Finance Computationnelle

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2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsPRESSES DE LUNIVERSIT DU QUBECLe Delta I, 2875, boulevard Laurier, bureau 450Qubec (Qubec) G1V 2M2Tlphone : (418) 657-4399 Tlcopieur : (418) 657-2096Courriel : [email protected] Internet : www.puq.caDiffusion / Distribution :CANADA et autres paysDistribution de livres Univers s.e.n.c.845, rue Marie-Victorin, Saint-Nicolas (Qubec) G7A 3S8Tlphone : (418) 831-7474 / 1-800-859-7474 Tlcopieur : (418) 831-4021SUISSEServidis SA5, rue des Chaudronniers, CH-1211 Genve 3SuisseFRANCEAFPU-DiffusionSodisLa Loi sur le droit dauteur interdit la reproduction des uvres sans autorisation des titulaires de droits. Or, la photocopie non autorise le photocopillage sest gnralise, provoquant une baisse des ventes de livres et compromettant la rdaction et la production de nouveaux ouvrages par des professionnels. Lobjet du logo apparaissant ci-contre est dalerter le lecteur sur la menace que reprsente pour lavenir de lcrit le dveloppement massif du photocopillage .BELGIQUEPatrimoine SPRL168, rue du Noyer1030 BruxellesBelgique 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs2006Presses de lUniversit du QubecLe Delta I, 2875, boul. Laurier, bur. 450Qubec (Qubec) Canada G1V 2M2FRANOIS-RIC RACICOTRAYMOND THORETAvec la collaboration deCHRISTIAN CALMS ET JUAN SALAZAR 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs1 2 3 4 5 6 7 8 9 PUQ 2006 9 8 7 6 5 4 3 2 1Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs 2006 Presses de lUniversit du QubecDpt lgal 3e trimestre 2006Bibliothque nationale du Qubec / Bibliothque nationale du CanadaImprim au CanadaCatalogage avant publication de Bibliothque et Archives CanadaRacicot, Franois-ric Finance computationnelle et gestion des risques Comprend des rf. bibliogr. ISBN 2-7605-1447-1 1. Ingnierie nancire. 2. Mathmatiques nancires Informatique. 3. Institutions nancires Gestion du risque. 4. Analyse nancire Mathmatiques. 5. valuation du risque. I. Thoret, Raymond. II. Titre.HG176.7.R32 2006 658.15'224 C2006-941134-4Mise en pages : Info 1000 mots inc.Couverture : Richard HodgsonNous reconnaissons laide nancire du gouvernement du Canada par lentremise du Programme daide au dveloppement de lindustrie de ldition (PADI) pour nos activits ddition.La publication de cet ouvrage a t rendue possiblegrce laide nancire de la Socit de dveloppementdes entreprises culturelles (SODEC). 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsTable des maTiresIntroduction 1Partie1Les bases de lingnierie fnancire et de la gestion des risques 7Chapitre1 Introduction aux options et aux stratgies sur options classiques 91 Lesoptionsclassiques:lescalls(optionsdachat)etlesputs(optionsdevente)europens 102 Laparitput-call 133. Stratgies pour modifer les payoffsdescallsetdesputslchance 15Rsum 25Chapitre 2 Introduction aux processus stochastiques 271 LeprocessusdeWiener 272 Lemouvementbrownienarithmtique 333 Mouvementbrowniengomtrique 354 MouvementOrnstein-Uhlenbeckouprocessusderetourverslamoyenne 385 LeprocessusdItoumouvementbrowniengnralis 39Rsum 40Viii Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsChapitre 3 Les options perptuelles 411 LelemmedItetlquationdiffrentielledeBlacketScholes 422 Optiondevente(put)perptuelleamricaine 463 Optiondachat(call)perptuelleamricaine 494 LesmodlesdeMcDonaldetSiegeletdePindycksurloptiondinvestir 525 LemodledeDixitdentreetdesortieoptimales 59Rsum 63annexe 3a Introduction aux quations diffrentielles linaires 661 Lquationdiffrentielledupremierdegr 662 Lquationdiffrentielleduseconddegr 69annexe 3B Autres notes sur les quations diffrentielles et sur les mathmatiques couramment utilises en fnance 75annexe 3B1 Les racines dune quation quadratique 75annexe 3B2 Introduction aux quations diffrentielles linaires dordre 1 761 Lecashomogne 772 Lecasnonhomogne 783 Lesquationsdiffrentiellesdusecondordre 824 Fonctioncomplmentaire 885 Exemplessynthses 90annexe 3B3 Notes sur less sup 96annexe 3B4 Quelques notes sur les intgrales en fnance 991. Lintgrale indfnie 992. Intgrales dfnies et exemples fnanciers 1053. Prcisions supplmentaires sur lintgrale dfnie 109Bibliographie 114 Tabledesmatires iX 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsChapitre 4 Le modle de Black et Scholes et ses applications 1151 UnaperudelquationdeBlacketScholes 1162 PreuvedelquationdeBlacketScholes 1173 Lesgrecques 1264 LquationdeBlacketScholesgnralise 1355 Lacouverturedeltaetlacouverturedelta-gammaenaction 138Rsum 152Bibliographie 153Partie2Calcul numrique et fnance quantitative 155Chapitre 5 Les outils du calcul numrique 1571 Quelquesrglesdebaseencalculstochastique 1592 Lesmartingales 1613 LemondeneutreaurisqueetlquationdeFeynman-Kac 1644 LethormedeCameron-Martin-Girsanov 1695 LquationditeforwarddeKolmogorov,galementconnuesouslenomdquationdeFokker-Planck 1726 Lerleduthormecentral-limitedanslecalculdesprixdesproduitsdrivs 174Rsum 175Bibliographie 176Chapitre 6 Les approches binomiale et trinomiale la thorie des options 1771 Lesdeuxapprocheslaconstructiondunarbrebinomial 1782 Larbretrinomial 1883 ProgrammesMatlabdarbres 1924 Larbretrinomialimplicite 1955 Quelquesapplicationsdelatechniquedelarbrebinomial la fnance computationnelle des titres revenus fxes : optionsamricainessurobligationsaveccouponsetobligationsconvertibles 201X Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsRsum 216Bibliographie 216Chapitre 7 La simulation de Monte Carlo 2191 LesaspectsgnrauxdelasimulationdeMonteCarlo 2192 Lesvariablesantithtiques 2273 Latechniquedesvariablesdecontrle 2304 LesnombresquasialatoiresetlasimulationdeMonteCarlo 235Rsum 245Bibliographie 246Chapitre 8 Les mthodes des diffrences fnies 2471 LquationdiffrentielledeBlacketScholes 2482 LatranspositiondelquationdiffrentielledeBlacketScholesauplannumrique 2523. Lquivalence entre la mthode explicite des diffrences fnies etlarbretrinomial 2544 Transpositiondesquationsdelamthodeexplicitedes diffrences fnies dans une grille 2575 ProgrammesVisual Basicpourdterminerlesprixduncalleuropenetdunputamricainparlamthodeexplicite des diffrences fnies 2606. La mthode implicite des diffrences fnies 2657. La mthode des diffrences fnies de Crank-Nicolson 279Rsum 287Bibliographie 288Chapitre 9 La programmation dynamique et lquation de Bellman 2891 Laprogrammationdynamiquediscrte 2902. Utilisation de lquation de Bellman en fnance et programme Matlab:unmodledepricing dactif fnancier 292Rsum 299Bibliographie 300 Table des matires XI 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsPartie 3Les contrats terme, lexercice prmatur des options amricaines classiques, les options exotiques et autres extensions du modle de Black et Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Chapitre 10 Les contrats terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 1. Dnition dun contrat terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 2. Les deux grandes catgories de contrats terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 3. La valorisation des contrats terme de gr gr sur instruments nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 4. Prix du contrat terme nancier et prvision du prix du sous-jacent . . . . 312 5. Contrats terme et ratio de couverture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6. Les arbitragistes en couverture (hedgers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7. Le problme du risque reli lvolution de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 8. Le cas particulier des matires premires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9. Aspects institutionnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34210. Les oprations de couverture sur le march terme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34911. Les swaps de taux dintrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357Chapitre 11 Lexercice prmatur des options amricaines classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3591. Lexercice prmatur : aperu gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3592. La frontire dexercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3603. Lapproche de Merton (1973) et de Black (1976) au calcul du prix dune option amricaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3654. Les conditions que doit satisfaire une option amricaine classique lors de son exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3705. Lexercice prmatur et les dividendes verss par le sous-jacent de loption dans le contexte de larbre binomial . . . . . . 372Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389XII Finance computationnelle et gestion des risques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsChapitre 12 La volatilit stochastique et le smile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3911. Un modle de la volatilit stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3922. Smile en deux et trois dimensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993. Critiques du calcul du smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408Chapitre 13 Les options exotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4091. Un dmembrement de lquation de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . 4112. Les options composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4123. Les options barrires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4144. Loption quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4215. Loption asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236. Une application de lingnierie nancire : le CPG indiciel. . . . . . . . . . . . 423Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426Chapitre 14 Les processus de sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4271. Les vnements normaux et les vnements rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4282. La distribution de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4293. Mouvements browniens et sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314. Lquation diffrentielle avec sauts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4365. Valorisation dune option dinvestissement (perptuelle) avec sauts . . . . . 4456. Risque conomique et politique et processus de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . 448Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Chapitre 15 Le prix du risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4591. Le thorme de Girsanov, lapproche neutre au risque et le prix du risque 4592. Le prix du risque et lquation diffrentielle de Black et Scholes . . . . . . . 4613. Cas des actifs non ngocis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Table des matires XIII 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsPartie 4Les mthodes de la gestion des risques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467Chapitre 16 La VaR et les autres mesures modernes du risque. . . . . . . . . 