Fso analyse 2 87582
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Développements limités.
N.TSOULI
25 juin 2012
Développements limités
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
DefinitionSoit f une fonction défine au voisinage de x0.On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0) s’il exixte des réelsa0,a1, ..,an et une fonction ε définie au voisinage de x0 (saufpeut être en x0)tels que pour tout x voisinage de x0 :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x), avec limx→x0
ε(x) = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque.1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + o((x − x0)
n).
Remarque2/ Si lim
x→x0f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
ne possède pas de DL en x0.
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k est appelé la partie
principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0))etle terme (x − x0)
nε(x) est appelé le reste du DL(x0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(unicité du DL)Si f admet un DL(x0) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn(x0))alors ilexiste un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinagede x0
f (x) = P(x) + (x − x0)nε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(unicité du DL)Si f admet un DL(x0) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn(x0))alors ilexiste un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinagede x0
f (x) = P(x) + (x − x0)nε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(unicité du DL)Si f admet un DL(x0) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn(x0))alors ilexiste un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinagede x0
f (x) = P(x) + (x − x0)nε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Preuve :Si f est paire (resp. impaire) alors P est paire (resp. impaire) etne contient que des puissances paires (resp. impaires).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f admet un DLn(x0) alors f admet un DLp(x0) pour tout entiernaturel p ≤ n, obtenu par troncature. Plus précisément :comme
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x)
alors
f (x) =p∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
pε′(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f admet un DLn(x0) alors f admet un DLp(x0) pour tout entiernaturel p ≤ n, obtenu par troncature. Plus précisément :comme
f (x) =n∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
nε(x)
alors
f (x) =p∑
k=0
ak (x − x0)k + (x − x0)
pε′(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition1/ Pour que f admette un DL0(x0) il faut et il suffit que f soitcontinue en x0.Ce DL0(x0) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0) + ε(x − x0).2/ Pour que f admette un DL1(x0) il faut et il suffit que f soitdérivable en x0.Ce DL1(x0) s’écrit nécessiarementf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)ε(x − x0).
Preuve :
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition1/ Pour que f admette un DL0(x0) il faut et il suffit que f soitcontinue en x0.Ce DL0(x0) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0) + ε(x − x0).2/ Pour que f admette un DL1(x0) il faut et il suffit que f soitdérivable en x0.Ce DL1(x0) s’écrit nécessiarementf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)ε(x − x0).
Preuve :
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition1/ Pour que f admette un DL0(x0) il faut et il suffit que f soitcontinue en x0.Ce DL0(x0) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0) + ε(x − x0).2/ Pour que f admette un DL1(x0) il faut et il suffit que f soitdérivable en x0.Ce DL1(x0) s’écrit nécessiarementf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)ε(x − x0).
Preuve :
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition1/ Pour que f admette un DL0(x0) il faut et il suffit que f soitcontinue en x0.Ce DL0(x0) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0) + ε(x − x0).2/ Pour que f admette un DL1(x0) il faut et il suffit que f soitdérivable en x0.Ce DL1(x0) s’écrit nécessiarementf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)ε(x − x0).
Preuve :
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition1/ Pour que f admette un DL0(x0) il faut et il suffit que f soitcontinue en x0.Ce DL0(x0) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0) + ε(x − x0).2/ Pour que f admette un DL1(x0) il faut et il suffit que f soitdérivable en x0.Ce DL1(x0) s’écrit nécessiarementf (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + (x − x0)ε(x − x0).
Preuve :
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueEn revanche un DLn(x0) où n ≥ 2 n’implique pas que f soit deuxfois dérivable en x0. Un contre-exemple est donné parl’aplication
f (x) = x3sin( 1x ) si x , 0
0 si x = 0.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(Formule de Taylor-Young.)Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors l’égalité deTaylor-Young prouve l’existence du DLn(x0).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
+12
f”(x0)(x − x0)2
+ ..............1n!
f (n)(x0)(x − x0)n + (x − x0)
nε(x − x0).
CorollaireSi f est de C∞ au voisinage de x0,alors f admet un DLn(x0) pourtout n ∈ N .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(Formule de Taylor-Young.)Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors l’égalité deTaylor-Young prouve l’existence du DLn(x0).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
+12
f”(x0)(x − x0)2
+ ..............1n!
f (n)(x0)(x − x0)n + (x − x0)
nε(x − x0).
CorollaireSi f est de C∞ au voisinage de x0,alors f admet un DLn(x0) pourtout n ∈ N .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(Formule de Taylor-Young.)Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors l’égalité deTaylor-Young prouve l’existence du DLn(x0).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
+12
f”(x0)(x − x0)2
+ ..............1n!
f (n)(x0)(x − x0)n + (x − x0)
nε(x − x0).
CorollaireSi f est de C∞ au voisinage de x0,alors f admet un DLn(x0) pourtout n ∈ N .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(Formule de Taylor-Young.)Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors l’égalité deTaylor-Young prouve l’existence du DLn(x0).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
+12
f”(x0)(x − x0)2
+ ..............1n!
f (n)(x0)(x − x0)n + (x − x0)
nε(x − x0).
CorollaireSi f est de C∞ au voisinage de x0,alors f admet un DLn(x0) pourtout n ∈ N .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition(Formule de Taylor-Young.)Si f est de classe Cn au voisinage de x0, alors l’égalité deTaylor-Young prouve l’existence du DLn(x0).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)
+12
f”(x0)(x − x0)2
+ ..............1n!
f (n)(x0)(x − x0)n + (x − x0)
nε(x − x0).
CorollaireSi f est de C∞ au voisinage de x0,alors f admet un DLn(x0) pourtout n ∈ N .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueTout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,etpeuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou pard’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ ..+
xn
n!+ xnε(x).
sinx = x −x3
3!+
x5
5!+ ..+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
cosx = 1 −x2
2!+
x4
4!+ ...+ (−1)n x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
shx = x +x3
3!+
x5
5!+ ..+
x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
chx = 1 +x2
2!+
x4
4!+ ...+
x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
tgx = x +x3
3+
2x5
15+ x6ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
shx = x +x3
3!+
x5
5!+ ..+
x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
chx = 1 +x2
2!+
x4
4!+ ...+
x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
tgx = x +x3
3+
2x5
15+ x6ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
shx = x +x3
3!+
x5
5!+ ..+
x2n+1
(2n + 1)! + x2n+2ε(x).
chx = 1 +x2
2!+
x4
4!+ ...+
x2n
(2n)!+ x2n+1ε(x).
tgx = x +x3
3+
2x5
15+ x6ε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
thx = x −x3
3+
2x5
15+ x6ε(x).
11 + x
= 1 − x + x2 − x3 + ...+ (−1)nxn + xnε(x).
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ xn + xnε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
thx = x −x3
3+
2x5
15+ x6ε(x).
11 + x
= 1 − x + x2 − x3 + ...+ (−1)nxn + xnε(x).
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ xn + xnε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
(1+x)α = 1+αx+α(α − 1)
2!x2+...+
α(α − 1)...(α − n + 1)n!
xn+xnε(x).
Log(1 + x) = x −x2
2+
x3
3+ ...+ (−1)n+1 xn
n+ xnε(x).
Log(1 − x) = −x −x2
2−
x3
3− ... −
xn
n+ xnε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
(1+x)α = 1+αx+α(α − 1)
2!x2+...+
α(α − 1)...(α − n + 1)n!
xn+xnε(x).
Log(1 + x) = x −x2
2+
x3
3+ ...+ (−1)n+1 xn
n+ xnε(x).
Log(1 − x) = −x −x2
2−
x3
3− ... −
xn
n+ xnε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
(1+x)α = 1+αx+α(α − 1)
2!x2+...+
α(α − 1)...(α − n + 1)n!
xn+xnε(x).
Log(1 + x) = x −x2
2+
x3
3+ ...+ (−1)n+1 xn
n+ xnε(x).
