Francesco Patacchini · 2019. 12. 21. · rapidit e de calcul aucun maillage n ecessaire stabilit e...

Transcript of Francesco Patacchini · 2019. 12. 21. · rapidit e de calcul aucun maillage n ecessaire stabilit e...

Exposé pré-recrutement – Particules et diffusion

Francesco Patacchini

IFPEN, Rueil-Malmaison

14 octobre 2019

1/37
Table des matières

Equation de continuité

Hypothèses

Exemples

Considérations énergétiques

Discrétisation particulaire

Simulations numériques

Conclusion

2/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

3/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q

ρ : inconnue, v : champ de vitesse, q : terme source

Méthodes à maillages Méthodes particulaires

Approchediscrétisation directe de

l’EDPretour à la description lagrangienne

Exemplesvolumes finis moving particle semi-implicit

éléments finis

Paramètre volume de cellule h nombre de particules n

Avantages

rapidité de calcul aucun maillage nécessaire

stabilité géométries compliquées

précision n dynamique

discontinuités moyennées discontinuités “visibles”

• Les méthodes particulaires s’inspirent de la physique : sphères dures, mouvementbrownien, interaction newtonienne, etc. Elles sont statistiques ou déterministes.

• Flots de gradient : deterministes, fondés sur la dissipation de l’énergie totale.

4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q






éléments finis


Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q






éléments finis


Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q






éléments finis flots de gradient


Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q








Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q








Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q








Avantages







4/37

∂tρ+∇ · (ρ v[ρ]) = q








Avantages







4/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

5/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.

• ρ : R+ × Rd → R / ρ : R+ → F(Rd;R) est la quantité transportée inconnue,• v : R+ × Rd → Rd est le champ de vitesse “transportant” ρ,• q : R+ × Rd → R est une source pour ρ,• ρ0 : Rd → R est la condition initiale.

Hypothèse 1. Pas de source : q ≡ 0.

Hypothèse 2. Les solutions ρ sont telles que∫Rdρ(t,x) dx =

∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.

Hypothèse 3. Il existe un pression p : R+ × Rd → R telle que

v = −∇p. (loi de Darcy isotrope)

Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p :

6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.




6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.




6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.




6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.




p = f ◦ ρ︸︷︷︸diffusion

+ V︸︷︷︸arrière-plan

+ G ∗ ρ︸︷︷︸interaction

6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.



Hypothèse 4. Il existe une loi entre ρ et p : (G ∗ ρ(x) =∫Rd G(x− y)ρ(y) dy)

p = f ◦ ρ︸︷︷︸diffusion

+ V︸︷︷︸arrière-plan

+ G ∗ ρ︸︷︷︸interaction

6/37
Hypothèses

Précisions.

{∂tρ+∇ · (ρv) = q,ρ(0,x) = ρ0(x),

(t,x) ∈ (0,∞)× Rd.




∫Rdρ0(x) dx = 1 ∀ t ∈ R+.



Hypothèse 4. Il existe une loi d’état entre ρ et p :

p(t,x) = f(ρ(t,x)).

6/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

7/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)

∂tρ = ∇ · (∇ρ) = ∆ρ. (Equation de la chaleur)

• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ

)= ∆ρm. (Equation des milieux poreux)

• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2

∂tρ = ∆ρ+∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck linéaire)

• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2

∂tρ = ∆ρm +∇ · (ρx). (Equation de Fokker–Planck non linéaire)

Remarque. Une loi d’état permet the réécrire l’EDP avec la pression p comme inconnue.

8/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ


• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2



8/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ


• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2



8/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ


• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2



8/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ


• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2



8/37
Exemples

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V )

• f(ρ) = log(ρ)


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1

∂tρ = ∇ ·(mρm−1∇ρ


• f(ρ) = log(ρ), V (x) = 12|x|2


• f(ρ) = 1m−1ρ

m−1, V (x) = 12|x|2



8/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

9/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))

Observation. La théorie cinétique des gaz précise que l’entropie de Boltzmann

E(µ) :=

∫Rdµ(x) log(µ(x)) dx (µ ∈ P(Rd))

décrôıt le long des solutions de l’équation de la chaleur :

d(E ◦ ρ)dt

(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.

