GELE5223_Chapitre1

GELE5223 Chapitre 1 :Propagation d’ondes

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Universite de Moncton

Automne 2010

Gabriel Cormier (UdeM) GELE5223 Chapitre 1 Automne 2010 1 / 66

Introduction

Contenu

Contenu

Revision des concepts de base : ligne de transmission

Coefficient de reflexion

Abaque de Smith

Desadaptation a la source


Lignes de transmission

Ligne de transmission

Structure pour guider des ondes electromagnetiques

Exemples :

Cable coaxialFil de cuivreLigne microruban

Une onde EM prefere se propager sur des centaines de km plutot quetraverser quelques mm d’isolant.


Lignes de transmission Cable coaxial

Cable coaxial

Le type le plus commun.

conducteur

diélectrique


Lignes de transmission Deux fils

Deux fils

De moins en moins utilise.

conducteurs


Lignes de transmission Plaques paralleles

Plaques paralleles

Peu utilise, mais utile dans certains cas.

conducteurs


Lignes de transmission Microruban

Microruban

Le type le plus commun pour les circuits integres.


Lignes de transmission Coplanaire

Coplanaire

Le deuxieme type le plus commun pour les circuits integres.


Lignes de transmission Modelisation

Modelisation d’une ligne de transmission

+

−v(z, t)

i(z, t)

∆z z

On analyse une petite section

∆z de la ligne.

On utilise deselements ideauxpour modeliser laligne.

− −

+

R∆z L∆z+

G∆z C∆zv(z, t) v(z + ∆z, t)

∆z



Modelisation

Dans le modele precedent,

R = resistance en serie [Ω/m]. Represente les pertes du conducteur.

L = inductance en serie [H/m].

G = conductance parallele [S/m]. Represente les pertes dudielectrique.

C = capacitance parallele [F/m].

Dans une ligne sans pertes, R = G = 0.



Modelisation

On relie la tension et le courant a z et z + ∆z, et dans la limite ou∆z → 0, on obtient :

dV (z)

dz= −(R+ jωL)I(z)

dI(z)

dz= −(G+ jωC)V (z)



Modelisation

On solutionne :

d2V (z)dz2

− γ2V (z) = 0

d2I(z)dz2

− γ2I(z) = 0

V (z) = V +0 e−γz + V −0 e

γz

I(z) = I+0 e−γz + I−0 e

γz

ouγ = α+ jβ =

√(R+ jωL)(G+ jωC)



Impedance caracteristique

Lien entre la tension et le courant :

Z0 =V +0

I+0=R+ jωL

γ=

√R+ jωL

G+ jωC

L’impedance caracteristique Z0 represente le rapport entre la tension et lecourant sur la ligne.



Longueur d’onde

Represente la distance parcourue par une sinusoıde pendant 1 periode.

λ =2π

β

La longueur d’onde est reduite dans un dielectrique.

λg =λ0√εr

ouλ0 =

c

f



Vitesse de phase

Represente la vitesse a laquelle se deplace un point de phaseconstante.

vp =ω

β= λgf

La vitesse de phase est reduite dans un dielectrique.

vp =c√εr



Ligne sans pertes

R = G = 0

Les equation se simplifient :

Z0 =

√L

C(Z0 est reel)

γ = jβ = jω√LC

On obtient aussi :

β = ω√LC λ =

2π

ω√LC

vp =1√LC



Parametres des lignes de transmission

Ligne coaxiale 2 fils Plaques paralleles Unite

Lµ

2πln

(b

a

)µ

πcosh−1

(D

2a

)µd

wH/m

C2πε′

ln(b/a)

πε′

cosh−1(D/2a)

ε′w

dF/m

RRs

2π

(1

a+

1

b

)Rs

πa

2Rs

wΩ/m

G2πωε′′

ln(b/a)

πωε′′

cosh−1(D/2a)

ωε′′w

dS/m



Parametres des lignes de transmission

La constante dielectrique d’un milieu peut etre complexe :

ε = ε′ − jε′′ = ε′(1− j tan δ)

ou

tan δ est le facteur de pertes dielectriques,ε′ = εrε0ε′′ = ε′ tan δ



Resistance de surface

Rs est la resistance du conducteur en supposant que tout le courantcircule a une profondeur egale a la profondeur de penetration δs.

Rs =1

σδs=

√ωµ

2σ



Effet de peau

Plus la frequence augmente, plus le courant circule pres de la surfaced’un conducteur.

La densite de courant diminue en se rapprochant du centre duconducteur.

La profondeur a laquelle la densite atteint 37% (1/e) de sa valeur a lasurface est :

δs =1

α=

1√πfµσ



Transport de puissance

Ligne sans pertes :

puissance transportee par les champs electriques et magnetiquesaucune puissance transportee dans les conducteurs.

