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GENIE ELECTRIQUE Conversion statique d’énergie Michel Piou Puissance et harmoniques (monophasé et triphasé) Chapitre VI Edition 24/11/2010 Extrait de la ressource en ligne PowerElecPro sur le site Internet

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GENIE ELECTRIQUE

Conversion statique d’énergie

Michel Piou

Puissance et harmoniques (monophasé et triphasé)

Chapitre VI

Edition 24/11/2010

Extrait de la ressource en ligne PowerElecPro sur le site Internet

Table des matières 1 POURQUOI ET COMMENT ? ................................................................................................................. 1

2 LA SERIE DE FOURIER D’UNE FONCTION PERIODIQUE ......................................................................... 2

3 VALEUR EFFICACE ............................................................................................................................. 5

4 PUISSANCE LORSQUE )t(v ET )t(i SONT PERIODIQUES DE MEME PERIODE. ...................................... 5 4.1 Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont périodiques de même période. .......... 5 4.2 Facteur de puissance.................................................................................................................. 6

5 PUISSANCE LORSQUE )t(v EST ALTERNATIF SINUSOÏDAL ET )t(i PERIODIQUE DE MEME PERIODE. ... 7 5.1 Puissance active lorsque )t(v est alternatif sinusoïdal et )t(i périodique de même période. . 7 5.2 Puissance apparente et puissance déformante lorsque )t(v est alternatif sinusoïdal et

)t(i périodique de même période.................................................................................................... 7 5.3 Facteur de puissance lorsque )t(v est alternatif sinusoïdal et )t(i périodique de même période............................................................................................................................................. 9

6 SERIES DE FOURIER ET TRIPHASE EQUILIBRE.................................................................................... 11

7 PUISSANCE EN TRIPHASE EQUILIBRE ................................................................................................ 13

8 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE............................................................................................... 15

9 PROBLEMES ..................................................................................................................................... 16 Chap 6. Exercice 1 : Harmoniques basse fréquence sur le réseau 50 Hz................................... 16 Chap 6. Exercice 2 : Echange d’énergie électrique et filtrage. .................................................. 18 Chap 6. Exercice 3 : Redresseur à modulation de largeur d’impulsion .................................... 19 Chap 6. Exercice 4 : Pont redresseur triphasé à diodes débitant sur une charge capacitive ...... 23 Chap 6. Exercice 5 : Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges équilibrées non linéaires ................................................................................................................ 24 Chap 6. Exercice 6 : Onduleur de courant triphasé.................................................................... 28 Chap 6. Exercice 7 : Puissance instantanée et harmoniques en triphasé équilibré .................... 30

10 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS ........................................................................................... 32

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Michel PIOU - Agrégé de génie électrique – IUT de Nantes - FRANCE

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 1 -

1 POURQUOI ET COMMENT ?

Prérequis : Le premier chapitre « introduction à l’électronique de puissance », le second chapitre « Conversion DC→DC (hacheurs). Convertisseurs à liaison directe et indirecte », le troisième chapitre « Conversion DC→AC. Onduleurs », le quatrième chapitre « conversion AC→DC. Redressement monophasé » et le cinquième chapitre « conversion AC→DC. Redressement triphasé ». Objectifs : Dans le troisième chapitre, nous avons déjà parlé des séries de Fourier avec, comme application, la mise en œuvre de l’approximation au premier harmonique. Dans ce nouveau chapitre, l’objectif est de faire le lien entre la série de Fourier d’un courant ou d’une tension et les conséquences de cette « pollution harmonique » sur la qualité d'une transmission d'énergie électrique. Méthode de travail : L’exposé « académique » sur les propriétés des séries de Fourier reprend ce qui a déjà été énoncé au chapitre 3. Ceci est complété par des considérations sur les relations séries de Fourier/puissance et séries de Fourier/triphasé équilibré. Il est important d’apprendre par cœur dès maintenant certains résultats car ces connaissances sont aujourd’hui fondamentales dans le métier d’électronicien de puissance. Travail en autonomie : Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questions du cours sont données en fin de document. On trouvera des compléments dans la ressource en ligne « PowerElecPro » Temps de travail estimé pour un apprentissage de ce chapitre en autonomie : 20h

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 2 -

2 LA SERIE DE FOURIER D’UNE FONCTION PERIODIQUE

En électricité, on sait assez bien étudier le régime continu et le régime alternatif sinusoïdal. Or une fonction périodique est égale à sa valeur moyenne plus une somme de fonctions alternatives sinusoïdales (1) Cette somme est appelée "série de Fourier" de la fonction :

• Toute fonction périodique de période T (fréquence )t(fT1f = ) peut se mettre sous la forme:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ...t..nsin.Bt..ncos.A...t..3sin.Bt..3cos.A

t..2sin.Bt..2cos.At.sin.Bt.cos.AF)t(f

nn33

2211moy

++++++

++++=

ωωωω

ωωωω

avec T2f.2 ππω ==

et avec ( )∫+

=Tto

ton dt.t..ncos).t(fT2A ω et ( )∫

+=

Tto

ton dt.t..nsin).t(fT2B ω

(to quelconque) • Si est une fonction paire )t(f ( )t..nsin).t(f ω⇒ est une fonction impaire.

En choisissant 2Tto −= et sachant que l’aire sous la courbe d’une fonction impaire sur

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−

2T,

2T est nulle ( ) ⇒==⇒ ∫

+

2T

2T

n 0dt.t..nsin).t(fT2B ω : 0Bn =

... et ( t..ncos).t(f )ω est une fonction paire ( )∫+

=⇒2T

0n dt.t..ncos).t(f

T4A ω

• Si la composante alternative de est une fonction impaire )t(f ( ) ( )t..ncos.F)t(f moy ω−⇒ est

une fonction impaire

( ) ( ) ( ) ( )

4444 34444 214444 34444 21444444 3444444 210

2

2

2

20

2

2

...cos.2...cos).(2...cos.)(2∫∫∫

+

+

+

−=−⇒

T

Tmoy

nA

T

T

T

Tmoy dttnF

Tdttntf

TdttnFtf

Tωωω

⇒ 0An =

(1) …sous réserve que la somme converge (ce qui sera généralement le cas en électricité).

