Fonctions y=ax et y=ax+b - edu · Dans ce dernier cas, on a la fonction linéaire € y=ax ...
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1 Fonctions y=ax et y=ax+b Lorsque deux grandeurs sont telles que les variations de l’une sont proportionnelles aux variations de l’autre, alors les valeurs y de l’une s’expriment en fonction des valeurs x de l’autre par une relation du type y = ax + b où a et b sont deux constantes. Si b est non‐nul on dit que y est une fonction affine de x . Si b = 0 , on dit que y est une fonction linéaire de x . Les courbes représentatives de ces fonctions sont des droites. Inversement, étant donné une droite, on peut la caractériser dans un système d’axes cartésiens par deux constantes a et b ( b ≠ 0 ) si elle ne passe pas par l’origine des axes, ou par une seule constante a si elle passe par 0 . La relation y = ax + b (respectivement y = ax ) est appelée l’équation de la droite. I. Coefficient directeur d’une droite (pente) 1. Définition Etant donné une droite, on considère sur cette droite un point fixe M 1 x 1 , y 1 ( ) et un point arbitraire Mx, y ( ) . D’après les propriétés des triangles semblables, le quotient y − y 1 x − x 1 ne dépend pas du point M choisi sur la droite, donc ce quotient est égal à une constante. Cette constante a est appelée coefficient directeur (ou pente) de la droite ; y − y 1 x − x 1 = a peut s’écrire aussi y = ax + y 1 − ax 1 ( ) constante = ax + b . Remarque : • en faisant y − y 1 x − x 1 , on trouve bien y − y 1 x − x 1 . • Ne pas confondre avec la pente d’une route (dénivellation sur longueur de la route) qui se traduit mathématiquement par le rapport : y − y 1 M 1 M .
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Fonctions y=ax et y=ax+b
Lorsque deux grandeurs sont telles que les variations de l’une sont proportionnelles aux variations de l’autre, alors les valeurs
€
y de l’une s’expriment en fonction des valeurs
€
x de l’autre par une relation du type
€
y = ax + b où
€
a et
€
b sont deux constantes.
Si
€
b est non‐nul on dit que
€
y est une fonction affine de
€
x .
Si
€
b = 0, on dit que
€
y est une fonction linéaire de
€
x .
Les courbes représentatives de ces fonctions sont des droites.
Inversement, étant donné une droite, on peut la caractériser dans un système d’axes cartésiens par deux constantes
€
a et
€
b (
€
b ≠ 0) si elle ne passe pas par l’origine des axes, ou par une seule constante
€
a si elle passe par
€
0. La relation
€
y = ax + b (respectivement
€
y = ax ) est appelée l’équation de la droite.
I. Coefficient directeur d’une droite (pente)
1. Définition
Etant donné une droite, on considère sur cette droite un point fixe
€
M1 x1,y1( ) et un point arbitraire
€
M x,y( ).
D’après les propriétés des triangles
semblables, le quotient
€
y − y1x − x1
ne dépend
pas du point
€
M choisi sur la droite, donc ce quotient est égal à une constante. Cette constante
€
a est appelée coefficient directeur (ou pente) de la droite ;
€
y − y1x − x1
= a peut s’écrire aussi
€
y = ax + y1 − ax1( )constante
= ax + b .
Remarque :
• en faisant
€
y − y1x − x1
, on trouve bien
€
y − y1x − x1
.
• Ne pas confondre avec la pente d’une route (dénivellation sur longueur de la
route) qui se traduit mathématiquement par le rapport :
€
y − y1M1M
.
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2. Propriétés
Le coefficient directeur donne la direction de la droite. Deux droites distinctes ayant le même coefficient directeur sont parallèles. En effet dans les deux cas,
€
y varie d’une même quantité
€
Δy = aΔx lorsque
€
x varie de
€
Δx (rappel :
€
Δx =variation de
€
x =différence
€
x final − xinitial ;
€
Δy = y final − yinitial =différence entre les valeurs
correspondantes de
€
y). On retiendra l’écriture
€
a =ΔyΔx.
Remarque :
•
€
Δx et
€
Δy peuvent être positifs ou négatifs
•
€
Δy peut être nul
3. Trois cas possibles
- Si
€
a > 0⇒ y augmente quand
€
x augmente (la fonction est croissante).
€
y augmente d’autant plus rapidement que
€
a est grand.
- Si
€
a > 0⇒ y diminue quand
€
x diminue (la fonction est décroissante).
