c)

Soit la fonction 2

1( )

1f x

x=

+ .

1. Quel est l’ensemble de définition de f ? Calculer la dérivée f’ de f. 2. Trouver une équation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au point d'abcisse 1. 3. Etudier la position de (C) par rapport à (T) . 4. Que peut-on dire de la tangente (T') à (C) au point d'abcisse – 1 ? 5. Déterminer à l'aide de (T) une valeur approchée de f(1,02) puis de f(0,96). Correction

1. 21 x+ ne s’annule jamais donc ensemble de définition = ℝ . 2 2

2'( )

(1 )

xf x

x

−=+

.

2. 1 1 1'(1)( 1) (1) ( 1) 1

2 2 2y f x f x x= − + = − − + = − + .

3. 2 23 2

2 2 2 2

( 2 1) ( 1)1 1 1 2( ) 1 1

2 21 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

x x x x xx x xf x x x

x x x x

− + −− + − − + = + − = = = + + + +

qui est du signe de x.

Donc lorsque x est positif C est au-dessus de T, lorsque x est négatif, C est en dessous de T. 4. La fonction f est paire, il y a symétrie de C par rapport à l’axe vertical donc…

5. Au voisinage de 1, 1( ) 1

2f x x≈ − + donc (1,02) 0, 51 1 0, 49f ≈ − + = et (0,96) 0, 48 1 0, 52f ≈ − + = . On peut comparer

avec des valeurs plus exactes : 0,4901 et 0,5204.

4-40 : Rationnelle 1 (c)

a. Soit 4 2( ) 6 16 9P x x x x= + − + . Déterminez une racine évidente de P , factorisez P et déterminez son signe.

b. Soit 3 2

2

3 5( )

3

x x xf x

x

− + +=+

, soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 2 cm.

Déterminez son ensemble de définition, calculez sa dérivée et dressez son tableau de variations.




c. Trouvez a, b, c tels que 2

( )3

cf x ax b

x= + +

+. Montrez que C a une asymptote D et étudiez la position de C par

rapport à D. Tracez D et C. Correction

a. Soit 4 2( ) 6 16 9P x x x x= + − + . Quand on dit évident c’est que c’est −2, 1, 0, 2, −2, etc. Ici 1 marche très bien : (1) 1 6 16 9 0P = + − + = . On peut

alors mettre (x − 1) en facteur : 3 2( ) ( 1)( 9)P x x x ax bx= − + + − où il reste à trouver a et b. Si on développe et que

l’on identifie les coefficients, on a alors : 3 2( ) ( 1)( 7 9)P x x x x x= − + + − . Il nous faut recommencer, or on a 1 de

nouveau racine évidente de 3 2 7 9x x x+ + − , ce qui donne 3 2 27 9 ( 1)( 2 9)x x x x x x+ + − = − + + . Le discriminant du dernier terme est négatif, donc signe de +1, positif.

Conclusion 2 2( ) ( 1) ( 2 9)P x x x x= − + + est toujours positif.

b. 3 2

2

3 5( )

3

x x xf x

x

− + +=+

est définie sur ℝ puisque 2 3 0x + > .

2 2 3 2 4 2

2 2 2 2

(3 2 3)( 3) ( 3 5)(2 ) 6 16 9'( ) 0

( 3) ( 3)

x x x x x x x x x xf x

x x

− + + − − + + + − += = ≥+ +

.

c. 4 2

2 2

3 3( )

3 3

c ax bx ax b cf x ax b

x x

+ + + += + + =+ +

, on doit donc avoir a = 1, b = −1, c = 5 − 3b = 8. f s’écrit donc

2

8( ) 1

3f x x

x= − +

+.

On en déduit les limites à l’infini : 2

8lim ( ) lim 1 1 0

3x xf x x

x→+∞ →+∞= − + = +∞ − + = +∞

+ et lim

xf

→−∞= −∞ ainsi que

l’asymptote y = x − 1 : 2

8lim ( ) ( 1) lim 0

3x xf x x

x→∞ →∞− − = =

+ ; comme cette différence est positive, on a C au-dessus de

D tout le temps.

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5 -3 -1 1 3 5

x

y





On considère la fonction f définie sur ℝ−−1 par ( )2

( )1

xf x

x=

+.

1. Calculer f’(x), déterminer son signe et et étudier les variations de f sur ℝ−−1. 2. Déterminer l'équation de la tangente D à la courbe au point d'abscisse 0. 3. a. Résoudre l’équation ( )21 1x + = .

b. Résoudre l’inéquation 2( 1)

xx

x≥

+. Quelle est la position de la courbe Cf de f par rapport à la droite D ?

c. Justifier que la tangente D ne recoupe pas la courbe Cf dans ]−1 ; +∞ [. 4. Résoudre les équations : f(x) = 0,5 ; f(x) = 0,2. Correction

1.

( )

2

4 4

4

1( 1) [2( 1)] ( 1)( 1 2 )'( )

( 1)1

( 1)(1 )

( 1)

x x x x x xf x

xx

x x

x

+ − + + + −= =

+++ −

=+

positive à l’intérieur de [ ]1 ;1− , négative à

l’extérieur.

2. '(0) 1f = , (0) 0f = , la tangente a pour équation y = x.

3. a. ( )2 1 1 01 1

1 1 2

x xx

x x

+ = = + = ⇔ ⇔ + = − = −

.

b.

[ ][ ] [ ]

2

2 2 2

2

1 ( 1)0 0

( 1) ( 1) ( 1)

1 ( 1) 1 ( 1) 0 2 0 2.

xx xx x x

x x x

x x x x x x

− +≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ + + +

⇔ − + + + ≥ ⇔ − + ≥ ⇒ ≤ −

Lorsque x est inférieur à −2, Cf est au-dessus de D, lorsque x est supérieur à −2, Cf est en dessous de D. c. Les seuls endroits où la courbe coupe D c’est lorsque la différence ( )f x x− change de signe, soit pour x = −2 uniquement.

4. C’est du second degré bête et méchant : f(x) = 0,5 n’a pas de solutions ; f(x) = 0,2 a pour solutions 3 5

2

+ et

3 5

2

− .


Soit f la fonction définie sur ℝ \1 par : ( )2 3

1

xf x

x

+=−

.

1. Etudier le sens de variation et les limites de f . 2. Dresser le tableau de variations de f .

3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout 1x ≠ , ( )1

cf x a x b

x= + +

−.

