Fonctions de corrélations des systèmes intégrables quantiques

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE LYON

Laboratoire de Physique

Rapport de Stage de Master 2

Présentée par

Ghali Filali

Sujet :

Fonctions de corrélations des systémesintégrables quantiques

Stage eectué sous la direction de

Véronique Terras

Avril-Mai 2008

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Dans ce rapport, nous exposons une méthode permettant de calculer les fonctions de

corrélations des systèmes intégrables quantiques. Cette méthode est basée sur la résolution

du problème de la diusion inverse quantique, ou Ansatz de Bethe Algébrique, soit l'expres-

sion des opérateurs locaux du système en fonction d'une algèbre de création et annihilation

permettant ainsi la construction des vecteurs et valeurs propres du Hamiltonien.

Cette méthode est présentée dans le cas des chaînes de spins XXX et XXZ.

An d'appliquer l'Ansatz de Bethe Algébrique au cas de la chaîne de spin XYZ, il est

nécessaire d'étudier le modèle dit SOS reliée au modèle XYZ par une transformation dite

Vertex-IRF. Nous expliquons cette nécessité, présentons l'Ansatz de Bethe Algébrique pour

le modèle SOS, et présentons le début du calcul du produit scalaire entre états de ce modèle,

étape nécessaire pour le calcul des fonctions de corrélations du modèle XYZ.

REMERCIEMENTS

Je souhaiterais tout d'abord remercier Veronique Terras pour avoir guider, avec

beaucoup de disponibilité et de patience, mes premiers pas dans la recherche uni-

versitaire à travers le stage qu'elle m'a proposée. Elle a su alimenter ma curiosite

pour la physique-mathématique en général et les systémes intégrables quantiques en

particulier.

Je souhaiterais egalemment remercier Karol Kozlowski, qui a toujours pris le

temps nécessaire de répondre à mes interrogations.

Mes remerciements vont égalemment à Jean Michel Maillet, qui a su des à tra-

vers ses cours me donner goût pour les systémes intégrables, et d'avoir aidé mon

intégration au sein de la communauté des systémes intégrables.

Une mention particulière à Peter Holdsworth, qui m'a toujours encouragé et écou-

ter, ainsi que pour les rapports cordiaux que nous avons entretenu durant toute la

période de mon stage.

TABLE DES MATIÈRES 1

Table des matières

1 Introduction 2

2 Ansatz de Bethe Algébrique 3

2.1 Formalisme général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Exemple pour les chaînes de spins XXX et XXZ . . . . . . . . . . . 4

3 Fonctions de Corrélations de la chaîne de spins XXX et XXZ 8

3.1 Échec de l'approche direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Résolution du problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Facteurs de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Chaîne XYZ et modèle SOS 14

4.1 Motivation : Le modèle XYZ associée au 8-vertex de Baxter . . . . 154.2 Transformation Vertex-IRF et équation de Yang-Baxter dynamique 164.3 Ansatz de Bethe Algébrique pour le modèle SOS . . . . . . . . . . . 174.4 Première étape vers le calcul des fonctions de corrélations . . . . . . 19

5 Annexes 22

5.1 Modèles exactement solubles à deux dimension : cas de la physiquestatistique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2 Modèles à vertex et chaînes de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Modèle SOS de type "face" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.4 Produit scalaire des modèles XXX/XXZ . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4.1 Terme G(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4.2 Terme G(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Conclusion 29

1 INTRODUCTION 2

1 Introduction

Les systèmes intégrables sont de première importance en physique-mathématique.Sources de nombreux développement mathématiques, ces systèmes pour la plu-

part bidimensionnel trouvent des applications très diverses dans de nombreux do-maines de la physique : physique non linéaire, matière condensée, théorie deschamps, théorie conforme, et en théorie des cordes également, couvrant là unénorme spectre d'énergie et d'applications. Ces systèmes peuvent servir commepoint de départ de traitement perturbatif pour des modèles plus généraux en di-mension trois par exemple et constitue des modèles test pour les théorie approchéesvue que ce sont les seuls systèmes dont les observables peuvent être calculés demanière exacte.

Un des dés actuel de la théorie des systèmes intégrables est le calcul de leursfonction de corrélations ; cette activité importante sur le plan internationale depuisune quinzaine d'années résident essentiellement en deux approches :-utilisation des symétries non abéliennes des modèles en volume inni [1].-utilisation des symétries abéliennes (méthode de l'Ansatz de Bethe Algébrique )des modèles en volume ni.Cette dernière approche, développé par le groupe des systèmes intégrables du la-boratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure de Lyon, à conduit à desrésultats fructueux. Ces deux approches ont été développé sur les chaînes de spinsde Heisenberg , modèles simples mais représentatif , dont le Hamiltonien s'écritavec conditions aux bords périodiques pour une chaîne de taille N :

H =N∑i=1

(1− γ)σxi σxi+1 + (1 + γ)σyi σ

yi+1 + ∆(σzi σ

zi+1 − 1) (1)

Le cas γ = 0,∆ = 1, appelée modèle XXX à été résolu par Bethe en 1931[2] et constitue principalement le point de départ de la résolution des modèles demécanique statistique sur réseau. Sa méthode dite Ansatz de Bethe Coordonnées,à été appliquée ecacement au cas γ = 0,∆ 6= 1, appelée modèle XXZ, résolu parOrbach en 1958 [3]. Le cas γ 6= 0,∆ 6= 0 appelée modèle XYZ, à nécessité destransformations supplémentaires pour sa résolution (transformation Vertex-IRF ),et à été résolue par Baxter en 1973 [4].

Le calcul des fonctions de corrélations de ces modèles n'a été réaliser que ré-cemment (2002) pour les modèles XXX et XXZ pour une chaîne de taille nie [5].Mais pour le modèle XYZ , cela n'a toujours pas été eectué selon la méthode del'Ansatz de Bethe Algébrique, susceptible de fournir des résultat pour une chaînede taille nie.

Dans ce rapport, nous donnons lors d'une première section le formalisme généralde l'Ansatz de Bethe Algébrique et l'"intégration" des modèles XXX et XXZ par

2 ANSATZ DE BETHE ALGÉBRIQUE 3

cette méthode. Dans une seconde partie, nous présentons les grandes lignes quimènent au calcul des fonctions de corrélations de ces modèles. Dans une dernièrepartie, nous nous concentrons sur le modèle XYZ. Nous présentons les dicultéssupplémentaires que ce modèle exhibe. Son étude nécessite diverses transformationet suggère d'étudier un modèle plus simple, le modèle dit SOS.

2 Ansatz de Bethe Algébrique

2.1 Formalisme général

La méthode de la diusion inverse quantique, développée à la n des années70 ([6],[7],[8]) est intiment liée à la théorie classique, basée sur la résolution duproblème de la diusion inverse. Un système quantique est complètement caracté-risée par la donnée d'un Hamiltonien ainsi que d'un espace de Hilbert sur lequel ilagit. "Intégrer" un système quantique signie donc trouver le spectre et les étatspropres du Hamiltonien. La méthode de l' Ansatz de Bethe Algébrique consiste àtrouver l'ensemble des constantes du mouvement formant ainsi avec le Hamilto-nien une algèbre abélienne que l'on plonge dans une algèbre plus grande, l'algèbrede Yang-Baxter, dont les générateurs sont utilisés lorsqu'ils agissent sur un état

de réference comme opérateurs de création et d'anhiliation des états propres duHamiltonien .

Considérons donc un réseau unidimensionnel de taille N décrit par un Hamil-tonien H. A chaque site n du réseau correspond un espace quantique local Hn ;ainsi l'espace de Hilbert total est H = ⊗nHn.

L'objet fondamental de l'Ansatz de Bethe Algébrique est une matrice ditede monodromie T dont les élèments sont des opérateurs quantiques agissant surl'espace de Hilbert total du systéme. Les relations de commutations de l'algébrede ces opérateurs quantiques, l'algébre de Yang-Baxter, seront donnés par desrelations quadratiques semblables aux relations de structure d'une algébre de Lieà l'aide d'une matrice numérique R.

