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  • Formes bilinéaires et formes quadratiques, orthogonalité

    Cours avec des exercices (Cours dAlgèbre 4, deuxième année LMD

    Mathématiques)

    Hanifa Zekraoui

    7 juillet 2018

  • 2

  • Table des matières

    1 Les formes linéaires, dualité 9 Itroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Bases duale et antéduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Lorthogonalité pour la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Séries des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2 Les formes bilinéaires et les formes quadratiques 15 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Les formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    Lexpression algébrique dune forme bilinéaire et la ma- trice associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    Les matrices congruantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Les forme bilinéaire et dualité . . . . . . . . . . . . . . 19 Le rang dune forme bilinéaire symétrique, forme non

    dégénérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Lorthogonalité pour une forme bilinéaire symétrique . 20

    Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Une autre dénition équivalente de la forme quadratique 22 La forme polaire dune forme quadratique . . . . . . . 22 La règle du parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . 23 Quelques remarques importantes . . . . . . . . . . . . 23 Exemples de quelques formes quadratiques . . . . . . . 25 Vecteurs isotropes pour une forme quadratique . . . . . 25 Lorthogonalité pour une forme quadratique . . . . . . 26 Forme quadratique dénie (positive, négative), non dé-

    nie, produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 26 Espace quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    Série des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3 Réduction des formes quadratiques 31 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Réduction par lorthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Réduction par complétion des carrés (Méthode de Gauss) . . 34

    3

  • 4 TABLE DES MATIÈRES

    Signature et classication dune forme quadratique . . . . . 35 Signature dune forme quadratique . . . . . . . . . . . 36 Classication sur le corps des complexes C . . . . . . . 36 Classication sur le corps des réels R . . . . . . . . . . 37

    Diagonalisation des matrices symétriques dans une base or- thonormée des vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . 37 Pratiquement comment procède t-on ? . . . . . . . . . 37

    Série des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4 Quelques notions algébriques et géométriques de les- pace préhilbertien 41 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Quelques notions de lespace Euclidien . . . . . . . . . . . . 41 Lespace Hermitien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Quelques sujets dexamens de lalgèbre 4 . . . . . . . . . . . 46

    Examen dalgèbre 4, Mai 2017 . . . . . . . . . . . . . . 46 Corrigé type de lexamen de lalgèbre 4, Mai 2017 . . . 47 Examen de rattrappage dalgèbre 4, Juin 2017 . . . . . 49 Corrigé type de lexamen du rattrapage de lalgèbre 4,

    Juin 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Examen dalgèbre 4, Mai 2018 . . . . . . . . . . . . . . 52 Corrigé type de lexamen de lalgèbre 4, Mai 2018 . . . 53 Examen de rattrapag dalgèbre 4, Juin 2018 . . . . . . 56 Corrigé type de lexamen de rattrapage de lalgèbre 4,

    Juin 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

  • Préface

    C et ouvrage est le fruit des cours destinés aux étudiants de la deuxièmeannée LMD Mathématiques qui ont déjà fait leur cours en algèbre linéaire de la première année et lalgèbre 3. Il est constitué de lAl- gèbre 4 qui traite le sujet de la réduction des formes quadratiques (la diagonalisation des endomorphismes réels auto adjoints, donc la diago- nalisation des matrices symétriques) est leurs applications aux quelques aspects mathématiques.

    L a réduction des formes quadratiques est un outil puissant pour ladétermination de plusieurs notions de lalgèbre linéaire comme le rang dune matrice, la puissance dune matrice, linverse dune matrice inversible, etc., en plus aux notions de la géométrie comme lortho- gonalité. Comme elle a plusieurs applications dans dautres aspects mathématiques, comme la géométrie algébrique la théorie des nombre, la topologie et les équations aux dérivées partielles. Le but de cette partie est dexposer les notions et les théorèmes qui

    servent à réduire une forme quadratique à la forme diagonale par les di¤érentes méthodes, en montrant le lien spécique entre ce cours et le cours dalgèbre 3 qui traite la diagonalisation des endomorphismes et de la présenter aux étudiants de la deuxième année L. M. D. Mathé- matiques dans un cours plus simple et compréhensible. La partie est constituée en cinq chapitres, chaque chapitre est ter-