4. Démontrer que la courbe fC de f admet une asymptote oblique D en −∞ et en +∞ . La courbe fC admet-

elle une autre asymptote ? 5. Montrer que le point ( )1;2A est un centre de symétrie de la courbe fC . Correction

1. 2 3

:1

xf x

x

+→−

est dérivable sur ℝ \1, de dérivée : ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 1 3 2 3'

1 1

x x x x xf x

x x

− − + − −= =

− −.

x

f

−∞ −1 1

f’ + −

+∞

− 0

1/




Sur ℝ \1, ( )'f x a le signe de 2 2 3x x− − car ( )21 0x − > . 2 2 3x x− − est positif (coefficient de 2x positif) à

l’extérieur de ses deux racines –1 et 3. f est donc croissante sur ] ]; 1− ∞ − et sur [ [3;+ ∞ , et f est décroissante sur [ [1;1− et sur ]1;3].

* 2 23

lim lim lim1x x x

x xx

x x→−∞ →−∞ →−∞

+ = = = −∞−

et 2 23

lim lim lim1x x x

x xx

x x→+∞ →+∞ →+∞

+ = = = +∞−

.

* ( )( )

22

1

11

lim 3 43

lim1lim 1 0

x

xx

xx

xx

→− −→

−→

+ = +⇒ = −∞ −− =

et ( )( )

22

1

11

lim 3 43

lim1lim 1 0

x

xx

xx

xx

→+ +→

+→

+ = +⇒ = +∞ −− =

.

2. ( ) 41 2

2f − = = −

− et ( ) 12

3 62

f = = .

x −∞ 1− 1 3 +∞

( )'f x + 0 − − 0 +

f

2− +∞ +∞ −∞ −∞ 6

3. Après division, ( ) ( )2 3 1 1 4x x x+ = + − + . Pour tout 1x ≠ , ( ) ( )( )1 1 4 41

1 1

x xf x x

x x

+ − += = + +

− −.

4. La courbe fC admet une asymptote verticale d’équation 1x = car 2

1

3lim

1x

x

x−→

+ = −∞−

et 2

1

3lim

1x

x

x+→

+ = +∞−

.

( ) 41

14 4

lim lim 01x x

f x xx

x x→±∞ →±∞

= + + − ⇒= =−

La courbe fC de f admet pour asymptote oblique la droite : 1D y x= + en −∞ et en

+∞ .

5. ( )1;2A est un centre de symétrie de fC car :

( ) ( ) 4 41 1 1 1 1 1 4 2 2

1 1 1 1f x f x x x

x x− + + = − + + + + + + = = ×

− − + − et Df =ℝ \1 est centré en 1.


1. On considère le polynôme 3 2( ) 3 2P x x x= − + .

a. Vérifier que 2( ) ( 1)( 2 2)P x x x x= − − − . b. Etudier le signe de P(x).

2. On considère la fonction f définie sur 2−ℝ par 3 3 2

( )2

x xf x

x

− +=−

et C sa courbe représentative dans un repère

orthogonal (en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnée 1 cm pour 2 unités). a. Déterminer les limites de f en +∞ , en −∞ et en 2. Préciser les asymptotes verticales et horizontales éventuelles.

b. Montrer que 2

2 ( )'( )

( 2)

P xf x

x=

−.

c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. d. Tracer C dans le repère précisé ci-dessus. 3. a. Pour quelle abscisse a la tangente au point d’abscisse a est-elle horizontale ? Justifier. b. Déterminer l’équation de la tangente T à C en x = 3 et la tracer dans le même repère que C.

4. Trouver a, b, c et d tels que 2( )2

df x ax bx c

x= + + +

−.




5. On admet que 2 4( ) 2 1

2f x x x

x= + + +

−. On appelle g la fonction définie par 2( ) 2 1g x x x= + + et P sa courbe

représentative. a. Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de f(x) – g(x). Que peut-on en déduire sur les courbes C et P ? b. Etudier la position relative de C et P. c. Tracer P dans le même repère que C et T en utilisant les résultats des questions a. et b. Correction 1. 3 2( ) 3 2P x x x= − + .

a. 2 3 2 2 3 2( ) ( 1)( 2 2) 2 2 2 2 3 2P x x x x x x x x x x x= − − − = − − − + + = − + .

b. Pour le trinôme, on a 212 (2 3)∆ = = d’où les racines 1 21 3, 1 3x x= − = + . Un petit tableau de signes

nous donne ( ) 0 1 3 ;1 1 3 ;P x x ≥ ⇔ ∈ − ∪ + + ∞ .

2. 3 3 2

( )2

x xf x

x

− +=−

a. En +∞ et en −∞ f se comportre comme 3

2xx

x= et tend vers +∞ ; en 2, on a (1,99) 391f ≈ − et (2,01) 409f ≈ d’où

22

lim ( )xx

f x→>

= +∞ et 2

2

lim ( )xx

f x→<

= −∞ . Il n’y a pas d’asymptote horizontale, mais il y en a une verticale en x = 2.

b. 2 3 3 2 3 3 2

2 2 2 2

(3 3)( 2) ( 3 2) 2 ( )3 3 6 6 3 2 2 6 4'( )

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

x x x x P xx x x x x x xf x

x x x x

− − − − + − − + − + − − += = = =− − − −

.

c. Le sens de variation de f dépend uniquement du signe de P. On a donc le tableau de variations suivant. d. En fin de devoir.

3. a. La tangente est horizontale lorsque la dérivée s’annule, soit pour 1,1 3, 1 3− + . b. '(3)( 3) (3) 4( 3) 20 4 8y f x f y x x= − + ⇔ = − + = + .

4. 3 23 2 2

2 ( 2 ) ( 2 ) 22 2 2( )

2 2 2

ax b a x c b x c dd ax ax bx bx cx c df x ax bx c

x x x

+ − + − − +− + − + − += + + + = =− − −

d’où

par identification des coefficients :

1 1

2 0 2 2

2 3 2 3 1

2 2 2 2 4

a a

b a b a

c b c b

d c d c

= = − = = = ⇔ − = − = − = − = = + =

.