Question. Pouvons-nous donc écrire (du moins formellement) :

∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?

10/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


E(µ) :=



d(E ◦ ρ)dt

(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?

10/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


E(µ) :=



d(E ◦ ρ)dt

(t) 6 0 ∀ t ∈ R+ si ∂tρ = ∆ρ.


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ = −∇E(ρ) ?

10/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))

Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ?

Ce qui mènerait à

∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.

Première variation de l’entropie de Boltzmann en un point µ et dans une direction νtelle que

∫Rd ν(x) dx = 0 (en écrivant e(µ) = µ log(µ)) :

δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0

E(µ+ εν)− E(µ)ε

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=

∫Rde′(µ(x))ν(x) dx =

∫Rd

(1 + log(µ(x))ν(x) dx

=

∫Rdf(µ(x))ν(x) dx =

∫Rdp(x)ν(x) dx =:

∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))

Question plus précise. Pouvons-nous interpréter l’espace des probabilités comme unevariété munie d’un opérateur gradient tel que l’équation de la chaleur est une descentede gradient pour E ? Ce qui mènerait à

∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

∂tρ = ∆ρ = ∇ · (ρ∇ log(ρ))


∂tρ = ∆ρ ⇐⇒ ∂tρ(t) = −∇ρE(ρ(t)), t > 0.



δE

δµ(µ)[ν] := lim

ε→0


= limε→0

1

ε

∫Rd

(e(µ(x) + εν(x))− e(µ(x))) dx

= limε→0

1

ε

∫Rd

(e′(µ(x))εν(x) + o(ε)

)dx

=


∫Rd


=



∫Rd

δE

δµ(x)ν(x) dx.

Ce qui suggère

∇ρE(ρ) = −∇ ·(ρ∇

δE

δρ

).

11/37

En généralisant nos arguments, on obtient

∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),

où l’énergie (totale) est maintenant

E(µ) =

∫Rde(µ(x)) dx +

∫RdV (x) dµ(x), e(µ) =

∫ µ0f(r) dr.

• Pour l’équation de la chaleur, e(µ) = µ log(µ).• Pour l’équation des milieux poreux, e(µ) = 1

m−1µm.

Remarques.

• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.

Elle permet demesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :

W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)

(∫Rd×Rd

|x− y|2 dπ(x,y))1/2

, µ0, µ1 ∈ P(Rd),

où Π(µ0, µ1) est l’espace des probabilités sur Rd × Rd avec marginales µ0 et µ1.

12/37


∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),


E(µ) =

∫Rde(µ(x)) dx +


∫ µ0f(r) dr.


m−1µm.

Remarques.



W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)

(∫Rd×Rd

|x− y|2 dπ(x,y))1/2

, µ0, µ1 ∈ P(Rd),


12/37


∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),


E(µ) =

∫Rde(µ(x)) dx +


∫ µ0f(r) dr.


m−1µm.

Remarques.

• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.

• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein.


W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)

(∫Rd×Rd

|x− y|2 dπ(x,y))1/2

, µ0, µ1 ∈ P(Rd),


12/37


∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),


E(µ) =

∫Rde(µ(x)) dx +


∫ µ0f(r) dr.


m−1µm.

Remarques.



W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)

(∫Rd×Rd

|x− y|2 dπ(x,y))1/2

, µ0, µ1 ∈ P(Rd),


12/37


∂tρ = ∇ · (ρf ′(ρ)∇ρ+ ρ∇V ) ⇐⇒ ∂tρ = −∇ρE(ρ),


E(µ) =

∫Rde(µ(x)) dx +


∫ µ0f(r) dr.


m−1µm.

Remarques.

