FixQuali - univ-smb.fr · 2011. 12. 8. · Isostatisme Notions de degrés de liberté Un solide...

FixQuali

© Daniel DURET 1/17

Objectifs de FixQuali Si l’on prend une pièce et qu’on la monte plusieurs fois de suite sur le montage de contrôle ou

d’usinage, il faut que la pièce soit toujours positionnée de la même manière (en translation et

en orientation). Si ce n’est pas le cas, cela peut provenir principalement :

de la déformation de la pièce,

du frottement qui interrompt le glissement pour venir en appui,

du système d’ablocage engendrant des efforts qui vont faire bouger la pièce lors du

serrage (pour un montage d’usinage, il faut rajouter les efforts de coupe),

et du choix « judicieux » des surfaces (ou points) d’appui réalisant l’interface « pièce –

montage ». Plus particulièrement le nombre de points d’appui ne doit pas être

surabondant.

FixQuali a comme objectifs d’essayer d’apporter une aide pour améliorer l’incidence des

deux derniers points.

Isostatisme

Notions de degrés de liberté

Un solide dans l’espace (non contraint) peut se déplacer en translation (3 composantes de

déplacement) et en rotation (3 composantes angulaires). On dira qu’il a six degrés de liberté.

Dans notre cas particulier il s’agit de caractériser un ensemble de positions dans un voisinage

d’une position initiale cible. Comme il s’agit de micro déplacements, la transformation

géométrique permettant de passer de la position cible à la position réelle (ou réciproquement)

peut être modélisée par un torseur (linéarisation) appelé « torseur de petits déplacements 1»

(les composantes sont considérées comme des infiniment petits du premier ordre).

0

/

w

v

u

DO

O

O

O

RS

O

D

Mesurer le déplacement, revient à connaître les six grandeurs scalaires correspondantes.

La qualité d’un posage sera caractérisée par la mesure de ces six grandeurs scalaires (le lieu

d’expression doit être clairement indiqué). Cette mesure « multicritères » va être fortement

influencée par le choix des points d’appuis réalisant « l’interface » entre la pièce et le

montage.

Etude de la liaison « montage – pièce »

L’objectif est de créer une liaison mécanique complète entre la pièce et le montage de

contrôle. Le plus souvent celle-ci sera réellement réalisée par six « petites surfaces de

contact » matérialisant les six contacts ponctuels. Dans le cas de surfaces de contact

différentes (plan sur plan par exemple) on pourra toujours imaginer le nombre de liaisons

ponctuelles équivalentes (exemple, trois points pour un appui plan).

Nous allons prendre comme exemple conducteur le posage du tri axes suivant :

1 P. BOURDET et A. CLEMENT, "Controlling a complex surface with a 3 axis measuring machine". Annals of

CIRP, vol 25/1/1976 pages 354-361

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La prise de pièce se fait sur les 3 axes rectifiés à l’aide de 3 vés courts (réalisation d’une

liaison de Boys).

D

Angle

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Modélisation à l’aide des coordonnées plückériennes d’une droite

Partant d’un point de contact entre la pièce et le montage et après avoir défini le plan tangent

nous pouvons construire la droite normale à ce plan et passant par le point de contact.

Si nous associons un repère ( ⃗ ⃗ ⃗) à l’ensemble « machine – montage », nous pouvons

définir chaque droite normale par ses coordonnées pluckériennes2 :

où ⃗⃗ est un vecteur unitaire de (Di). Partant des coordonnées de :

zi

yi

xi

i

n

n

n

n

i

i

i

i

z

y

x

MO

On calcule le produit vectoriel : iO

niMOg

Les coordonnées pluckériennes sont définies par les six grandeurs (composantes) scalaires

suivantes :

xiiyiiOzi

ziixiiOyi

yiiziiOxi

zi

yi

xi

O

ii

i

Onynxg

nxnzg

nznyg

n

n

n

nMO

n

i

..

..

..

P

2 Julius Plücker (1801-1868) : mathématicien et physicien allemand.

(Di)

Mi

Pièce

Montage

�⃗�

�⃗�

𝑧 (Di)

Mi

�⃗⃗�

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Indicateur d’isostatisme

Partant des six normales, on construit une matrice 6x6. De cette matrice, on va calculer le

déterminant associé. Si ce déterminant est nul, cela veut dire que le rang du système n’est pas

égal à 6, le mécanisme conserve des degrés de liberté, il ne joue pas son rôle de montage.

Nous avons proposé de retenir comme premier indicateur de qualité la valeur de ce

déterminant3. Plus la « base géométrique » est importante, plus la valeur du déterminant sera

importante. Des essais de répétabilité de posage nous ont montré que cet indicateur était

nécessaire mais non suffisant pour bien déterminer la qualité du posage. C’est pourquoi nous

développerons dans la suite un autre indicateur de qualité complémentaire.