5. 4( ) ( )

2f x g x

x− =

− donc tend vers 0 à l’infini ; lorsque x > 2, f(x) – g(x) est positif et C est au-dessus de P ;

lorsque x < 2, f(x) – g(x) est négatif et C est en dessous de P. Les deux courbes sont asymptotes.

x

f

0

+∞

f’

+∞

−

+∞

2

+

19,4

1 3+1 3−−∞ 1

+∞

−∞

0 0

0

−1,4

− − +




-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y


On considère la fonction 4 2

3

6 1( )

x xf x

x x

− +=−

et sa courbe C dans un repère orthonormé.

a. Trouver a, b et c tels que ( )1 1

a b cf x x

x x x= + + +

− +.

b. Ensemble de définition, parité, variations de f. c. Limites de f, asymptotes à (C). d. Position de (C) par rapport à D (y = x). Tracer D et C. e. Résoudre f(x) = 0. Correction

a. 2 2 2 4 2

3 3

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1 ) ( )( )

1 1

x x a x bx x cx x x a b c x b c x aa b cf x x

x x x x x x x

− + − + + + − + − + + + + − −= + + + = =− + − −

, soit

1, 0, 1 6 1, 2a b c a b c a b c= − − = + + − = − ⇒ = − = = − . On a donc 1 2 2( )

1 1f x x

x x x= − − −

− +.

b. 1, 0, 1fE = − −ℝ , f est impaire, 2 2 2

1 2 2'( ) 1 0

( 1) ( 1)f x

x x x= + + + >

− + donc f croissante.

c. A l’infini f(x) est comme x donc lim , lim , lim ( ) 0,x x x

f f f x x→+∞ →−∞ →∞

= +∞ = −∞ − = la droite D(y = x) est asymptote de C.

Pour les autres limites vérifiez les signes des infinis : asymptotes en−1, 0 et 1.

d. 2 2 2 2( 1) 2( ) 2( )1 2 2 5 1

( )1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)

x x x x x xf x x

x x x x x x x x x

− − − + − − − +− = − − − = =− + − + − +

. C et D se coupent pour 1

5x = ± , pour la

position, tableau de signes.




e. On reprend 4 2

3

6 1( ) 0

x xf x

x x

− += =−

, soit 2

4 22

6 1 06 1 0

X xx x

X X

=− + = ⇔ − + =

; les racines sont alors 1 3 2 2X = + ,

2 3 2 2X = − . Or on peut remarquer que 2(1 2) 1 2 2 2 3 2 2± = ± + = ± d’où les quatre solutions :

1 1 2 11 2, 1 2, 1 2, 1 2x x x x′ ′= + = − − = − = − + .

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -3 -1 1 3 5

x

y


Partie A

Soit ϕ la fonction numérique de la variable réelle x telle que : ϕ + +=+

3 ²( )

² 1

x ax bx

x.

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de ϕ soit tangente au point I de coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3. Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que : + +=+

3 ² 4 3( )

² 1

x xf x

x et (C) sa courbe représentative

dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Montrer que pour tout x réel, on a βα α β= ++

( ) ;² 1

xf x et

xétant deux réels que l’on déterminera.

2. Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation graphique. Dresser le tableau de variations de f. 3. Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la position de (C) par rapport à (T). 4. Démontrer que I est centre de symétrie de (C). 5. Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé. Correction Partie A

ϕ + +=+

3 ²( )

² 1

x ax bx

x est tangente en I si ϕ =(0) 3 et ϕ ='(0) 4 (même coefficient directeur que la droite T).




ϕ = =(0) 3b et ϕ ϕ+ + − + += ⇒ = =+

2 2

2 2

(6 )( 1) 2 (3 3)'( ) '(0) 4

( 1)

x a x x x axx a

x.

Partie B

1. Ensemble de définition ℝ . β α β α β αα α β+ + + += + = = ⇒ = =+ + +

2 2

2

( 1)( ) 3, 4

² 1 ² 1 1

x x x x xf x

x x x.

2. + − − −= =+ +

2 2

2 2 2 2

4( 1) 4 (2 ) 4( 1)'( )

( 1) ( 1)

x x x xf x

x x d’où les racines −1 et 1. Négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.

A l’infini ≈ =+2 2

4 4 4

1

x x

x x x qui tend vers 0 donc f tend vers 3, asymptote horizontale y = 3.

3. La tangente a évidemment pour équation y = 4x + 3. On fait le signe de − + −− + = + − − = =

+ + +

2 3

2 2 2

4 4 4 ( 1) 4( ) (4 3) 3 4 3

1 1 1

x x x x xf x x x

x x x

qui est du signe de −x, soit (C) est au dessus de (T) pour ≤ 0x et en-dessous pour ≥ 0x . 4. Pour que le point Ω( , )u v soit centre de symétrie de (C) il faut que + + − =( ) ( ) 2f u x f u x v ; ici ça donne :

+ − = + + − = =+ +2 2

4 4( ) ( ) 3 3 6 2.3

1 1

x xf x f x

x x, ok !


Soit f la fonction définie sur ℝ−1 par 22 3

( )1

x xf x

x

− +=−

.

1. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire que la courbe C représentative de la fonction f admet une asymptote verticale dont on donnera une équation.

2. a. Vérifier que, pour x différent de 1, 2

( ) 31

xf x x

x= − +

−.

Peut-on en déduire que la droite d’équation y = 3x est asymptote oblique à la courbe C ? Justifier.

b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour x différent de 1, ( )1

cf x ax b

x= + +

−.

En déduire que C admet, au voisinage de +∞ et de −∞ , une asymptote D dont on donnera une équation. c. Etudier suivant les valeurs de x la position de C par rapport à D. 3. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation .




4. Construire la courbe C et ses asymptotes. Correction

1. 2 22 3 2

lim lim lim 21x x x

x x xx

x x→±∞ →±∞ →±∞

− + −= = − = ∞−

∓ ;

11

1lim

0xx

−→<

= −∞ , 1

1

1lim

0xx

+→>

= +∞ : asymptote verticale x = 1.

2. a. 22 23 ( 1) 2 3

3 ( )1 1 1

x x xx x xx f x

x x x

− − + − +− + = = =− − −

; on ne tire aucune information de cette écriture car 2

1

x

x − tend

vers l’infini à l’infini.

b. 2 2

2( )( 1) ( ) 2 3

31 1 1 1

0

aax b x c ax b a x b cc x x

ax b b ax x x x

c b

= −+ − + + − − + − + + + = = = ⇒ − =− − − − − =

d’où

1( ) 2 1

1f x x

x= − + +

−.

