Frege-Begriffsschrift (in German)

106
Frege, Gottlob (1848-1925). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. 1879. 1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de la BnF.Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 : *La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source. *La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produits élaborés ou de fourniture de service. Cliquer ici pour accéder aux tarifs et à la licence 2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens de l'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnes publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisation particulier. Il s'agit : *des reproductions de documents protégés par un droit d'auteur appartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés, sauf dans le cadre de la copie privée, sans l'autorisation préalable du titulaire des droits. *des reproductions de documents conservés dans les bibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sont signalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèque municipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité à s'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions de réutilisation. 4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est le producteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants du code de la propriété intellectuelle. 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica sont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dans un autre pays, il appartient à chaque utilisateur de vérifier la conformité de son projet avec le droit de ce pays. 6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditions d'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment en matière de propriété intellectuelle. En cas de non respect de ces dispositions, il est notamment passible d'une amende prévue par la loi du 17 juillet 1978. 7/ Pour obtenir un document de Gallica en haute définition, contacter [email protected].

Transcript of Frege-Begriffsschrift (in German)

Page 1: Frege-Begriffsschrift (in German)

Frege, Gottlob (1848-1925). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. 1879.

1/ Les contenus accessibles sur le site Gallica sont pour la plupart des reproductions numériques d'oeuvres tombées dans le domaine public provenant des collections de laBnF.Leur réutilisation s'inscrit dans le cadre de la loi n°78-753 du 17 juillet 1978 :  *La réutilisation non commerciale de ces contenus est libre et gratuite dans le respect de la législation en vigueur et notamment du maintien de la mention de source.  *La réutilisation commerciale de ces contenus est payante et fait l'objet d'une licence. Est entendue par réutilisation commerciale la revente de contenus sous forme de produitsélaborés ou de fourniture de service. Cliquer ici pour accéder aux tarifs et à la licence 2/ Les contenus de Gallica sont la propriété de la BnF au sens de l'article L.2112-1 du code général de la propriété des personnes publiques. 3/ Quelques contenus sont soumis à un régime de réutilisation particulier. Il s'agit :  *des reproductions de documents protégés par un droit d'auteur appartenant à un tiers. Ces documents ne peuvent être réutilisés, sauf dans le cadre de la copie privée, sansl'autorisation préalable du titulaire des droits.  *des reproductions de documents conservés dans les bibliothèques ou autres institutions partenaires. Ceux-ci sont signalés par la mention Source gallica.BnF.fr / Bibliothèquemunicipale de ... (ou autre partenaire). L'utilisateur est invité à s'informer auprès de ces bibliothèques de leurs conditions de réutilisation. 4/ Gallica constitue une base de données, dont la BnF est le producteur, protégée au sens des articles L341-1 et suivants du code de la propriété intellectuelle. 5/ Les présentes conditions d'utilisation des contenus de Gallica sont régies par la loi française. En cas de réutilisation prévue dans un autre pays, il appartient à chaque utilisateurde vérifier la conformité de son projet avec le droit de ce pays. 6/ L'utilisateur s'engage à respecter les présentes conditions d'utilisation ainsi que la législation en vigueur, notamment en matière de propriété intellectuelle. En cas de nonrespect de ces dispositions, il est notamment passible d'une amende prévue par la loi du 17 juillet 1978. 7/ Pour obtenir un document de Gallica en haute définition, contacter [email protected].

Page 2: Frege-Begriffsschrift (in German)

8X 1334

Ha!te1879

Frege, Gotttob

~~r~cA~~

Page 3: Frege-Begriffsschrift (in German)

Symboleapplicablepourtout,oupartie

des documentsm!crof!tmés

Original illisible

MF Z 43 120-10

Page 4: Frege-Begriffsschrift (in German)

Symboleapplicablepour tout,ou partie

des documents m!crofitmés

Textedétérioré reliure défectueuse

NFZ 43-120-11

Page 5: Frege-Begriffsschrift (in German)
Page 6: Frege-Begriffsschrift (in German)

'.A.BiT.mtET~HENNACHa'ËBILt)ETR,~

& "'F~RNEL8P&A€nE'y.

~ENKEN&

$~

~s~Mt~

~%NS~ $~

Page 7: Frege-Begriffsschrift (in German)
Page 8: Frege-Begriffsschrift (in German)

BE&RIFFSSCERIFT,

EfXË~B~KH'HMË'nsCHËN NACHGEBILDETËN ACHGEBIl.DE'l'E

f!

r.' ~ORMELSPKACHE /sm(i1\.< 7&n 1

DES REÎNEN DENKENS.i

vo\'

D" 60TTLOBFBE&E.P)t)VA1)"~< KXtKX )'KK MATHR~tAnK AS' DÈK t'x;VE!(.stTÂT JKXA.

HALLE*/S.VERLAGVONLOUISNEBERT.

1879.

Page 9: Frege-Begriffsschrift (in German)

DasKccht dcrUcber'.ettung in hemdeSpirachcn hlcibt vorbchalten.

Page 10: Frege-Begriffsschrift (in German)

Vorwort.

Das Erkennen einer wisscnschaMichonWahrheit durch-

tauft in der Regel mehre Stn&n der Sicherheit. Zuerst viel-

teicht aus einer ungenOgendottZaM von ËinzeifaUen en'atben,wird der a.UgemeineSatz nach und nach sichet-erbefestigt, in-

dom or dm-chScb!umkettenmit andern Wahrheiten Verbindung

erhatt, sei es dass aus ihm Folgerungen abgeleitet werdea, die

auf andere Weise BestMiguagSnden, sei es dass er umgekebrtais Fotge sehon <batstehenderSiitze erkannt wird. Es kann

daher oinorseits nach dem Wege gefragt werden, auf dem ein

Satz allmahlich orrungen wurde, andrerseits nach der Weise,wie or nun schMesalicham featesten zu begrttnden ist. Erstere

Frage tnusBm8gHcherweisein Bezug auf verscbiedeneMenschen

verschiedenbeantwortetwerden, !etztere ist bestimmter, und ihre

BeantwortuNg hangt mit dom innetn Wesen des betraohteten

Satzes zu8ammen. Die festeste BeweiafUitrungist o~nbar die

rein logische,we!che,vonder besondernBeschaffenheitder Dinge

absehend, sich allein auf die Gesetze grandet, auf denen alle

Erkenntnisberuht. Wirtheilondanach alle Wahrheiten,die einer.

Begr&ndungbedUrien, in zweiArten, indem der Beweis bei detr

einen rein' togiseh vorgehen kann, bei den andern sieh auf

ËrfahruDgsthatsachensttttzonmuss. Es ist aber woMvereinbar,dass ein Sàtz zu der ersterenArt gehort und doch ohne Sinnes-

thatigkeit nie in einem nfenschiichen'Geiste zum Bewuastsein

kommonkCnNte.*) Also nichtdie psychoiogischeEntstehungs-

weise, sondarn die voUkommensteArt der Bèweisf)thrungliegt'

*) Da ohne Smneawahmehmungkeine getatige Entwicketang bel

den uns be~Mnten Wesen mSgMehiBt, se gilt daa Letztere von aHen

Uttiteiten.

Page 11: Frege-Begriffsschrift (in German)

IV

der Ëintheitung zu Grunde. Indem ich mir nun dio Frage

vorlegte, zu welcher dioRerbeiden Arten die arithmetischen

Urtheile gebôrten, musste ich zuniichstvorsuchou,wie weit man

in der Arithmotik durch SoMftsseallein getangen kôunte, nur

gestfttzt auf die Gesetze des Denkens,dio OberaUen Besonder-

heiten erhaben sind. Dor Gang war hierbei dioser, dass ich

zucrst den Begriff der Anordnungin einer Reihe auf die lo-

gische Folge zurackzufHhren suchto, um von hier ans zum

ZaHhegnH' ibrtzuschreitcn. Damit f-ich Merhei nicht unbe-

merkt etwas AnBchauHcheseindrângenkonnte, musste Alles auf

die LtickeBbsigkeit der Schiusskette ankommen. Indem ich

diese ForderuHg auf das strongste zu er~tten trachtete, fand

ich ein Hinderiiis jn der UnzuMngtichkeitder Sprache, dio bei

aller entstehendeu Schwcrf&fligkeitdos Ausdrnckes doch, jeverwickelter die Bcziehungon wurden, destu weniger die Ge-

nauigkeit erreichen tiess, welche mein Zweck verlangte. Aus

diesemBedttrMsRe ging der Gedankeder vorHegendenBegritfs-schrift hervor. Sic soll a1so zunachst dazu dieneu, die BttB-

digkeit einer 8ch!usskette auf die sichorste Weiso~zu pr(i(enund jede Voraussetzung,die sich unbemerkt einschteiehcnwill,

anzuzeigen,damit totztcre auf ihren Ursprunguntersucht werden

kCnne. Deshalb ist auf den Ausdruck attee dessen verzichtet

worden, was fUr die &M~/o/~e ohno Bedeutung ist. leh

habe das, worauf allein es mir ankam, in § 3 als ~r~c~~/HAo~ bezeichnet. DieM Erktantng mnss daher immer im

Sinne behalten werden, wenn mau das Wesen meiner Formel-

sprache richtig auffassen will. Hieraus ergab sich auch der

Name .BegriS'ssehriff. Da ich mich iUrs erste auf den Aus-

drnck soicher Beziehuugen beschrankt habo, die von der be-

sonderen BeBchaNënheitder Dinge uuabh&ngigsind, so konnte

ich auch den Ausdruck Formelsprache des reinon Denkens"

gebranchen. Die Nachbildungder arithmetischeuFormelsprache,die ich auf dem Titet angedeutet habe, bezieht sieli mehr auf

dieGrundgcdankeBals die EinzeigestaituNg.Jene BestrebMgen,durch Auffassung des Begriûs ats Summe aeiuer Merkmate

eine kOnstUche Aehntichkoit beniusteHen, haben ttth dabei

durchaus iern gelegen. Am unmittelbarstenberuhrt sieh meine

Formetaprachemit der anthmetMcbonin der Vcrwendungsweiaeder Buchstabon.

Page 12: Frege-Begriffsschrift (in German)

T

Das VerhAttnis meinor Be~'riNsMhriftzu der Sprache des

Lehons glaube ich an; dcut~chsten machen zu konnen, wenn

ieh es mit dcm des Mikroakops zum Auge verg)eicho. Das

Letztere bat durch deu Umfang seiner Anwendbarkeit, dure))

die Bewegtichkeit, mit der ea sich (ten voschiedenRtenUm-

standcn anzuschmiegen weiss, ciné grosso Ueberlegenheitvor

dem Mikrockop. Ats optischer Apparat betraclitet, zeigt es

.frei!ic)) viele UnvottkommenttciteK, die nur in Fotge seiner

innigeK Vct'bindung mit dom geistigen Leben gewShnHchun-

beachtet Meibec. Sobald aber wisBensehaftticheZwecke grosse

AntbrdcTiDgcaan die Scharib der Unterscheidungstellen, zeigtsieh daa Auge als ungentigend. Das Mikrockophingegon ist

gerade sokhen Zweeken aufdas voUkommen~teaogepaMt, aber

eben dadurch fUr aUe anderu unbrauchba)'.

So ist diese Begnffssctn'itt ein fUr bestimmte wissen-

schaftticho Zwecke ersounenes Hitfsnnttet, das man uicht des-

ha!b verurtheileu darf, weil es fUr andere niehts ta~t. Wenn

sie diesen Zweckeu einigermassen entspacht, so môgo man

innnerhin noue Wahrhoiten in meiner Schrift vermissen. Ich

wQrde mich darttber mit dem HewMstsein trosten, dass auch

eine WeiterhUdung der Méthodedie WiMenscha~fordeit H&tt

ea doch Baco fay vorzOglicher ein Mittel zu erfinden, dutch

welches Alles leieht gefunden werden kann, ats Einzelnes zu

catdeeken, und haben doch alle grossen wissenschaftlichen

Fortschritte der noueren Zeit ihren Ursprung in einer Ver-

besserung der Méthode gehabt.Attch Leibniz hat die Vortheile einor angetnessenenBe-

xeichnungsweise erkaunt, vielleicht ttberschittzt. SeinGedanke

einer aUgemoinen Charakteristik, eines cs~cM<!M~<MO~<eM~oder ra~oc~M~o~*)war zu riesenhaH, aIs dass der Vorsuch

ihn xu verwit'klichen uber die btossen VorbereittmgenhMte

h~ausge!angon kënnen. Die Begeistorung, welche seinen Ur-

Reber bei der Erwagang ergrifi, weleh* unenneasUcheVer-

mehrung der geistigen Kraft der Mensehheit aus einer die

Sachen Be)b8ttren'enden Bezeichnungsweiseentspringen wnrde,iiess ihn die Schwierigkeiten zu genng scbatzen, die einem

*) Siehe hiorttber: 'trendetenbarg, Historiecht:Beitriigezur Phito-

sophic ~i.Band.

Page 13: Frege-Begriffsschrift (in German)

VI

sotcbcn Untcrnchmcn cntgegcnxteben. Wenn abcr auch 4ies

hobe Ziel mit Einem An!a.u<onicht ercoieht werden kann, so

hraucht ntttudochan einer !ang~amen,sehrittweisenAnnitherungnicht zu verzwoifein. Wenn eine Au<gabcin ihrer vollen All-

gemeinheit an!osbar seheint, so beschriinke man sie vorlâufig;dann wird vielleicht durch aUmâhUcheËrweitoung ihro Be-

Wiihigunggdingon. Man kann in den arithmetischen, geo-

metrisehcn,chemischen ZeichenVerwirkHchungeodes Leibnizi-

sehon Gedankens fttr einzetne Gebiete sehen. Die hier vor.

gescMagene tiegrifïsschrift Higt diesen cin neucs hinzu und

zwar das in der Mitte gelegene, welches atten andorB benach-

bart ist. Von hier aus t~sst sich daher mit der grSssten Aus-

sicht auf Erfo!g eino Au8f)i)!ungder LOckender bestehenden

Fo)'mo)sprachen,eine Verbindung ihrer bisher getrennten Go-

biete xu dem Bereictte ciner einzigen und oine Ausdehnungauf Gebiete ins Werk setzen, die bisher einer solchen er-

mangelten.Ich versprechemir HberaHda eine eHMgreicheAnwendung

meiner Begrinsschrift, wo ein besondorerWorth auf die BUndig-keit der BeweisfUhrunggetegt werden muM, wie bei der Grund-

legung der DiSerentiat- und Integralrechnung.Noeh leichter scheint es mir zu sein, das Gebiet dieser

Formetsprache auf Géométrie auszudebnen. Es mOssten nur

fUr die hier vorkommendeR anscha.utichenVerhattnisse noch

oinige Zeichen hinzugofOgt werden. Auf dièse Weise wttrde

man eine Art von aMa~'M situs erhatten.