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 3 -

• Si la composante alternative de : )t(f ( )moyalt F)t(f)t(f −= présente une symétrie de glissement (c’est à dire si

)t(f)2Tt(f altalt −=+ ), alors tous les

termes de la série de Fourier de rang pair sont nuls:

Exemple:

tA2 = A4 = A6 = … = 0 B2 = B4 = B6 = … = 0 • Autre écriture d’une série de Fourier : Le terme général ( ) ( )[ t..nsin.Bt..ncos.A nn ]ωω + est la somme de deux fonctions alternatives sinusoïdales de même fréquence. Cette somme peut donc s’effectuer en utilisant les complexes ou les vecteurs de Fresnel. On obtient alors :

( ) ( ) ( )n2

n2

nnn t..ncos.BAt..nsin.Bt..ncos.A ϕωωω −=+ + avec n

nn A

Barctg=ϕ

La série de Fourier peut donc s’écrire :

( ) ( )( ) ( ) .....cos......3cos.

..2cos..cos.)(

max3max3

2max21max1

+−++−+

−+−+=

nn

moy

tnFtF

tFtFFtf

ϕωϕω

ϕωϕω

La fonction ( 1max11 t.cos.F)t(f )ϕω −= est appelée 1er harmonique (ou harmonique fondamental). La fonction ( nmaxnn t..ncos.F)t(f )ϕω −= est appelée harmonique de rang n. Les amplitudes Fmax des harmoniques sont indépendantes de l'origine choisie sur l'axe des abscisses, on aura donc intérêt à choisir celle-ci de façon à rendre la fonction étudiée paire ou impaire lorsque c'est possible.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 4 -

On démontre que et max1F 1ϕ sont tels que:

( )[ ]∫+

−−−Tto

to

21max1moy dt.t.cos.FF)t(f ϕω est minimum.

On peut dire que la fonction ( )1max11 t.cos.F)t(f ϕω −= est la sinusoïde qui suit "au plus près" la composante alternative de la fonction f(t)... Ou que la fonction ( ) moy1max11 Ft.cos.F)t(f +−= ϕω suit "au plus près" la fonction (2) )t(f Sur les deux exemples suivants, représenter une estimation de la valeur moyenne et de la somme « valeur moyenne + fondamental » de la fonction périodique. (Réponse 1:)

u

t

0t

i

(2) Cette formulation n'est pas très "mathématique", mais elle peut nous aider à donner une dimension plus intuitive à la notion de série de Fourier, et à situer le fondamental d'une fonction périodique avant tout calcul.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 5 -

3 VALEUR EFFICACE

Par définition, la valeur efficace d’une fonction est « la Racine carrée de la valeur Moyenne de la fonction au Carré ». (En anglais : Racine se dit Root, Moyenne se dit Mean et Carré se dit Square) d’où le sigle « RMS » pour les appareils qui mesurent les valeurs efficaces.

)t(f)t(f

∫+

=Tto

to2

eff dt.)t(fT1F

Si la série de Fourier de est : )t(f

( ) ( ) ( ...t..ncos.F...t..2cos.Ft.cos.FF)t(f nmaxn2max21max1moy ) +−++−+−+= ϕωϕωϕω On peut montrer que

( ) ( ) ( ) ( ) ...... 222

21

2 +++++= effneffeffmoyeff FFFFF

avec 2

FF maxn

effn = .

Cette relation doit être connue par cœur. De la relation précédente, on déduit que moyeff FF ≥ et que l’écart entre et effF moyF croit avec

l’importance des harmoniques.

4 PUISSANCE LORSQUE ET SONT PERIODIQUES DE MEME PERIODE. )t(v )t(i

4.1 Puissance active dans un dipôle lorsque v(t) et i(t) sont périodiques de même période.

Si la tension et le courant dans un dipôle sont périodiques de même période T, ils

peuvent être décrits par des séries de Fourier avec la même pulsation: T.2πω = v

i

( ) ( ) ( ...t..ncos.V...t..2cos.Vt.cos.VV)t(v nmaxn2max21max1moy ) ++++++++= αωαωαω

( ) ( ) ( ...t..ncos.I...t..2cos.It.cos.II)t(i nmaxn2max21max1moy ++ )++++++= βωβωβω

En développant l’expression de la puissance active ∫+

=Tto

todt).t(i).t(v

T1P , on obtient l’expression

suivante:

( ) ( ) ( ...cos.....cos..cos... 222111 ) +++++= neffneffneffeffeffeffmoymoy IVIVIVIVP ϕϕϕ

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 6 -

avec 2

VV maxn

effn = , 2

iI maxn

effn =

et nnn βαϕ −= (déphasage de l'harmonique n de la tension par rapport à l'harmonique n du courant). Cette relation s’ajoute à celles qui ont déjà été rencontrées dans les cours précédents. Elle doit être connue par cœur. Retrouver à partir de l'expression générale de P les cas particuliers * )v = tetanconsVt( o = * )i = tetanconsIt( o = * ) et alternatifs sinusoïdaux de même période t(v )t(i * ) alternatif sinusoïdal et périodique de même période t(v )t(i * ) alternatif sinusoïdal et périodique de même période t(i )t(v(Réponse 2:)

4.2 Facteur de puissance

On peut démontrer que dans le cas où la tension et le courant sont périodiques de même période, le

facteur de puissance (3) effeff I.V

PSPk == du dipôle est toujours inférieur ou égal à 1 (ce

résultat sera admis):

(3 ) Sur certains appareils de mesure, le facteur de puissance est désigné par les lettres « pf » pour « power factor ».

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 7 -

5 PUISSANCE LORSQUE EST ALTERNATIF SINUSOÏDAL ET PERIODIQUE DE

MEME PERIODE. )t(v )t(i

5.1 Puissance active lorsque est alternatif sinusoïdal et périodique de même période.

)t(v )t(i

v

i

( )αω += t.cos.V)t(v max

Le courant périodique peut se décomposer en une série de Fourier :

( ) ( ) ( ...t..ncos.I...t..2cos.It.cos.II)t(i nmaxn2max21max1moy ++ )++++++= βωβωβω La série de Fourier de la tension se limite à son fondamental : .