469 1. VaR et loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 2. La simulation historique de la VaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 3. La mthode delta du calcul de la VaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 4. La simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 5. La technique du bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 6. Lexpansion de Cornish-Fisher et la VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 7. Mthodes du calcul de la VaR utilisant une distribution autre que la loi normale mais qui restent bases sur lemploi dun multiple . . . 512 8. Mesures du risque : une gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 9. Frontire efciente, moments suprieurs et cumulants. . . . . . . . . . . . . . . . 52510. Les copules, la transforme de Fourier et le calcul de la VaR . . . . . . . . . . 527Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541Annexe Modication du programme de bootstrapping . . . . . . . . . . . . 542Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Chapitre 17 Lassurance de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5471. Construction dun portefeuille dupliquant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5482. Simulation dun portefeuille assur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513. La technique du coussin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568Chapitre 18 Le risque de crdit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5691. Un modle simple de risque de crdit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5702. Le risque de crdit dans le cadre de lquation diffrentielle de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5723. Le modle de Merton (1974) et ses extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5764. Modlisation dynamique de la probabilit de dfaut : les probabilits de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5825. Les drivs du crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587XIV Finance computationnelle et gestion des risques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs6. Autres approches au risque de crdit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597Chapitre 19 Le modle de Heath, Jarrow et Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . 5991. Introduction la modlisation des taux terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5992. Modles classiques darbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6043. Le pricing des produits drivs dans le modle HJM. . . . . . . . . . . . . . . . . 6104. Modle HJM un facteur : conditions dun march complet . . . . . . . . . . . 6145. Certains modles de taux court conformes au cadre HJM . . . . . . . . . . . . . 6146. Une application Matlab du pricing sous HJM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624Annexe Rappel sur les martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631Partie 5 conomtrie de la gestion des risques et nance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Chapitre 20 Calibrage conomtrique de processus stochastiques avec applications aux donnes boursires, bancaires et cambiales canadiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6351. Le mouvement brownien arithmtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6352. Le mouvement brownien gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6403. Le processus de retour vers la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6464. Marche alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6535. Estimation des taux dintrt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6556. Calibrage de processus stochastiques avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 Table des matires XV 2006 Presses de lUniversit du Qubecdice Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447NTous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsChapitre 21 Quelques applications du ltre de Kalman en nance : estimation et prvision de la volatilit stochastique et du rapport cours-bnce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6671. Le ltre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6682. Estimation de la volatilit stochastique laide du ltre de Kalman . . . . . 6703. Prvision de la volatilit stochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814. Prvision du rapport cours-bnces laide du ltre de Kalman. . . . . . . 681Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685Chapitre 22 Variance macroconomique conditionnelle et mesure de dispersion des actifs dans les portefeuilles bancaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687Christian Calms et Juan Salazar1. Les donnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6892. Analyse empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700Chapitre 23 Changement de la structure nancire et revenus bancaires : une comparaison Canada tats-Unis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701Christian Calms et Juan Salazar1. Le changement dans la structure nancire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7032. Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7073. Est-ce que les revenus non traditionnels constituent un tampon contre les uctuations ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714Rsum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722Rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsinTroducTionLa gestion des risques fnanciers occupe une place de plus en plus dominante dans le monde de la fnance. la suite des faillites en cascade dinstitutions fnancires surve-nuesaucoursdesdcennies1970et1980etattribuables,entreautres,lescaladeduloyer de largent et la crise des changes, les institutions fnancires prtent de plus en plus dattention la gestion des risques fnanciers auxquels elles sont confrontes. Danslafoule,laBanquedesrglementsinternationaux,unorganismeinternationaldesurveillancedesbanques,aincitsesmembresdvelopperdesmodlesdeVaRet dtenir un montant de capital suffsant de faon faire face aux pertes ventuelles tabliesparcettemesuredurisqueLesbanquesontdsedoterdespcialistesquipuissent mesurer les risques fnanciers auxquels elles sont vulnrables. Dans le mme temps, une nouvelle catgorie dingnieurs fnanciers est apparue : les fnancial risk Managers Leurs connaissances dans les champs de la thorie des produits drivsetducalculnumriquedoiventtrepoussesTrspeudemanuelsleuroffrentlagammecompltedesthoriesetdesoutilsdontilsontbesoinpourgrerlesrisquesdesinstitutionsdanslesquellesilsuvrentEtbiensouvent,cesmanuelssonttropcomplexespourquinapasdesbasessolidesenmathmatiquesIlssintressentdavantagelathoriequlapratique,cequifaitque ltudiant en gestion des risques prouve des diffcults devenir oprationnel. lvidence,ilexisteunecarencedoutilsdansundomainequivoluetrsrapidement:celuidelagestiondesrisquesNotre manuel comblera, nous lesprons, les lacunes que prsentent les traits pdagogiquesactuelsserapportantlagestiondesrisquesSansngligerlathorie,notre expos vise former des ingnieurs fnanciers qui soient trs laise pour rsoudre les divers problmes auxquels ils seront confronts dans les institutionsfnancires qui les emploieront. Le lecteur retrouvera donc dans notre manuel un trs grandnombredeprogrammescritsdanslelangageVisual Basic(Excel)quicouvrentlacomplexitdessituationsquilrencontreradanssavieprofessionnelleOnlesait,lelangageVisual Basic est de loin le plus utilis dans la pratique fnancire du fait de Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservssonaccessibilitMaisnousnedevonspaspourautantngligerlelangage Matlab,qui regroupe un grand nombre dadeptes du milieu professionnel Cest pourquoinousinitionsgalementnotrelecteurcelangageenprogrammantencodeMatlabdenombreuxscnariosrelevantdelanalysedesrisquesAprslecturedenotretrait,lelecteurseradonctrsversatileetassezpolyvalentpoursattaquerdautressitua-tionsquineseraientpasenvisagesiciIlferagalementmontrederigueurdanssesprsentations,unequalitqui,malheureusement,seperddeplusenplusNotre manuel permettra au passionn du domaine, et cela sans trop defforts, de calculer, en faisant appel la programmation, les prix dun trs grand nombredeproduitsexotiquesetdenconcocterdautresenutilisantlesconnaissancesquilaura acquises en matire dingnierie fnancire. Il pourra donc se rvler un trs bon innovateurdansledomaineIlsauragalementcouvrirlesrisquesdesportefeuillesdetitresenutilisantlesdveloppementsdepointecechapitreLescouverturesdeltaetdelta-gammanaurontplusdemystrespourluiIlpourragalementimaginerdesscnariospourcalculerlaVaRdesonportefeuilleetpourassurercelui-ciIlseraaussien mesure destimer le risque de crdit auquel est expose une institution fnancire. Et ce ne sont l que quelques aspects pratiques de notre manuel. Nous donnerons cesujetplusdedtailsultrieurementIl va sans dire quun ingnieur fnancier doit disposer dun bon bagage de connaissancesquantitativessilveuttrechevronndanscechampLesinstitutionsfnancires sont la recherche demploys qui matrisent les aspects quantitatifs de la fnance. Tout en mettant laccent sur la pratique, le manuel que nous proposons vise donner au lecteur une solide formation en fnance computationnelle, qui constitue le premiervoletdutitredecelivreParunepdagogietrsprogressivequiestsouventabsentedanslestraitsconcurrents,nousinitionslelecteurauxmthodesquantitativesde la fnance, qui sont certes trs complexes mais que nous abordons de faon trs graduelledefaoncequelelecteuraituneconnaissanceapprofondiedecesmthodeset non la vision superfcielle ou encyclopdique que transmettent bien souvent les manuels concurrents. Nous voulons former un ingnieur fnancier talentueux qui a des bases solides dans le domaine de la fnance computationnelle. Sinon, sa formation se dprcieraitrapidementetilneseraitplusenmesuredefairefacelacomplexitetaux exigences toujours grandissantes du monde fnancier. Il serait rduit au rle de technocrate, voire de fonctionnaire de la fnance. Incidemment, nous nhsitons pas complternotremanuelpardesannexesquirappellentnotrelectoratlesbasesdelalgbre, au cas o il les aurait oublies. Notre lecteur peut mme devenir autodidacte dansledomainedelagestiondesrisquesenlisantnotremanuelNous avons divis notre trait en cinq parties. La premire jette les fondements de lingnierie fnancire et de la gestion des risques. Pour introduire les produits drivs, nous examinons comment on peut modifer les fux montaires des options classiquesdachatetdeventedefaonformulertouteunegammedestratgiesdeplacements Cest dans ce contexte que nous abordons la programmation en Visual Basic (Excel).Puis,nousplongeonsdembledansluniversdesprocessusstochas- Introduction 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservstiques qui servent modliser les prix des actifs fnanciers. Le physicien franais BachelierestdailleurslepremieravoirutilisdetelsprocessuspourrendrecomptedesmouvementsdelaBoursedeParisNous avons choisi dintroduire les modles de prix doptions en analysant les options perptuelles, qui comportent des solutions analytiques de prix Dans cechapitre,noussommesmmedeconstaterquelemondedesaffairesnedisposepasseulement doptions fnancires mais galement doptions relles. Tout peut devenir option ! Il sufft de bien conceptualiser la situation. Nous terminons la premire partie enexaminantdefaondtaillelemodledeBlacketScholes,quiconstitueencorele modle de rfrence dans le domaine de lingnierie fnancire mme si sa publica-tion remonte dj 1973. Nous y voyons