PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 1/14

FILTRAGE LINEAIRE I Filtre de Wien On alimente le circuit de Wien représenté ci-contre par une tension alternative 𝑣"(𝑡) d'amplitude constante et de pulsation w variable. On introduit le paramètre fréquentiel sans dimension x = RCw.

1) Nature du filtre a) Faire un équivalent du montage en basse fréquence puis en haute fréquence et déterminer 𝑣&(𝑡) dans les deux cas. b) En déduire la nature probable du filtre.

2) Fonction de transfert a) La fonction de transfert du circuit peut se mettre sous la forme : 𝐻(𝑗𝑥) = +

,-./01234.

De quel type de filtre s’agit-il ? Justifier. b) Pour quelle fréquence 𝑓+ (en fonction de R et C), les tensions 𝑣"(𝑡) et 𝑣&(𝑡) sont-elles en phase ? AN.

3) La tension d'entrée est désormais une tension triangulaire (figure ci-dessous) de pulsation 𝜔7 et de période 𝑇7 =9:;<= ,

=2, dont

l’expression s'écrit sous la forme approchée : 𝑣"(𝑡) =>?@:A/𝑐𝑜𝑠𝜔7𝑡 +

+,A𝑐𝑜𝑠3𝜔7𝑡 +

+GA𝑐𝑜𝑠5𝜔7𝑡 +⋯4.

Si l’on suppose que la bande passante du filtre est très étroite : a) Quelle sera la forme du signal de sortie ? b) Quelle sera sa fréquence ? Que vaut 𝑓7 ? c) Quelle sera son amplitude ?

Données numériques : R = 20 kW ; C = 50 nF ; Em = 1,0 V.

Réponse : passe-bande ; f1 = 1,6.102 Hz ; f0 = 53 Hz ; Vsm = 30 mV. II Étude d’une cellule de filtrage On étudie la dernière étape d’une alimentation à découpage qui consiste à filtrer une tension rectangulaire par le filtre passif “ L, C ” dans lequel la résistance R symbolise l'ensemble des circuits à alimenter sous une tension presque parfaitement continue. On établit à

l'entrée du filtre une tension sinusoïdale ne (t) de pulsation w.

On note 𝜔79 =+JK

et 𝑄7 =J;<M

. La fonction de transfert du filtre s’écrit alors : 𝐻(𝑗𝜔) =NAN2= +

+1OA

O<A-.P<

OO<

.

1) Rappeler les comportements basse et haute fréquence d’un condensateur et d’une bobine idéale et en déduire la nature du filtre associé à la fonction de transfert H. Est-ce en accord avec l’expression de 𝐻(𝑗𝜔) obtenue précédemment ? Ce montage peut-il permettre d’alimenter correctement les circuits symbolisés par R ? 2) Comment peut-on expérimentalement observer les signaux à l’oscilloscope et tracer la courbe de gain ?

PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 2/14

3) On applique au filtre un signal rectangulaire n1 (t). On appelle a = Tf /T le rapport cyclique, variable (0 < a < 1), de la tension

n1(t).

a) Rappeler la définition d’une valeur moyenne et calculer la valeur moyenne Vmoy de n1(t).

b) On admet que le signal rectangulaire n1(t) est bien représenté par :

𝑣+(𝑡) = 𝛼𝐸 + ?:S𝑠𝑖𝑛(2𝜋𝛼)𝑐𝑜𝑠 /9:

X𝑡4 + Y1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝛼)\𝑠𝑖𝑛 /9:

X𝑡4].

Déterminer la valeur moyenne V20 du signal n2(t) à la sortie du filtre. c) Exprimer l'amplitude du signal sinusoïdal d’entrée (signal de période T). On donne : 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 et 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛9𝜃.

En déduire l’amplitude V2f de la composante alternative de n2(t) en sortie du filtre en fonction de a, E, Q0, w0 et T.

Réponse : passe-bas ; Vmoy = aE ; V20 = aE ; amplitude 9?:𝑠𝑖𝑛(𝜋𝛼) ; 𝑉9= =

Abc &de(:f)

gh+1 icA

jAO<Ak

A-/l<AcjO<

4Am2/A.