Considérons un espace vectoriel dit auxiliaire de dimension nie Vi, i = 1, 2et les éléments suivants : T1(λ) ∈ End(V1 ⊗ H) ,T2(λ) ∈ End(V2 ⊗ H) appeléematrice de monodromie et R12(λ, µ) ∈ End(V1⊗V2) appelée matrice R numériquevériant :

R12(λ, µ)T1(λ)T2(µ) = T2(µ)T1(λ)R12(λ, µ) (2)

Cette équation dénit les relations de commutations de l'algébre de Yang-Baxtergénéré par les opérateurs quantiques élèments de la matrice de monodromieTαβ ∈ End(H).

An que cette algébre soit consistante avec la propriété d'associativité, l'équa-


tion (2) conduit directement à l'équation de Yang-Baxter :

R12(λ, µ)R13(λ, ν)R23(µ, ν) = R23(µ, ν)R13(λ, ν)R12(λ, µ) (3)

Sous ces conditions, (2), (3) ; en prenant la trace sur les espaces auxiliairesVi, i = 1, 2 et en notant les matrices de transfert :

t(λ) = Tr1(T (λ)) (4)

t(µ) = Tr2(T (µ)) (5)

Nous obtenons directement :

[t(λ), t(µ)] = 0 (6)

L'équation (6) fournit en réalité un ensemble de constantes du mouvement eninvolution si on arrive à écrire le Hamiltonien sous forme d'une identité de traceen termes de la matrice de transfert :

H =∑k

∑a

ckadk

dλkln t(λ) (7)

L'algèbre générée par les Tα,β ∈ End(H) éléments de la matrice de monodromiegénérera le spectre du Hamiltonien par action sur un état de référence |0 >.

2.2 Exemple pour les chaînes de spins XXX et XXZ

Le modèle de Heisenberg XXX a été résolu pour la première fois par HansBethe. Sa méthode consistait en une correcte intuition de l'expression de la fonctiond'onde totale de la chaîne de spin. L'Ansatz de Bethe Algébrique est en réalité unegénéralisation algébrique de sa méthode.

Nous allons appliquer le formalisme présenté précédemment au cas des chaînesde spins XXX et XXZ de taille N . Chaque site n de la chaîne est donc associée à unespace de Hilbert Hn ' C2 correspondant à un spin 1

2. Tous les espaces auxiliaires

seront ici pris isomorphes à C2.Considérons une matrice de Lax L associée à chaque site n de la chaîne tel que

Lan(λ) ∈ End(Va ⊗Hn) :

Lan(λ) =

(ϕ(λ+ ηSzn) ϕ(η)S−nϕ(η)S+

n ϕ(λ− ηSzn)

)(8)

ou Szn, S±n = Sxn± iSyn désignent les opérateurs de spin locaux de la chaîne (Sx,y,zn =

12σx,y,zn ) et ou : ϕ(λ) = λ pour XXX et ϕ(λ) = sinh(λ) pour XXZ ; η étant un

paramètre du modèle .


Les élèments de L sont bien des opérateurs quantiques locaux vériant lesrelations usuel de l'algébre de spin, dénisant ainsi les relations de commutationsde deux opérateurs L écrit dans des espaces auxiliaires diérent L1n(λ) ∈ End(V1⊗Hn) etL2n(µ) ∈ End(V2 ⊗Hn) :

R12(λ, µ)L1n(λ)L2n(µ) = L2n(µ)L1n(λ)R12(λ, µ) (9)

La matrice R dans le cas ou la matrice de Lax est déni par (8) sera donnéepar :

R(λ, µ) =

1 0 0 00 b(λ, µ) c(λ, µ) 00 c(λ, µ) b(λ, µ) 00 0 0 1

(10)

avec1 :

b(λ, µ) =ϕ(λ− µ)

ϕ(λ− µ+ η)c(λ, µ) =

ϕ(η)

ϕ(λ− µ+ η)(11)

Dans les cas des chaînes de spins considéré ici, R(λ, η2) = ϕ(λ+ η

2)L(λ) (modéle

fondamental) ; nous pouvons aussi considéré une version inhomogène du modèleen associant à chaque site de la chaîne i une variable ξi commode pour les calculs.Dans ce dernier cas : R(λ, ξi + η

2) = ϕ(λ− ξi + η

2)L(λ− ξi).

Dénissons une matrice de monodromie comme produit ordonné des matricesde Lax avec la convention Lai ∈ End(Va ⊗Hi) :

T (λ) = LaN(λ)LaN−1(λ)...La1(λ) (12)

On montre par récurrence sur N , le nombre de site de la chaîne, que l'équation(9) conduit à l'équation de Yang-Baxter (2) pour T ainsi dénie (12).

La quantité correspondant à la classe des identités (7)

H = 2ϕ(η)d

dλln t(λ) |λ= η

2−2ϕ(η)N (13)

=N∑i=1

σxi σxi+1 + σyi σyi+1 + ∆(σzi σ

zi+1 − 1) (14)

redonne le Hamiltonien des modèles XXX (∆ = 1 et η lié à une renormalisationdu paramétre spectral) et XXZ (∆ = cosh η) en prenant ϕ(λ) = λ pour XXX etϕ(λ) = sinh(λ) pour XXZ, à la limite homogène (∀i ξi = 0).

Ainsi, il est possible de construire des systèmes quantiques intégrables par cetteméthode, l'ensemble de l'algèbre abélienne contenant le Hamiltonien ; donnée par

1La matrice R ne dépend ici que de la diérence λ− µ


(7) et les quantités conservées ; données par les matrices de transfert. L'algèbregénératrice par les éléments de la matrice de monodromie dénie en (12).

Nous cherchons ici à construire le spectre et les états propres du Hamilto-nien, qui peut être obtenue en vertu de (7) par le spectre et les états propresde la matrice de transfert que nous écrirons sur l'espace auxiliaire Va ' C2 ou(A(λ), B(λ), C(λ), D(λ)) ∈ End(H) :

T (λ) =

(A(λ) B(λ)C(λ) D(λ)

)(15)

En vertu de l'équation (2) dénissant l'algèbre de Yang-Baxter (génératricedu spectre), les relations de commutations vériés par A(λ), B(λ), C(λ) et D(λ)s'écrivent :

[B(λ), B(µ)] = 0, [C(λ), C(µ)] = 0 (16)

[A(λ), A(µ)] = 0, [D(λ), D(µ)] = 0 (17)

A(λ)B(µ) = c(λ, µ)A(µ)B(λ) + b(λ, µ)B(µ)A(λ) (18)

B(λ)A(µ) = b(λ, µ)A(µ)B(λ) + c(λ, µ)B(µ)A(λ) (19)

A(µ)C(λ) = c(λ, µ)A(λ)C(µ) + b(λ, µ)C(λ)A(µ) (20)

[C(λ), B(µ)] = −c(λ, µ)b(λ, µ)−1A(λ)D(µ)− A(µ)D(λ) (21)

[D(λ), A(µ)] = −c(λ, µ)b(λ, µ)−1B(λ)C(µ)−B(µ)C(λ) (22)

B(µ)D(λ) = c(λ, µ)B(λ)D(µ) +D(λ)B(µ) (23)

C(µ)A(λ) = b(λ, µ)A(λ)C(µ) + c(λ, µ)C(λ)A(µ) (24)

[A(λ), D(µ)] = −c(λ, µ)b(λ, µ)−1C(λ)B(µ)− C(µ)B(λ) (25)

[B(λ), C(µ)] = −c(λ, µ)b(λ, µ)−1D(λ)A(µ)−D(µ)A(λ) (26)

D(µ)B(λ) = b(λ, µ)B(λ)D(µ) + c(λ, µ)D(λ)B(µ) (27)

C(λ)D(µ) = c(λ, µ)C(µ)D(λ) + b(λ, µ)D(µ)C(λ) (28)

D(λ)C(µ) = b(λ, µ)C(µ)D(λ) + c(λ, µ)D(µ)C(λ) (29)

La construction des états propres de la matrice de transfert se fera par laméthode dite de l'Ansatz de Bethe Algébrique, qui consiste à identier l'espace deHilbert du système à l'espace de représentation de l'algèbre de Yang-Baxter.

