Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge · Viscosité d’un fluide...

Viscosité d’un fluideObservations - ConclusionsFormalisation

Régimes d’écoulementPertes de charge régulières

Notion de pertes de charge régulièresPertes de charges linéaires dans une canalisation à section

constanteCoefficient de pertes de charges linéairesAbaques de Nikuradze

Pertes de charge singulièresEquation de Bernoulli généralisée

Fluides réels, écoulements permanents et pertes de charge

Viscosité d’un fluideObservations – conclusions.

• L'eau, l'huile, le miel coulent différemment : l'eau coule vite, mais avec des tourbillons ; le miel coule lentement, mais de façon bien régulière.

observations

•La chute d'un parachutiste se fait à vitesse constante, contrairement à la loi de la chute libre.

•La pression d'un liquide réel diminue tout au long d'une canalisation dans laquelle il s'écoule, même si elle est horizontale et de section uniforme, contrairement au théorème de Bernoulli.

• Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

conclusions

•Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement

Viscosité d’un fluideFormalisation.

La viscosité correspond à la résistance du fluide vis-à-vis de sa mise en mouvement. C’est une réponse à une contrainte de cisaillement.

vr FA

y

x

h

AF est une contrainte h

vrest une gradient de vitesse

AF

hvr

plastique

newtonien

épaississant

parfait

On généralise cette notion au niveau infinitésimal

xyAF τ→ y

vhv

∂∂

→r

On définit ainsi la viscosité dynamique, ou absolue

yvy

v xyxy

∂∂

=⇔∂∂

=τ

µµτ

C’est une sorte de module d’Young ou de module de Coulomb [rappelez vous les milieux continus].

Pour un fluide parfait, µ=?

O2(20 °C)

H2 (20 °C)

glycérol (20 °C)

huile d'olive (20 °C)

eau (100 °C)

eau (20 °C)

eau (0 °C)

Fluide

1,95·x 10–5

0,860·x 10–5

≅ 1,0

≅ 100·x 10–3

0,2818·x 10–3

1,002·x 10–3

1,787 x 10–3

µ (Pa·s)

L’unité de µ est le Pa.s ou le Poiseuille []=Pl.Elle dépend de la température et de la pression.

La viscosité des liquides diminue beaucoup quand T augmente.

On définit aussi la viscosité cinématique

( )yvxy

∂∂==

/ρτ

ρµν

Alors [ν]=m2/s

Régimes d’écoulement

On visualise un filet coloré dans un tube de verre.[expériences de Reynolds]

1 – le filet reste net et régulier, parallèle à l’axe du tube : l’écoulement est laminaire.

2 – le filet devient irrégulier, mais ne se rompt pas : l’écoulement est intermédiaire.

3 – le filet oscille, vibre, se rompt : l’écoulement est turbulent.

Aspects quantitatifs

On définit le nombre de Reynolds par

µρ

νDD vvRe ==

L’expérience montre qu’on peut séparer les différents régimes d’écoulement par :

Re < 2000 : le régime est laminaire2000 < Re < 3000 : le régime est intermédiaire

Re > 3000 : le régime est turbulent

La transition entre ces régimes est progressive.

vitesse moyenne

viscosité cinématiquediamètre de la conduite

Un exemple : les écoulements industriels de l’eau.

Pour l’eau, à 20°C, µ = 1,002·x 10–3

Que vaut la viscosité cinématique?Quelle doit être le diamètre des conduites et lavitesse du fluide pour que les écoulements soient laminaires?

1263

3

s.m101010 −−

−

===ρµν

36- 10.2102000vD2000vRe −=×<⇔<=νD

5 m

1 m

100 mm

10 mm

Diamètre de la canalisation

0,0004<1 mm/s !...

0,002 m/s

0,02 m/s

0,2 m/s

Vitesse d’écoulement

Ce régime d’écoulement est très rare. Ce n’est le cas que si le fluide est très visqueux.

Pertes de charge régulièresNotion de pertes de charge régulières

Bilan d’énergie mécanique entre deux points d’une canalisation

1 2

11

21

2z

gp

gv

++ρ 2

22

2

2z

gp

gv

++ρ

Si Bernoulli : 22

22

11

21

22z

gp

gvz

gp

gv

++=++ρρ

On tient compte de la viscosité, l’énergie mécanique diminue

1222

22

11

21

22Hz

gp

gvz

gp

gv

∆+++=++ρρ

A priori, les pertes de charges sont des fonctions de z.Peu satisfaisant en pratique → on globalise.

