Filtres_analogique_Actifs

7/29/2019 Filtres_analogique_Actifs

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SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiii lll ttt rrreeesss AAAccc ttt iii fff sss ...DDDOOOCCC 1

FILTRES ACTIFS

Si la ralisation de filtres passifs en haute frquence ne pose pas de problme, il n'en est pas demme en basse et trs basse frquence, cause du facteur de qualit de la bobine, de sesdimensions et de son cot.On fait donc appel des lments actifs qui permettent de supprimer les bobinages ; actuellement, ce

sont les amplificateurs oprationnels qui sont les plus utiliss.Ils peuvent amplifier, mais ncessitent une alimentation. Les filtres actifs ayant gnralement uneimpdance de sortie faible, la fonction de transfert de plusieurs filtres monts en cascade est gale auproduit des fonctions de transfert de chacun des filtres.

1. GENERALITES

1.1 Caractristiques dun filtre

Les principales caractristiques dun filtre actif sont :

sa ou ses frquence(s) de coupure, sa bande passante (filtres passe-bande et coupe-bande), son coefficient damplification en tension maximal et son gain maximum.Elles ne dpendent, en premire approximation, que des composants passifs utiliss.

1.2 Sensibilit

Ces caractristiques peuvent varier en fonction de diffrents paramtres tels que vieillissement descomposants, variation de temprature, humidit etc...La sensibilit exprime la variation relative dune des caractristiques en fonction de celle duncomposant.Exemple : sensibilit de la frquence centrale dun filtre slectif en fonction de la rsistance R

Sdf f

dR RRfo = 0 0

/

/

1.3 Gabarit dun filtre

Lutilisation damplificateurs oprationnels permet de raliser des filtres dordre lev.Pour rpondre un cahier des charges, le filtre devra sinscrire dans un gabarit :

G (dB)

f

fa fb

reprsente londulation acceptable dans la bande passante, lattnuation dsire partir dunecertaine frquence fb.On montre que lordre n du filtre qui sinscrit dans le gabarit ci-dessus est donn pour une rponse deButterworth, par la relation :

nf

fb

a

log

log

/

/

10 1

10 1

2

10

10


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2. STRUCTURES DES FILTRES ACTIFS

2.1 Filtres contre-raction simple

2.1.1 Circuit de base

i'1 i'2

v'2v1 v2

i1 i2

Q

Q'

Q et Q sont des quadriples passifs constitus de rsistances et condensateurs, quelquefois debobines.En supposant la tension dentre sinusodale, nous pouvons crire, pour Q et Q :

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= +

= +

= +

= +

. .

. .

' ' . ' ' . '

' ' . ' ' . '

(1)

(2)

(3)

(4)

Lamplificateur oprationnel tant considr comme parfait : V2 = V1 = 0 I2 = -I1A partir des quations (2) et (3), nous obtenons :

V

V

V

V

Y

Y

s

e

= = '

'

2

1

21

12

Le quadriple tant passif : Y12 = Y21 Y12 = Y21

V

V

Y

Y

s

e

= 21

21'

Pour calculer ou mesurer Y21 = (I2/V1)V2=0 , on court-circuite la sortie du quadriple et lon fait lerapport entre le courant de sortie et la tension dentre.

2.1.2 Exemples de filtre

Filtre passe-bas :

v'2v1 C1

C1

R R

R1R1

C2


3/12


Calcul du paramtre Y21 du quadriple Q :

v1 C1

R R i2i1

V p RR

R C pI p R

R C p

R C pI p

I pG I p

G C p

I p

R C p

V p

R R C p

Y pR R C p

1

1

11

1

1

21

1

1

1

1

1

21

1

1

2

1

1 2

1

2

( ). .

. ( ). .

. .. ( )

( ). ( )

.

( )

. .

( )

.( . . )

( ).( . . )

.

= ++

=+

+

= +

= +

= +

= +

Calcul du paramtre Y21 du quadriple Q :Q est constitu du quadriple Q en parallle sur un condensateur, leurs paramtres admittance

sajoutent donc.

Le paramtre Y21 du condensateur a pour expression -C2.p, donc :

Y p C pR R C p

' ( ) ( ..( . . )

)21 21

1

2= +

+

T pY p

Y p

R R C p

C pR R C p

R C C p R C p( )

( )

' ( )

.( . . )

..( . . )

. . . . . .= =

+

++

= + +

21

21

1

2

1

21 2

22

2

1

2

1

2 1

Fonction de transfert dun filtre passe-bas du second ordre avec :

01 2

1

1= = R C C. m =C

C T2

1

0

Autres exemples : voir tableau rcapitulatif.