III Un gain particulier ! Un quadripôle du premier ordre possède la fonction de transfert : 𝐻(𝑗𝑥) = +1.0

+-.0, où x = RCw est la pulsation réduite.

1) Déterminer le gain G(x) et le déphasage j(x). Commenter : quel pourrait être l’utilisation d’un tel dispositif ? 2) Le logiciel Scilab fournit le diagramme de Bode ci-contre. Commenter. 3) On prend R = 1,0 kW et C = 0,1 nF. On applique un signal

𝑣"(𝑡) = 𝑉"o𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 avec Vem = 1,0 V et w = 1,0.105 rad.s-1. Déterminer le signal de sortie 𝑣&(𝑡). 4) Même question pour C = 10 nF et 1 µF, les autres valeurs étant inchangées.

Réponse : G(x) = 1 et j(x) = - 2 arctan x ; 𝑣&(𝑡) ≈ 𝑣"(𝑡) puis 𝑣&(𝑡) ≈ 1,0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 puis 𝑣&(𝑡) ≈ −𝑣"(𝑡). IV Filtre de Hartley On étudie le montage ci-contre (en sortie ouverte). Dans tout le problème, on prendra : L = 1,0 mH, C = 0,10 µF et R = 10 kW.

1) Prévoir à l’aide de schémas équivalents BF et HF la nature probable du filtre. On rappellera les modèles équivalents des dipôles en basse fréquence (BF) et haute fréquence (HF).

Sa fonction de transfert en sortie ouverte s’écrit : 𝐻(𝑗𝜔) = &"=

stu;

+-9stu;-9JK(.;)A.

2) La mettre sous forme canonique : 𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻7s3l

+10A-s3l en notant 𝑥 = ;

;< la pulsation réduite. Donner la valeur de H0.

On exprimera la pulsation propre w0 et le facteur de qualité Q en fonction de R, L et C, puis on donnera leurs valeurs numériques. Le diagramme de Bode en amplitude est donné ci-dessous :

PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 3/14

3) Mesurer la pente des asymptotes. Retrouver leur valeur à partir de l’étude de la fonction de transfert. 4) Tracer le diagramme de Bode asymptotique pour la phase. Pour cela, on déterminera la valeur de cette dernière pour x << 1 (BF), x = 1 et x >> 1 (HF). 5) Déterminer les valeurs numériques de a et b définis sur le diagramme à partir de l’expression de la fonction de transfert. Vérifier la cohérence avec les valeurs du graphe. 6) Ce quadripôle peut-il servir d’intégrateur ou de dérivateur ? Si oui, dans quelle bande de fréquence ? Justifier. Quel inconvénient présente néanmoins ce montage utilisé pour réaliser ces opérations ?

On étudie la sortie s1(t) lorsqu’on applique à l’entrée le signal 𝑒+(𝑡) = 𝐸7 + 𝐸+o𝑐𝑜𝑠(𝜔+𝑡) avec 𝜔+ = 𝜔7 .

7) Comment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d’électronique ?

8) Déterminer l’expression littérale du signal de sortie s1(t).

On applique maintenant un signal créneau e2(t), de pulsation 𝜔9 =;<,

et d’amplitude E2m = 1 V (figure ci-dessous).

9) Calculer la valeur efficace E2 de e2(t).

Le signal e2(t) est décomposable en série de Fourier : 𝑒9(𝑡) =w?A@:S𝑠𝑖𝑛(𝜔9𝑡) −

+,𝑠𝑖𝑛(3𝜔9𝑡) +

+G𝑠𝑖𝑛(5𝜔9𝑡) −

+x𝑠𝑖𝑛(7𝜔9𝑡) +… ].

10) Tracer l’allure du spectre d’amplitude de e2(t). Préciser les valeurs numériques des pulsations des trois premiers pics d’amplitudes non nulles. 11) En utilisant la courbe de gain en diagramme de Bode fournie, calculer les valeurs numériques des amplitudes de ces pics dans le

signal de sortie s2(t).

