Fractales ? Cours de DEA SIPT P.O. Amblard

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  • Fractales ?

    Cours de DEA SIPT

    P.O. Amblard

    1

  • Vraie, . . . ou fausse ?

    2

  • Paysages. . .

    3

  • Les termites se promenent. . .et les plantes. . .

    4

  • Un peu de turbulence. . .

    5

  • Chapter 1

    Introduction aux fractales

    1.1 Mesurer des longueurs

    Tous les etudiants possedent une regle graduee qui leur permet de mesurer la longueur de nimportequel objet. Le principe de base est de considerer la regle comme une unite de longueur l0, puis decompter le nombre de fois necessaire pour couvrir lobjet avec cette unite. Soit n(l0) ce nombre.La longueur est alors approchee par L n(l0)l0. Pour un segment de droite de longueur L, cetteformule est exacte si lon choisit l0 = L/n(l0). Pour un cercle de rayon R, divisons en n anglesegaux le cercle, et choisissons pour lunite de longueur la longueur de la corde liant deux pointsdu cercle definissant langle 2/n. Alors l0 = 2R sin(/n). Or, il faut n(l0) = n unite de longueurpour decrire le cercle. Donc la longueur du cercle est approchee par L n2R sin(/n). Pourobtenir une mesure fine, n est choisit de plus en plus grand. En developpant le sinus on obtient2R sin(/n) 2R/n R3/(3n3) de sorte que n(l0)l0 2R R3/(3n2), qui tend vers 2Rquand n tend vers linfini.

    Considerons maintenant lexemple de la figure (1.1). Cette courbe est appelee courbe de VonKoch, et est obtenue a laide dun processus recursif. Lelement initial est un segment de droite delongueur l0. La recursion consiste a remplacer le tiers central du segment par un triangle equilateralde cote l0/3. La courbe resultante est composee de 4 segments sur lesquels on remplace le tierscentral par un triangle equilateral de cote l0/9. Ce processus est alors repete a linfini. La limiteest appelee courbe de Von Koch. Calculons sa longueur. Initialement, la longueur est n0l0 avecn0 = 1. A la premiere iteration, elle est de n1l0/3 ou n1 = 4n0. A chaque iteration, le nombrede segments est multiplie par 4, et chaque nouveau segment a une longueur trois fois plus petite: donc, nk = 4nk1 = 4

    kn0 et lk = l0/3k. La longueur de la courbe a literation k est donc

    Lk = l0(4/3)k, et Lk tend vers linfini lorsque k tend vers linfini. La courbe de Von Koch est donc

    une courbe continue de longueur infinie!Dune facon generale, lorsque lon mesure une longueur, le nombre n(l0) dunites de longueur

    l0 permet dobtenir la longueur parl = lim

    l00n(l0)l0

    Pour un segment de droite de longueur L, il faut environ L/l0 unites de longueur pour couvrirle segment, soit d = 1, de sorte que l = liml00 n(l0)l0 = L. Dune facon generale, des quunecourbe est rectifiable (derivable, sauf peut-etre en un nombre fini de points), cette limite est finieet appelee longueur de la courbe.

    Mais pour la grande majorite des courbes, la rectifiabilite nest pas verifiee, et la limite ci-dessussavere souvent infinie. Mathematiquement, la limite peut etre nulle si d < 1, finie si d = 1 ouinfinie si d > 1. Nous avons deja vu des exemples de courbes rectifiables pour lesquelles la limiteest finie. Le cas dune longueur nulle correspond a un objet qui nest en fait quune poussiere depoints, et qui porte donc difficilement le nom de courbe (voir lexemple de lensemble de Cantor au

    6

  • Figure 1.1: Courbe de Von Koch : exemple dune courbe continue de longueur infinie.

    paragraphe 1.1.2, represente figure 1.2). Lexemple de la courbe de Von Koch pour une longueurinfinie est representatif. Lorsque letalon de longueur l0 diminue, des details fins apparaissent estpeuvent etre pris en compte dans le nombre n(l0). Le premier exemple pris dans les exposes deB. Mandelbrot est celui des cotes maritimes dun pays (les cotes de Bretagne pour etre precis).Lorsque letalon de longueur est de lordre de la centaine de metres, les echancrures mesurablessont les grandes baies. A lechelle de la dizaine de metres, de nouvelles petites baies deviennentvisibles par letalon. Par contre, les circonvolutions dues aux rochers ne sont pas prises en compte.Elles le deviennent lorsque letalon est de lordre du metre. Chaque echelle fait ainsi apparatre denouveaux details, petits mais en nombre suffisant pour faire diverger la mesure de longueur.

    En general, le nombre n(l0) de fois quil faut deplacer letalon de longueur pour parcourir lacourbe se comporte comme ld0 ou d est caracteristique de la courbe. Dans le cas des courbesrectifiables, nous avons note que n(l0) l10 . Si d < 1, la longueur tend vers 0 et nous sommesconfronte a une poussiere alors que si d > 1 la longueur de la courbe est infinie.