Dor Uebergang zu der reinen Bowegungstehreund weiter

zur Mechanikund Physik mSchte sich hier ansehtieasen. In

den letzteren Gebieten, wo noben der Denknothwendigkeit die

Naturnothwendigkeit sich geltend macht, ist am eheaten eine

Weiterentwicketungder Bezeichmngsweisemit demFortschreiten

der Erkenntnis vorauszuseben. Desha.tb braucht man aber

nieht zu wartea, bis die Moguchkeit solcher Umformungenaus-

gefchiossen emcheint.

Wenn es eino Au~ahe der Philosophie ist, die HerrschaH

des Wortes ubcr den menschtichenGeist zu brechen, indem sie

die Tauscbungen aufdeckt, dio durch den Sprachgebrauch fiber

die Boziehungender Begriffe oft fast unvermeidiiehontstehen,indem sic deu Gcdanken von den~jenigenbefreit, womit ihn

Page 14: Frege-Begriffsschrift (in German)

vu

allein die Beschanenhcit des sprachtichcn Ausdrncksmitteh bc-

haftet, so wird meine Begrinssehrift, fttr diese Zwecke weiter

ausgebildet, den Phitosophenein brauchbitresWerkzeug werden

kMnnen. FreiHch giobt aach me, wio es bei einem &ussem

DarMtetiungsmittetwoht nicht anders mSgHchist, den Godanken

nicht rein wieder; aber einerneitskann mandiese Abweichungenauf das UnvertaeitHicheund Unschadtichebeachranken, andrM-

seits ist schon dadurch, dass sie ganz andt'er Art aind als die

der Spruche eigenthOmtiohen,ein Schut):gegen eine einseitige

Beeinfiassung durch eines dièse!' Ansdrucksmittctgegeben.

Schon das ErSnden dieser Begri&eehn~ hat die Logik,wie mir scheint, gef8rdert. Ich ho8e, dass die Logiker, wenn

sie sich durch den ersten Eindruck des Ft-emdartigen nicht

zuruckschrecken !a6Ben, den Neuerungen, zu denen ioh durch

eine der Sache selhst innewohnendo Nothwendigkeit getrieben

wurde, ihre Zustimmune:nicht verweigern werden. Dièse Ab-

weichungen vom Hergebrachteu nndea ihreRecht<ertigungdarin,daes die Logik sich bisher immer noch zn eng an Spraeheund Grammatik angeschtossen hat. Inebesondoreglaube ich,daBs die Ersetzung der Begrin'oSubject und A-<M<Mca<durch

Argument und ~<Mc«oMsich auf die Dauer bew&hrenwird. Man

erkennt leicht, wie die Auffassung eines Inhalts als Funetion

oines Argumentes begrin'bUdond wirkt. Es mocbte ferner der

Nachweis des Zusammenhanges zwischen den Bodeutungender

WSrter: wenn, und, nicht, oder, es giobt, einige, alle u. s. w.

Beachtung verdienen.

Im Besondern sei nur noch Folgendes erwâbnt.

Die in § 6 ausgeaprochene Beschrânkung auf eine oinzigo

Schtussweise wird dadurch gerechtfertigt, dass bei der CrMK<<-

/cyMM~einer solchen Begrinsschrif!:die Urhestandtheite so ein-

fach wie môglich genommen werden mtissen, wenn Ueber-

i3ichtlichkeit und Ordnung geschaiïën worden sollen. Dies

schtiesst nicht aus, dass ~~<er Uoberg&ngevon mehren Ur-

theilen zu einem neuen, die bei dieser einzigen Schinasweise

nur in mittetharer Weise môglich sind, der Abkttrzung wegenin unmittelbare verwandott werden. ïn der That m6chte sieh

dies bei einer spatem Anwendungempfehlen. Dadurch wttrden

dann woitere Schtussweisen ontatchcu.

Page 15: Frege-Begriffsschrift (in German)

Vttt

Nachtragticb hahc ich hemerkt, dass dio Fot'mctn (31) und

(tt) in die eiuxige

t––(. u)

zusammen~exogenwerdenkSnnen, wodurch noch einigeVerein-

ihehungeu mOglichwerden.

Die A) ithmctik, wie ich im Anfange bomerkt habe, ist der

Ausgangspunkt dos Gedackenganges gewesen, der mieh zu

mc{uot' HegriHsachriftgc!eitet hat. Auf dièse Wissonsettaft

denko ich aie daher auch zuerst aMuwcnden, indem ich ibre

BegriOc weiter zu zergliedern und ihre SStze tiefer zu be-

grftnden fuehe. Vo~u6g h&beich im dritten Abschnitteeinigesvon dcm mitgetheitt, was aich in dieser Richtung bewegt. Die

weitoe Verfbtgung des Mgedeuteten Weges, die Beleuchtungder Bcgt'iû'6der Zaht, dor Grosse u. s. w. sollen den Gegen-stand (ernerer UntemuchuBgenbilden, mit donon ich unmittel-

))!t)'nach dieRcr Schrift bon'ortreton werdo.

Jcua, den 18. December i878.

Page 16: Frege-Begriffsschrift (in German)

t n h a 11.

I. Erkl&ruN~ der BezeiohnunKem. Sctte

§).BuehstabennndandereZeichen. ) 1,

I)ae Urtheil.

g 2. Beurtheilbarkeit eioes MMtts. Inh~ttastrtch, UrtbcitaBtrioh )

§ 3. SMbject und PrMicat. BepiMicher !nha)t. 2

§ 4. AUgemeiM, beaondcre; verneinende; ksteRoriMhc, hypothc-

tische, diajunctive; apodiktiMhe,Meertortsche, proMomMischeUrtheite 4

Die Bedingtheit.

§ 5. Wenn. Bedingnngsstjftch 5

§ ti. Der SchtuM. Die Aristote)i<ohenSchlueaweisen 7

Die Verneinnng.

g VernoitMtnjpMtrtoh.Oder, entweder oder, und, aber, und

micht.weder– noch t0

Die ïnhatts~teichheit.

§ S. Nothwendigkeit eines ZeichensfUr die Inhaltogleichheit,Ein-

fUhmng eineaao)chen 13

Die Fnnetion.

§ 9. Ertditfmgdet'WUrter,,Fn))etion" nnd ,~<~ament". Fanotionen ·

mehret Argumente. ArgamenteateUen. Subject, Object. )5

g t0. Gebraneh der Buchetaben tts PuncttonMeMhen. ,,A hat die

EigenscM <P." ,,B eteht h der ~Beziehung zu A." ,,B t<t

Ergebnh einer Anwendung dee Verfahrena f~ auf den Gegen-stand A." Dae t~notionszeiohenais Atgament. ti)

Die Allgemeinheit

§ Il. Deutache Bnchstaben. 1)ie HChtang dea InhaltMtnchea. Er-

Page 17: Frege-Begriffsschrift (in German)

xMt<-

BCtxharkcit der deutschen Bachataben. Rebiet derselben.

LateMBoheBnchataben t9

t;)2.E9giebtefnigeMnge,dienicht–. Eagibtkein–. Es

giebt cinige Jedes. AUe. UraKchMeheZHSinnmcthSngo.Kein. Einige nieht. Einige. Ke i8t mOgUch,daM Tatë)

der)ttg)8ChenQeg9BB!itze 22

II. DMStoUumg und Ableitung einiger Urtheilo des

reinen Donkens.

)S. NtttMn der ableitenden DamteXMgBweiM 25

§ )4. Dio arsten beiden GrundgesetM der Bedingtheit 2t!

§ t5. Fotgernngen nus ihnen 29

§ tti. UM dritte Grundgesetz der Bedingtheit und Fotgeracgen :)5

§ H. Dos erate Grundgesetz der Verneinung nnd Fotgerungen 43

§ )h. Daa zweitc Grundgesetz der Verneinung und Fotgerungen 44

§ )'). Daadritte HrandgeMtz der Verneinung und Fotgerungen 47

S 20. Das erste Grundgesetzder tnhatMgteichhoitund Fotgernng 50

§ 2). Das zweite GrundgCMtzder tnh~tagtetehheit und Fotgentngen 50

tj 2'2.Das (jrundgesetz der A.Hgemeinhe!tund FotgerMgen 51

ni. Einiges sus einer ttUgomoimen Beihonlehre.

S 23. Kinteitende Bemerknngen 55

§ 24. Dio Vererbung. Verdoppetuag dea Urtheitsstriehea. Ktetne

grieohiMheBnchstaben 55

t;2a.Fotgernngen 58

§2' Das AufeinMderfotgeuiu einer Reihe CO

§i!t''o)gerunget) H2

§M.WeitereFo)gorangen. (!8

§ 2<t. ,,z gehitrt der mit x anfangendon f-Reihc an." ErkiSrang und

Fotgernngen 7t

§:t().WeitereFo)gerangen. M

§ 3). Eindetttigkeit eine<Verfahrena. Rrktarung und Fotgerungen. 77

Page 18: Frege-Begriffsschrift (in German)

Prcjtt, FentMbpnMh). )

t. ErktSrut)~ der BezeiehMMt~CM.

§ 1. Die in de)' aligemeliteitGrUBsentehregebraucitMeho)Zeichpn zerfaHeoin zwei Arten. Die erstere umfasatdie Bnci)

Htabe)),von denenjeder entweder eiue unbestimmtgeia&aMteXaht

oder eine unbestimmtgetasBeue FuMetiouvertritt. Dieae Uu-

beetiutmtheitmachtes mûgtichdie Bachstabeu zumAusdruckeder

Aitgemeiugittigkeitvon Satzen zu verwendeu wie in

(a + b)c ==ae +<'c.

Die andere Art umfasstsolche Zeichenwie +, t/, 0, 1, 2,von denen jedes seine eigenthttmtieheBedeutunghat.

/)/M<-M6~-MM~e<!f<M<CMder ~'M~MC/<cMKMF~<C<e/'~r/~t MM<

2'e<cAM,der in der Grossentehre leider nicht rein dutchgefuhrt

iat*), MeAa«'<c/<auf, «M </M/'y~' dus MN</<M~M~eGebiet des

t'<MM!~<Ae/MM~A«!< M«~&«rz« MMM/tett.AHeZeichen, die

ich anwcnde,theiieicit daher ein w ~e/cAe,«M<ef~«'M M«MA'/c/<

f<'r~M~«'f for~e//eMA«MM,und t« M/c/te die <HMMpfUMbe-

~mM/~i -S'/MMAa&~t.Die eratern siud die ~KC/M«<&CM,und dicae

sollen hauptsâchUchzum Ausdrucke dor .<M~e<MMtAe«dienet)~Bei aller Unbeatimmtheittnutia aber darau festgohaiteHwerden,dasa eiuBuchstabedie Bedeutung,wetckeman ihmeinmalgegebeu

hat, in demsetbenZuBammenhange~e<Ae/<6f~.

Das UrtheiL

§ Ein Urtheit werde immer mitUiife des Zeichens

MSgedrOckt,welches links von dem Zeicheu oder der Zeichen-

verbindungeteht, die den Inhait des Urtheitsangiebt. Wennman

den kleiuensenkrechtenStrich am linken Ënde des wagerechten

*) Man denke an )og, sin, Lim.

Page 19: Frege-Begriffsschrift (in German)

2

/M'/M' Nu ~o)i difs da~ t.'rtht'it i!) eine ~<.«* f'fM'.t/f//)/M~.tt'<'f

~««/)<)t~v<'rwMdt'h), vun wctcht'r der ~chrpibfud'' nicht a~~drtx'kt,

«ttt'riht'Wahrheitxncrkcnnccdfn'nipht. t!<-d<'ut<'x.H.

d!t!!t')'t)u')t:dit' Mt)t!t(')'!)Mi};<'))Ma~))''tp<))ci!it't)enNR)t:H)";

dannwird

w__AnichtdiMUt'ttu'i) t)))i!dr()ck('n,Mnd('r)))<'<)i~)('.)tdicV())'ste[)ung

von der jj;<'gp))s<'itipc))Anitx'hu)))!;der U))~)cirh<mt))ij;enM~netpo)<'

in don t~8t'r ttcrvorrofnn sot)cn. etwa um t'\))go'))n~(')) dat'au!fxM

ziehen H))d an ()i<*iicndie Rict~tigkcit des Gcdankcns xn pt'f)fcn.

Wh' MtM~/tret~M in dicacn) F~tf (tn)'ct) die Worte "der //M.s~f~,

f/'<M" odpt' ..der .Sah. ~<!A'.<

Nicht j<'f)p)' tnh;))t kann d'u'f)) das vor aci)) Zeichen geaetxtt'

t'int~-thei) wcrdc)), x.)!.ui<'tttd!c V<)r!itf'th)n~n!)))a".

Wir unte~cheiden da))pr /~Mr//<~7tWf und M~<'<7A«t'f tn-

hattc**).

/~<'r ?<'<t~~c/</<'.S7r/r/<, ims dcm daa Xeichen) gebitdft

ist, tW~/M~ die ~MM~ ~~<'M<~<'M~t'AfM ~M CWMt~«W!fM,«M</

aM/ dies 6~ ~< 4/<7< </«' /«/<M~, M'cAf ~MrcAdeu .«'M~-

r<'<<~M~'t< Mm//M/<'«A'M~ des H'a~'rM/tf~t <!t<~<'</?'Sc~~'M.