Ligne avec pertes :

une partie de la puissance entre dans le conducteurdissipation sous forme de chaleur.


Theorie des lignes de transmission


Comment integrer une ligne de transmission dans un circuit ?

Quel est l’impact sur les composantes ?

L’effet principal est la reflexion d’onde.



Ligne sans pertes terminee par une charge

On applique une onde V +0 e−jβz a la ligne, a z < 0.

V +0 e−jβz

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0, β

V (z), I(z)



Ligne sans pertes terminee par une charge

Le rapport tension-courant sur la ligne est egal a Z0.

A la charge, si ZL 6= Z0, il faut que le rapport tension-courant soitegal a ZL. Que se passe-t’il ?

Une partie de l’onde est reflechie sur la ligne pour que le rapporttension-courant a la charge soit ZL.



Tension sur la ligne

L’onde reflechie est : V −0 ejβz

L’onde totale sur la ligne :

V (z) = V +0 e−jβz + V −0 e

jβz

V +0 se propage vers la charge (onde incidente),V −0 se propage vers la source (onde reflechie)


Theorie des lignes de transmission Coefficient de reflexion


Le coefficient de reflexion est le rapport entre l’onde reflechie et l’ondeincidente :

Γ =V −0V +0

=ZL − Z0

ZL + Z0

et donc : −1 ≤ Γ ≤ 1.


Γ =ZL − Z0

ZL + Z0




La tension sur la ligne est :

V (z) = V +0

(e−jβz + Γejβz

)

Tension max sur la ligne : Vmax = |V +0 |(1 + |Γ|)

Tension min sur la ligne : Vmin = |V +0 |(1− |Γ|)



Rapport d’onde stationnaire

C’est le rapport entre Vmax et Vmin.

SWR =VmaxVmin

=1 + |Γ|1− |Γ|

1 ≤ SWR ≤ ∞SWR = Standing Wave Ratio



Puissance

Puissance moyenne sur la ligne :

Pavg =1

2

|V +0 |2

Z0

(1− |Γ|2

)La puissance moyenne est constante et independante de z.

Si ZL 6= Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute a lacharge. Ce sont les pertes par reflexion :

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| [dB]

RL = Return Loss



Pertes de desadaptation

Represente combien de gain de plus on aurait si la charge etait adaptee(ZL = Z0) :

ML = −10 log(1− |Γ|2

)[dB]

ML = Mismatch Loss


Theorie des lignes de transmission Exemple

Exemple

Soit une charge avec un SWR = 1.5. Calculer le RL et ML.

|Γ| = SWR− 1

SWR+ 1= 0.2

RL = |Γ|2 = −20 log |Γ| = 0.04 = 14 dB

ML = 1− |Γ|2 = −10 log(1− |Γ|2

)= 0.96 = 0.18 dB

Selon les chiffres, 4% de la puissance est reflechie et 96% est absorbee parla charge. Si la charge etait adaptee, on aurait 0.18dB de puissance deplus a la charge.


Theorie des lignes de transmission Impedance d’une ligne

Impedance d’une ligne de transmission

L’impedance vue a l’entree de la ligne de transmission :

Impedance de la ligne

Zin = Z(−l) = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

ZLZ0, β

Zinl



Impedance d’une ligne de transmission

Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

Equation tres importante : la ligne transforme l’impedance de lacharge.

Plusieurs cas speciaux :

Charge : circuit ouvert, court-circuitLongueur : λ/4, λ/2, infinie



Exemple

Soit une ligne de transmission de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche unecharge de 75Ω sur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?

βl =

(2π

λ

)(0.3λ) = 0.6π

ZLZ0, β

Zin0.3λ

Zin = Z0ZL + jZ0 tan(βl)

Z0 + jZL tan(βl)

= 5075 + j50 tan(0.6π)

50 + j75 tan(0.6π)

= 35.2 + j8.6 Ω

L’impedance de la ligne est reelle, l’impedance de la charge est reelle, maisl’impedance d’entree est complexe.



Exemple : Implications

Selon l’exemple precedent, on peut faire l’equivalence suivante :

Vg

Zs

75Ω Z0 = 50Ω

source

Vg

Zs

source

Zin 35.2+j8.6Ω

Du point de vue de la source, rien n’a change. L’equivalence est seulementvalide a la frequence calculee.



Exemple : a faible frequence

On reprend l’exemple, mais a faible frequence : f = 1kHz, et l = 5cm(longueur commune sur planchette).

Vg

Zs

75Ω Z0 = 50Ω

source

5cm

λ =c

f=

3× 108

1× 103= 3× 105

βl =2π

λl = 2π

5× 10−2

3× 105= 1.05× 10−6

Zin = 5075 + j50 tan(1.05× 10−6)

50 + j75 tan(1.05× 10−6)

= 75− j0.0006 Ω

La longueur de la ligne n’a pas d’importance : Zin = ZL.


