GA_N7_N8_Ralentissement

8/18/2019 GA_N7_N8_Ralentissement

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Etude du ralentissement des neutrons


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1. Principes générauxNécessité de ralentir les neutrons

Le domaine épithermique est à traverser

Deux processus différents :

diffusions inélastiques dans la partie haute du domaine deralentissement (Réactions à seuil insuffisantes pour ralentir lesneutrons jusqu'au domaine thermique)

Ordre de grandeur énergie seuil diffusions inélastiques50 keV pour les noyaux lourds et de 1 MeV pour les noyaux légers

diffusions élastiques sur les noyaux légers L'énergie cinétique des neutrons est très supérieure

à celle des noyaux composant le milieu.

Ces noyaux sont immobiles et libres de toutes liaisons chimiques.

La thermalisation sera étudiée plus tard


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Objectifs à atteindre :

densité neutronique et flux neutronique en fonction de l'énergie

( ) ( )n E et EΦ

expression approchée du facteur antitrappe p

prendre en compte dans les calculs les fuites de neutrons encours de ralentissement : ce sera fait au travers d'un nouveauparamètre neutronique appelé "âge de Fermi"

décrire de manière approximative un phénomène très important

pour les réacteurs "l'autoprotection des résonances"


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2. Lois du choc élastique

2.1 Objectifs du calcul

apprécier l'efficacité du ralentissement définir les paramètres du ralentissement apprécier les caractéristiques de la déviation calculs probabilités de saut en énergie et déviation

2.2 Repères laboratoire (L) et centre de masse (CM)

dans le CM : CM immobile donc somme des quantitésde mouvement nulle

dans le L : quantité de mouvement du noyau nulle

dans les deux cas : lois de la mécanique classique :

conservation de la quantité de mouvementconservation de l'énergie cinétique


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2.3 Calculs des mouvements après choc (principes)

Repère du centre de massedéviation θθθθ

Centre de masseÉgalité des quantités de mouvement

G

Repère du laboratoiredéviation ψ

ψψ ψ

Noyau cible au reposorigine


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Position du problème : conventions

v n et v / n vitesses du neutron (CM) avant et après le choc

V 2 vitesse neutron dans le laboratoire (L) après choc

θ angle de déviation dans le centre de masse (CM)

angle de déviation dans le laboratoire (L)

A masse atomique du noyau ralentisseur

E1, E2 énergies neutron avant et après choc (L)


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Remarque et principaux résultats

Dans le repère du centre de masse, le neutron ne change pas de

vitesse au cours d'un choc élastique, seule sa direction est modifiée

Dans le centre de masse la diffusion élastique est supposée

isotrope, toutes les directions de diffusion sont alors équi-probables

α = −

+

A 1

A 1

2

( )E E

1 A 2 A cos

1 A2 1

2

2

= ⋅ + + ⋅ ⋅

+

θ

( ) ( )[ ]E E

221

= ⋅ + + − ⋅1 1α α θ cos

Après choc ⋅ ≤ ≤E E E1 2 1


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2.4 Lois de probabilité

Soit un neutron de direction initiale

ω 0

le neutron est dévié et sa direction devient

ωθ angle de déviation du neutron dans le centre de masse

Angle solide élémentaire autour de la direction du neutron

d 2 ω = sin θ⋅d θ⋅dϕ

Tous les angles ϕ sont équi-probables

dω = 2⋅π⋅sinθ⋅dθ ω = 2⋅π⋅

0

π

∫ sin θ⋅dθ = 4⋅ π


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Diffusion isotrope dans le centre de masse Densité de probabilité pour passer de

0 à

( )P

ω ω

π 0

1

4

→ =

⋅ Probabilité pour passer pour passer de ω 0 à ω à dω près

P

ω 0 →

ω

( )⋅d ω

Probabilité pour passer de E 1 à E 2 après le choc à dE 2 près

( )P E E d E1 2 2→ ⋅ Relation biunivoque : les deux probabilités sont égales

( ) ( )P E E d E P d1 2 2→ ⋅ = − → ⋅

ω ω ω 0


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On en déduit :

E 2 =E 1

2⋅ 1 + α( )+ 1 − α( )⋅cos θ[ ] ⇒ d E 2 = −

E 1

2⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅d θ

P E 1 → E 2( )⋅ E1

2

⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅dθ = P

ω 0 →

ω( )⋅dω

P E 1 → E 2( )⋅E 1

2⋅ 1 − α( )⋅sin θ⋅dθ =

1

4 ⋅ π⋅2⋅ π ⋅sin θ⋅dθ

( ) ( )P E E E1 2 1→ ⋅ ⋅ − =1 1α

( )( )

P E EE

1 2

1

→ =⋅ −

1

1 α


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Toutes les énergies E2 comprises entre αE1 et E1 équi-probables


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2.5 Perte d'énergie

Energie moyenne après choc

E E max E mini

2E1 1 1=

+= ⋅

+1

2

E E 1= ⋅ +1

2

Perte moyenne d'énergie au cours d'un choc

∆ E E E E1 1= − = ⋅ −1

2 ∆ E E 1= ⋅

−1

2

E et E∆ dépendent de la valeur E 1 énergie du neutron incident


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2.6 Angle de déviation dans le laboratoire par calcul de géométrie entre les deux repères