Ks nxige der wa~prcchtt* Strieh /HA<t//M/r/'<*A,dcr seokrechtc

/'<«'/7A'A7r/<7<hciMeu. I)er tnhitttsatnc)) diene :tucb sonst dazu,

h'gendwetche Xcichcn zu dem GaMMnder défaut' folgelideil Zeicheu

in Beziehtm~ zu setzen, M<M~M/'~CM~i/<M//A'.v/r/f'~/o/ M~

immer <'WM <'CMf//«'~a~M /Aa// /M~<.

§ 3. Ëinc Untcmci)eidung von Subject und /<M/e«/ findet

bei mcincr Darste!h)ng eines Urtheita wc~ .<<a~. Um dies zn

rechtfft'ttgen. bemet'kc ieh. dnM die Inhalte ~on zwei Urthmten in

doppcttcr Wpïsevemchieden seiu künnen: emteua so, dassdieFot-

gernngo). die aos dem einen m Verbindung mit bMtimmten ando'n

*) Ich t'cdienc )uieh dcr groMen gricchischen Buchstabenais A))-

kttrxungen, denen der Leeercinen pMsendenSinnunterlogen rnOge,wenn.

M) aie nicht besondeM erkMre.

**) Dagcgen wSre <)<rUmstaud, dMf) es HKuser (odcr ein Haus)

giebt (v~t. § 12), efn heMttheitbiu-erInhalt. Von diesem iet aber die

Vorstellung .H~us* nm' ein 'l'heil. Man kOuute in dew Sittze: .das thns

des Priamus war von Hotz' an die Stelle vou .Haus" nient .Umstand,

<taaxes ein Haus gicht" eiNMtzen. Ein Beiopfe)fmdarcr Art tlir cinen

unhcu)thci)~!tr<'))tnhtdt sichc ht'i t'ormo) s).1.

Page 20: Frege-Begriffsschrift (in German)

s

t*

gezogeu wo'dcn kHHnen,immer aur-h ans dcm zwcitpn in Ver-

bindungmit doiaeiben andern Urth<'itcnfotgen; zweitenuM. dass

dies nicht dcr F:))) iat. I)ie beiden Si'ttxp:..beit'tatac~c eicgtendie Gt'icfhcn (ibc)' die Potipr" nnd ..bci Ptatacac wnvdpn die

Perser vou den (~)'iecbcnbcsiegt"nnteMcheidf'ttsich m der crstcrn

Wciac. Wenn man nun inx'h fine gpt'htgcVersc!)ieden)u'!tdes

Sinnes erkennt')) kann, so ist doch die t'cbft'einstitnmnng«her-

wifgox). toh nome nm) denjenigenThci) des !<)hx)tc8.dpt' in

beiden ~M'.<e/h<*ist. <)p))~<M /M/M~. !)a MW~'Mfr fiir

die Bcgrift'Mcht'it'tvonBt'deutUM~ist. ao brauctttsic keiuen L'oto'-

Ht'.)!iedxwiMhotSHtMnxt)mitchen.die dcnsetho)beg)'M1ichet)!ntM)t

hnbct). Wcnt)mfmMRt:,,Snb)ectist der He~rift',vondcmdas Ut'thfi)

ttandftt",06 paest diesauch !mfdM Ot~Mt. Mankann dahcr nor

xago) ,,8))bjcctist dcr Begritt',vou dem haupMchHchftMUrtheil

haodcX." Die Stelle des Snbjectxin dot' Wot-treihcbat fiir die

Spt'achf die Bedeutungeiner HM.~?c/e/tne/~SteUo, au die mM

dasjettigchringt, woranf man die Anfmerhaatnkcitdes Hf!rt'Mbe-

Mndo'8 hintoohen wi)). (Sichc auch § 9). Dies kanu beispi(')x-wcise d'*nXweckhaben, fixe BcziehHngdiesesUrtheitszn andern

anxudottHn. ))nd dadMrchdem Ii(i)'M'die Auffasaungdes gaozcn

ZuM)))menha))gMXHerleiehterti. Atte Ërsoiteinnngen))))))in der

Spractto, die nur aus der Wechsdwit'kungdes Sprechendenund

des HOrendenhcrvorgehen, indemder Sprochendez. B. auf die

Krwat'tnngendea HOrendonRtickacht nimmt und diese sehon vor

dem AuMpreche"eines Satzes auf die richtigeF&httezu bringen

sxcht, habe))in meincr Forn)e!spraehenichtaHntspreehendee,wei)

im Urtheile))ier nur das in Betrachtkommt, wasauf die mô~tc/tHt

A'<o-«H~ Ëinnuas hat. Alles, was fOr ciné richtige8oMu8<i-

Mg&niithigist, wird voUausgedrttckt; was aber xicht nSthiRist,wird meistens auch nicht angedentet; M/c/<~wird dem jErra~eM

a&~WMMH.Hicna Mge ich ganzdem Beispielder mathematiset'en

Fot'metBprache.bei der man Subjcetund Pi'adicatauchnur gewalt-samerweise untetedteiden kanu. Es tasst sich einc Spraehe

denken, in welclaerder Satz: ,,Arohimede8kambei der Eroberuugvoit Syrakus um' in fotgetiderWeise auagedrttcktwUrde: ,,der

gowatteameTod des ArcMmedesbei der Eroberangvon Syrakusist eine ThatMche". Hier kann man zwar auch, wenn man will,

Subject und Pradieat unterscheideu,aber daa Subjectcnth&ttdcn

gaozt'n Inhi)tt, uod das Pradicat ))at nur den Zweck, dieseuats

Page 21: Frege-Begriffsschrift (in German)

4

tJrtbeit )nMuate))en. F~e M/e/tf.S/x-ae/«'M'w~ ~Mrew c/M:/y<</«<~e<~ /«r alle M'i<'<7e/M<;eM,MM)~c/<,,<t~<'</«'?'/M/A'f/c/<f'

Mit))sieht, daMim gcw6hu)iche))~ipoe von ~ubjectund Prédicat

hier keine Kedcsein kam). A'/Met'o/e~e.S~r«e/«;ist WM' Be-

y~McA~/f MM~</«~~/c/~M t–– ihr ~m~M<MMe<'/t'<ï</«'a/

/'Rr aile 6'f</te<<e.

Bei dem eMtenËutwurfc einer FcrmetsprMheHeMich mich

durch dits Bejspielder Sprache vertdte)),die tJrtheiteauaSubjeetund PrSdicatznsanttucnzmsetzen.tfh (iberxeugtcmichaber bald,

daMdies meinfmbMondernZweckehindcrtich warut)d xur lu uu-

nfttzen Weittâu6gkMttenfahrte.

§ 4. Die folgendenHemerkungtttM)Uendie Bedeutung der

Lfnteracheidungeu,wetche man iu Bezugauf Urtheilemacht, fftr

unserc Zweckeerliiutern.

Man untemchctdet«</j/e//«?<M<;und ~~o~fe Urthette: diea

ist eigeuttichkein Untet'schicdder Urtheile, sonderMder Inbalte.

/)/«?~e Af<~e/<,,e~< t'<Ac/7fOK«/Mf~?<eM /;t/M/<< ,~<)t6'r-

~/<c//fOM<'<MOM<A'rM/K/M//e". DieneHigcneohaftenkommeuuam-

iicb demlohatteauch zu, wenuer Mtc~/ais UrtheithingesteUtwird,

Houderuala Satz, (Siehe§ 2).DaBaetbegilt vonder Verneinung.!)tememiudirectenBeweiae

sagt man z. B.: ,,gcsetzt, die Strecken und CD wareu nicht

gleich." Hier eothatt der lahatt, daM die Streckeu und CD

nicht gteiohseien, einoVerueinuog,aber dieser iMhatt,obgteichder

Beurtheitungfattig, wird doch nicht ais UrtheH aufgeateUt. Es

haftetatso die VernoiuuMgam hthaite, eioerteiob dieser als Urtheit

auftrote oder nieht. Ich halte es daher fUr augemesaener,die

Verneinungais ein ~terkmateines<'<'Mf~<'i/tare/<A<Ao/~anzusehen.

DieUntMscheidungder Urtheile inkategorische,hypothetischeund disjunctive acheint mir nur grammatischeBedeutung zu

haben.*)Uadapodikti~cheUrtheil anterschfidetsich vomaBsertorischen

dadMch, dass das BeMehenaUgemeinerUrtheile angedeutetwh'd.

aus deuen der Satz geschtuMenwerden kaun, wahrendbei deu

assertorische))eiuesotche AndoutuugfeMt. Weau ieh einen Satz

atx nothwendigbezeichne, go gebe ich dadurch einen Wink ttbe)'

tueiucUt'theUsgrttnde.~« aber /<M~«feAder ~y/<c/<e /K~«//

') Die Begrfindungwird !Htsder jpHtZet)Suhntt ttervurgchp))

Page 22: Frege-Begriffsschrift (in German)

5

~M~'r~< M;'c/~A~ n'ird, .M die ~)rM des~<<eA<'M

~t /!<~ ;<tM/Mf /~<t~W~.Wenn ein Satz ale m<!giichhingcstetitwird, so enthatt sich

der Sprerhende entwederdee Urtheils, indem er andeutet, dM8

ihm keine Geeetzcbekanntseien,ans denen die Verneinnng fo)gen

wftrde; oder er sagt, dasa die Verneinungdes Satzes in ihrer

Allgemeinheitfatsch sei. Im letzterenFHHchabcn wir ein par-/«'M/«rt~y/~M~M t'r//tc<7*)nach der gewOhntichenBezeichnnng.

"Es ist mtigii'')), dass die Hrdp einmal mit einem nndem Welt-

k'irpcr KMMonMnatOsat"iat fin Bcispie!Ûtr den creten, nnd ,,<ine

HrkXitung kanu dfn Tod znr Foige haben" ist eins fUr den

zweiten FaH.

!)ic Bedingtheit.

§ Wcn)) und bpnrthciibat'c*')Inhalte bedcuten, ao

giebt es foigendc vier M6g)i(-)))tpiten:

1) .< wird bnjaht und Il wird bejaht;

2) ~<wird bejahtund ? wird verneint;~) wird verneintund wird hcjaht;4) A wird vcrneintund B wird verneint.

A

~–z-

bedeutet nun das Urtheil. ~< die ~r<7/<'Af.wr .<j/cM~7fMnicht .a~/ÎK~, ~OM~rKCMCder drei ox~erK. Wenn

A

vemeint wird, )iobcsagtdics dcmnach,dasa die drittc MSgiichkeit

~tattnndc,daM aiso A verneintund bejaht werde.

Aus den Fitiien, in dencn

bpjaht wird, heben wir tbigendettervor:

1) muM bejaht werden. Dann ist der Inttatt von ganz

gtcirttgittig. X.B.t–bedente:3X7==8], ~bedeute den

Umstand, dass die Sonnescheint. Es <indhier nur die beiden

ersten der genannten vier Fitttc mSgiici). Ein urs&chticherZu-

') Siehe t2.") 2.

Page 23: Frege-Begriffsschrift (in German)

6

sammenhuttgxwisdtcn beiden tnhaiten braucitt nicht vuritandcn

zuaein.

2)/~ist!!u vcroeinen. i~annist der Inhait von A gteictt

gittig. Z. B. D bfdeut~den Umstand, dass cin Po'petuummobile

mOgiiei)90, den Umstand, daas die We)t unendUchML Hior

ist nnr der zwcitc und vict'te der vier Fatie n)9gtich. Hm )U'-

sitchtieher ZusammenhMgzwischcn und braucht nicht M

bMtehcn.

3) Man kann das UrtheU

t'ittten, o)t))cz)t wisact),ob .t nnd zu boj&tn'ttoder zu vcrncincu

sind. Es bedcutc z.H. den Umstand, dass der Mottd in Quadt'atm' iiteht, .4 dea L'mstand.dass er ab Hatbkt'eiaersciteint. ln

diesem FaUe kann man

I--¡A

mit Hitfe des Fftgeworte,,wenu" ObersetzeN:,,wennder Moud in

Quttdr~turBteht, M erecheinter ata Hatbkreis". Uie ureachtiche

VcrknOpfung,die in dem Worte ~wenu" liegt, wirdjedoch durcit

unsere Zetcheu nicht aasgedrftckt,obgteict)ein UrUteiidieser Art

)un' aat' Gt'und eioe)'solchen geftttit werden kann. Denn diese

VerknftpfNttgist etwaa AUgemeines,dièsesaber kommthier noch

nicht zum Anadrucke(Siehe§ 12).

J)er senkrechteStrich. wetcttM'die beiden wagerechtenver-

bindet, heif)ae/~t'M~M~M~'<eA.Der )i)tkBvom BedingttugMtricttebptindUcheThcit des oberen wagrechten Striche~ ist dcr tnhatt)!-

~trich f<trdie eben erkHïte Bedeutung der Zeicheuverbindung

1

an dieaomwird jedea Zeicheuangebracttt, das sich auf deu Ge-

sam<t)tin))attdes Auttdruckeabeziehett ooH. Uer zwischen und

dem BedingungastricheHegexdcTiteit des wagerechten 8tncheB

iat der inhattMtrici)von Uer wagerechteStrict) links von /<

ist der inhattsstrich von A

Hiernach ist )eichtzu eritennen, dasat_t]"

-&

Page 24: Frege-Begriffsschrift (in German)

7

Page 25: Frege-Begriffsschrift (in German)

8

Page 26: Frege-Begriffsschrift (in German)

9

wie obun. ~o kann ein Schtuas nach irgend einer Schtnasart

.mf nnsern Fa)t zurMckgefOitrtwerden. t)a es sooac))m&gtichist,mit einer einzigenSchtussweiMauazukommen,so ist es einGebut

der Ueberaic)tt)ichkcit,diea auch zu thon. Hici'M kommt, dnss

andemfatttiauch kt'in Grund wNre,bei den At'istotetischct)Schtttss-

weisenstchen zu bteiben, Mndcrn dasa man ins (jHbestitntntehineinimmer noch neue hinxn~gen kOnnte: ans jedcm h) einer

Fornte) ausgedrtiektenUrtheilc in den §§ l!{ bis 32 k<i))ntft-m';

bcMndcrcSchtassart ~onitcht werden. .<< mit </<c. ~e-

wA/'<!t:A<M~W/'~C CMM~ &«.MMWA'~ye</0~/<~MMN'C~'ein

y~ye/M/~Mc~'.sw~ «M.~c.cA~M ~fr/ .<o/t~ tiw /M~

/H/i'«~ <?< ~mf der ~r&f ~Me~MM/</ M~eA/e~cx

Page 27: Frege-Begriffsschrift (in German)

10

M'f~M. Rinigcvon den Urttx'iton, die an die SteUevon Aristo-

tctisfhcn Schtusearteutt'cten, werden in § S!2 No. 59, 62, 66

a(tfgcf<thrtwerden.