Theorie des lignes de transmission Cas speciaux

ZL = 0

Avec un court-circuit (ZL = 0),

Γ = −1SWR = ∞L’equation de la ligne est :

Zin = jZ0 tan(βl)

Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impedance est inductiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impedance est capacitive



ZL = 0

Variation de l’impedance pour une ligne court-circuitee

− 54λ −λ − 3

4λ −λ2 −λ4 0−5

0

5

z

Xin

Z0



ZL =∞

Avec un circuit ouvert(ZL =∞),

Γ = 1SWR = ∞L’equation de la ligne est :

Zin = −jZ0 cot(βl)

Si 0 ≤ l ≤ λ/4, l’impedance est capacitiveSi λ/4 ≤ l ≤ λ/2, l’impedance est inductive



ZL =∞

Variation de l’impedance pour une ligne avec circuit ouvert

− 54λ −λ − 3

4λ −λ2 −λ4 0−5

0

5

z

Xin

Z0



l = λ/2

Si la ligne est de longueur λ/2,

L’equation de la ligne est :

Zin = ZL

Il n’y a pas de transformation d’impedance



l = λ/4

Si la ligne est de longueur λ/4 + nλ/2,

L’equation de la ligne est :

Zin =Z20

ZL

C’est un transformation de quart de longueur d’onde (quarter-wavetransformer).C’est un cas tres important.



Transformateur λ/4

Zin =Z20

ZL

Si ZL = 0,

Zin =∞Si ZL =∞,

Zin = 0

L’impedance de la ligne n’est pas importante.



Ligne branchee a une autre ligne

Z1Z0Ligne infinie (outerminee par Z1)

z0

Γ T

Reflexion :

Γ =Z1 − Z0

Z1 + Z0

Transmission :

T = 1 + Γ =2Z1

Z1 + Z0

Pertes d’insertion :

IL = −20 log |T |


Abaque de Smith

Abaque de Smith

Outil graphique tres utile

Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission etdes circuits micro-ondes.

Developpe en 1939 par P. Smith

C’est un graphe polaire de Γ


Abaque de Smith

Abaque de Smith


Abaque de Smith

Abaque de Smith

Developpement de l’abaque de Smith : On commence avec l’equation de

Γ :

Γ =ZL − Z0

ZL + Z0

On normalise zL = ZL/Z0 :

Γ =zL − 1

zL + 1


Abaque de Smith

Abaque de Smith

On isole pour zL :

zL =1 + |Γ|ejθ

1− |Γ|ejθ

puis on separe en parties reelles et imaginaires (Γ = Γr + jΓi).

zL = rL + jxL =(1 + Γr) + jΓi(1 + Γr)− jΓi


Abaque de Smith

Abaque de Smith

On separe les composantes reelles et imaginaire en deux equations :(Γr −

rL1 + rL

)2

+ Γ2i =

(1

1 + rL

)2

(Γr − 1)2 +

(Γi −

1

xL

)2

=

(1

xL

)2

Ce sont deux equations de cercles. Rappel :

(x− x0)2 + (y − y0)2 = r2


Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles de resistance

-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ2

i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2

i = (0.75)2

→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2

i = (0.5)2

→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5

Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2

i = (0.25)2

→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25


Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0

r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ2

i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2

i = (0.75)2

→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2

i = (0.5)2

→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5

Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2

i = (0.25)2

→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25


Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33

r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ2

i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2

i = (0.75)2

→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2

i = (0.5)2

→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5

Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2

i = (0.25)2

→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25


Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1

r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ2

i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2

i = (0.75)2

→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2

i = (0.5)2

→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5

Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2

i = (0.25)2

→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25


Abaque de Smith


-1

1

1

-1

0

r = 0 r = 0.33 r = 1 r = 3

Si rL = 0 : Γ2r + Γ2

i = 1→ Centre : (0,0), rayon = 1

Si rL = 0.33 :(Γr − 0.25)2 + Γ2

i = (0.75)2

→ Centre : (0.25,0), rayon = 0.75

Si rL = 1 :(Γr − 0.5)2 + Γ2

i = (0.5)2

→ Centre : (0.5,0), rayon = 0.5

Si rL = 3 :(Γr − 0.75)2 + Γ2

i = (0.25)2

→ Centre : (0.75,0), rayon = 0.25


Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles de reactance

-1

1

1

-1

0

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

Si xL = 0.33 :(Γr − 1)2 + (Γi − 3)2 = (3)2

→ Centre : (1,3), rayon = 3

Si xL = 1 :(Γr − 1)2 + (Γi − 1)2 = (1)2

→ Centre : (1,1), rayon = 1

Si xL = 3 :(Γr − 1)2 + (Γi − 0.33)2 = (0.33)2

→ Centre : (1,0.33), rayon = 0.33


Abaque de Smith

Abaque de Smith : cercles combines

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

On combine les cercles de resistanceet d’admittance.