Log(1 − x) = −x −x2
2−
x3
3− ... −
xn
n+ xnε(x).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
arctgx = x −x3
3+
x5
5+ ...+ (−1)n x2n+1
2n + 1+ x2n+2ε(x).
arcsinx = x +12
x3
3+
12
34
x5
5+
12
34
56
x7
7+ ...+ x2n+2ε(x).
arccosx =π
2− arcsinx .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
arctgx = x −x3
3+
x5
5+ ...+ (−1)n x2n+1
2n + 1+ x2n+2ε(x).
arcsinx = x +12
x3
3+
12
34
x5
5+
12
34
56
x7
7+ ...+ x2n+2ε(x).
arccosx =π
2− arcsinx .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Remarque
arctgx = x −x3
3+
x5
5+ ...+ (−1)n x2n+1
2n + 1+ x2n+2ε(x).
arcsinx = x +12
x3
3+
12
34
x5
5+
12
34
56
x7
7+ ...+ x2n+2ε(x).
arccosx =π
2− arcsinx .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueA l’aide du changementde variable t = x − x0, on notel’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(x0)⇐⇒ f (t + x0) admet un DLn(0),
et à l’aide du changement de varible t = 1x , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(∞)⇐⇒ f (1t) admet un DLn(0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueA l’aide du changementde variable t = x − x0, on notel’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(x0)⇐⇒ f (t + x0) admet un DLn(0),
et à l’aide du changement de varible t = 1x , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(∞)⇐⇒ f (1t) admet un DLn(0).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
RemarqueA l’aide du changementde variable t = x − x0, on notel’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(x0)⇐⇒ f (t + x0) admet un DLn(0),
et à l’aide du changement de varible t = 1x , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(∞)⇐⇒ f (1t) admet un DLn(0).
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RemarqueA l’aide du changementde variable t = x − x0, on notel’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(x0)⇐⇒ f (t + x0) admet un DLn(0),
et à l’aide du changement de varible t = 1x , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn(∞)⇐⇒ f (1t) admet un DLn(0).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Pour simplifier, les résultats suivants sont énoncés pour les DLà l’origine, mais on peut facilement les adapter à desdéveloppement en un autre point x0, voire ±∞.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle que f (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn)et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors, pour tous scalires α, β ∈ R on a :
(αf + βg)(x) =n∑
k=0
(ak + bk )xk + o(xn)
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle que f (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn)et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors, pour tous scalires α, β ∈ R on a :
(αf + βg)(x) =n∑
k=0
(ak + bk )xk + o(xn)
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle que f (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn)et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors, pour tous scalires α, β ∈ R on a :
(αf + βg)(x) =n∑
k=0
(ak + bk )xk + o(xn)
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle que f (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn)et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors, pour tous scalires α, β ∈ R on a :
(αf + βg)(x) =n∑
k=0
(ak + bk )xk + o(xn)
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle que f (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn)et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors, pour tous scalires α, β ∈ R on a :
(αf + βg)(x) =n∑
k=0
(ak + bk )xk + o(xn)
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle quef (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn) et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors
(fg)(x) =n∑
k=0
ckxk + o(xn), avec ck =∑
j+i=k
ajbi .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle quef (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn) et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors
(fg)(x) =n∑
k=0
ckxk + o(xn), avec ck =∑
j+i=k
ajbi .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soient f ,g : I −→ R telle quef (x) =n∑
k=0
akxk + o(xn) et
g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn).Alors
(fg)(x) =n∑
k=0
ckxk + o(xn), avec ck =∑
j+i=k
ajbi .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties régulières respectives
P =n∑
k=0
akxk etQ =n∑
k=0
bkxk etsi limx−→0
f (x) = 0,alors g ◦ f
admet un DLn(0)dont la partie régulière est obtenue entronquant le polynôme composé Q ◦ Pau degré n.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties régulières respectives
P =n∑
k=0
akxk etQ =n∑
k=0
bkxk etsi limx−→0
f (x) = 0,alors g ◦ f
admet un DLn(0)dont la partie régulière est obtenue entronquant le polynôme composé Q ◦ Pau degré n.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties régulières respectives
P =n∑
k=0
akxk etQ =n∑
k=0
bkxk etsi limx−→0
f (x) = 0,alors g ◦ f
admet un DLn(0)dont la partie régulière est obtenue entronquant le polynôme composé Q ◦ Pau degré n.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties régulières respectives
P =n∑
k=0
akxk etQ =n∑
k=0
bkxk etsi limx−→0
f (x) = 0,alors g ◦ f
admet un DLn(0)dont la partie régulière est obtenue entronquant le polynôme composé Q ◦ Pau degré n.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties régulières respectives
P =n∑
k=0
akxk etQ =n∑
k=0
bkxk etsi limx−→0
f (x) = 0,alors g ◦ f
admet un DLn(0)dont la partie régulière est obtenue entronquant le polynôme composé Q ◦ Pau degré n.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Si g admet un DLn(0) : g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn) et si
limx−→0
g(x) , 0 (autrement dit b0 , 0),alors 1g est définie au
voisinage de zéro et admet un DLn(0).
Remarque
Pour cela on écrit 1g(x) =
1b0(1−h(x)) ,avec
h(x) = − 1b0(b1x + b2x2 + ...+ bnxn + o(xn)).Ensuite on
compose le DL de x 7−→ h(x) par celui de x 7−→ 11−x .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Si g admet un DLn(0) : g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn) et si
limx−→0
g(x) , 0 (autrement dit b0 , 0),alors 1g est définie au
voisinage de zéro et admet un DLn(0).
Remarque
Pour cela on écrit 1g(x) =
1b0(1−h(x)) ,avec
h(x) = − 1b0(b1x + b2x2 + ...+ bnxn + o(xn)).Ensuite on
compose le DL de x 7−→ h(x) par celui de x 7−→ 11−x .
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Si g admet un DLn(0) : g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn) et si
limx−→0
g(x) , 0 (autrement dit b0 , 0),alors 1g est définie au
voisinage de zéro et admet un DLn(0).
Remarque
Pour cela on écrit 1g(x) =
1b0(1−h(x)) ,avec
h(x) = − 1b0(b1x + b2x2 + ...+ bnxn + o(xn)).Ensuite on
compose le DL de x 7−→ h(x) par celui de x 7−→ 11−x .
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Si g admet un DLn(0) : g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn) et si
limx−→0
g(x) , 0 (autrement dit b0 , 0),alors 1g est définie au
voisinage de zéro et admet un DLn(0).
Remarque
Pour cela on écrit 1g(x) =
1b0(1−h(x)) ,avec
h(x) = − 1b0(b1x + b2x2 + ...+ bnxn + o(xn)).Ensuite on
compose le DL de x 7−→ h(x) par celui de x 7−→ 11−x .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Si g admet un DLn(0) : g(x) =n∑
k=0
bkxk + o(xn) et si
limx−→0
g(x) , 0 (autrement dit b0 , 0),alors 1g est définie au
voisinage de zéro et admet un DLn(0).
Remarque
Pour cela on écrit 1g(x) =
1b0(1−h(x)) ,avec
h(x) = − 1b0(b1x + b2x2 + ...+ bnxn + o(xn)).Ensuite on
compose le DL de x 7−→ h(x) par celui de x 7−→ 11−x .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercice
On veut calculer le DL4(0) de f (x) = 1cosx .On sait que
cosx = 1 − x2
2! +x4
4! + o(x4).On pose donc 1
cosx = 11−h(x) ,avec
X = h(x) =x2
2!−
x4
4!+ o(x4)
.On utilise ensuite 1
1−X = 1 + X + X 2 + o(X ).On trouve X 2 = x4
4 + o(x4).On obtient finalement :
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x4).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties principalesrespectives P et Q et si lim
x−→0g(x) , 0,alors la partie principale
du DLn(0) de fg est le quotient de la division euclidienne de P
par Q suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre n.
