Fonctions de plusieurs variables

Résumé de cours

31 décembre 2014

Soit n ∈ N∗ . Rn est muni de sa structure euclidienne canonique .

1 Fonction réelle de plusieurs variable et graphe

Dé�nition 1. Pour ce cours , nous appellerons fonction réelle de n variables, toute fonction dé�nie de Rn a valeursdans R.

Dé�nition 2. On appelle fonction polynomiale à n variable , toute fonction, f dé�nie sur Rn telle que

∀(x1, ..., xn) ∈ Rn f(x1, ..., xn) = P (x1, ..., xn)

où P ∈ R[X1, ..., Xn].

Ex :f : R4 → R (x1, x2, x3, x4) 7→ x10

1 x84 + 3x3 + 2x2x4

Dé�nition 3. Soit f : Rn → ROn appelle graphe de f l'ensemble Gf de Rn+1 tel que

Gf = {(x1, ..., xn, f(x1, ..., xn))|(x1, ..., xn) ∈ Rn}

Ex :f : R2 → R (x, y) 7→ x2cos(x, y)

f unc t i on z=f (x , y )z=x^2 ∗ cos ( x+y ) ;

endfunct ionfunc t i on graph1 ( )

x=[ −10 :1 :10 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , f ) ;

endfunct ion

1

0

−10

10

−5

50

−10

10

−5

5

0

−100

100

−80

−60

−40

−20

20

40

60

80

XY

Z

f unc t i on z=g (x , y )z=3∗x+2∗y ;

endfunct ionfunc t i on graph2 ( )

x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g ) ;

endfunct ion

2

0

−20

20

−30

−10

10

30

0

−20

20

−30

−10

10

30

0

−100

100

−150

−50

50

150

XY

Z

Dé�nition 4. Soit f : Rn → ROn appelle ensemble de niveau λ de f l'ensemble {x ∈ Rn |f(x) = λ}

Rq : sur R2 on parle plutôt de ligne de niveau.

Dé�nition 5. Soit V un sous espace vectoriel de Rn.

1. On appelle sous espace a�ne de direction V , un ensemble ensemble J tel que

J = {a+ v|v ∈ V }

où a est un élément de Rn.

2. Si de plus V est un hyperplan on dit que J est un hyperplan a�ne.

Propriété 1. J ∈ Rn

Si J est un hyperplan a�ne ssi ∃a = (a1, ..., an) ∈ Rn − {0Rn} et c ∈ R tel que J = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|a1x1 + ...+anxn + c = 0}La direction de J est vect(a)⊥.

f unc t i on graph3 ( )x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;

f o r i =1:61f o r j =1:61

3

z ( i , j )=−x ( i )−y ( j )+20end

end

c l f ;p lot3d (x , y , z ) ;

endfunct ion

0

−20

20

−30

−10

10

30

0

−20

20

−30

−10

10

30

0

−40

−20

20

40

60

80

XY

Z

2 Continuité des fonctions de plusieurs variables

2.1 Limites et continuité

Dé�nition 6. f : Rn → R et (a, l) ∈ D × R. On dé�nit la limite l de f en a de la manière suivante :

limx→a

f(x) = l⇐⇒ ∀ε > 0, ∃r > 0 tq ∀x ∈ Rn − {a}||x− a|| ≤ r ⇒ |f(x)− l| ≤ ε

Propriété 2. f et g deux fonctions réelles dé�nies sur Rn. Soit a ∈ Rn si f et g admettent une limite en a alors :

1. ∀λ ∈ R f + λg admet une limite en a et lima

(f + λg) = limaf + λ× lim

ag .

2. f × g admet une limite en a et lima

(f × g) = limaf × lim

ag

3. Si limag 6= 0, alors

f

gadmet une limite en a et lim

a

f

g=

limaf

limag

4

Dé�nition 7. Soient f : Rn → R et a ∈ D1. f est continue en a ⇐⇒ lim

x→af(x) = f(a)

2. f est continue en a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃r > 0 tq ∀x ∈ Rn ||x− a|| ≤ r,⇒ |f(x)− f(a)| ≤ ε3. f est continue sur D ssi f est continue en tout point de D.

Notation : f est continue en a ⇐⇒ f est C0 en a.

