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Formule des volumes des solides.

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Formule des volumes des solides.

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Les bases et les faces latérales des solides

Le calcul de cet espace s’appelle le volume.

délimitent un espace.

Exemple

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Volume d’un prisme

Le volume d’un prisme s’obtient en multipliant l’aire d’une base

par la hauteur du prisme.

h

Volume prisme = Aire d’une base X hauteur

Volume prisme = Aire base X hauteur

Longueur

largueur

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h

h

h

Volume prisme = Aire base X hauteur

Remarque: La hauteur d’un prisme est le segment joignant les deux faces parallèles.

Volume : L X l

Longueur

largeur

Volume : n X c X a

2

Volume : b X h

2

Volume : L l h

Volume : n c a X h

2

Volume : b h X h

2

Attention

hh

X h

X h

X h

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Volume d’un cube

c

c

c

Le cube ayant toutes ses arêtes de même mesure, la formule pour calculer son volume est très simple.

Volume cube = c3

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Exemple

Calcule le volume de ce prisme.

4 cm

5 cm3 cm

Volume : L l h

Volume : 4 X 5 X 3 = 60 cm3 car 3 dimensions : longueur

largueur

hauteur

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Volume : 6 X 5 X 7

2

Volume : n c a X h

2

X 15

Exemple

Calcule le volume de ce prisme.

5 m

7 m 15 m

Volume : 1 575 m3

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Volume : 4 X 3

2

Volume : b X h

2X H

Exemple

Calcule le volume de ce prisme.

X 8

Volume : 48 dm3

Remarque :

3 dm

4 dm

8 dm

Dans un triangle rectangle, les deux cathètes correspondent à la base et à la hauteur.

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Exemple

Calcule le volume de ce cube.

Volume cube = c3

Volume cube = 93

9 mm

9 mm

9 mm

Volume cube = 729 mm3

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Volume d’un pyramide

Volume pyramide = Aire de la base X h

3

Le volume d’une pyramide s’obtient en multipliant l’aire de la base

par la hauteur de la pyramide

et en divisant par trois.

À base égale et à hauteur égale, l’espace occupé par une pyramide est 3 fois plus petit que celui du prisme.

Volume pyramide = Aire base X h

3

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Volume pyramide = Aire base X h

3

droite à base carrée

Volume pyramide = c2 h

3

droite à base hexagonale

Volume pyramide = nca

3

2X h

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Exemple

12 m12 m

8 m

Calcule le volume de cette pyramide.

Volume pyramide = Aire de la base X h

3

Volume pyramide =

3

X 8= 384 m3

12 X 12

Volume pyramide =

3

c2 h

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Exemple

Calcule le volume de cette pyramide.

5 m

6 m6 m

On ne connaît pas la hauteur donc

a2 = c2 - b2

a2 = 52 - 32

1) Déterminer le demi-côté: 3 m

2) Déterminer la hauteur :

a2 = 16

a = 4 m

3 m

4 m?

a

b

c

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6 m6 m

4 m

Volume pyramide = Aire de la base X h

3

Volume pyramide =

3

X 4= 48 m3

6 X 6

Volume pyramide =

3

c2 h

Exemple

Calcule le volume de cette pyramide.

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6 X 5 X 4

Volume pyramide = nca

3

2X h

Exemple

Calcule le volume de cette pyramide.

4 m

5 m

7 m

Volume pyramide =

3

2X 7

Volume pyramide = 140 m3

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Volume d’un cylindre

Le volume d’un cylindre s’obtient en multipliant l’aire d’une base

par la hauteur du cylindre.

h

Volume cylindre = π X r2 X h

Volume cylindre = π r2 h

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5 cm

10 cm

Calcule le volume de ce cylindre.

Exemple

Volume cylindre = πr2h

Volume cylindre = π X 52 X 10

Volume cylindre ≈ 785,4 cm3

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Volume d’un cône

Le volume d’un cône s’obtient en multipliant l’aire de la base

par la hauteur du cône

Volume cône = π X r2 X h

3

Volume cône = π r2 h

3

et en divisant par trois.

À base égale et à hauteur égale, l’espace occupé par un cône est 3 fois plus petit que celui du cylindre.

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Exemple

Calcule le volume de ce cône.

9 m

12 m

Volume cône = π r2 h

3

Volume cône = π X 92 X 12

3

Volume cône ≈ 1 017,88 m3

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3 cm

5 cm

Calcule le volume de ce cône.

Exemple

On ne connaît pas la hauteur donc

a2 = 52 - 32

a2 = 25 - 9

1) Rayon : 3 cm

2) Déterminer la hauteur :

a2 = 16

a = 4 cm

a2 = c2 - b2

?4 cm

a

b

c

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Volume cône = π r2 h

3

Volume cône = π X 32 X 4

3

3 cm

Calcule le volume de ce cône.

4 cm

Volume cône ≈ 37,7 cm3

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Volume d’une boule

Une boule est un solide régulier donc sa formule est simple.

Volume boule = 4 X π X r3

3

Volume boule = 4 π r3

3

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Exemple

Calcule le volume de cette boule.

r = 5 dmVolume boule = 4 π r3

3

Volume boule = 4 X π X 53

3

Volume boule ≈ 523,6 dm3

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En résumé

Volume d’un prisme : Aire base X h

Volume d’une pyramide : Aire base X h

3

Ces deux formules dépendent de la forme des bases.

Volume d’un cône : Aire base X h

3

Volume du cube : c3

Volume d’un cylindre : Aire base X h π r2 h=

π r2 h

3=

Volume d’une boule = 4 π r3

3