• Théorie rigoureuse : flots de gradient et transport optimal.• La métrique sous-jacente s’appelle la distance de Wasserstein. Elle permet de

mesurer la distance entre une paire de probabilités quelconques :

W (µ0, µ1) = infπ∈Π(µ0,µ1)

(∫Rd×Rd

|x− y|2 dπ(x,y))1/2

, µ0, µ1 ∈ P(Rd),


12/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

13/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:

∫Rdg(µ(x)) dµ(x).

Idée. “Transférer” la descente de gradient macroscopique au niveau particulaire : résoudreun système d’EDOs

miẋi = −∇En(xi),où {x1, . . . ,xn} est une famille de particules dans Rd avec masses {m1, . . . ,mn}.

Question. Quelle énergie En ?

• Une particule en un point x se représente par une masse de Dirac en x :

x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.

• On ne peut pas “injecter” µn dans E...• Régularisons donc E :

Eε(µ) =

∫Rdg(ϕε ∗ µ(x)) dµ(x), ϕε une gaussienne, ε > 0.

• On peut maintenant injecter µn dans Eε :

Eε(µn) =

∫Rdg(ϕε ∗ µn(x)) dµn(x) =

n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.


Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.


Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.


Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.

• On ne peut pas “injecter” µn dans E...

• Régularisons donc E :

Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.


Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.

14/37

∂tρ = −∇ρE(ρ), E(µ) =∫Rde(µ(x)) dx =:






x←→ δx, {x1, . . . ,xn} ←→n∑i=1

miδxi =: µn.


Eε(µ) =



Eε(µn) =


n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

.14/37

On définit donc

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.

• Equation de la chaleur (si m1 = · · · = mn = 1/n) :

Eε,n(X) = − log(n) +1

n

n∑i=1

log

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

,• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :

Eε,n(X) =1

(m− 1)nm

n∑i=1

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

m−1 .

15/37

On définit donc

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.


Eε,n(X) = − log(n) +1

n

n∑i=1

log

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

,

• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :

Eε,n(X) =1

(m− 1)nm

n∑i=1

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

m−1 .

15/37

On définit donc

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

, X = {x1, . . . ,xn} ∈ (Rd)n.


Eε,n(X) = − log(n) +1

n

n∑i=1

log

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

,• Equation des milieux poreux (si m1 = · · · = mn = 1/n) :

Eε,n(X) =1

(m− 1)nm

n∑i=1

n∑j=1

ϕε(xi − xj)

m−1 .

15/37
Discrétisation particulaireAjoutons le potentiel V :

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

+ m∑i=1

miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.

On résout la descente de gradient pour Eε,n :

mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})

Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d). Supposons que

W (X0ε(n),n, ρ0)→ 0 lorsque n→∞.

Prenons alors Xε(n),n solution de la descente de gradient

mẊε(n),n = −∇Eε(n),n(Xε(n),n), Xε(n),n(0) = X0ε(n),n.

Alors il existe ρ : R+ → P(Rd) tel que W (Xε(n),n(t), ρ(t)) → 0 lorsque n → ∞ pourtout t > 0 et ρ est solution de

∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.

1. J. A. Carrillo, K. Craig, F. Patacchini. A blob method for diffusion. Calc. Var. PartialDifferential Equations (2019).

16/37

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

+ m∑i=1

miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.


mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})

Théorème. 1 Prenons m > 2 et ε = ε(n) = o(n−1/d).

Supposons que





∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.


16/37

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

+ m∑i=1

miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.


mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})






∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.


16/37

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

+ m∑i=1

miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.


mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})






∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.


16/37

Eε,n(X) =n∑i=1

mig

n∑j=1

mjϕε(xi − xj)

+ m∑i=1

miV (xi), X = {x1, . . . ,xn}.


mẊ = −∇Eε,n(X). (m = {m1, . . . ,mn})






∂tρ = −∇ρE(ρ), ρ(0) = ρ0.


16/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

17/37

Précisions.