Exemple de calcul de déterminant avec FixQuali

Avec un rayon de position des vés de 40 mm et un angle de vé de 90° nous obtenons pour les

six points de contact (six normales) :

3 Daniel DURET – Qualité de la mesure en production – Eyrolles Paris 2008

Pt 1 Pt 2 Pt 3 Pt 4 Pt 5 Pt 6

X 40.000 40.000 -20.000 -20.000 -20.000 -20.000

Y 0.000 0.000 34.641 34.641 -34.641 -34.641

Z 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

nx 0.000 0.000 -0.612 0.612 0.612 -0.612

ny 0.707 -0.707 -0.354 0.354 -0.354 0.354

nz 0.707 0.707 0.707 0.707 0.707 0.707

FixQuali


Calcul des normales (cosinus directeurs)

Soit la saisie sur FixQuali (page suivante). En cliquant sur Aide/Cosinus directeurs

normales, en définissant les angles Ψ et θ, puis sur calcul, on obtient directement les

composantes de la normale. Si cela vous convient, il suffit de transférer à la bonne normale.

Position

Pour les coordonnées du point, le point de contact n’est pas strictement obligatoire, un point

de l’axe est suffisant (propriété des torseurs de type glisseur).

Dans le cas de positions complexes à déterminer, il peut être plus facile de partir des

coordonnées cylindriques, d’obtenir les coordonnées cartésiennes, puis de les transférer

(Aide/Transformateur de coordonnées) :

Nous pouvons utiliser de même un transformateur de coordonnées à partir des coordonnées

sphériques :

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Edition des tableaux

On peut modifier par le menu Affichage la hauteur des tableaux (la mise en page peut

également être modifiée en déplaçant les séparateurs).

Si les normales sont saisies directement (sans aide), on peut donner simplement un vecteur

normal non unitaire. L’action sur ce bouton :

recalcule les normales,

calcule le déterminant qui permet de vérifier l’isostatisme (valeur absolue) et donne

une mesure de la « stabilité » du montage (bonne assise),

détermine un indicateur appelé « conditionnement euclidien K» que nous définirons

par la suite (sensibilité des efforts normaux de contact à une variation d’effort de

serrage),

donne un indicateur global de qualité, permettant d’affiner une solution technique

(c’est le produit des deux indicateurs précédents).

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Rappel : le calcul du déterminant est celui de la matrice des coordonnées plückériennes.

Le déterminant est égal exactement à 432000, la différence provient de l’arrondi des valeurs saisies.

Visualisation graphique L’affichage par défaut n’est peut-être pas celui que vous désirez. Une action sur permet

d’avoir un pré centrage correspondant à un zoom total. Vous pouvez déplacer le repère en

cliquant sur la figure et en déplaçant la souris en maintenant appuyé le bouton gauche.

La mollette de la souris permet de zoomer. Par défaut, c’est la zoom position graphique qui

est retenu . Par exemple, pour les normales, actionnez .

Pt 1 Pt 2 Pt 3 Pt 4 Pt 5 Pt 6

0.000 0.000 -0.612 0.612 0.612 -0.612

0.707 -0.707 -0.354 0.354 -0.354 0.354

0.707 0.707 0.707 0.707 0.707 0.707

0.000 0.000 24.495 24.495 -24.495 -24.495

-28.284 -28.284 14.142 14.142 14.142 14.142

28.284 -28.284 28.284 -28.284 28.284 -28.284

xiiyii

ziixii

yiizii

zi

yi

xi

O

ii

i

Onynx

nxnz

nzny

n

n

n

nMO

n

i

..

..

..

P

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Vous pouvez choisir d’autres vues, par exemple une projection dans le plan XY donne :

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Conditionnement K Nous recherchons un indicateur qui prenne en compte l’aspect « efforts de serrage ».

Si nous faisons l’équilibre statique de la pièce, nous avons les actions du montage sur la pièce

∑ ⃗⃗⃗

et par exemple un torseur d’actions extérieures modélisé par trois « glisseurs » ( ⃗⃗).

Pour simplifier les équations suivantes, considérons que les 3 glisseurs sont réduits en un seul

glisseur. Dans l’exemple logiciel, pour la suite, nous saisirons 3 torseurs différents et

paramétrables individuellement.

RnFi

ii

CnFMO

i

iii

Nous retrouvons un lien avec les équations précédentes :

xPyP

zPxP

yPzP

z

y

x

RyRx

RxRz

RzRy

R

R

R

F

F

F

F

F

F

PlückCoord

6

5

4

3

2

1

_

soit :

xPyP

zPxP

yPzP

z

y

x

RyRx

RxRz

RzRy

R

R

R

PlückCoord

F

F

F

F

F

F

1

6

5

4

3

2

1

_

On constate que dans le calcul des Fi , l’angle du vé devient un facteur important (effet de

coin), alors que l’augmentation du diamètre n’a pas d’incidence. Il est probable que cette

augmentation d’effort, combinée avec de petits défauts géométriques locaux, engendrent des

déformations non homogènes ( )( ii fF ).