Notion de vitesse moyenne ou vitesse débitante

SQvm =

1222

22

211

21

1 22Hz

gp

gvz

gp

gv mm ∆+++=++

ρα

ρα

et on écrira

1222

22

211

21

1 22Hz

gp

gvz

gp

gv mm ∆+++=++

ρα

ρα

Sens de α?

dx

)(zvr

2

21 dmvEc =

dtdszvdxdsdVdm )(ρρρ =×==

( ) dsdtvdsEc3

21 ρ=

( ) ∫∫∫∫ ==SS

cc dsdtvdsEE 3

21 ρ

dtSvVvmvE mmmc322

21

21

21 ραραα ===

( ) ∫∫∫∫ ==SS

cc dsdtvdsEE 3

21 ρ

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S m

dsvv

S

31α

Pour un fluide parfait, α=1Pour un écoulement laminaire, α=2 [on fera le calcul explicite]

Pour un écoulement turbulent, α≅1.

Ces résultats sont-ils étonnants, prévisibles?

parfait [α=1] laminaire [α=2] turbulent [α≅1]

couche limiteOn fera le calcul expliciteun peu plus loin.

1222

22

211

21

1 22Hz

gp

gvz

gp

gv mm ∆+++=++

ρα

ρα

Pour conclure, on peut commencer àgénéraliser l’Equation de Bernoulli pour les

fluides réels, avec pertes de charge régulières.

Peut on être quantitatif dans des cas particuliers?[c’est-à-dire, peut on calculer ∆H?]

Pertes de charge régulièresPertes de charge régulières dans une

canalisation à section droite.

L

S χ

On considère que l’effet de la viscosité est un effet d’entraînement de la canalisation par le fluide.

pressionfrottement FF =

Régime permanent

pression

frottements visqueux

Forces de frottement :

LF ××= χτfrottement

Forces de pression :

21pression FFF −=

ds1Fd 2Fd

( ) dszpdszpzpFdFd )()()( 2121 δ=−=−

[τ=contrainte le longde la paroi]

1222

22

211

21

1 22Hz

gp

gvz

gp

gv mm ∆+++=++

ρα

ρα

La géométrie de la canalisation implique* débit constant, donc vitesse moyenne aussi* α constant le long de la canalisation.

On en déduit :

12)( Hgzp ∆= ρδ

12pression )( HgSzpFS

∆== ∫∫ ρδ

12HgSL ∆= ρτχ

Expérimentalement, on observe que2

2m

fvCρτ =

où Cf est un coefficient sans dimension. On obtient pour la perte de charge :

12

2

2HgSLvC m

f ∆= ρχρ

SL

gvCH m

fχ

2

2

12 =∆

En hydraulique, on appelle S/χ le rayon hydraulique RH et par définition, on note DH=4RH le diamètre hydraulique.

Remarque : pour une canalisation circulaire, RH=R/2 et DH=D.

gv

DLC

SL

gvCH m

fm

f 24

2

22

12 ==∆χ

Pertes de charge régulièresCoefficient de pertes de charge linéaires.

Il est d’usage de noter pour les pertes de charge. g

vDLH

2

2

12 Λ=∆

v=Q/S est la vitesse moyenne, L la longueur de l’écoulement. Λ s’appelle le coefficient de pertes de charge régulières; il est fonction du régime de l’écoulement. Généralement, seule une détermination expérimentale de Λ est possible.

réservoir

∆p

L

∅=k

∅=D

Expérience de Nikuradze : Reynolds + modification de l’état de la canalisation en collant des grains de sable.

Pertes de charge régulièresAbaques de Nikuradze.

• In general, friction factor

– Function of Re and roughness

• Laminar region

– Independent of roughness

• Turbulent region– Smooth pipe curve

• All curves coincide @ ~Re=2300

– Rough pipe zone• All rough pipe curves flatten

out and become independent of Re

Re64

=f

( )Blausius

Re 4/1kf =

Rough

Smooth

Laminar Transition Turbulent

Blausius OK for smooth pipe

)(Re,DeFf =

Re64

=f

2

9.010Re

74.57.3

log

25.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

De

f

Abaques de Nikuradze [diagramme de Moody]

La géométrie des écoulements peut être singulière

gvKH m

2

2

=∆

K est sans dimensionIl se rapporte à l’endroit où on mesure la vitesse moyenne!

1 2

gvKH2

21

112 =∆g

vKH2

22

212 =∆

∑∑ +Λ+++=++j

jj

i

i

i

ii

mm

gv

Kg

vDLz

gp

gvz

gp

gv

2222

22

22

22

211

21

1 ρα

ρα

Généralisation de l’équation de Bernoulli, avec pertes de charges régulières et singulières.

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