cos ψ =

A ⋅cos θ + 1

1 + A 2 + 2⋅ A ⋅cos θ

probabilité pour passer de l'angle initial 0 à θ

P 0 → θ( )⋅d θ = P θ( )⋅d θ P

ω 0 →

ω( )⋅dω = P θ( )⋅d θ

P θ( )⋅dθ =1

4 ⋅ π⋅2⋅ π ⋅sinθ⋅dθ


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P θ( )= 12

⋅sin θ

Tous les angles θ ne sont pas équi-probables

Valeur moyenne de l'angle de déviation dans le laboratoire

µ lab = cos ψ et µ lab valeur moyenne de cos ψ

µ lab = cos ψ 0

π

∫ ⋅P θ( )⋅dθ

0

π

∫ P θ( )⋅dθ cos ˇtant une fonction de θ


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0

π

∫ P θ( )⋅d θ = 1 ⇒ µ lab = cos ψ 0π

∫ ⋅ P θ( )⋅d θ µlab =

2

3 ⋅ A

Dans le laboratoire la diffusion n'est jamais isotrope

diffusion d'autant plus anisotrope que ralentisseur léger

Avec de l'hydrogène

A = 1 ⇒ µ =2

3

⇒ ψ ≈ 48°

Avec de l'oxygène A = 16 ⇒ µ =

2

3⋅16

⇒ ψ ≈ 88°

En théorie du transport on utilise la notion de section efficace

macroscopique de transport Σ Σ Σtr t s= − ⋅


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3. Grandeurs caractéristiques du ralentissement

3.1 Nouvelle variable : Léthargie

Les énergies avant et après le choc sont liées

( ) ( )[ ]

E

E

1

2

2

1 = ⋅ + + − ⋅1 1α α θ cos

( ) ( )∆ E E E E

21 2

1= − = ⋅ − ⋅ −1 1α θ cos

Cette perte d'énergie dépend de l'énergie initialenouveau paramètre d'étude indépendant de l'énergie initiale.

La léthargie est définie par :

u Log E

Eref =

⇒ = ⋅

−E E eref u

A une certaine énergie E correspond une certaine léthargie u.


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Quand l'énergie diminue en cours de ralentissement

la léthargie augmente

d u d E

E

= −

⇒ = − ⋅ ⋅−d E E e d uref u

E ref

E

E

u

0

u

0


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3.2 Gain de léthargie

∆ u u u Log E

ELog

E

ELog

E

E2 1

ref

2

ref

1

1

2

= − =

−

=

( ) ( )[ ]∆ u Log= − + + − ⋅

≥

1

21 1 0α α θ cos

La léthargie augmente

Cette augmentation ne dépend que de l'angle de déviation

et de la masse du noyau ralentisseur

θ = ⇒ =0 u∆ 0

θ π α α

= ⇒ = − =∆ u Log Log 1

maximal


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3.3 Lois de probabilité

Changements de variable

relation biunivoque ( ) ( )Φ ΦE d E u d u⋅ = − ⋅

d u d EE

= − ⇒

( ) ( )E E u⋅ =Φ Φ

( ) ( )P E E d E P u u d u1 1→ ⋅ = − → ⋅

( ) ( )1

1EE e d u P u u d u

1

ref

u

1−

⋅ ⋅ ⋅ = → ⋅−

α

( ) ( )e

1 e P u u

u

u

1

1

− ⋅ = →−

α

( )

( )

( )P u u e

11

u u 1

→ = −

− −

α

La probabilité n'est plus uniforme, elle dépend de u1


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3.4 Paramètre de ralentissement

Perte moyenne d'énergie ou gain moyen en léthargie

( ) ( )

( )

ξ α

α

= =− ⋅ → ⋅

→ ⋅

+

+

∫∫

∆ u moyenu u P u u d u

P u u d u

1 1u

u Log

1

u Log

1

1

1

1

1

1u

u u 1− représente le gain en léthargie au cours du choc

( )P u u d u1u

u Log

1

1

→ ⋅ =+

∫1

1α

( )ξ α = − ⋅ →

⋅

+

∫ u u P u 1 u d u1u

1

u1

Log 1


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v u u d v d u1= − → =

u u v 01= → =

u u Log v Log1= + → =

1 1

α α

ξ α α

= − ⋅ ⋅ ⋅

−

∫

1

1 0

1

v e d v

vLog

ξ α

α = +−

⋅11

Log

ξ ne dépend que de et de la masse du noyau ralentisseur

Comme le neutron gagne en moyenne une certaine léthargie ξ aucours d'un choc, le nombre moyen de chocs nécessaires pour faire

passer un neutron de l'énergie E 1 vers E 2 sera

( )N E , E u Log E

E1 2

1

2

⋅ = =

ξ ∆

( )N E ,E LogE LogE1 21 2= −

ξ


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3.5 Densités de collision

densité de collision de diffusion

( ) ( ) ( )Fs

E E Es= ⋅Σ Φ

densité de collision totale:

( ) ( ) ( )Ft

E E Et= ⋅Σ Φ

nombre d'interactions par unité de volume et de temps

3.6 Courant de ralentissement

Nombre de neutrons qui passent de toutes les énergies E’ > Eà toutes les énergies E’’ < E par unité de temps et de volume

0 E '' E E '


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4. Equations du ralentissement en milieu infini