L'espace de représentation de l'algèbre aura la particularité de posséder unvecteur de référence |0 > et vériant :

A(λ)|0 >= a(λ)|0 > C(λ)|0 >= 0 (30)

D(λ)|0 >= d(λ)|0 > B(λ)|0 >6= 0 (31)


Ainsi |0 > est en particulier un état propre de t(λ) donc du Hamiltonien (13).Prenons |0 > l'état complétement ferromagnétique dans la direction z :

|0 >= ⊗Nj=1

(10

)(32)

On trouve :

a(λ) = 1, d(λ) =N∏j=1

b(λ− ξj) (33)

Ainsi, en dénissant l'état à n particules comme étant :

|Ψ(λ1, ..., λn) >=n∏i=1

B(λi)|0 > (34)

nous pouvons trouver les états propres de la matrice de transfert.En eet, l'action des opérateurs A(µ) et D(µ) sur cet état peut être calculer à

l'aide des relations de commutations (16), (19) et (23) :

A(µ)n∏j=1

B(λj)|0 >= Λn∏j=1

B(λj)|0 > +n∑k=1

ΛkB(µ)n∏

j=1,j 6=k

B(λj)|0 > (35)

D(µ)n∏j=1

B(λj)|0 >= Λn∏j=1

B(λj)|0 > +n∑k=1

ΛkB(µ)n∏

j=1,j 6=k

B(λj)|0 > (36)

avec :

Λ = a(µ)n∏j=1

b−1(λj, µ), Λk = a(λk)c(µ, λk)

b(µ, λk)

n∏j=1,j 6=k

b−1(λj, λk) (37)

Λ = d(µ)n∏j=1

b−1(µ, λj), Λk = d(λk)c(µ, λk)

b(µ, λk)

n∏j=1,j 6=k

b−1(λj, λk) (38)

D'aprés (35) et (36), une condition susante pour que |Ψ(λ1, ..., λn) > soit unétat propre de t(λ), appelée dans ce cas état de Bethe sera donnée par :

∀k ∈ 1, ..., n Λk + Λk = 0 (39)

Ce qui se résume aux systèmes d'équations couplés de Bethe :

∀k ∈ 1, ..., n r(λk)n∏

j=1,j 6=k

b(λk, λj)

b(λj, λk)= 1 (40)

3 FONCTIONS DE CORRÉLATIONS DE LA CHAÎNE DE SPINS XXX ET XXZ8

ou l'on a noté r(λ) = a(λ)d(λ)

.Ainsi, l'état |Ψ(λ1, ..., λn) > ou les λi vérie les équations de Bethe (40) est

un vecteur propre de la matrice de transfert τ(µ) pour toute valeur de µ ; associéeà la valeur propre :

τ(µ, λj) = a(µ)n∏j=1

b−1(λj, µ) + d(µ)n∏j=1

b−1(µ, λj) (41)

Remarques :1)Nous aurions pu diagonaliser la matrice de transfert dans l'espace dual, et dansce cas, un état de Bethe aurait la forme : < 0|

∏C.

2)L'existence d'un état de réference |0 > n'est pas assuré pour tous les modèles.Pour le modèle XYZ que nous étudierons à la section 4, il n'existe pas d'état deréférence. Nous verrons comment il est néanmoins possible d'appliquer l'Ansatz deBethe grâce à une transformation Vertex-IRF.

3)La complétude des états de Bethe n'est pas triviale. Il n'est pas dit que tousles vecteurs propres du Hamiltonien sont déduits de cette méthode. C'est pourtantle cas comme la tardivement démontré Tarasov-Varchenko [9].

3 Fonctions de Corrélations de la chaîne de spins

XXX et XXZ

Un des enjeux actuel les plus importants dans le domaine des systèmes inté-grables quantiques est le calcul exact et explicite de leurs fonctions de corrélations.Au cours des dix dernières années, une nouvelle méthode de calcul a été développéau Laboratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure de Lyon, basée sur l'An-satz de Bethe Algébrique. Cette méthode consiste en deux ingrédients principaux :l'expression des opérateurs locaux en termes des opérateurs de l'algèbre de Yang-Baxter, et le calcul du produit scalaire entre états du modèle [10]. Nous illustronsdans cette section les dicultés que pose ce calcul ainsi que les grandes lignes desa résolution pour les modèles XXX et XXZ. Au delà de l'aspect technique, cecalcul peut servir de prototype pour d'autres modèles.

3.1 Échec de l'approche direct

Considérons une fonction de corrélations à k points du système dans l'étatfondamental |Ψ >, soit une quantité de la forme (fonctions de corrélations à tem-pérature nulle) :


< Ψ|O|Ψ > (42)

ou O est un opérateur σεi1i1...σ

εikik,∀ j ∈ 1, ..., k εij = x, y, z

Ce calcul pose certaines dicultés. L'expression de l'action des opérateurs lo-caux σ sur un état propre de la chaîne est dicile. En eet, les états propresdu Hamiltonien peuvent être obtenu par la méthode de l'Ansatz de Bethe Algé-brique, et dans ce cadre, ils sont exprimés en fonction des opérateurs de créationet annihilation B et C. Le calcul des fonctions de corrélations nécessite donc leséléments de matrice de produits d'opérateurs locaux O entre états de type Bethe :∏n

i=1B(λi)|0 > et < 0|∏n

i=1C(µi), λi et µi vériant les équations de Bethe(40). Hors l'algèbre des opérateurs de création et annihilation B et C en termesd'opérateurs locaux est extrêmement compliqué, due à l'expression hautement nonlocal des opérateurs de création et d'annihilation. En eet l'équation (12) donnepour B :

B(λ) =N∑i=1

σ−i Ωi +∑i 6=j 6=k

σ−i σ−k σ

+k Ωijk + termes d'ordres supérieurs (43)

ou les Ωij...k sont des opérateurs diagonaux agissant sur tous les sites sauf les sitesi, j...k.

Il apparaît donc très compliqué d'exprimer les opérateurs de création et d'an-nihilation B et C en fonction des opérateurs locaux σ.

3.2 Résolution du problème inverse

Au contraire, la reconstruction des opérateurs locaux sous forme des élémentsde la matrice de monodromie est beaucoup plus simples et donnent des expressionsrelativement simples, qui permettent une utilisation aisée de l'algèbre de Yang-Baxter ouvrant la voix vers le calcul des fonctions de corrélations.

En eet, l'expression des opérateurs locaux pour la chaîne XXX et XXZ est[10] :

σ−i =i−1∏α=1

t(ξα).B(ξi).N∏

α=i+1

t(ξα) (44)

σ+i =

i−1∏α=1

t(ξα).C(ξi).N∏

α=i+1

t(ξα) (45)

σzi =i−1∏α=1

t(ξα).(A−D)(ξi).N∏

α=i+1

t(ξα) (46)


Ainsi, pour une fonction de corrélations à k point entre deux états de Bethe∏n2

i=1B(λi)|0 > et < 0|∏n1

i=1C(µi) ou les λi et les µi vérient les équations deBethe :

< 0|n1∏i=1

C(µi)σε1i1...σεkik

n2∏i=1

B(λi)|0 >

=i−1∏α=1

τ(ξα, µi)N∏

α=i+1

τ(ξα, λi)

< 0|n1∏i=1

C(µi).Xεi1 .

i2−1∏α=i1+1

t(ξα).Xε2(ξi2)...

...

ik−1∏α=ik−1+1

t(ξα).Xεk(ξik).

n2∏i=1

B(λi)|0 > (47)

ou εj pour 1 ≤ j ≤ k prend les valeurs +,−, z et Xεj est respectivement C, Bou A−D.

