Fractions et Fractions et décimauxdécimaux

Stage de circonscriptionStage de circonscription

Capesterre Belle Eau, 27-28-30 Capesterre Belle Eau, 27-28-30 novembre 2006novembre 2006

Pourquoi les fractions en Pourquoi les fractions en relations avec les relations avec les

décimaux?décimaux?

Construction historique des nombres Construction historique des nombres décimaux.décimaux.

2,43 est construit comme 2 unités 4 2,43 est construit comme 2 unités 4 dixièmes et 3 centièmes ou 2 + 4/10 dixièmes et 3 centièmes ou 2 + 4/10 +3/100+3/100

Un constat : les Un constat : les évaluations 6èmeévaluations 6ème

Collège Saint-Ruf

Mathématiques 50,3

Connaissance des nombres (27) 42,9

Designer par écrit des nombres entiers naturels 76,7

Comparer des nbres décimaux et utiliser les signes inf et sup (4) 17,7

Utiliser et écrire des fractions 41

Connaître et utiliser des écritures fractionnaires et décimales de certains nbres (1) 13,7

Connaître et utiliser certaines relations entre des nbes d'usage courant 44,4

Designer par écrit et utiliser des nombres décimaux 40,8

Les fractionsLes fractions

L’intérêt des fractionsL’intérêt des fractions

Quel cadre ?Quel cadre ?Impossibilité de Impossibilité de

représenter une quantité représenter une quantité par un nombre.par un nombre.

Les limites des travaux sur Les limites des travaux sur les fractions à l’école les fractions à l’école

primaire.primaire. Enseignement limité au Enseignement limité au senssens : pas de : pas de

techniques automatisées.techniques automatisées. ‘‘La seule raison d’être des fractions à La seule raison d’être des fractions à

l’école primaire, c’est d’aider à la l’école primaire, c’est d’aider à la compréhension des décimauxcompréhension des décimaux’ (R. ’ (R. Charnay)Charnay)

Quelle représentation de 5/3 ?Quelle représentation de 5/3 ? Un seul sens à l’école primaire : 5 fois 1/3Un seul sens à l’école primaire : 5 fois 1/3

Les difficultés rencontrées Les difficultés rencontrées par mes élèves.par mes élèves.

Sur les fractionsSur les fractions Le sensLe sens Les relations d’ordre Les relations d’ordre

(comparaison)(comparaison) Les calculs Les calculs

Le sens des fractionsLe sens des fractions

Les faux amis : la tarteLes faux amis : la tarte Les élèves raisonnent sur une part de tarte Les élèves raisonnent sur une part de tarte

comme une entité.comme une entité. Préférer les travaux sur les aires ou les Préférer les travaux sur les aires ou les

longueurs.longueurs. Articulation langage-concept : importance Articulation langage-concept : importance

du lexique.du lexique. Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir

ce qu’est un tiers!ce qu’est un tiers!

Les relations d’ordreLes relations d’ordre

A construire physiquement (situations A construire physiquement (situations auto–validantes)auto–validantes) Anticipation d’un résultat puis vérification. Anticipation d’un résultat puis vérification.

Ex : bandes de différentes longueurs.Ex : bandes de différentes longueurs. Utiliser la bande numériqueUtiliser la bande numérique Travaux d’encadrement des fractions par Travaux d’encadrement des fractions par

des entiersdes entiers

Les calculsLes calculs

Light : se limiter aux cas simplesLight : se limiter aux cas simples Décomposition en somme d’entier et Décomposition en somme d’entier et

de fractionde fraction Reconstruction du 3/3=1 à partir de la Reconstruction du 3/3=1 à partir de la

définition du tiersdéfinition du tiers Tartes de nouveau envisageables ici ! Tartes de nouveau envisageables ici !

(bien que…)(bien que…)

Les décimauxLes décimaux

L’intérêt des nombres L’intérêt des nombres décimauxdécimaux

Quel cadre Quel cadre historique?historique?

Nécessité d’une précision Nécessité d’une précision accrue.accrue.

Les décimauxLes décimaux

Révélateur de l’enseignement ‘à Révélateur de l’enseignement ‘à coup de règle’ (R. Charnay)coup de règle’ (R. Charnay) Enseignement de recettesEnseignement de recettes Pas de travail sur les fondementsPas de travail sur les fondements Mélanges et interférencesMélanges et interférences

Un exemple : 23,4x100=2340Un exemple : 23,4x100=2340 Quelles justifications?Quelles justifications?

Les décimauxLes décimaux Règle ‘du zero’ : ne marche pas!Règle ‘du zero’ : ne marche pas! Règle de la virgule : ne marche pas non plus!Règle de la virgule : ne marche pas non plus! Seules les stratégies basées sur le sens Seules les stratégies basées sur le sens

fonctionnentfonctionnent Chaque terme de la décomposition est 100 fois Chaque terme de la décomposition est 100 fois

plus grandplus grand 2 dizaines deviennent 2 milliers.2 dizaines deviennent 2 milliers.

3 unités deviennent 3 centaines.3 unités deviennent 3 centaines.4 dixièmes deviennent 4 dizaines.4 dixièmes deviennent 4 dizaines.

La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres qui changent de classe!qui changent de classe!

On ne prend pas appui sur des règles On ne prend pas appui sur des règles formelles mais sur des stratégiesformelles mais sur des stratégies

Sur les décimauxSur les décimaux

La comparaison, l’ordreLa comparaison, l’ordre La signification de chaque chiffreLa signification de chaque chiffre Les calculs sur les décimauxLes calculs sur les décimaux La résolution de problèmes La résolution de problèmes

nécessitant les décimaux.nécessitant les décimaux.

Les difficultés rencontrées Les difficultés rencontrées par mes élèves.par mes élèves.

Une remarqueUne remarque

Des erreurs qui persistentDes erreurs qui persistent

L’interprétation des L’interprétation des erreurserreurs

La juxtaposition des parties entières et La juxtaposition des parties entières et décimalesdécimales Les pratiques ‘courantes’ : 1,52 euros, c’est Les pratiques ‘courantes’ : 1,52 euros, c’est

toujours 1 euro et 52 centimes. Il n’y a pas de toujours 1 euro et 52 centimes. Il n’y a pas de décimes!décimes!

Mêmes choses pour les unités de longueur si Mêmes choses pour les unités de longueur si on utilise les sous-multiples.on utilise les sous-multiples.

‘‘Fausse symétrie’ / virgule….Fausse symétrie’ / virgule…. Ex : 123,48Ex : 123,48

L’idée de nombre suivant persisteL’idée de nombre suivant persiste Proposer une activité.Proposer une activité.

L’origine des erreursL’origine des erreurs

Pratiques socialesPratiques sociales Construction ‘physique’ impossible : les Construction ‘physique’ impossible : les

décimaux sont construits mentalement.décimaux sont construits mentalement. ‘‘Règles’ de comparaison sur les entiers Règles’ de comparaison sur les entiers

trop proches…. Mais non applicables!trop proches…. Mais non applicables! Préférer la comparaison terme à terme à la Préférer la comparaison terme à terme à la

normalisation des longueurs de partie normalisation des longueurs de partie décimale.décimale.

Un exemple d’activité de comparaisonUn exemple d’activité de comparaison