4.1 Equation du bilan en milieu infini

régime permanentmilieu diffusant et absorbant, comportant des sources

pas de remontée en énergieproblème sans variable espace

Bilan dans une bande d'énergie

[ ]E , E d E+ apparitions = disparitions

apparitions = sources + diffusions de E / vers E

disparitions = absorptions + diffusions de E vers E /

0 E '' E E + dE E '


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Apparitions

sources : ( )S E d E⋅ diffusions de E’ vers E :

nombre de neutrons diffusés dans [ ]E ' , E ' d E '+ par s et cm3

( ) ( )Σ Φs E ' E ' d E⋅ ⋅ ' proportion des neutrons arrivant dans [ ]E , E d E+

( )P E ' E d E→ ⋅

neutrons diffusés de [ ]E ' , E ' d E '+ arrivant en [ ]E , E d E+

( ) ( ) ( )Σ Φs E ' E ' d E ' P E ' E d E⋅ ⋅ ⋅ → ⋅

intégration sur toutes les énergies de départ E’

dE⋅ Σ sE

∞

∫ E/( )⋅Φ E /( )⋅P E /→E( )⋅dE / = dE⋅ FsE∞

∫ E /( )⋅P E /→E( )⋅dE /


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Disparitions

nombre de neutrons qui disparaissent de [ ]E , E d E+

par diffusions ou absorptions

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )Σ Σ Φ Σ Φa s t tE E E d E E E d E F E d E+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )F E S E F E ' P E ' E d E 't sE

= + ⋅ → ⋅∞

∫

Equation du bilan de ralentissement (première forme)

" densité d'arrivée "( ) ( ) ( )F E ' P E ' E d E ' Es

E⋅ → ⋅ =

∞

∫ ρ

( ) ( ) ( )F E S E Et = + ρ


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4.2 Courant de ralentissement (seconde forme)

neutrons qui passent de E ' E> à E ' ' E< par s et cm3

0 E '' E E ' En variable énergie

diffusés dans [ ]E ' ,E ' d E '+ ( ) ( ) ( )Σ Φs sE ' E ' d E ' F E ' d E '⋅ ⋅ = ⋅

proportion arrivant dans [ ]E '' , E ' ' d E ' '+ ( )P E ' E ' ' d E ' '→ ⋅ intégration sur les énergies de départ E’ et d'arrivée E’’

( ) ( ) ( )q E d E ' F E ' P E ' E ' ' d E ' '0

E

sE

= ⋅ → ⋅∫∫∞


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En variable léthargie

( ) ( ) ( )q u du' F u' P u' u' ' du' 'u

s

u

= ⋅ → ⋅∞

−∞ ∫∫

On utilise parfois la notation symbolique

( ) ( )q u u= R Φ

R opérateur de ralentissement

indépendant des sources et des absorptions


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4.3 Calcul de la dérivée du courant de ralentissement

Variable énergie

( ) ( ) ( )q E d E ' F E ' P E ' E ' ' d E ' '0

E

sE

= ⋅ → ⋅∫∫∞

( ) ( ) ( ) ( )F E S E E Et = + ρ ρ étant la densité d'arrivée.

( )( ) ( )

d q E

d E

E F Es= − ρ

avec ( ) ( ) ( ) ρ E F E S Et= −

dq E( )d E

= Σ a E

( )⋅Φ E

( )− S E

( )pas de source et Σ a = 0 ⇒ q E( )= Cste


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Raisonnement physique

( ) ( ) ( ) ( )d q E S E d E E E d Ea+ ⋅ = ⋅ ⋅Σ Φ


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En variable léthargie

la léthargie augmente quand l'énergie diminue

la dérivée du courant de ralentissement en léthargie est différente

dq u( )

d u

= S u( ) − Σ a u( )⋅Φ u( )

Pas de source et Σ a = 0 ⇒ q u( )= cste.


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5. Résolution de l'équation du ralentissement

5.1. Hypothèses

source de neutron uniquement à E 2 MeV0 =

valeur de référence pour les léthargies : u = 0.

Les neutrons sont ralentis uniquement par diffusions élastiques

La densité de probabilité de transfert en énergie vaut :

( )( )

P E ' EE '

→ =⋅ −

1

1 α

Pas de remontée en énergie comme dans le domaine thermique


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5.2 Equations

0 E E0

E'' E'

Densité totale de collision et courant de ralentissement

( ) ( )

( )

F E F E ' 1

E ' 1

d E 't sE

E 0= ⋅

⋅ −

⋅∫ α ∀


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Résolution des équations suivant le milieu ralentisseur

Milieu léger tel que l'hydrogène ou lourd tel que le carbone.

Milieu absorbant ou non absorbant.

5.3 Milieu hydrogène non absorbantLe milieu ralentisseur est de l'hydrogène : A 1= ⇒ = 0 .

Le milieu est non absorbant : ( ) ( )Σ a t s0 F E F E= ⇒ = .

équation (1) :( ) ( )F E F E '

1

E 'd E 's s

E

E 0= ⋅ ⋅∫

équation (2) :( ) ( )q E d E ' F E ' 1

E 'd E "

E

E

s0

E0= ⋅ ⋅∫ ∫


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( ) ( )Nous pouvons exprimer q E en fonction de F E

s :

( ) ( ) ( )q E F E ' d E '

E 'd E " E F E '

d E '

E 's

E

E

0

E

sE

E0 0= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

( ) ( )q E E F Es= ⋅

L'hydrogène voit son énergie après choc varier de 2 MeV à 0. Les

bornes d'intégration du courant de ralentissement et de la densité decollision sont exactement les mêmes que celles données dans le

paragraphe B.


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Densité de collision ( )F Es

( ) ( ) ( ) ( )

F E F E ' 1

E 'd E '

d F E

d E

F E

Es s

E

E s s0= ⋅ ⋅ ⇒ = −∫

( )

( ) ( )⇒ = − ⇒ =

d F E

F E

d E

EF E

cste

E

s

s

s

La limite ( )q E S0 = fixe la constante

( ) ( )q E S E F E cste cste S0 0 s 0= = ⋅ = ⇒ =

( )F E SE

s = et ( )q E S=


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Dans un milieu non absorbant, le courant de ralentissement est

une constante. Tous les neutrons produits par fission à l'état rapide parviennent dans le domaine thermique.