Ainsi, le calcul des fonctions de corrélations s'expriment uniquement en termesdes éléments de la matrice de monodromie, ce qui réduit considérablement le pro-blème. De plus, il s'exprime comme étant une combinaison linéaire de produitsscalaire entre états de Bethe (

∏B|0 > ou < 0|

∏C pour son dual) et un états

quelconque de la chaîne.Nous illustrons cela pour le calcul des facteurs de forme de la chaîne.

3.3 Facteurs de forme

Les facteurs de formes sont les éléments de matrice des opérateurs locaux entredeux états propres de la chaîne.

Considérons par exemple la quantité :

F−n (m, µj, λk) =< 0|n+1∏j=1

C(µj)σ−m

n∏k=1

B(λk)|0 > (48)

ou les λk et µj vérient les équations de Bethe.Pour les quantités F+

n (m, µj, λk) et F zn(m, µj, λk), les calcul sont très

similaire à ceux qui vont suivre.Nous avons :

σ−m =m−1∏j=1

t(ξj).B(ξm).N∏

j=m+1

t(ξj) (49)


Comme les états de Bethe sont vecteur propres de la matrice de transfert :

t(ξj)n∏k=1

B(λk)|0 >= τ(ξj, λk)n∏k=1

B(λk)|0 > (50)

et :

< 0|n+1∏j=1

C(µj)t(ξj) = τ(ξj, µk). < 0|n+1∏j=1

C(µj) (51)

D'où :

F−n (m, λk, µj) =m∏j=1

τ(ξj, µk)N∏

j=m+1

τ(ξj, λk)

< 0|n+1∏j=1

C(µj)B(ξm)n∏k=1

B(λk)|0 > (52)

Ainsi, le calcul du facteur se forme se résume au calcul du produit scalaire :

Sn+1(µj, ξm, λ1, ..., λn) =< 0|n+1∏j=1

C(µj)B(ξm)n∏k=1

B(λk)|0 > (53)

car :


τ(ξj, µk)N∏

j=m+1

τ(ξj, λk)Sn+1(µj, ξm, λ1, ..., λn)

(54)An de trouver une expression compacte de cette quantité, il nous faut désor-

mais calculer ce produit scalaire.

3.4 Produit scalaire

Le calcul des fonctions de corrélations des modèles XXX et XXZ nécessitant leproduit scalaire entre un état de Bethe de la chaîne et un état quelconque , nousdonnons les principales étapes de ce calcul et renvoyons le lecteur à l'article [10]pour plus de détails.

Ce produit scalaire s'exprime comme suit :

Sn(µj, λk) =< 0|n∏j=1

C(µj)n∏k=1

B(λk)|0 > (55)


ou∏n

k=1B(λk)|0 > est un état de Bethe, en particulier les λi vérient le systèmesd'équations de Bethe (40).

Ce calcul nécessite la manipulation des opérateurs B et C qui s'expriment demanière excessivement non local en fonction des opérateurs de spins σ+, σ−, σz etrend leur manipulation dicile.

Il existent néanmoins un changement de base dans l'espace des états [11] dematrice F qui permet de contourner cette diculté en exprimant le produit scalairesous forme d'opérateurs B et C dont la forme est très simple :

B(λ) = F−1B(λ)F =N∑i=1

σ−i c(λ, ξi)⊗j 6=i(b(λ, ξj) 0

0 b−1(ξj, ξi)

)(56)

C(λ) = F−1C(λ)F =N∑i=1

σ+i c(λ, ξi)⊗j 6=i

(b(λ, ξj)b

−1(ξi, ξj) 00 1

)(57)

Cette transformation possède la propriété de laisser invariant l'état de référence|0 > :

F |0 >= F−1|0 >= |0 > et F+ = F−1 (58)

Ainsi, nous obtenons une expression du produit scalaire plus aisée à manipuler :

Sn(µj, λk) =< 0|n∏j=1

C(µj)n∏k=1

B(λk)|0 > (59)

Ce produit scalaire peut être calculé par récurrence, de terme général :

G(m)(λk, µ1, ..., µm, im+1, ..., in) =< im+1, ..., in|n∏j=1

C(µj)n∏k=1

˜B(λk)|0 > (60)

tel que |i1, ..., in > est l'état en base F ou les spins i1, ..., in sont dirigés vers lebas.

Nous avons alors :

G(n)(λk, µ1, ..., µn) = Sn(µj, λk) (61)

et insérant la relation de fermeture, nous obtenons la relation de récurrence :

G(m)(λk, µ1, ..., µm, im+1, ..., in)

=∑

j 6=im+1,...,in

< im+1, ..., in| ˜C(µm)|j, im+1, ..., in >

×G(m−1)(λk, µ1, ..., µm−1, im+1, ..., in) (62)


En utilisant l'expression des opérateurs C en base F, on obtient :

< im+1, ..., in|C(µ)|j, im+1, ..., in >= d(µ)ϕ(η)

ϕ(µ− ξj)

N∏a=1,a6=j

b−1(ξj, ξa)n∏

l=m+1

b−1(µ, ξil)b(ξij , ξil)

(63)Nous obtenons donc pour l'équation (62) :

G(m)(λk, µ1, ..., µm, im+1, ..., in)

= d(µ)ϕ(η)

ϕ(µ− ξj)

N∏a=1,a6=j

b−1(ξj, ξa)n∏

l=m+1

b−1(µ, ξil)b(ξij , ξil)

×G(m−1)(λk, µ1, ..., µm−1, im+1, ..., in) (64)

Le terme initiale de la récurrence G(0) nécessite en réalité le calcul d'une quan-tité égale à la fonction de partition du modèle à 6 vertex. Nous expliquerons celien et reporterons ce calcul dans l'annexe 1-section 5, le résultat obtenu est :

G(0)(λk, i1..., in) =< i1, ..., in|n∏k=1

B(λk)|0 >

=n∏

α=1

d(λα)

∏nα,k=1 ϕ(λα − ξik + η)∏

j>k ϕ(ξik − ξij)∏

α<β ϕ(λβ − λα)detN(λα, ξij) (65)

avec :

Nab =ϕ(η)

ϕ(λa − ξib + η)ϕ(λa − ξib)(66)

Ainsi, le calcul de la récurrence, détaillé en annexe 1, donne :

Sn(µj, λk) = Sn(λk, µj) =detJ(µj, λk)detV µj, λk

(67)

Jab =∂

∂λaτ(µb, λk), Vab =

1

ϕ(µb − λa)(68)

Ceci permet de réecrire l'expression de F−n (m, λk, µj) comme étant :


τ(ξj, µk)N∏

j=m+1

τ(ξj, λk)detJ(µj, ξm, λk)detV µj, ξm, λk

(69)Cette expression du facteur de forme et une expression exacte pour une chaîne

de taille nie N. Ce résultat très important peut ainsi se prêter à diverses analysescomme sa limite en taille innie [5].

4 CHAÎNE XYZ ET MODÈLE SOS 14

4 Chaîne XYZ et modèle SOS

L'Ansatz de Bethe Coordonnées permet la résolution des modèles XXX et XXZ,et Baxter à réussi à l'aide d'une transformation dite Vertex-IRF la résolution ducas XYZ par cette méthode. Une résolution algébrique en volume innie du modèleXXZ existe également [1].

Cependant,le calcul des fonctions de corrélations de la chaîne XYZ nie semblenécessiter la méthode présenté à la section 3, basée sur la résolution du problèmeinverse pour ce modèle, soit l'expression des opérateurs locaux de la chaîne XYZen fonction des éléments de la matrice de monodromie, résolu par J.M.Mailletet V.Terras [12] ainsi que l'expression du produit scalaire entre états propres dusystèmes, problème encore ouvert à l'heure actuelle.