En déduire l’expression numérique approchée du signal de sortie s2(t). Justifier alors le nom de « tripleur de fréquence » donné à ce filtre.

12) Quelle seraient approximativement l’allure et les caractéristiques du signal de sortie s3(t) si l’on applique un signal triangulaire

e3(t) de pulsation 𝜔, = 𝜔7 et d’amplitude E3m = 1 V dont la décomposition en série de Fourier s’écrit :

PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 4/14

𝑒,(𝑡) =w?|@:A

S𝑠𝑖𝑛(𝜔,𝑡) ++,A𝑠𝑖𝑛(3𝜔,𝑡) +

+GA𝑠𝑖𝑛(5𝜔,𝑡) +

+xA𝑠𝑖𝑛(7𝜔,𝑡) +… ] ?

On alimente dorénavant le montage avec un échelon e4(t) de hauteur E4m = 1 V (figure ci-dessus). La sortie est alors notée s4(t).

13) En considérant que le condensateur est initialement déchargé, donner la valeur de s4(0+). 14) Donner de même la valeur de /}&i

}~47�

.

15) Établir rapidement l’équation différentielle vérifiée par s4(t) pour t > 0 à partir de l’expression de la fonction de transfert :

𝐻(𝑗𝜔) = &"=

stu;

+-9stu;-9JK(.;)A.

16) A partir des valeurs numériques de R, L et C, prévoir le type de régime du circuit pour la fonction s4(t).

17) Compte tenu des résultats précédents, tracer l’allure du graphe de s4(t). On ne demande pas la résolution de l’équation différentielle !

Réponse : passe-bande ; H0 = 1/2 ; 𝜔7 =+

√9JK ; 𝑄 = 𝑅� K

9J ; ± 20 dB/décade ; j = +p/2 en BF, 0 pour x = 1 et –p/2 en HF ;

a = -6,0 dB et b = -43 dB ; dérivateur en BF et intégrateur en HF ; 𝑠+(𝑡) ≈?2@9𝑐𝑜𝑠(𝜔+𝑡) ; E2 = E2m ;

2,4.104 rad.s-1 puis 7,1.104 rad.s-1 puis 1,2.105 rad.s-1 ; 3,4.10-3 V puis 0,2 V puis 1,7.10-3 V ; 𝑠9(𝑡) ≈ −0,2𝑠𝑖𝑛(7,1. 10w𝑡) ;

𝑠,(𝑡) ≈ 0,2𝑐𝑜𝑠(7,1. 10w𝑡) ; s4(0+) = 0 ; /}&i}~47�= ?

9MK ; 2𝐿𝐶�̈�w +

9JM�̇�w + 𝑠w = 0 ; régime pseudopériodique.

V Filtre pour accéléromètre.

A. Présentation.

Les accéléromètres sont des composants électroniques conçus pour délivrer une tension u(t) proportionnelle à l’accélération a(t) qu’ils subissent. On peut en trouver dans de nombreux appareils, tels que les smartphones ou certaines manettes de jeu vidéo notamment. La fonction de transfert T(jω) relie la tension u(t) délivrée par ce capteur à l’accélération a(t) et décrit sa réponse fréquentielle, à un facteur constant K près :

u = K.T(jω). a Le facteur K traduit la conversion de l’accélération en une tension. K a une valeur typique de 300 mV pour 1 g (1 g = 9,81 m.s-2), en mesure statique, soit donc :

K = 3,06.10-2 V.m-1.s². La courbe de gain correspondant à T(jω) présente l’allure ci-contre.

e2

t E2m

-E2m 0

e4

t

E4m

0

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2018 – 2019 5/14

1) La réponse fréquentielle du capteur présente un phénomène de résonance. Pour quelle fréquence fr a-t-elle lieu?

Quelle serait la valeur d’amplitude de tensionU enregistrée pour une accélérationd’amplitudeA = 0,01m.s-2 qui

seraitappliquéeàcettefréquencefraucapteur?