Uie Verneinung.

§ 7. Wpnnan der untern Seitf desInhaitMtrichcBein kloiner

Ht'nkrcchtcrStrie))angcbracht wh'd, so aoi)damit der Umatand

~usgedrOcktwerden, dass der /~< ;t'~< ~<s~?:<~e. So be-

dentot z. B.

t

"A findet xifht statt". tch ncnne diesen kleinen aonkrechtcn

Strie))den f'efMCMMMyM/fic/f.Der rechts vomVcrnoiuut)g86tric))t'bctindtichcT))citdes wagerecjttcnStriehesjet der Inhattsstrichvon

J, der )i~){svomVfrneinungMtrichebe<indH('heTheHdagegenist

der fnhatt~u'ic))der Verneinungvon 0))ne den Ut'thotkatrich

wird hier so wenigwicanderawoin der Begritfeechriftein Urthei)

gcMt!t<,t

fordf'rt nur dava auf, die VorsteUungita bilden, dass .4 nicht

statt<indp,ohnc intMudrftcken,ob diese VoMteUnngwahr aei.

Wir bptMfhtcnjctzt einige FaUe. in denen die Zeiehen der

Bcdingtiteitund der VerneinMgmit einanderverbundeusind.

<

bedcutet: der FoU,w~ A'zn bp.jahcnund die Verneinungvuo .<

xn vcrncmcn ist, Hndet nicttt statt"; mit andern Worten: ..die

Mo~iichkeitbeide, und zu bejahen bestehtnicht' oder n.4

und t4e))tieMc))finandcr aus". Hs bteihenaiao nur Mgendedrei FaUe ftbrig:

A wirdbc)aht und wird verneint;.4 wird verneint und F wird bojaltt;J wirdverneint nnd F wird verneint.

TSM'))dem orberg-ebendenist tcichtanzngeben,weLchuBedcu-

tuog jeder der drei Theite des wagerechtenStrichesvor hat.

Es bedeutet

t

-r~

.,der Fait. wo.4 verHeintund die Verneinungvon B bejaht wird,

Page 28: Frege-Begriffsschrift (in German)

ti

hMteht nicht'<)()er ~beidc, .4un<)/<, konnen nichtvcrncint

werdon". Mabfeibennur fotgemdeMOgticttkt'itcnitbrig:.4 wirdbejaht und wird bejalit;

wh'dbejaht und wird verneint;.4 wird verneint und wirdbejaht.

.< und t'Mchi)pfenxusammeudie gHozcMSgtichkcit. !)ic Witt'tc)'

,,oder"und ,.cntweder oder" werden nun in zwei<achet'Weise

gebraucht:oder

bedeutetcKtenBnurdasBetbcwie

Lsts<)dast) itussef .-<und nicbts denkbMia~ X.B.: woon fiot-

UasmaMecrwat'tutwird, M vermobt't sieh ihr \'c)nmc))oder ihre

Spannnng. Zwcitemvereiuigt der Ansdt'Mck

"A oder B"die Dedeutungcnvou

–rr~ A'–F

nndvonI

in sic)),sodast)a!eoerstensausacr .4 und kein Drittea moj;Uch

iat, uud das8 zweiten8.< und B sic)) aaMchtieaaea. Vou den

vier ~togtiehkeitenbleiben dann nur die folgenden beiden be-

stohen:wirdbejaht und wird verneint;

.t wirdverneint uud wM bejaht.Von den beiden GebrauchsweiMndes Ansdrnckes t'dcr

/< ist die emteM,beider das Xus~mmenbestchexvon .< und

nieht ausgeaehtoMeHiot,die wiehtigere, und w~ w~t ~fMf~

,,o<<cr''tM dieser Zif~M/MM~$~ra'<t'/<~<. Vietîeicht ist es an-

gemesseKzwischen,,oder" und "entweder oder'' den Untcr-

schiedzu machen,dass nur das Letztere die Nebenbedeutuogdes

sich gegenaeitigAnsschiiesaenshat. Man kanu dann

übersetzeuduroh n.~oder & Ebenso hat

rr~r

diu Bedeutungvon ,,J oder oder

Page 29: Frege-Begriffsschrift (in German)
Page 30: Frege-Begriffsschrift (in German)

t3

bedeutct: ,,d<TFait, wn ttnd beidc vemeint wccdcn, tritt cin".

Man kmn) daher ftberaetzet):

,,weder noei) ist cme Th:tt6Mht'

Die Worter: ,,odet' ~n"d", ..wm)er –'))('(;()'' kuttxoeo hier

aetbstvo'tfModtieh uur !u8"fe)'Min Hfti'Mht, ais aie ~M'«'&<

Inhtdte verbinden.

Die tnhattBgteichheit.

§ 8. Die Inhattsgteichhcit uaterscttcidet sich dadurch vun

der Bedingtheit und Verneiuung, dasa xie sich auf Kameu, tueht

ftaf Inhatte bezieht. Withrend aoxst die Zeicheu tedigUch Vct'-

treter ihret) initattes aind, sodass; jede Vcrbiuduug~ in we~tm

fiietreten, nur eine Bcziehung ihrer Inhattc zum Ausdrucke britigt,

kchrft) 'fie ptutziieh iin' eigues Setbst hcrvor, iiobaM aie dure))

Page 31: Frege-Begriffsschrift (in German)

H

d:tsZ'')('))f'n <)o-tt)h!))tsj;)<'ich))pitv~hnndcn wcrdpn; d<'un MwM

d~dn)'chd''r('m))t.)t)d bcxcichnt't. dasaxwpiNamcn (h'uMtbo)

!!)h:()t)))tht')). Sf)Mtdt')n)~)itd<')'Hint'i))))'m)g<'i))<'f)Xp)c))('))sdpr

!))ha!t8~)t')M))ht')tnot))W('))t)ij!d!<' Xwie''p:ittigkt'it in (h')' Ht'df'otoxg

aHt't-Xcicht'n gogcb'')). indpm dicscthrn batd ffh' ihn'x Inhatt, ba)d

t'fh aich St-tbct'stt'hen. Uicit ct'wcckt xuuSrbtit d~o Anecht'!)), R~

ob es sic)) hier um t'twxt) haxdtt', woa dem .4<w/~M<<'nUein, nicht

(/fW /~<<A<'«!)))gph<ire, oxd n)s nb m!H) i!nr nicht verst'hicdetx'r

Xcicttt'n f'ttr dc)~s<'H)('))tohittt und :)tM noch kt'mcs Z<'ich('))))ffit'

die tnhattagtcichttcit bf'dfh'fp. Un) die Nichtipkt'it diMes Scht'ines

kby 'U tc~'n, w:U)t<'ich fntgt'))df(4 Ht~pie) nns dpt' Oeomt'tïtc.

Anf t'hx')' Kt't'ioiinie tit'gc cin fester Punkt J, um deu sich ein

Stt'aht <h'<'))t'. Wenn der Letztere ciné)) Uut'chntpsser bitdct, nonne))

wir das d<'tx.4 ('ntgeg('t)j;csctxt<'HMdcdeasctbt'n den xn dicocr Lage

gch'it'ig'')) Punkt ?. thmn ncooen wir ft'rnc)- dt-ojeni~c!) 8c))nittpn))kt

hcidcr t~inien den xn do' jfdesmatigen Lngc des Stritttk'e gehih'tgcn

)'t)))kt wetchct' sic)) aus dcr Rcgct crgiebt. dass stetigcn Lagen-

iindf'rungon des St)'ah)c8 inxnf')' stetiKt*Lagcnandet'nogt'o vnx

cxtsprt'cht')) ~nUot. Uer Kanx' bcdcntct atso 6f) lange etwas

)'))besti[n)))tcs, ats noeh nit'ht die xuguhiirige La~t' dcx 8t)'a))tt's

a))gf'fbct) ist. Man )<:u)nnun fragen wetchcr Punkt ge))8rt der

Litgti dt's Strahtc~ an. in der cr zum Uurchmesser senkrccht steht?

))ic Antwort wird iitin: dft' t'unkt .<. Ker Name hat atso in

dicacn) FaUr dcnsdbcn !)))t!))twie der Kamc .<; nnd don)) kOnntp

tUttn nicht von vot'nhcrein nur Hinen Natnpn braucticn, wei) crat

dnrch die Aotwort die Rcchtfertignng daffi)' gt'gebo) ist. Dersethe

!'M))kt ist in doppetto' Weise bcstinxnt:

1) Utunittethar durch die Anschimmig.

2) !t)s Punkt wc)c)ter dcn) zum Uurcttmesscr St'nkt'cchtet)

8trahtc zugetxirt.

Judcr dieser bciden Bcstimmungswcisen entspricht ein be-

soHdct'cr Name. Die Nothwcndigkeit eines Zcichona der tnhatts-

gteichhcit beïuht atst) auf Fotgendem: demethe t~hatt kann auf

veMchicdeue WeiMu v8)tig bestimmt werden; dass aber ln eincm

bceondern Fa)tf durch ~a'~ /~A'<~MHMH~H'~M~Kwirktich ~aM~e

gegebeu werde, ist der Inhatt cinea t~M/ Bevor dies erfolgt

ist, miteseu (tûn beiden Beatimmuttgsweisett entsprecttend zwei ver-

schicdenc Nameu dem dadurch Hestimmten vet'Hehen werden. Das

Urtheit aber bedari zn Beiuem Ausdrucke eines Zeichoua der tu

Page 32: Frege-Begriffsschrift (in German)

15

Mt9~)cifhheit,wotchMJcn('beid<'))Namcnv<')'t)indt;t. Hict'ms

gt'ht fn'n'or, dasx die vcrschicdMteo Kamt')) tttr detMcXx')) fnhatt

nioht immer blos c!))c gteich~ittigo FcrnMM'tx' oind. scodo')) daas

sic daa Wesen der 8a<*)n*'!t')bst betrcftft). wcnn tiif mit vt')'

schiedotO) Hestimmttttgow-iacu xntiamtncn)):H~cn. t)) dit'tn t'')))k'

ist <!MUt'thci~ wetchM die tnhittt~gh'iehht'it xnu) Gc~oMtiHtdc hat,

im katttisctjcn 8inne <'i)t syntht'tiacht'i). Hin )nR)n'ftUiiserf'r (irttnd

zur Rmftihmng cinc~ Zt'ichcne der Jnh;)tt;<g[fichheit Ht-~t d:))'i)),

dass ('&zuweiten xwpckmiissi}; ist, :tn do' St'*))f' Hhtcs wpittanft~en

Au~drucks eine Abkfit'xon~ ei))i!))f(H)~)). Uann h:~ rnsn die

(Hpichheitdet! tnha.(t)tdm'Abktt)'xHnK t)!)d')'-)' tt)'!ipri)))Kt'<:t'fu

Form auMndrUckcn.

Ha bedentp Hun

~(J A-):

das ~<M< MM~</«A'~<cAeM /M~<'M<<.t-f/<'fM <'f~<f'M

/!i/<«~, XO~Y M~MM~'t! W <f .S'/< t'ftM.< /< M/j<-M/fM)MK/

«M~

Ui'* FouctioM.

§ 9. Deakot wh' den Umstitttd, dasa Wx~erstuttgaa [eichter

ais Koh)on6Sm'p~aa ist, in unaet'ef FormetspnMhe au!ig<'dt'ftc):t, so

kSnncn wir ait die StoUc des ZeicheM fiH' WaMerstui~as das

Xeichen far SimemtoOgM oder das t'ttt- Stickstott'g:~ ciusctzcn.

Hierdnrch &nd<'rt sic)) der Sinn in der WeiM, dass ,S!tneMto))'ga8"

oder ,,Stick6toffgas" iu die Beziehungct) ciiitritt, in dencn zuvot'

,,Waifserstoffga8" stand, htdem omn cinen Ausdruck in diesef

Wcinc ~cr~udertich denkt, xcrfa)tt dcrselbc in cinen Heibend~n

Bestaodthp)), der die GeaMamtheit der Boziehuagott darsteUt, nnd

!u daa Ze!chfn, wetches dorch andere ersetzbar gedacht wird, nnd

wetcheB den Gegonsttmd bedeatet, der in diesen Beziehungen aich

befindet. Den ersteren Bestandthei) neune ich Function, den

letzteren ihr Argument. Uieati Untet'BchoidMnghat mit dou be-

griû'tichen hhatte nichts zu thun, sondcrn ist allein Sache der

AuffMsnug. Wahrend in der vorMn Mgedeuteten Uett-achtungs-

weiee ,,WMseratoHgM'' das Argument, ,eichtet' aïs KoMcuBfturegM

zu sem" die Funetiou war, kôunen wir deaaetbctt begri&'tKhen

Inhatt auch in der Weise auftaMen, dMS ,,Kob)ensauregM" Ar-

gumeut, ,,MhwM'c)'ith WasseratoB~aft zu seiu" Futtotion wtt'd. Wir

Page 33: Frege-Begriffsschrift (in German)

tM

braufhcn dann )t)tr ,,Ko)ttenaiinrcgM"dnrch andere VorsteHungen,wic ~atziianregati", ,,AmmonMkgaa"t'Mctzbar zn denkcn.

"Uer Un'stand, <)«MKctttensifKregasMttWfrera)a Wasacraton'-

gM iet"

und.,der Umstand. daœ KohteHa&uregasschwerer ata Saneraton'-

gaa ist"

!<)nddn'eetbe t''UNCtionmit vcrachiedcne))Argumenten, wenn nom

,,Wai!)iCMto8'~as"nud ,,Saum'))tof!gas"ats ArgHmentcbetmctttet;sic siud dagcgett vcMchiedeucFunctiMtfudcoetbfn ArgumeMts,Wt'ttuma)t ,,Koh)ensituregM"itts d!ese9an&icht.