( ) ( )αωαω +=+= tVtVtv .cos..cos.)(max1max . Sa valeur moyenne est nulle et tous les

harmoniques autres que le fondamental sont nuls. En développant l’expression de la puissance active :

( ) ( ) ( ...cos.....cos..cos... 222111 +)++++= neffneffneffeffeffeffmoymoy IVIVIVIVP ϕϕϕ ,

tous les termes de cette somme sont nuls sauf ( )111 cos.. ϕeffeff IV

On obtient donc l’expression suivante: ( )1eff1eff cos.I.VP ϕ=

Avec 2

maxVVeff = ,

2max1

1I

I eff = et 11 βαϕ −=

Dans ce cas, seul le premier harmonique du courant intervient dans la puissance active échangée. (4)

5.2 Puissance apparente et puissance déformante lorsque est alternatif sinusoïdal et périodique de même période.

)t(v)t(i

Par définition, la puissance apparente dans le dipôle s’exprime par : S V Ieff eff= . donc :

( ) ( ) ( ) ( ) ....... 222

21

2 +++++= effneffeffmoyeffIIIIVS

(4) Pour la mesure de P, on peut utiliser un wattmètre dont la bande passante est seulement supérieure à la fréquence de la tension.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 8 -

Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où 0=moyI :

( ) ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⇔ ........ 22

22

21

2

effneffeffeffeffIIVIVS

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )44444 344444 2144444 344444 21

21

122

12

2

122

12

12

122

12

21

2

sin..cos..

sincos... avec

Q

effeff

P

effeff

effeffeffeff

IVIV

IVIV

ϕϕ

ϕϕ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

« P » : puissance active. « » : puissance réactive portée par le fondamental. 1Q

Le terme ( ) ( )[ ]⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= ...... 22

22

effneffeffIIVD est appelé « puissance déformante »

La puissance déformante rend compte, de manière globale, de la présence des harmoniques (5)

En conclusion : 221

2 DQPS ++=

(5) On trouve maintenant à des prix abordables des appareils de mesure capable de mesurer chaque harmonique basse fréquence des courants et des tensions. La notion de puissance déformante qui propose une description « globale » des harmoniques autres que le fondamental est donc moins pertinente.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 9 -

5.3 Facteur de puissance lorsque est alternatif sinusoïdal et périodique de même période.

)t(v )t(i

Et par définition, le facteur de puissance s’exprime par : SPk = . C’est un critère de qualité d’une

transmission de puissance électrique (6) On en déduit :

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )2eff1

2i

2effi

2eff1

2moy

12

effn2

eff22

eff12

moyeff

1eff1eff

I

I

1I

I

cos

...I...III.V

cos.I.Vk

∑∞

=++

=+++++

=⇔ϕϕ

( 1cos )ϕ est appelé "facteur de déplacement".

( )2

1

2

2

eff

ieffi

fI

I

THD∑∞

== est le « taux de distorsion harmonique par rapport au fondamental».

( )

( )( )

22

1

21

1

cos

feff

moy THDI

Ik

++

=⇔ϕ

On en déduit que lorsque la tension est alternative sinusoïdale, le facteur de puissance est d'autant plus faible que la valeur moyenne et les harmoniques de rang ≥ 2 sont importants et que le déphasage 1ϕ entre la tension et l'harmonique fondamental du courant est élevé.

Si i(t) est alternatif et si THDf est faible: cos(ϕ1) ≈ k Notations : Dans les appareils de mesure, le facteur de puissance est souvent noté « PF » (pour « power factor ») ; le facteur de déplacement est noté « cos(ϕ) » ou « DPF » (pour « Displacement power factor ») et le taux de distorsion harmonique est noté « THD » (pour « Total Harmonic Distorsion » Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où 0=moyI :

2fTHD1

DPFPF+

=

(6) Voir le chapitre 10 de « baselecpro » : (Rechercher Baselecpro sur Internet avec un moteur de recherche)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 10 -

Exemples : Classer les exemples suivants par ordre de facteur de puissance décroissant. (Par hypothèse le fondamental du courant de la figure 3 est égal au courant de la figure 2) (Réponse 3:)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 11 -

6 SERIES DE FOURIER ET TRIPHASE EQUILIBRE

Dans une ligne triphasée en régime périodique de période T, les courants sont équilibrés (7) s’ils sont identiques à un

décalage près de 3T

± .

iA

iB

iC

Phase A

Phase B

Phase C

NeutrevA vB vC iN

Si le sens est « direct » :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

3Tti)t(i AB et ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

3Tti)t(i AC .

Si [ ] [ ] [ ] ...t..3cos.It..2cos.It.cos.II)t(i 332211A +++++++= βωβωβω avec T.2πω =

...3Tt..3cos.I

3Tt..2cos.I

3Tt.cos.II)t(i 332211B +⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⇒ βωβωβω

et

...3Tt..3cos.I

3Tt..2cos.I

3Tt.cos.II)t(i 332211C +⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎥

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⇒ βωβωβω

Si [ ] [ ] [ ] ...t..3cos.It..2cos.It.cos.II)t(i 332211A +++++++= βωβωβω avec T.2πω =

...3.6t..3cos.I

3.4t..2cos.I

3.2t.cos.II)t(i 332211B +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−+=⇒ βπωβπωβπω

et

...3.6t..3cos.I

3.4t..2cos.I

3.2t.cos.II)t(i 332211C +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +++=⇒ βπωβπωβπω

On peut maintenant calculer le courant dans le neutre )t(i)t(i)t(i)t(i CBAN ++= On remarque que :

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−++ 111111 3

2t.cos.I3

2t.cos.It.cos.I βπωβπωβω est la somme de trois fonctions

alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées. Cette somme est donc nulle.

(7 ) mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux équilibrés...

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 12 -

De même :

[ ] 03

4t..2cos.I3

4t..2cos.It..2cos.I 222222 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−++ βπωβπωβω .

Par contre :

[ ] [ ]33333333 t..3cos.I.33

6t..3cos.I3

6t..3cos.It..3cos.I βωβπωβπωβω +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−++

On peut poursuivre la même démarche pour les harmoniques suivants... On en conclut :

[ ] [ ] [ ] ...t..9cos.I.3t..6cos.I.3t..3cos.I.3I.3)t(i 996633N +++++++= βωβωβω La somme de courants triphasés équilibrés ne comporte que la valeur moyenne et des

harmoniques 3 et multiples de 3.