2) Cephénomèneposera-t-ilproblèmedanslesconditionsusuellesd’utilisation?

B. Réductiondubruitthermique. Le phénomène de bruit thermique consiste en l’existence de termes de tensions électriques parasites naissant au niveau des jonctions entre matériaux conducteurs, donc notamment au niveau des soudures reliant le composant au reste du circuit. Ces tensions sont de valeur aléatoire, fluctuant sur une faible amplitude avec une assez grande fréquence et viennent donc bruiter le signal censé être délivré par le capteur. Le constructeur du composant accéléromètre précise dans sa notice que le bruit thermique a une valeur efficace dépendant de la bande passante d’utilisation du composant.

1) Rappelerladéfinitiondelavaleurefficaced’unegrandeurvariablev(t).

2) L’implantation du composant dans le circuit se réalise en plaçant en sortie un filtre passe-bas selon le schéma ci-

dessous,oùRsestlarésistancedesortieducapteuretClacapacitéd’uncondensateurconnectéentrecettesortieetlamassedel’alimentation.

Déterminerl’expressiondelafonctiondetransfertcomplexeH1(jω)=u1/ureliantlestensionsu(t)etu1(t)

représentéesparleursgrandeurscomplexesassociéesuetu1.

3) Définir, puis exprimer en fonction de RS et C la fréquence de coupure du filtre de transfert H1(jω). Calculer

numériquementlafréquencedecoupurefcobtenuepourC=3,0nF,avecRS=32kΩ.4) LanoticeduconstructeurprécisequelavaleurRMSdubruitthermique,répondàl’expression:

𝑉M�� = 𝑉���1,6. 𝑓K

oùladensitédebruit𝑉�� = 8,5𝜇𝑉.√𝐻𝑧1+etoùfcreprésentelalargeurdebande-passanteimposéepar

l’implantationducapteur.

a) Évaluerunordredegrandeurdesfluctuationsattenduespourlatensionu1(t) liéeaubruitthermique,avecune

sortiederésistanceRS=32kΩsuruncondensateurdecapacitéC=3,0nF. b) Endéduire le niveaude précision attendupour lesmesures d’accélération fournies par le capteur lorsqu’il est

utiliséselonl’implantationétudiée.

C. Suppressiondelacomposantecontinue. Les composants électroniques ont un comportement qui varie légèrement avec la température, ce qui fait que la plupart des appareils de mesure ont une légère composante continue, ou basse fréquence, qui ne reflète pas nécessairement le signal à étudier (ici l’accélération) mais traduit la dérive due aux effets thermiques.

Accéléromètre

C u1(t) u(t))

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2018 – 2019 6/14

L’échelle de temps typique pour ces variations indésirables est de l’ordre de 50 s au moins, soit des fréquences inférieures à 0,02 Hz.

Pour éliminer ce problème, on traite le signal en le faisant passer par un filtre de fréquence de coupure fc de l’ordre de 1 Hz.

1. Onproposeci-dessusletracéasymptotiquedescourbesdegainendiagrammedeBoderelativeàtroisfiltres(a),(b)et(c).Lequelcorrespondlemieuxàl’utilisationsouhaitée?Justifier.

2. Onconsidèrelesignalreprésentéci-dessousàgauche(signald’entrée)appliquéenentréedesdifférentsfiltresainsiquelestroissignauxdesortiesobtenus,dansledésordre.

Ondonneaussilesquatrespectresdepulsationcorrespondantsàcessignaux(ànouveaudansledésordre).

o

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2018 – 2019 7/14

Indiquerenexpliquantbrièvementvotrechoix,àquelsignal(entrée,1,2et3)correspondquelspectre(α,β,γ,δ).Onsynthétiseraceschoixdansuntableau,(quiserviraaussiàlaquestionsuivante):

3. On considère toujours le signal d’entrée proposé ci-dessus. Indiquer, en expliquant brièvement votre choix, àquel

signaldesortie(1,2et3)correspondquelfiltre(a,betc).Onrassembleralesréponsesdansletableauprécédent.