Expression du flux

( ) ( ) ( )F E E E S

Es s= ⋅ = ⇒Φ Σ ( ) ( )

ΦΣ

E S

E Es=

⋅

( ) ( )Σ ΦΣ

s

s

E cste E S

E≈ ⇒ ≈

⋅

Dans un milieu hydrogène, non absorbant, le flux varie en1

E


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5.4 Milieu ralentisseur lourd : carbone non absorbant

Densité de collision de diffusion :

( ) ( )F E F E 'E

d E 's s= ⋅−

⋅∫ 1

'(1 )α

l’énergie du neutron passe de E’ à E avec .E' E E'≤ ≤ .

( ) ( )si E E : F E F s E ' E d E0 s EE 0≥ ⋅ = ⋅

−⋅∫α α

1'(1 )

'

( ) ( )si E E : F E F E 'E'

d E0 s sE

E

≤ ⋅ = ⋅−

⋅

∫α

α

α 1

(1 )'

/

pas de solution globale s’exprimant de façon analytique simple


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L’équation doit être résolue de proche en proche dans les intervalles

( )E E0 , . ,α 0 ( ).E E0α α , . ,2

0 ..., ( ) E En

0

n+1

α α , . 0 conduisant à une fonctiondiscontinue en α .E 0 (discontinuités de Placzeck). Cette solution tendrapidement vers une solution dite asymptotique.

En variable léthargie : A 12= ⇒ = ⇒ =0 716 0 158, ,

le gain en léthargie est compris entre : 0 1

≤ ≤ =∆ u Log α ε

ε gain maximum en léthargie

avec le carbone : 0 0 33≤ ≤∆ u ,

avec de l'hydrogène : 0 ≤ ≤ + ∞∆ u


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Pour des neutrons qui viennent d'être émis par la source :

ε est le gain maximum en léthargie au cours d'un choc.pour u ≤ ε nous avons des neutrons ayant subi un ou plusieurs chocs

pour u > ε les neutrons ont tous subi au moins deux chocs

La densité de collision ( )F Es présente une discontinuité en u = ε .

Les équations du ralentissement n'admettent pas de solution globale,elles doivent être résolues, de proche en proche, dans les intervalles :

0 2 2 3 , , , , , ....ε ε ε ε ε ⋅ ⋅ ⋅

Ces discontinuités apparaissent avec tous les noyaux ralentisseurs

dont la masse atomique est supérieure ou égale à deux.

pour u > ⋅3 ε la solution devient asymptotique


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Cette solution est la seule qui soit intéressante du point de vue

physique, elle représente en effet le comportement des neutrons sur pratiquement tout le domaine d'énergie.

Discontinuités de Placzek

Comme les neutrons ne sont pas émis à une énergie (ou une léthargie)bien déterminée, mais suivant un spectre de fission. La solution des

équations du ralentissement est plus compliquée, puisqu'il faut alors

superposer le spectre de fission aux discontinuités de Placzek.


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5.5 Milieu carbone absorbant

carbone qui ralentit les neutrons mais ne les capture pas

uranium qui ne ralentit pas les neutrons mais les absorbe

a. Equation du ralentissement

Hypothèses

• Les neutrons sont ralentis uniquement par du carbone. La

perte d'énergie au cours d'un choc est faible et le ralentissementest considéré comme continu.

• à chaque choc un neutron gagne la léthargie moyenne ξ

• les absorptions sont faibles


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• nous sommes loin de l'énergie initiale et des transitoires de

Placzek sont amortis.

Tous les neutrons qui traversent la léthargie u sont ceux qui ontsubi une diffusion dans la bande de léthargie [ ]u − ξ , u .

Le courant de ralentissement ( )q u est considéré constant dansla bande [ ]u u− ξ , , si les absorptions sont faibles.


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Soient ( )q u neutrons dans cette bande de léthargie Ces neutrons tombent au hasard dans la bande [ ]u,u + ξ

proportion qui tombent dans la bande [ ]

u ,u d u+ égale à

d u

ξ

nombre de neutrons arrivant dans [ ]u ,u d u+ égal à ( )q u d u⋅

ξ

nombre de neutrons quittant la bande ( )F u d ut ⋅

Régime permanent = égalité entre arrivées et départs

( )q u d u⋅

ξ = ( )F u d ut ⋅


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( ) ( )q u F ut= ⋅ξ

puis en dérivant le courant de ralentissement :

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

d q u

d u u u u

F u

ua at

t= − ⋅ = − ⋅Σ Φ Σ Σ

Equation approximative du ralentissement

dans un milieu lourd absorbant

( ) ( )( ) ( )

d q u

d u

u

u q ua

t+ ⋅ ⋅ ⋅ =

Σ

Σξ 0


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b. Solution de l'équation en variable léthargie

Intégration de ( )( ) ( )

( )1

q u

d q u

d u

u

u

a

t

⋅ = −⋅

Σ

Σξ

( ) ( )( )

q u csteu '

u 'd u

a

t

u

= ⋅ −⋅

⋅

∫exp '

Σ

Σξ 0

( )q u 0 S cste S= = ⇒ = ( ) ( )

( )q u S exp u '

u 'd u '

a

t

u= ⋅ −

⋅⋅

∫ ΣΣξ 0

( )( )exp u '

u 'd u 'a

t

u

−⋅

⋅

∫ ΣΣξ 0 strictement inférieur à 1


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Facteur antitrappe de la formule des quatre facteurs

( ) ( )( )

p u expu '

u 'd u

a

t

u

= −⋅

⋅

∫

Σ

Σξ '

0

le paramètre de ralentissement ξ apparaît dans l'expression de p

Courant de ralentissement ( ) ( )q u S p u= ⋅

Densité totale de collision et flux

( ) ( ) ( )