(Le courant ne comporte que la valeur moyenne et des harmoniques 3 et multiples de 3). )t(iN

S’il n’y a pas de neutre :

...,0I,0I,0I,0I 963 ==== Les courants triphasés équilibrés d’une ligne sans neutre ont une valeur moyenne nulle et ne comportent pas d’harmoniques 3 et multiples de 3.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 13 -

7 PUISSANCE EN TRIPHASE EQUILIBRE

La ligne triphasée ci-contre est soumise à des tensions )t(vA , )t(vB et , et elle est parcourue par des courants

)it(vC

)t(A , )t(iB , et qu’elle délivre à

une charge quelconque. )t(iC )t(iN

Il est toujours possible de simuler le comportement de cette charge par trois dipôles montés en étoile qui, pour les mêmes tensions, engendreront les mêmes courants.

La loi de conservation de l’énergie précise que la puissance active totale consommée par la charge est la somme des puissances actives consommées par chaque élément.

iA

iB

iC

Phase A

Phase B

Phase C

NeutrevA vB vC iN

iA

iB

iC

Phase A

Phase B

Phase C

NeutrevA vB vC iN

Lorsque les signaux sont tous de même période T, La puissance active (ou puissance moyenne) s’exprime par la relation :

( ) ( ) ( )moyCCmoyBBmoyAA )t(i).t(v)t(i).t(v)t(i).t(vP ++=

Si les tensions et les courants sont triphasés équilibrés :

( ) ( ) ( )moyCCmoyBBmoyAA )t(i).t(v.3)t(i).t(v.3)t(i).t(v.3P ===

et et de même effeffCeffBeffA VVVV === effeffCeffBeffA IIII ===

Le facteur de puissance s’exprime par : effeff I.V.3

PSPk ==

Si les tensions sont triphasées alternatives sinusoïdales équilibrées et les courants triphasés

équilibrés de même période que les tensions (mais pas sinusoïdaux) : ( ) ( )1eff1effmoyAA cos.I.V.3)t(i).t(v.3P ϕ== .

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 14 -

Le facteur de puissance est alors :

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )2eff1

2i

2effi

2eff1

2moy

12

effn2

eff22

eff12

moyeff

1eff1eff

I

I

1I

I

cos

...I...III.V.3

cos.I.V.3k

∑∞

=++

=+++++

=⇔ϕϕ

( )1cos ϕ est appelé "facteur de déplacement". (DPF)

( )2

1

2

2

eff

ieffi

fI

I

THD∑∞

== est le « taux de distorsion

harmonique par rapport au fondamental».

Notations : Dans les appareils de mesure, le facteur de puissance est souvent noté « PF » (pour « power factor ») ; le facteur de déplacement est noté « cos(ϕ) » ou « DPF » (pour « Displacement power factor ») et le taux de distorsion harmonique est noté « THD » (pour « Total Harmonic Distorsion » Donc, comme en monophasé : Si on se place dans le cas particulier (très fréquent) où 0=moyI :

21 THD

DPFPF+

=

( )( )( )

22

1

21

1

cos

feff

moy THDI

Ik

++

=⇔ϕ

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 15 -

8 CE QUE J’AI RETENU DE CE CHAPITRE.

La réponse aux questions suivantes permet de vérifier si les connaissances principales sont acquises. a) Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction paire ? b) Quelle est la propriété remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante

alternative est impaire ? c) Qu’est-ce qu’une « symétrie de glissement » pour un signal périodique ? Quelle est la propriété

remarquable de la série de Fourier d’une fonction dont la composante alternative présente une symétrie de glissement ?

d) Comment peut-on estimer graphiquement le fondamental d’une série de Fourier ? e) Quelle est la relation qui lie la valeur efficace d’un signal et sa série de Fourier ? f) Donner l’expression de la puissance active dans un dipôle en régime périodique, à partir des

séries de Fourier de la tension à ses bornes et du courant qui le traverse. Définir clairement les termes employés.

g) Comment se simplifie l’expression précédente si la tension est alternative sinusoïdale de même

fréquence que le fondamental du courant ? h) Exprimer le facteur de puissance d’une ligne monophasée en fonction de la puissance active et

de la puissance apparente. i) Exprimer le facteur de puissance d’une ligne monophasée soumise à une tension alternative

sinusoïdale et parcourue par un courant périodique de même période que la tension. (Utiliser le terme « facteur de déplacement »)

j) Exprimer la relation entre « DPF », « THD » et « PF » pour une ligne monophasée soumise à

une tension alternative sinusoïdale et parcourue par un courant alternatif périodique de même période que la tension.

k) Une ligne triphasée (avec neutre) est parcourue par des courants périodiques triphasés équilibrés

(mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux). Que peut-on dire de la série de Fourier du courant dans le neutre par rapport à la série de Fourier des courants dans les phases ?

l) Une ligne triphasée (sans neutre) est parcourue par des courants périodiques triphasés équilibrés

(mais pas forcément alternatifs sinusoïdaux). Que peut-on dire de la série de Fourier de ces courants ?

m) Comment s’exprime la puissance active dans une ligne triphasée (pas nécessairement équilibrée

avec des tensions et des courants pas nécessairement sinusoïdaux) dont tous les courants et toutes les tensions sont de même période ?

n) Comment s’exprime la puissance active dans une ligne triphasée dont les courants et les

tensions, de même période, sont équilibrés (mais pas sinusoïdaux) ? Comment s’exprime alors le facteur de puissance ?

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 16 -

9 PROBLEMES

Chap 6. Exercice 1 : Harmoniques basse fréquence sur le réseau 50 Hz

Le courant périodique i(t) (de période T) absorbé par un variateur de vitesse industriel est représenté ci-contre (en traits forts). 1) La fonction i(t) a une valeur moyenne nulle, et elle présente deux autres particularités qui permettent de calculer plus facilement sa série de Fourier. (Il n'est pas demandé de calculer cette série de Fourier).