Es diene noch a)))Meisplet,,der Umstand, dass der Masseu-

nuttctpunkt dea Sunnen~yatemskeine BeschteunigHnghat, fails

unr innereKr&fteun Souuensystemewirken". Mierkommt,,8ot)ncn-

syxtem" an zwei Stctte)) vor. Wir kOnnen dies daher in ver-

schiedcncr Wcise ata Function des Argumentes ,,Sonueney8tem"

ant'tassex, jenachdett) wir ..Sotmensyatcm"au der craten oder an

der zweiten oder an beidenStellcndurch Anderea hn letztcn

Falle aber beide Male thu'chDaMetbc ersetzbar denken. DJeac

drei FnNctionen sind ttammtUchvemohieden. Dasselbe zeigt der

i~at! dass Cato dc~t Cato tôdtete. Wenn wir hier ,,Cato''an der

ersten SteHc croetzhar denken, xn ist "den Cato zu Mdtcn" die

Function; denhen wir ,,Cat< an der zweiten Steite ersetzbar, go

ist "von Cato getOdtet za werden"die Fonction; denken wir

t'udtich ,,Cato" an beidf ntiteiienersetzbar, M ist .,8ichaetbat zu

tiidten'' die Function.

Wir drucken jetzt die Sacheallgemeinauti:

~<'Wt /K ~6M ~K.<1«' ~eMM/M~<<!HC/<<tCM/AeMw

ZMseiu /'r<M<< c<M~/«fAM o</cr~M«mMe?<yM~~Zeichen ait

<*M<'roder ara MC/<r<'MA'eM po~cM/ MM<fw<r<~eMAo<es art

a//eModer e~M~eMdieser .S'<CM~MrcAAnderes, a&<'r«//aber ~M~-e/<

/)<~M<<'cersetzbar, so M~MteKw~ << hierbei MM<wtM</er/<eAer-

A'e~MM~MyAc// f/M /<«M~c~M/'KMe~M,<<~ cMc~toreK ihr

.~W/M~.

Ua denmact) etwas ah Argumentund zugleieh an MÎchett

iStdicn in der Function vorkorniuenkann, wo es uicht ersetzbar

gedachtwird. eo unt~racheidenwir inder Funetion die Arguments-stctten von den ubrigen.

Page 34: Frege-Begriffsschrift (in German)

17

H< moge hier vor einer Tânschttng gewarnt werden, za

welcher der Sprachgebrauch teicht Vcrantassunggiebt. Wenn

man die beiden 8&tze:

,,dieZaht 20 ist als Humme von vier Quadratzahicndarsteiibar"

und

,,jede positiveganze Zaht iat sis Summe von vier QoadMt-zaillen darstcMbar"

vergteicht, so scheint es m<igUchxu sein, ,.)~8Summevon vier

Qaadmt~htct~ dMiitcUbarzu sein" ais Function aufzufaMen,die

einma)als Argument,,d!c Zaht 20' das andre Mal .,jcde positive

ganze Za))t" hat. Die [rrïgkeit dieser AuSMaungerkcnnt man

durch die Benterknng, dass .,die Zaht 20" und .Jede positive

ganze Za)ti" nicht Begriffe gieichen Rangea sind. Was von der

Xahî 20 anagesagtwird, kann nicht in demaeibenSinnevon "jede

positiveganze XaM",allerdings aber unter UmstJindonvon jeder

positiven ganzcn Zaht ausgesagt werden. Der Ausdruck ,,jede

positiveganze Zaht"giebt nicht wie "die Zab) 20" fitr sich allein

eine setbstandigeVorateHuMg,aondern bekommt erst darch den

ZMammenhangdes Satzes einen Sinn.

Ftir uns haben die verBchiedenenWeiaen, wie derselbebe-

griffliche Inhatt ala Function dièses oder jenes Arguments auf

ge(asst werden kann, keine Wichtigkeit, solange Fanction nnd

Argument voHig bestimmt sind. Wenn aber das ArgumentMM-

bestimmtwird wie in dem Urtheile: ,,dn kannst ats Argumentfur

~~atsSummevon vier Quadratzahten darstellbar zn sein"« eine

boliebige positive ganze Zaht nehmen: der Satz bteibt immer

richtig", so gewinntdie Unterscheidung von Fonction und Argu-ment ome MAaMc/teBedeutung. Es kann auch umgekehrt das

Argumentbestimmt,die Function aber unbestimmtsein. In beidon

Fattenwird durchden Gegensatz des Zfe~<<mm<e)tund ~~e~t~m/~t

oder des mehr und M:K< Bestimmtendas Ganze dem Inhalte

nach und nicht nur in der AuNassungin ~MMc<MHund Argumentzerlegt.

Wenn<?MH!'KentM'~'MMCttOMCM ~«AMals unersetzbar

(M~Me~MM~cA~t*) an c<M~K oder a//eMStellen,mo es vor-

Aomm~ersetzbar denkt, so ef~«/f m<tM<f!<rc/tdiese ~M~tMMMy~-

*) Es kfmn aaoh ein schon vorhereMetzbat~e3M~Zt~chen

an

sotchen SteUen,wo es bisher ats bleibend aagea~~wuMe; )~tz~.eben-

faHtiit!6ersetzbMraufgefaa8twerden.~t

Fre~et~urtnet~'ruMhet t.l.

Page 35: Frege-Begriffsschrift (in German)

18

tfCt.Me!K6Ft<KC<M?t,die SMM~ <~Ht~i MC&CM~rp'MMM<<hat. Auf diese Weise entstehen ~'MHCh'OHCHMMzwei !<K<~mehr

/<r~<MfH<~M.So kann B. ,,der Umstand, dass WMaeratoiîgasteichter ats KohtensaaregM!8< ak Functionder beidenArgumente

,,WaMeKtoffga8'~und ,~oh!eneMuKga9"aufgefaMtwerden.

Das Subject ist in dem âinne des Sprechendengew8hnHchdas haupt6&f.h!icheArgument; daa n&ehstwichtigeerscheint oft

ais Object. Die Sprache hat dnreh die Wahl zwischenFormen

und WOrto'n wip

Aetivum PaMtVMm,BehweMF teichter,

gcben empfangendie Frciheit, nach Betiehen diesen oder jenen Beetandtheit des

8atMs ate hanptsitchtichesArgument erscheinenxu taesca, oine

Froineit. die jedoch durch den Mange)an WOrtembeachrXnktist.

§ 10. <?Meine MK~M~MM/C~<KC~O?<<~ ~MMO~M a!M-

XM~~M, /<M~Mt!'ir tMA'/amwe~H<w~<'MoMeHeM/'einen

~KC~<<M /b~M, Z.B.

Page 36: Frege-Begriffsschrift (in German)

19

2*

ando'c Zeicheo ?~ X fr'x~ denken kônnen wodnrch dann

nnden' Fanctionendes Arg'unf-ntpa<<aasgedruckt w~rdën

."o~<MHmsM<P(<4) als e<M~ttc<MKdes ~r~xmcH~M a«/~

/<MMM.Man sicht hieran besondemktair. das8 der Fnnctions-

begrM'der Analysis,dem ich mieh im AHgemeinenangeachtosBen

habe. weit be8chT&nkteri9t ate der hier entwickeMe.

Die Attgemeinheit.

§ )]. ln domAusdruckeetne~UrtheHskann mandie rechts

von t–– stehende VerbindungvonZeichen immer ata FuttcHon

eineader darin vorkommendenZeichen anschen. ~e~/ MSMaM

<~<'Stelle dieses ~!<MeH<ef!MHm<<eM~e/«MP«e/M~M, MM~

~M< mott <~MPM~aMM~We~ee?Me/~7<A<My,M der dieser ~&c

//«cAs<a6es(e~(,tf<p<M

4- (a),

so 6e<fe'<<e<dies das ~W/M< <~<M~y~te Function emc Thatsache

sei, fa~ m~ auch als ihr ~ry!<WM~<!HM~~tm~. Da ein ata

Functionszeichenwie4' m (~) gebrauchterBuchstabeselbatata

ArgumenteinerFonctionangesehenwerden kann, so kann an die

Stelle dessetben in dem Sinne, der eben feBtgeeetztist, ein

deut<cherBuchstabetreten. DieBedeutung einee deutsehenBuch-

staben iat nur den xoibatveKt&ndtichenHcschrankungett unter-

worfen, daas dabei die Ben)'theitba)'ke!t(§ 2) einer anf cinen

InhaitaatrichfolgendenZeichenverbmdungttnberOhrt bleibenmuB8,

und daae, wenn der deutscheBuchstabeata Functiooszeichenauf-

tritt, diesemUmatandeRechnnng getragen werde. ~e a&r<

F~~K~eM, <~MMdas MK~WO~/Mtsein M!< ?<? an die~e~

<MM~JeK~C~K//MC~<CK~M<~<W~t darf, <Mdas Ur-

tA~ <m/2:«H~meM.Ana einemsolchenUrtheile kann man daher

immereine beliebigeMengevonC~<Ae<7exmit M'~Mt~efa~est~MeMtAtA<t/<eherieiten,indemman jedcaMalan die Stelle des deutschen

Bnehstabenetwas Anderea einsetzt, wobeidann die H8htang im

Inhaitaatrichewieder vorachwindet. Der tmke von der H6htong

befindlichewagerechtaStrich in

t-((t)

ist der InhattestriehdafOr,daBS<~(a) gette, was man aucli an die

Stettevon a BftzMumi)ge, der recht~von der Ituhtung be<indti<;he

Page 37: Frege-Begriffsschrift (in German)

20

neint werden. AtM anch hier kann man nicht etwas BeUeMgeBan die Stelle von a setzen ohne die Riehtigkeit des UrtMh zu

ge~hrden. Dies er~tart, weshatb die H~htung mit dem hinein-

geschriebenen dentschen Buchstaben nôthig i&t: sie ~re?M<das

Gebiet et, auf welches sich die durch den Buchstaben tf~eA-

tM<e~4~ec<e<M~c~bezieht, AMf <KK~o<&seines <i'e&<e<MM~<

der deutsche Buchstabeseine ~c~eM<:<n~fest; in einem Urtheile

kaun deraelbe deutscheBu~hat&bein venchiedenen Gebietenvor-

kommen, ohne daas die Bedeutung. die man ihm etwa tn dem

cinen beilegt, sich auf die <tbngenmiterstreckt. UMGebieteines

dentschen Buchstaben kann das einea audern einschtiemen,wie

das Mpispift

Page 38: Frege-Begriffsschrift (in German)

21

t-~j–~)

'(a,e)

zeigt. tn diosemFaite mOasensie fer~eA~ gewahtt werden;man dtir~e nieht statt e a setzen. Es iat natttdichgeatattet, einen

doutschenBachstabcn ttberat) in eeinem GeMetedurch einen be-

atimmtenandern zu ersetzen, wenn nur an Stellen, wo vorher

verschiedenoHuchstabenatanden.aach nachher veïschiedeaeatehen.

Dies ist ohne HinftuMauf den tohatt. ~ere E~e~MK~CHsind

MMf~aMtief/a«6f, wenn die .Co~hM~unneittelbarNM/'den Ur-

~e~<rtcA folgt, sodaSBder Inhatt des ganzonUrtheita das Gebiet

des deutschen Buchstabenausmacht. Weil dieser Fait demnach

ein Magezeiehueteriat, will ich für ihn folgendeAbkftrzungein-

fOhren. <6'MlateinischerFw/M/a~e habe als <?~e/ /MM~'~CM

7M~a~<des ~'aMMM~r~e<7~,ohne dass dies dm'eheine Hohtangiminhaltestrich bezeichnetwird. Wcxn'eintatcinischerBuchstabe

in einem Ausdrucke vorkommt,dom keiu Urtheiteetrichvorhcî-

geht, so Mtdieser At~druck amntos. &'? ~<e)KMcAerBMe/M/a&e

dar f <MM<-f~M'cAMMM~M~cAett,der MOcAnicht ina M-~<!<~

!'or~-OMM<,CMe~<tf<'r~, woboi die HObhtngunmittelbar nach

dem Urtheibstrieheanzubringenist. Z. B. kaon man statt

Page 39: Frege-Begriffsschrift (in German)

22

Page 40: Frege-Begriffsschrift (in German)

23

Page 41: Frege-Begriffsschrift (in German)

24

Page 42: Frege-Begriffsschrift (in German)

Il. DM'stcMuMgund AMeitungeiMigerUrthcitf

des reinen Denkens.

§ 1: Einige GrundsMMdes Dcnkenasind <ichonim eraten

AbschnitteherangeMgenworden.nmin Regetnfür die Anwendungunserer Zeichen verwandelt zu wcrden. Dièse Regeln und die

GcBctze,deren Abbilder sic sind, kënnen in der Begriffaacht'iftdeahalb nicht MSgedrticktwerden,weil eie ihr zu Grunde tiegen.!n dieeemAbschnittesollennun einigeUrtheitedes reinen Uenkens,bei denen dies magtichist, i))ZeichendargMtetttwerden. Es liegt

nahc, die zuaammengesetzterendieser Urtheile aus einfaehcren

abzuteiten, nicht um sie gewisaerzu machen, was meistens un-

nëthigware, sondernum die BeziehungenderUrtheilezu cinander

hervortretenz~ttassen. Ee ist offonbarnicht dMaethe,ob man blos

die GeBetzekennt, oder ob man auch weiM.'wiedie einen durch

die andern schonmitgegebensind. AufdieaeWeisegelangtman zu

einer kleinen AnzaM von Gesetzon, in weiehen, wenn man die

in den RegelnenthaKenenhinzanimmt,der Inhait aller, obschon

unentwickett,eingeschtosBeBist UndanchdieBist ein Nutzen der

ableitenden DarsteUungsweiBe,dass aie jenen Kern kennen lehrt.