L'expression de la fonction de partition du modèle à 8 vertex avec le langagede l'Ansatz de Bethe Algébrique, en d'autres termes le produit scalaire entre étatsdu modèle XYZ, nécessite d'utiliser la correspondance modèle chaîne de spinsunidimensionnel-modèle à vertex bidimensionnel déjà mentionné à la section 3.4.Ainsi, le modèle XYZ sera mis en correspondance avec le modèle dit à 8 vertex.Malheureusement, ce modèle ne permet pas d'exprimer l'Ansatz de Bethe Algé-brique en l'état, et la version algébrique de la transformation Vertex-IRF permetde s'aranchir de cette diculté. Cette transformation mène à un autre modèle,le modèle dit SOS (souvent appelé IRF) qui se prête bien à l'Ansatz de BetheAlgébrique.

Récemment, le calcul de la fonction de partition du modèle SOS par HjalmarRosengren [13] ouvre la voie au calcul du produit scalaire. Ainsi, en appliquant ladémarche précédente :-calcul de la fonction de partition-calcul produit scalaire-calcul des facteurs de formesil est permis d'espérer arriver au calcul (non triviale) des fonctions de corrélationsdu modèle SOS, et par là à celles du modèle XYZ grâce cette correspondance.

Cette section se propose donc de revoir cette démarche.Nous commençons par présenter le modèle XYZ et sa correspondance avec le

modèle à 8 vertex, puis nous donnons la transformation Vertex-IRF permettant dedéduire le modèle SOS et de justier son étude. Nous insistons sur sa spécicité,due à une légère modication des structures algébriques mises en jeux, à cause dela modication de la relation (3) pour ce modèle. Nous présentons les structuresalgébriques ainsi mises en jeux ; et leurs lien avec la fonction de partition du modèleSOS.


4.1 Motivation : Le modèle XYZ associée au 8-vertex deBaxter

Dans tout ce qui suit ; nous noterons la fonction Thêta de Jacobi par :[x] = q−

x2

∏∞j=0(1− pjqx)(1− pj+1q−x) ou p = exp2iπτ et q = exp2iπη ou Im(τ) > 0

et η 6= Z + τZ.

L'Ansatz de Bethe Algébrique permet d'étudier le modèle XYZ associée à unematrice R ∈ End(V0 ⊗Vi) de la forme [4] :

R8V12 (λ− µ) =

a 0 0 d0 b c 00 c b 0d 0 0 a

(70)

La matrice de monodromie est donnée comme en (12) par :

T (uα0 , ξi) = R8V0N(uα0 − ξN)...R8V

01 (uα0 − ξ1) =

(A(uα0 , ξi) B(uα0 , ξi)C(uα0 , ξi) D(uα0 , ξi)

)(71)

En prenant une matrice de monodromie qui s'écrit cette forme, alors l'équation(6) n'est vériée que si :

a(λ− µ) =[λ− µ+ τ ][τ + 1]

[λ− µ− 1 + τ ][τ ](72)

b(λ− µ) = − [λ− µ][τ + 1]

[λ− µ− 1][τ ](73)

c(λ− µ) = − expi(λ−µ) [1][λ− µ+ τ ]

[λ− µ− 1][τ ](74)

d(λ− µ) = − exp−i(τ+λ−µ) [λ− µ+ τ ][1 + τ ]

[τ ][λ− µ− 1 + τ ](75)

La présence du poids d dans l'équation (70) montre qu'il n'existe pas de vecteurde référence est rend inutilisable directement l'Ansatz de Bethe Algébrique, (leséquations (30) ne peuvent être satisfaites). Aussi, suivant l'idée initiale de Baxter[4], nous pouvons trouver une transformation (dont l'existence n'est pas trivialà priori) permettant d'exprimer la matrice R8V sous forme d'une matrice à 6entrée de la forme (10) et rendant de fait possible l'utilisation de l'Ansatz deBethe Algébrique [14]. La chose remarquable est qu'il existe même une innitéde transformations possibles permettant cela. Nous commençons par donner cettetransformation puis nous indiquons le modèle qui lui est associée.


4.2 Transformation Vertex-IRF et équation de Yang-Baxterdynamique

Nous userons à partir d'ici de la notation suivante :R12(uα1−uα2 ; s+h3)|i >1 ⊗|j >2 ⊗|k >3= R12(uα1−uα2 ; s+µ)|i >1 ⊗|j >2 ⊗|k >3

si h3|k >3= µ|k >3 avec h =

(1 00 −1

)∈ V3.

Nous partons de l'expression de la matrice R8V12 ∈ End(V1⊗ V2) du modèle à 8

vertex associée au modèle XYZ unidimensionnel qui s'écrit :

R8V12 (λ− µ) =

a 0 0 d0 b c 00 c b 0d 0 0 a

(76)

Il nous faut donc trouver une transformation qui peut dépendre d'un paramétrespectral s tel que R8V

R8V12 (λ− µ) =

0 0 00 00 00 0 0

(77)

En eet, une expression de ce type permet de mener avec succès la méthode del'Ansatz de Bethe Algébrique, comme pour les modèles XXX et XXZ ou R estdonnée par une expression du même type (10).

Cette transformation, initialement trouvé par Baxter, peut être exprimée demanière plus commode pour ce qui va suivre :

S2(uα2 ; s)S1(uα1 ; s+h2)RSOS12 (uα1−uα2 ; s) = R8V

12 (uα1−uα2)S1(uα1 ; s)S2(uα2 ; s+h1)(78)

Avec :

S(u; s) = expis(−i expi(u−s+

τ+12

)[u− s+ τ + 12] i expi(u−s+

τ+12

)[−u− s+ τ + 12]

−[u− s+ 12] [−u− s+ 1

2]

)(79)

Alors dans cette base, RSOS12 qui n'est que l'expression de R8V

12 dans cette nouvellebase que nous noterons simplement R pour alléger les notations s'écrit :

R(u; s) =

1 0 0 0

0 [s+1][u][s][u+1]

[s+u][1][s][u+1]

0

0 [s−u][1][s][u+1]

[s−1][u][s][u+1]

0

0 0 0 1

(80)


Seulement, cette matrice R vérie une équation de Yang Baxter dynamique :

R12(uα1−uα2 ; s+h3)R13(uα1 ; s)R23(uα2 ; s+h1) = R23(uα2 ; s)R13(uα1 ; s+h2)R12(uα1−uα2 ; s)(81)

Et la matrice de monodromie associée sera :

T (uαa ; s) = RaN(s+N−1∑i=1

hi)RaN−1(s+N−2∑i=1

hi)...Ra1(s) (82)

Les relations de commutations de l'algèbre engendrée par les éléments Tα,β de Tseront donnée par l'équation :

R00′(s+N∑i

hi)T0(s)T0′(s+ h0) = T0′(s)T0(s+ h0)R00′(s) (83)

4.3 Ansatz de Bethe Algébrique pour le modèle SOS

La méthode de l'Ansatz de Bethe Algébrique va nous permettre de construireles états propres de l'algèbre générée par les éléments Tα,β de T donnée par l'équa-tion (83) ; dénissant ainsi l'algèbre des opérateurs de création et annihilation dumodèle SOS.

Pour cette algèbre la matrice de monodromie est (82) :

T (uαa ; s) = RaN(s+N−1∑i=1

hi)RaN−1(s+N−2∑i=1

hi)...Ra1(s) =

(A(uαa ; s) B(uαa ; s)C(uαa ; s) D(uαa ; s)

)(84)

Les relations de commutations de l'algèbre générée par les éléments Tα,β de Tseront donner dans End(V0 ⊗ V0′ ⊗Ni=1 Vi) ou ∀i Vi = C2 par l'équation (83) :

R00′(s+N∑i

hi)0(s)T0′(s+ h0) = T0′(s)T0(s+ h0)R00′(s) (85)

dénissant ainsi les 16 relations de commutations de l'algèbre de Yang-Baxter [15]dynamique à cause des arguments translatée.