Les cercles de resistance et dereactance sont orthogonaux.


Abaque de Smith Ligne de transmission

Effet d’une ligne de transmission

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

Equation d’une ligne en fonction deΓ :

Zin = Z01 + Γe−j2βl

1− Γe−j2βl

qu’on normalise :

ZinZ0

=1 + |Γ|ej(θ−2βl)

1− |Γ|ej(θ−2βl)

La difference est le facteur e−j2βl.



Effet d’une ligne de transmission

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

Le facteur e−j2βl represente unerotation de 2βl dans le sens horaireautour du centre de l’abaque.



Exemple

Soit une ligne de 50Ω, de longueur 0.3λ. On branche une charge de 75Ωsur la ligne. Quelle est l’impedance d’entree ?

-1

1

1

-1

0

r = 0.33 r = 3r = 1

j0.33

−j0.33

j1

−j1

j3

−j3

r = 0

r =∞

On normalise :

zL =ZLZ0

=75

50= 1.5 + j0

La rotation est :

θ =0.3

0.25· 180 = 216

Le nouveau point est≈ 0.7 + j0.18, ou 35 + j9 Ω


Abaque de Smith Admittances

Cercles d’admittance

-1

1

1

-1

0

g = 3 g = 0.33g = 1

j3

−j3

j1

−j1

j0.33

−j0.33

g =∞

g = 0

Pour des admittance y = g + jb, onpeut aussi tracer des cercles.




Qu’arrive-t-il si la source n’est pas adaptee a la ligne (Z0 6= Zg) ?

Zg

Vg−+

−

+

Vin

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0

Zin

ΓLΓ

Il y a reflexion a l’entree de la ligne.




Zg

Vg−+

−

+

Vin

−

+

VL

IL

ZL

z

0l

Z0

Zin

ΓLΓVin =

ZinZin + Zg

Vg

La puissance a la charge est :

P =1

2ReVinI∗in =

1

2|Vin|2Re

1

Zin

=

1

2|Vg|2

∣∣∣∣ ZinZin + Zg

∣∣∣∣2Re

1

Zin




On substitue Zin = Rin + jXin et Zg = RG + jXg,

P =1

2|Vg|2

Rin(Rin +Rg)2 + (Xin +Xg)2

On analyse deux cas. Cependant, Zg est fixe.1 Charge adaptee (ZL = Z0)2 Source adaptee (Zin = Zg)



Cas 1 : charge adaptee

ZL = Z0 ⇒ ΓL = 0

Zin = Z0,

P =1

2|Vg|2

Z0

(Z0 +Rg)2 +X2g

Pour P max, il faut que Zg soit faible.



Cas 2 : source adaptee

Zin = Zg ⇒ Γ = 0

P =1

2|Vg|2

Rg4(R2

g +X2g )

Meme si Γ = 0, il peut quand meme y avoir des ondes stationnairessur la ligne.

La puissance a la charge n’est pas necessairement plus grande que lecas 1.



Cas 2 : source adaptee

Pour maximiser la puissance :

∂P

∂Rin= 0 et

∂P

∂Xin= 0

Ce qui donne, pour un transfert maximum de puissance,

Zin = Z∗g

La puissance est alors :

P =1

2|Vg|2

1

4Rg

Γ et ΓL ne sont pas necessairement 0.


Ligne avec pertes

Ligne avec pertes

Dans le cas d’une ligne avec des faibles pertes, α 6= 0, et doncl’equation de la ligne est :

Zin = Z0ZL + Z0 tanh(γl)

Z0 + ZL tanh(γl)

ouγ = α+ jβ


Ligne avec pertes

Ligne avec pertes

Le coefficient de reflexion est :

Γ(l) = ΓLe−2γl

La puissance a l’entree de la ligne (z = −l) est :

Pin =|V +

0 |2Z0

(1− |Γ(l)|2

)e2αl

La puissance fournie a la charge est :

Pin =|V +

0 |2Z0

(1− |ΓL|2

)


Conclusion

Conclusion

Ce chapitre forme la base du cours. Il est essentiel de bien comprendretous les elements, en particulier :

Ligne de transmission : coefficient de reflexion, puissance.

Abaque de Smith : utilisation.

Cas speciaux de ligne de transmission.


Problemes suggeres

Problemes suggeres

Dans le manuel de Pozar :

2.2, 2.6 a 2.15, 2.17 a 2.25, 2.30

Et aussi les exemples du PDF.


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