UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE MEDELLIN

FACULTAD DE MINAS

XVI CONGRESO COLOMBIANO DE MINERÍA LOS DÍAS 20,21,22 DE JUNIO DEL 2011

Curso: GEOESTADÍSTICA BÁSICA APLICADA A LA MINERÍA

CENTRO GEOESTADÍSTICO PERUANODirector

Alfredo Marín Suárez

Docteur Ingénieur en Sciences et TechniquesMinières - Option Géostatistique

I'école Nationale Supérieure des Mines de Paris

JUNIO del 2011

LIMA – PERÚ

ÍNDICE1. INTRODUCCIÓN

2. MODELACIÓN PROBABILÍSTICA

3. CONCEPTO DE VARIABLE REGIONALIZADA

4. EL VARIOGRAMA

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

4.2 Hipótesis consideradas en el dominio de la función variograma

4.3 Distancias y ángulos del cono de tolerancia en el cálculo numérico de los variogramas experimentales

4.4 Análisis de la función variograma

4.5 Tipos principales de modelos de variogramas

ÍNDICE5. VARIOGRAMA CRUZADO

5.1 Función variograma cruzado

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

6. ESTIMACIÓN DE RECURSOS

6.1. Inferencia en términos de proyección vectorial

6.2. Deducción del Kriging de Matheron

6.3. Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad de la estimación

de cada bloque

6.4 Técnica del Kriging de Matheron.

6.5 Ejemplo

ÍNDICE

7. CURVAS TONELAJE - LEY DE CORTE, LEY MEDIA - LEY DE CORTE Y CANTIDAD DE METAL - LEY DE CORTE

8. SIMULACIÓN CONDICIONAL

8.1 Introducción

8.2 método de bandas rotantes

metodología

8.3 Simulación secuencial gaussiana

metodología

9.CONCLUSIONES

10. REFERENCIAS

1. INTRODUCCIÓN

Se aplicará la “Teoría de las Variables Regionalizadas”más conocida con el nombre de Geoestadística, cuyateoría fue creada y desarrollada por el profesor Dr.George Matheron (1930 - 2000), plasmada en suobra monumental “Traité de GéostatistiqueAppliquée”, publicado en el año 1962 y 1963 enFrancia.

2. MODELACIÓN PROBABILÍSTICA

La Geoestadística, presentada inicialmente por GeorgeMatheron como la Teoría de las VariablesRegionalizadas, considera que las variablesregionalizadas están modeladas en un espacio devariables aleatorias reales L2 sobre un espaciode probabilidades (Ventsel, 1973; Haaser 1978;Schwartz, 1981).

3. CONCEPTO DE VARIABLE REGIONALIZADA

La variable regionalizada representa a una característica de un fenómeno determinado.

Figura 1. Representación de la variable regionalizada en el espacio.

4. EL VARIOGRAMA

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

En una línea de muestreo de la zona A, tenemos lossiguientes valores de la variable regionalizada deplomo en ppm.

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Realizamos un análisis estadístico básico.

a) Media aritmética:

b) La varianza:

c) El coeficiente de variación:

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

d) Histograma

Figura 14. Histograma de leyes de la zona A

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

En otra línea de muestreo en la zona B, tenemos los mismosvalores de la variable regionalizada de plomo en ppm, perodispuesto de la siguiente forma; es decir, un fenómenoestructuralmente muy diferente, a pesar de tener los mismosvalores de leyes.

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Obtenemos la media aritmética, la varianza, elcoeficiente de variación y el histograma, y vemos queda los mismos resultados que los obtenidos en laZona A. Es decir que con esta estadística descriptivano logramos diferenciar dos fenómenos totalmentediferentes.

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Ahora procedemos a construir los Variogramas de la Zona A y B

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Graficando el variograma para la zona A.

)(h

h

Figura 15. Variograma de la zona A

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Graficando el variograma para la zona B.

)(h

h

Figura 16. Variograma de la zona B

4.1 Aplicación en la diferenciación de dos fenómenos

Como se puede observar el semi-Variograma, que máscomúnmente se le denomina variograma, da cuenta de laszonas estructuralmente diferentes.

4.2 Hipótesis consideradas en el dominio de la función variograma.

Hipótesis Estacionaria Estricta

Hipótesis Estacionaria de Orden 2

Hipótesis Intrínseca

4.3 Distancias y ángulos del cono de tolerancia en el cálculo numérico de los variogramasexperimentales .

Figura 3. Descripción de la sección del cono de tolerancia.

4.4 Análisis de la función variograma.

Figura 4. Ejemplo simple de un variograma experimental y

su modelado correspondiente a una variable regionalizada.