F uq u S p u

t = =⋅

ξ ξ ( )

( )( )

( )( )

ΦΣ Σ

uF u

u

S p u

u

t

t t

= =⋅

⋅ξ

( )( )

( )( )

ΦΣ

Σ

Σu

S

uexp

u '

u 'd u '

t

a

t

u

=⋅

⋅ −⋅

⋅

∫ξ ξ 0


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c. Solution de l'équation en variable énergie

( ) ( )Φ Φu E E= ⋅ ( )

( ) ( )Φ

ΣE

S

E

1

Ep E

t

=⋅

⋅ ⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( )F E E E S 1

Ep Et t= ⋅ = ⋅ ⋅Σ Φ

ξ ( ) ( ) ( )q E E F E S p Et= ⋅ ⋅ = ⋅ξ

loi en 1E au facteur ξ près, comme pour l'hydrogène.

terme supplémentaire : facteur antitrappe.

Cette solution asymptotique représente le comportementdes neutrons après extinction des transitoires de Placzek,c'est à dire pour : E < ⋅ > ⋅α ε

3 E ou u 30


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Dans l'expression du flux apparait le pouvoir de ralentissement

( ) ( ) ( )ξ ξ ξ ⋅ = ⋅ + ⋅Σ Σ Σt a sE E E

les absorptions sont faibles donc :

( ) ( ) ( )ξ ξ ξ σ ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ ⋅Σ Σt s sE E N E

On retrouve le cas limite de l'hydrogène pour ξ = =1 0et

a

Σ

Dans le cas général, on dispose de : (1) un modérateur quelconque, (2)

Un absorbant lourd de masse finie qui peut aussi participer au

ralentissement. Les deux noyaux contribuent au ralentissement de façon complexe (enchevêtrement des domaines de ralentissement)

On est obligé de faire des approximations


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6. Ralentissement en milieu fini non absorbant

6.1 Introduction

Ralentissement en milieu fini homogèneDeux phénomènes : ralentissement des neutrons et

fuites de neutrons en cours de ralentissement

Point de départ équation de Boltzmann stationnaire

intégrée par rapport à la variable direction

variable vitesse changée en variable léthargie


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6.2 Equation du ralentissement

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0= → ⋅ ⋅∫ + − ⋅ −Σ Φ Σ Φs v ' v r, v ' d vv

S r, v t v r, v div J r, vref

'

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0= → ⋅ ⋅ + − ⋅ −∫ Σ Φ Σ Φs

u

tu ' u r, u ' d u S r, u u r, u div J r, u

'

l'intégrale n'est autre que la densité d'arrivée

( ) ( ) ( ) ρ u F r, u ' p u ' u d u 's0u

= ⋅ → ⋅∫

on remarque que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ Φ Σ Φ

s s s

u ' u r, u ' u ' p u ' u r, u ' F r, u ' p u ' u→ ⋅ = ⋅ → ⋅ = ⋅ →


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ Φsu

s

0

u

u ' u r, u ' d u F r, u ' p u ' u d u ' r, u→ ⋅ ⋅ = ⋅ → ⋅ =∫ ∫

'0

ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 = + − ⋅ − ρ

r, u S r, u u r, u div J r, utΣ Φ

( )( ) ( ) ( )

d q u

d uu u us= ⋅ −Σ Φ ρ

Dans un milieu de dimensions finies, le courant deralentissement dépend à la fois de la léthargie et de l'espace

( ) ( ) ( ) ( )∂ ∂

ρ q r, uu

u r, u r, us

= ⋅ −Σ Φ


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L'équation de Boltzmann stationnaire devient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )S r,u u r, u div J r, uq r, u

uu r, ut s

= ⋅ + + − ⋅Σ Φ Σ Φ∂

∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )S r,u u r,u div J r,u q r, uu

a

= ⋅ + +Σ Φ ∂ ∂

Première approximation : loi de Fick

( ) ( ) ( )

J r, u D u grad r, u= − ⋅ Φ

Relation courant de ralentissement / densité totale de collision

( ) ( )q r, u F r, ut

= ⋅ξ


53/88


6.3 Milieu non absorbant

( ) ( ) ( )div J r, u D u r, u

= − ⋅∆ Φ

( ) ( ) ( )q r, u F r, u puisque us a

= ⋅ =ξ Σ 0

( ) ( )

( )Φ

Σ

r, uq r, u

us=

⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )div J r,u D u r, u D u

q r, u

us

= − ⋅ = − ⋅⋅

∆ Φ ∆

Σξ

( ) ( )( )

( )div J r, u D uu

q r, us

= −⋅

⋅ξ Σ

∆


54/88


( ) ( ) ( )

( ) ( )S r, uq r,u

u

D u

u q r,us

= − ⋅ ⋅

∂

∂ ξ Σ ∆

Dans cette équation l'inconnue est le courant de ralentissement,

fonction des variables espace et léthargie

changement de variable : l'âge de Fermi

7. Age de Fermi

7.1 Définition

( )( )

τ ξ

=⋅

⋅∫0u

s

D u'

u'd u

Σ'


55/88


Signification physique

neutron dans un milieu diffusant

nombreuses diffusions : (1) ralentissement (perte d'énergie), (2)changement de direction et (3) distance parcourue

milieu ralentisseur lourd non absorbant (carbone) : le gainmoyen de léthargie à chaque choc faible

r1r2

r3 rn

r

le calcul est proposé plus loin


56/88


Observations sur le raisonnement

léthargie initiale u

gain en léthargie au cours des n chocs noté ∆ u

supposons que les sections efficaces varient peu

distance parcourue en moyenne par le neutron au cours des n chocs

( ) ( )