• Discrétisation en temps :

Xp+1ε,n = Xpε,n −

∆t

m∇Eε,n(Xpε,n). (indice de temps, p)

• Initialisation :

– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =

∫Ciρ0(x) dx.

• Valeurs typiques essayées : n ∼ 102, ∆t ∼ 10−3, 10−4 (adaptif), ε ∼ (n−1/d)0.9.

18/37

Précisions.



∆t


• Initialisation :– particules distribuées uniformément,

– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =∫Ciρ0(x) dx.


18/37

Précisions.



∆t


• Initialisation :– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =

∫Ciρ0(x) dx.


18/37

Précisions.



∆t


• Initialisation :– particules distribuées uniformément,– masses choisies selon profil initial ρ0 : mi =

∫Ciρ0(x) dx.


18/37

-10 -5 0 5 10x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0

Figure – Equation de la chaleur avec n = 50

Solution numérique :

ρε,n(x) = ϕε ∗ µn(x) =n∑i=1

miϕε(x− xi).

19/37

-3 -2 -1 0 1 2 3x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0

Figure – Equation des milieux poreux (m = 2) avec n = 50

ρ0(x) = 4α max

(0,K − 16κx2α

) 1m−1 , α =

1

m+ 1, κ =

m− 12mα

. (Barrenblatt)

K est telle que la masse totale de ρ0 est égale à 1.

20/37

-2 -1 0 1 2x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 2.0exact sol at t = 2.0

Figure – Equation des milieux poreux (m = 3) avec n = 50

21/37

101.8 102.0 102.2 102.4 102.6

n

10 2.0

10 1.8

10 1.6

10 1.4

10 1.2W

asse

rste

inEr

ror

Recorded errorsline of best fit, slope = -1.01

101.8 102.0 102.2 102.4 102.6

n

10 3.3

10 3.0

10 2.7

10 2.4

10 2.1

L2Er

ror


Figure – Etude d’erreur pour l’équation de la chaleur avec 50 6 n 6 400

On obtient bien : log(err) = a+ b log(n).

22/37

101.8 102.0 102.2 102.4 102.6

n

10 2.6

10 2.4

10 2.2

10 2.0

10 1.8W

asse

rste

inEr

ror


101.8 102.0 102.2 102.4 102.6

n

10 3.50

10 3.25

10 3.00

10 2.75

10 2.50

L2Er

ror


Figure – Etude d’erreur pour l’équation des milieux poreux (m = 2) avec 50 6 n 6 400

23/37

-6 -3 0 3 6x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 7.67exact steady state

Figure – Equation de Fokker–Planck avec n = 80

24/37

-2 -1 0 1 2 3 4x

0

2

4

6

t

Figure – Trajectoires des particules pour Fokker–Planck avec n = 80

25/37

0 2 4 6t

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4E(

t)

Figure – Evolution de l’énergie pour Fokker–Planck avec n = 80

26/37

-4 -2 0 2 4x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6 numerical sol at t = 0.0exact sol at t = 0.0numerical sol at t = 5.0exact steady state