Indiquer ces deux particularités et les simplifications qui en découlent. 2) Représenter sur le graphe de i(t) une estimation de son fondamental (Il n'est pas demandé une très grande précision pour ce qui concerne son amplitude). 3) Sachant que A120I = , le courant i(t) peut être approché par l'expression suivante: i(t) ≈ 50.cos(100πt) + 40.cos(300πt) + 24,8.cos(500πt) + 9,9.cos(700πt) Les graphes ci-dessous représentent la reconstitution progressive du courant i(t) à partir de ses harmoniques, jusqu’à l’ordre 7.

0

I

t

i

M

T

0

100

Harmoniques 1

0

100

Harmoniques 1 et 3

0

100

Harmoniques 1, 3 et 5

Mic0

100

Harmoniques 1, 3, 5 et 7

3.1) Calculer approximativement la valeur efficace de i(t) à partir des premiers termes de sa série de Fourier. Vérifier ce résultat en comparant la valeur efficace de i(t) (en gras ci-dessus) avec la valeur efficace de la fonction alternative sinusoïdale (en pointillé ci-dessus).

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 17 -

3.2) Le courant i(t) est prélevé sur une ligne monophasée alimentée en 220V/50Hz. La ligne présente une impédance que nous assimilerons à une inductance de 1 mH. Le variateur de vitesse, vu de son entrée, est équivalent à des générateurs de courant absorbant le même courant i (voir ci-dessous)

e(t) = 220.√2.cos(100πt + 0,25) i1(t) = 50.cos(100πt) i3(t) = 40.cos(300πt) i5(t) = 24,8.cos(500πt) i7(t) = 9,9.cos(700πt) Calculer la série de Fourier de u(t) jusqu'à l'ordre 3 (pour simplifier le calcul, les ordres 5 et 7 ne sont pas demandés).

3.3) Pour relever le facteur de puissance d'une installation précédente, un condensateur C de 400 µF avait été placé (et demeure encore) sur la ligne. (Le courant i(t) consommé par la charge que constitue le variateur de vitesse demeure le même que précédemment)

Pour déterminer u(t), on a calculé ses premiers harmoniques en appliquant le théorème de superposition au schéma électrique ci-dessus. Les résultats des calculs sont donnés ci-dessous, sauf une case que l'on complètera.

Mi

i1 i3 i5 i7

1 mH

e(t) u(t)

f 3f 5f 7f

i

L

charge

Mi

C i1 i3 i5 i7

1 mH

e(t) u(t)

f 3f 5f 7f

i

L

charge

fréquence 50 Hz 150 Hz 250 Hz 350 Hz 1

.n.jL1.n.jC

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωω

0,327j

1,467j

120,5j

– 2,35j

Harmoniques de u(t)

324.cos(100πt+0,25)+

16,35.cos(100πt – π2 )

58,5.cos(300πt – π2 )

+ 23,3.cos(700πt +

π2 )

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 18 -

Chap 6. Exercice 2 : Echange d’énergie électrique et filtrage.

vLo(t)

Une source de tension ( )t.πte .100cos.2.230)( = alimente une charge qui consomme un courant périodique impulsionnel comme le montre le graphe ci-contre. La liaison entre la source de tension et la charge se fait au moyen d’une ligne inductive (modélisée par l’inductance Lo sur le schéma ci-dessus.) On admettra que ce courant peut être reconstitué par la série de Fourier :

( ) ( ) ( ) ( ttttti ..700cos.1..500cos.5,2..300cos.4..100cos.5)( )ππππ +++= Ce courant non sinusoïdal est source de perturbations dans la ligne d’alimentation en énergie électrique. Il engendre également des perturbations de la tension d’alimentation de la charge. Pour réduire ces perturbations, on équipe le montage d’un « filtre » (L1.C1) De façon à simplifier l’étude, on négligera le terme ( )t..700cos.1 π par rapport aux autres termes de la somme ci-dessus. a) Afin de déterminer v et , représenter les 4 schémas illustrant la mise en œuvre du théorème de superposition.

)(t )(tie

b) Connaissant les valeurs ci-contre, déterminer les expressions numériques de ie(t) et v(t).

Mic0

10

i

t

ω π.100 π.300 π.500 ω.oL Ω5 Ω15 Ω25 ω.1L Ω15 Ω45 Ω75

ω.1

1CΩ135 Ω45 Ω27

Lo 15.9mH

L147.7mH

C1 23.58µF

I1

FREQ =50 Hz

IAMPL = 5 A e(t)

FREQ =50 Hz

VAMPL =325 V

0

I2

FREQ =150 Hz

IAMPL = 4 A

I3

FREQ =250 Hz

IAMPL =2.5 A

Charge consommatrice d’énergie électrique

v(t)

Source de tension d’alimentation en énergie électrique

ie(t)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 19 -

Chap 6. Exercice 3 : Redresseur à modulation de largeur d’impulsion A - CHARGE RESISTIVE ET MODULATION A RAPPORT CYCLIQUE CONSTANT

Le convertisseur suivant met en relation une source de tension alternative sinusoïdale 50 Hz et une charge non réversible en courant ayant un comportement équivalent à une résistance ohmique.

( )tVtve .50..2sin;)( max π=

k

R

ichie

ve

L’interrupteur k a un fonctionnement périodique de fréquence 25 kHz. vch

Son rapport cyclique ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛période

fermeturedetemps est noté « a »

a) Les 4 diodes et l’interrupteur « k » sont considérés idéaux : ils ne consomment et n’accumulent aucune énergie (Le convertisseur est donc « à liaison directe »).

Exprimer la relation entre la puissance instantanée reçue par ce convertisseur et la puissance instantanée

fournie par le convertisseur à la résistance « R ».

)().( titv ee

)().( titv

Vmax / R ich

T0 t

ie

T0 t

vch = ve si k est fermé vch = - ve si k est fermé

ve / R

chch

b) Sur les graphes ci-contre, les zones grises verticales marquent les intervalles de fermeture de l’interrupteur « k ». (Pour simplifier la construction graphique, on a limité la fréquence de « k » à 24x50 Hz, alors qu’en réalité, elle est de 25 kHz.) Afin de représenter ci-contre l’allure de

et de i pour un rapport cyclique «

)(tich )(te

α » d’environ ½, colorier simplement l’aire sous ces courbes.