( )

( )∆ Σ ∆r r r r .... r

D u

u umoyen2

1 2 3 ns= + + + + =

⋅

⋅ ⋅

2 6

ξ

L'augmentation de l'âge de Fermi durant ces n chocs est définiecomme étant égale à :

( ) ( )

( )∆ ∆

Σ∆τ

ξ = ⋅ =

⋅⋅

1

6r

D u

uumoyen

2

s

Perte d'énergie moyenne (ou gain de léthargie moyen) et


57/88


Perte d'énergie moyenne (ou gain de léthargie moyen) et

distance parcourue sont reliés par la quantité ( )( )6⋅⋅

D uusξ Σ

caractéristique du milieu neutronique

on appelle âge de Fermi l'intégrale :( )

( )τ

ξ =

⋅⋅∫0

u

s

D u'u'

d u'Σ

Caractéristique neutronique du milieu considéré

L'âge ne dépend que de la composition du milieu

( )( )

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

τ ξ

τ ξ

=⋅

⋅ ⇒ = ⋅⋅

= ⋅ −− ⋅

=∫ −0u

s s1

2D u 'u '

d u D u cmcm

cmΣ Σ

'


58/88


59/88


7.2 Equation canonique de l'âge

( ) ( ) ( )

( ) ( )S r, u

q r, u

u

D u

uq r, u

s

= −⋅

⋅∂

∂ ξ Σ∆

( )( )

( )( )

τ ξ

τ ξ

=⋅

⋅ ⇒ =⋅∫0

u

s su 'd u ' d

d uD u

u D u 'Σ Σ

L'équation devient :

( ) ( )

( )S r, uq r, u

u d uq r, u

= − ⋅∂

∂

τ d ∆

tous les neutrons sont émis à ( )E 2 MeV u 0= =

( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0

= = q étant le courant de ralentissement.

En cours de ralentissement (pas de source) :


60/88


En cours de ralentissement (pas de source) :

( )( )0 = − ⋅

∂

∂

τ q r, u

u

d

d uq r, u

∆

( ) ( )0 = ⋅ −∂ ∂ τ

q r, u d u

dq r, u

u∆

( ) ( )∂ ∂ τ

q r, u q r, u

= ∆

( ) ( )∂ τ ∂ τ

τ τ q r q r pour

, ,= ≠∆ 0 ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r

= = ,0

7 3 Exemple de résolution en milieu infini


61/88


7.3 Exemple de résolution en milieu infini

source ponctuelle ( )S neutrons / s t 0=

milieu infini homogène et non absorbant

condition limite, source ponctuelle ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0

= ⋅ =δ

( )

( )

q r S

e

r 2

,τ

π τ

τ =

⋅ ⋅

⋅−

⋅

4

3

2

4

Comparable à l'équation de la chaleur

R l f d l l i


62/88


Remarques sur la forme de la solution :

infiniment loin de la source, courant de ralentissement tend vers 0

quand r → + ∞ ⇒ q

r,τ( )→ 0

Si l'âge de Fermi tend vers zéro, pour des neutrons qui viennent

juste d'être émis par la source, la solution mathématique du

problème est indéterminé (au sens des limites)

En fait lorsque l'âge de Fermi tend vers zéro, l'expression du

courant de ralentissement tend vers un Dirac : la source

L'âge de Fermi des neutrons augmente en cours deralentissement. Pour un âge de Fermi donné, les neutrons sontrépartis suivant une courbe de Gauss

C t d l ti t l l'â d F i


63/88


Courant de ralentissement selon l'âge de Fermi


64/88

8. Ralentissement en milieu fini absorbant


65/88


8. Ralentissement en milieu fini absorbant

8.1 Equation du ralentissement

en milieu fini : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S r, u u r div J r, uq r, u

ua

= ⋅ + +Σ Φ ,u∂

∂

loi de Fick ( ) ( ) ( )

J r, u D u grad r, u= − ⋅ Φ

relation entre courant de ralentissement et densité totale de

collision ( ) ( )q r, u F r, ut

= ⋅ξ

8.2 Résolution

le milieu est absorbant ( ) ( ) ( )div J r, u D u r, u

= − ⋅∆ Φ

( ) ( ) ( )q r, u F r, u puisque ut a

= ⋅ ≠ξ Σ 0

( ) ( )

Φ

q r, u


66/88


( )( )

( )Φ

Σ

r, uq ,

ut=

⋅ξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

div J r, u D u r, u D uq r, u

ut

= − ⋅ = − ⋅⋅

∆ Φ ∆Σξ

( ) ( )

( ) ( )div J r, u

D u

uq r,u

t

= −⋅

⋅ξ Σ

∆

L'équation du ralentissement s'écrit :

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )S r, u uu

q r,u D u

uq r,u q r,u

u

a

t t

=⋅

⋅ −⋅

⋅ +Σ

Σ Σ∆

ξ ξ ∂

∂

neutrons issus de fission : ( ) ( ) ( )S r,0 S r q r,0

= = .


67/88


eut o s ssus de ss o : ( ) ( ) ( )q .

Neutrons en cours de ralentissement, léthargie non nulle

terme source nul par hypothèse

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +Σ

Σ Σ∆a

t t

u

uq r, u

D u

uq r, u

q r, u

uξ ξ

∂

∂

changement de variable : ( ) ( ) ( )q r, u q r, u p u0

= ⋅

( )q r, u0

: courant de ralentissement sans absorptions.