RemarqueCe développement est obtenu en effectuant le produit de celuide f par celui de 1
g .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties principalesrespectives P et Q et si lim
x−→0g(x) , 0,alors la partie principale
du DLn(0) de fg est le quotient de la division euclidienne de P
par Q suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre n.
RemarqueCe développement est obtenu en effectuant le produit de celuide f par celui de 1
g .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties principalesrespectives P et Q et si lim
x−→0g(x) , 0,alors la partie principale
du DLn(0) de fg est le quotient de la division euclidienne de P
par Q suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre n.
RemarqueCe développement est obtenu en effectuant le produit de celuide f par celui de 1
g .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSi f et g admettent des DLn(0) de parties principalesrespectives P et Q et si lim
x−→0g(x) , 0,alors la partie principale
du DLn(0) de fg est le quotient de la division euclidienne de P
par Q suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre n.
RemarqueCe développement est obtenu en effectuant le produit de celuide f par celui de 1
g .
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
ExerciceOn peut obtenir le DL5(0) de tgx par quotient.On sait que sin = x − x3
3! +x5
5! + o(x5)on a vu précédemmentque
1cosx
= 1 +x2
2+
5x4
24+ o(x5).
On en déduit le DL5(0) de tgx :
tgx =sinxcosx
= [x −x3
3!+
x5
5!+ o(x5)][1 +
x2
2+
5x4
24+ o(x5)]
= x +x3
3+
2x5
15+ o(x5).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0.Alors lapartie principale du DLn(0) de f ′ est la dérivée de la partieprincipale du DLn+1(0) de f.
ExerciceOn sait que
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x (n+1) + x (n+1)ε(x).
Par dérivation on en déduit que1
(1 − x)2= 1 + 2x ++3x2 + 4x3 + ...+ (n + 1)xn + xnε(x).
Une nouvelle dérivation donne1
(1 − x)3= 1 + 3x ++6x2 + ...+
12
n(n + 1)x (n−1) + x (n−1)ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0.Alors lapartie principale du DLn(0) de f ′ est la dérivée de la partieprincipale du DLn+1(0) de f.
ExerciceOn sait que
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x (n+1) + x (n+1)ε(x).
Par dérivation on en déduit que1
(1 − x)2= 1 + 2x ++3x2 + 4x3 + ...+ (n + 1)xn + xnε(x).
Une nouvelle dérivation donne1
(1 − x)3= 1 + 3x ++6x2 + ...+
12
n(n + 1)x (n−1) + x (n−1)ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0.Alors lapartie principale du DLn(0) de f ′ est la dérivée de la partieprincipale du DLn+1(0) de f.
ExerciceOn sait que
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x (n+1) + x (n+1)ε(x).
Par dérivation on en déduit que1
(1 − x)2= 1 + 2x ++3x2 + 4x3 + ...+ (n + 1)xn + xnε(x).
Une nouvelle dérivation donne1
(1 − x)3= 1 + 3x ++6x2 + ...+
12
n(n + 1)x (n−1) + x (n−1)ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0.Alors lapartie principale du DLn(0) de f ′ est la dérivée de la partieprincipale du DLn+1(0) de f.
ExerciceOn sait que
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x (n+1) + x (n+1)ε(x).
Par dérivation on en déduit que1
(1 − x)2= 1 + 2x ++3x2 + 4x3 + ...+ (n + 1)xn + xnε(x).
Une nouvelle dérivation donne1
(1 − x)3= 1 + 3x ++6x2 + ...+
12
n(n + 1)x (n−1) + x (n−1)ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Proposition
Soit f une application de classe Cn+1 au voisinage de 0.Alors lapartie principale du DLn(0) de f ′ est la dérivée de la partieprincipale du DLn+1(0) de f.
ExerciceOn sait que
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + ...+ x (n+1) + x (n+1)ε(x).
Par dérivation on en déduit que1
(1 − x)2= 1 + 2x ++3x2 + 4x3 + ...+ (n + 1)xn + xnε(x).
Une nouvelle dérivation donne1
(1 − x)3= 1 + 3x ++6x2 + ...+
12
n(n + 1)x (n−1) + x (n−1)ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0.Si f estde classe C1 sur I et si f ′ admet un DLn(0) de partie principale
P(x) =n∑
k=0
akxk alors f admet un DLn+1(0) qui s’écrit :
f (x) = f (0) +n∑
k=0
ak
k + 1xk+1 + o(xn+1)
RemarqueOn obtient le DLn+1(0) de f par intégration terme à terme duDLn(0) de f ′.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0.Si f estde classe C1 sur I et si f ′ admet un DLn(0) de partie principale
P(x) =n∑
k=0
akxk alors f admet un DLn+1(0) qui s’écrit :
f (x) = f (0) +n∑
k=0
ak
k + 1xk+1 + o(xn+1)
RemarqueOn obtient le DLn+1(0) de f par intégration terme à terme duDLn(0) de f ′.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0.Si f estde classe C1 sur I et si f ′ admet un DLn(0) de partie principale
P(x) =n∑
k=0
akxk alors f admet un DLn+1(0) qui s’écrit :
f (x) = f (0) +n∑
k=0
ak
k + 1xk+1 + o(xn+1)
RemarqueOn obtient le DLn+1(0) de f par intégration terme à terme duDLn(0) de f ′.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0.Si f estde classe C1 sur I et si f ′ admet un DLn(0) de partie principale
P(x) =n∑
k=0
akxk alors f admet un DLn+1(0) qui s’écrit :
f (x) = f (0) +n∑
k=0
ak
k + 1xk+1 + o(xn+1)
RemarqueOn obtient le DLn+1(0) de f par intégration terme à terme duDLn(0) de f ′.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
PropositionSoit f une fonction définie sur un intervalle I contenant 0.Si f estde classe C1 sur I et si f ′ admet un DLn(0) de partie principale
P(x) =n∑
k=0
akxk alors f admet un DLn+1(0) qui s’écrit :
f (x) = f (0) +n∑
k=0
ak
k + 1xk+1 + o(xn+1)
RemarqueOn obtient le DLn+1(0) de f par intégration terme à terme duDLn(0) de f ′.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Exercicef (x) = log(cosx), alors
f ′(x) = −tg(x) = −x −13
x3 −215
x5 + x5ε(x)
d’où
f (x) = log(cosx) = −x2
2−
x4
12−
x6
45+ x6ε(x).
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
On utilise les DL pour calculer certaines limites qui seprésentent sous une formeindéterminer :0
0 ,0 ×∞∞∞,∞−∞,∞0,00,1∞.
Exercice
Pour calculer limx−→0
1sin2x
−1x2
on utilise les DL :
1sin2x
−1x2
=x2 − sin2xx2sin2x
=13x4 + x4ε(x)
x4 + x4ε(x).
D’oùlim
x−→0
1sin2x
−1x2
=13.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
On utilise les DL pour calculer certaines limites qui seprésentent sous une formeindéterminer :0
0 ,0 ×∞∞∞,∞−∞,∞0,00,1∞.
Exercice
Pour calculer limx−→0
1sin2x
−1x2
on utilise les DL :
1sin2x
−1x2
=x2 − sin2xx2sin2x
=13x4 + x4ε(x)
x4 + x4ε(x).
D’oùlim
x−→0
1sin2x
−1x2
=13.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
On utilise les DL pour calculer certaines limites qui seprésentent sous une formeindéterminer :0
0 ,0 ×∞∞∞,∞−∞,∞0,00,1∞.
Exercice
Pour calculer limx−→0
1sin2x
−1x2
on utilise les DL :
1sin2x
−1x2
=x2 − sin2xx2sin2x
=13x4 + x4ε(x)
x4 + x4ε(x).