Il est néanmoins possible de déduire une algèbre des opérateurs de Yang-Baxter[15] dénit sur les fonctions méromorphes de V = ⊗NC2. Ces opérateurs, que nousnoterons de la même manière par abus2, sont dénit comme suit : (A,B,C,D) ∈

2Il n'y a pas de risque de confusion possible, les générateurs de l'algèbre de Yang-Baxter pour

SOS dépendent de deux paramètres dont particulièrement le paramètre dynamique s alors que

les générateurs de l'algèbre des opérateurs ne dépendent que d'un seul paramètre


End(FunV ), ∀F ∈ Fun(V ) :

(A(uα)F ).(s) = Auα(uα; s)F (s− 1) (B(uα)F ).(s) = Buα(uα; s)F (s− 1) (86)

(C(uα)F ).(s) = Cuα(uα; s)F (s+ 1) (D(uα)F ).(s) = Duα(uα; s)F (s+ 1) (87)

Les relations de commutations de cette nouvelle algèbre devront être consis-tante avec la précédente dénition et l'équation (83) dénissant l'algèbre de Yang-Baxter. L'intérêt de cette nouvelle algèbre est de construire plus facilement unAnsatz de Bethe Algébrique vue qu'il n'y a plus de dépendance en argumentstranslatée.

Nous cherchons à diagonaliser t(uα) = A(uα) + D(uα) sur Fun(V ) tel que[t(uα), t(uβ)] = 0. Cette condition est possible sur l'espace Fun(V [0]) ou l'espacedit de poids zéro3 V [0] est dénit comme suit : ∀F ∈ Fun(V [0]),∀s ∈ C :

N∑i=1

hi.F (s) = 0 (88)

Pour que V [0] soit non triviale, nous supposons que N paire. Par analogie aumodèle de la section 2.2, nous cherchons un vecteur propre de t(uα) sous la forme :

< 0|g(s)C(uαN2

)...C(uα1) (89)

ou g est fonction méromorphe et < 0| vue comme une fonction constante, < 0| =∏Ni=1(↑)uαi .Les conditions sur g et uα1 , ..., uαN

2

nécessite :

< 0|g(s)C(uαN2

)...C(uα1)(A(uβ) +D(uβ))

=< 0|g(s)C(uαN2

)...C(uα1)(a(uαi, uβ; s) + d(uαi, uβ; s))

+ < 0|g(s)∑k

(Λk + Λk)

N2∏

j=1,j 6=k

C(uαj)C(uβ) (90)

Un calcul similaire à celui de la section 2.2 en utilisant les relations de commu-tations (83) donnent la condition suivante pour Λ1 + Λ1

N2∏j=2

[uαj − uα1 − 1]

[uαj − uα1 − 1]

N2∏i=1

[uα1 − 34− uαi ]

[uα1 − 12− uαi ]

[s+ N2

][s− 1][s]

[s+ N2− 1][s− N

2]2g(s+ N

2+ 1)

g(s+ N2− 1)

= 1 (91)

3De manière imagée, les fonctions F ∈ Fun(V [0]) appartiendront après évaluation à un espace

de spin totale nul


4.4 Première étape vers le calcul des fonctions de corréla-tions

La matrice (80) correspondant à celle d'un modèle classique sur réseaux bi-dimensionnel appelée modèle SOS avec conditions aux bords dites de parois dedomaines. Pour le calcul des fonctions de corrélations du modèle, nous avons ten-ter de suivre une démarche analogue à celle du modèle XXZ qui nécessite le calculdu produit scalaire entre état de Bethe et un état quelconque, qui s'exprimeracomme une récurrence ayant pour terme initiale la fonction de partition. Cettedémarche posera ici des diculté majeures dues principalement aux fonctions el-liptiques dont la manipulation n'est pas aisée.

Nous commençons par donner l'expression de la fonction de partition du mo-dèle :

ZN(uα, ξq, s) =N∏k=1

(↑k)Cq(uαn ; s)...Cq(uα1 ; s+ (N − 1))N∏k=1

(↓k) (92)

qui s'exprime en base F comme :

ZN(uα, ξq, s) =N∏k=1

(↑k)Cq(uαn , s)...Cq(uα1 ; s+ (N − 1))N∏k=1

(↓k) (93)

ou l'expression des opérateurs C en base F est [19] :

Cq(u; s) =N∑i=1

σ+i

[1][s− u+ ξi]

[s][u− ξi + 1]⊗j 6=i

([u−ξj ][ξi−ξj+1]

[u−ξj+1][ξi−ξj ] 0

0 1

)(94)

L'expression de la fonction de partition à été trouvée par une étude des pro-priétés de symétries et d'analycité par Rosengren [13] :

ZN =(−1)[s+N ]

[1]n2 [γ]N [|uα| − |ξq|+ s+ γ +N ]

∏Ni,j=1[uαi − ξqj ][uαi − ξqj + 1]∏1≤i<j≤N [uαi − uαj ][ξi − ξj]∑

S⊆1,...,N

(−1)|S|[s+ γ +N − |S|]

[s+N − |S|]det(

[uSαi − ξj + γ]

[uSαi − ξj]) (95)

ou l'on note :

xSi =

xi + 1, i ∈ Sxi, i /∈ S (96)

Un état de Bethe dans l'espace dual est :

<↑1 ... ↑N |CN2

(uαN2

, s+N

2)...C1(s+ (N − 1), uα1) (97)


Ce qui permet de relier la fonction de partition du modèle SOS aux formalismede l'Ansatz de Bethe Algébrique.

La première étape du calcul consiste donc en l'expression analytique de laprojection d'un état de Bethe projetée sur un état quelconque :

<↑1 ... ↑N |CN2

(uαN2

, s+N

2)...C1(s+ (N − 1), uα1)|i1, ..., in >

=n∏k=1

N∏j=1,j 6=i1,...,in

[ξik − ξj + 1][uαk − ξj][ξik − ξj][uαk − ξj + 1]

Zi1,...,in (98)

ou Zi1,...,in est la fonction de partition réduite, c'est à dire seulement pour nsites :

Zi1,...,in =(−1)[s+ n]

[1]n2 [γ]n[|uα| − |ξq|+ s+ γ + n]

∏ni,j=1[uαi − ξqj ][uαi − ξqj + 1]∏

1≤i<j≤n[uαi − uαj ][ξi − ξj]∑S⊆1,...,n

(−1)|S|[s+ γ + n− |S|]

[s+ n− |S|]det(


[uSαi − ξj]) (99)

Nous allons commencer par calculer le premier terme de la récurrence, corres-pondant à la projection d'un état à une particule B(uβ1 , s + N)|i2, ..., in > surl'état de Bethe.

L'état à une particule s'exprime ; toujours en base F :

B(uβ1 , s+N)|i2, ..., in >=

[s+N − 1]

[s+N +∑

i σi]

∑i

[1][s+N +∑6=i σi + uβ1 − ξi]

[s+N +∑6=i σi][uβ1 − ξi + 1]

σ−i ⊗j 6=i

([uβ1−ξj ]

[uβ1−ξj+1]0

0[ξj−ξi+1]

[ξj−ξi]

)|i2, ..., in >

=[s+N − 1]

[s+N ]

∑i1 6=i2,...,in

[1][s+N + 1 + uβ1 − ξi1 ][s+N + 1][uβ1 − ξi1 + 1]

n∏j=2

[ξij − ξi1 + 1]

[ξij − ξi1 ]

N∏j=1,j 6=i1,...,in

[uβ1 − ξj][uβ1 − ξj + 1]

|i1, ..., in > (100)

Et obtient le produit scalaire suivant :


<↑1 ... ↑N |CN2

(uαN2

, s+N

2)...C1(s+ (N − 1), uα1)B1(uβ1 , s+N)|i2, ..., in >

=∑

i1 6=i2,...,in

|i1, ..., in >[s+N − 1]

[s+N ]

[1][s+N + 1 + uβ1 − ξi1 ][s+N + 1][uβ1 − ξi1 + 1]

n∏j=2

[ξij − ξi1 + 1]