4.5 Tipos principales de modelos de variogramas

a) Modelo Efecto de Pepita Puro

b) Modelo Esférico o de Matheron

c) Modelo de Formery o Exponencial

d) Modelo con efecto “HOLE”

e) Modelo Gaussiano

Modelo Efecto de Pepita Puro

h

)(h

Figura 17. Modelo Efecto de Pepita Puro

Modelo Esférico o de Matheron

Figura 18. Modelo Esférico o de Matheron

Modelo de Formery o Exponencial

Figura 19. Modelo de Formery o Exponencial

Modelo con efecto “HOLE”

Figura 20. Modelo con efecto “HOLE”

Modelo Gaussiano

Figura 21. Modelo Gaussiano

5. VARIOGRAMA CRUZADO

5.1 Función variograma cruzado

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Para visualizar esta función, consideremos un ejemplo de unazona de terreno explorado del cual hemos obtenidos valoresgeoquímicos del Oro y Plata y deseamos estudiar la relaciónentre los dos valores. Para este efecto aplicaremos elvariograma cruzado.

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Aplicando:

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Cuya gráfica es la siguiente:

h

)(hAuAg

Figura 22.Variograma cruzado de la zona explorada con correlación positiva alta entre las variables.

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Observamos que cuando hay una correlación positiva alta entre las variables, el variograma cruzado tiende a tomar valores positivos altos.

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Ahora veamos que pasa en otra zona, donde los valores geoquímicos de la Plata toman otros valores:

Aplicando la fórmula:

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Con su gráfica:

h

)(hAuAg

Figura 23.Variograma cruzado de la zona explorada con correlación negativa alta entre las variables.

5.2 Aplicación del variograma cruzado en el estudio de correlaciones

Observamos que cuando hay una correlación negativa alta entre las variables el variograma cruzado tiende a tomar valores negativos altos.

6. ESTIMACIÓN DE RECURSOS

6.1 Inferencia en términos de proyección vectorial

Figura 10. Representación gráfica de la inferencia en términosde proyección vectorial

6.2 Deducción del Kriging de Matheron

Considerando la hipótesis estacionaria de orden dos, se ha considerado un estimador insesgado que minimiza la varianza de estimación siguiente:

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidadde la estimación de cada bloque

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad

de la estimación de cada bloque

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad

de la estimación de cada bloque

Figura 11. Confiabilidad de la estimación del bloque en tres casos

6.3 Varianza de kriging de Matheron y confiabilidad

de la estimación de cada bloque

6.4 Técnica del Kriging de Matheron

Considerando las variables Z(xi) que están cerca de unsoporte geométrico a estimar y dentro de su aureolade influencia. Aureola definida por medio de losalcances estimados a partir de un estudio devariogramas.

Visualizaremos el procedimiento a partir de lasiguiente disposición de las muestras con respecto aun soporte geométrico V.

6.4 Técnica del Kriging de Matheron

)( 11 xz

)( 22 xz

)( nn xzV

Figura 24. Disposición de muestras con respecto a un soporte geométrico V

6.4. Técnica del Kriging de Matheron

Y deseamos estimar la variable Z(x) del soportegeométrico V a partir de las muestras Z(xi). Entoncesnecesitamos encontrar los pesos para estimar lavariable Zv(x0), a partir de:

6.4 Técnica del Kriging de Matheron

En el ejemplo que presentaremos a continuaciónconsideremos que estamos en condiciones de aplicar unKrigeage ordinario bajo la hipótesis estacionaria de orden2, por lo que usaremos el siguiente sistema deecuaciones.

6.4 Técnica del Kriging de Matheron

Este sistema resulta de minimizar la varianza deestimación sujeta a la condición de universalidad

, que hace que nuestro estimador sea insesgado.

El error cometido en este procedimiento de estimación viene dado por la varianza de Kriging de Matheronsiguiente:

n

1

1

6.5 Ejemplo

A partir de los valores de la potencia de un manto deHematita en los puntos A y B, se desea estimar lapotencia en el punto C. Considerando que la potencia delmanto tiene el siguiente modelo de variograma.

6.5 Ejemplo

A continuación se muestra la ubicación de las potencias y su orden de magnitud.

Figura 25. Variable regionalizada Potencia en los puntos A y B de un manto de Hematita

6.5 Ejemplo

Entonces tenderemos a partir del sistema de ecuaciones anterior, el siguiente sistema particular:

Reemplazando:

ó

6.5 Ejemplo

Restando (I) – (II) :

Ahora tenemos el siguiente sistema:

6.5 Ejemplo

Sumando (I’) + (II’) :

Reemplazando en (II’) :

6.5 Ejemplo

En la primera ecuación inicial:

Despejamos:

Parámetro auxiliar que será usado posteriormente en la fórmulade la varianza de Kriging de Matheron.

6.5 Ejemplo

Siendo la potencia estimada del manto igual a:

Reemplazamos:

6.5 Ejemplo

Ahora veamos cuál es el error que se comete en estaestimación, para lo cual particularizamos la fórmula de lavarianza de Kriging de Matheron dada anteriormente.

Reemplazando:

Este valor es el error cometido en el proceso de estimaciónrealizado.

7. CURVAS TONELAJE - LEY DE CORTE, LEY MEDIA - LEY DE CORTE Y CANTIDAD DE METAL - LEY DE CORTE

Figura 12. Curvas que permiten evaluar el yacimiento económicamente