Ua man bei der unabemehbarenMengeder aufstellbarenGMetze

nicht atte aufzahtenkan)), so iat VoHst&ndigkeitnicht anders ats

durch Aufsuehangderer zu erreichen,die der A~'s/?nach aile in

sich seMiessen. Nnn muse freilichzugeatandeuwerden, daas die

ZurOckfUhrungniehtnur in dieser einenWeisemëgtichiet. Dai<er

werdendurch eine solcheDaratettungsweiMnichtaile Beziehungender Gesetze des Denkenskiar getegt. Ea giebt vielleicht noch

eine andere Reihe von UrtheHon,au9 denen ebenfana, mit Hin-

znnahme der in den Regetn enthattenen, alle Denkgesetzc ab-

geieitet werden k8nnen. tmmerhiu jet mit der hier gegebenen

Page 43: Frege-Begriffsschrift (in German)

26

XurftckftthrungawetMciné sotcheMengevonBeziehungendH'gdfgt,dM8 jede andere ANeitnngMhr dxdurch erleichtert wird.

)MeZah) der SMM. di<' h) der fotgexden Daretettungden

Kern bilden, iat ttcun. Von diesen bediirfo) drei, die Formetn 1.

2 und 8. za ittn'm Au~dt'nckt',nbgesehcnvon HMehstaben,nur des

Zcich<'))8der Bcdingthcit;drpi. die Formeln28, 31 und 41, ent-

hattct) dazu noch daa Xcichender Verneinung.zwei,die Formetn

53 und M, <I:Mder !n)ia)t~g)eich))cit,und in einem, Formet58,kommt die Hf!))!un~des tnhattastricheszur Verwendung.

Die t'o)gpndcAbleitungwQrdeden Leser ermftden,wolite er

Ne in alleu Einzetheitenvorfotgen;sie hat nur den Zweek, die

Antwort far jede Frage (tber die Abfolge eines Geaetzesbereit

zu ha!ten.

§ 14. --aa

'–6b

a (t.

beMpt: .,der Fait; wo a vcrnpint,b bejaht und a bejaht wird, têt

)tU8gc8ch)oespn' Diee (cuchtetein, da a nicht zugteichverneint

nnd bcjaht werden kann. Man kann das Urthtit auch so in

Wortcn MMtrttcken: ,,wennein Satz a gilt, M gilt er auch, fatts

ein beliebigerS~tz b gitt". Ks bedeute z.B. a den Satz, daMdie

Summeder Winket im DreieckeABCzwei Rechte betrage;¡t den Satz, dass der Winket ~C' ein Rechtcr sei.

Hann crhatte!) wird<MUrthcit: "wenn die Summeder Winket

im Urciecke .<~<' zwei Rechtc beMgt, ao gilt dies auch Mr den

Fall, da88der Winket /(/yCein Rechter ist".

Page 44: Frege-Begriffsschrift (in German)

27

Page 45: Frege-Begriffsschrift (in German)

28

Page 46: Frege-Begriffsschrift (in German)

29

Ks bndente z. R.

c, dass in einerXahtenreihe jedes nachtotgcndcGlied grossel'

a)s das vorangeitendesei;

< dass ein UHed grOsecraie sei; i

a, dass das Glied A'grôaser a)a sei.

Dann crhatten wir folgendes Urtheit:

..wenn ans den Satzen, dass in der X&hlenreiheZ jedes fol-

gendc Glied grSMer ais das voraugehendcist, und daas das

Glied grë8Ber ats L ist, geschtoasenwerden kann', daaB

das Glied N grOsaerats L ittti und wenn ans demSatze. daM

in der ZaMenrethe jedes nachfotgendeGlied grësser ais

das vorangehendeiat. fo)gt, daas grHsMrata L ist, so kattn

der Satz, dass A grOsserals Z.ist, aua dem Satze geschioasen

werden, dass jedea nachfotgendeGlied in der ZahlenreiheZ

grosser at8 daa vorangehende iat".

Die 2 links bedoutet, dass rechts davon die Formel (2) steht.

Der Schluss, welcher den Uebetgang von (2) und (1) zu (3) be-

wirkt, iat nach § 6 abgekNvzt ausgedrOckt. AusfahrUchwftrde

er so gcBchriebeuwerden:

Page 47: Frege-Begriffsschrift (in German)

30

Um Mu den Satz (t) in der verwickctterenGestalt, m der

er hier erscheint, tetfhter erkennba!' zu machen, dieut die tdeitte

Page 48: Frege-Begriffsschrift (in German)

31

Page 49: Frege-Begriffsschrift (in German)

32

(6.

Page 50: Frege-Begriffsschrift (in German)

3:;

t't'C~f t FoftWk~ÏHCbC. g

Die BedfMttmgdes doppettenKotott ist in § R cttdM.

iteit)p!etzu(6). Ë~sei

a der UmetMd, dam dae SMck Bisen E magnetischwerde;

b der Umstand, dasa durch den Uritht./) eia gaivaniaeherStrom OteoM;

c der UnMtand.dnas der SchtOsset?' niedct'gedrttcktwerde.

Wir ct'hatteMdant) das Urthei!:

"wenn der Satz gitt, d&~ m~gnetisf))wird, Mbfttddure))

tua gt~vMKaeherStrom tHesst;wenn ferner der Satz gilt, dasa ein gatvfmischerStromdorch

/) tHeast,aobidd T niedergedrNcktwird:

90 wird E magaettsch,wenn T nicdcrgedrttcktwird.

Man kanu (5) bei Vor~MoetzHugKraSchUcherZusammenhitngego ausdrOckeh:

,.wet)n eiae hinreiehende Bedingung fUr a, wenn c eine

hinreiehende Bed!ngtmgfar b ist, so ht c oine hinreiehende

Bedicgung far a."

((:.

Page 51: Frege-Begriffsschrift (in German)

34

DieMf iSatzunterscheidet Mchvon (5) nur dadnrch, dass an die

Stette der einen Bedingung,c, zwei, c Mnd<f, getreten aind.

Beispietxu (7). Es bedeute

d den Umstand,dassder KolbenK einerLuftpumpevonseiuer

~UMerstenLage links in seine ~ussersteLagerechts bewegtwerde;c denUnistand,daMder M&hnH in derSteHnngt Bichbefinde;b den Umstand, dan die Dichtigkeit!) der Luft im Reci-

pienten der Luftpumpeauf die H&tftegebrachtwerde;a den Umstand,dasa die Hahe H des Standea einM mit dem

R&umedes Recipienten in Verbindung atehendenB&rometemauf

die H&Mteberabsinke.

Danu erhalten wir daa Urtheit:

"wenu der Satz gilt, dass die HôheH des Barometer-

standes auf die Hiilfteherabsinkt, Mbatddie UicbtigkeitD der

Luft auf die Hâtfte gebracht wird;wenn ferner der 8&tzgilt, dass die LuMichtigkettD auf

die Hatftegebracht wird, wean der KolbenK aua der tnaseF-

atou Lage links in die ansaeMteLage reeuts bewegtwird, und

wenn der H&hnH aich in der SteMang1beûndet:

so ibigt,dasa die Hohe H des BarometeMtandeaauf die E&Ktebefab-

einkt, wenn der Kolben K aua der anMeMtenLage links in

die SueeerateLag&rechte bewegt wird, wahrend der Hatm H

sich in der Stethmg 1 befindet".

Page 52: Frege-Begriffsschrift (in German)

35

&'

Page 53: Frege-Begriffsschrift (in German)

36

Diese Formel &.nn ma.t BOObeNctzen:,,wena der Satz, dMs boder ..icht c BtaMSnde, eine hiBi-eiehendoBed!ngang fur « htao iet b allein eine hinreichende Bedingungfar a."

Page 54: Frege-Begriffsschrift (in German)

37

Page 55: Frege-Begriffsschrift (in German)

38

Page 56: Frege-Begriffsschrift (in German)

39

Page 57: Frege-Begriffsschrift (in German)

40

Page 58: Frege-Begriffsschrift (in German)

ni

Page 59: Frege-Begriffsschrift (in German)

42

Page 60: Frege-Begriffsschrift (in German)

43

Page 61: Frege-Begriffsschrift (in German)

4<

Wcnn /<untt c !)in)'t')fhe))dcBedingungen f<(r « aind, M kann

:ut8der Vernemungvon a uud der B~sht)))~der einenBcdi)tgunt;(c) die Verneinungder andern Bedingnoggeachtossenwerden.

i-i'a bedeutetdieVerneinnngder Verneiming,mithin die Bajalitingvon a. Es kattaa!so nicht a verneint nnd (zugteich) -n- bejahtwerden. ~M~~ negatio<~M< Die VemeiMngder Vemeinnngist Bojahung.

Page 62: Frege-Begriffsschrift (in German)

45

Wenn« ode)' <<ataM<tudet,M Ottdctb oder <tstatt.

Weoudas Kintretendes Umstandesc beimWegfattdes Hiadenntgs-

grundes b das StattSodeuvon s zur Fo)ge i'at, so kann aus dem

Nichtstattfindenvon a beimEintretenvon c auf das Hintreten des

Umdemnsegrundeab gMcMossenwerden.

Page 63: Frege-Begriffsschrift (in German)

4S

Ue)'Fa)!. wo<)verneint, « beja))t und <~bej~htwird, tritt nicht

eiu. Man kaun <)ieNso auMprechen: .,wem)f<cintritt, so findet

eiott von beiden,oder b, atatt."·

Wenn a die nothwendigeFotgc davon ist, daM Il oder c ein-

tritt, Noist a dieBothwondigcFolge von c allein. Es bedente z. B.

(têt)Umstitxd,dass der eMteFactor einMPrnducte P 0 wird;<' dcn UhMtand,dastider xweite Factor von t*0 wird;a den Umstaud,dasiidas i'rodnct P 0 wird.

Uaun haben wh'das (Jrthei):

.,wean daa Preduet P 0 wird, t'aHsder emte oder der zweite

Factor 0 wird, so kann aus dem Vemchwindeudes zweiten

Factore daa VeMchwindendes Productea geechtoMenwerden.

Page 64: Frege-Begriffsschrift (in German)

47

DieBejahung von a vernetnt die Verneinungvon o.

Wenn nur die Wahl zw~chen a und a ist, ao iindct a statt.

Mau hat z. B. zwei F&He!m unterscheiden, welche die ganze

MCgUchkoiterschOpfen. Indem man den e~ten verfolgt, getMgtmauza dem ErgebtUMe,dass <tstatt6ndet; desgteichen,wennmim

de))zweitenverfolgt. Dann gitt der Satz <(.

Page 65: Frege-Begriffsschrift (in German)

4S

Wcon « gitt, eowotdfitUsr cintritt. ais auch fath c nie))tein-

tritt. tto gilt H. Ë))) anderur Auadruck iat: ..wenMa oder c

cintritt. nnd wenn dMHintretenvon f a zur (x'thwendiget)Fotgehat, so tit~~t n fttstt."

Man kann diesenSatz so aussprechen: "wenn sowohl <*ata auch

b eiue hinreichendeBedingungfMra iat, und wenn oder c

stitttSndet, sa gitt der Satz a." DiesesUrtheil wird angowendet,wo bei einem Beweieezwei F&tte zu unterscheideu sind. Wo

mehre FsHe vorkommen,kana man immerauf zwei Mrttckgehen,indem man einen voo den Fatten ats den eraten,die GeMmmtheit

der obrigen ais den zweiten FaU anaieht. Den tetztereu kaon

man wiederin zweiFaHe zertegenund hiermitsa lange fortfahren,ais noch ZertegungenrnSetichsind.

Page 66: Frege-Begriffsschrift (in German)

49

'Fro)!e.F<n'et!<prMt'))t'.

Wcntt <'i)x' hhu'ctchcndt' Bedingnng d~f)))' ist, dnss ofh'r r

stnttfindt't. nn() wc)))) sowottt~itts !m(')trt')t)<'hi)n'fi''t)t'))(if'

!{cdiMgU)){!:f))rMi!!t,6oist<~t'n)eh))))'<'ic))C))d<'HM)i)){;Ht)gfih'

Hin tMi(pi<')~ct' Anwcndung bietft die Ahteihmg: vo)) I''o)'met(U)t).

Page 67: Frege-Begriffsschrift (in German)

50

Der Mt, wo der tnhidt von gtc!chdem Inhalt von d ist. wo

/'(<*)bejitht nnd /'(</) verneint wird, Met nictit statt. Dieser

Satz dt'tickt ans, dass man Obéra))statt c Betxo)) kOnne,wenn

e d ist. fn /(e) kann c auch an andcr') ak dcx ArgumeHtsste!)ct)vorkommen. Uahcr kann c auch tMch in /'(~) enthalten

aein.

Page 68: Frege-Begriffsschrift (in German)

&t

4*

f (a) bedeutet. dMS/(&) stattfinde, wasm&naueh unter a

vp.Mtehpnm'igc. Wenn daher "((t) bejalit wird, so kan))

/'(e) nieht verneint werden. Dies drttckt unser 8:tti! M8. a

kMnt hier !iMr an den ArgnmcntssteUeuvonf vorkcmmcn,weit

dièse Function auch aMserhatb des GoMptci)von a im Ut'the!)c

vorkommt.

Page 69: Frege-Begriffsschrift (in German)

52

Page 70: Frege-Begriffsschrift (in German)

53

Hier kommtft in zwei Gebicteu vor, chue dass dies eine beMB-

derc UeztehMg acdeutete. In dem einen Gebiete kônnte man

statt a auch etwa e acht'eiben. DieselsUrtheit eraetzi die SeMusa-

weiseBarbara fUr den Fall, daas der UnterMtz _a_o(~)

'–&(&)

ciacu ~ttgemetnenInhalt hat. Der Léser, der sich in die Ab-

tcitungsat't der BegutTaechriftbineingedaeht hat, wird im Stande

sein, auch die L'rtheiiehcrzuteiten, welche don andern ScMuss-

weise))entaprechen. Hier mtigen diese ats Beispielegenttgen.