comment on peut utiliser les grecs pour couvrir des portefeuilles. Nous montrons de faon dtaille, en nous aidant dExcel,commenteffectuerunecouverturedeltaetunecouverturedelta-gammaBiensouvent,les manuels ne font queffeurer cette question et le lecteur nest alors pas en mesure deprogrammerparlui-mmedetellescouverturesLentreferadeluiunepersonnecomptenteenlamatireLingnieur fnancier doit disposer de nos jours dune bote outils trs toffe. Siautrefoisilpouvaitsecontenterdunecalculatricepouroprer,ledveloppementeffarant de linformatique et lapparition de situations de risque de plus en pluscomplexessoulventlimpratifdelacomprhensiondesprincipalestechniquesdela fnance computationnelle, ce quoi sattaque la partie 2 de notre trait. Cest dans cette section que le lecteur fera lapprentissage des techniques de programmationrequises en fnance computationnelle et en gestion des risques.Nous ouvrons cette section sur les fondements du calcul numrique dans un univers stochastique. Nous nouons connaissance, entre autres, avec les martingales etluniversrisque-neutrePuisnousexpliquonslesaspectsthoriquesetempiriquesdesarbresbinomiauxettrinomiaux,quisontlundespiliersducalculnumriqueeningnierie fnancire. Le lecteur sera mme de constater que la dtermination des prixdesproduitsdrivsseffectuepararbitragedansluniversrisque-neutreetnondans le monde rel. Nous y montrons mme comment construire un arbre trinomial implicite,unetechniquercentedevalorisationdesoptionsVientensuitelasimulationdeMonteCarlo,quiestfortutilisenotammentpourprendreencomptelesmultiplesdimensionsdurisqueDanslapartie2,lelecteurestgalementinvitcalculerlesprix des produits drivs laide de la mthode des diffrences fnies, qui permet de solutionnerdefaonnumriquedesquationsdiffrentiellesstochastiquesFinalement,la partie 2 se distingue des autres manuels de fnance computationnelle en abordant lquationdeBellman,auxplanstantthoriquequepratiqueCettequationconstituelabasedelaprogrammationdynamiquequiesttrsutilisepourvaloriserdesoptionsamricainesdontladatedexercice,soitlestopping time,constitueunproblmequirelvedeloptimisationdynamique Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsLa partie 3 introduit des aspects thoriques et pratiques de lingnierie fnan-cire qui sont essentiels la profession. Nous traitons dabord de faon dtaille les contrats terme, qui sont trs utiliss dans les oprations de couverture. Nous y voyonslesemploisdediverscontratsmisdelavantparlaBoursedeMontral,quidisposedunquasi-monopoleenmatiredeproduitsdrivsauCanadaOntrouveradansleschapitressuivantsdelapartie3dessujetsquisontsouventtraitsdefaonsuperfcielle dans les autres traits de fnance computationnelle et de gestion des risques Lexercice prmatur des options amricaines retient dabord notre atten-tionDanscettesection,nousmontronscommenttracerlesfrontiresdexercicedesoptionsamricaines,unoutilimportantpourcequiconcernelavalorisationdetellesoptions Puis nous construisons des arbres binomiaux pour dterminer les prix desoptions crites sur des actions qui versent des dividendes Ensuite nous abordonsdesmodlesdevolatilitenrapportaveclavalorisationdesoptionsLavolatilitesten effet la variable-cl pour dterminer le prix dune option. Nous prsentons cet effetdesmodlesdevolatilitstochastiquequisontsimulspourdterminerleprixdune option. Nous montrons galement comment tracer des surfaces de volatilit qui puissentrenseignersurlavalorisationdesoptionsCequinouspermetdintroduireleconceptdusmile,quidonnepenserquelquationdeBlacketScholescomportecertaines faiblesses pour fxer les prix des obligations classiques.Lingnieur fnancier doit savoir comment dterminer les prix de nouveaux produits fnanciers qui incorporent des options. En effet, les institutions fnancires sonttoujourslafftdenouveauxproduitspoursoutenirlaconcurrenceetilimportequelesprixdecesproduitssoientjustes(fair)Or,lavalorisationdesproduitsdrivsseffectueessentiellementparlemcanismedelacouvertureLecotduportefeuillequi rplique les fux montaires dun produit driv constitue en effet le prix de ce dernier. Notre chapitre sur les produits exotiques sintresse lensemble de ces questions. En loccurrence, il analyse la tarifcation dune nouvelle catgorie hybride dedptintroduitercemmentparlesbanquescanadiennes:leCPGindicielCetteinnovationallielaprotectionducapitallaparticipationauxmouvementshaussiersdescoursboursiersDetelsproduitsstructursquicombinentinstrumentsclassiqueset options deviendront la norme dans lavenir. Le df quils prsentent aux ingnieurs fnanciers savre donc substantiel et notre manuel leur permet de le relever avec brio enleurprsentantdesprogrammesetdestechniquesapproprisFinalement,latroi-simepartiedenotremanuelsintressedessujetsquescamotaitleclbremodledeBlacketScholes:lesprocessusdesautsetleprixdurisqueEneffet,lesprocessusdediffusionsurlesquelsreposelemodledeBlacketScholessupposentlabsencede sauts. Nous nous interrogeons donc sur les incidences des sauts, qui reprsentent des vnements rares, sur la valorisation des produits drivs. Nous analysons lim-pactdurisquepolitiquesurlarentabilitdesprojetsdinvestissementenutilisantdesprocessusdesauts,cequiintresseralesinvestisseursquienvisagentdeffectuerdesprojetsltrangerFinalement,latroisimepartiedenotrelivreabordelimportantequestionduprixdurisque,quidoittreenvisagequandlessous-jacentsdesproduitsdrivsnesontpastransigsLeprixdurisquerevtuneimportanceparticulirepour Introduction 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservslesdrivssurtauxdintrt,carleursous-jacent,soitletauxdintrt,neconstituepasunactiftransigCertainschercheursngligentcompltementleprixdurisque,mais lingnieur fnancier se doit dtre conscient des erreurs occasionnes par une mise sous le boisseau de ce prix Le prix du risque est galement une variable quidoittrepriseencomptedanslavalorisationdesoptionsrelles,pourlesquelleslesous-jacent,soitunprojetdinvestissement,nestpastransigLapartie4denotremanuelprsenteltudiantouauspcialistelesmthodesmodernes de gestion des risques. Nous ouvrons cette section sur la VaR et sur lesautres mesures modernes du risque La VaR est maintenant la mesure du risque laplus utilise dans les institutions fnancires. Nous voyons comment la calculer en supposantdabordqueladistributiondesrendementsestnormale,puisenlevantcettehypothse On sait en effet que la distribution des rendements prsente des queuespaissesSilonneprendpasencomptelequatrimemomentdeladistributiondesrendements,onrisquedesous-estimergrandementlaVaRLelecteurtrouveradansnotrechapitresurlaVaRplusieursprogrammescritsenVisual BasicquisontassezgnrauxpourtrereprsentatifsdesdiversesmesuresdelaVaRutilisesdanslin-dustrie fnancire. Certes, il existe des mesures du risque plus appropries que la VaR,commelaCVaR. Notre chapitre fait donc tat des mesures du risque de seconde gn-rationquidevraientsimposerdanslavenirCechapitrerenfermemmeunefrontireeffciente base sur les cumulants. Cette frontire prsente lavantage, en regard de la frontireclassiquedueMarkowitz,deprendreencomptelequatrimemomentdeladistributiondesrendements,cequidonnelieudeschoixplusapproprisLassurancedeportefeuilleestuneautremthodedegestiondesrisquesquedoit bien matriser lingnieur fnancier. Nous y consacrons donc un chapitre dans lequel nous montrons dabord comment construire un portefeuille qui duplique lesfux montaires dun portefeuille doptions. La comprhension des principes qui guidentlemontageduntelportefeuilleesteneffetessentielleltudedelassurancedun portefeuille. Nous simulons par la suite un portefeuille assur, cest--dire un portefeuille dont la valeur ne peut baisser sous un certain seuil Finalement, nousprsentonsunprogrammequireproduitlatechniqueducoussinLerisquedecrditestparailleursunsujetdeplusenplusscrutparlescher-cheursAucoursdeladcennie1990sontmmesapparusdesproduitsdrivsconuspour couvrir cette catgorie de risque. Notre chapitre ayant trait au risque de crdit sedonnepourobjectifdengloberlensembledusujetetsavreraparticulirementintressant pour les candidats au titre de Financial Risk Manager (FRM). Nous y montrons comment modliser la prime de dfaut, puis nous analysons les modlesdevalorisationdesproduitsdrivsducrdit,telleswapdedfautdecrdit,quiestdeloinlepluspopulaireFinalement, un modle prend de plus en plus de place dans le domaine desdrivssurtauxdintrt:lemodledeHeath,JarrowetMorton(HJM)Cestpour-quoinousavonsdciddeluiconsacrertoutunchapitreAprsavoirapprofondiles Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservstechniquesdedterminationdestauxterme,noustudionscommentonpeutvaloriserles produits drivs dans le cadre de ce modle. Nous comparons galement le modle HJMdautresmodles,commeceuxdeHoetLeeetdeBlacketKarasinskiUn manuel de fnance computationnelle et de gestion des risques ne saurait trecompletsilnesepenchepassurlecalibragedesmodlesdegestiondesrisquesNotre partie 5 se consacre totalement ce sujet. Un chapitre est consacr au calibrage conomtrique des processus stochastiques. notre connaissance, il nexiste pas de manueloudedocumentquiconsidrelecalibragedetouslesprocessusstochastiquescomme nous le faisons dans notre cinquime partie. Nous montrons comment estimer lesparamtresdesprocessusstochastiquessuivants:mouvementbrownienarithm-tique; mouvement brownien gomtrique; processus de retour vers la moyenne ouprocessusOrnstein-Uhlenbeck;marchealatoire;processusdesautsLestimationdesmodles stochastiques de taux dintrt retient galement notre attention. Nous appli-quonscesmodlesauxdonnesbancaires,boursiresetcambialescanadiennesUnproduitdrivnesauraitexisterenlabsencedevolatilitsurlesmarchsfnanciers. Lestimation de la volatilit est donc un thme de premier ordre en fnance computationnelle. Cest l la justifcation de notre chapitre sur le fltre de Kalman, un algorithme que nous utilisons pour estimer et prvoir la volatilit stochastique. Nous comparons les prvisions obtenues par le fltre celles qui dcoulent des modles GARCH(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity) la partie 5 se retrouvent galement des chapitres crits par les profes-seurs Christian Calms et Juan Salazar, tous deux professeurs agrgs de fnance lUniversitduQubecenOutaouaisLesprofesseursCalmsetSalazarsintressentlavolatilitetaurisquebancairesPar son contenu trs toff en programmes indits ayant trait aux diversesfacettes de la thorie des risques, notre manuel confronte le lecteur aux principalessituationsquestsusceptiblederencontrerungestionnairedesrisquesCettefonctionest fort complexe, mais nous avons essay de dmystifer le sujet en amenant progres-sivement notre lecteur un haut niveau dexpertise dans ce domaine Ce manuelsavre un complment essentiel nos traits suivants, dj publis aux Pressesde lUniversit du Qubec: Trait de gestion de portefeuille (4e dition); Le calcul numrique en fnance empirique et quantitative (2e dition); Trait dconomtrie fnancire; Trait de gestion bancaire Arms de lexpertise que lui procurent cescrits,lelecteurseraenmesuredaffronterlemonde,souventjughermtique,delafnance computationnelle et de la gestion des risques. 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsPartie1les bases de lingnierie financire eT de la gesTion des risques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsChaPitre1inTroducTion auX opTions eT auX sTraTgies sur opTions classiques