D’oùlim
x−→0
1sin2x
−1x2
=13.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
On utilise les DL pour calculer certaines limites qui seprésentent sous une formeindéterminer :0
0 ,0 ×∞∞∞,∞−∞,∞0,00,1∞.
Exercice
Pour calculer limx−→0
1sin2x
−1x2
on utilise les DL :
1sin2x
−1x2
=x2 − sin2xx2sin2x
=13x4 + x4ε(x)
x4 + x4ε(x).
D’oùlim
x−→0
1sin2x
−1x2
=13.
N.TSOULI Développements limités.
Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Développements limités et continuté, développements limités et dérivabilité Opération sur les DL Application des DL Application des DL Application des DL Application des DL
Les DL donnent des renseignements très utiles dans laconstruction des courbes (position par rapport à la tangente,position par rapport à une asymptote).
N.TSOULI Développements limités.
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégrale de Riemann
Université Mohammed I
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Oujda.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
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Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Subdivision
De�nition.On appelle subdivision de [a, b] toute suite �nieσ = (a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b).L'ensemble supp σ = {a = x0, x1, ..., xn = b} est appelé le supportde la subdivision σ.On note S[a,b] l'ensemlble des subdivisions de [a, b].
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Subdivision
De�nition.1/ On appelle le pas de la subdivision σ le réelp(σ) = max
0≤k≤n([xk+1 − xk ]).
2/ Soient σ et σ′ deux subdivisions de [a, b].On dit que σ est plus �ne que σ′ si supp σ′ ⊂ supp σ.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Subdivision
Remarque.1/ Soient σ1, σ2 ∈ S[a,b], La réunion σ = σ1
⋃σ2 est une
subdivision de [a, b] dont le support est la réunion des supp σ1 etsupp σ2 .Dans ce cas σ est plus �ne que σ1 et σ2.2/ La subdivision σ = (xk)0≤k≤n est régulière si ∀k = 0, 1, .., n − 1
xk+1 − xk =b − a
n.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
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4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
De�nition.Soit f une application de [a, b] dans R. On dit que f est uneapplication en escalier s'il existe :- Une subdivision σ = (xk)0≤k≤n de [a, b],- u0, u1, ..., un ∈ R,tel que ∀k = 0, 1, .., n − 1, ∀t ∈]xk , xk+1[, f (t) = uk .On dit alors que la subdivision σ est adaptée à f .On note E ([a, b]) l'ensemble des fonctions en escalier dé�nies sur[a, b].
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Fonction en escalier
Exemple.1/ Toute fonction constantes sur [a, b] est une fonction en escaliersur [a, b].2/ la fonction caractéristique X[a,b] qui vaut 1 sur [a, b] et 0 endehors est une fonction en escalier sur [a, b].
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Fonction en escalier
Remarque.1/ Toute fonction en escalier est borné.2/ Si f , g ∈ E ([a, b]) alors f + g , fg , |f |, λf ∈ E ([a, b]) (λ ∈ R).
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Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
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2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
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Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
De�nition
Soient f : [a, b] −→ R une fonction en escalier et σ = {x0, ..., xn}une subdivision adaptée.On suppose que : ∀k ∈ {0, ..., n − 1}, ∀t ∈]xk , xk+1[, f (t) = λk .
On appelle intégrale de f le réel I (f ) =n−1∑k=0
(xk+1 − xk)λk ,
et on note I (f ) =∫ b
af (t)dt.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
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Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
Remarque.1/ Si f est une fonction constante sur [a, b] et vaut λ , alors
f ∈ E ([a, b]) et∫ b
af (x)dx = (b − a)λ.
2/ I (f ) ne dépend pas de la subdivision adaptée à f choisie.3/ Si f ∈ E ([a, b]) et si f est positive sur [a, b], alors I (f ) ≥ 0.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Subdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
Intégrale d'une fonction en escalier
Proposition
∀f , g ∈ E ([a, b]) :1/ si α, β ∈ R alors
I (αf + βg) = αI (f ) + βI (g).
2/ Si f ≤ g alors I (f ) ≤ I (g).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Soit B([a, b]) l'ensemble des fonctions réelles dé�nies et bornée sur[a,b].Soit f ∈ B([a, b]) il existe M > 0 tel que∀x ∈ [a, b] : −M ≤ f (x) ≤ M.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Proposition
SoientI−(f ) = sup
φ∈E([a,b]),φ≤fI (φ)
etI+(f ) = inf
ψ∈E([a,b]),ψ≥fI (ψ).
On a I−(f ) ≤ I+(f ).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Preuve : Notons par
A+(f ) = {I (ψ)/ψ ∈ E ([a, b]), f ≤ ψ}
etA−(f ) = {I (φ)/φ ∈ E ([a, b]), f ≥ φ}.
Il est clair que
I (M) = M(b − a) ∈ A+(f ) et I (−M) = −M(b − a) ∈ A−(f ).
De plus ∀I (ψ) ∈ A+(f ),∀I (φ) ∈ A−(f ) on trouve
−M(b − a) ≤ I (ψ) et I (φ) ≤ M(b − a).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
On en déduit que A+(f ) (resp.A−(f )) possède donc une borneinférieure (resp. borne supérieure) notée I+(f ) (resp. I−(f )).Ensuite pour toute ψ, φ ∈ E ([a, b)] telle que φ ≤ f ≤ ψ on trouve
I (φ) ≤ I (ψ).
D'où I (ψ) est majorant de A−(f ), il en résulte que I−(f ) ≤ I (ψ).Cela signi�e que I−(f ) est un minorant de A+(f ), d'oùI−(f ) ≤ I+(f ).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
De�nition
Soit f ∈ B([a, b)]. On dit que f est intégrable au sens de Riemannsi I−(f ) = I+(f )
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Theorème
(Critère de Riemann) Soit f ∈ B([a, b)].f est intégrable au sens de Riemann, si et seulement si,pour tout ε > 0 il existe deux fonctions en escalier φε et ψε, tellesque
φε ≤ f ≤ ψε et∫ b
a
(ψε(x)− φε(x))dx < ε.
Preuve :
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
On peut donner une version équivalente au Critère de Riemann :
Proposition
Soit f ∈ B([a, b)].f est intégrable au sens de Riemann, si et seulement si,il existe deux suites (φn)n∈N et (ψn)n∈N de fonctions en escaliertelles que :
∀n ∈ N , φn ≤ f ≤ ψn et limn→+∞
∫ b
a
(ψn(x)− φn(x))dx = 0.
Dans ce cas∫ b
a
f (x)dx = limn→+∞
∫ b
a
ψn(x)dx = limn→+∞
∫ b
a
φn(x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Remarque.1/ Toute fonction dé�nie et monotone sur [a, b] est intégrable ausens de Riemann.2/ Toute fonction dé�nie et continue sur [a, b] est intégrable ausens de Riemann.3/ Toute fonction dé�nie et continue par morceaux sur [a, b] estintégrable au sens de Riemann.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Proposition
(Les sommes de Darboux )Soit f ∈ B([a, b)]. f est intégrable au sens de Riemann, si etseulement si, ∀ε > 0, il existe une subdivision σ = {x0, x1, ..., xn} de[a, b] telle que
I (ψσ)− I (φσ) < ε
avec
ψσ(x) = Mk et φσ(x) = mk pour k = 0, ..., n et ∀x ∈]xk , xk+1[.
où Mk = supx∈]xk ,xk+1[ f (x) et mk = infx∈]xk ,xk+1[ f (x).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Remarque
(Les sommes de Riemann).Soient f ∈ B([a, b)] et σ = {x0, x1, ..., xn} une subdivision de [a, b]telle que pour chaque k = 0, 1, ..., n − 1, on choisit un réelλk ∈ [xk , xk+1].On appelle somme de Riemann, la somme
Rσ(f ) =n−1∑k=0
(xk+1 − xk)f (λk).
