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1 FRACTALES (et ondelettes) Pierre-Olivier Amblard Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083 Groupe Non Lin´ eaire CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

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FRACTALES (et ondelettes)

Pierre-Olivier Amblard

Laboratoire des Images et des Signaux, UMR CNRS 5083

Groupe Non Lineaire

CENTRE NATIONAL

DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

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Fractales, 2eme

des signaux fractals, 2eme

� des signaux comme points fixes d’operateurs

� extension aux signaux aleatoires, operateurs aleatoires

� mouvements Browniens fractionnaires

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IFS pour les signaux

idee : H est un espace fonctionnel, metrique et complet.

Forme des operateurs ? IFS de R2 dont l’attracteur est le graphe d’une

fonction.

wnr =

an 0

cn dn

r +

en

fn

x0,y0

xn,yn

xn-1,yn-1 xN,yN

wn

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Principe

(Tf)(x) =N

i=1

ϕi

(

f(w−1i (x)), w−1

i (x))

1wi(X)(x)

T 1

1W (X)

X

W (X) W (X)2 3

T3

2T

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N applications contractantes wi de facteurs de contraction ci definis par

ci = sup(x,y)∈[0,1]2

d(wi(x), wi(y))

d(x, y)

et qui realisent une partition de [0, 1], c’est-a-dire

[0, 1] =

N⋃

i=1

wi([0, 1])

µ(wi([0, 1])⋂

wj([0, 1])) = 0, ∀i 6= j

N fonctions ϕi(t, s) uniformement lipschitz en leur premiere variable,

c’est-a-dire |ϕi(t1, s) − ϕi(t2, s)| ≤ Ki|t1 − t2|, ou Ki est une constante

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positive. On definit alors l’operateur T suivant par

T : Lp([0, 1]) −→ Lp([0, 1])

f 7−→ Tf =N

i=1

Tif

(Tif)(x) = ϕi

(

f(w−1i (x)), w−1

i (x))

1wi(X)(x)

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Espaces de travail

Lp([0, 1]) =

{

f : [0, 1] −→ R/

∫ 1

0

|f(t)|p dt < +∞

}

La distance adoptee est alors la distance classique

dp(f, g) =

{∫ 1

0

|f(t) − g(t)|p dt

}1/p

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Premier resultat : T est contractant dans (Lp(X), dp) sous la condition∑

i ciKpi < 1.

Deuxieme resultat : La suite T nf0 converge vers une limite f?, avec une

vitesse exponentielle.

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Conditions de continuite

Soient α et β les points fixes respectifs de ϕ1 (x, a0) et ϕN (x, aN ).

Alors f? est continue si

ϕi (β, aN ) = ϕi+1 (α, a0)

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Exemple

Soit a ∈]1, +∞[. On utilise

w1(x) =x

aϕ1(x, y) = s1x + λ1(y)

w2(x) =a − 1

ax +

1

aϕ2(x, y) = s2x + λ2(y)

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a=2, s=3/4, λ1(y)=y3,λ

2(y)=1−y2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

a=3, s=3/4, λ1(y)=y3,λ

2(y)=1−y2

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Rendre aleatoire la construction?

Repose sur l’interpretation Tf? = f? qui doit s’entendre en distribution. . .

On verra cela tout a l’heure, apres d’autres modeles de fonction aleatoires

fractales...

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Mouvement Brownien (Fractionnaire)

Brown(1850), Einstein, Levy, Wiener (1900→) . . . Mandelbrot et Van Ness

1968

Mouvement Brownien : processus limite de

1. x(0) = 0,

2. x(n.dt) = x((n − 1)dt) + an, ou an prend les valeurs ±η

equiprobablement independamment des intervalles precedents. Pour

les temps negatifs, la marche est definie de meme.

Principales proprietes :

� gaussien, non stationnaire

� autosimilaire : B(at)d= a1/2B(t)

� accroissements independants et stationnaires.

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Mouvement Brownien : illustrons. . .

0 200 400 600 800 1000−25

−20

−15

−10

−5

0

5une r�alisation du Brownien

0 200 400 600 800 1000

−5

0

5

incr�ment de taille 10

0 200 400 600 800 1000

−5

0

5

incr�ment de taille 20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−60

−40

−20

0

20

40

60non stationnaire, variance en t

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Mouvements browniens fractionnaires

le brownien : seul processus gaussien auto-similaire a accroissements

independants stationnaires.

D’autres processus gaussiens auto-similaires ?