2.1.3 Sensibilits

Calculons par exemple les sensibilits de 0 en fonction de R et de m en fonction de C2 .

( )

Sd

dR R

R C C

R C C

d dR

RC

S

Rfo

Rfo

=

=

=

=

=

0 0

0

1 2

1 2

0 1 2

0

0

2

1

0 5 0 5

1

/

/

. .

ln( ) ln( ) , ln( ) , ln( )

,

/

C = ctes1

Ce qui signifie quune augmentation de R de 10% se traduit par une diminution de 0 de 10%.


4/12


22

m

2CC/dC

m/dmS =

2/1

1

2

C

Cm

= donc son logarithme scrit )Cln(5,0)Cln(5,0)mln( 12 = et sa drive :

C

dC

2

1

m

dm

2

2= lorsque C1 = cte donc :2

1Sm2C =

Ce qui signifie quune augmentation de C2 de 10% se traduit par une augmentation de m de 5%.

2.1.4 Proprits des filtres contre-raction simple

Voir tableau rcapitulatif.

2.2 Filtres contre-raction multiple : structure de Rauch


Y1

Y2

Y3

Y4

vevs

Y5

v

V pY p V(p Y p V p

Y p Y pV p

V pY p

Y pV(p

V(pY p V p Y p V p

Y p Y p Y p Y p

s

s

e s

+=+

+= =

=

=+

+ + +

( )( ). ) ( ). ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ))

)( ). ( ) ( ). ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 5

3 5

3

5

1 4

1 2 3 4

0

Aprs limination de V(p) partir des deux quations prcdentes, on obtient :

( )T p

Y p Y p

Y p Y p Y p Y p Y p Y p Y p( )

( ). ( )

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )=

+ + + +1 3

1 2 3 4 5 3 4

2.2.2 Exemples de filtreFiltre passe-bande :

R1

C1

C2

R2

R3

vevs

v


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On obtient :

T pT m p

p m p

T p

p pm

avec

C C R RR

C C

C C

TR

R

C

C C

cb( ). . /

/ . /

. .

..

:

. . . '/ /

.

=+ +

=+ +

=

=

+

= +

0 0

202

0

0

202 0

0

1 2 3

2

1 2

1 2

0

3

1

2

1 2

2

2 12

1

=

R'=R

=1

R

ch

1

3

On peut remarquer que R2 nintervient que dans lexpression de la pulsation centrale, elle sera doncutilise pour son rglage.On peut simplifier le montage en choisissant C1 = C2 = C, on aura ainsi :

03

2

0

3

1

1

2

=

=

C R RR

TR

R

. '/ /R'=R

=2

C.R

1

3

On en dduit :

= .T.C1

R0

1 ( )2020

2.T2.CR +

= = .C

2R3

Si le coefficient de qualit est tel que Q2

>> T0, lexpression de R2 se simplifie :

RC Q

R

RQ

R

R

Q

TR R

2 2

3

2

2

1

2

2

02

1

2

4

21

=

=

= >>

. .

'

On rglera :

f0 en agissant sur R2 en agissant sur R3 T0 en agissant sur R1Dans ce cas les rglages de f0 et T0 sont indpendants.

En revanche, si lon nexige pas un coefficient de qualit lev, on peut omettre la rsistance R2 .

Autres exemples : voir tableau rcapitulatif.Remarque : la structure de Rauch ne permet pas la ralisation de filtres coupe-bande.

2.2.3 Proprits des filtres contre-raction multiple



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2.3 Filtres source contrle : structure de Sallen et Key

2.3.1 Principe

Lamplificateur utilis est un non inverseur ou un suiveur.

R

R.(k-1)

Dans le premier cas le coefficient damplification vaut k, dans le second, 1.Quel que soit le type damplificateur, on le reprsentera par le symbole suivant :

k

k prenant la valeur 1 dans le deuxime cas.


Y2

Y4ve vsv

kY1 Y3

La tension aux bornes de Y4 ayant pour valeur vs/k :

( )

( ) ( )

V(p

V p Y p V p Y p Y p k

Y p Y p Y p

or : pY p Y p

Y p

p

k

donc :p

V p

k Y p Y p

Y p Y p Y p Y p Y p Y p k Y p Y p

e s

e

)

( ). ( ) ( ). ( ) ( ) /

( ) ( ) ( )

)( ) ( )

( )

( )

( )

( )

. ( ). ( )

( ) ( ) . ( ) ( ) ( ). ( ) . ( ). ( )

=

+ +

+ +

=+

=+ + +

1 2 3

1 2 3

3 4

3

1 3

1 2 3 4 3 4 2 3

V(V

T(p) =V

s

s

2.3.3 Exemples de filtres

Filtre passe-haut :

C

R2ve vsv

k

C

R1


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01 2

2

2

1 1 2

1

= +

=

=

C R R

k G

Gk

GRi i

.