( )p u : probabilité antitrappe

avec :( )

( )( )

p u expu '

u 'd u

ua

t

= −⋅

⋅

∫0

Σ

Σξ '

L'équation du ralentissement s'écrit :


68/88


( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )[ ]Σ

Σ Σ∆

a

t

0

t

0

u

uq r, u p u

uq r, u p u

ξ ξ ⋅⋅ ⋅ −

⋅⋅ ⋅

D u

( ) ( )[ ]+ ⋅ =∂ ∂ u q r, u p u 00

En mettant en facteur la probabilité antitrappe

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

p uu

uq r, u

D u

uq r, u

q r, u

u

a

t

0

t

0

0⋅

⋅⋅ −

⋅⋅ +

Σ

Σ Σ∆

ξ ξ

∂

∂

( ) ( )+ ⋅ =q r,u d p ud u

00

( ) ( ) ( ) ( )

( )u '

dd p u uu a a

Σ Σ'


69/88


( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )p u exp

u '

d u

d u u

a

t

a

t

= −

⋅

⋅

⇒ = −

⋅

⋅

∫0 Σ Σξ ξ

' p u

L'équation du ralentissement devient :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p u

u

u q r, u

D u

u q r,u

q r, u

u

a

t

0

t

0

0

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

Σ

Σ Σ ∆ξ ξ

∂

∂

( )

( )

( ) ( )−⋅

⋅ ⋅ =Σ

Σ

a

t

0

u

up u q r, u 0

ξ

( ) ( ) ( )

( ) ( )p u

q r, u

u

D u

uq r, u

0

t

0⋅ −⋅

⋅

=∂

∂ ξ

Σ∆ 0

( ) ( )( )

( )∂

∂ ξ

q r,u

u

D u

uq r,u

0

t

0

−⋅

⋅ =Σ

∆ 0

Par analogie avec le cas du milieu non absorbant


70/88


( )( )

∂ τ

∂ ξ u

D u

ut=

⋅Σ

modification légère de l'âge de Fermi( )

( )∂

∂

∂ τ

∂

q r, u

uq r, u

0

0

− ⋅ =u

∆ 0

équation identique à celle obtenue en milieu non absorbant

deux étapes :

- résolution de l'équation en milieu non absorbant

- solution générale de la forme : ( ) ( ) ( )q r, u q r, u p u0

= ⋅

9. Théorie de l'âge de Fermi


71/88


9.1 IntroductionSoit un réacteur thermique de dimensions finies

Milieu neutronique multiplicateur critique sans source

neutrons rapides ( fissions thermiques) ( )υ ⋅ ⋅Σ Φf th r

fissions rapides prises en compte : ( )ε υ ⋅ ⋅ ⋅Σ Φf th r

léthargie : u 0= âge de Fermi τ = 0

source (équations du ralentissement) ( ) ( )q r,0 rf th

= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

Le courant de ralentissement des neutrons qui entrent dans le

domaine thermique s'écrit : ( ) ( )q r p

,τ τ ⋅

Terme source de l'équation de la diffusion en thermique


72/88


( )q r

,τ : courant de ralentissement sans absorptions

( )p τ : facteur anti trappe

Source rapide

f . th ( r )

0

q ( r , p (

Source thermique

Fuites

Absorptions

q ( r , 0 ) = f . th ( r )

Flux thermique

th ( r )

9.2 Résolution des équations - condition de criticité


73/88


Nous disposons de deux équations

l'équation de la diffusion stationnaire à un groupe, dans ledomaine thermique

( ) ( ) ( )D r r S r 0th th a th⋅ − ⋅ + =∆ Φ Σ Φ

( ) ( ) ( ) ( )D r r q r pth th a⋅ − ⋅ + ⋅ =∆ Φ Σ Φ

,τ τ 0

l'équation de l'âge de Fermi :

( ) ( )∂ τ ∂ τ

τ q r q r

, ,= ∆

a. Equation de l'âge de Fermi


74/88


sur la base des fonctions propres du Laplacien :

( ) ( ) ( )q r q f ri i

,τ τ = ⋅∑i

séparation des variables espace et énergie (âge de Fermi)

L'équation de l'âge de Fermi devient :

( )( )

∂ τ

∂ τ τ

q rq r

,

,= ∆

( ) ( ) ( ) ( )∂

∂ τ τ τ q f q f ri i

i

i i

i

⋅

= ⋅

∑ ∑

r ∆

( ) ( ) ( ) ( )f r d qd

f r qii

i

i i i

i

⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑τ τ λ τ

( )( )

d qq

i

i i

τ λ τ= ⋅


75/88


infinité d'équations du type :

( )d

qi i

τ

λ τ

( )q q ei i 0 iτ λ τ = ⋅ ⋅

q i 0 valeur de ( )q i τ pour = 0

b. Equation de la diffusion

( ) ( ) ( ) ( )D r r q r pth th a th⋅ − ⋅ + ⋅ =∆ Φ Σ Φ

,τ τ 0

( ) ( )Φ th i ii

r A f r

= ⋅∑ ( ) ( ) ( ) ( )q r q f r q e f ri i i 0 ii

i

,τ τ λ τ = ⋅ = ⋅ ⋅⋅∑∑ i

L'équation de la diffusion devient :

( ) ( )D th ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅

∑ ∑∆ ΣA f r A f ri i

i

a i i

i

( ) ( )+ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

∑ q e f r pi 0 iiλ τ τ

i

0

( ) ( ) ( ) ( )D A f r A f r q e f r pth i i ii

i i

i

a i 0 ii⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =∑ ∑ ∑ ⋅λ τ λ τ

Σi

0


76/88


i i i

( )D A A q e pth i i i a i 0⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ =⋅λ τ λ τ Σ i 0

