Finance :

Introduction

Cours 5

Sujets à aborder Valeur actuelle d’un actif Actifs et rendements Valeur d’une obligation Critère de la Valeur Actuelle Nette (VAN) Définition du risque Choix des consommateurs pour les actifs

risqués Détermination des taux d’intérêt

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Valeur actuelle Détermination de la valeur aujourd’hui

d’un flux de revenus futurs. – La valeur future doit être discomptée du taux

d’intérêt, par :

• P1=P0(1+r), avec : r = taux d’intérêt

• P2 = P1(1+r)= P0(1+r)(1+r)

Donc : P0 = P1 = P2

(1+r) (1+r)2

– Plus généralement, la valeur actuelle d’un paiement V dans n périodes s’écrit :

• V0=Vn / (1+r)n

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Valeur actuelle

Choix entre deux flux de paiement

Flux 1

Flux 2

Aujourd ’hui T1 T2

100 100 0

20 100 100

VA (flux 1) = 100 + 100/(1+r) + 0/(1+r)2

VA (flux 2) = 20 + 100 /(1+r) + 100/(1+r)2

La valeur actuelle dépend du niveau de taux d ’intérêt.

Si r = 5% ; VA(flux1) = 195.24 < VA (flux 2) = 205.95Si r = 20% ; VA (flux1) = 183.33 > VA(flux2) = 172.78

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Valeur actuelle

Plus le taux d’intérêt est grand, plus le présent est important.

Applications de la valeur actuelle:– Valorisation des pertes de gains futurs

en cas d’accidents

– Valorisation d’une entreprise en fonction de ses bénéfices futurs

– Valorisation d’actifs financiers

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Actif– Bien qui produit un flux de revenus ou un

service à son propriétaire. • Ex : action, obligation, immeuble, entreprise.

Actif risqué– Bien dont une partie au moins des revenus

est aléatoire. Actif sans risque

– Bien dont le flux de revenus est quasi certain (en temps et en valeur).

• Ex. certificats de trésorerie à 3 mois.

Valorisation d’actifs

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Rendement d’un actif – Somme des revenus générés, rapportés à

l’investissement de départ. • Gain total : sommes revenus explicites

(dividendes, loyers) et implicites (gain ou perte en capital)

• Ex. pour une action: R = D + (P1 - P0) / P0 où D = dividende, P0= prix d’achat, P1= prix de vente

Rendement réel – Gain nominal,moins le taux d’inflation.

Valorisation d’actifs

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Valeur d’une obligation

Prix d’une obligation = valeur actualisées de ses flux de revenus. Ex.– Coupons = 100 € / an pendant 10 ans.– Principal = 1,000 € dans 10 ans.

10102 )1(

1000€

)1(

100€...

)(1

€100

)(1

€100 P

RRRR

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Valeur d’une obligation

Perpétuités– Une perpétuitié est une obligation sans

remboursement du principal, uniquement constituée du paiement des coupons.

Même principe applicable pour la valorisation d’un projet d’investissement.

RRR

Coupon...

)(1

Coupon

)(1

Coupon P

2

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Critère de la VAN VAN (Valeur actuelle nette) d’un projet

= somme de ses revenus futurs actualisés, moins la somme de départ.

0 VAN siInvestir

similaire. risque dement investisseun d'

capitaldu éopportunitd'coût ion actualisatd' taux

)1()1()1(- VAN

10)(n annél' de profits

investi initial capital

1010

221

n

R

RRRC

n

C

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Soit une société électrique - choix de construction d’une usine à 10 MM EUR:– production 8,000 moteurs/mois pdt 20 ans

• Coût = 42.50 € chacun• Prix = 52.50 €• Profit =10 €/moteur donc 80,000 €/mois et

960,000 € / an• L’usine est opérationnelle pendant 10 ans,

avec une valeur résiduelle de 1 MM €

– La compagnie doit elle investir?

Critère de la VAN

Cours 5

Hypothèse : toute l’information est connue (pas de risque)– R = taux des obligations d’état

%5.7*

)1(

1

)1(

96....

)(1

.96

)(1

.96 10- VAN

20202

R

RRRR

Critère de la VAN

R* est le taux égalisant la VAN à zéro. R* est le taux de rendement interne du projet.

Cours 5

Valeur actuelle nette de l’usine

Taux d’intérêt, R0 0.05 0.10 0.15 0.20

-6

VA

N(m

illi

on

s €)

-4

-2

0

2

4

6

8

10

R* = 7.5

Cours 5

Ajustement pour le risque

Détermination du taux d’actualisation dans un environnement incertain:– On ajuste en ajoutant une prime de risque

au taux d’actualisation du projet, par rapport au taux sans risque

• Si les investisseurs sont averses au risque, alors les flux futurs valent moins que s’ils étaient certains.

– Mesure de la prime de risque?

Cours 5

Définition du risque Risque d’un actif

– Ecart-type entre son rendement attendu et son rendement observé.

Des rendements élevés sont associés à des risques accrus.

Les investisseurs averses au risque doivent effectuer un trade-off entre risque et rendement.

Cours 5

Historique des rendements (1926-1999)

Actions (S&P 500) 9.5 20.2

Obligations Corporate LT 2.7 8.3

Bons du Trésor US 0.6 3.2

Rdt réel (%) Ecart-type (%)

Cours 5

Définition du risque

Risque diversifiable vs. non diversifiable– Risque diversifiable : peut être éliminé en

investissant dans de nombreux projets différents, ou en détenant des actions de nombreuses companies différentes.

– Risque non diversifiable : ne peut pas être éliminé, et doit donc être inclus dans la prime de risque.