Dans le cas particulier d'une subdivision régulière -ie-
xk = a + k(b − a
n), pour tout k ∈ {0, 1, ..., n − 1},
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
en posant λk = xk , on obtient
R+n (f ) =
b − a
n
n−1∑k=0
f (xk)
et
R−n (f ) =b − a
n
n−1∑k=0
f (xk+1) =b − a
n
n∑k=1
f (xk).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Proposition
Soit f une fonction continue sur [a,b], alors
limn→+∞
R+n (f ) = lim
n→−∞R−n (f ) =
∫ b
a
f (x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Remarque
Si f est une fonction continue sur [a,b], on pose xk = a + k(b−an
)pour k ∈ {0, 1, ..., n − 1}. Alors
limn→+∞
(b − a
n)n−1∑k=0
f (xk) =
∫ b
a
f (x)dx .
En particulier pour a=0 et b=1, nous onbtenons
limn→+∞
(1
n)n−1∑k=0
f (xk) =
∫1
0
f (x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Fonctions Intégrables au sens de Riemann
Exemple
Calculer limn→+∞
un où un = n2n−1∑k=n
1
k2. .
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Linéarité)Soient f et g deux fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] etα, β ∈ R alors αf + βg est une fonction Riemann intégrables sur[a,b] avec∫ b
a
(αf + βg)(x)dx = α
∫ b
a
f (x)dx + β
∫ b
a
g(x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
Soient f et g deux fonctions Riemann-intégrables sur [a,b].
1/ Si f ≥ 0 sur [a,b] alors∫ b
af (x)dx ≥ 0.
2/ Si f ≥ g sur [a,b] alors∫ b
af (x)dx ≥
∫ b
ag(x)dx.
3/ Si f=g sauf en un nombre �ni de points alors∫ b
af (x)dx =
∫ b
ag(x)dx.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque.1/ Si f=0 sauf en un nombre �ni de points alors
∫ b
af (x)dx = 0.
2/ Si f ≤ g sur [a,b] alors∫ b
af (x)dx ≤
∫ b
ag(x)dx.
3/∫ b
af (x)dx ≥
∫ b
ag(x)dx n'implique pas que f ≥ g sur [a,b].
4/∫ b
af (x)dx = 0 n'implique pas que f=0 sur [a,b].
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
Si f est une fonctions Riemann-intégrable sur [a,b] alors |f | est unefonctions Riemann-intégrables sur [a,b] avec
|∫ b
a
f (x)dx | ≤∫ b
a
|f (x)|dx
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque.1/ Une fonction f telle que |f | soit Riemann-intégrable sur [a,b]n'est pas nécessairement Riemann-intégrable sur [a,b].2/ Si f est Riemann-intégrable sur [a,b] avec|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ [a, b] alors
|∫ b
a
f (x)dx | ≤ (b − a) supa≤x≤b
|f (x)| ≤ M(b − a).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Relation de Chales)Soit f une fonctions dé�nie sur [a,b], alors pour tout c ∈ [a, b] :f est une fonctions Riemann-intégrable sur [a,b] si et seulement si fest une fonctions Riemann-intégrable sur [a,c] et f est une fonctionsRiemann-intégrable sur [c,b].On a : ∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Première formule de la moyenne)Soit f et g deux fonctions dé�nies sur [a,b] telles quei- f soit continue,ii- g soit Riemann intégrable et de signe constant.Alors ∃c ∈ [a, b] tel que∫ b
a
f (x)g(x)dx = f (c)
∫ b
a
g(x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque.Soit f une fonction continue sur [a,b]. Alors ∃c ∈ [a, b] tel que∫ b
a
f (x)dx = f (c)(b − a).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(deuxième formule de la moyenne)Soit f et g deux fonctions dé�nies sur [a,b] telles quei- f soit continue, positive et décroissante,ii- g soit continue et de signe constant.Alors ∃c ∈ [a, b] tel que∫ b
a
f (x)g(x)dx = f (a)
∫ c
a
g(x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Proposition
(Inégalité de Cauchy-Schwarz)Soit f et g deux fonctions dé�nies et Riemann-intégrables sur [a,b].Alors les fonctions fg , f 2 et g2 sont Riemann-intégrables sur [a,b]et on a :
|∫ b
a
f (x)g(x)dx | ≤ (
∫ b
a
f 2(x)dx)1
2 (
∫ b
a
g2(x)dx)1
2 .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Propriétés de l'intégrale de Riemann
Remarque
(Inégalité de Minkowski).Soit f et g deux fonctions dé�nies et Riemann-intégrables sur [a,b].Alors les fonctions (f + g)2 , f 2 et g2 sont Riemann-intégrables sur[a,b] et on a :
(
∫ b
a
(f (x) + g(x))2dx)1
2 ≤ (
∫ b
a
f 2(x)dx)1
2 + (
∫ b
a
g2(x)dx)1
2 .
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
De�nition
Soit f une fonction numérique dé�nie sur [a,b]. On dit qu'unefonction H : [a, b] −→ R est une primitive de f sur [a,b] si etseulement si H est dérivable sur [a,b] et pour toutx ∈ [a, b] H ′(x) = f (x).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Remarque.1/ G est une primitive de f sur [a,b] si et seulement si
∃λ ∈ R telle que ∀x ∈ [a, b],G (x) = H(x) + λ.
2/ Si H est une primitive de f sur [a,b] alors l'ensemble desprimitives de f sur [a,b] est {H + c , c ∈ R}.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
De�nition
Soit f une fonction numérique dé�nie et intégrable au sens deRiemann sur [a,b]. Pour tout x ∈ [a, b], on dé�nit une fonction Fsur [a, b] en posant F (x) =
∫ x
af (t)dt. Cette intégrale est appelée
intégrale indé�nie de f.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Proposition
(Théorème fondamental du calcul intégral)Soit f une fonction numérique dé�nie et intégrable au sens deRiemann sur [a,b]. Si f est continue en x0 ∈ [a, b] alors la fonctionF dé�nie sur [a,b] par F (x) =
∫ x
af (t)dt est une primitive de f sur
[a,b], et on a F ′(x0) = f (x0).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Remarque.Cettte fonction F est l'unique primitive de f sur [a,b] telle queF (a) = 0.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
Corollaire.1/ Toute fonction continue sur [a,b] admet une primitive dans cetteintervalle.2/ Pour toute primitive H de f dans [a,b], on a :∫ b
a
f (x)dx = H(b)− H(a).
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Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
3/ Si f est de classe C 1 alors∫ b
a
f ′(x)dx = f (b)− f (a).
4/ Soit f une fonction continue sur [a,b], positive et∫ b
af (x)dx = 0
alors f = 0 sur [a,b].
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Primitives
5/ Soient f une fonction continue sur [a,b], u et v deux fonctions declasse C 1 sur un intervalle J telles que u(J) ⊂ [a, b] etv(J) ⊂ [a, b].
Alors la fonction G dé�nie par G (x) =∫ v(x)u(x) f (t)dt est de classe C 1
sur J, et sa dérivée est
G ′(x) = v ′(x)f (v(x))− u′(x)f (u(x)).
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Intégration par partie
Proposition
Soient u et v deux fonctions numériques de classe C 1 dé�nies sur[a,b]. Alors∫ b
a
u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −∫ b
a
u(x)v ′(x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Intégration par partie
Remarque
(Formule de Taylor avec reste intégral)Soit f une fonction de Cn+1 sur [a,b], la formule de Taylor avecreste intégral est
f (b) = f (a) + (b − a)f ′(a)
+ (b−a)2
2! f (2)(a) + ...+ (b−a)n
n! f (n)(a) +∫ b
a
(b−x)n
n! f (n+1)(x)dx .
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Intégration par partie
Exemple.1/
∫ π4
0arctan xdx = [x arctan x ]
π4
0− 1
2
∫ π4
0
2x1+x2
dx =
[x arctan x ]π4
0− 1
2[log(1 + x2)]
π4
0.
