Cours 7 Les fluides visqueux

Introduction:

Dans le premier chapitre traitant de la mcanique des fluides nous avons considr uniquement des coulements parfaits. La ralit est bien plus complexe que cela; le sang notamment possde une proprit qui rend le modle de l'coulement parfait inexact: c'est la viscosit. Ce chapitre traitera donc des fluides visqueux, ce sera le dernier chapitre de mcanique des fluides abord en PCEM1, et le dernier cours de physique que je rdigerai (instant motion).

I. La viscosit

La viscosit permet de faire la distinction entre un fluide parfait et un fluide rel.Rappelez vous, dans le cas des fluides parfaits, on avait considr que l'coulement se droulait sans perte d'nergie, ce qui nous permettait d'appliquer le thorme de Bernoulli.Dans un fluide rel, il existe des forces dites de viscosit. Elles sont dues des frottements qui existent entre les couches de vitesses diffrentes et sur les parois. Ces forces tendent ramener toutes les couches la mme vitesse.

F vis= Sdvdz

[]=[F ][L][S ][v ]

=[P ] [L][L]

[T ]1=[P] [T ]

USI: Pa.s

Au niveau macroscopique, les molcules de la couche la plus rapide cdent de la quantit de mouvement celles de la couche plus lente lors des collisions. On a donc une diminution d'nergie et une perte de pression.

Effet de la temprature

La viscosit diminue quand la temprature diminue pour un liquide.La viscosit augmente selon T pour un gaz parfait.

La viscosit du sang est lie la densit des globules.(sang) = 2,1.10-3 Pa.s

II. Effet magnus

Dfinition:Quand la vitesse d'un fluide augmente, sa pression diminue.

Path = trajectoire

L'air visqueux est entran par la rotation de la balle prs de la surface de celle-ci.

Dans le rfrentiel de la balle on peut crire:

vair surface= vcoulement vrotation= vballe vrotation

v1=vballevrotationv2=vballevrotation

P1P2

La vitesse de la rotation de la balle modifie la vitesse de l'air autour d'elle.L'effet sera dissymtrique: d'un ct la balle entrane l'air qui acclre. De ce ct la pression diminue. De l'autre ct la balle freine l'coulement d'air et la pression augmente. On aura donc une diffrence de pression et la balle va se dplacer du ct o la pression est plus faible. Selon la vitesse de rotation de la balle, la position des points o la vitesse est respectivement minimale et maximale (et donc le sens de la force applique) varie.

La trajectoire de la balle est incurve

III.Profil de vitesse

On considre un coulement dans un tube cylindrique.Si le fluide est parfait, on observe un coulement o la vitesse est constante en tout point du fluide.Si le fluide est visqueux, on observe un profil de vitesse parabolique.

Au niveau des parois v = 0 (frottements maxima)Au centre v = vmax (loin des parois et plus petites surfaces de frottement interne).

On peut dfinir le dbit en fonction de la vitesse moyenne:

Q=S v avec v=12

vmax

IV. Dissipation et perte de pression

On considre toujours un coulement dans un tube cylindrique.Si le fluide est parfait, il n'y a pas de perte d'nergie on peut donc crire: P1 = P2Si le fluide est visqueux, on observe une perte d'nergie par frottement P2 < P1La perte de pression observe est due la dissipation de l'nergie. Plus le tube est long, plus le fluide frotte contre les parois et plus il y a de frottement interne. La perte d'nergie et donc de pression sont proportionnelles la longueur du tube, la viscosit et la vitesse.

P L v

va2r 2

Lors de l'coulement d'un liquide parfait, on n'observe pas de perte de pression.

P = cste

Lors de l'coulement d'un fluide visqueux : on observe une perte de charge ( = perte de pression) constante par unit de longueur.

P L

=cste

1. Loi de Poiseuille On considre un coulement laminaire de dbit Q dans un tube cylindrique de rayon a et de rsistance R telle que:

P=RQ avec R=8 La4

La diffrence de pression fait circuler le fluide avec le dbit Q pour vaincre la rsistance R.Un fluide se dplace toujours vers les basses pressions!