Cours 5

Définition du risque

Mesure du risque non diversifiable : le modèle CAPM (Capital Asset Pricing Model)– Le CAPM prévoit que la prime de risque

attachée au rendement d’un actif est proportionnelle à la prime de risque du marché, d’un facteur bêta reflétant la covariance de l’actif avec le marché.

Cours 5

Définition du risque

CAPM (Capital Asset Pricing Model) :– Soit un investissement sur l’ensemble du

marché des actions. On a:• rm = rendement attendu du marché des actions

• rf = taux sans risque

• rm - rf = prime de risque, rémunérant le risque

non diversifiable

– La prime de risque d’une action i vaut :

)( fmfi rrrr

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Définition du risque Bêta

– Mesure la sensibilité de la valeur de l’actif aux mouvements du marché.

m

iim

mm

miim

m

imi

2

– Si vaut 1, l’action n’est pas plus volatile que le marché, et la prime de risque du titre vaudra celle du marché.

– Si vaut 2, la prime de risque de l’action vaudra le double de celle du marché.

Cours 5

Définition du risque

Avec le bêta, on peut donc déterminer le taux d’actualisation correct d’un actif, pour le calcul de sa valeur présente :

)( ion actualisatd'Taux fmf rrr

Cours 5

Définition du risque

Détermination de bêta– Actions

• Estimée statistiquement pour chaque firme : régression OLS de ri sur (rm - rf)

– Projets d’investissements• Coût du capital de la société, (si le projet est

représentatif de l’ensemble des activités), à savoir : moyenne pondérée du rendement sur actions et du coût de la dette.

Cours 5

Décisions d’investissement Remarque : les consommateurs peuvent

opérer le même raisonnement lors de l’achat d’un bien durable.– Comparent les bénéfices futurs avec le

coût d’achat présent. – Ex. coûts et bénéfices de l’achat d’une

voiture• S = bénéfice global apporté par une voiture

(utilité, prix des transports en communs, taxis…)• E = coût d’entretien d’une voiture, par an• Prix d’achat de la voiture : 12,000 €• Valeur de revente : 4,000€ dans 6 ans

Cours 5

Critère de la VAN :

662 )1(

000,4

)1(

)(...

)1(

)(

)1(

)()(000,12 VAN

RR

ES

R

ES

R

ESES

Décisions d’investissement

La décision d’achat dépendra donc de :– S, dans tous ses paramètres– E– R

Quel R choisira le consommateur?

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Choix de consommation en actifs risqués

Un investisseur a le choix entre des actions et de la monnaie– Rf = taux sans risque de la monnaie

• Le rendement attendu égale le rendement observé

– Rm = rendement attendu sur les actions

– rm = rendement observé sur les actions

– On a Rm > Rf, sinon tout le monde choisirait l’épargne.

Trade-off entre risque et rendementTrade-off entre risque et rendement

Cours 5

Choix de consommation en actifs risqués

Composition du portefeuille :

b = fraction investie en actions

(1-b) = fraction investie en monnaie

Rendement attendu: moyenne pondérées des rendements des actifs

– Rp = bRm + (1-b)Rf

Risque: Porportionnel à l’actif risqué

mp b

Cours 5

Choix de consommation en actifs risqués

Exemple:

– Soit Rm = 12%, Rf = 4%, et b = 0.5

– Rp = 0.5(12%) + 0.5(4%) = 8%

f = 0 ; m = 20%

p = 0.5 * 20% = 10%

Cours 5

Choix de consommation en actifs risqués

Choix de b pour l’investisseur ?

En réarrageant les équations:

fmp RbbRR )1(

)( fmfp RRbRR

mpb /

Cours 5

Choix de consommation en actifs risqués

On obtient :

pm

fmfp

RRRR

)(

– Cette équation est la droite de budget décrivant le trade- off entre le risque du portefeuille et son rendement attendu.

– Il s’agit d’une droite car Rf, Rm, et m sont supposés constants

– La pente vaut : (Rm- Rf)/m : le prix du risque en termes de rendement supplémentaire.

Cours 5

Choix de consommation en actifs risqués

0

Rendement Rp

Rf

Droite de budget

m

Rm

R*

U2U1

U3

Risque, p

A chaque R* correspond un b, une proportion d ’actifs risqués.Chaque consommateur aura un optimum différent, et un choix d ’investissement différent.

Cours 5

Rf

Droite de budget

Choix de consommation en actifs risqués

0

Investisseur A plus averse au risque que l’investisseur B.Au-delà de m : plus de 100% en actifs risqués: “achat à la marge”

UA

RA

A

UB

RB

m

Rm

B

Rendement Rp

Risque, p

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S

Les ménages apportent des fonds (épargnent) pour consommer plus à

l’avenir. Plus le taux d’intérêt est élevé, plus ils épargnent.

Détermination des taux d’intérêts

Quantité de fonds sur le marché

Taux d’intérêt R

DT

R*

Q*

DT = DH + DF et le taux d’équilibre est R*DH

DF

DH et DF, courbes de demande de fonds des ménages et des firmes.

Cours 5

Changement du taux d’équilibre

S

DT

R*

Q*

En récession, les taux chutent suite à la baisse de la demande de fonds.

D’T

Q1

R1

Quantité de fonds sur le marché

Taux d’intérêt R

Cours 5

Changement du taux d’équilibre

S

DT

R*

Q*

Quand le gouvernement creuse un déficit, les taux ont tendance à monter suite à l’accroissement de la demande de financement.

Q2

R2

D’T

Quantité de fonds sur le marché

Taux d’intérêt R

Cours 5

Changement du taux d’équilibre

S

DT

R*

Q*

Quand la banque centrale accroît l’offre de monnaie, les taux ont tendance à diminuer.

S’

R1

Q1

Quantité de fonds sur le marché

Taux d’intérêt R