2/ Calculer par récurrence In(x) =∫ x
0
dt(a2+t2)n
, avec a 6= 0 et n 6= 0
2nIn+1 =1
a2[
x
(a2 + x2)n+ (2n − 1)In(x)].
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Changement de variable
Proposition
Soit f une fonction dé�nie et continue sur [a,b].Soit φ une fonction de clesse C 1 sur [α, β] tel queφ([α, β]) = [a, b]. Alors∫ φ(β)
φ(α)f (x)dx =
∫ b
a
f (φ(t))φ′(t)dt.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Changement de variable
Remarque.1/ Si la fonction φ est monotone sur [α, β] alors l'image par φ est[a, b] (resp.[b,a]) si φ est croissante (resp.décroissante).2/ Si la fonction φ est bijective sur [α, β] alors α = φ−1(a) etβ = φ−1(b).
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Changement de variable
3/ Soit f une fonction Riemann-intégrable sur [-a,a] :- si f est impaire alors
∫ a
−a f (x)dx = 0,
- si f est paire alors∫ a
−a f (x)dx = 2∫ a
0f (x)dx .
4/ Si f est une fonction périodique de période T etRiemann-intégrable sur tout intervalle fermé et borné de R. Alorspour tout a ∈ R : ∫ a+T
a
f (x)dx =
∫ T
0
f (x)dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Plan
1 Intégrale des fonctions en escaliersSubdivision :Fonction en escalierIntégrale d'une fonction en escalier
2 Fonctions Intégrables au sens de Riemann
3 Propriétés de l'intégrale de Riemann
4 Primitives
5 Méthode de calcul des intégralesIntégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive de∫cosp x sinq xdxavec p, q ∈ N :
il se présente trois cas :
1 si p est impair on pose t = cos x donc dt = − sin xdx .
2 si q est impair on pose t = sin x donc dt = cos xdx .
3 si p et q sont pair, on linéarise : par exemple∫cos(x)4dx = 1
8
∫[cos(4x) + 4 cos(2x) + 3]dx .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive de∫P(x) exp axdx où P est un polynôme :
Il est préférable d'utiliser une méthode de coé�cients indéterminéset de chercher une primitve de la forme Q(x) exp ax avec degré deQ est égale au degré de P.On remarque que si le degré de P est petit, on peut utliser desintégrations par parties autant de fois que le degré de P.
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive de∫
dxax2+bx+c
où a 6= 0 :
Soit ∆ = b2 − 4ac , il se présente trois cas :1ercasSi ∆ = 0 alors ax2 + bx + c = a(x + b
2a)2,
et on pose t = x + b2a, ainsi∫
dx
ax2 + bx + c=
1
a
∫dt
t2= − 2
2ax + b+ c .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
2emecasSi ∆ < 0 alors ax2 + bx + c = a[(x + b
2a)2 + −∆
4a2], parsuite si on
pose t = x + b2a
et α =√−∆2a
alors
ax2 + bx + c = a(t2 + α2)
et ∫dx
ax2 + bx + c=
1
a
∫dt
t2 + α2=
1
aαArctg(
2ax + b√−∆
) + C .
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
3emecasSi ∆ > 0 alors ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) où x1 et x2 sontles racines de ax2 + bx + c .Ainsi ∫
dx
ax2 + bx + c=
1
a[
∫A
x − x1dx +
∫B
x − x2dx ]
où A et B sont des constantes à déterminer.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive des fractions rationnelles :La méthode générale consiste à décomposer la fraction rationnelleen éléments simples, puis le calcul se ramène à des primitives de :
1 la partie principale (si elle existe) qui est un polynôme.
2 éléménts simples de première espèce de la forme A(x−a)n où
A ∈ R et n ∈ N ∗.3 éléménts simples de deuxième espèce de la forme Ax+B
(ax2+bx+c)n
où A,B ∈ R et n ∈ N ∗.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive des fractions rationnelles en cos xetsin x(Régles de Bioche) :
1 Si le terme di�érentiel f(x)dx est invariant lorsqu'on remplace xpar -x (-ie- f(-x)d(-x)=f(x)dx), dans ce cas on pose t = cosx .
2 Si le terme di�érentiel f(x)dx est invariant lorsqu'on remplacex par (π − x) (-ie- f (π − x)d(π − x) = f (x)dx), dans ce cason pose t = sinx .
3 Si aucune de ces invariances n'est véri�ée, dans ce cas on poset = tg( x
2), en utilisant les relations
sinx =2t
1 + t2, cosx =
1− t2
1 + t2, tgx =
2t
1− t2
Mars 2012
Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Primitive des fraction rationnelles en exp x,cosh x et sinh x :On peut utiliser le changement de variable t = th x
2et on utilise les
relations suivantes :
shx =2t
1− t2, chx =
1 + t2
1− t2, thx =
2t
1 + t2.
On peut utiliser également le changement de varible t = exp x pourse ramener à une fraction rationnelle en t.
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
Intégrales Abéliennes de la forme∫
dx√ax2+bx+c
:
On a ax2 + bx + c = a[(x + b2a
)2 + −∆4a2
] où ∆ = b2 − 4ac . En
posant t = (x + b2a
), il se présente trois cas possible :
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Intégrale des fonctions en escaliersFonctions Intégrables au sens de Riemann
Propriétés de l'intégrale de RiemannPrimitives
Méthode de calcul des intégrales
Intégration par partieChangement de variableComplément sur le calcul des primitives
Complément sur le calcul des primitives
1∫
dt√t2+β2
= Argsh( t|β|) + C , β 6= 0.
2∫
dt√−t2+β2
= Argsin( t|β|) + C , β 6= 0.
3 ∫dt√
t2 − β2= {
Argch( tβ ) + C si t > |β|
log |t +√t2 − β2|+ C si t < −|β|.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Intégrales généralisées (ou impropres)
Université Mohammed I
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Oujda.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Plan
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Responsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Dans ce chapitre on va étudier l'intégrale des fonctions continues
sur un intervalle I de la forme :
[a, b[, ]a, b], ]−∞, a], [a,+∞[, ]a, b[, ]−∞,+∞[.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que limx→b−
f (x) =∞.
Pour tout x appartenant à [a,b[, on dé�nit Φ(x) =∫ x
af (t)dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a,b[ ;
notée∫ b
af (t)dt ; est convergente (CV) si et seulement si
limx→b−
Φ(x) existe et elle est �nie,
on note limx→b−
Φ(x) =
∫ b
a
f (t)dt.
Dans le cas où limx→b−
Φ(x) n'existe pas, on dit que∫ b
af (t)dt est
divergente (DV).
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que limx→a+
f (x) =∞.
Pour tout x appartenant à ]a,b], on dé�nit Φ(x) =∫ b
xf (t)dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ]a,b] ;
notée∫ b
af (t)dt ; est convergente (CV) si et seulement si
limx→a+
Φ(x) existe et elle est �nie,
on note limx→a+
Φ(x) =
∫ b
a
f (t)dt.
Dans le cas où limx→a+
Φ(x) n'existe pas, on dit que∫ b
af (t)dt est
divergente (DV).
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque.1/ Soit f une fonction continue sur [a,b[ telle que
limx→b−
f (x) = l .
On dé�nit f̃ le prolongement de f par
f̃ (t) =
{f (t) si t ∈ [a, b[l si t = b
f̃ est continue sur [a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur [a,b[ eton a : ∫ b
a
f (t)dt =
∫ b
a
f̃ (t)dt.Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque
2/ Soit f une fonction continue sur ]a,b] telle que
limx→a+
f (x) = l .
On dé�nit f̃ le prolongement de f par
f̃ (t) =
{f (t) si t ∈]a, b]l si t = a
f̃ est continue sur ]a,b]. Alors f est Riemann-integrable sur ]a,b] eton a : ∫ b
a
f (t)dt =
∫ b
a
f̃ (t)dt.