En +∞ et en −∞ , 1

1x − tend vers 0, on a une asymptote D d’équation 2 1y x= − + .

c. Lorsque x > 1, 10

1x>

− donc C est au-dessus de D, lorsque x < 1, 1

01x

<−

donc C est en dessous de D.

3. 2 2 2 2

2 2 2

( 4 3)( 1) ( 2 3 )(1) 4 7 3 2 3 2 4 3'( )

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x xf x

x x x

− + − − − + − + − + − − + −= = =− − −

. Le discriminant est négatif, f’ est du

signe de −2, soit négative.

x −∞ 1 +∞

( )'f x − −

f

+∞ +∞ −∞ −∞

4.

4-47 : Rationnelles 8

1. Etudier les variations de la fonction 3

2( )

( 1)

xf x

x=

−.




2. Montrer que 2

3 2( ) 2

( 1)

xf x x

x

−= + +−

. Etudier la position de la courbe (C) de f par rapport à la droite (D)

d’équation 2y x= + . 3. En quel(s) point(s) la tangente à (C) est elle parallèle à (D) ? 4. Tracer cette (ces ?) tangente(s), (D) puis (C). 5. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation ( )f x x p= + où p∈ℝ .

6. Résoudre la question précédente par le calcul. 7. Lorsqu’il y a deux solutions, il y a deux points d’intersection entre la droite y x p= + et (C). Déterminer l’abscisse du point P, milieu de ces deux points d’intersection. Correction

1. La fonction f est dérivable sur son domaine de définition comme fonction rationnelle. 2 32 1

4 3

32 2

3

3 ( 1) 2 ( 3)'( )

( 1) ( 1) ( 1

( 1) ( )

)

2 13 1 x x x x xf x

x x x

xx x x−× − × − − −= = =−

×− −

× −

La dérivée dépend du signe de (x-3) / (x-1), les autres facteurs étant positifs. −∞ 1 3 +∞ f(x) + – + f(x)

27

4

2. On peut par exemple effectuer la division des polynômes :

x3 x2 – 2x + 1 x3 − 2x² + x ___________

2x2 – x 2x2 – 4x + 2

____________ 3x – 2

x + 2

Etude du signe de f(x) – (x+2) : lorsque x < 2/3, cette différence est négative, donc la courbe est en dessous de la droite (on démontrerait que cette droite est asymptote à la courbe en démontrant que la limite de la différence lorsque x tend vers l’infini est zéro). Lorsque x > 2/3, la courbe est au-dessus de la droite.

Remarque : La courbe et la droite se coupe au point d’abscisse 2/3 et d’ordonnée 2 82

3 3+ = .

3. Le nombre dérivé de f en xJ est donc égal au coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d’abscisse xJ : c’est 1. Soit à résoudre l’équation :

22 3 3 2 3 2

3

( 3)'( ) 1 1 ( 3) ( 1) 3 3 3 1

( 1)

13 1 0 .

3

J JJ J J J J J J J J

J

J J

x xf x x x x x x x x x

x

x x

−= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ − = − + −

−

⇔ − = ⇔ =

1( )

12Jf x = .




L’équation de la tangente à la courbe en J est : 1 1 1 1 1

1 ( ) ( ) .3 3 3 12 4

y x f y x x= × − + ⇔ = − + = −

4.

−3

0

3

6

9

−9 −6 −3 0 3 6 9

y

x

5. Lorsque p < 1/4, l’intersection de la courbe et de la droite y x p= + est vide. Lorsque p > 1/4 (avec p ≠ 2), il y a deux solutions à l’équation, qui sont les abscisses des points intersection de la courbe et de la droite. Lorsque p = 2, il y a un seul point d’intersection, il a pour abscisse 2/3 (voir 2.) 6. On doit résoudre l’équation :

33 2 3 2

2

3 3 2 2 2

( ) ( ) ( )( 1) ( )( 2 1)( 1)

2 2 ( 2) (1 2 ) 0.

xf x x p x p x x p x x x p x x

x

x x x x px px p x p x p p

= + ⇔ = + ⇔ = + − ⇔ = + − +−

⇔ = − + + − + ⇔ − + − + =

Remarques et interprétation : c’est une équation du second degré de paramètre p. Discutons du nombre de solutions suivant les valeurs de p : Si p = 2, l’équation est du premier degré. La solution est x = 1/3.

2 2 2(1 2 ) 4 ( 2) 1 4 4 4 8 4 1p p p p p p p p∆ = − − − = − + − + = − . Si p < 1/4, on a ∆ < 0, et l’équation n’a pas de solution (la droite et la courbe ne se coupent pas). Si p = 1/4 on a ∆ = 0, la courbe est tangente à la droite. Si p > 1/4 il y a deux solutions qui sont les abscisses de deux points M et N.

Les solutions sont : (1 2 ) 4 1

2( 2)

p px

p

− − ± −=

−.

(1 2 ) 4 1 (1 2 ) 4 1 2 1 2 1 2 4 3 32 1 .

2( 2) 2( 2) 2 2 4 2 4 2 4P M N P

p p p p p p px x x x

p p p p p p

− − − − − − + − − − − += + = + = ⇒ = = = +

− − − − − −

4-48 : Asymptotes

Soit la fonction 3 2

2

3 10 5( )

( 1)

x x xf x

x

+ + +=+

définie sur 1− −ℝ .




a. Trouvez les réels a, b, c, d tels que 2

( )1 ( 1)

c df x ax b

x x= + + +

+ +.

b. Déterminez les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. c. Précisez (en justifiant) les deux asymptotes à la courbe C de f. d. Etudiez les variations de f.

4-49 : Factorisons (c)

Soit f la fonction définie par 2

3 2

4 4 1( )

6 11 6

x xf x

x x x

− +=− + − +

.

1. Déterminez a, b et c réels tels que : 3 2 26 11 6 ( 1)( )x x x x ax bx c− + − + = − + + . 2. Déduisez-en l’ensemble de définition de f. 3. On admet que 3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)x x x x x x− + − + = − − + − . Résolvez l’inéquation f(x) ≥ 0. Correction 1. Dévelopons : 2 3 2( 1)( ) ( ) ( )x ax bx c ax b a x c b x c− + + = + − + − − d’où a = −1, b − a = 6, soit b = 5, c − b = −11, soit c = −6. On a donc 3 2 26 11 6 ( 1)( 5 6)x x x x x x− + − + = − − + − . 2. On cherche les racines de 2 5 6x x− + − , ce qui donne 2 et 3. On a donc 1, 2, 3fE = −ℝ .