Pour ce faire, on procédera à l’aide d’un surligneur en s’aidant des zones grisées. (On appliquera le principe de la conservation de la puissance électrique instantanée)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 20 -

c) On remarque que le courant est le produit d’une sinusoïde par un signal carré d’amplitude 1.

)(tie

Ce signal carré peut s’exprimer par la série de Fourier ( ) ( )ii

tii

aia βωπ

π++ ∑

='..cos.

...sin.2

1.

La fréquence de découpage de « k » étant de 25 kHz, en déduire l’amplitude et la fréquence des 5 premiers harmoniques non-nuls de i en fonction de V , « R » et « a ». )(te max En déduire la puissance active « P », le facteur de déplacement « DPF » (8), la valeur efficace du courant « » (effeI 9), le taux de distorsion harmonique « THD » et le facteur de puissance « PF » de

la ligne qui alimente ce convertisseur en fonction de V , « R » et « a ». max

B - MISE EN ŒUVRE D’UN FILTRE SUR LA LIGNE D’ALIMENTATION Pour améliorer le facteur de puissance de la ligne, on ajoute au montage précédent un filtre « LC » :

ie

ve

k

R

ichi’e

v’e vch

a) Pourquoi souhaite-t-on améliorer le facteur de puissance de la ligne ? b) Le convertisseur et sa charge consomment un courant i périodique (en régime permanent) qui peut être exprimé par une série de Fourier.

)(te

Vis à vis du filtre LC, l’ensemble constitué par le convertisseur et sa charge est équivalent à n sources de courant en parallèle (une pour chaque harmonique) :

ve

ie

50 Hz 24950 Hz 25050 Hz 49950 Hz 50050 Hz

ie49950 Hzie25050 Hz

ie24950 Hzie50 Hz

C L

vLi’e

v’e

50 Hz

Convertisseur + charge R Les valeurs de L et C sont telles que la fréquence propre du filtre est de 500 Hz et que

RL <<π.100.

e(8) A partir de l’observation du graphe de i . )(t

(9) L’utilisation de la conservation de la puissance active permet d’obtenir une expression plus simple que l’utilisation de la formule de Parseval :

( ) ( ) ( ) ( ) ...F...FFFF 2effn

2eff2

2eff1

2moyeff +++++=

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 21 -

Etablir le schéma équivalent permettant le calcul de l’harmonique fondamental (à 50 Hz) de ve et i’e. c) Exprimer la valeur complexe de l’harmonique fondamental (à 50 Hz) HzeV en fonction de 50

eV ' et de HzeI 50 . Vérifier que l’harmonique fondamental quelque soit la

valeur du rapport cyclique « a » de l’interrupteur « k ».

)(')(50 tvtv eHze ≈

d) Montrer qualitativement que v )(')( tvt ee ≈ (en prenant en compte tous les harmoniques du courant). Et montrer que dans ces conditions : )()(' 50 titi Hzee ≈ (en considérant la composante du courant

engendrée par la source v seule négligeable par rapport à ) )(' ti e )(te )(50 ti Hze

Quel est, dans ces conditions, la valeur du facteur de puissance de la source ? )(' tv e e) La ligne présente en réalité une résistance interne « r ». La valeur de « r » est telle que la chute de tension dans celle-ci est négligeable par rapport à la tension . (L’étude précédente n’est donc pas remise en cause).

)(tve

Que peut-on dire des pertes joule en ligne en présence du filtre par rapport aux pertes joule en ligne en l’absence du filtre ?

C - CHARGE TRES INDUCTIVE ET MODULATION EN SINUS

Le convertisseur suivant met en relation une source de tension alternative sinusoïdale 50 Hz et une charge inductive non réversible en courant ayant un comportement équivalent à une source de courant constant. chI

La commande de l’interrupteur k est obtenue par une « modulation sinusoïdale » : Lorsque le signal triangulaire modulant est inférieur à l’image de ve redressé : k est fermé. Il est ouvert dans le cas contraire.

Ich

k

ie

ve (Pour simplifier la construction graphique, on a limité ci dessous la fréquence du signal modulant à 30x50 Hz, alors qu’en réalité, elle est de 25 kHz.)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 22 -

T

0

t

ve

T 0 t

Signal triangulaire modulantAmplitude 1

ie

0

Ich

image de ve redressé Amplitude α

1 α

0

is Ich

vch = ve si k est fermé vch = - ve si k est fermé

a) Représenter l’allure de . )(tis En appliquant le principe de la conservation de la puissance électrique instantanée, en déduire le graphe de . )(tie b) ) présente deux particularités qui permettent de simplifier le calcul de sa série de Fourier. Quelles sont ces deux particularités, et quelles en sont les conséquences ?

(tie

c) On peut démontrer que, outre son fondamental, ( )tI .cos.. max ωα à 50 Hz, la série de Fourier de

ne comporte pas d’harmoniques de rangs faibles. )(tie Conclure sur l’intérêt d’ajouter au montage un filtre LC du type utilisé dans la question B.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 23 -

Chap 6. Exercice 4 : Pont redresseur triphasé à diodes débitant sur une charge capacitive

Voici l’allure du courant dans une phase de la ligne triphasée équilibrée en entrée du pont de diodes:

D1 D2 D3

D’1 D’2 D’3

C750µF

Ich

5 A

0

0A

10A

20A

30A

-30A

-20A

-10A

iA

10uH 10uH

10uH vA

vBvC

iA

is

vch

Dans la série de Fourier de i )(tA , certains harmoniques sont absents, lesquels ? (Justifier en quelques mots)

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 24 -

)(t

Chap 6. Exercice 5 : Harmoniques dans une ligne triphasée avec des charges

équilibrées non linéaires A) Une ligne monophasée alimente un variateur de vitesse absorbant un courant non sinusoïdal. L’étage d’entrée du variateur est constitué d’un pont redresseur à diodes avec un filtrage capacitif. Pour cet étage d’entrée, le reste du convertisseur est équivalent à une source de courant continu absorbant un courant de 2,3 A. Une source de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace 235 V et de fréquence 50 Hz alimente le montage. La ligne d’alimentation présente une résistance interne de 3 Ω et une inductance équivalente de 5 mH:

D1 D2

D3 D4

C1 700µF

DC = 2.3 AR1

3 Ω

L1 5mH VA

330 V / 50 Hz

iA

I1

La tension vA et le courant )(tiA sont représentés ci-dessous ainsi que le spectre d’amplitude de la série de Fourier de i )(tA .