Exemple : Soit la fonction f : R2 → R dé�nie par

(x, y) 7→ x2y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

(x, y) 7→ 0 sinon

|f(x, y)| ≤ (x2 + y2)(x2 + y2)

x2 + y2≤ ‖(x, y)‖2 (où ‖ · ‖ est la norme 2).

Donc, soit ε > 0, ∀x ∈ R2 r {0}, si ‖(x, y)− (0, 0)‖ ≤√ε alors |f(x, y)| ≤ ε.

Par conséquent, f est continue en (0, 0).

Propriété 3. Encadrement :Soient f : Rn → R, g : Rn → R où a ∈ Rn.Si sur un voisinage de a |f(x)| ≤ |g(x)| alors

limx→a

g(x) = 0 ⇒ limx→a

f(x) = 0

Propriété 4. Traduction séquentielle :

Soient f : Rn → R , l ∈ R et a ∈ Rn

limx→a

f(x) = l⇔pour toute suite (xn)n∈N telle que ‖xn − a‖ → 0,

on a |f(xn)− l| → 0.

Propriété 5. Soient f :

{Rn → Rx 7→ ‖x‖

et fi :

{Rn → R(x1, . . . xn) 7→ xi

.

Les applications f, f1, . . . , fn sont continues sur Rn.

Théorème 1.

1. Une combinaison linéaire de fonctions C0 en x0 ( resp sur D) est C0 en x0 ( resp sur Rn).

2. Le produit de fonctions C0 en x0 ( resp sur Rn) est C0 en x0 ( resp sur Rn).

3. Soient f et g deux fonctions C0 en x0 ( resp sur Rn), avec g telle que g(x0) 6= 0( g ne s'annulant par sur

Rn), alorsf

gest C0 en x0 ( resp sur Rn).

Propriété 6. :Les fonctions polynomiales à n variables sont C0 sur Rn et les fonctions rationnelles de n variables sont de classeC0 sur leur domaine de dé�nition.

Théorème 2. Les compositionsSoient f une fonction dé�nie sur Rn à valeurs dans R et (p, n) ∈ N∗.

1. Soit I un intervalle de R et f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur I à valeurs dans R.

g :

{I → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))

� Soient to ∈ I , l ∈ R et a = (a1, .., an) ∈ R

∀i ∈ [|1, n|] limt→to

fi(t) = ai et limx→a

f(x) = l ⇒ limt→to

g(t) = l

� Soient to ∈ I et a = (f1(to), .., fn(to)) Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue en to et f continue en a alors g estcontinue en a.

� Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue sur I et f continue sur Rn alors g est continue sur I

2. Supposons que f(Rn) = I un intervalle de R. Soit h une application dé�nie sur I à valeurs dans R. Ondé�nit

g :

{Rn → Rx 7→ h(f(x))

5

� Soient a ∈ Rn et (l,m) ∈ R2

limx→a

f(x) = l et limt→l

h(t) = m⇒ limx→a

g(x) = m

� Soit a ∈ Rn si f continue en a et h continue en f(a) alors g est continue en a.� Si f est continue sur Rn et h continue sur I alors g est continue sur D.

3. Soient f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur Rp à valeurs dans R.alors on peut dé�nir

g :

{Rp → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))

� Soient to ∈ Rp , l ∈ R et a = (a1, .., an) ∈ Rn

∀i ∈ [|1, n|] limt→to

fi(t) = ai et limx→a

f(x) = l ⇒ limt→to

g(t) = l

� Soient to ∈ Rp et a = (f1(to), .., fn(to)) Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue en to et f continue en a alors gest continue en a.

� Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue sur Rp et f continue sur Rn alors g est continue sur Rp

Dé�nition 8. : Soit f : Rn → R où D ⊂ Rn.On dit que f est majorée ssi ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ Rn f(x) ≤MOn dit que f est minorée ssi ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ Rn f(x) ≥ mOn dit que f est bornée ssi f est majorée et minorée ssi ∃M ∈ R+∗ tel que ∀x ∈ Rn |f(x)| ≤M

2.2 Applications partielles

Dé�nition 9. Soit f : Rn → R et a = (a1, . . . , an) ∈ Rn.Les n applications fa,j dé�nies pour tout t ∈ R par fa,j(t) = f(a1, . . . , aj−1, t, aj+1, . . . , an) sont appelées applica-tions partielles de f en a.

