7/24/2019 Fraction Continue

1/2

P r o b l e m e

( F r a c t i o n s c o n t i n u e s )

O n d e n i t p a r r e c u r r e n c e d e s f o n c t i o n s F

n

d e n + 1 v a r i a b l e s r e e l l e s s t r i c t e m e n t p o s i t i v e s p a r l e s

r e l a t i o n s :

F

0

( x

0

) = x

0

e t F

n + 1

( x

0

x

1

: : : x

n + 1

) = x

0

+

1

F

n

( x

1

x

2

: : : x

n + 1 )

E x e m p l e : F

1

( x

0

x

1

) = x

0

+

1

x

1

F ( x

0

x

1

x

2

) = x

0

+

1

x

1

+

1

x

2

P a r t i e 1 :

1 . D e m o n t r e r q u e l e s f o n c t i o n s F

n

e x i s t e n t e t s o n t d e n i e s e q u i v a l e m m e n t p a r :

F

0

( x

0

) = x

0

e t F

n + 1

( x

0

: : : x

n + 1

) = F

n

( x

0

: : : x

n ; 1

x

n

+

1

x

n + 1

)

2 . E t u d i e r l e s v a r i a t i o n s d e F

n

e n f o n c t i o n d e s a d e r n i e r e v a r i a b l e x

n + 1

3 . O n d e n i t l e s d e u x f o n c t i o n s P

n

e t Q

n

d e n + 1 v a r i a b l e s r e e l l e s s t r i c t e m e n t p o s i t i v e s p a r l e s

r e l a t i o n s :

P

0

( x

0

) = x

0

P

1

( x

0

x

1

) = x

0

x

1

+ 1 Q

0

( x

0

) = 1 Q

1

( x

0

x

1

) = x

1

P

n + 1

( x

0

: : : x

n + 1

) = x

n + 1

P

n

( x

0

: : : x

n

) + P

n ; 1

( x

0

: : : x

n ; 1

)

Q

n + 1

( x

0

: : : x

n + 1

) = x

n + 1

Q

n

( x

0

: : : x

n

) + Q

n ; 1

( x

0

: : : x

n ; 1

)

E t a b l i r q u e F

n

( x

0

: : : x

n

) =

P

n

( x

0

: : : x

n

)

Q

n

( x

0

: : : x

n

)

4 . S o i t ( a

n

)

n

u n e s u i t e d ' e n t i e r s n a t u r e l s n o n n u l s . O n d e n i t l e s s u i t e s r e e l l e s ( b

n

)

n

( p

n

) ( q

n

) p a r :

b

n

= F

n

( a

0

: : : a

n

) p

n

= P

n

( a

0

: : : a

n

) q

n

= Q

n

( a

0

: : : a

n

)

l a s u i t e ( b

n

)

n

s ' a p p e l l e l a f r a c t i o n c o n t i n u e a s s o c i e e a l a s u i t e ( a

n

)

n

E t a b l i r l e s p r o p o s i t i o n s

s u i v a n t e s :

( a ) 8 n 2 N p

n + 1

q

n

; p

n

q

n + 1

= ( ; 1 )

n

( b ) p

n

e t q

n

s o n t d e s e n t i e r s n a t u r e l s e t l a f r a c t i o n

p

n

q

n

e s t i r r e d u c t i b l e .

( c ) L e s s u i t e s ( p

n

)

n

e t ( q

n

)

n

s o n t s t r i c t e m e n t c r o i s s a n t e s .

( d ) 8 n 2 N : p

n

2

n

2

e t q

n

2

n 1

2

( e ) L e s s u i t e s ( b

2 n

)

n

e t ( b

2 n + 1

) s o n t a d j a c e n t e s . ( o n c a l c u l e r a d ' a b o r d b

n + 1

; b

n

) S o i t b l e u r

l i m i t e c o m m u n e .

5 . C a l c u l e r b p o u r ( a

n

)

n

= ( 1 1 1 : : : ) p u i s p o u r ( a

n

)

n

= ( 1 2 2 2 : : : )

P a r t i e 2 :

S o i t x u n r e e l s u p e r i e u r o u e g a l a 1 . O n p o s e x

0

= x e t a

0

= x ] ( o u x ] d e s i g n e l a p a r t i e e n t i e r e d e

x )

T a n t q u e c e c i a u n s e n s , o n d e n i t l e s e n t i e r s a

n

e t l e s r e e l s x

n

p a r l e s f o r m u l e s d e r e c u r r e n c e :

x

n + 1

=

1

x

n

; x

n

e t a

n + 1

= x

n + 1

1 . E t a b l i r , p o u r t o u t e n t i e r n t e l q u e ( x

0

: : : x

n

) s o i e n t d e n i s :

x = F

n

( a

0

: : : a

n ; 1

x

n

)

2 . O n s u p p o s e x i r r a t i o n n e l :

( a ) M o n t r e r q u e p o u r t o u t n x

n

e x i s t e e t q u e a

n

e s t n o n n u l .

h t t p : / / m e m b r e s . l y c o s . f r / t a d d i s t / i n d e x . h t m - p a g e 1

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2/2

( b ) M o n t r e r q u e l a f r a c t i o n c o n t i n u e a s s o c i e e a ( a

n

)

n

c o n v e r g e v e r s x ( o n p o u r r a e t a b l i r b

2 n

x b

2 n + 1

e n u t i l i s a n t P a r t i e 1 - ( 2 ) )