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-10A

0A

10A iA

0Hz 50Hz 100Hz 150Hz 250Hz 350Hz 450Hz 550Hz0A

2.5A

5.0A

-400V

0V

400VVA

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 25 -

Pourquoi le courant i )(tA ne présente-t-il pas d’harmoniques aux fréquences 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz… ? Calculer la valeur efficace de )(tiA et son taux de distorsion harmonique (THDf). Estimer le facteur de déplacement (cos(ϕ1) ou DPF) et le facteur de puissance de la ligne (au niveau de )(tvA ). Calculer la puissance active fournie par la source )(tvA . Vérifier ce dernier résultat à partir d’une estimation de V moyC1

Calculer les pertes joule dans la ligne d’alimentation. B) Sur une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée en tensions, on ajoute un second variateur de vitesse de même type (On suppose que les deux variateurs fonctionnent dans les mêmes conditions).

D1 D2

D3 D4

C1 700µF

I1 DC = 2.3 A R1

3 Ω

R2

L1 5mH VA

330 V / 50 Hz

VB D5 D6

D7 D8

C2

iN

DC = 2.3 A

700µF

L2 5mH

iA

3 Ω iB

330 V / 50 HzI2

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-400V

0V

400V VB VA

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-10A

0A

10A iA iB

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 26 -

N

N

N

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-10A

0A

10A

iN

Sachant que i , déterminer le spectre harmonique du courant i . En déduire

. )()()( titit BAN += )(t

effNI

C) Sur une ligne triphasée alternative sinusoïdale équilibrée en tensions, on ajoute un troisième variateur de vitesse de même type (On suppose que les trois variateurs fonctionnent dans les mêmes conditions).

D1 D2

D3 D4

C1 700µF

I1 DC = 2.3 A R1

3 Ω

R2

R3

L1 5mH VA

330 V / 50 Hz

VB

VC

D5 D6

D7 D8

C2I2 DC = 2.3 A

700µF

L2 5mH

D9 D10

D11 D12

C3

iN

330 V / 50 Hz

DC = 2.3 A

700µF3 Ω

L3 5mH

3 Ω 330 V / 50 Hz

iC

iB

iA

I3

Représenter i sur le graphe ci-après. )(tDéterminer le spectre harmonique du courant i . En déduire . )(t effNI

Déterminer le facteur de puissance de la ligne (au niveau de v )(tA , et ). )(tvB )(tvC

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 27 -

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-400V

0V

400V VCVB VA

0ms 10ms 20ms 30ms

0ms 10ms 20ms 30ms 40ms-10A

0A

10A iA iCiB

40ms-10A

0A

10A iA iCiB

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 28 -

Chap 6. Exercice 6 : Onduleur de courant triphasé

L'onduleur de courant ci-contre est alimenté par une source de courant ie(t) > 0 dont on négligera l'ondulation.

v1

v2

v3

i1

i2

i3

u12

u23u31

ie ≈ Io = constante

ve

vT1 T1

T’1

T2

T’2

T3

T’3

( constante)( =≈ Iotie ). Les interrupteurs électroniques sont supposés parfaits: courant nul à l'état bloqué, tension nulle à l'état passant et commutation instantanée.

L'onduleur débite dans une source de tensions alternatives sinusoïdales d’amplitude V , triphasées équilibrées parfaites (c'est à dire sans impédance interne).

a) On donne les intervalles de conduction des interrupteurs sur la page suivante. Représenter sur cette même page, le graphe des courants , et . )(1 ti )(2 ti )(3 ti b) Sur le graphe de , représenter le graphe de son harmonique fondamental . (sachant

que l'amplitude de ce fondamental est

)(1 ti )(1 ti f

IoIoI f .1,13..21 ==

π ).

Quel est le déphasage ϕ de par rapport au fondamental de ? )(1 tv )(1 ti f )(1 ti

Sans faire aucun calcul, on sait que dans les séries de Fourier des courants , et certains harmoniques sont nuls. Préciser le rang des harmoniques nuls en le justifiant en quelques mots.

)(1 ti )(2 ti )(3 ti

Après avoir rappelé la relation entre la valeur efficace d’un signal et la valeur efficace de ses harmoniques, montrer, sans faire aucun calcul, que la valeur efficace de est telle que effI1 )(1 ti

3.2.3

.23..2

1IoIoI eff ππ

=>

Calculer maintenant la valeur efficace de . effI1 )(1 ti

c) Calculer la puissance active reçue par la source v1 en fonction de V1P ˆ et (On pourra procéder à partir de la définition de la puissance active (sous forme d’une intégrale), ou utiliser le résultat d’un des cas particuliers vus dans le cours).

Io

d) Connaissant les intervalles de conduction des interrupteurs et les tensions v1(t), v2(t) et v3(t), représenter le graphe de ve(t) sur la feuille de réponse. Déterminer en fonction de VmoyeV ˆ .

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 29 -

Io

- Io

Io

- Io

Io

- Io

0

0

0

i1

v1 v2 v3

t

u12 u23 u31u13 u21 u32 u12 u32

t

T1 fermé T2 fermé T3 fermé T3 fermé

T’3 fermé T’1 fermé T’2 ferméT’2 fermé T’1 fermé

i2

i3

V

U

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 30 -

Chap 6. Exercice 7 : Puissance instantanée et harmoniques en triphasé équilibré Spectre des courants d'entrée d'une structure triphasée équilibrée: transformateur triphasé + pont redresseur triphasé débitant sur une charge très inductive.

ic ≈ Io = cteia

ib

ic

va

vb

vc

a

b

c

Neutre

transformateurtriphasé

Pontredresseurtriphasé

Luc

* Les tensions , et sont alternatives sinusoïdales triphasées équilibrées de sens

direct, de période T et de pulsation

)t(va )t(vb )t(vc

ω ππ

= =22

. fT

tels que )t.sin(.V)t(va ω= .