    Ce nombre d est caracteristique de la courbe. Or, en mesurant la longueur de la courbe, nousnavons acces qua la position de d par rapport a 1. Ceci est du au fait que la mesure de longueurnest pas adaptee a la mesure de d. Toutefois, si lon envisage

    l(D) = liml00

    n(l0)lD0

    alors

    n(l0)lD0 lDd0

    0 si D > d cte si D = d si D < d

    Le nombre d est appele dimension fractale de la courbe.Le probleme du calcul dune dimension est tres complique. Ceci est du a lexistence dune

    multitude de definition de la dimension dun ensemble. Nous allons donner la definition qui semblela plus generale, puis voir une autre definition, plus constructive, permettant un calcul pratique.

    7

  • 1.1.1 Dimension de Hausdorff-Besicovitch

    Nous nous placons dans R2, bien que cette restriction puisse etre levee. Soit S un sous-ensemblede R2. Soit maintenant une famille finie ou denombrable densembles {Ui} de diametres inferieursou egaux a , i.e. |Ui| = sup(|x y|, x, y Ui) qui couvre S. En dautres termes, la famille{Ui} est telle que

    |Ui| , i

    S

    i=0

    Ui

    On dit alors que la famille {Ui} est un -recouvrement de S. On pourrait alors mesurer la surfacede S en sommant les diametres des Ui. Mais un probleme a deja ete evoque dans le paragrapheprecedent : pour certains ensembles, la mesure peut tendre vers linfini. Il est alors preferable desommer les diametres eleves a une puissance s et trouver le s rendant finie la somme. Un deuxiemeprobleme reside dans le fait que cette mesure depend du recouvrement choisi. Pour cette raison, ilfaut envisager lensemble de tous les -recouvrements possibles. On definit alors

    Hs(S) = inf{

    +

    i=0

    |Ui|s, {Ui} -recouvrement de S}

    Tout comme pour mesurer les longueurs dans le paragraphe precedent, on envisage ensuite la limitelorsque tend vers zero de Hs(S) et lon ecrit

    Hs(S) = lim0

    Hs(S)

    On montre que Hs(S) est une mesure de lensemble S qui peut etre eventuellement infinie. Cettemesure est appelee mesure de Hausdorff. Pour comprendre son comportement, supposons que Ssoit le graphe dune fonction lisse. Si s > 1, on mesure la surface de S qui est nulle. Si s < 1on mesure une grandeur dordre plus petit quune longueur et le resultat est infini. Pour s = 1,on mesure la longueur de la courbe lisse, et lon obtient un resultat fini. On trouve alors que lamesure de Hausdorff est en general

    Hs(S) =

    pour s [0, sd[Hsd(S) pour s = sd0 pour s > sd

    Le nombre sd tel que la mesure de Hausdorff soit finie est appelee dimension de Hausdorff delensemble S et est note dimH(S).

    On obtient une definition equivalente si lon remplace les ensembles Ui par des disques parexemple.

    Il existe dautres definitions de la dimension. Le caractere pratique de ces dimensions nest pastoujours evident. Le paragraphe suivant donne une definition permettant une evaluation simplede la dimension.

    1.1.2 Dimension de comptage de botes

    Lidee derriere le calcul de dimension est le recouvrement par des objets simples de lensemble amesurer. La dimension de Hausdorff est fondee sur cette idee, mais est difficilement utilisable enpratique puisque la forme du recouvrement nest pas explicite.

    Dans R2, on considere les carres de cotes de longueur . Soit N(S) le nombre minimal de cescarres necessaire pour recouvrir un ensemble S. La dimension de comptage de botes de S estalors definie par la limite, lorsquelle existe

    dimB(S) = lim0

    log(N(S))log

    8

  • Figure 1.2: Ensemble de Cantor.

    Cette dimension porte un certain nombre de noms, parmi lesquels dimension metrique, dinformation,de capacite. . .

    On peut montrer que la dimension de comptage de botes est superieur ou egale a la dimensionde Hausdorff. Toutefois, pour beaucoup densembles, ces dimensions sont egales.

    Lavantage dune telle definition est son utilite pratique, puisquil est tres facile de limplantersur ordinateur. La marche a suivre est la suivante. On quadrille le plan par des carres de longueur1 et on compte le nombre N1(S) de ces carres qui intersectent lensemble a mesurer. Puis ondiminue 1 en 2 pour chercher N2(S), etc. . .

    On trace alors log(Ni(S)) en fonction de log(i). Pour des valeurs log(i) suffisamment petites,ce graphe doit etre une droite dont on calcule la pente par regression lineaire.

    Exemple : lensemble de Cantor Lensemble de Cantor est obtenu en eliminant le tierscentral du segment [0, 1] puis en iterant le processus sur les segments restant. Cette constructionest montre figure (1.2).

    Pour couvrir lensemble de Cantor, on choisit des botes de taille = 1/3n. A letape n, il fautN = 2

    n botes pour recouvrir completement lensemble. Donc

    log(N)log

    =log 2

    log 3= dimB

    On remarque egalement que le recouvrement envisage est le -recouvrement qui donne linf pourla mesure de Hausdorff. Dans cet exemple, la dimension de Hausdorff et la dimension dinformationsont donc egales.

    Remarque Nous avons vu deux definitions de la dimension. La notion de dimension fractale estdonc difficilement definissable. Toutefois, nous dirons quun objet a une dimension fractale si sadimension de Hausdorff est strictement s