4. Onproposederéaliserlefiltragesouhaitéaumoyendudispositifci-contre:a) Déterminer l’expression de la fonction de transfert complexe reliant la

tensiondesortieus(t)àlatensiond’entréeu(t):H(jω)=us/u.

b) Calculer la valeur de capacité C à choisir pour obtenir une fréquence de

coupurefc=1,00HzenemployantunerésistanceR=100kΩ.

c) Danscesconditions,quelleseralavaleurdugainendécibelspourunefréquencede0,02Hz?

5. a)Lecahierdeschargesstipulequel’amplituded’unsignaldefréquence0,01Hzdoitêtreatténuéed’unfacteur100parrapportàcelled’unsignaldefréquence0,1Hz.Lecircuitprécédentconvient-il?

b) On propose une fonction de transfert Hn(jω) correspondant à un filtre d’ordre n, de forme :

𝐻e(jω) = 𝐻7/𝑗 𝜔𝜔K

4e

/1 + 𝑗 𝜔𝜔K4e = 𝐻7

�𝑗 𝑓𝑓K�e

�1 + 𝑗 𝑓𝑓K�e

Pour le filtre choisi, fc = 1,0 Hz. Déterminer l’ordre n convenable. On pourra justifier en s’appuyant sur l’expression asymptotique de la fonction de transfert.

D. Miseencascade. Onconsidèrelemontagereprésentéci-dessous,appelémontagesuiveur.Lecomposantreprésentéparunrectangleestunamplificateurlinéaireintégré(A.L.I.)quipossèdelespropriétéssuivantes:- Lescourantsi+eti-entrantrespectivementdanslesbornesnotées(+)et(-)sontnuls;- lespotentielsélectriquesV+etV-desbornes(+)et(-)sontégaux,c’estàdirequeladifférencedepotentielentre

lesborne(+)et(-)estnulle;- le courant de sortie IS délivré par l’A.L.I. assure son fonctionnement et s’adapte pour que les conditions

précédentessoientvérifiées.

1. ÉtablirlafonctiondetransfertHs=us1/ue1dumontagesuiveuretvérifierqu’elleestindépendantedelafréquence.Pourquoilemontagesuiveurest-ilnomméainsi?

2. En se référant aux propriétés énoncées quant aux courants d’entrée et desortiedel’A.L.I.,quelestl’intérêtdumontagesuiveur?

R

C

us(t) u(t))

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2018 – 2019 8/14

3. Onréaliselecircuitci-dessous.DéterminersafonctiondetransfertH(jω)=us/u.Conclureenrelationaveclaquestion5.partieC.

Réponse : 20 kHz ; U = 7,7.10-4 V ; 𝐻+ =

++-.MK;

; 𝑓K =+

9:MK ; VRMS = 0,44 mV ; Da = 1,5.10-2 m.s-2 ; filtre b ;

entrée = g ; 1 = a = b ; 2 = d = a ; 3 = b = c ; 𝐻 = .MK;+-.MK;

; C = 1,59 µF ; - 34 dB ; n = 2 ; 𝐻� = 1 ; 𝐻 = / .MK;+-.MK;

49.

VI Le Millennium Bridge Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a été construite au dessus de la Tamise à Londres pour un coût total de plus de 20 millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement et verticalement en cas de forte affluence. Avec un grand nombre de piétons, son mouvement oblique était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient et s’accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos ont montré que ces mouvements latéraux pouvaient avoir une amplitude moyenne de 75 mm et qu’ils se produisaient avec des fréquences de l’ordre du hertz. Le pont fut donc fermé deux jours après son ouverture au public. Dix-huit mois de recherches furent nécessaires pour résoudre le problème et faire les modifications préconisées par les ingénieurs qui furent donc finalement consultés. L’objectif de ce problème est la modélisation d’une passerelle piétonne et la compréhension de certains problèmes posés par le Millennium Bridge de Londres. Les vecteurs sont surmontés d’un chapeau s’ils sont unitaires 𝑢�0 ou d’une flèche dans le cas général �⃗�.