Page 71: Frege-Begriffsschrift (in German)

54

Page 72: Frege-Begriffsschrift (in German)

III. Einigesaus einer aMgcmciucnRcihcMiehte.

§ 23. Die fotgcnden Abteitnagen sot)cnciné allgemeineVor-

sttHung vonder Handhabung dieser BegnffsBchriftgeben. wenn

sic fmehvielteichtnicht hinreichen, derou Nutzeu ganz erkennen

zu lassen. Dicser wth'de erst bei verwickeltereit Satzen dcuttich

hervortreten. Auascrdem sieht man an diesem Bcispietc, wie daa

von jedem durch die Sinne oder selbst durch eine Anechauunga priori gegebenenInhattc abse))endereine Denken allein aus dem

!n))a!tc,we)c)n'raeiofr eigencn lieschaffettheitcutsprmgt, Urtlieile

hervorzubringenvermag, die auf den ersten Blick nur auf Grund

irgendeinerÂMehatlung miigtic))zu sein achcinen. Mankaun dies

mit der Verdichtungvergleichen. mittets deren es getnngen ist,die dem kindtichenBewuaataein ats Nichts erscheittendeLnft in

eine Biehtbaretropfenbitdende FtNssigkeitza verwaudeln. Die im

Foigcnden etttwicketten Satze ftber Reihen (ibertreffen an A))

gomeinheitbeiwcitematte ahntichett) welche ims irgendeinerAn-

schauung vonReihen abgeleitet werden kiinueii. Wenn man es

datter f0r angemeeaener hatten m<ichte, eine anschauUcheVor-

atettung von Reihe zu Grunde zu legen, so vergease man nicht,dass die so gewonnenenSatze, welche etwa gleichenWortlaut mit

den hier gegcbenenh~tten, doch lange nicht ebensovielak diese

bes!)gcnwttrdm, weil sie nur in dem Gebiete eben der An-

schamtng GiKigketthH.tten,auf welche aie gegrOndotwaren.

Page 73: Frege-Begriffsschrift (in German)

56

Dieacr .S:ttx ttnterscheidt't sieh von den bisher bctrachtetenUr-

thcitet) dadurch. dass Xcifhcn darin vorkommen, die vorher

oicht erktiirt wordcx sind; er giebt setber diese ErMNrung. Hr

sagt nicht: ,die rechtn Scitc der Gteichucghat denselbenInhatt

wie die Unke";sondcrn: ..eie BottdenBethenInhatt h<t)Mn".Dicacr

Satz ist daher keiu t'rtheil und fo)gtichanch kein ~<*<<t<:AMt'r/Ac/7. um mich des kantischenAuMtruckszu bedienen. le)) bc-

met'ke dies, weilKnut aile Urtheitcder ~lathomatikfitr synthetiachehNtt. Wiire nun ((!*))ein syftthctischesUrtheil, so witren es

anct) die ditrauaabgctcitctcn8&t:!C.Man kann aber die durchdie-

sen Sat:! eingeftthrten Bezcichnungenund dahcr ihn selbst ats

ihrc ErkUirung cntbe)))')): nic))t<folgt ans ihm, was nicht auch

otmo i)'n pTBct~ositCt)werdcn kOnntc. Sokhc Hrktitrungenhaben

nur ~cn Zwcck. dure)) Festsctzung eincr Abk0ri:ungeine ausser-

tichc Et'tcichtct'uo}!hct'bcizufuhren. Auaaerdcmdiene)) aie dazu

eine besonderc \'o'bind)U)g von Xciehcnaus der Ftttte der m<ig-lichen hervorzuheben,um daran fincn festern Acbatt fitr dieVor-

stellung m gcwiBHCB.\Vcnn nun nach die genaunte Ërteichteracgbci de!- geringcu Zaht der hier aufgefohrtenUrtheito kaum merk-

lich ist, so habe ie)tdoch des Beispielswegen dièse Formelauf-

genommeu.

Obgtcich ((}9)uMprtiagtichkein Urthcit ist, M verwandeltes

ftic!)doc)) sofort in ein sdchea; dena nachdem die Bedcutungder

neueMZeichex einmalfestgesetzt ist, 90 gilt sie nunmetn', und es

gilt daher auch Formel (69) ais Urtheil, aber ais anaiytischcs,weil es, was in die ncnen Zoiehen hinemgetegtWM',nur wieder

hervortreten ta~t. Dièse Doppebeitigkcit der Formel ist dureh

die Verdoppetung des Uriheitsatrichsaugedeutet. In Bezug auf

die fotgende))Abteitnxgcnkimn atso (6')) ais gewiihtdiche!)Urttteit

bchandbtt werden.

Die A~oteM~Wee/<MC/<~/«<'A4'/a~<, die hier z!<e~ tw-

/~m/~M, t'~t-c~K Ac/)teMA'wt~y~ //<A«~,wic die dcatsc))en

nnd tateinliiehe)). Bei ihneu ist nur die (Hcichheit und Ver-

schiedcnheit zu beacliten,sodass man au die Steiten von f<und f)

betiebigc andere kteinegricc!fisc))eBuchstabensctzen kann, wenn

nur die SteUeu, die vorbor von gieicho)Buchstabenuingenommeu

waren, auch wieder von gtciehcn eiugenommeuwerdeu, uud

wenn vcr~chicdeneUuehst&beunicht durch gtci<'hocrsetzt werden.

~«'sc ~<~c/<~</c< <'e<t<*A<c</M/<e<<< ynec/)Me/;eM/~c/M/a~

Page 74: Frege-Begriffsschrift (in German)

57

keincu Snmht~t. Man Steht,dMa der Mst'Nht'iicht'Auedruck, wie

verwickeltMc)t die FunctioMtt und sein tuogcn, immer mit

SichcrhMtwicdergctundenwerdenkann, itbgesehenvon der gleicli-

giltigenWahlder dentschenBnchstabeu. Ha kann

t-- /-(7-;A)durch “/) )8tErgebnis einer AnwendHng des Verfahrcns !(ut'

r". oder durch ist der Gcgenstand eincr Anwendung des

Verfahrena deren Erg~bniaJ iat", oder durch steht in der

Hcziehungxu f', oder durch stcht in der nmgckehrtcM

HeHehungzu /< wiedergegebenwerden, welcheAuadrUckeah

gtcichbcdentcudgetto) sollen.

t-- /-(~ A)

Page 75: Frege-Begriffsschrift (in German)

58

der Umatand,dasBjedea Kind aines Menechenwieder ein Menactt

iat, oder dass die E!genschaft,Menach za seh, 8M))vererbt. Mfm

aieht itbrigens, dass die Wicdergabe in Worten Mhwierig und

selbst uttmOgtichwerden kann, wenn an die Stellen von F nnd

sehr verwickelteFunctionen treten. In Worten w<trdedemnac))

der Satz (69) so ausgedrttckt werden konnen:

,<~M: aus dem Satze, dass b die F~MeAa/! Aa<,alige-

m<'M, ~'a.t s<«'/i b .!e<Mmag, ~e~~o~CM tMr<~MA~t~, d'<M.

jedes A't'~MM <'<M'r.~tn'M~H~ des ~<<r~M f anf b die

~e7Mc~a// F habe,M sage ich:

,,<Mc~~MC/!<? M~r&( sich <Mder ~A?."

Page 76: Frege-Begriffsschrift (in German)

69

~ewt die A'<;A<7 F sich M der f-Reihe vererbt; M~MK

.r die A'~eM.<c/M/fhat MM~y JEr~&HMe<M~'.~<tfeK~«H~<~

fer/MM /'a~j' < so /M~y die J~~Mc/M/Tf

Page 77: Frege-Begriffsschrift (in German)

6<t

Page 78: Frege-Begriffsschrift (in German)

M

/'(. f/~).tn Betrcff der Vo-doppctu))~ des t'rthci~stt'iphcs

uud der gnPchitM'henBth'hstabpn verwp)!)'; ifh axf § 2t. Ks gin~c

)tic))t.!)n,st.ttt<h's<)bt<nfttc))C))dcnAnM(1n)('kn<;inf!tf)~

zu 8t')))'f!)bfn.wci) bei eincr ausfahrtit'h tungeschriebotfn t'tux'tion

von .<- und y diese Bnchatftben tmei) nop)t M6serhf))b der A)'j!n-

mentsstellen vorkommen konnten, wobei dann xicht zn erseben

w&re, weh'hc StcUeu ats ArgumentsatcHen anitnsehen Wtiro). i~ie

Letzieren n)HBSonatso ais sotebe gekennzeichnet werden. Dica

geechieht hier durch die Indires nnd Atan mnes dirsp ver-

schieden withlen in Anbpt)'ac))t des Falles, dass die beiden Argtuncntt'

einsndpr g)cic)t w:ir<')). Wh' )<c))met)gricchiechc Buc~tftbe)) hi<:n)),

damit \\n' fine gewisse Answahl haben, um f)ir den FaH, dasN

einenithntich gcbantcnAnadruckin sich st'hK'sse,die Bczcichnungder ArgmnentsstpUcndes eingeschtoMenonAnsdrucks von denen

des einschUcssendenverschiedenwahlen zu kOnnen. ~/c ~/<<'A-

~e<<'M<~~'e?'~c/«e<~M~<der yneeAM<«'M/~e~~m hat hier

M«fSe~e:(~<K~MM~a<<'des ~!M<<eA'~

~(~);

ituaserhatb konnen dieaetben vorkomtncn, ottnc dass ))ie)'(!urc)(

h'gendeinoBeziettungzu diesen angcdentct wOrde.

Wif ftbersetzen

durch “</folgt in der /~Reihe auf .c", eine Ausdrucksweiae,die

ft'eitichnur mBgtiehist, solange die Functiou beatimmtist. ht

Wortenwird demnach(76) etwa aoausgcsprocheuwerdenkOnnen:

McMK<tM ~ey{<'e<~t &'<M?ct:,dass jedes &~e6<!Me<Htt'.~tt-

WM~«M~des ~<tAr~M y <?/'.<*die ~McAa/ F /«~c, MK~

<~<M.f<&<*~Ï~M<;Aa/? sich M der /e fCf~~ M'<M<?«;/<

MjMNM~,~MeMoMexwer~t Aa~M,~a~ y <h'eAï~MC&«/'<

/<a&e,so sage /e~

Page 79: Frege-Begriffsschrift (in German)

62

Hieraindnach§ 10 (j/), (a), f(<t) ats veMcMedcneFnuctloncu

des Argumenta anzasehen. (7~) bedeutct:

~Mtt </ 'S der /<~ ?< x /b~( M'~Mdie ~eMCA~«tcA tMder ~-Aet/M~er~'&<~wetttt~'e<~M&e<'tMs etH~t .<M-

t!'<)tp des t'ef/aAr~Mf «}<a' <fM&~MMC~c/! /<«< .w ~M/

<<«'A'<y<)Mcto/'<

*) Um die Allgemeinheit des hierdurch gegebenen BegriNedes Awt-

eiMndeffotgMM!n etaer Reihe deutliober zu machen, erinnere !ch au

einigeMSglichkeiteu. Es let h!e)-anter nicht nur e!ne Mtehe Aneinander-

M!tmngbegriffen, wie die Pettea Mf clner Schnur ze!gen, soudem auch

eine VcMweignng wie beim StMMMbtmm,eine VMeMgaNg toehrer

Zweige, sowle ein dogaftigea tnaiobzurttektaufen.

Page 80: Frege-Begriffsschrift (in German)

63

Page 81: Frege-Begriffsschrift (in German)

64

Page 82: Frege-Begriffsschrift (in German)

65

Fra~e.ffHDNtttMchc. 5

Page 83: Frege-Begriffsschrift (in German)

6ti

Page 84: Frege-Begriffsschrift (in German)

67

&*

Die Ableitnng dièses Satzes wird in Worten etwa folgender-massen tauten:

a) Es Mge in der /Reihe auf .<

~) es habe jodes Ergobni"einer Anwendungdes Verfattrens

auf x die Eigensehaft

y) es vererbe sich die Eigenachaft in der /~Reittc.

A)Mdiesen Voraussetznngenfolgt nach (86):

~) )yhat die Eigenschaft

f) t~s sei Ergebnis einer Anwendnngdes Vo'fat'rem aufy.

Uaon folgt aus (/), (<!),(f) nach (72):

hat die EigonschaftUaher:

?'<*?: ~ry~KM einer.~:WCM~M~des f'fr/0!/«'S f auf<'<M~<C~eM~/aK~y iet, der in /7<e aM/.T/b~ KM<<

~fc/Mjedes A'r~~M eliter ~MM'~M<~«M~~<<t'<'r/a/tr<'MA'auf~MCA%r~McA«/T hat, die A-tc/<M der /?e//<c t~ïr&~ M

Aa<z diese ~Ïy~McA~

Page 85: Frege-Begriffsschrift (in German)

68

Page 86: Frege-Begriffsschrift (in German)

69

Es mOgehier die Abteitungdes Satzes(91) in Wortenfolgen.Aue dem Satze:

a) ,Jede8 Ergebnis einer Anwendung des Verfahrenayanf x bat die EigenachaftS"

kann, was Mch sein mag, gesohtossenwerden:

jedes Ergebnia einer Anwendung des Verfahrenaf auf

.<*hat die EigenachaftDaher kann auch ans dem Satze(a) und demSatze,dass die

Eigenachaft sich in der /Reihe vererbt,WMauch sein mag,

geschtossonwerden:

jedes Ergebnis einer Anwendungdes Verfaht'eMf auf

x bat die EigenachaftDaher gUt nach (90) der Satz:

Jedes &'fpe6MtXe<!Mr~MfeM<!uM~eMMFe~/treM aufeinen 6e~M<aKd x folgt der /<~e auf, dies x.

Page 87: Frege-Begriffsschrift (in German)

70

Page 88: Frege-Begriffsschrift (in German)

7t

Page 89: Frege-Begriffsschrift (in German)

72

Die Ableitung von (102) mag hier in Wortenfotgen.Wenu z dasselbe wie x ist, so folgtnach (92) jedes Ergebnia

einer Anwendung des Verfatn'ens/' auf tM der /Re!ho anf.f.

Wenn z in der /Rei.he auf x folgt, so folgt nach (96) jedes

Ergebnis einer Anwendung von f auf z in der /Rethe auf x.

Aus diesen beiden Satzen folgt nach (100):

*) tn Betref~des ietiitenSchtnBMBa!ehe§ ').

Page 90: Frege-Begriffsschrift (in German)

73

Wennz der mit .KftH/<M~t<M/?CtAf <tMpe~ M /0~<

jedes Ergebnis c<tMr~Kw~M~~ des t'~r/aAreMf aM/'x ttt

der f-Reihe aM/

Page 91: Frege-Begriffsschrift (in German)

74

Hier folge die Ableitung von (108) in Worten.