[ξij − ξi1 ]∏

j=1,j 6=i1,...,in

[uβ1 − ξj][uβ1 − ξj + 1]

n∏k=1

N∏j=1,j 6=i1,...,in

[ξik − ξj + 1][uαk − ξj][ξik − ξj][uαk − ξj + 1]

Zi1,...,in

(101)

d'où l'expression totale :

<↑1 ... ↑N |CN2

(uαN2

, s+N

2)...C1(s+ (N − 1), uα1)B1(uβ1 , s+N)|i2, ..., in >

=[1][s+N − 1][s+ n]

[γ]n[s+N + 1][s+N ]

N∏j=1

[uβ1 − ξj][uβ1 − ξj + 1]

n∏k=1

N∏j=1

[uαk − ξj][uαk − ξj + 1]

n∏k=1

n∏l=1

[uαk−ξil+1]

n∏k=1

N∏j=1,j 6=ik

[ξik − ξij + 1]

[ξik − ξj]

n∏k=2

∏l=2,l 6=k

[ξik − ξil ][ξik − ξil ]

1∏nj<k[uαj − uαk ]

∏n2≤j<k[ξik − ξij ]∑

S⊆1,...,n

(−1)S[γ + s+N|S|][s+ n− |S|]

detN (102)

avec :

Nj k 6=1 =[uSαj − ξik + γ]

[uSαj − ξik ][uβ1 − ξik + 1]

[uβ1 − ξik ](103)

Nj 1 =∑

i1 6=i2,...,in

(−1)n−1

[∑n

j=2 uαj − ξi1 −∑n

j=2 ξij + γ + s+ n]

[s+N + 1 + uβ1 − ξi1 ][uβ1 − ξi1 ]

(104)n∏k=1

[uαk − ξi1 + 1]N∏

j=1,j 6=i1

[ξi1 − ξj + 1]

[ξi1 − ξj]

n∏l=2

1

[ξi1 − ξil + 1]

[uSαj − ξi1 + γ]

[uSαj − ξi1 ](105)

Désormais, une réduction de ce déterminant est nécessaire. Nous pouvons nousinspirer des précédents travaux sur les modèles XXX et XXZ pour exprimer lesquantités (103) et (104) sous une forme plus adapté à la sommation dans (102).Ce travail n'a toujours pas été menée, il nécessite la manipulation non aisée desfonctions elliptiques.

5 ANNEXES 22

5 Annexes

5.1 Modèles exactement solubles à deux dimension : cas dela physique statistique classique

Dans cette première annexe, nous formulons le problème du calcul de la fonctionde partition de modèle de physique statistique classique bidimensionnel (modèle àvertex) en terme d'outil de l'Ansatz de Bethe Algébrique, permettant ainsi d'expri-mer la fonction du partition de modèle à vertex comme étant un produit scalaireentre états de modèle à chaîne de spins unidimensionnel. Ceci illustre l'apparitionde la fonction de la partition de modèle à vertex bidimensionnel dans le calcul degrandeurs (fonctions de corrélations particulièrement) de modèle type chaîne despin unidimensionnel. Ce résultat d'une portée générale est à mettre en lien avecla correspondance théorie statistique classique à D+1 dimension-théorie quantiqueà D dimension.

5.2 Modèles à vertex et chaînes de spins

Soit un réseau carré (bidimensionnel) de dimension N × N avec condition auxbords de parois de domaines. En chaque vertex nous associons un poids statistiquesdépendant des 4 lignes le dénissant qui possède chacune deux de degré de liberté(un spin 1

2classique par exemple). Les seules congurations possédant un poids

statistiques non nuls sont au nombre de six que nous choisirons comme étant :

Les poids statistiques a, b, c étant dénis comme suit :

a(λ− µ) = 1 (106)

b(λ, µ) =ϕ(λ− µ)

ϕ(λ− µ+ η)(107)

c(λ, µ) =ϕ(η)

ϕ(λ− µ+ η)(108)

5 ANNEXES 23

Le modèle se présente donc comme suit :

Comme il y a 6 congurations possibles, le modèle ainsi dénie est appelée modèleà 6 vertex. Les poids statistiques peuvent être vues comme étant les élémentsd'une matrice 4×4 dépendant des paramètres des poids statistiques agissant dansC2 ⊗ C2 :

R(λ− µ)ε1,ε2ε′1,ε′2

ε1

ε′1z1

ε2ε′2z2

Avec ε = ± correspondant au spin des liens ; dans ce cas ; R est dénie commesuit :

R(λ, µ) =

a(λ, µ) 0 0 0

0 b(λ, µ) c(λ, µ) 00 c(λ, µ) b(λ, µ) 00 0 0 a(λ, µ)

(109)

5 ANNEXES 24

La fonction de partition du modèle à 6 vertex s'exprime donc4 :

ZN(λα, ξq) =∑

congurations

∏vertex

poids statistiques

=∑

états liens verticaux

∏lignes α

∑états liens horizontaux

∏vertex k dans la ligne α

R(λα, ξk)εαεkε′αε′k

= (N∏k=1

↓k)(N∏α=1

↑α)(RNN ′RN−1,N ′ ...R1N ′)...(R1N ′R11′)(N∏α=1

↓α)(N∏k=1

↑k)

= (N∏k=1

↓k)N∏α=1

(↑α Rαk...R1k ↓α)(N∏k=1

↑k)

= (N∏k=1

↓k)N∏k=1

B(ξk; λi)(N∏k=1

↑k) (110)

ou l'on a noté :

T (λi; ξk) = RNk(λN − ξk)...R1k(λ1 − ξk) =

(A(λi; ξk) B(λi; ξk)C(λi; ξk) D(λi; ξk)

)(111)

Cette quantité est en réalité égale à un produit scalaire particulier du modèleXXX ou XXZ en prenant les dénition de la section 2.2 pour ϕ. En eet, le vecteur :∏N

k=1 ↑k est bien l'état de référence du modèle (32).Ce calcul d'abord été eectuée en analysant les propriétés de symétries ainsi

que les propriétés analytiques de la fonction de partition [17], ce qui permet deconjoncturer puis de montrer par récurrence son expression exacte.

Ainsi :

ZN(λ− k, ξk) =



α<β ϕ(λβ − λα)× detN(λα, ξij) (112)

avec :

Nab =ϕ(η)

ϕ(λa − ξib + η)ϕ(λa − ξib)(113)

4 Nous aurions pu invariablement eectuée la sommation d'abord sur états des liens verticaux

puis sur les états liens des horizontaux, ce qui aurait donné pour la fonction de partition :

ZN (λα, ξk) =∏Nα=1 ↑α

∏Nk=1 C(ξk; λi)

∏Nα=1 ↓α ; mais l'articulation avec l'Ansatz de

Bethe aurait nécessité de diagonaliser la matrice de transfert dans l'espace dual à H ; bien que

ceci soit tout à fait équivalent, il peut être utile de le faire comme dans la section suivante.

5 ANNEXES 25

5.3 Modèle SOS de type "face"

Le modèle SOS, initialement initialement introduit par Baxter [18] pour ré-soudre le modèle XYZ, est un modèle sur réseau bidimensionnel de physique sta-tistique classique, ou un poids statistique est ici attachée à chaque face ; dépendantdes valeurs de poids locaux associée aux 4 vertex la dénissant. Chaque lien possèdecomme précédemment un degré de liberté correspondant à un spin 1

2classique pre-

nant la valeur ε = ±1, dénissant ainsi la valeur du poids local s.Nous imposons parcontre que deux vertex voisin ne diérent que d'un poids local :sj−sk = ±1.Touteface se présente comme suit, ou R(uα − ξq; s)ε1,ε2ε′1,ε

′2est le poids statistique :

R(uα − ξq; s)ε1,ε2ε′1,ε′2

s s+ ε′1

uαs+ ε2 s+ ε1 + ε2= s+ ε′1 + ε′2

ξq

Nous prenons comme précédemment des conditions aux parois de domaine. Lemodèle se présente comme suit pour une conguration ou s = 0

5 ANNEXES 26

La fonction de partition du modèle SOS ainsi dénit s'écrit :

ZN(uα1 , ..., uαN ; ξq1 , ..., ξqN ; s) =N∏j=1

(↑αj)N∏k=1

(↓qk)RαN ,qN (uαN−ξqN ; s+N−1∑k=1

hqk)...RαN ,q1(uαN−ξq1 ; s)

RαN−1,qN (uαN−1− ξqN ; s+ hαN +

N−1∑k=1

hqk)...+RαN−1,q1(uαN−1− ξq1 ; s+ hαN )

...