Lesoptionstransigessurlesmarchsdegrgr2existentdepuisbienlongtemps,maislintroductiondoptionssurdesmarchsorganissaconcidaveclelancementdelaclbreformuledeBlacketScholesayanttraitaucalculduprixduneoptiondachateuropennecritesuruneactionneversantpasdedividendesParlasuite,bien dautres types doptions sont apparus, les institutions fnancires stant mises en devoirdedvelopperdenouveauxproduitsdrivstoujoursdavantagesusceptiblesdemieuxrpondreauxbesoinsdeleursclientsenmatiredecouvertureetdegestiondesrisquesDetellesoptionssontditesexotiquesetsetransigenthabituellementsurlesmarchsdegrgrDans ce chapitre, nous nous ouvrirons au monde des options en dfnissant dans un premier temps les options classiques dachat (call) et de vente (put), puisnous nous intresserons aux diverses stratgies que lon peut formuler partir deces options de base. Nous verrons quun investisseur peut de la sorte modifer les fux montaires ou payoffsduneoptiondemanirelesadaptersesprvisionsenregard des variables fnancires.1 Auchapitredesstratgiessuroptions,onpourraconsulterlesouvragessuivants:Bellalah(2003),Gestion des risques et produits drivs classiques et exotiques, Dunod, Paris; McMillan (2002),Options as a Strategic Investment, Institute of Finance, New York. 2 Over-the-counter,enanglais10 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs1. Les options cLassiques : Les calls (options dachat) et Les puts (options de vente) europensUncallcritsuruneactionestuntitrequidonneledroitdacheteruneactionunprixdexercicedtermin,disonsX,jusqusadatedchanceLecallestditeuropensilnepeuttreexercqusonchanceExerceruncall signife prendre possession delactionenpayantleprixdexerciceXLecall disparat alors. Par ailleurs, un callestditamricainsilpeuttreexercentouttempsjusqusonchanceLepayoffduncalleuropencritsuruneactionneversantpasdedividendeestgalaumontantsuivantsonchance:payoff payoff ST X ( )+o ST est le prix de laction sous-jacente lchance de loption et oST X ( )+ MAX ST X, 0 ( ) Le payoff dune option est donc toujours positif ounulPourlacheteurduncall,lepayoff est reprsent la fgure 1.1.Figure 1.1 Payoff dun call europen lchance (acheteur)02040600 20 40 60 80SPayoffLa fgure 1.1 reprsente le payoff que peut esprer lacheteur du call sonchanceselonleprixdelactionquiprvaudracemoment-l,leditcallayantunprix dexercice de 35$ Mais le vendeur de ce call a un payoff qui est linverse deceluidelacheteur,cest--direque:payoff payoff ST X ( )+Comme lindique la fgure 1.2, le payoffduvendeurducallestlinversedeceluidelacheteuretsavrengatiflorsqueleprixdelactiondpasseleprixdexercice,ici35$Levendeurestcependantcompensparlacheteurquiluiverseuneprime,soitleprixproprementditdeloption,dontlamodlisationferalobjetdesprochainschapitres Introductionauxoptionsetauxstratgiessuroptionsclassiques 11 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsFigure 1.2 Payoff dun call europen lchance (vendeur)Payoff60402000 20 40 60 80STournons-nousmaintenantversleput,lautreoptionclassiqueCelle-cidonnele droit son dtenteur de vendre une action au prix dexercice, disons X, jusqusonchanceCommelecall,leputpeuttreeuropenouamricainPourledtenteur,lepayoffdunputsonchanceestlesuivant:payoff payoff X ST( )+Lvolution de ce payoff en fonction du prix de laction, lchance du put, seretrouve la fgure 1.3.Figure13 Payoff dun put lchance en fonction de S (acheteur)Payoff01020300 20 40 60 80SLevendeurduputaunpayoffinversedeceluidelacheteur,cest--dire:payoff payoff X ST( )+Comme lindique la fgure 1.4, le payoff du vendeur du put est ngatif dsqueleprixdelaction,lchancedeloption,sesitueendeduprixdexerciceLacheteur de loption le compense pour ce risque en lui versant une prime, soit leprixduput1 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsFigure14 Payoff dun put lchance en fonction de S (vendeur)Payoff30201000 20 40 60 80 100SIlestdoresetdjpossibledeformulerlesstratgieslesplussimplesquelesacheteursetlesvendeursdecallsetdeputspeuventimaginerAttardons-nousdabordauxcalls. Comme on peut le constater la fgure 1.1, legaindundtenteurdecallestdautantplusimportantqueleprixdusous-jacent,enloccurrencelaction,lestgalementEnfait,onditquuneoptiondachatestlamonnaie3sileprixdelactionestgalauprixdexerciceetdanslamonnaie4sileprixdelactionestsuprieurauprixdexerciceParcontre,sileprixdelactionestinfrieurauprixdexercice,lecallestendehorsdelamonnaie5Parconsquent,ledtenteur dun call est dautant plus favoris que son option est davantage dans lamonnaieLorsquilanticipeunehausseduprixduneaction,linvestisseurauradonctendanceacheterdescalls sur cette action de faon engranger des profts. Lachat decalls estdoncunestratgiebullishIlnefautpascroirecependantquelachatdecallscomporteunrisqueminimalEn effet, si le prix de laction demeure en de du prix dexercice, le dtenteur ducallsubitunepertegalelaprimequilapayepourseporteracqureurducallMmesinousanticiponssurdesdveloppementsultrieurs,disonsquelerendementesprduncallestplusimportantqueceluidelactionsous-jacente,linvestissementdansdescalls tant similaire un portefeuille dactions fnanc par voie demprunts. Linvestissementdansuncallcomportedoncunlevierquirehaussesonrendementesprenregarddusous-jacentdecetteoptionMaiscelevieraugmentegalementlerisquedeloptionenregarddesonsous-jacentPoursapart,levendeurducallfaitfaceunpayoffngatifquandleprixdelactionexcdeleprixdexercicedeloptionvendueCertes,ilencaisseuneprimelorsquilvenduncall,laquellecorrespondauprixdeloptionSastratgieseradoncdevendredescallsendehorsotrsendehorsdelamonnaiedemanireviterqueleprixdelactionneviennesesituerau-dessusduprixdexerciceducalllchance3 At-the-money,enanglais4 In-the-money,enanglais5 Out-of-the-money,enanglais Introductionauxoptionsetauxstratgiessuroptionsclassiques 1 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsdeloption,cequisetraduiraitparlexerciceducallUnetellestratgiedelapartduvendeur est approprie quand le march boursier est relativement stable ou orientlabaisseQuiplusest,uninvestisseurpeutavoirpar-deversluidesactionsquiluifontsubirdespertesIlpeutdoncvendredescallsendehorsdelamonnaiecritssurcesactionsdefaonencaisserlesprimesSijamaislemarchdecelles-ciremonterapidement,ildisposeradesesactionssilexerciceseproduitDplaons-nous maintenant vers des stratgies lmentaires impliquant lesputs classiques Un put est la monnaie si le prix de laction sous-jacente est galau prix dexercice du put Il est dans la monnaie si le prix de laction est infrieurauprixdexerciceetendehorsdelamonnaie,sileprixdelactionestsuprieurauprixdexerciceParconsquent,uninvestisseurdtiendraunputcritsuruneactionlorsquilanticiperaunebaissedeprixdeladiteactionLachatdeputscorresponddoncunestratgiebearish. Nous laissons au lecteur le soin dimaginer une stratgie que pourrait suivrelevendeurdunputensinspirantdecelleduvendeurduncall2. La parit put-callAvantdintroduiredautresstratgiessuroptionspluscomplexes,nousnousattardonsunerelationquinouspermettradimaginercertainesstratgiessuroptions,soitlaparitput-callCetterelationentreleprixdunputeuropen(P)etleprixduncalleuropen(C)demmeprixdexerciceXetdemmedure(T)etdontlesous-jacentneversepasdedividendesestlasuivante:

P0 C0 S0 + XerTorestletauxsansrisqueUne fois que lon a calcul le prix du call, on peut donc calculer le prix duputensoustrayantleprixactueldelactionetenajoutantlavaleuractualiseduprixdexerciceCetterelationfaitappelauconceptdabsencedarbitragePourdmontrerlaparitput-call,situons-nouslchanceTdesoptionsetcrivonslaparitput-callcommesuit:PT + ST CT + XLesdeuxpartiesdecettequationreprsententchacunedeuxportefeuillesLepremierestconstitudunputetduneactionLesecondestconstituduncalletdunprtdunmontantXLetableau11fournitlavaleurdecesportefeuillesselonqueleprixdelactionestsuprieurouinfrieurauprixdexercicelchance1 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservstaBleau 1.1PT + STCT + XST >_ X STSTST < X X XOn constate au tableau 11 que les deux portefeuilles ont les mmespayoffs lchance quel que soit ltat de la nature qui prvaut alors Envisageons parexemplelasituationpourlaquelleST X. Le portefeuille constitu dun putetduneactionvautalorsSTEneffet,leputnestalorspasexercpuisquilaunpayoffnulLavaleurduportefeuilleestalorsdeST

Que vaut par ailleurs le portefeuille constitu dun call et dun prt dansles mmes circonstances ? Le callestalorsexercetsonpayoffestde(STX)Lavaleur du portefeuille est (ST X + X), soit ST Les deux portefeuilles ont donc lammevaleurquandST X. Et lon tient le mme raisonnement pour dmontrer quils ontlammevaleurlorsqueST