Exemple
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
Soit f une fonction continue sur [a,+∞[.Pour tout x appartenant à [a,+∞[, on dé�nit Φ(x) =
∫ x
af (t)dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur [a,+∞[ ;notée
∫ +∞a
f (t)dt ; est convergente (CV) si et seulement si
limx→+∞
Φ(x) existe et elle est �nie,
on note limx→+∞
Φ(x) =
∫ +∞
a
f (t)dt.
Dans le cas où limx→+∞
Φ(x) n'existe pas, on dit que∫ +∞a
f (t)dt est
divergente (DV).
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque.Soit f une fonction continue sur ]−∞, a].Pour tout x appartenant à ]−∞, a], on dé�nit Φ(x) =
∫ a
xf (t)dt.
On dit que l'intégrale généralisée (ou impropre) de f sur ]−∞, a] ;notée
∫ a
−∞ f (t)dt ; est convergente (CV) si et seulement si
limx→−∞
Φ(x) existe et elle est �nie,
on note limx→−∞
Φ(x) =
∫ a
+∞f (t)dt.
Dans le cas où limx→−∞
Φ(x) n'existe pas, on dit que∫ a
−∞ f (t)dt est
divergente (DV).
Exemple Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
Soit f une fonction continue sur ]a, b[ (−∞ ≤ a < b ≤ +∞).
Soit c ∈]a, b[, on dit que∫ b
af (t)dt est (CV) si et seulement si∫ c
af (t)dt et
∫ b
cf (t)dt sont (CV).
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque.∫ b
af (t)dt est (DV) si et seulement si
∫ c
af (t)dt est (DV) ou∫ b
cf (t)dt est (DV).
Exemple
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur [a, b[.∫ b
af (t)dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b[,Φ(x) =
∫ x
af (t)dt
est majorée.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Remarque.1/ Soit f une fonction continue et négative ou nulle sur [a, b[.∫ b
af (t)dt est (CV) si et seulement si ∀x ∈ [a, b[,Φ(x) =
∫ x
af (t)dt
est minorée.2/ Il en de même si l'on considère ]a,b].
Exemple
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Comparaison des intégrales généralisées de deux fonctionspositives)Soit f et g deux fonctions continue et positives ou nulle surI = [a, b[ ou ]a, b], véri�ant f (t) ≤ g(t)∀t ∈ I . Alors
i-∫ b
ag(t)dt est (CV) implique que
∫ b
af (t)dt est (CV).
ii-∫ b
af (t)dt est (DV) implique que
∫ b
agt)dt est (DV).
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Intégrales généralisées de deux fonctions positives et équivalentes)Soient f et g deux fonctions continues, positives sur I = [a, b[ ou]a, b] (−∞ ≤ a < b ≤ +∞) et équivalentes en l'extrémité de I.
Alors∫ b
af (t)dt et
∫ b
agt)dt sont de même nature.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Les intégrales suivants serviront souvent comme intégrales de
comparaison
1 Intégrales généralisées de Riemann :∫ a
0
dttα
(CV) SSi α < 1 et∫ +∞a
dttα
(CV) SSi α > 1.
2 Intégrales de Bertrand :∫ +∞ dttα(logt)β
(CV) SSi α > 1 ou (α = 1 et β > 1).
3∫0
dttα|logt|β (CV) SSi α < 1 ou (α = 1 et β > 1).
4∫ +∞
exp(−αt)dt (CV) SSi α > 0.
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
On dit que∫ b
af (t)dt est absolument convergente (ACV) si∫ b
a|f (t)|dt est (CV).
De�nition
On dit que∫ b
af (t)dt est semi-convergente (SCV) si elle est (CV)
sans être (ACV).
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonctions continues sur I = [a, b[ ou ]a, b]
(−∞ ≤ a < b ≤ +∞). Pour que∫ b
af (t)dt soit (CV) il su�t
qu'elle soit (ACV) et on a
|∫ b
a
f (t)dt| ≤∫ b
a
|f (t)|dt.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b[ (éventuellement b = +∞ ), alors∫ b
a
u(t)v ′(t)dt = [ limx→b−
u(x)v(x)− u(a)v(a)]−∫ b
a
u′(t)v(t)dt.
Si l'une des intégrales est convergentes et ( limx→b−
u(x)v(x)) existe
et �nie alors l'autre intégrale est convergente.
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
De�nition
Soit I un intervalle quelconque de R. Une application f : I −→ Rsera dite localement intégrale sur I si sa restriction à chaquesous-intervalle fermé et borné de I est integrable au sens deRiemann.
Mars 2012
Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R oub = +∞).
Pour que l'intégrale∫ b
af (t)dt soit convergente, il faut et il su�t
que, pour toute suite (xn)n∈N de limite b, la suite
F (xn) =
∫ xn
a
f (t)dt
ait une limite et limn→+∞
F (xn) =
∫ b
a
f (t)dt
Mars 2012
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Theorème
(Critère de Cauchy pour les intégrales généralisées)Soit f une fonction localement integrable sur [a, b[ (b ∈ R oub = +∞) à valeur dans R.
Pour que l'intégrale∫ b
af (t)dt soit convergente, il faut et il su�t
que ∀ε > 0,∃X (ε) tel que b > v > u ≥ X (ε) ≥ a entraînent :∫ v
u
f (t)dt < ε.
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Intégrales généralisées sur un intervalle bornéeIntégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type [a,+∞[ et ]−∞, a]
Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
1 Intégrales généralisées sur un intervalle bornée
2 Intégrales généralisées sur un intervalle non bornée de type
[a,+∞[ et ]−∞, a]
3 Intégrales généralisées aux deux bornes
4 Critères de convergence
5 Intégrales de Comparaison
6 Intégrales absolument convergentes et semi-convergentes
7 Utilisation de l'intégration par parties
8 Critère de Cauchy
9 Règle d'Abel
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Intégrales généralisées aux deux bornesCritères de convergence
Intégrales de ComparaisonIntégrales absolument convergentes et semi-convergentes
Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
La proposition suivante permet de prouver la convergence de
certaines intégrales non absolument convergentes.
Theorème
Soit f : [a,+∞[−→ R, positive, décroissante et tendant vers zéro àl'in�ni.Soit g localement integrable sur [a,+∞[, telle que la fonction
x 7−→ |∫ x
a
g(t)dt|
soit majorée par un nombre K indépendant de x. Alors l'intégrale∫ +∞a
f (t)g(t)dt est convergente.
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Utilisation de l'intégration par partiesCritère de Cauchy
Règle d'Abel
Mars 2012
IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equations di�erentielles
Université Mohammed I
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Oujda.
Mars 2012
IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012
IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Introduction
Une équation di�érentielle (ED) d'ordre n est une équation faisant
intervenir une fonction y ainsi que ses dérivées y (k) jusqu'à l'ordre
n.
Par exemple : y ′ = 2y et y = 1
2x2y”− 5x , où y est une fonction à
pour variable x.
Mars 2012
IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Introduction
De�nition.
L'équation di�érentielle d'ordre n s'écrit sous la forme :
F (x , y , y ′, y”, ..., y (n)) = 0 (E)
où F est une fonction de (n+2) variables.
Une solution à une telle équation di�érentielle sur l'intervalle I ⊂ Rest une fonction y de classe Cn(I ) à valeur dans R telle que
∀x ∈ I :
F (x , y , y ′, y”, ..., y (n)) = 0
Mars 2012
IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
De�nition
Ondit qu'une équation di�érentielle est du premier ordre si n = 1
dans l'équation (E).
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation Di�érentielles à variables séparées
De�nition
Une équation di�érentielle du premier ordre est dite à variables
séparées si elle peut s'écrire sous la forme :
f (y)y ′ = g(x)(EVS)
Proposition
Une solution de (EVS) véri�e la formule suivante
F (y) = G (x) + cte
où F (resp. G) est une primitive de f (resp. g).