La variabilité des calculs des efforts résultants de contact est étroitement liée au

conditionnement de la matrice de passage.

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Nous proposons, dans un premier temps, de calculer le pseudo conditionnement « euclidien »

K de la matrice « [Coord_Plück] » qui utilise la norme de Frobenius, comme un indicateur de

qualité de montage4 :

FFF PlückCoordPlückCoordK

1__

i j

ijFCpPlückCoord 2_

Nous obtenons comme valeur de KF, pour ce type de montage :

Un calcul plus fin est obtenu avec la norme matricielle (cond2), norme subordonnée à la

norme vectorielle euclidienne classique :

2

1

2__2

PlückCoordPlückCoordcond

Comme [Coord_Plück] est une matrice carrée inversible, on montre que :

0

...0 : __ de propres valeursles avec

)_(2

61T

1

6

i

PlückCoordPlückCoord

PlückCoordcond

Une bonne qualité de montage correspond à un grand déterminant et un

conditionnement petit

Remarque : cet indicateur est globalement cohérent avec les résultats expérimentaux

observés4 (mesure de la position de la pièce sur MMT, avec 100 montages – démontages),

à savoir une plus faible variabilité pour un vé de 120° et un grand rayon.

4 An investigation of indicators for controlling the quality of a fixture - Duret D., Sergent A., Bui-Minh Hien -

SYMME Laboratory, University of Savoie - International Journal of Metrology and Quality Engineering –

Volume 2 – 27/09/2010

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Calcul des efforts normaux de contact

Après avoir saisi les 3 glisseurs (dans cet exemple, il n’y a pas de moment). Nous obtenons :

Une action sur le bouton permettra de calculer les composantes des normales :

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Dans cet exemple par le menu affichage, on a demandé de ne pas afficher les normales pour

ne pas surcharger la figure (rappel : zoom effort ).

Par symétrie, on obtient les mêmes valeurs d’efforts normaux. Si l’affichage est en rouge pour

une composante, cela veut dire que le contact devrait être bilatéral pour maintenir la position.

Cela engendrera probablement un déplacement.

Sans être dans ce cas extrême, on peut voir l’influence d’une variation d’effort ou/et d’un

déplacement du point d’application :

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Efforts de coupe

Dans la gamme du tri axes, après avoir semi fini les trois axes, on réalise un pré perçage. Pour

déterminer les efforts correspondants, on peut s’aider des utilitaires de coupe.

Perçage5

Nous reportons l’effort de pénétration et le couple de perçage dans la colonne correspondant

au torseur 4. Une action sur permet de calculer les composantes des efforts normaux.

Remarque :

attention aux signes des efforts et couples extérieurs

avant de lancer le calcul des efforts normaux, bien vérifier qu’aucune cellule n’est en

mode édition (sortir de la cellule modifiée).

5 Calcul simplifié inspiré de la méthode développée dans « Guide du perçage au foret hélicoïdal – CETIM »

FixQuali


Tournage6

Toujours sur la même pièce, imaginons un alésage d’ébauche :

6 Calcul simplifié inspiré de la méthode développée dans « Machining Data Turning - SANDVIK Coromant »

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On voit que dans ce cas, certains efforts normaux apparaissent en rouge. Cela veut dire que si

les efforts de serrage sont provoqués par des ressorts (efforts constants), il y a effectivement

risque de décollage. Si le serrage impose une position fixe, cela revient à dire que l’effort de

serrage réel est beaucoup plus grand que ce que l’on avait prévu initialement.

Vue latérale des 3 vés :

avant modification du serrage (efforts identiques de 200 N)

FixQuali


Après modification du serrage (un effort T3 de 1000 N)

Effort de fraisage7

Les efforts en fraisage sont complexes à déterminer, nous n’avons retenu ici qu’une

estimation d’un effort tangentiel maximum. L’épaisseur du copeau variant énormément en

fraisage, cela provoque des vibrations. Une étude dynamique est sans aucun doute plus

judicieuse. De plus dans le cas du surfaçage, la fraise est supposée centrée.

7 Calcul simplifié inspiré de la méthode développée dans « Manuel de fraisage - SANDVIK Coromant »

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Analyse des petits déplacements Les petits déplacements seront représentés par un champ de moments (concept de torseur de

petits déplacements). . Le choix « Influence défaut de contact »

dans le menu « Petits déplacements » ouvre la fenêtre suivante :

Par exemple, imaginons un copeau au niveau de l’appui 3 de 0,1 mm, cela donne le torseur de

petits déplacements suivant (les rotations sont en radians, c'est-à-dire sans dimension):

Si l’on veut connaitre le petit déplacement en un autre point P (exemple : coordonnées 50, 5,

15), nous obtenons :

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