Théorème 3. Soit f :→ Rn, a = (a1, . . . , an) ∈ Rn. Si f est C0 en a, alors ∀j ∈ [[1, n]],fa,j est continue en a.

(La réciproque est fausse)

2.3 Dérivées partielles

Dé�nition 10. On considère f : Rn → Rn

Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn et j ∈ [[1, n]].

On dit que f admet une jieme dérivée partielle en a (ou f est dérivable par rapport à xj en a) si la jieme application

partielle est dérivable en aj , c'est-à-dire si limt→aj

fa,j(t)− f(a)

t− ajexiste, ou encore si lim

h→0

f(a1, . . . , aj−1, aj + h, aj+1, . . . , an)− f(a)

hexiste.

On note ∂j(f)(a) ou∂f

∂xj(a) cette limite.

Si f admet une jieme dérivée partielle en tout point a de U alors on note ∂j(f) la fonction{U → Ra 7→ limt→aj

fa,j(t)−f(a)t−aj

Dé�nition 11. Soit a ∈ Rn et f une application de Rn dans R telle que, pour tout j ∈ [[1, n]], f admet une jieme

dérivée partielle en a, ∂j(f)(a).On appelle gradient de f en a, et on note ∇f(a) le vecteur (∂1(f)(a), . . . , ∂n(f)(a)).

Dé�nition 12. Soit f une application de Rn dans R. f est dite de classe C1 sur U si et seulement si, pour toutj ∈ [[1, n]], f admet une jieme dérivée partielle ∂j(f) qui est C0 sur Rn.

Propriété 7. :Les fonctions polynomiales à n variables sont C1 sur Rn et les fonctions rationnelles de n variables sont de classeC1 sur leur domaine de dé�nition.

6

Propriété 8. Soien f et g deux applications de Rn dans R de classe C1 sur Rn et a ∈ Rn

1. ∀λ ∈ R f + λg est de classe C1 sur Rn et ∇(f + λg)(a) = ∇f(a) + λ×∇g(a) .

2. f × g est de classe C1 sur Rn et ∇(f × g)(a) = f(a)×∇g(a) + g(a)∇f(a)

3. Si g(a) 6= 0, alorsf

gest est de classe C1 sur un voisinage de a et ∇f

g(a) =

g(a)∇f(a)− f(a)∇g(a)

g(a)2

Théorème 4. CompositionsSoit f : Rn → R de classe C1 sur Rn.

1. Soit I un intervalle de R.Soient u1 : I → R, . . . , un : I → R On suppose que u1, . . . , un sont de classe C1 sur leurs ensemblesrespectifs.

Alors g :

{I → Rt 7→ f(u1(t), . . . , un(t))

est de classe C1 sur I

et ∀t ∈ I, g′(t) =

n∑i=1

∂f

∂xi(u1(t), . . . , un(t))× u′i(t) =< ∇f(u1(t), ..., un(t)), (u′1(t), ..., u′n(t)) >

2. Soit h une application de classe C1 sur un intervalle I tel que f(Rn) ⊂ I à valeurs dans R. On dé�nit

g :

{I → D

x 7→ h(f(x))

g est de classe C1 sur Rn et ∀a ∈ Rn

∇h(a) = h′(f(a))∇f(a)

3. f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur Rp à valeurs dans R de classe C1 sur Rp.

g :

{Rp → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))

g est de classe C1 sur Rp et ∀i ∈ [|1, p|] et ∀a ∈ O

∂i(g)(a) =

n∑j=1

∂j(f)((f1(a), ...., fn(a))) ∂ifj(a)

Dé�nition 13. Soit f : Rn → R. Soit a ∈ Rn.On dit que f admet unDL1 en a (ou que f est di�érentiable en a) si et seulement si il existe une fonction ε : Rn → Rvéri�ant lim

h→(0,...,0)ε(h) = 0 et un vecteur (α1, . . . , αn) ∈ Rn, tels que

∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) +

n∑i=1

αihi + ‖h‖ ε(h)

Dfa :

Rn → R

(h1, . . . , hn) 7→n∑

i=1

αihiest appelée la di�érentielle de f en a.

Nota : l'application h 7→ hi est notée dxi et on a ainsi Dfa =

n∑i=1

αidxi.

Théorème 5. Dfa ∈ L(Rn,R), c'est une forme linéaire.

Théorème 6. Soit f : Rn → R C1 sur Rn.