RemarqueMars 2012
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation Di�érentielles du premier ordre
De�nition
Une équation di�érentielle linéaire du premier ordre est une
équation du type :
a(x)y ′ + b(x)y = c(x)(E )
où a,b,c sont des fonctions continues sur un intervalle I ⊂ R, etque a(x) 6= 0∀x ∈ I .
l'équation homogène associée à (E), notée (Eh), est l'équation sans
second membre suivante :
a(x)y ′ + b(x)y = 0(Eh)
RemarqueMars 2012
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Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation Di�érentielles du premier ordre
Proposition
(Résolution de (Eh))
On considère
a(x)y ′ + b(x)y = 0(Eh)
1 les solutions de cette équation sur I où a(x) 6= 0, forment un
espace vectoriel de dim un dont une base est B = {expG (x)}où G (x) = −
∫ b(x)a(x)dx .
2 si l'on suppose que y(x0) = y0 alors cette solution est unique.
3 si y(x0) = 0 alors y=0 sur I (solution trivial).
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Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation Di�érentielles du premier ordre
Proposition
(Résolution de (E))
Soit yp une solution particulière de (E).
1 si yh est une solution de (Eh) alors yp + yh est une solution de
(E).
2 Inversement, si y est une solution de (E) alors y − yp est une
solution de (Eh).
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation Di�érentielles du premier ordre
Remarque
1 Pour chercher une soultion de (E), on peut appliquer la
méthode de la variation de la constante, en cherchant une
solution de la forme
y(x) = K (x) expG (x)
où yh(x) = expG (x) est une solution de (Eh) et
K ′(x) = c(x)a(x) exp−G (x).
2 Equation di�érentielle à coe�cient constants :
ay ′ + by = c(x) (E)
On peut trouver une solution particulière de (E) sans passer
par le procédé de la variation de la constante.
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation de bernoulli
De�nition
Ce sont des équations di�érentielles du premier ordre de la forme
y ′ = a(x)y + b(x)yα(E )
(α ∈ R)
Remarque
1 si α = 0 ou α = 1, on se trouve en présence d'une équation
linéaire.
2 α 6= 0, α 6= 1 et y 6= 0, on se ramène à une équation
di�érentielle linéaire du première ordre.
3 y = 0 est en fait une solution si α > 0.
Mars 2012
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Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
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Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation de Ricati
De�nition
Ce sont des équation di�érentielle du premier ordre de la forme
y ′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x)(E )
Remarque
1 si a(x) = 0, l'equation (E) est linéaire.
2 si a(x) 6= 0 ; il est nécessaire de trouver une solution
particulière. Posons alors
y(x) = yp(x) + z(x)
Mars 2012
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Equation Di�érentielles à variables séparéesEquation Di�érentielles du premier ordreEquation de bernoulliEquation de Ricati
Equation de Ricati
où z(x) est une fonction inconnue à déterminer
z ′(x) = a(x)z2(x) + [2a(x)yp(x) + b(x)]z(x).
Ainsi on se ramène à une équation de Bernoulli.
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
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Equation homogène
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solution particulière de (E)
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
De�nition
On appelle équation di�érentielle du second ordre à coe�cients
constants toute équation de type :
ay” + by ′ + cy = d(x)(E )
où a,b,c sont des constantes réelles avec a 6= 0.
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Equation homogène
De�nition
On appelle équation homogène ( ou équation sans second membre)
associée à (E) l'equation
ay” + by ′ + cy = 0(Eh)
et l'équation
ar2 + br + c = 0
l'equation caractéristique associée à (Eh).
Mars 2012
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Equation homogène
Proposition
Soit ay” + by ′ + cy = 0(Eh) une équation di�érentielle linéaire du
second ordre à coe�cients constants, et soit l'équation
ar2 + br + c = 0(∗)
l'equation caractéristique associée à (Eh).On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de (*).
1 si ∆ 6= 0 alors y = A exp (r1x) + B exp (r2x) est une solution
de (Eh) pour tout A,B ∈ R, où r1 et r2 sont les racines
distinctes de (*).
2 si ∆ = 0 alors y = A exp (rx) + Bx exp (rx) est une solution de
(Eh) pour tout A,B ∈ R, où r est la racine double de (*).
Mars 2012
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati
3 Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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IntroductionEquation Di�érentielles du premier ordre
Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Equation avec second membre
Proposition
Soit
ay” + by ′ + cy = d(x)(E )
une équation di�érentielle linéaire du second ordre à coe�cients
constants, et soit yp une solution particulière de (E).
1 si yh est une solution de (Eh) alors yp + yh est solution de (E).
2 si y est une solution de (E ) alors y − yp est une solution de
(Eh).
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
Plan
1 Introduction
2 Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation Di�érentielles à variables séparées
Equation Di�érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
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Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
On va étudier trois cas.
1ercas :
Si d(x) = P(x) expλx , où P est un pôlynome et λ est une
constante réelle ou complexe. On cherche une solution
yp = Q(x) expλx .
Mars 2012
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
Proposition
1 Si λ n'est pas racine de l'equation caractéristique, alors
∃yp(x) = Q(x) expλx avec d�Q = d�P.
2 Si λ est l'une des racines distinctes de l'equation
caractéristique (*), alors
∃yp(x) = Q(x) expλx avec d�Q = d�P + 1.
3 Si λ est la racine double de l'equation caractéristique (*), alors
∃yp(x) = Q(x) expλx avec d�Q = d�P + 2.Mars 2012
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
2mecas :Principe de superposition.
Proposition
On suppose que y1 (resp.y2) est une solution de l'équation
di�érentielle linéaire du second ordre à coe�cients constants
ay” + by ′ + cy = d1(x)(E1)
(resp.ay” + by ′ + cy = d2(x)(E2)). Alors y1 + y2 est une solution
de l'équation di�érentielle linéaire du second ordre à coe�cients
constants
ay” + by ′ + cy = d1(x) + d2(x)(E3).
Mars 2012
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Equation di�érentielle du second ordre à coe�cients constants
Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
3mecas :
Oscillation linéaire libres.
Proposition
On considère l'équation di�érentielle linéaire du second ordre à
coe�cients constants
y” + 2my ′ + ω2
0y = 0 sur R+(E ).
avec m ≥ 0 et ω0 > 0.
m se comporte comme un paramètre d'amortissement, et ω0 se
comporte comme un paramètre de pulsation propre.
Soit r2 + 2mr + ω2
0= 0 l'equation caractéristique, et soit
∆ = 4(m2 − ω2
0) le discriminant.
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
1- cas où m = 0 (amortissement nul)
y(x) = C1 cos(ω0x) + C2 sin(ω0x) = A cos(ω0x + φ)
c'est un amortissement périodique d'Amplitude A et de période
T0 = 2πω0.
Mars 2012
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
2- cas où ∆ < 0 (amortissement faible)
Soit ω =√ω2
0−m2 > 0 alors ∆ = (2iω)2,
ainsi y(x) = [C1 cos(ωx) + C2 sin(ωx)] exp(−mx),c'est un mouvement pseudo-périodique
T = 2πω avec T > T0 = 2π
ω0.
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
3- cas où ∆ = 0 (amortissement critique)
y(x) = (xC1 + C2) exp(−mx),
c'est un mouvement apériodique critique.
Mars 2012
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Equation homogèneEquation avec second membresolution particulière de (E)
solution particulière de (E)
4-cas où ∆ > 0 (amortissement fort)
Soit ω =√m2 − ω2
0> 0, où (−m + ω) et (−m − ω) sont les deux
racines de l'equation caractéristique :
y(x) = [C1 exp(ωx) + C2 exp(−ωx)] exp(−mx)
= [D1ch(ωx) + D2sh(ωx)] exp(−mx),
c'est un mouvement apériodique.
Mars 2012