3. On remarque que le numérateur est en fait 2(2 1)x − , donc toujours positif. Un petit tableau de signes nous donne alors f(x) ≥ 0 lorsque ] ;1[ ]2 ; 3[x∈ − ∞ ∪ .




4-50 : Approximations (c)

On considère la fonction 1 2( )

1

xf x

x

+=−

définie sur 1−ℝ ainsi que les fonctions ( ) 1 3g x x= + et 2( ) 1 3 3h x x x= + + .

On appelle C la courbe représentative de f.

1. Trouver a et b tels que ( )1

bf x a

x= +

−. Etudier les variations de f, préciser ses limites à l’infini et en 1.

La partie de la courbe C correspondant à l’intervalle [ [1 ;1− est tracée sur la feuille jointe qui sera rendue avec

la copie. 2. Etudier les variations de h, tracer dans le même repère que C les courbes représentant g et h. 3. Préciser par le calcul la position de C par rapport aux courbes de g et h. 4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.

a. Vérifiez que 4

2 3 11

1 1

xx x x

x x+ + + + =

− −.

b. Déduisez-en avec l’aide du 1. que 4

2 3 3( ) 1 3 3 3

1

xf x x x x

x= + + + +

−. Tracez la courbe représentative de

2 3( ) 1 3 3 3k x x x x= + + + sur la feuille.

c. Donnez un encadrement de 43

1

x

x− à l’aide de votre calculatrice pour 1 1

2 2x− < < . Que pouvez-vous dire de

( ) ( )f x k x− lorsque 1 1

2 2x− < < ?

Correction

1. (1 )( )

1 1 1

a x bb a b axf x a

x x x

− + + −= + = =− − −

d’où 2a = − et 1 3b a= − = . On a donc 3( ) 2

1f x

x= − +

−.

2 2

3( 1) 3'( ) 0

(1 ) (1 )f x

x x

−= − =− −

donc positive, f est croissante.

Lorsque x tend vers l’infini, 3

1 x− tend vers 0 donc f tend vers −2.

Lorsque x tend vers 1, x<1, 3

1 x− tend vers +∞ (f(0,99)=300) ; lorsque x tend vers 1, x>1, 3

1 x− tend vers −∞

(f(1,01)=−300). 2. 2( ) 1 3 3h x x x= + + ; '( ) 3 6 3(1 2 )h x x x= + = + donc croissante après −1/2, décroissante avant −1/2. ( 1 / 2) 1 / 4h − = . 3. On cherche le signe des expressions

* 23 3

( ) ( ) 2 1 3 3 3 31 1 1

xf x g x x x

x x x− = − + − − = − − + =

− − −.

Lorsque x < 1 ( ) ( ) 0f x g x− > donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g ; c’est le contraire lorsque x > 1.

* 3

2 23 3( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 3 3

1 1 1

xf x h x x x x x

x x x− = − + − − − = − − − + =

− − − qui est du signe de

1

x

x−, soit positif (courbe de f

au-dessus de courbe de h) lorsque [0, 1[x∈ , négatif sinon.




4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.

a. 2 3 44 2 3 2 3 4 4

2 3 (1 )(1 ) 1 11

1 1 1 1

x x x x xx x x x x x x x xx x x

x x x x

+ + + − + + + + − − − − ++ + + + = = =− − − −

.

b. 4 4

2 3 2 33 3( ) 2 2 3 1 1 3 3 3

1 1 1

x xf x x x x x x x

x x x

= − + = − + + + + + = + + + + − − −

.

c. En fait il faut montrer que 43

1

x

x− est croissant pour 1 1

2 2x− < < ; ceci dit on a alors

430,125 0,0417

1

x

x− < <

−.

On peut dire que ( ) ( )f x k x− vaut entre −0,125 et 0,0417 lorsque 1 1

2 2x− < < . Ceci donne une valeur approchée de

f sur cet intervalle. " Qui aime l'arbre aime aussi les branches. "

APPLIQUONS LES MATHEMATIQUES 4-51 : Eclairement (c)

En Physique il y a une loi disant que « lorsqu’un point M est situé à une distance d d’une source lumineuse de

puissance p, l’intensité de l’éclairement en M est égale à 2

p

d ».

1. Sur Terre nous recevons une intensité lumineuse d’environ 1 watt/m2. La distance Terre-Soleil est de 150 millions de km. Quelle est la puissance lumineuse du Soleil ?

- 1

0

1

2

3

4

5

6

- 1 - 0,5 0 0,5 1

x

y

g

h

k

f




2. On considère deux sources lumineuses ponctuelles A et B de même puissance p et telles que AB = l. Soit M un point de [AB], on pose AM= x avec x∈ ] 0 ; l [.

a. Montrer que l’intensité de l’éclairement en M est 2 2

( )( )

p pI x

x l x= +

−.

b. Calculer la dérivée '( )I x et montrer que I est minimale lorsque M est au milieu de [AB]. (On rappelle que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)) Correction

1. Attention, il faut convertir les km en m… 2 2211 2

1 W.m 2,25.10 W(1, 5.10 )

SS

pp− = ⇒ = .

2. a. La puissance reçue en M provenant de A est 2

p

x, celle provenant de B est

2( )

p

l x− donc l’intensité reçue en

M est 2 2

( )( )

p pI x

x l x= +

−.

b. On calcule I’(x) :

3 3

4 4 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

2 2

3 3

(2 ) 2( 1)( ) ( )1 1( ) 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2 ) 22 2

( ) ( )

(2 )2 .

( )

x l x l x xI x p p p p

x l x x l x x l x

x l x x x l x l x x l x xl x l lx xp p

x l x x l x

x l l lx xp

x l x

− − − − − − +−′ = + = + = − − −

− + + − + − − + − + − + = = − −

− − + = −

(En fait on pouvait s’arrêter au début de la deuxième ligne, ou même à la deuxième égalité… pourquoi ?) Le terme 2 2x lx l− + a pour discriminant 2 2 24 3 0l l l∆ = − = − < et est donc toujours positif. Donc le signe de I’ ne

dépend que de celui de 2x l− , négatif pour 2

lx < et positif après. Il s’agit donc bien d’un minimum, obtenu

lorsque M est au milieu de [AB]. 5. Trigonométrie

5-52 : Sinus cardinal

1. On désigne par g la fonction numérique définie sur [0 ; ]π par ( ) cos sing x x x x= − . a. Etudier les variations de g et dresser son tableau de variations. En déduire le signe de g sur [0 ; ]π .

b. Soit f la fonction définie sur [0 ; ]π par (0) 1

sin( ) , 0

f

xf x x

x

= = ≠

. Etudier les variations de f sur ]0 ; ]π .