Seul le fondamental subsiste

par hypothèse : ( ) ( )q r,0 rf th

= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

donc : q A ii 0 f i= ⋅ ⋅ ⋅ ∀ε υ Σ

( )D A A A e pth i i i a f ii⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τ λ τ Σ Σ 0

( )[ ]A D e pi th i a f i⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τ λ τ Σ Σ 0

( )A D

e p

Di th i

f a

th

⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

=

⋅

λ ε υ τ λ τ Σ Σi

0

( )ε τ υ

λ τλ τ f p e i⋅ ⋅

⋅⋅ −⋅

⋅Σ 1


77/88


( ) ( )

λ ε υ τ λ λ τ

i

f a

th

ia

th

a

e pD

p

D

i

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = +

⋅

Σ Σ Σ

Σ

Bilan neutronique dans le domaine thermique

facteur d'utilisation thermique et facteur de régénérationυ

η ⋅

= ⋅Σ

Σ

f

a

f

( ) ( )λ

ε υ τ λ

ε τ η λ τ λ τ

i

f

th

i

th

e p

D

p f e

L

i i

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅Σ Σ a 1

2

( )λ ε υ τ λ λ τ λ τ

i

f a

th

i

th

2e p

DK e

L

i i

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = + ⋅ −⋅

∞

⋅

Σ Σ 1

Toutes les valeurs propres λ i sont négatives


78/88


e iiλ τ ⋅ < ∀1

K e 1

L

K 1

LB

i

th

2 m

∞

⋅

∞⋅ − < −

=λ τ

2

2

( )∀ ≠ +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −< + <

⋅

i 1e p

D

Bif a

th

i m

2i

λ ε υ τ

λ λ τ Σ Σ

0

A 0 i 1i = ∀ ≠

Le flux est établi suivant le fondamental


79/88

( )D

B 1 e pth g2 f B g

2Σ⋅ + = ⋅

⋅⋅ ⋅

− ⋅ε

υ τ

τ


80/88


( )pa

g

aΣ Σ

( )L B 1 e pth2

g

2 B g2

⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅

ε η τ τ

f

L B 1 K eth2

g

2 B g2

⋅ + = ⋅∞− ⋅τ

K e

L B

B

th

2

g

2

g2

∞

− ⋅⋅

⋅ +=

τ

11

K K e

L B

eff

B

th

2

g

2

g2

= ⋅

⋅ +

∞

− ⋅τ

1

Cette expression est valable quel que soit l'état du réacteur

9.3 Cas du réacteur surcritique


81/88


Toujours deux équations :

l'équation de la diffusion à un groupe, domaine thermique

( ) ( ) ( ) ( )

( )D r, t r, t q r t p

1

v

r, t

tth th a⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅∆ Φ Σ Φ

Φ

, ,τ τ

∂

∂

l'équation de l'âge de Fermi

Sur la base des fonctions propres du Laplacien

( ) ( ) ( )Φ th i ii

ir, t A f r C t

= ⋅ ⋅∑

( ) ( ) ( ) ( )q r t q f r C ti ii

i

, ,τ τ = ⋅ ⋅∑

Courant de ralentissement initial de la forme


82/88


( ) ( )q r,0, t r, tf th

= ⋅ ⋅ ⋅ε υ Σ Φ

( )[ ] ( )( )

α λ ε υ τ λ τ

i th i a f

i

i

v D e p

1

C t

d C t

d ti

= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅⋅

Σ Σ

∀ ≠i 1 ( )α λ i i m2

v D B< ⋅ ⋅ +


83/88


( )D e pth a f ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅λ ε υ τ λ τ 11 0Σ Σ

Le coefficient de multiplication effectif est obtenu par la

méthode de la valeur propre (on divise les productions deneutrons par K eff dans l'équation afin de la rendre stationnaire)

( )λ ε υ τ λ τ 1

1

1

vD e p

th a f = ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅Σ Σ

( )0 1 1= ⋅ − + ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅D

K

e pth af

eff

λ ε υ

τ λ τ Σ Σ

K K e

L B 1

eff

B

th

2

g

2

g2

= ⋅

⋅ +

∞

− ⋅τ

9.4 Keff et aire de migration


84/88


K K e

L Beff

B

th

2

g

2

g2

= ⋅

⋅ +

∞

− ⋅τ

1 P

e

L Bnf

B

th

2

g

2

g

=⋅ +

− ⋅2

1

τ

e B g

2− ⋅τ

probabilité de non fuite en cours de ralentissement

1

L B 1th2

g2⋅ + probabilité de non fuite en cours de diffusion

Ces deux expressions ne dépendent que :

- des caractéristiques neutroniques du milieu : τ ,L th2

- des dimensions du milieu et de sa géométrie : B g2

les dimensions du réacteur sont importantes


85/88


le produit ( )B g2 ⋅τ est petit devant 1

B e Bg2 B

gg⋅


86/88


proportionnelle à la moyenne du carré de la distance parcourue par un neutron dans le domaine thermique

âge de Fermi proportionnel à la moyenne du carré de la distance parcourue parun neutron durant son ralentissement

La moyenne M 2

du carré de la distance parcourue par un neutron

durant son ralentissement puis dans le domaine thermique

( donc durant son existence ) est égale à la somme des deux

quantités précédentes M L2 th2= + τ

Quelques valeurs de l'âge de Fermi

P l'â d F i i b


87/88


Pour un modérateur liquide l'âge de Fermi varie beaucoup enfonction de la température du modérateur.

Modérateur Température Fermideâgeτ

Airethermique

Eau légère 20° C 27 cm 2 8.3 cm2

Eau légère 300° C 50 cm 2 15 cm2

Eau lourde 20° C 131 cm 2 30000 cm2

Carbone 368 cm 2 3500 cm2


88/88


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