.( )

.m =

G

2. GT

1

1

0

Le montage peut tre simplifi :

k = 1 : montage suiveur

0

1 2 0 0

11

1= = = =

C R R

m

C m C. . . .m =

R

RT R R1

2

0 1 2

R1 = R2 = R

01

= =R C

k.

m =3 - k

2T0

Autres exemples : voir tableau rcapitulatif.

2.3.4 Stabilit

Le coefficient damortissement m peut sannuler si : 2.G2 = (k-1).G1entranant la mise enoscillations du montage. Calculons la sensibilit de m en fonction de k :

Sdm m

dk k

dm

dk

k

m

k

m

R

Rkm = = =

/

/ 2

2

1

Elle est dautant plus grande que le coefficient damortissement est faible. Le risque.dentre enoscillations est alors plus grand.

2.3.5 Proprits des filtres source contrleVoir tableau rcapitulatif.

2.4 Rseau variables dtat

Ces filtres font appel des oprateurs lmentaires :

amplificateur inverseur ou non sommateur intgrateur

2.4.1 Principe

Un filtre du second ordre est caractris par une quation diffrentielle du type :

e(t) = a.s(t) + b.s(t) + c.s(t)

a.s(t) = e(t) - b.s(t) - c.s(t)

+ +

++

1 1/a-c.s(t)

e(t)

-b.s'(t)

a.s''(t) -s'(t)++ +-c

b

-c.s(t)


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2.4.2 Filtre universel

La fonction de transfert dun filtre passe-bas du second ordre a pour expression :

TT

p m pb (p)

/ . /=

+ +0

2

0

2

02 1 =

T

D

0

On passe la fonction de transfert dun filtre passe-bande Tpb en multipliant Tb(p) par 2m.p/0La sortie du filtre passe-bande se trouve donc lentre du second intgrateur.

On passe la fonction de transfert dun filtre passe-haut Th en multipliant Tb(p) par p2/0

2.

La sortie du filtre passe-haut se trouve donc lentre du premier intgrateur.

On passe la fonction de transfert dun filtre coupe-bande Tcb en multipliant Tb(p) par 1+p2/0

2.

On peut par consquent obtenir un filtre coupe-bande en se plaant la sortie dun sommateurauquel on applique les sorties passe-haut et passe-bas, mais on peut galement remarquer que :

1+p2/0

2= D-2m.p/0 donc :

Tcb(p) = Tb(p).(D-2m.p/0) = T0.(1-2m.p/(D.0))

T (p) = T (p).(D - 2m.p / cb b 0

) =

T

m p

D00

12

.. /

do le schma propos :

sortiepasse-haut

sortiepasse-bas

sortiepasse-bande

sortiecoupe-bande

entre

2.4.3 Proprits des filtres variable dtat



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3. DIFFERENTES FORMES DE REPONSES

3.1 Rponse de Butterworth

3.1.1 Fonction de transfert

Cest la rponse maximalement plate qui pour un filtre dordre 2 correspond un coefficientdamortissement m = 0,707.

La fonction de transfert dun filtre dordre n a pour module :

T fT

f

f

T

x

T

P xn n( )

( )=

+

=+

=0

0

2

0

2

0

11

f0: frquence propre du filtre, qui est aussi dans le cas de la rponse de Butterworth, la frquence de

coupure -3dB, car T(f0) = T0/2.

Le polynme P(x) = 1+x2n

doit tre factoris pour synthtiser le filtre dordre n partir de filtres dordre2 et ventuellement un filtre dordre 1 si n est impair.

On peut remarquer que :

si n est impair, x j sont deux zros du polynme les coefficients de P(x) sont rels donc, si a+jb est un zro de P(x), a-jb en est un autre car :

(x-a-jb).(x-a+jb) = (x-a)2

+ b2

est rel

le polynme P(x) est pair : P(-x) = P(x), donc, si a+jb est un zro, -(a+jb) en est un autre.

Par consquent, ds que lon connat un zro de P(x) : a+jb, on peut affirmer que a-jb, -a-jb, -a+jb sontaussi des zros de P(x).