2. Etude de f en 0

a. Prouver que, pour tout réel 0x ≥ , 31sin 0

6x x x≥ − ≥ (on pourra introduire la fonction ϕ définie par

31( ) sin

6x x x xϕ = − + , étudier ses variations et déterminer son signe).

b. Prouver que f est dérivable en 0 et calculer f’(0). 3. Construire la courbe représentative de f. Correction

1. a. '( ) cos sin cos sing x x x x x x x= − − = − qui est négative sur [0 ; ]π ; g est décroissante, donc ( ) (0) 0 cos 0 sin 0 0g x g≤ = − = , g est négative sur [0 ; ]π .




b. 2 2

( )sin cos sin( ) '( )

g xx x xf x f x

x x x

−= ⇒ = = , donc négative. La limite de f en 0 est 1 (cours de Première), en π f vaut

0.

2. a. 3 21 1( ) sin '( ) cos 1 ''( ) sin '''( ) cos 1 0

6 2x x x x x x x x x x x xϕ ϕ ϕ ϕ= − + ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒ = − + ≥ .

Comme ''' 0,ϕ ≥ ''ϕ est croissante et ''( ) ''(0) 0xϕ ϕ≥ = , donc 'ϕ est croissante et '( ) '(0) 0xϕ ϕ≥ = , donc ϕ est croissante et ( ) (0) 0xϕ ϕ≥ = .

Conclusions : tout d’abord 3 3 31 1 1( ) sin 0 sin sin

6 6 6x x x x x x x x x xϕ = − + ≥ ⇒ − ≥ − ⇔ − ≤ , puis

''( ) sin 0 sinx x x x xϕ = − + ≥ ⇔ ≤ .

b. Pour prouver que f est dérivable en 0, il faut calculer 20 0 0

sin1( ) (0) sin

lim lim lim0x x x

xf x f x xx

x x x→ → →

−− −= =−

; or on a

3 32 20 0

1 1 1 sin 1 sinsin 0 sin 0 0 lim lim 0

6 6 6 6x x

x x x xx x x x x x x x

x x→ →

− −≥ − ≥ ⇔ − ≤ − ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ .

Conclusion 20

sinlim 0 '(0)x

x xf

x→

− = = . En fait ici on n’a que la dérivée à droite puisqu’on a 0x ≥ , mais c’est la

même chose pour x négatif car f est paire, donc les dérivées à gauche et à droite sont identiques, et la tangente est horizontale.. 3.

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-15 -10 -5 0 5 10 15

x

y

La fonction sin x

x est très importante dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. On

l’appelle Sinus Cardinal (est-ce à cause de la forme de la courbe qui ressemble un peu à un chapeau de cardinal ?), noté sinc.

5-53 : Arctangente

Soit la fonction 2

1( )

1f x

x=

+, C sa courbe.

1. Etude de f




a. Quel est l’ensemble de définition de f ? Montrez que C est symétrique par rapport à l’axe (Oy). Calculez la dérivée f’ de f. b. Trouver une équation de la tangente (T) à la courbe (C) de f au point d'abcisse 1. c. Etudier la position de (C) par rapport à (T) . d. Que peut-on dire de la tangente (T') à (C) au point d'abcisse – 1 ?

2. On considère la fonction tangente définie sur ;2 2

π π − : ( ) tang x x= .

a. Montrez que sa dérivée est 2'( ) 1 tang x x= + . b. Donnez une équation de sa tangente en O.

c. On appelle Γ la courbe de tangente sur ;2 2

π π − et γ la courbe symétrique de Γ par rapport à la droite

(y = x). Tracez Γ et γ dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

. d. La courbe γ est la courbe représentative d’une fonction appelée arc tangente , notée arctan (tan−1 sur votre calculatrice) et telle que

arctan(tan ) tan(arctan )x x x= = .

Indiquer sur la figure les valeurs de arctan 0, ( )arctan 1 , ( )arctan 3− . Vérifiez avec votre calculatrice.

e. De manière purement graphique, tracez la tangente à γ au point d’abscisse 1 et donnez son équation.

f. On admettra le résultat suivant : la dérivée de ( )tan u x où u est une fonction à valeurs dans ;2 2

π π − est

( )2'( ) 1 tan ( )u x u x + . Montrez que la dérivée de arctan(x) est 2

1( )

1f x

x=

+. Vérifiez le résultat du 2. e.

Correction

1. Etude de f a. L’ensemble de définition est ℝ car 21 x+ ne paut jamais être nul. Par ailleurs on a ( ) ( )f x f x− = donc f est paire

et C est symétrique par rapport à l’axe (Oy). 2 2

2'( )

(1 )

xf x

x= −

+.

b. (T) 1 1 1'(1)( 1) (1) ( 1) 1

2 2 2y f x f x x= − + = − − + = − + .

c. ( )22 2 3 2

2 2 2 2

12 (1 ) 2(1 )1 1 1 2( ) 1 1

2 21 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

x xx x x x x xf x x x

x x x x

−+ + − + − + − − + = + − = = = + + + +

. Ceci est positif et donc (C) au-

dessus de (T) lorsque x est positif, négatif et donc (C) en dessous de (T) lorsque x est négatif. d. Comme f est paire, c’est la même chose à l’envers en −1.




0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

2. On considère la fonction tangente définie sur ;2 2

π π − : ( ) tang x x= .

a. sintan

cos

xx

x= donc

2 22

2 2 2

(sin ) '(cos ) (cos ) '(sin ) cos ( sin ) 1'( ) 1 tan

cos cos cos

x x x x x xg x x

x x x

− − −= = = = + .

b. Tangente en O : 1( 0) 0y x y x= − + ⇔ = . c.

-5

-3

-1

1

3

5

-5 -3 -1 1 3 5

x

y

d. Comme on a tan 0 = 0, on a arctan 0 = 0. De même ( )tan 1 arctan 14 4

π π= ⇔ = et ( )arctan 33

π− = − .

e. Comme (y = x) est la tangente à Γ en 0 et que c’est l’axe de symétrie entre les deux courbes, c’est la tangente à γ en 0 également.