P,P(0)=PetP(0)PP(t) : P(0) F)Ladetteestalorsrepayeetlesactionnairestouchent la valeur rsiduelle de la frme, cest--dire (VTF);2 LentreprisenestpasenmesurederembourserlavaleurnominaledesesobligationsLentreprisedposealorssonbilanLescranciersprennentpossession de la frme et les actionnaires sont laisss pour compte. Transposons le raisonnement que nous venons deffectuer en termes de lathorie des options. En prtant la frme, les cranciers se sont vritablement ports acqureurs de cette frme et ont vendu une option dachat aux actionnaires. En effet, les cranciers deviendront propritaires de la compagnie si la frme fait faillite, et les actionnaires exerceront leur option dachat lchance des obligations si lentre-prise est alors en mesure de rembourser la valeur nominale des obligations quelleamises6 Pour plus de dtails sur cette approche, on consultera Wilmott (2006), chapitre 55 Pourplusdedtailssurcetteapproche,onconsulteraWilmott(2006),chapitre557 Si lentreprise est solvable lchance des obligations, la valeur marchande des obligations (B Silentrepriseestsolvablelchancedesobligations,lavaleurmarchandedesobligations(BT)estvidemmentgaleF,soitlavaleurnominaledecesobligations Lerisquedecrdit 77 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsTransposonsleraisonnementquenousvenonsdeffectuerentermesdqua-tions. Selon que la frme est solvable ou non lchance des obligations, la valeur decelles-ciestgale:BT=VT siVTFOnpeutregroupercesdeuxquationsdelafaonsuivante:BT MIN F, VT( )Cette expression signife que BTestgalauminimumdesdeuxvaleursentreparen-thses:FouVTSiFestsuprieurVT, la frme est alors insolvable lchance des obligations et la valeur marchande des obligations correspond la valeur de la frme. Par ailleurs, si F est infrieur VT lchance des obligations, la frme est alors solvableetlavaleurmarchandedesobligationsestgaleleurvaleurnominaleCettedernirequationpeuttrercritecommesuit:BT VT MAX VT F, 0 ( )Eneffet,siVTestsuprieurF,lemaximumestalorsgal(VTF)ladroitedelquationetBTestalorsgalFParailleurs,siVTestinfrieurF,lemaximumestdezroetBTestalorsgalVT. On retrouve donc les rsultats de la fonction MIN. Cest ici que loption dachat apparat. En effet, on peut crire :CT MAX VT F, 0 ( )Dans cette expression, CT dsigne la valeur terminale dune option dachat sur lavaleur de la frme dont le prix dexercice est de F.Parsubstitution,onobtient:BT VT CTEnrapportantcettequationladateactuelle(0),onobtient:B0 V0 C0Selon cette quation, les cranciers contrlent la valeur marchande de la frme, soitV0, mais ils ont vendu une option dachat (C0)8 ses actionnaires Cest bienlaffrmation que nous avons formule antrieurement et qui pouvait paratre suspecte 8 Danscettequation,(+C)dsigneunepositionencompte(long position)dansuneoptiondachat,cest--direquelinvestisseuraachetcetteoption(C)faitrfrenceunepositiondcouvert(short position)dansuneoptiondachatetcorrespondlaventedunetelleoption78 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsaudpart:lescranciers,etnonlesactionnaires,sontpropritairesdelacompagnie!Maiscesontdespropritairesquiontpiedsetpoingslis:ilsonteneffetvenduuneoptiondachatauxactionnairesdelacompagnieOnpeutgalementexprimerlavaleurmarchandedesobligationsdunecompa-gnieentermesdoptionsdeventeReprenonslquationquinousaserviexprimerlavaleurmarchandedesobligationsentermesdoptionsdachat,soit:BT MIN VT, F ( )Cettequationpeuttrercritedelafaonsuivante:BT F MAX F VT, 0 ( )Or,onsaitque:PT MAX F VT, 0 ( )Danscetteexpression,PTdsignelavaleurduneoptiondeventecritesurlavaleur de la frme et dont le prix dexercice est de F. Par substitution, on obtient fnalement :BT F PTetenramenantcettequationlapriodeprsente(0):B0 Ferft P0PourramenerFautempsprsent,nouslavonsactualisdefaoncontinueautauxsansrisque(rf)CettequationoffreuneautreinterprtationdelarelationquiexisteentrelescranciersetlesactionnairesdansuneentrepriseDanscettenouvelleperspective,lesactionnaires demeurent propritaires de la frme. Ils ont emprunt la valeur prsente de F et achet une option de vente des cranciers pour se protger du risque queprsente la dette Sans lachat de cette option, les actionnaires nauraient pas uneresponsabilitlimiteCetteoptiondeventereprsenteunepolicedassurancepourles actionnaires. Si, lchance des obligations, la valeur de la frme savre inf-rieurelavaleurnominaledesobligations,lesactionnairesvontexercerleuroptionde vente et abandonner la frme aux cranciers.La probabilit que la frme fasse dfaut est videmment gale celle dexercer loption de vente, soit N(d2) Lquation prcdente qui tablit la relation entrela valeur marchande de la dette et la valeur dune option de vente nous permetdcrire:Prixduneobligationrisque=PrixduneobligationsansrisquePrixduneoptiondevente Lerisquedecrdit 79 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsouencore:Prixduneobligationrisque=PrixduneobligationsansrisquePrimederisqueLaprimederisqueduneobligationestdoncassimilableuneoptiondeventeLes obligations risques vont comporter un escompte relativement aux obligationssans risque, dont limportance variera en fonction des facteurs qui infuent sur le prix decetteoptiondeventeNous savons que le prix de loption de vente europenne est gal :P FerftN d2( ) VN d1( )Ensubstituantlavaleurdecetteoptiondeventedanslquationduprixduneobli-gationrisque,soit:B Ferft Ponobtient:B Ferft1 N d2( ) + VN d1( )Ferft,,]]]RemplaonslexpressionentrecrochetsparKOna:B FerftKKtantlefacteurdescompteduneobligationrisqueCestlefacteurparlequelilfautescompterlobligationsansrisquepourobtenirlavaleurdelobligationrisqueIlestfaciledepasserdeladernireexpressionlaprimederisque,exprimesous forme de rendement, dune obligation Comme la composition des intrtsest suppose continue, le taux de rendement de lobligation risque (rB) est gal lexpressionsuivante:rB ln FBj(, \,( 100Laprimederisquedelobligationestdoncgale:Primederisque=(rBrf)100Illustrons les quations que nous venons dcrire par lexemple suivant Lavaleur marchande dune frme est de 40 M$ et la valeur nominale de sa dette se chiffre 39,5 M$ Sa dette choit dans un an Le taux dintrt sans risque est de 10% etlcart-type de la valeur marchande de la frme est de 0,4. On demande de calculer laprimederisquedesobligationsdecetteentreprise80 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsLa dette de cette frme est videmment risque. En effet, son levier fnancier, hauteurde79(39,5/0,5),savretrslevLaprimederisquesurlesactionsdecette compagnie devrait tre substantielle Cest ce que nous rvlera le calcul decetteprimederisquepartirdelquationdeBlacketScholesPourcalculerlavaleurdeloptiondeventeincorporedansladette,nousnousservonsduprogrammecritenVisual Basicquiestreproduitautableau181Souslesdonnesdenotreproblme,lavaleurduputstablit5,61$taBleau 18.1 Programme en Visual Basic du calcul du prix dun put europenFunction PutOptionBS(s, x, T, rf, sigma)Num=Log(s / x)+(rf+0.5*sigma^2)*Td1=Num / (sigma*Sqr(T))PutOptionBS=-s*Application.NormSDist(-d1)+_x*Exp(-T*rf)*Application.NormSDist(-d1+sigma*Sqr(T))End FunctionLavaleurdeladettesansrisqueestde:39, 5e0,02 38, 71Comme la valeur de la dette risque est gale la diffrence entre la valeur de ladettesansrisqueetlavaleurdeloptiondevente,ona:38,715,61=33,09Letauxderendementdesobligationsrisquesestalorsgal:rB ln 38, 7133, 09j(, \,( 100 17, 67%Laprimederisquesurdetellesobligationsestimportante,cequiestconformenosattentesElleestgale:17,67%2%=15,67%Cette prime de risque est fortement conditionne par le niveau de la valeurnominaledeladetteetparlcart-typedelavaleurmarchandedesactifsdelentre-prise. La fgure 18.2 prend acte de ces relations. On remarquera incidemment sa forte sensibilitlavolatilitdesactifs Lerisquedecrdit 81 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsFigure 18.2 volution de la prime de risque de la dette en fonction de sa valeur nominale en fonction de la volatilit des actifs-10010200 10 20 30 40DettePrime de risque (%) 02040600 0,2 0,4 0,6 0,8 1volatilitPrime de risque(%) Black et Cox (1976) ont modif le modle de Merton de manire autoriser lafaillitedelentrepriseavantlchancedeladetteLeurmodleestdoncdutypetemps darrt ou stopping time, qui est aussi celui des options amricaines. lintrieurdeleurmodle,lavaleurVdelentrepriseobitlquationdiffrentiellesuivante:dVt V r ( ) dt + Vdzok est le taux continu de paiement du dividende. Le taux dintrt est fxe, ce qui peuttrevucommelunedesfaiblessesdecemodle,dontlobjectifestdemodliserlerisquedecrditContrairementaumodledeMerton(1974),letempsauquelsurvientlafaillitenest pas fx lchance de la dette, tant plutt une fonction du temps. La priode laquellesurvientledfautestmodliseparlquationsuivante: inf t > 0 : V t ( ) K t ( ) o inf signife infmum . Cest--dire que lon recherche la priode la plus rappro-che pour laquelle la valeur V(t) de lentreprise se situe en-dessous de la barrireK(t)quidclenchelafailliteCertainsauteursprfrentcrirelquationprcdentecommesuit: min t > 0 : V t ( ) K t ( ) Le modle de Black et Cox permet de prendre en compte diffrentes catgories dedettesquidiffrentselonleurdegrdanciennetauplanduremboursementLongstaffetSchwartz(1995)ontdonnplusderalismeaumodledeBlacketCoxenrendantle taux dintrt stochastique Le modle de taux dintrt utilis fut emprunt Vasicek(1977)8 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs4. modLisation dynamique de La probabiLit de dfaut : Les probabiLits de transitionAvantdintroduirelesmatricesdetransition,ilconvientdtablirunedistinctionentrelerendementpromisduneobligationetsonrendementesprLe rendement promis dune obligation est son rendement lchance, ditencoretauxderendementinterneLorsdesoncalcul,onsupposequeletauxdedfautdescash-fowsdelobligationestnulLmetteurdelobligationestsolvableet remboursera coup sr les coupons de lobligation de mme que sa valeurnominaleSupposons maintenant que le taux de dfaut ne soit pas nul. Nous voulons calculerlerendementesprduneobligationde1andontletauxannuelducouponest de C et dont la valeur nominale est de VN. Il existe une probabilit gale rque lmetteur ne soit pas en dfaut au cours de lanne. reprsente le taux de recouvrementdelavaleurnominalesilydfautLecash-fow espr de fn danne pour lobligation est donc de: 1+ C ( )VN + 1 ( )F , ]] Connaissant le prix delobligationP,onpeutcalculerletauxderendementesprr:r 1+ C ( )VN + 1 ( )F , ]]P 1Certes,letauxderendementesprestinfrieurautauxderendementpromispuisquecederniertauxreposesurlacertitudequetouslespaiementsdelobligationaurontlieuIlrestequlquilibre,letauxderendementesprdevratreproportionnlaprobabilitdedfautetlaproportionnonremboursedescash-fowsdelobligation,cesdeuxfacteursreprsentantlerisquedecrditdelobligationPluscesdeuxfacteursderisquesontimportants,pluslerendementesprdevraltregalementLes entreprises qui mettent des obligations se voient attribuer une cote paruneagencedenotationLesagenceslesplusconnuesauxtats-UnissontMoodyset Standard and Poors. Nous supposons ici quil nexiste que quatre cotes, par ordre croissantderisque:A,B,CetD,ladernirecotecorrespondantaudfautdepaie-ment. partir de ces cotes, nous dfnissons la matrice de transition qui se retrouve autableau182taBleau 18.2 Matrice de transition =AA AB AC 0BA BB BC 00 0 0 10 0 0 1 Lerisquedecrdit 8 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsLesprobabilits ijindiquentlaprobabilitque,dansunepriode,lobligationsemeuvedelacoteilacotejCesprobabilitssontconditionnellespuisquelacotede dpart est i. Pour mieux fxer les ides, introduisons des nombres dans la matrice detransition(tableau182)Commecesontdesprobabilits,lasommedesnombresdechaquelignedoittregale1taBleau 18.3 Matrice de transition dune entreprise3456A B C D0,98 0,02 0 00,03 0,92 0,02 0,030,01 0,12 0,7 0,170 0 0 1Selonlamatricedutableau183,silacotedelentrepriseestdeA,laprobabilitquellesoitencorecoteAdansunepriodestablit0,98Ilyaparailleursuneprobabilit de 0,02 que cette entreprise passe la cote B dans une priode, condi-tionnellementsacoteAdanslapriodecouranteSelonlamatricedetransition,ilest impossible quune entreprise coteA la priode actuelle passe aux cotes C etDdansunepriodeSupposons que les priodes soient des annes. Nous voulons maintenant dterminer la probabilit cumulative quune entreprise cote i la fn de la premire anne ait migr dans la cote j la fn de la seconde anne. Nous allons supposer que les probabilits de transition obissent une chane de Markov. Autrement dit, les migrationsdunecotelautresontindpendantesdunepriodelautreSeuleslesvaleursprsentesimportentdansunprocessusdeMarkovPrenonslexempledelentreprisequiaunecoteBautableau183etcalculonsla probabilit quelle fasse dfaut la fn de lanne 2. Il y a trois avenues pour elle dtre en dfaut la fn de lanne 2. Elle peut avoir migr la cote A la fn de lanne 1 et tre en dfaut la fn de lanne 2. La probabilit dune telle migration estde9:p D2 A1( ) p A1( ) 0, 03 0 0Selonletableau183,ilexisteeneffetuneprobabilitde0,03quelentreprisemigrede B A la fn de lanne 1. Or, si elle se trouve dans cette position la fn de lanne 1, il est impossible quelle soit en dfaut la fn de lanne 2. 9 OnappliqueicilargledeBayes,cest--dire: p D2 A1( ) p A1 D2( )p A1( )8 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsIl y a deux autres voies par lesquelles B peut se trouver en dfaut la fn de la seconde anne. Elle peut tre demeure la cote B la fn de lanne 1 et avoir migr D la fn de lanne 2. Ou encore, elle peut avoir migr C la fn de lanne 1 et tre entre en dfaut la fn de lanne 2. La probabilit totale de ces troismouvementsestdoncde:p D2 A1( ) p A1( ), ]]+ p D2 B1( ) p B1( ), ]]+ p D2 C1( ) p C1( ), ]] 0 0, 03 ( ) + 0, 03 0, 92 ( ) + 0,17 0, 02 ( ) 0, 031Ce calcul reprsente la probabilit transitoire (marginale) pour lentreprise de coteB lanne 1 dtre en dfaut lanne 2 La probabilit cumulative sobtient enadditionnantcetteprobabilitcellereliesondfautlanne1,soit3%selonletableau183Laprobabilitcumulativeestdoncde6,1%IlexisteunefaonsimpledecalculerlesprobabilitscumulativesdechaqueanneEneffet,pourcalculerlesprobabilitscumulativesdeladeuximeanne,ilsufft de mettre la matrice de transition au carr, cest--dire de la multiplier par elle-mmeOnobtientalors 2:10111213A B C D0,961 0,038 0,0004 0,00060,0572 0,8494 0,0324 0,0610,0204 0,1946 0,4924 0,29260 0 0 1Comme on peut le constater dans la matrice 2,laprobabilitcumulativequelen-treprise de cote B fasse dfaut la fn de lanne 2 est de 6,1 %, ce qui correspond bienaucalculprcdentCetteprobabilitcorrespondlaprobabilitdelapremireanne,laquellesajoutelaprobabilittransitoiredeladeuximeannePourobtenirles probabilits cumulatives de la troisime anne, il sufft dlever au cube la matrice transitoire . Et ainsi de suite. Lesprobabilitsmarginalesdechaqueanne,cest--direlesaccroissementsdes probabilits cumulatives, diffrent selon les cotes Les probabilits marginalesdescoteslevesaugmententavecletemps,cequisepassedecommentaires,tandisque celles des cotes faibles augmentent durant les premires annes puis tendent diminuer par la suite Selon Jorion (2005), il faut voir l un effet de survie ou deretourverslamoyenneUneentreprisecotefaiblementetquiestpasseautraversdesespremiresannesadautantplusdechancesdesurvivreparlasuite,doladiminutionultrieuredesaprobabilitmarginalededfaut Lerisquedecrdit 8 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsLapremireutilitdesmatricesdetransitionestderenseignersurlesproba-bilits de dfaut Une autre est de calculer les cash-fows esprs dun portefeuilledeprtsetdestimerlaC-VaR10,soitlacreditVaRLaC-VaRreprsenteicilapertemaximale sur un portefeuille de titres revenus fxes ou sur un portefeuille de prts avecuneprobabilitdonneSoit une obligation qui paie un coupon annuel C. Nous supposons quil existe quatrecotesdecrdit,soitquatretatsdelanature,ledernierreprsentantledfautLevecteurdespayoffsdecetteobligationselonlesdiverstatsdelanaturediffreselonquelobligationchoitousesitueendedesadatedchanceTSi(t T1) En fait,ce contrat nest quun contrat forward exerc sur une obligation coupon zro quichoit enT2 Mais quel est le prix du forward ? Il existe une faon de dupliquer ce contrat au temps t en achetant une obligation coupon zro qui choit enT2 et envendantunequantitdexunitsdelobligationquichoitenT1Cetteprocdureacommecotinitial:P(t, T2) xP(t, T1)autempstetrequiertunpaiementyautempsT1quiproduiraunmontantde1$autempsT2. Le prix de ce contrat terme doit par dfnition avoir une valeur nulle linstantT1Parconsquent,xprendlavaleursuivante:x P(t, T2)P(t, T1)desorteque P(t, T2) P(t, T2)P(t, T1) P(t, T1) 0 xestdoncleprixforwardquicorrespond