( c ) M o n t r e r q u e l a s u i t e ( a

n

)

n

e s t l ' u n i q u e s u i t e d e s e n t i e r s n a t u r e l s n o n n u l s d o n t l a f r a c t i o n

c o n t i n u e a s s o c i e e c o n v e r g e v e r s x L a s u i t e ( a

n

)

n

s ' a p p e l l e l e " d e v e l o p p e m e n t e n f r a c t i o n c o n t i n u

d e x e t l e s r e e l s b

n =

p

n

q

n

s o n t d e s " r e d u i t e s d

0

o r d r e n " d e x

( d ) D e v e l o p p e r e n f r a c t i o n c o n t i n u e l e s r e e l s

p

2 e t

p

3

3 . O n s u p p o s e x r a t i o n n e l : x =

p

q

( f r a c t i o n i r r e d u c t i b l e )

( a ) M o n t r e r q u e l a s u i t e ( x

n

)

n

e s t n i e , c ' e s t a d i r e : 9 n 2 N x

n

2 N ( o n p o u r r a u t i l i s e r

l ' a l g o r i t h m e d ' E u c l i d e (

1

) p o u r l e s e n t i e r s p e t q )

( b ) M o n t r e r q u ' i l e x i s t e u n e e t u n e s e u l e s u i t e n i e d ' e n t i e r s n o n n u l s ( a

0

: : : a

n

) t e l l e q u e

a

n

> 0 e t x = F ( a

0

: : : a

n

)

i . L a s u i t e ( a

0

: : : a

n

) s ' a p p e l l e l e " d e v e l o p p e m e n t e n f r a c t i o n c o n t i n u e " d u r a t i o n n e l

x

( c ) D e v e l o p p e r e n f r a c t i o n c o n t i n u e l e r a t i o n n e l

3 5 5

1 1 3

P a r t i e 3 :

1 . E t a b l i r :

8 ( n k ) 2 N N : F

k

( x

0

: : : x

k ; 1

F

n

( x

k

: : : x

n + k

) ) = F

n + k

( x

0

: : : x

n + k

)

O n s e p l a c e m a i t e n a n t d a n s l e s h y p o t h e s e s e t l e s n o t a t i o n s d e p a r t i e 2 - ( 2 ) .

2 . O n s u p p o s e l a s u i t e ( a

n

)

n

p e r i o d i q u e . D e m o n t r e r q u e x e s t r a c i n e d ' u n e e q u a t i o n d u s e c o n d

d e g r e a c o e c i e n t s e n t i e r s .

3 . O n s u p p o s e s e u l e m e n t q u e l a s u i t e ( a

n

)

n

e s t p e r i o d i q u e a p a r t i r d ' u n c e r t a i n r a n g , c ' e s t a

d i r e : ( 9 k 2 N ) ( 9 n

0

2 N ) ( 8 n n

0

) : a

n + k

= a

n

E n u t i l i s a n t l a l i m i t e x

0

d e l a f r a c t i o n c o n t i n u e a s s o c i e e a l a s u i t e ( a

n

0

+ n

)

n

m o n t r e r q u e x e s t

e n c o r e r a c i n e d ' u n e e q u a t i o n d u s e c o n d d e g r e a c o e c i e n t s e n t i e r s . ( L a r e c i p r o q u e e s t e x a c t e

m a i s n ' e s t p a s d e m a n d e e )

P a r t i e 4 :

D a n s c e t t e p a r t i e , o n v e u t d e m o n t r e r q u e l e s r e d u i t e s d ' u n r e e l i r r a t i o n n e l x s o n t l e s " m e i l l e u r s f r a c t i o n

a p p r o c h a n t x , c ' e s t a d i r e , l e s n o t a t i o n s a

n

b

n

p

n

q

n

e t a n t c e l l e s d e l a p a r t i e 1 - ( 4 ) e t d e l a p a r t i e 2 :

8 ( n p q ) 2 N

3

:

p

q

; x p

n

e t q > q

n

S o i t d o n c u n r a t i o n n e l =

p

q

t e l q u e ; x q

n

3 . Q u e l l e s e s t l a m e i l l e u r e r e d u i t e d u n o m b r e d o n t l e s n u m e r a t e u r s e t d e n o m i n a t e u r s n e d e p a s s e n t

p a s 1 0 0 0 ? D o n n e r u n m a j o r a n t d e l ' e r r e u r .

F i n

1

E u c l i d e ( I V e - I I I e s . a v . J . - C . ) , m a t h e m a t i c i e n g r e c . F o n d a t e u r d e l ' e c o l e d ' A l e x a n d r i e , i l r a s s e m b l a e n u n s e u l o u -

v r a g e (

E l e m e n t s d e g e o m e t r i e ) t o u t e s l e s c o n n a i s s a n c e s a c q u i s e s e n g e o m e t r i e p l a n e a s o n e p o q u e , a i n s i q u e s e s p r o p r e s

d e c o u v e r t e s . I l a d e v e l o p p e l a m e t h o d e a x i o m a t i q u e , f o n d e e s u r l a n e c e s s i t e d ' a d m e t t r e c e r t a i n e s p r o p o s i t i o n s , l e s a x -

o m e s , p o u r p o u v o i r e n d e m o n t r e r d a u t r e s p a r e x . :

P a r u n p o i n t e x t e r i e u r a u n e d r o i t e , o n n e p e u t m e n e r q u ' u n e

s e u l e p a r a l l e l e a c e t t e d r o i t e .

h t t p : / / m e m b r e s . l y c o s . f r / t a d d i s t / i n d e x . h t m - p a g e 2