Pour 1, on fait la tangente symétrique à celle en 4

π pour tan ; comme cette dernière a pour équation

2 14

y xπ = − +

, celle en 1 pour arctan a pour équation ( )1

2 1 14 2 4

x y y xπ π = − + ⇔ = − +

(on intervertit

simplement x et y).

0

2

0 2

x

y

f. Comme on a la dérivée de ( )tan u x , appliquons cela à tan[arctan(x)] :

( ) [ ] 2tan arctan ' arctan( ) ' 1 tan ( )x x x = + .

Or ( ) ( )tan arctan tan arctan ' 1x x x= ⇒ = d’où

[ ] [ ]22 2

1 1arctan( ) ' 1 tan (arctan ) 1 arctan( ) '

1 tan (arctan ) 1x x x

x x + = ⇒ = = + +

.

6. Optimisation et modélisation

6-54 : Boite

Partie I : Soit V la fonction définie sur ℝ par 3 2( ) 4 48 144V x x x x= − + . 1. Etudier les variations de la fonction V sur ℝ . 2. Tracer la représentation graphique de la fonction V dans un plan muni d’un repère orthogonal. On utilisera les unités graphiques suivantes : sur l’axe des abscisses 2 cm pour 1 unité et sur l’axe des ordonnées 1 cm pour 10 unités. Partie II : Dans un carré de côté 12, on découpe dans les quatre angles des carrés de côté x pour construire le patron d’un pavé droit sans couvercle.




12

x

1. Justifier que l’ensemble des valeurs que peut prendre x est l’intervalle [0 ; 6]. 2. Montrer que le volume du pavé est donné par la formule V(x). 3. En déduire qu’il existe une valeur de x qui rend le volume maximal. Que vaut alors ce volume ? Correction

Partie I : 3 2( ) 4 48 144V x x x x= − + .

1. Variations de la fonction V sur ℝ : ( ) ( )2 2'( ) 12 96 144 12 8 12 12 2)( 6V x x x x x x x= − + = − + = − − .

Donc deux racines, 2 et 6, le trinôme est du signe de a, soit positif sur ] ] [ [; 2 6 ;−∞ ∪ + ∞ et négatif sur [ ]2 ; 6 .

2.

x

f

−∞

0

2 6

f’ − +

12

+∞

+ 0

0




-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

-2 0 2 4 6 8

x

y

Partie II : 1. Evidemment, 2x représente ce qu’on enlève sur le côté, il faut donc que 0 2 12 0 6x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . 2. (12 2 ) (12 2 ) ... ( )V Base Hauteur x x x V x= × = − × − × = = . 3. V est maximum lorsque x = 2 ; le volume vaut alors 128 cm3.

6-55 : Coûts de production (c)

Une entreprise fabrique et vend chaque jour un nombre x d’objets. Chaque objet est vendu 100 euros. Le coût de production unitaire U(x) exprime le coût de production par objet produit. On a déterminé qu’il est

égal à 900( ) 10U x x

x= − + pour x appartenant à l’intervalle I=[10 ;100].

1. a. Etudier la fonction U sur I. Tracer sa courbe C ( unités : 1cm pour 5 objets / 1cm pour 10 €). b. Déterminer pour quelle production le cout unitaire est le plus bas. Déterminer alors le bénéfice de l’entreprise. c. Déterminer graphiquement le nombre d’objets que l’on doit fabriquer et vendre pour avoir un coût de production unitaire inférieur ou égal à 80 €. 2. Montrer que le bénéfice global de l’entreprise est 2( ) 110 900B x x x= − + − . Déterminer son sens de variation sur I et déterminer la production pour avoir un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice? Correction

900( ) 10U x x

x= − + pour x dans l’intervalle I=[10 ;100].

1. a. Dérivée : 2

2 2 2

( 30)( 30)900 900'( ) 1

x xxU x

x x x

− +−= − = = d’où le tableau de variations : x + 30 est toujours positif

sur I, x − 30 est négatif avant 30, positif après.




0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100 120

x

y

b. Le minimum est obtenu pour 30 objets produits. Le bénéfice est alors (100 (30)) 30 1500U− × = . c. Graphiquement le nombre d’objets fabriqués doit être compris entre 11,5 et 78,5.

2. Le bénéfice est 2900( ) (100 ( )) 100 10 110 900B x x U x x x x x

x = − = − + − = − + −

. Sa dérivée est '( ) 2 110B x x= − + qui

s’annule pour 55x = . Avant 55 B est coissante (B’ > 0), après 55 B est décroissante (B’ < 0), c’est bien un maximum. Ce bénéfice maximum est alors (55) 2125B = .

6-56 : Théorie de la relativité (c)

D'après la théorie de la relativité, une particule de masse m0 au repos a une masse m à la vitesse v donnée par la

formule 0

2

2

( )

1

mm v

v

c

=

−

où c est la vitesse de la lumière soit 300 000 km/s.

a. Calculez m pour v=0,3 km/s puis v=104 km/s. On prendra m0 = 1 pour les calculs et les figures. b. Etudiez la fonction m(v) pour v variant de 0 à c. Tracez sur la même figure la droite m= m0 et la courbe représentative de m(v). c. Pour quelle vitesse la masse vaut-elle deux fois la masse au repos ? A partir de quelle vitesse un individu verra-t-il son poids augmenter de 1% ? Conclure. Correction

x

U

10

0

30 100

U’ + −

50

90 99




1. 0

2 2 2 2( )

cm cm v

c v c v= =

− −. Pour v=0,3 km/s, m vaut pratiquement 1, pour 410v = m vaut 1,00055602.

2. On a 2 2 1 / 2 2 2 1 / 2 12 2 3 / 2

1( ) ( ) '( ) ( 2 )( ) 0

2 ( )

cvm v c c v m v c v c v

c v− − − = − ⇒ = − − − = >

− donc m est bien croissante. Lorsque

v tend vers c, 2 2c v− tend vers 0 et m tend vers l’infini.

4. On cherche v pour que 2 2 2 2 20

2 2

3 3( ) 2 2 4( )

4 2

cm v m c c v v c v c

c v= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = ⇒ =

−, soit environ

260 000 km/s.