lachat dune obligation qui choit en T2 au temps T1 Le taux forward peut treobtenu de la manire suivante. Nous savons que le prix forwardduneobligationcouponzroquichoitenT2autempsT1estdonnpar:P(t, T2)P(t, T1) ef1(T2T1)Enprenantlelogarithmedechaquemembredecetteexpressionetaprsquel-quesmanipulations,onobtientlexpressiondutauxforward:

ln P(t, T2)P(t, T1),,]]] f1(T2 T1) f1 ln P(t, T2)P(t, T1),,]]]T2 T1 ln P(t, T2) ln P(t, T1)T2 T1EnsupposantqueT1=TetT2=T+At,At tant un accroissement infnitsimal, onobtientlexpressiondutauxforwarddunempruntinstantan:f(t, T) Tln P(t, T)0 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservspuisquelexpression ln P(t, T2) ln P(t, T1)T2 T1lorsqueAt!0estcelledunedrive

LorsqueT=t,cest--diredanslecasdunempruntforwardquiseffectueinstanta-nment,onobtientexactementletauxcourantinstantan,cest--dire:f(t, t) rtMaiscettefois-ci,cequinestpaslecaspourlertobtenuprcdemment,tantdonnuntauxforwardf(t,T),onpeutretrouverleprixP(t,T)etlerendementR(t,T)On peut dgager le lien entre R(t,T) et f(t,T) en diffrenciant la formule de R(t,T)

= ln P(t, T)T t parrapportTcommesuit3:

R(t, T)T ln P(t, T)T T t ( ) T t ( )T ln P(t, T)T t ( )2j(,,,\,(((

ln P(t, T)TT t + ln P(t, T)T t ( )2

f(t, T)T t R(t, T)T t f(t, T) R(t, T) + (T t)R(t, T)T CQFDEnrsum,lestauxforwardf(t,T)etlerendementR(t,T),quisertconstruirelacourbedesrendementslchance,peuventtrecritsenfonctiondeP(t,T),leprix de lobligation coupon zro. linverse, le prix dune telle obligation peut tre critenfonctionsoitdurendementlchance,soitdutauxforwardPourobtenirleprixdecetteobligationenfonctiondutauxforward,onprocdecommesuit: f(t, u)du ln P(t, u)T du (T t) ln P(t, T)T tj(, \,(tTtT P(t, T) e f (t,u)dutTLeprixdelobligationcouponzroenfonctiondurendementlchancepeutsobtenirenprenantlexponentieldelexpressiondurendement,commesuit:P(t, T) e(Tt )R(t,T)3 On applique la rgle de diffrenciation de la division de deux fonctions Onappliquelargledediffrenciationdeladivisiondedeuxfonctions LemodledeHeath,JarrowetMorton 0 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsDonc, en ce qui concerne la modlisation, on peut choisir de spcifer le comportementduneseuledecestroisquantitsetlesautressuivrontde factoNous sommes maintenant en mesure de passer au modle qui nous intresse dans ce chapitre, cest--dire celui de Heath, Jarrow et Morton (1992)4 un seulfacteur. Nous savons maintenant que les trois descriptions de la courbe des rendements lchance,cest--direcellescorrespondantauprixP(t,T),auxrendementsR(t,T)etauxtauxforward f(t,T), sont quivalentes. On peut donc en choisir une et spcifer son comportementDanscecontexte,lemodleHJMestdoncuneprocdurerigoureuseetpuissantebasesurlestauxforwardf(t,T)Cemodleseprsentecommesuittantdonnunecourbeinitialedetauxforwardf(0,T),letauxforward,pourchaquechanceT,estdonnpar:f(t, T) f(0, T) + (s, T)ds + (s, T)dWs0t 0 t T0tSouslaformediffrentielle,cettequationpeutscrire:dtf(t, T) (t, T)dt + (t, T)dWtoo(t,T)eto(t,T)reprsentent,respectivement,ladrive(drift)etlavolatilitEllesdpendenttoutesdeuxdutempsetpeuventdpendregalementdestauxdintrtetdelhistoiredumouvementbrownien(dWt)jusquautempstLemodleHJMgnralimposequelquesconditionssuroeto,aunombredequatreOnsupposeraque:i) pour chaque chance T, les processus (t,T) et (t,T) sont prvisibleset dpendent seulement de lhistoire du mouvement brownien jusquau

temps t et peuvent sintgrer en ce sens que (t, T) dt0T et 2(t, T)dt0T sont fnies ;ii) lacourbeinitialedestauxforward,f(0,T),estdterministeetsatisfaitla