Un fBm d’index H ∈]0, 1[ est defini par

BH(0) = 0

BH(t) =1

Γ(H + 1/2)

[∫ 0

−∞

(

|t − τ |H−1/2 − |τ |H−1/2)

dB(τ)

+

∫ t

0

|t − τ |H−1/2dB(τ)

]

Moyenne mobile qui conserve l’autosimilarite et la stationnarite des

increments. . .

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Traces fractales

Les realisations du mouvement brownien fractionnaire ont

presque-surement une dimension de Hausdorff

D = 2 − H

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Mouvement brownien fractionnaire : illustrons. . .H=0.2

H=0.4

H=0.5

H=0.6

H=0.8

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Proprietes

� structure de correlation

� processus gaussien non stationnaire

� autosimilaire d’index H : BH(t)d= λ−HBH(λt)

� continuite et derivabilite des traces, coefficient de Holder

� increments, longue dependance

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Structure a l’ordre 2

processus evidemment centre, de fonction de correlation :

E[BH(t1)BH(t2)] =VH

2

(

|t1|2H + |t2|

2H − |t1 − t2|2H

)

car la variance des increments Bδ(t) = BH(t + δ) − BH(t)

E[Bδ(t)2] = VH |δ|2H

ou

VH = Var[BH(1)] = σ2Γ(1 − 2H) cos(πH)/(πH)

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Gaussianite et non stationnarite

calcul de la fonction de correlation =⇒ processus non stationnaire

Comme transformee lineaire d’un processus gaussien =⇒ gaussien :

PBH(t)(x; t) ∼ N(

0, VH |t|2H)

et a deux dates

N

0,VH

2

2|t1|2H |t1|2H + |t2|2H − |t1 − t2|2H

|t1|2H + |t2|

2H − |t1 − t2|2H 2|t2|

2H

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Autosimilarite

A l’aide des densites de probabilites on montre facilement

BH(t)d= λ−HBH(λt), ∀λ > 0

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Continuite et derivabilite

Les traces du fBm sont presque surement continu, mais non derivable (dur

a montrer).

Limitons nous a la moyenne quadratique.

limδ→0

E[(BH(t + δ) − BH(t))2]

δ2= ∞

le fBm n’est donc pas derivable en MQ. Mais

limδ→0

E[(BH(t + δ) − BH(t))2]

δ2α=

0 si α < H

∞ si α > H

C si α = H

un signal aleatoire x(t) a un exposant de Holder H < 1 si

supα

{

limδ→0

E[(x(t + δ) − x(t))2]

δ2α< +∞

}

= H

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Increments, notion de longue dependance

Pour regulariser le fBm, on l’integre selon

BH(t, δ) = δ−1

∫ t+δ

t

BH(s)ds =

BH(s)ϕ(t − s)ds

ou ϕ(t) = δ−11[0,δ](t). Si ϕ est choisie plus douce, on entre dans la theorie

des distributions ! Le processus BH(t, δ) est derivable et l’on obtient

B′

H(t, δ) = δ−1(BH(t + δ) − BH(t))

bruit gaussien fractionnaire. . . de correlation

CH(τ, δ) = E[B′

H(t, δ)B′

H(t + τ, δ)] =VHδ−2

2

(

|τ + δ|2H + |τ − δ|2H − 2|τ |2H)

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Le comportement de la fonction de correlation du fGn depend de H et du

comportement de τ/δ. En ecrivant

CH(τ, δ) =VHδ2H−2

2

(

δ+ 1|2H + |

τ

δ+ 1|2H − 2|

τ

δ|2H

)

on montre en effectuant un developpement limite que

1. si |τ |/δ � 1 :

CH(τ, δ) ≈ VHH(2H − 1)|τ |2H−2

2. si |τ |/δ � 1 :

CH(τ, δ) ≈ CH(0, δ) + VHδ−2|τ |2H

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Comportement asymptotique

Quand |τ | → +∞, |τ |/δ � 1 et

1. H > 1/2 : La correlation est positive, et en +∞, elle decroıt vers zero

comme τ2H−2 et 2H − 2 ∈] − 1, 0[. La decroissance de la fonction de

correlation est donc plus lente que 1/τ de sorte que la correlation n’est

pas sommable!

dependance ou memoire longue

2. H < 1/2 : La correlation est negative pour τ suffisament grand. On

peut alors montrer que la somme de la correlation est nulle, de sorte

que l’on se trouve dans un cas plus classique, bien que la decroissance

a l’infini soit lente.