5. 2

2 2 2 2 2 20 22 2

1,01 1( ) 1,01 1,01 (1,01) ( ) 0,0197 6000 km/s

1,01

cm v m c c v v c v c

c v

−≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ ⇒ ≥ ≈−

. Il faut aller

vraiment très vite…

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 500 00 10000 0 1500 00 20 0000 25000 0 3000 00

v

m

6-57 : Courbe+optimisation (c)

Soit la fonction f définie sur R* par 2 2( )f x x

x= + .

a. Déterminer les limites de f . b. Calculer f '(x) , déterminer son signe, faire le tableau de variations de f, déterminer le minimum de f pour x > 0. c. On appelle C la courbe représentative de f, et P la parabole y = x2 Soit M le point de P d'abcisse x et N le point de C de même abcisse. Calculer N MM N y y= − , préciser son signe

ainsi que sa limite en +∞ et en −∞. Quelles conclusions pouvez vous en tirer ? d. Tracer dans le même repère les tangentes à C en 1 et 2 ainsi que P puis C (unite = 2 cm) e. Un industriel doit fabriquer une boite fermée de volume 1 litre ayant la forme d'un parallélépipède rectangle de hauteur h et dont la base est un carré de côté x. L'unité de longueur est le dm. Montrer que la surface de la boîte est S(x) = 2f(x) et déterminer les dimensions de la boîte pour lesquelles cette surface est minimale. Correction

a. A l’infini le terme 2x

tend vers 0 donc 2lim ( ) limx x

f x x→±∞ →±∞

= = +∞ .




En 0 le terme 2x

tend vers l’infini et on a 0

0

lim ( )xx

f x→>

= +∞ et 0

0

lim ( )xx

f x→<

= −∞ .

b. 3

2 2

2( 1)2'( ) 2

xf x x

x x

−= − = ; or 3 1x − est positif lorsque 1x ≥ et négatif sinon.

c. 2 2( )N MM N y y f x x

x= − = − = . Ceci tend vers 0 à l’infini donc C et P sont asymptotes.

Lorsque x > 0, on a 2 0 N My yx

> ⇒ > donc C est au-dessus de P ; lorsque x < 0, on a 2 0 N My yx

< ⇒ < donc C est

en-dessous de P. d. La tangente en 1 a pour coefficient directeur 0, elle est horizontale ; la tangente en 2 a pour coefficient directeur 7/2. e. La surface de la boîte est 2n fois la base 2x plus quatre fois le côté xh. On a donc 2( ) 2 4S x x xh= + . Or le

volume de la boîte est 2 32

11 l 1 dmV x h h

x= = = ⇒ = et 2

2

1( ) 2 4 2 ( )S x x x f x

x= + = .

La surface est minimale lorsque f est minimale, c’est-à-dire lorsque x = 1 ; on a alors h = 1 et la boîte est un cube de côté 1 dm.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

x

f

−∞

0

+∞

f’

+∞

0

+∞

− −

−∞

+∞

1

+

3




6-58 : Triangles (c)

ABCD est un rectangle tel que 1AB= et 2AD = . M est un point variable sur [ ]DC : on pose DM x= . Les

droites ( )AM et ( )DB se coupent en I. On désigne par ( )S x la somme des aires des trianglesABI et DIM .

1. Calculer ( )0S et ( )1S .

2. Démontrer que la hauteur IK du triangleABI est égale à 21x +

.

3. En déduire que : ( )2 1

1

xS x

x

+=+

.

4. Pour quelle valeur de x, ( )S x est-elle minimale ? Que vaut cette aire minimale ? Correction

A B

D CM

I

1. Calcul de ( )0S et ( )1S : si 0x = , M D= et

( )0S est l’aire du triangleABD ; soit

( ) 2 10 1

2S

×= = ;

si 1x = , M C= et ( )1S est la somme des aires

des triangles ABI et DIC ; soit

( ) 1 1 1 11 1

2 2S

× ×= + = .

2. Calcul de IK . Dans les triangles IBA et IDM, les points B, I, D et A, I, M sont alignés et ( )AB et ( )DM

sont parallèles. On peut donc utiliser Thalès :

1

ID IM DM ID xID x IB

IB IA BA IB= = ⇒ = ⇒ = .

Dans les triangles BIK et BDA, les points B, I, D et B, K, A sont alignés et ( )AD et( )KI sont

parallèles. On peut donc utiliser Thalès :

2 2

BI BK IK BI IK BI IK

BD BA DA BD BI ID= = ⇒ = ⇒ =

+.

Or ID x IB= . On obtient ainsi : 1 2

2 1 2 1

BI IK IKIK

BI x BI x x= ⇔ = ⇔ =

+ + +.

3. Calcul de ( )S x : la hauteur IH du triangleDIM est obtenue par 22

21 1

xIH

x x= − =

+ +.

On obtient ainsi : ( ) 21 2 11

2 2 2 1 2 1

xAB IK DM IHS x x

x x

× ×= + = × × + × ×+ +

; soit ( )21

1

xS x

x

+=+

.

4. M est un point variable sur [ ]DC et DM x= appartient à [ ]0 ;1 . 21

:1

xS x

x

+→+

dérivable sur ℝ \−1, donc sur [ ]0 ;1 , de dérivée :

( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 1 1 2 1'

1 1

x x x x xS x

x x

+ − + + −= =

+ +.

* Sur ℝ \−1, ( )'S x a le signe de 2 2 1x x+ − car ( )21 0x+ > .

* 2 2 1x x+ − est positif (coefficient de 2x positif) à l’extérieur de ses deux racines 1 2− − et 1 2− + .

* Sest décroissante sur 0 ; 1 2 − + et croissante sur 1 2 ;1 − + .




21:

1

xS x

x

+→+

admet donc un minimum en 1 2x = − + égal à ( )1 2 2 2 2S − + = − .

( )S x est donc minimale pour 1 2x = − + et cette aire minimale vaut 2 2 2− .

" Tout ce qui peut être fait un autre jour, le peut être aujourd'hui. "

FIN ET BONNE CHANCE ET À SUIVRE FIN ET BONNE CHANCE ET À SUIVRE FIN ET BONNE CHANCE ET À SUIVRE FIN ET BONNE CHANCE ET À SUIVRE

PAR HUGUES SILA PAR HUGUES SILA PAR HUGUES SILA PAR HUGUES SILA , , , , RESPONSABLE DU GROUPE ALKASHI

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