A l’exception de i tel que i2 = −1, les grandeurs complexes sont soulignées : z. Un point sur une grandeur indique la dérivée par rapport au temps de cette grandeur : �̇� = }0

}~.

On examine deux types de capteur délivrant un signal électrique permettant d’enregistrer la marche d'un piéton. Il peut être fixé sous les semelles du marcheur. Capteur capacitif Le capteur est constitué d'un condensateur formé de deux électrodes planes dont la capacité varie avec la charge mécanique F imposée sur sa face supérieure selon la relation :

𝐶 =𝜀𝑆𝑒

où S est l’aire des électrodes, ε la permittivité diélectrique de l'isolant situé entre les électrodes supérieure et inférieure et e l'épaisseur de l'isolant placé entre les deux électrodes.

Cette épaisseur e varie avec la force F appliquée au dispositif F selon la loi : e = eo - a.F

Données numériques : eo = 1,0 mm ; a = 1,0.10-4 mm.N-1 ; S = 5,0 cm² ; ε = 9,0.10-9 F.m-1.

R

CR

us(t) u(t)) R

C montage suiveur

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2018 – 2019 9/14

Le capteur est associé en série avec un condensateur de capacité

Co dans un pont diviseur idéal de tension capacitif, soumis à une tension variable d'alimentation :

ua(t) = Uo.cos(2π.fa.t)

avec fa = 10 kHz.

La tension de sortie us(t) du dispositif est prélevée aux bornes du

condensateur de capacité Co.

La fréquence de variation de la charge mécanique F est supposée suffisamment faible devant la fréquence d'alimentation fa pour être considérée comme nulle aux questions 10, 11 et 12.

10 — Exprimer la relation entre us(t) et ua(t) en fonction de C et Co.

11 — On choisit Co égal à la valeur de C prise pour F = 0. Calculer numériquement Co.

Expliciter la tension us(t) en fonction de Uo, fa, eo, a, F et t.

Montrer qu'en supposant que la charge mécanique F reste telle que aF << eo, on obtient finalement une tension de sortie dont

l'amplitude Us varie de façon affine avec F selon la forme : Us = Uso + b.F en identifiant Uso et b.

La tension us(t) est appliquée à l'une des entrées d'un composant multiplieur, l'autre entrée étant soumise à ua(t). La tension de sortie du multiplieur répond à la relation :

um(t) = q.us(t).ua(t) avec q = 0,10 V-1.

12 — Montrer que la tension de sortie um(t) du multiplieur (repéré par un symbole X sur le schéma) s'explicite selon deux termes dont on exprimera les fréquences.

La sortie du multiplieur est appliquée à l'entrée d'un filtre passe-bas. La tension u(t) récupérée en sortie du filtre passe-bas est celle permettant l’acquisition.

13 — Justifier le choix fc = 100 Hz pour la fréquence de coupure du filtre passe-bas. Capteur par jauge de contrainte. Une jauge de contrainte est un composant résistif, dont la résistance varie avec la déformation qu'il subit quand il est sollicité mécaniquement. On suppose que cette résistance varie selon la loi :

Rc = Ro (1 + r.F)

où Ro = 100 Ω et r = 1,0.10-4 N-1 et F est la charge mécanique imposée au capteur.

ua(t)

us(t)

Co C

ua(t)

us(t) u

m(t) u(t)

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2018 – 2019 10/14

On insère la jauge de contrainte dans un montage en pont de Wheatstone, selon le schéma ci-dessous :

14 — Exprimer la tension u en fonction des résistances R1, R2, R3 et Rc ainsi que de de la tension d’alimentation E.

On choisit R1 = R2 = 1,0 kΩ.

15 — Déterminer la valeur de résistance R3 amenant une tension de mesure u = 0 pour une charge mécanique F nulle. Montrer que dans des conditions normales d’utilisation, la tension de sortie du pont de mesure u est pratiquement proportionnelle à la force F appliquée à la jauge de contrainte. Calculer numériquement u pour F = 800 N.