conditionque f(0, u) du0T < ;iii)ladrive a une intgrale fnie (t, u)0u0T dtdu < ;iv) lavolatilit a une esprance fnie E t, u ( ) dWt0u0T duj(,\,( < 4 DHeath,RJarrowetAMorton(1992),BondPricingandtheTermStructureofInterestRates:A New Methodology for Contingent Claims Valuation , Econometrica, vol60,p77-1050 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsEssentiellement,lesdeuxpremiresconditionsserventsassurerquelestauxforward sont bien dfnis par leurs quations diffrentielles stochastiques. En ce qui concernelesdeuxautresconditions,ellessontassociesaursultat5quistipulequeladiffrentiellestochastiquedelintgraledef(t,T)parrapportTestlintgraledeladiffrentiellestochastiquedef2. modLes cLassiques darbitrage Danscettesection,nousrecouronslanotationsuivante:P(t,T): prixautempstduneobligationdmunieversant1$sonchanceT;t: lensembledinformationdesvaleurspassesetprsentesdestauxdintrtetdesprixdesobligationsdisponibleautempst;v(t,T,t):volatilitdeP(t,T);f(t,T1,T2):tauxterme(taux forward)autempstpourlapriodeschelonnantdeT1T2;F(t,T): taux terme instantan au temps t pour un contrat ayant pour maturitT;r(t): tauxdintrtsansrisquecourttermeautempst;dz(t): processusdeWienerdcrivantlesmouvementdelastructuretermeLavariableF(t,T)estlalimitedef(t,T,T+t),cest--dire:F(t, T) limt0f t, T, T + t ( ) En supposant que le processus neutre au risque de P(t,T) soit un modlecomportantuneseulesourcedincertitude,cest--direunmodleunseulfacteur,leprocessusdcrivantleprixdelobligationestalorsdonnpar: dP(t, T) r(t)P(t, T)dt + v(t, T, t)P(t, T)dz(t) (1)v(t, T, t) 0 f(t, T1, T2) ln P(t, T1)[ ] ln P(t, T2)[ ]T2 T1 (2)ApportonsquelquesexplicationscetteexpressionCetteinversionsexpliquepar le fait que la dfnition de P(T1,T2),leprixtermeduneobligationdmunieautempstpourlapriodeT1T2,estdonnepar:5 Ce rsultat est du mme type que celui trouv par Fubini CersultatestdummetypequeceluitrouvparFubini LemodledeHeath,JarrowetMorton 0 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservs P(T1, T2) P(t, T2)P(t, T1) (3)et que la valeur capitalise de P(T1,T2) doit quivaloir 1$ son chance,cest--dire: P(T1, T2)(1+ T R(t, T1, T2)) 1 $ (4)o R(t,T1,T2) est le taux terme correspondant cette priode et At + T2 T1 Ildcoulede(3)et(4)queR(t, T1, T2) 1T2 T1P(t, T1) P(t, T2)P(t, T2)j(,\,(Par consquent, R(t,T1,T2) se trouve tre un taux dfni en temps discret. Dfnissons f(t,T1,T2)commetantuntauxentempscontinu:f(t, T1, T2) 1T2 T1ln P(t, T1)P(t, T2)j(,\,( ln P(t, T1) ln P(t, T2)T2 T1En appliquant le lemme dIt lquation (1), on obtient lexpressionfamilire: d ln P(t, T1) r(t) v(t, T1, t)22,,]]]dt + v t, T1, t( ) dz(t) (5)soitlquationdcrivantlvolutiondurendementdelobligationdmunieautempstdchanceT1

Oneffectuecetteoprationunesecondefois,caroncherchegalementlvo-lutiondurendementdelobligationautempstdchanceT2Elleestdonnepar: d ln P(t, T2) r(t) v(t, T2, t)22,,]]]dt + v t, T2, t( ) dz(t) (6)Ce qui nous intresse ici, cest lquation dcrivant lvolution des taux terme,cest--direcellequidcritdf(t,T1,T2). Nous savons que :df(t, T1, T2) d ln P(t, T1)T2 T1,,]]] d ln P(t, T2)T2 T1,,]]] d ln P(t, T1)T2 T1 d ln P(t, T2)T2 T10 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsexpressionobtenueparsimplediffrenciationEnsubstituantlesvaleursde(5)et(6)danscettequation,onobtient:df(t, T1, T2) r(t) v(t, T1, t)22,,]]]dt + v t, T1, t( ) dz(t)T2 T1,,,,]]]]]r(t) v(t, T2, t)22,,]]]dt + v t, T2, t( ) dz(t)T2 T1,,,,]]]]]Les deux r(t) sliminant, il ne reste plus alors que df(t,T1,T2) exprim entermesdevolatilit,cest--dire:

df(t, T1, T2) v(t, T2, t)2 v(t, T1, t)22(T2 T1),,]]]dt + v t, T1, t( ) v t, T2, t( )(T2 T1),,]]]dz(t) (7)En effet, il est remarquer que dans cette quation, la drive (drift) dpendmaintenantdelavariancedeP(t,T)Endautrestermes,leprocessusneutreaurisquedcrivant lvolution du taux terme f dpend seulement de la volatilit. En dfnis-santT1=TetT2=T+Tetenprenantlalimitede(7)quandTtendverszro,onobtient le coeffcient de dz(t), donn par : vT v(t, T, t)T (8)cest--dire que le coeffcient de dz(t), lorsque V ! 0, nest autre chose que la dfnition de la drive. On tire la mme conclusion pour le coeffcient de dt, cest--dire6:

v(t, T, t)2T 2v(t, T, t)vT t, T, t( ) (9)6 CommepourlquationdevT,onconstatequelorsqueT 0, le coeffcient de dt est effectivement

la dfinition de la drive, cest--dire: lim0v(t, T, t)2 v(t, T + T, t)2( )T,,,]]]]

v(t, T, t)2T

Mais par la rgle de chane, on obtient galement que :

v(t, T, t)2T 2v(t, T, t)v(t, T, t)T 2v(t, T, t)vT(t, T, t) En galisant ces deux expressions,

onobtientlquation(9),cest--dire:v(t, T, t)2T 2v(t, T, t)vT t, T, t( ) LemodledeHeath,JarrowetMorton 07 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsEn substituant (8) et (9) dans (7) et sachant que df(t,T,T+T) est dfni la limite par F(t,T), on obtient lquation dcrivant lvolution du taux forwardinstantan: dF(t, T) v(t, T, t)vT(t, T, t)dt vT(t, T, t)dz(t) (10)CettequationreprsentelacontributiondeHeath,JarrowetMorton(1992)IlonttlespremiersexprimerlarelationquiexisteentreladriveetlavolatilitdutauxforwardinstantanUnefoisquelafonctionv(t,T,Ut) est spcife, le processus neutreaurisquepourF(t,T)estconnuParconsquent,laconnaissancedesv(t,T,Ut)est suffsante pour dfnir compltement le modle un facteur. En intgrant vT(t,r,Ut)surlintervalle=tet=T,onobtient:v(t, T, t)T d vtT t, , t( )tT v(t, T, t) v(t, t, t)Mais comme nous savons que la volatilit son chance, ici t, est nulle,alorsonobtient:vT(t, , t)d v(t, T, t)tTEn dfnissant m(t,T,Ut)ets(t,T,Ut)commetant,respectivement,ledriftetlavolatilitinstantane,onpeutrcrirelquation(10)commesuit:dF(t, T) m(t, T, t)dt + s(t, T, t)dz(t)o m(t, T, t) s(t, T, t) s(t,tT , t)d .1. processus de taux courtEnutilisantlquation(10),quimodliseletauxforward,nouspouvonsobtenirunprocessusneutreaurisquepourletauxcourtr(t)tantdonnque:dF(, t) F(, t)0t F(t, t) F(0, t)0tetque:F(t,t)=r(t),onobtient:r(t) F(t, t) F(0, t) + dF(, t)0t08 Financecomputationnelleetgestiondesrisques 2006 Presses de lUniversit du Qubecdifce Le Delta I, 2875, boul. Laurier, bureau 450, Qubec, Qubec G1V 2M2 Tl. : (418) 657-4399 www.puq.caTir de : Finance computationnelle et gestion des risques, F.-. Racicot et R. Thoret, ISBN 2-7605-1447-1 D1447N Tous droits de reproduction, de traduction et dadaptation rservsDonc, en remplaant ) t , ( dF par sa valeur, cest--dire celle que donnelquation(10),onobtient: r(t) F(0, t) + v(, t, )vt(, t, t)d0t vt(, t, t)dz(t)0t (11)ot=,T=tet [0,t]Encalculantladiffrentiellede(11),ona:dr(t) Ft(0, t)dt + vt(, t, t)vt(, t, t) + vtt(, t, t)v(, t, t)[ ]d0tdt vtt(, t, t)dz()0tdt vt(, t, )t, ]]dz(t)

Ft(0, t)dt + v(, t, t)vtt(, t, t) + vt(, t, t)2, ]]0t ddt vtt(, t, t)dz()0tdt vt(, t, )t, ]]dz(t) (12)Cettequationestlersultatdunesimpleapplicationdeladiffrentielle(drive)dun produit de fonctions. Pour obtenir le dernier terme de (12), il sufft dappliquer le rsultatqueladriveduneintgraleestgalelintgrantetensuitedappliquerla

diffrentielleparrapportt,cest--dire: vt(, t, t)t d dz(0t )j(,\,( vt(, t, t)t dz(t) Lesdeuximeettroisimetermesde(12)peuventinduireleprocessusdertrenonmarkovienLadrivederdanslintervalledetempstett+tdpendnonseulementderautempstmaisgalementdelhistoriquederavantcettedateCelaimplique que si on recourt la mthode binomiale, larbre ne se recombinera pascommelaccoutume,cest--direquunmouvementdebaissesuividunmouve-ment de haus