Formation des enseignants

ET223

• Tableau des Analogies

domaine Effort Flux Déplacement

électrique Tension

(V)

Courant

(A)

Charge

(q)

Méca

translation

force

(N)

Vitesse

(m/s)

déplacement

(m)

Méca

rotation

Couple

(Nm)

Vitesse

(rd/s)

Angle

(rd)

Hydraulique

Pression

(P)

Débit Vol

(m3/s)

Volume

(m3)

•Analogie mécanique de la résistance

dt

dqRu

dt

dxF Frottement visqueux

Analogie mécanique de l’inductance

2

2

dt

qdLu

2

2

dt

xdmF

Analogie mécanique capacité

2

2

2

2

2

1;

2

1

dt

dxmE

dt

dqLE cm

)(.;1

rappeldeforcexkFqC

u

22

2

1;

1

2

1kxEq

CE pes

Formation des enseignants

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» LIAISON SYSTEME/MODELE

•Équation différentielle

•Fonction de transfert

)( pF

y(t)

Y(p)

x(t)

X(p)

entréesortie

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• Système Intégrateur pur • Équation différentielle

• Équation de la sortiex y

)(. txkdt

dy

t

dttxky0

)(.

La sortie y(t) est proportionnelle à l’intégrale de l’entrée x(t)

Formation des enseignants

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p

K

pX

pYpG

)(

)()(

2)()(

p

KEpY

p

EpX

Fonction de transfert

Réponse indicielle

X(t)=échelon d’amplitude E

tKEty .)(

Modèle intégrateur pur

table

Formation des enseignants

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Intégrateur pur

Diagramme de BODE

Module:

KjG log20)(

Phase

2))(arg(

jG

Formation des enseignants

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• Système Premier Ordre

• premier ordre

• Équation différentielle

• Avec:x y

xGdt

dyy .. 0

StatiqueGainG

tempsdetecons

:

tan:

0

Modèle Premier ordre

Formation des enseignants

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p

G

pX

pYpG

.1)(

)()( 0

).1()()( 0

pp

EGpY

p

EpX

Fonction de transfert

Réponse indicielle

X(t)=échelon d’amplitude E

)1.()( 0t

eEGty

Tangente à l’origine

tEG

Y .0

modèle premier ordre

Temps de réponse(à 5%): 3%)5( tr

table

Formation des enseignants

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Diagramme de BODE

Module:

22

0

1log20)(

GjG

Phase

)())(arg( arctgjG

modèle premier ordre

1

1)( 0

0

0

avecj

GjG

Formation des enseignants

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• Identification– Détermination de G0 et

• Partant de l’enregistrement de la réponse indicielle:– mesurer la valeur finale et en déduire G0

– Mesurer le temps de réponse(temps pour lequel on obtient les 0,95 de la valeur finale) et en déduire

• Partant de l’enregistrement du diagramme de BODE– Mesurer le gain statique en dB(soit 20log(G0) ), en déduire G0

– Mesurer la pulsation de coupure(pulsation pour laquelle on obtient une diminution du gain en basse fréquence de -3dB) et en déduire

modèle premier ordre

Formation des enseignants

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• Système Second Ordre

• Second ordre

• Équation différentielle

• Avec:x y

xGydt

dym

dt

yd..2 0

2002

2

StatiqueGainG

proprepulsation

entamortissemdtcoefficienm

:

:

':

0

0

Modèle Second ordre

Formation des enseignants

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200

2

200

20

2

0

0

221

)(

)()(

pmp

G

pp

m

G

pX

pYpG

).2

1(

)()(

2

2

0

0

p

pm

p

EGpY

p

EpX

Fonction de transfert

Réponse indicielle:

Second ordre résonnant: m<1

X(t)=échelon d’amplitude E

).1sin(.1

11.)( 2

0200 tme

mEGty tm

modèle second ordre

• Pôles

)1(; 20021 mjmpp

table

Formation des enseignants

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2

00

0

21)(

)()(

jm

G

jX

jYjG

2

0

22

0

21log20)(

mjG

Fonction de transfert

Diagramme de BODE:

Second ordre résonnant: m<1

Module:G0E=1

modèle second ordre

• PHASE

2

0

0

1

2

))((

m

arctgjGArg

Formation des enseignants

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pp

G

pX

pYpG

21

0

11)(

)()(

)1)(1()()(

21

0

ppp

EGpY

p

EpX

Fonction de transfert

Réponse indicielle:

Second ordre apériodique: m>1

X(t)=échelon d’amplitude E

21

12

2

21

10 1.)(

tt

eeEGty

modèle second ordre

• Pôles

22

11

1;

1

pp

table

Formation des enseignants

ET223

22

11

21

0 11:;

11)(

)()(

etavec

jj

G

jX

jYjG

)1)(1(log20)( 222

221 jG

Fonction de transfert

Diagramme de BODE:

Second ordre apériodique: m>1

Module:G0E=1

modèle second ordre

• PHASE

)()())(( 21 arctgarctgjGArg

Formation des enseignants

ET223

20

1)(

)()(

p

G

pX

pYpG

20

)1()()(

pp

EGpY

p

EpX

Fonction de transfert

Réponse indicielle:

Second ordre apériodique: m=1

X(t)=échelon d’amplitude E

t

et

EGty 11.)( 0

modèle second ordre

• Pôles

1

;1

21 pp

table

Formation des enseignants

ET223

1:;

1)(

)()( 12

1

0

avec

j

G

jX

jYjG

221log20)( jG

Fonction de transfert

Diagramme de BODE:

Second ordre apériodique: m=1

Module:G0E=1

modèle second ordre

• PHASE

)(2))(( arctgjGArg

Formation des enseignants

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• Identification( cas m<1)– Détermination de G0 ,m,0

• Partant de l’enregistrement de la réponse indicielle:– mesurer la valeur finale et en déduire G0

– Mesurer le dépassement »D »(rapport entre le premier maxima et la valeur finale) et en déduire le coefficient d’amortissement »m »tel que:

– mesurer la pseudo période Tp ,et en déduire 0, sachant que :

21 m

m

eD

modèle second ordre

201

2

mTp

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Fonction Transf. LAPLACE

Échelon unité

Rampe unité

p

1

2

1

p

t

e

1 )1(

1

pp

t

e1

p11

retour

ppp 21 11

1

ppp 212 11

1

211

1

pp

)1

1 221

21

tt

ee

)1

)( 12 21

22

2121

tt

eet

20

2

0

21

1

p

pm

p

).1sin(.1

11)( 2

02

0 tmem

ty tm

t

et

ty 11)(

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• Retard pur– Origine physique:

• Capteur fournissant l’information du processus avec un retard à cause de son emplacement

Tpe

p

GpG

.1)( 0

Fonction de transfert (associée à un premier ordre)

capteur TpepXpYTtxty ).()()()(x(t)

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• Approximations de PADE– Approximations de exp(-Tp) par une fraction rationnelle

....42

1

21

21 3322

TpTp

pTT

p

Tp

e Tp

Approximation premier ordre