* Les courants , et forment un système triphasé équilibré (10) de sens direct. )t(ia )t(ib )t(icLe neutre n’est pas relié.

( ) ( ) ( )ia I t I t I n tt n( )$ .sin . $ .sin . ... $ .sin . ...= − + − + + −1 1 2 22ω ϕ ω ϕ ω ϕ n +

ib I t I t I n tt n n( )$ .sin . $ .sin . . ... $ .sin . . ...= − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢

⎦⎥ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢

⎦⎥ +1 1 2 2

23

223

23

ωπ

ϕ ωπ

ϕ ωπ

ϕ

ic I t I t I n tt n n( )$ .sin . $ .sin . . ... $ .sin . . ...= − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢

⎦⎥ + + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢

⎦⎥ +1 1 2 2

43

243

43

ωπ

ϕ ωπ

ϕ ωπ

ϕ

a) Pourquoi la valeur moyenne des courants est-elle nulle ? b) Exprimer la puissance instantanée transportée par la ligne triphasée sous la forme:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ........cos.2

I.V.3.....cos.

2I.V.3

.....cos.2

I.V.3

.....cos.2

I.V.3.....cos.

2I.V.3cos.

2I.V.3)t(p

88

77

55

44

22

11

e

+−−−+−−

−+−−=

ϕϕϕ

ϕϕϕ

c) Montrer que si le neutre n'est pas relié au transformateur triphasé, les harmoniques des courants

, et de fréquence 3f et multiples de 3f sont nuls. )t(ia )t(ib )t(ic(On peut donc en déduire que dans ce cas, l'expression de pe(t) prend en compte tous les harmoniques des courants)

(10 ) Mais pas alternatif sinusoïdal...

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 31 -

d) La charge du pont redresseur reçoit une puissance instantanée Io).t(u)t(i).t(u)t(p cccc == . • Si la tension est de période T/3 (par exemple avec un montage P3) )t(uc

⎟⎟

⎜⎜

⎛++=⇒ ∑

=1kk3k3c )t.k3sin(.U.IoUc.Io)t(p αω

⇒ Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 3ω, 6ω, 9ω, 12ω,...etc • Si la tension est de période T/6 (par exemple avec un montage PD3 à 6 thyristors) )t(uc

⎟⎟

⎜⎜

⎛++=⇒ ∑

=1kk6k6c )t.k6sin(.U.IoUc.Io)t(p αω

⇒ Dans ce cas la fonction puissance instantanée dans la charge ne contient en plus de sa valeur moyenne que des harmoniques de pulsation 6ω, 12ω, 18ω, 24ω,...etc • On suppose le transformateur triphasé idéal (résistances des bobinages négligeables, pertes fer

négligeables, fuites négligeables, inductances principales infinies). On suppose également que le transformateur est couplé sans neutre au primaire (11) et le pont redresseur idéal (pertes nulles).

Sachant que la puissance instantanée est conservative, en déduire par identification de et

que: )t(pe

)t(pc -- Si est de période T/3, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 ; 2 et/ou 4 ; 5 et/ou 7 ; 8 et/ou 10 … etc

)t(uc

-- Si est de période T/6, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 ; 5 et/ou 7 ; 11 et/ou 13 ; 17 et/ou 19 … etc

)t(uc

-- Si est de période T/12, les courants en ligne ne comportent que des harmoniques de rang 1 … etc (Préciser…)

)t(uc

⇒ Plus la période de la tension de sortie du pont redresseur sera faible par rapport à la période de la tension d'alimentation de la ligne triphasée (plus l'ordre du redressement sera élevé), et plus les harmoniques présents dans les courants de ligne seront d'ordre élevé, et donc plus leur filtrage sera facile. (11) Si le primaire comporte un fil neutre, et que les courants secondaires présentent des harmoniques homopolaires (harmoniques 3 et multiples de 3) (cela suppose un neutre au secondaire), les courants primaires peuvent présenter des harmoniques homopolaires sans influence sur la puissance instantanée. Ces harmoniques homopolaires peuvent être étudiés séparément par la méthode des composantes symétriques et le théorème de superposition.

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 32 -

10 REPONSES AUX QUESTIONS DU COURS

Réponse 1:

u

t

Valeur moyenne

0 t

i Retour

Réponse 2: * : tetanconsV)t(v o == moyomoyo I.V...0...00I.VP =+++++=

* : tetanconsI)t(i o == omoyomoy I.V...0...00I.VP =+++++= * ) et alternatifs sinusoïdaux de même période ; t(v )t(i ( ) ( )ϕϕ cos.I.V...0...0cos.I.V0P effeff1eff1eff1 =+++++=

* ) alternatif sinusoïdal et périodique de même période : t(v )t(i( ) ( )1eff1eff1eff1eff1 cos.I.V...0...0cos.I.V0P ϕϕ =+++++=

* ) alternatif sinusoïdal et périodique de même période : t(i )t(v( ) ( )1effeff11eff1eff1 cos.I.V...0...0cos.I.V0P ϕϕ =+++++=

Retour

PowerElecPro Chapitre 6 - Puissance et harmoniques - 33 -

Réponse 3: Fig1 : le régime est alternatif sinusoïdal : le facteur de puissance est donc :

( ) ( ) 10coscos1 === ϕk Fig2 : le régime est alternatif sinusoïdal : le facteur de puissance est donc :

( )21

3coscos2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

πϕk

Fig3 : L’harmonique fondamental du courant est déphasé de 3π

− par rapport à la tension. De

plus, le courant présente des harmoniques autres que le fondamental. Mais sa valeur moyenne est

nulle. Donc : ( ) ( )

21

3coscos

1

cos3312

13 <⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−<⇒<

+= kk

THDk

f

πϕϕ

Fig4 : L’harmonique fondamental du courant est déphasé de 3π

− par rapport à la tension. De

plus, le courant présente des harmoniques autres que le fondamental, et sa valeur moyenne est

non-nulle. Donc : ( )

( )( )

21

1

cos3

22

1

21

4 <<

++

= k

THDI

Ik

feff

moy

ϕ

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