€
y décroît d’autant plus rapidement que
€
a est grand.
- Si
€
a = 0⇒ y est constant, la droite est horizontale.
Remarque :
€
a = tanθ où
€
θ est l’angle de la droite avec l’horizontale (angle algébrique
€
−90° < θ < +90°). Un exemple :
€
θ = 45°⇒ a = 1.
II. Ordonnée à l’origine
1. Définition
C’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe vertical. C’est donc la valeur de
€
y lorsque
€
x = 0.
€
y = ax + b⇒ b =ordonnée à l’origine
2. Propriété
Deux droites distinctes ayant la même ordonnée à l’origine se coupent sur l’axe vertical.
3. Trois cas
- Si
€
b > 0 la droite coupe l’axe vertical au‐dessus de
€
0.
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- Si
€
b < 0 la droite coupe l’axe vertical en dessous de
€
0.
- Si
€
b = 0 la droite coupe l’axe vertical en
€
0.
Dans ce dernier cas, on a la fonction linéaire
€
y = ax .
III. Détermination de l’équation d’une droite
1. Droite de pente donnée, passant par un point donné
On connaît
€
a et les coordonnées
€
x1,y1( ) du point
€
M1. Il faut trouver
€
b.
On écrit que la droite d’équation
€
y = ax + b passe par
€
M1⇒
€
y1 = ax1 + b d’où
€
b = y1 − ax1.
€
a et
€
b étant maintenant connus, on a l ‘équation de la droite.
2. Droite passant par deux points donnés
On connaît
€
M1 x1,y1( ) et
€
M2 x2,y2( ). Il faut trouver
€
a et
€
b. On écrit :
€
a =ΔyΔx
=y2 − y1x2 − x1
On est ramené au problème précédent, et on peut choisir
€
M1 x1,y1( ) ou
€
M2 x2,y2( ).
Remarque : l’équation d’une droite verticale est
€
x = cste. Cette constante est l’abscisse du point d’intersection avec l’axe horizontal.
Application : on cherche si une grandeur
€
y est une fonction affine d’une autre grandeur
€
x . Pour cela on effectue un ensemble de mesures qui fournit de valeurs :
x1 x2 … xn y1 y2 … yn
Il est facile de vérifier si
€
y varie linéairement en fonction de
€
x : les points
€
M1,
€
M2 , …,
€
Mn doivent être alignés. S’ils le sont, on peut trouver graphiquement
€
a et
€
b et obtenir ainsi l’équation de la droite.
Pour vérifier si des points sont situés sur une exponentielle, ce qui n’est pas possible directement, on considère les points
€
N1 x1; Y1 = ln y1( ) ,
€
N2 x2; Y2 = ln y2( ) , … etc. Ils doivent être alignés. En effet,
€
y = k eax ⇒ Y = ln y = ax + lnk = ax + b .
Ayant déterminé
€
a et
€
b sur la droite passant par les points
€
N1 ,
€
N2… on en déduit la relation
€
y = eax+b = keax où
€
k = eb .
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De même pour des points
€
M1,
€
M2 , …,
€
Mn situés sur une courbe d’équation
€
y = k xa , on considèrera les points
€
P1,
€
P2 , …,
€
Pn avec
€
P1 X1 = ln x1; Y1 = ln y1( ) etc…
€
y = k xa ⇒
€
Y = ln y = aln x + lnk = ax + b
Exercice 1 : Tracer les droites
•
€
y = 7
•
€
y = x
€
0 ≤ x ≤ 6,5
•
€
y = 2,4 +x2
€
0 ≤ x ≤ 2,75
•
€
y = 11,6 − x2
€
0 ≤ x ≤ 2,75
Exercice 2 :
1. quelle est l’équation de la droite de coefficient directeur
€
−2 passant par les points
€
M112,2
? En quels points coupe‐t‐elle les axes de coordonnées ?
2. Quelles est l’équation de la droite passant par les points
€
M1 1,13
et
€
M2 −30,−10( ) ? En quels points la droite coupe‐t‐elle les axes de coordonnées ?
Remarques pour l’exercice 1 :
•
€
pH = 7 ,
€
pH = − logC(acide fort)
•
€
pH =12pKa −
12logC (acide acétique
€
pKa ≈ 4,8 , acide faible)
•
€
pH = 14 − 12pKa +
12logC (base faible conjuguée de l’acide acétique)