Wenu dermit z an&ngenden/Reihe angehBrt,M Mgt nach

(102) jedea Ergebni9 einer Anwendungdes Verfahrensf auf f/in der /Rei)te auf z.

Xftc!* (t0t!) gehNrt dann jedes Ergebnis einer Anwondnngdea VerMn'ena anf y der mit anfangonden f-Reihe an.

Daher:

~CMMy der mit <:M/<ÏM~M f-Reihe aK~Of/, so ye/t0f<

~i"~< ~r~<'6~Mew< .Aw~<ft<M~<f<'fr~<v/aAraM aK/' y <

/?<? <M/<M~t'M<~M/)7<e MK.

Page 92: Frege-Begriffsschrift (in German)

75

l'olgendes ist die Ableitungvon (Ht) in Worten.

Wenn y der mit anf~ngenden /Reihe angchth't, M gehartnach (108) jedes Ergebnia einer Anwendung des Verf~hreus

auf y der mit z anfangenden Reihe an.

Daher gehOrt danx jedes Ergebnis einer Anwendungdes Ver-

fahrena f auf y dw mit anfangendo) f-Reihe an, oder gehtin der /Reihe dem vorher.

A!so:

~CMMy < M~ ~/<tM~Ctt<~< /i'e<Af «M~~OW,so ~fr<

jedes Ergebnis eMef ~awcK~MK~des re~/Mre?Mf auf y der

?)<<<N~/aHyeM<&*H/Ae ox, oder geht m der /<Ae dem

t'or/<er.

Page 93: Frege-Begriffsschrift (in German)

76

Fotgendes iat die Ableitung dieser Forme! in Worten.

Es geh8re x der mit z anfangenden /Reihe an.

Dann ist M&ch(104) z daaaelbe wie x; oder x folgt in der

/~Reihe auf x.

Wenn dasseUM wie x ist, so gehitrt nach (112)dor mit x

anfangendenf- Reihean.

Page 94: Frege-Begriffsschrift (in German)

77

ÂM den letzten beiden S&tzenfolgt: gehUrtder mit .r an-

fangenden/Reiho an; oder a' folgt in der f-Reihe auf z.

Daher:

Wennx der mit z oM/OHyfM~ttf- Reihe oM~eA6r<,so yeMrt

z der mit x aM/«M~<'K<<f)t/Ae<A<' an; oder r, folgt in der

~«Acauf z.

Page 95: Frege-Begriffsschrift (in German)

7<!

Page 96: Frege-Begriffsschrift (in German)

79

Page 97: Frege-Begriffsschrift (in German)

su

Hafolgein WortendieAbleitungderForme)))(122) nnd (124).

Ka sei .f Krgebnia einer Anwendung des eindeutigen Ver-

fahrena/'anfy.

Dann iet nach (120) jedes Ergebnis einerAnwendung des

VerfahreMf auf y daMetbewie a'.

Daher gehOrt nach (112) jedes Ergebnis einer Anwendnngdes VerfahreMf auf </der mit x anfangenden/-Rt:ihe an.

AtM:

Wenn x Ergebnis em«' ~wPCM<fM~'des eM~t/~eM fef-

/a/<r~Mf a«/' y ist, M ~<M'<jedes Ergebnis ~<Hfr<4tMfeH-

~MM~des ~<e)M auf y der MM.f <!K/aM~M<~Kf-Reihean. (Formel 122.)

Es folge m in der /~Reiheanft/. Dann ergiebteichans (110):

wenn jedes Ergebniaeiner Anwendung des Verf&hrensf auf

y der mit x anfangenden/~Reihc angehCrt, te gehort m der

mit x an&ngenden/~Reihean.

Dies mit (122) verbonden zeigt,

dus, wenn a' Ergebniseiner Anwendung deaeindeutigenVer-

fahrenBf auf y iet, m der mitx anfangendenf Reiheangehort.

A!so:

~MM x ErgebniseinerAnmendungdes e<M~e«~~t~~r/ijtAreK~

f auf y M~!<M<~west! m Mtder f-Reihe auf y folgt, so ge-

A«r(M der mit x aM/<M~M<~< <?<. (Formel 124).

Page 98: Frege-Begriffsschrift (in German)

8t

t't<!t!t'"n"e)*pmche.U

Page 99: Frege-Begriffsschrift (in German)

R2

Es folge ni in der /-Reihe auf y.

Dann gchOrtnMh (124)M der mit -f anfangendeny~Ucihc&n.

Fotgtic!)geh8rt nach (114) x der mit na anfangenden/R<-thc

an; oder m folgt in der ~-Reihenuf r.

Dieskann man auch ausdfttcken:

gehart der mit ? aufangenden/Keihe !tn, oder gc))t in

der /Reisc dem na voran.

Daher:

!f<*MMna<Mder f-Reihe <</ t/ /0~~ und WCMKdas F~aA~M

f CM~M~ ist, so ~/«'< jedesA'r~~K~ OMer.~MtP<*M(f«HS'des

ref/aAre~ aH/'y der mit MaM/aK~eH~M/M~ an, oder

geht in der f-Reihe dem m <

Page 100: Frege-Begriffsschrift (in German)

83

(i*

In Worten lautet (129) so:

Wenn dus ~r/<t~rM f C<M<<eM<<~ist, MM<<weMMy der mit m

eM/<ïKyMf/e)t/</<e at~Aor~ oder «( der /MAe <<eMw

t!O~Ae~e&<,so ye/Mf<jedes &e6MM eMer ~HtfMM~MM~des

~r/<!At-aM/'a<(/'y der M'~m <H)/~e)M~eMf-Reihe oder

~ei'« iat der /?et/M dem m vorher.

Page 101: Frege-Begriffsschrift (in German)

84

Page 102: Frege-Begriffsschrift (in German)

85

In Wortenlautet (131)so:~MM das fer/a~~CMf e<'Mcf<'M~M/, so vererbt A-i'e/<die

Ët~McAa/if) der M<<? aH/aM~eH~eM/c</<c OM~!<~M'CH,oder m der ~e<Ae~m M for/<M'<~eK, !Mefcr /?e<Ae.

Page 103: Frege-Begriffsschrift (in German)

86

in Worten lautet dieaerSatz so:

~M das ~'er/~rCMy eHt<~t< M~ «H~weMMM<:<K~y M

Page 104: Frege-Begriffsschrift (in German)

87

/t7~ aM/*.< /o~M, M $~o~ yder M<<M OM/a~cM~~

/?e<7~ m!, o~cy~/)< <'<der /A<' ~m ?! t'ot'/«'r.

tch lasse ttict'eine Tttfet folgen, âne der zu pMeheniet, an

welchenSteUenvon einer Formel zur AbleitungciuM' andern

Gebrauch gemacht iat. Man kann sich i))TCt'bedienen, nm die

VcrwendMngaweiaeneiner Formet naehxneehen. Auch ïst darMB

die HauSgkeitder Anwendungeiner Formelzn erkennen.

Hechts vom Striche stettt immer die ZiR'erder Formel, bei

derea Ableitungdie Unk~bezeiehneteverwendetist.

1 3 7' 67 12 16 21 44 44 45 69

1 6 7 94 12 24 21 47 45 46 60 93

1 11 7 107 12 3& 22 23 46 47 61 65

1 24 7!113 12 49 23 48 47 48 62 631 26 8 9 12 60 24 2& 47 49 62 641 27 8 10 12 85 24 63 48 101 63 91

1 36 8 12 12 127 26 111 49 50 64 652 33 8 17 13 14 26 27 50. 51 66 662 4 8 26 14 16 27 42 61 128 662 39 8 38 15 88 28 29 52 53 67 682 73 8 63 16 17 28 33 52 57 68 702 79 8 62 16 18 29 30 52 89 68 77

3 4 8 66 16 22 30 59 62 106 68 116

4 5 8 74 17 60 31 32 53 55 69 706 6 8 84 17 78 32 33 52 75 69 766 7 8 96 18 19 33 34 63 92 70 716 9 9 10 18 20 33 46 54 66 71 726 12 9 11 18 23 34 35 55 66 72 736 14 9 19 18 61 34 36 55 104 72 74

6J16 9 21 18 64 35 40 56 57 73 876!l8 9 37 18 82 36 37 Mi 68 74 816~22 9 66 19 20 36 38 67! 100 76 97

6:26 9 61 19 21 36 83 58 59 76 1096,29 9 lt7 19 71 37 106 68 60 7& 1316'34 9 MO 19 86 38 39 M 61 76 77

6,46 9 132 19 103 39 4068 j

62 76 896~80 10 30 19 119 40 43 58 67 77 785'90 11 112 19.123 41 42 M 72 77 856 7? 12 13 20~121 42 43 58 118 78 79

7~32 12 16 20 125 43 44 68~120 78 110

Page 105: Frege-Begriffsschrift (in German)

88

73 80 89' 90 9810CJ107

114'126 134 125

80 M! HO; 91 M 100 t07!108 H;) H6 ci tM ~(:

8J 82 HO! 93 '? )M t08 10') lt(!,t!7 tM ~7

S! M Ott 92 ]()() tOt !08 )t! t tt7:H8 ~7 128

M 83 !)2 )02 MO tOS tO'ttno tl8~!9 t88,t2H

83 13:< H:! 94 )0t 102 )!0 124 tl9't30 ta<)!t30

M'98 'M ')!)r) 102 t08 nt t29 )20;t2t 130 t3t

8!)! 86 95 96 M:) t04 na H3 121 h2S! 131 132

8t;~ 87 !M 97 104 114 11~123 122~123 132 13!<

87 j 88 96 102 105 106~n~j.rt~

12!) 1~4 133

88) 9 97 98 105 1 11~

tM).)'<T«:)<Mnt:.Kt(fn".

Page 106: Frege-Begriffsschrift (in German)

~Rg;M.m~

j~ Df. A!& EJHptt~eheFoHct~Mtt.5~ear!eCeseMcMe.\A&ade<nh<-heV<n'tt&<~? !K Text éi&ge~'̀ .dnfchtenHo)Mc!)Mi{tC)t.Lox.~ t)f. t6Mw&.

thett~te. Prof.Dt,J., Samnttttn~~HFafmetn,wetchebe~t!-`v

wandHng(ter eHtptiac~ennnNBose)!h$~'$eh<!npMMcHoittenttraachiw~den.gf. ~jt.

Thûmac, rfot D)' Cétef6tMspe~6!teKtasse~t'' MM*th)Ren. M!th)(t.~f'xt ein~r.Hnf~fhn.Rr.4. b&o4N&.6() Pf.~

ThoMR~, Ptof.{?, Abrisse!nerTheet'!eftërcem~MMFMft!ït:a<tçnUttd~rT!)eMunct!oneKdnefVef~ndepMchett.~eï~ yer-mohpieât~g~ Mit20it) Textcingcdfneî~eHiMMetaH~'gr.6. br. 6ÏMA8~PÏ.

Th$)!tae, Ptof~Dt-.J.,E~tettuns!t)dOTheerteder hMt!mmtettMegfate. Mttn(t.Tcxt~ngodt-.Htttxiichn.t!r.4. br.a m. 80Pf. t

fh~Mtae, Prof.Dr.J-,E!)ettegeMM6tF!$che6et)!Meerste<ïweKe!'CrdttMnavomStandpunMeder GetoneMedw ~ge ~HueMet~Mit46 !t)<!e))T<~tp!tt~ct)t'.~tt~Mhn.gr. 4. ?' 3 ~k %Bf<J.

T~MHC) fro~jb~j., ~~f etMf~~ ~che ~a6~inM)~

OMereMSat'- t)e< MKN-M~të~~aMefter ~<t~ ~Ma~'te.sM.' gr~ t ~A 60-1~ .ï:Langer, Dr. P.~ B!ath'undproMea)eMec~M!h.E!M ~osmo-Jog~eho :8M!~'gr. 8.. b~- ~.M~)/6\

r

.Mâcher, Dr.~~Hhtegfttt~~c~~t~~i~ea~~ .n'aïM

.'S' 'h~ ï'Mar!M ~<?;r~

ttaothe~ ?ro& S6g~tMMt!tt ~r 6MehM<~<? ~aM<Ma%t!scheHMOd~ttM~ea ~ratth!e. M:c~p :!<4oB.

.e!Bge~r<t6MN!~Hoh!M!)n!tten, .J~/x~1. Noft: D!e M're VMNef MnmdttngMadËt'~W~guB~

imM!MeMtcfbci denOccMeNtatën. ~~8. 6~*'.l~P~'

2. B.~tt J~~tH'eL WM~r JËt~Rdang~d ~db~~t~'?.. J' -t~~r,,b~:9~~M'b~M\ a~

'?' ~t.)&2.N<tÛ. '.L'.~îa~~ ë:~&emc .~6f ~i&M~~e".

~&~ ~ErdMh~er~M!aa<c!t:W~?99~8. 'tR ~M-k"~ M~l;

Heft: ~j!)h~r&<ëp~`

\~tef.~Haf'M~$~& 8~ t~'lÏîaA'0'-P&"f'

5~ Seft: Jo!Ma~~e~ers~a ~r~e~t~aâ seMBe2:e!ta!tge~~~Mmàtbt&en ttad 'j~j~àMaehëttB]'d&aB~

'gB~~r.i'Mm-& .80M:Moeh~e~ ï~ M~ Me6M~e BWefetmNeMfVM<!er Kc~tsoMHfb

Mit~~h ~e~'ï't~ da~ettr.S<~tz8BM&6t)~gR~. ?. $Naf~Re~~m, Dh~ Puteraridttr..ltara~\8Cb.enl-:A

",J{~ 3f:Nit~h:db:1~bê~lili.f~'N~i'a~; âa. ISfî ? H!~ (~a~~ a'b&r~it!t-

mctIM~BAba[~6fMahammedBcnAttmsai&AtkarHtt. H~î.gf. ~r..1;~ ~.M

'Dt'o~~Dy. A.~b~ ? d~ h~eMA!gt~m

Tjp~. ëMgèdf. ~lo~uti~Mn. & &r. ,~Maï& ~p' '°