Alors f est di�érentiable en tout point de Rn et

∀a ∈ Rn Dfa :

Rn → R

(h1, . . . , hn) 7→n∑

i=1

∂i(f)(a)× hi

7

C'est-à-dire que : ∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) +

n∑i=1

∂f

∂xi(a)× hi + ◦(‖h‖)

Remarque : Dfa(h) = 〈∇f(a), h〉

Et donc : ∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) + 〈∇f(a), h〉+ ◦(‖h‖)

ou encore :x ∈ Rn, f(x) = f(a) + 〈∇f(a), x− a〉+ ◦(‖x− a‖)

Conséquence du théorème : Si f est C1 sur Rn alors f est C0 sur Rn.

Dé�nition 14. : Hyperplan a�ne tangent au graphe :Soit f : Rn → R, telle que f soit C1 sur Rn.

ta :

{Rn → Rx 7→ f(a)+ < ∇f(a), x− a >

ta est la fonction a�ne tangente à f en a et le graphe de cette fonction est l'hyperplan a�ne tangent au graphe def en a.

2.4 Les dérivées directionnelles et conséquences

Dé�nition 15. :Soient f : Rn → R et a ∈ Rn et u ∈ Rn u 6= 0Rn .

g :

{R→ Rt 7→ f(a+ tu)

Si g est dérivable en 0 alors on dit que f admet une dérivée partielle première en a dans la direction u. On la notesouvent f ′u(a) On a donc

f ′u(a) = limh→0

f(a+ hu)− f(a)

h

Propriété 9. Soient f : Rn → R de classe C1 sur Rn et a ∈ Rn et u ∈ Rn u 6= 0Rn .et

g :

{R→ Rt 7→ f(a+ tu)

1. g est de classe C1 sur R. et∀t ∈ R g′(t) = 〈∇f(a+ tu), u〉

En particulier g′(0) = 〈∇f(a), u〉2.

|f ′u(a)| ≤ ||∇f(a)||||u||

3 Extremums d'une fonction

3.1 Extremuns globaux et locaux

Dé�nition 16. Soient (a, r) ∈ Rn × R+∗.

1. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r et on note

B(a, r) = {x ∈ Rn|||x− a|| < r}

2. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r et on note

B(a, r) = {x ∈ Rn|||x− a|| ≤ r}

Dé�nition 17. Soit a ∈ Rn et f : Rn → R.

1. On dit que f admet unmaximum local (resp. unminimum local) en a s'il existe un r > 0 tel que ∀x ∈ B(a, r),f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).

On dit que f admet un extremum local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.

8

2. On dit que f admet un maximum local strict (resp. un minimum local stric) en a s'il existe un r > 0 tel que∀x ∈ B(a, r)− {a}, f(x) < f(a) (resp. f(x) > f(a)).

On dit que f admet un extremum local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.

Dé�nition 18. Soit f : Rn → R de classe C1.

On appelle point critique de f tout point a ∈ Rn tel que ∀i ∈ [[1, n]], ∂i(f)(a) = 0. ie ∇f(a) = 0

Théorème 7. Soit f : Rn → R de classe C1 .

Si f admet un extremum en a, alors a est un point critique. La réciproque est fausse et un point critique qui n'estpas un extremum local s'appelle un point selle ou col.

f unc t i on z=g (x , y )z=x∗y ;

endfunct ionfunc t i on graph4 ( )

x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g , alpha=45, theta =45);

endfunct ionfunc t i on graph5 ( )

x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g , ) ;

endfunct ionfunc t i on z=h(x , y )

z=x^2+y^2;endfunct ionfunc t i on graph6 ( )

x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , h ) ;

endfunct ion

9

0 −2020

−30−1010300−2020

−30 −10 10 30

0

−1 000

1 000

−800

−600

−400

−200

200

400

600

800

XY

Z

10

0 −2020

−30−1010300−20

20−30 −10 10 30

0

−1 000

1 000

−800

−600

−400

−200

200

400

600

800

XY

Z

11

0 −2020

−30−1010300−20

20−30 −10 10 30

0

1 000

200

400

600

800

1 200

1 400

1 600

1 800

XY

Z

Propriété 10. Soit f : Rn → R et f de classe C1 de Rn dans R.Si f admet un point critique en a, alors toute les dérivées directionnelles sont nulles en a.

12