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Comportement spectral

heuristique :

γH(ν, δ) =

∫ +∞

|τ |2H−2e−2iπντdτ

=1

|ν|2H−1

∫ +∞

|u|2H−2e−2iπudu

γH(ν, δ) −→C(H)

|ν|2H−1quand ν −→ 0

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Illustrons. . .

0 1 2 3 4 5 6−10

−9.5

−9

−8.5

−8

−7.5

−7H=0.3

log(ν)

log(

S H)

0 1 2 3 4 5 6−17

−16.5

−16

−15.5

−15

−14.5

−14H=0.7

log(ν)

log(

S H)

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et pour le fBm?

la notion de spectre n’a pas de sens, mais, approche temps-frequence :

“spectre” de Wigner-Ville

WB(t, ν) =

rB(t −τ

2, t +

τ

2)e−2iπντdτ

= (1 − 21−2H cos(4πνt))1

|2πν|2H+1

1

T

∫ T

0

WB(t, ν)dt =1

|2πν|2H+1si T = k/4ν.

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Illustrons. . .

0 1 2 3 4 5 6−10

−5

0

5H=0.3

log(ν)

log(

S H)

0 1 2 3 4 5 6−20

−15

−10

−5

0

5

log(ν)

log(

S H)

H=0.7

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IFS aleatoires

A? = W (A?)

s’interprete comme

1. sequentiellement : on calcule la suite W n(A0)

2. recursivement : W n(A0) = ∪Ni=1Wi(W

n−1(A0))

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w1,2 : contraction, reflexion, rotation

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Passage au cas aleatoire pour les fonctions

(T nf0) =∑N

i=1(Ti(Tn−1f0)) , T = {Ti}i=1,...,N aleatoire

Ti est une application Lipschitzienne aleatoire, les wi etant deterministes

elles sont tirees a chaque iteration suivant une meme loi, independamment

les unes des autres :

1. iteration 1 : T 1f0 =∑

i1Ti1f0 ou les Ti1 tires suivant la loi des Ti=1...N

2. iteration 1 : T 2f0 =∑

i1,i2Ti1 ◦ T i1

i2f0 ou les T i1

i2(i1,2 = 1 . . . N) tires

suivant la loi des Ti=1...N , independamment des Ti1 , et T ii2

independant de T ji2

si i 6= j

3. iteration n : T nf0 =∑

i1,i2,...,inTi1 ◦ T i1

i2◦ . . . ◦ T

i1,i2,...,in−1

inf0 ou les

Ti1,i2,...,in−1

intires suivant la loi des Ti=1...N , independamment des

iterations precedentes. De plus, Ti1,i2,...,in−1

inet T

j1,j2,...,jn−1

in

independants si i 6= j.

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f0 f0

T 111 T 11

2

i3

f0 f0

T 121 T 12

2

i3

T 11 T 1

2

i2

f0 f0

T 211 T 21

2

i3

f0 f0

T 221 T 22

2

i3

T 21 T 2

2

i2

T1 T2

i1

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Alors

Soient {(ϕi(x)}i=1,...,N ) N fonctions aleatoires lipschitziennes, avec les

constantes (aleatoires) ri; soient N fonctions contractantes wi qui forment

une partition de X = [0, 1], avec les facteurs de contraction pi ; supposons

que λp = E[∑

i pirpi ] < 1 et E[

pi|ϕi(0)|p] < ∞ pour 1 < p < ∞. Alors,

∀f0 ∈ Lp(X)

E1/p[dpp(T

nf0, f?)] ≤λ

n/pp

1 − λ1/pp

E1/p[dpp(f0, T f0)] −→ 0

quand n → ∞.

De plus, en distribution, f? est un point fixe de T .

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Exemple

Soit a ∈]1, +∞[. Soit ε = ±1 avec probabilite 1/2

w1(x) =x

aϕ1(x, y) = s1x + ελ1(y)

w2(x) =a − 1

ax +

1

aϕ2(x, y) = s2x + ελ2(y)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

1

2

3

a=2, s=3/4, λ1(y)=y,λ

2(y)=1−y2, DETERMINISTE

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2

0

2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2

0

2

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−2

0

2

3 r�alisations du point fixe al�atoire

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et les statistiques sont des IFS deterministes. . .

Cumn[f?(x)] = Cumn[ε]+∞∑

ν=1

sn(ν−1)λnqν

(w−1q (x))

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2A snapshot of the random fixed point

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.6

−0.4

−0.2

0Mean of the random fixed point

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Variance, true, estimated and difference

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−0.6

−0.4

−0.2

0Zoom on the mean : DSI

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