Figure – Equation non linéaire (m = 3) de Fokker–Planck avec n = 50

27/37

x-2 -1 0 1 2

y-2-10 1

2

0.050.100.150.200.25

Numerical sol at t = 0.0

-4 -2 0 2 4x

-2-1012

y


x-2 -1 0 1 2 y-2

-101 2

0.050.100.150.200.250.30

Exact sol at t = 0.0

-4 -2 0 2 4x

-2-1012

y


0.000.040.080.120.160.200.240.280.32

Figure – Equation de la chaleur avec n = 100 – état initial

28/37

x-2 -1 0 1 2

y-2-10 1

2

0.0250.0500.0750.1000.125


-4 -2 0 2 4x

-2-1012

y


x-2 -1 0 1 2 y-2

-101 2

0.0250.0500.0750.1000.125


-4 -2 0 2 4x

-2-1012

y


0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

Figure – Equation de la chaleur avec n = 100 – état final

29/37

101.4 101.6 101.8 102.0 102.2

n

10 0.9

10 0.8

10 0.7

10 0.6

10 0.5

Was

sers

tein

erro

rRecorded errorsline of best fit, slope = -0.5

101.4 101.6 101.8 102.0 102.2

n

10 1.8

10 1.7

10 1.6

10 1.5

10 1.4

10 1.3

L2er

ror


Figure – Etude d’erreur pour l’équation de la chaleur avec 25 6 n 6 225

30/37

101.4 101.6 101.8 102.0 102.2

n

10 1.2

10 1.1

10 1.0

10 0.9

10 0.8W

asse

rste

iner

ror


101.4 101.6 101.8 102.0 102.2

n

10 1.7

10 1.6

10 1.5

10 1.4

10 1.3

10 1.2

10 1.1

L2er

ror


Figure – Etude d’erreur pour l’équation des milieux poreux (m = 2) avec 25 6 n 6 225

On voudrait dire que errWass = O(n−1/d) .

31/37

x

-3 -2 -1 0 1 2 3y-3-2

-1012

3

0.020.040.060.080.10


-4 -2 0 2 4x

-3-2-10123

y


x-3 -2 -1 0 1 2 3

y-3-2-10

1230.0000.0250.0500.0750.100


-4 -2 0 2 4x

-3-2-10123

y


0.000

0.016

0.032

0.048

0.064

0.080

0.096

0.112

Figure – Equation de Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49 – état initial

32/37

x

-3 -2 -1 0 1 2 3y-3-2

-101 2

3

0.050.100.150.200.250.300.35


-4 -2 0 2 4x

-3-2-10123

y


x-3 -2 -1 0 1 2 3

y-3-2-10

1 230.00.10.20.3

Exact steady state

-4 -2 0 2 4x

-3-2-10123

y

Exact steady state

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Figure – Equation de Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49 – état stationnaire

33/37

Figure – Evolution des particules pour Fokker–Planck non linéaire (m = 2) avec n = 49

34/37


Hypothèses

Exemples




Conclusion

35/37
Conclusion

Extensions possibles.

• On peut facilement ajouter un terme d’interaction entre les particules :

Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).

Exemple : G(x) = − 1|x| pour la gravitation newtonienne en dimension 3.

• On peut aussi facilement ajouter de la géométrie (Ω) à l’aide de V :

V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.

En pratique on prend Vδ(x) =1δdΩ(x)

2 et on laisse δ → 0.

Remarques.

• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2

• Relations intéressantes avec l’optimisation et la quantisation.

2. J. A. Carrillo, Y. Huang, F. Patacchini. Numerical study of a particle method for gradient flows.Kinet. Relat. Models (2017) ; J. A. Carrillo, F. Patacchini, P. Sternberg, G. Wolansky. Convergenceof a particle method for diffusive gradient flows in one dimension. SIAM J. Math. Anal. (2016).

36/37
Conclusion



Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).



V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.



Remarques.




36/37
Conclusion



Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).



V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.



Remarques.




36/37
Conclusion



Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).



V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.



Remarques.

• Stabilité du schéma. Rapports entre n et ∆t et entre ε et n.

• Autres choix de régularisation de l’énergie. 2



36/37
Conclusion



Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).



V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.



Remarques.




36/37
Conclusion



Eint(µ) =

∫RdG ∗ µ(y) dµ(y) −→ En(X) =

n∑i,j=1

mimjG(xi − xj).



V (x) =

{0 si x ∈ Ω,+∞ si x 6∈ Ω.



Remarques.




36/37
Merci pour votre attention

37/37

Equation de continuitéHypothèsesExemplesConsidérations énergétiquesDiscrétisation particulaireSimulations numériquesConclusion

Francesco Patacchini · 2019. 12. 21. · rapidit e de calcul aucun maillage n ecessaire stabilit e...

Documents

Transcript of Francesco Patacchini · 2019. 12. 21. · rapidit e de calcul aucun maillage n ecessaire stabilit e...