2. Puissance dissipe

On observe une dissipation d'nergie de par le frottement interne et les frottements contre les parois provoquant un chauffement du fluide.On peut calculer la puissance dissipe:

P=Fv P=P S v=P Q

3. Loi de Bernoulli modifie Le fluide considr est visqueux, il existe donc une perte de pression P irrcuprable.P2 P1 = P = RQ > 0

Le thorme de Bernoulli s'crit alors:

P112v1

2 g z1=PP212v2

2 g z2

Exemple: Perte de charge d'une seringue

Quelle est la perte de charge relative entre l'aiguille (rayon a' = 0,3 mm, longueur L' = 3cm) et le corps de la seringue (a = 1cm et L = 6cm)?

Conservation du dbit Q = Q' P ' P

=R 'R=L '

La '

a

4

=0,51,24 .106=6,2 .105

Quelle est la perte de charge si on injecte 2cm3 d'un antibiotique assez visqueux ( = 0,05 Pa.s) en t = 10s ?

Ptot = P + P' P' car P' = 6,2.105 P

Q= dVdt=2.107 m3 . s1 et R '=

8 La4

=4,7.1011 Pa.s.m3

P '=Q' R '=9,4 .104 Pa=0,94atm

Avec quelle force doit-on appuyer sur le piston de rayon a pour injecter le produit dans un muscle o la pression vaut environ 20 mm d'Hg ?Ftot = SP = PaP = Patm + Pmuscle + P' = 105 + 2630 + 9,43.104 = 1,97 atmMais F = Patm a fournie par la pression de l'air ambiant donc la force du doigt de l'infirmire vaut:Fdoigt = (Pmuscle + P')a = (0,97.105)10-4 = 30,5 N Autre exemple: perte de charge dans un capillaire:

Donnes: a = 3m et L = 1mm ; = 3.10-3 Pa.s

Quel est le dbit du capillaire ?

R=8 La4

=9,4 .1016 Pa.s.m3

Q=PR

=2,1 .104 m3 . s1=0,08 mm3 . h1

Combinaison des rsistances:

On peut associer des rsistances en srie.

P=P i=Rtot Q Avec Rtot= Ri=R1R2...RnMais elles peuvent aussi tre associes en parallle.

Q=Q 1Q2 Et P1=P2=R tot Q

avec 1Rtot= 1

Ri=

1R1

1R2... 1Rn

Exemple de la stnose:

R=8 Lr 4

R ' R

= rr

' 4

= 2rr

4

=16

R '=8 L r ' 4

Si l'artre est saine: Rtot = 9RDans le cas de l'artre stnose: R'tot = 4R + R' + 4R = 8R + 16R = 24R

Calcul des pertes de charges:

P ent=P sort9RQ

P ent=P ' sort24RQ

Perte de charge sanguine

Environ 60% de perte dans les artriolesEnviron 10% de perte dans les capillaires (le Q est plus petit car les capillaires sont en parallle)

Ces notions seront revues dans un cours de physio du second semestre

Bnfices du paralllisme:

aorte a = 1cm, L = 10cm dbit Q = 10-4 m3.s-1capillaires a' = 3m, L' = 1mm, Q' = 2.10-14 m3.s-1

Rapport des rsistances: (sans considration du paralllisme)

R ' R

=a ' a

4

L ' L

=1,2 .104102=1,2.1016 inacceptable, le sang serait bloqu

Nombre de capillaires:

Q= Qi=NQ' N= QQ ' =104

2.1014=5.109

Rsistance quivalente du rseau de capillaires parallles:

1Rtot

= 1

Ri=

NR ' =

5.109

R' Rtot=2.10

10 R '

on observe une forte chute de la rsistance quivalente; la perte de charge est alors acceptable RtotR=2.1010 R'

R=2,4 .106

Le reste des diapos du prof ressemble plus des diapos de physio (les rjouissances du second semestre :p). Elles ne peuvent pas faire l'objet de questions au concours en tant que telles. On peut s'en servir pour illustrer les exos (ils aiment bien a en mdecine, de dire telle maladie, telle artre etc...) mais en vrit une fois qu'on sait les formules et le raisonnement, on s'en fout royalement que le fluide a soit du sang ou de la vodka ^^Il me reste qu' vous souhaiter bon courage pour votre concours, bossez bien votre physique, a rapporte gros au concours!

Amicalement

Anne - Ccile

Ces cours ainsi que l'intgralit des cours de P1 sont disponibles gratuitement l'adresse suivante : http://coursp1bichat-larib.weebly.com