Rα1,qN (uα1−ξqN ; s+N∑j=2

hαj+N−1∑k=1

hqk)...+Rα1,q1(uα1−ξq1 ; s+N∑j=1

hαj)N∏j=1

(↓αj)N∏k=1

(↑qk)

=N∏j=1

(↑αj)N∏k=1

(↓qk)

TαN ,q(uαN ; ξq; s)TαN−1,q(uαN−1; ξq; s+hαN )...Tα1,q(uα1 ; ξq; s+

N∑j=2

hαj)N∏j=1

(↓αj)N∏k=1

(↑qk)

=N∏k=1

(↓qk)Cq(uαN ; s)...Cq(uα1 ; s+ (N − 1))N∏k=1

(↑qk) (114)

Rosengren [13] a montré grâce à des arguments sur les propriétés de symétrieet analytiques de la fonction de partition qu'elle pouvait s'exprimer comme unesomme de déterminant :

ZN =(−1)[s+N ]

[1]n2 [γ]N [|uα| − |ξq|+ s+ γ +N ]

∏Ni,j=1[uαi − ξqj ][uαi − ξqj + 1]∏1≤i<j≤N [uαi − uαj ][ξi − ξj]∑

S⊆1,...,N

(−1)|S|[s+ γ +N − |S|]

[s+N − |S|]det(


[uSαi − ξj]) (115)

5.4 Produit scalaire des modèles XXX/XXZ

Dans cette annexe, nous présentons les principales étapes du calcul techniquedes termes G(0) et G(1), nous renvoyons le lecteur à la référence [10] pour unprésentation détailler

5.4.1 Terme G(0)

Nous donnons ici les premières étapes du calcul du terme G0, terme initiale dela récurrence nécessaire au produit scalaire puis aux fonctions de corrélations de

5 ANNEXES 27

la chaîne.

G(0)(λk, i1..., in) =< i1, ..., in|n∏k=1

B(λk)|0 > (116)

ou l'expression des opérateurs B en base F est :

B(λ) =N∑i=1

σ−i c(λ, ξi)⊗j 6=i(b(λ, ξj) 0

0 b−1(ξj, ξi)

)(117)

L'action de l'opérateur B est diagonal sur tous les sites sauf les sites i1, ..., in ;il nous faut donc tout d'abord extraire l'action de B sur ces sites, puis un calculdirect mène à :

G(0)(λk, i1..., in) =n∏

α=1

N∏k=1,k 6=i1,...,in

b(λα, ξk)Zn(λα, ξk) (118)

Ou Zn = ⊗nα=1 ↑α∏N

k=1B(ξk; λi)⊗nα=1 ↓α est la fonction de partition réduite,c'est à dire seulement sur les n sites de la chaîne i1, ..., in.

En utilisant l'expression (112) seulement sur ces n sites, nous obtenons la re-lation suivante :

G(0)(λk, i1..., in) =n∏

α=1

d(λα)



α<β ϕ(λβ − λα)detN(λα, ξij)

(119)

5.4.2 Terme G(1)

Le terme G(1) s'obtient en utilisant la relation de récurrence (62). Munie del'expression de G(0) (65), nous obtenons :

G(1)(λα, µ1, i2, ..., in) =N∏α=1

d(λα)

∏nα=1

∏nk=2 ϕ(λα − ξik + η)∏

n≥j>k≥2 ϕ(ξik − ξij)∏

n≤α<β≤n ϕ(λβ − λα)

detN (1)(λα, µ1, i2, ..., in) (120)

ou la matrice N (1)est donnée par :

N(1)ab =

1

µ1 − ξbNab,b ≥ 2

(121)

N(1)a1 =

n∏k=2

ϕ(µ1 − ξik + η)n∑

i1=1

ϕ(η)

ϕ(µ1 − ξi1)ϕ(η)

ϕ(λa − ξi1)

∏m6=a ϕ(λm − ξi1 + η)∏nk=2 ϕ(ξi1 − ξik + η)

∏j 6=i1

b−1(ξi1 , ξj)

(122)

5 ANNEXES 28

La somme peut être calculé explicitement en étudiant la structure de son ar-gument ; il est possible de réécrire cela :

n∑i1=1

ϕ(η)

ϕ(µ1 − ξi1)ϕ(η)

ϕ(λa − ξi1)

∏m 6=a ϕ(λm − ξi1 + η)∏nk=2 ϕ(ξi1 − ξik + η)

∏j 6=i1

b−1(ξi1 , ξj) =Ha1∏n

k=2 ϕ(µ1 − ξik + η)

+n∑b=2

1

ϕ(µ1 − ξib + η).

∏nm=1 ϕ(λm − ξib)∏nj=1 ϕ(ξib − ξij)

.ϕ(η)

ϕ(λa − ξib)ϕ(λa − ξib + η)(123)

ou Hab est déni comme suit :

Hab =ϕ(η)

ϕ(λa − µb)(r(µb)

∏m 6=a

ϕ(λm − µb + η)−∏m6=a

ϕ(λm − µb + η)) (124)

Cette écriture est possible grâce au fait que les deux expressions sont des fonc-tions rationnels de µ1 tel que :-les deux expressions ont la même limite quand µ1 tend vers l'inni (la limite est0)-les deux expressions ont même pôles et mêmes résidus (les équations de Bethepermettent de le montrer)

Ainsi, en réécrivant N1a1 = Ha1 +

∑nb=2 αbNab, il est possible de réécrire le

déterminant dans (120), nous obtenons :

G(1)(λα, µ1, i2, ..., in) =N∏α=1

d(λα)

∏nα=1

∏nk=2 ϕ(λα − ξik + η)∏

n≥j>k≥2 ϕ(ξik − ξij)∏

n≤α<β≤n ϕ(λβ − λα)

detG(1)(λα, µ1, i2, ..., in) (125)

ou la matrice G1 est déni comme étant :G1ab = Nab

µ1−ξibb ≥ 2

G1a1 = Ha1

(126)

Ainsi, le terme G(m) peut être conjoncturer en répétant cette procédure etprouver par récurrence grâce à l'expression (62).

Un travail supplémentaire sur les déterminant fournit l'expression plus com-pacte (67) du produit scalaire, point de départ pour le calcul des fonctions decorrélations.

6 CONCLUSION 29

6 Conclusion

Après avoir présenter le formalisme général de l'Ansatz de Bethe Algébriqueet son application aux modèlex XXX et XXZ, nous avons exposer comment cetteméthode permettait un calcul exacte et explicite des fonctions de corrélations deces modèles.

Ce calcul nécessite le produit scalaire entre états de modèle chaîne de spins,qui s'exprime comme étant la fonction de partition de modèles associés à vertex.

An de calculer les fonctions de corrélations du modèle XYZ, nous avons com-mencer le calcul du produit scalaire entre états du modèle SOS associé à la chaînede spins XYZ.

La prochaine étape serait de réexprimer les expressions trouvées sous une formeplus commode et plus compacte, en utilisant très probablement les équations deBethe, an d'obtenir des expressions plus simples à manipuler. Cela nécessite l'ana-lyse et l'utilisation des fonctions Thêta de Jacobi, dont la manipulation n'est pastriviale.

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Fonctions de corrélations des systèmes intégrables quantiques

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