Si n est pair :

P(x) = [(x-a-jb).(x-a+jb).(x+a+jb).(x+a-jb)].[...].[...[(x-a)

2+b

2].[(x+a)

2+b

2].[...].[...

En posant : s = jx, on peutremarquer que P(x) est le carr du module du polynme P(s).P(s) = [b+j(x-a)].[b+j(x-a)].[...].[...

[b+s-ja].[b+ s+ja].[...].[...[(b+s)

2+a

2].[...].[...

[s2+b.s+a

2+b

2].[...].[...

Si n est impair :

P(x) = [(x-j).(x+j)].[(x-a-jb).(x-a+jb).(x+a+jb).(x+a-jb)].[...].[...[x

2+1].[(x-a)

2+b

2].[(x+a)

2+b

2].[...].[...

et :

P(s) = [1+jx].[b+j(x-a)].[b+j(x-a)].[...].[...[1+s].[s2+b.s+a2+b2].[...].[...

La fonction de transfert en s scrit alors :

T sT

( ) = 0[1+s].[s +b.s+ a +b ].[... ].[...

2 2 2


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Exemple :n = 3 P(x) = 1+ x6

donc : x6

= [1;] et x = [1;/6+k/3]les zros du polynme sont rpartis sur le cercle de rayon unit :

a+jb

a-jb

-a+jb

-a-jb

j

-j donc :

a = cos(/6) = 3/2 b = sin(/6) = 1/2

P(s) = [1+s].[s2

+s+1]

Autre exemple : n = 4 P(x) = 1+ x8

donc : x8

= [1;] et x = [1;/8+k/4]

a+jb

a-jb

-a+jb

-a-jb

c+jd

c-jd-c-jd

-c+jd

donc :

a = cos(/8) = 0,9239 b = sin(/8) = 0,3827c = cos(3/8) = 0,3827 d = sin(3/8) = 0,9239P(s) = [s

2+0,7654.s+1].[s

2+1,848.s+1]

Les polynmes de Butterworth sont donns dans des tables :

Ordre Forme quadratique Polynme dordre n

1 s+1 s+1

2 s2

+1,414.s+1 s2

+1,414.s+13 (s+1).(s

2+s+1) s

3+ 2.s

2+ 2.s + 1

4 (s2+0,7654.s+1).(s

2+1,848.s+1) s

4+ 2,6131.s

3+ 3,4142.s

2+ 2,6131.s + 1

5 (s+1).(s2+0,6180.s+1).(s

2+1,618.s+1) s

5+ 3,2361.s

4+ 5,2361.s

3+ 5,2361.s

2+

3,2361.s + 1

6 (s2+0,5176.s+1).(s

2+1,414.s+1).(s

2+1,932.s+1) s

6+ 3,8637.s

5+ 7,4641.s

4+ 9,1416.s

3+

7,4641.s2+ 3,8637.s + 1

3.1.2 Synthse du filtre

Les frquences propres des filtres tant toutes identiques, on peut les synthtiser trs simplement partir dune structure de Sallen et Key. Les filtres seront tous identiques, seul le coefficientdamplification de la source contrle k variera dun tage lautre car :

k = 3-2.m


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Exemple : filtre passe-bas du cinquime ordreC

R

ve C

R

r

(k1-1).r

R

C

C

R

C

R

r

(k2-1).r

vs

Cet tage n'existeque si n est impair

3.2 Rponse de Chebychev

Sa fonction de transfert a pour module :

T x TC xn

( ). ( )

=+

0

2 21 n : ordre du filtre : nombre 0 <


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Pour un filtre dordre n le gain prsente n extremums dans la bande passante. Londulation est

dautant plus grande que est grand.

si n impair : T(0) = 0

si n pair : T0.(1+2)-1/2

La frquence de coupure est dfinie -10log(1+2) et non pas -3dB.

Par rapport au filtre de Butterworth :

le coefficient damortissement est plus faible la coupure est plus rapide la rponse impulsionnelle prsente un dpassement plus important

Les zros du polynme sont calculs de la mme faon que pour un filtre de Butterworth.

3.3 Filtres passe-haut et passe-bande

Les calculs prcdents ont t raliss pour des filtres passe-bas.Ils sont galement valables pour des filtres passe-haut ou passe-bande condition de faire lechangement de variable :

s 1/s pour un filtre passe-haut. s (s+1/s)/x avec x = (f2-f1)/f0 et f0 = (f1.f2)1/2 pour un filtre passe-bande

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