    miné par une série des exercices, en plus dune section pour les examens des années passées et leurs corrigés types an déclairer le contenu et lenrichir. Le premier chapitre expose quelques notions et théorèmes néces-

    saires des formes linéaires et la dualité Le deuxième chapitre traite les formes bilinéaires en général et les

    formes bilinéaires symétriques en particulier et leur présentation ma- tricielle dans des di¤érentes bases, les noyaux des formes bilinéaires, décomposition dune forme bilinéaire au produit des formes linéaires, lorthogonalité pour une forme bilinéaire. les formes quadratiques as- sociées aux formes bilinéaires symétriques, les notions du rang, noyau et orthogonalité, les vecteurs isotropes, les formes quadratiques dé- nies, non dénies, positives, négatives, le produit scalaires et lespace quadratique.

    5

  • 6 PREFACE

    Le troisième chapitre présente les di¤érentes méthodes de la réduc- tion dune forme quadratique, la réduction dans une base orthogonale, réduction dans une base orthonormée (méthode de Gram-Schmidt pour lobtention dune base orthogonale ou orthonormée selon la base si elle contient des vecteurs isotropes ou non), réduction par la méthode du carré incomplet (méthode de Gauss), méthode des mineurs consécutifs (méthode de Jacobi), réduction dans une base orthonormée des vec- teurs propres (qui représente le lien indiqué en haut). Par les méthodes exposées (à lexception de la méthode de Jacobi quon doit parfois manipuler la matrice par des opérations élémentaires pour que la mé- thode puisse être appliquée), nous avons démontré que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable et que tous les coe¢ cients dans la diagonale sont réels (ainsi on en déduit ques les valeurs propres dune matrice symétrique sont toutes réelles). Ainsi nous avons introduit la notion de la signature et la classication dune forme quadratique réelle ou complexe (formes quadratiques équivalentes). Le quatrième chapitre expose quelques notions de lespace Euclidien

    et lespace Hermitien que les étudiants doivent connaitre pour leurs études de géométrie, topologie et la théorie des opérateurs linéaires. Dans toute la partie, on désigne par E un espace vectoriel sur un

    corps K de dimension nie n (sauf exception), où K est le corps des réels ou les complexes.

  • Table des notations

    N lensemble des entiers naturels Z lanneau des entiers relatifs Zn lanneau des entiers relatifs modulo n p gcd (x; y)le plus grand commun diviseur de x et y RnR�espace vectoriel de dimension n CnC�espace vectoriel de dimension n ` (E)lespace des endmorphismes dun espace vectoriel E K [X]lspace des polynômes sur un corps K (lanneau des poly-

    nômes sur un corps K) Kn [X]lespace vectoriel des polynômes sur un corps K de degré

    inférieur ou égal à n vect (X)lespace vectoriel engenedré par lensemble X fe1; :::; engla base canonique dun espace vectoriel de dimension n dimEdimension dun espace vectoriel E Im fImage dune application linéaire f ker fnoyau dune application linéaire f Mm�n (K) ouM (m� n;K)espace vectoriel des matricesm�n sur

    un corps K Inmatrice unité dordre n 0m�nmatrice zéro m� n Onle groupe des matrices orthogonales dordre n Un le groupe des matrices unitaires dordre n ATtransposée de la matrice A A�adjointe de la matrice A (de lapplication linéaire A) diag(a11; :::; ann) matrice diagonale f=Lla restriction de lapplication f au sous-espace L PL;M projecteur sur L parallèle à M J�;k ou Jk (�)Le bloc de Jordan dordre k correspondant à la valeur

    propre � detAdéterminant dune matrice carrée A tr (A)trace dune matrice carrée A �somme directe h:; :iproduit scalaire 1; n lensemble des indices f1; 2; :::; ng

    7

  • 8 Table des notations

  • Chapitre 1

    Les formes linéaires, dualité

    Itroduction

    Rappelons que lensemble des applications linéaires dun espace vec- toriel E dans un espace vectoriel F sur le même corps K est un espace vectoriel sur K noté ` (E;F ). Il est de dimension dimE�dimF et iso- morphe à lespace des matrices MdimF�dimE (K). Les formes linéaires sont des types particuliers des applications linéaires.