Réponse : 𝑢&(𝑡) =

++-K�/K

𝑢�(𝑡) ; 𝐶7 = 4,5𝑛𝐹 ; 𝑢&(𝑡) =+

91�¢/"<𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓�𝑡 ; 𝑈& =

¤<9

et 𝑏 = �¤<w"<

;

𝑢o(𝑡) = 𝑞 ¤<A

w/1 + �¢

9"<4 (1 + 𝑐𝑜𝑠4𝜋𝑓�𝑡) ; fréquences 0 et 2fa ; 𝑢 = MAM¦1M2M|

(M2-M¦)(MA-M|)𝐸 ; 𝑅, =

MAM¦M2

; u = 66 mV. VII L’internet par ADSL Beaucoup de logements sont équipés de l’internet par ADSL. Pour pouvoir simultanément téléphoner et rester connecté à internet, il faut équiper les prises téléphoniques d’un filtre ADSL. Dans le document 1 est présentée la fiche technique d’un filtre ADSL classique de type « gigogne ». La partie de filtre qui nous intéresse est comprise entre les branches 1 et 3 (voir schéma de la fiche technique). Les bobines peuvent s’associer en série ou en parallèle sur le même principe que des résistances. On a représenté sur la figure 1 une version simplifiée du filtre qui nous intéresse.

1) À l’aide de la fiche technique du document 1, donner les valeurs numériques des grandeurs caractéristiques des différents composants présents dans le schéma simplifié de la figure 1.

Figure 1 – Schéma simplifié du filtre

2) Par une étude basse et haute fréquences du schéma simplifié, déterminer le comportement de ce filtre à vide (sans rien branché en sortie) et en déduire la nature du filtre.

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2018 – 2019 11/14

3) Déterminer la fonction de transfert à vide du filtre. Est-elle cohérente avec les résultats de la question précédente ? 4) Le comportement du filtre est-il notablement modifié si on place un résistor de résistance égale à 600 W entre les bornes de sortie du filtre, résistance correspondant à celle d’un téléphone ? (on ne demande pas de calculs). 5) Les résultats précédents sont-ils en accord avec le diagramme de Bode proposé dans la fiche technique présentée dans le document 1 ? On observera avec attention la grandeur placée en ordonnée. 6) La fonction de transfert du filtre chargé s’écrit sous forme canonique :

𝐻 =𝐻7

1 − 𝑥9 + 𝑗 𝑥𝑄

où x est la pulsation réduite, H0 une constante, et Q son facteur de qualité. Justifier la pente des asymptotes de la figure 4. 7) Déterminer graphiquement la fréquence de coupure à 3 dB de ce filtre.

Le signal d’entrée est composé de fréquences correspondant à des sons audibles auxquelles sont superposées des fréquences élevées correspondant au signal ADSL, comme représenté de manière simplifiée sur la figure 2. Le téléphone (résistance de 600 W) branché en sortie de ce filtre ne doit récupérer que le signal correspondant aux sons audibles.

Figure 2 – Représentation spectrale d’un signal d’entrée en échelle semilog, avec En l’amplitude spectrale de la composante de fréquence f du signal d’entrée

8) Que peut-on dire du choix de la fréquence de coupure de ce filtre ? Justifier. 9) Indiquer pour chacun des cinq pics du signal d’entrée sa fréquence et son amplitude. A l’aide de la figure 4, déterminer l’amplitude de chacun des pics du signal de sortie (on indiquera les formules utilisées). Récapituler les résultats dans un tableau. Donner alors l’allure de la représentation spectrale du signal obtenu en sortie du filtre ADSL, ainsi que celle que l’on souhaiterait obtenir dans l’idéal. 10) On cherche à recréer ce type de filtre uniquement avec un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C = 1 nF. Proposer un montage correspondant en précisant les tensions en entrée et en sortie. On le justifiera par une étude basse et haute fréquences. Proposer une valeur numérique vraisemblable pour la résistance, compte tenu de la valeur du condensateur. 11) En quoi le filtre proposé dans le document 1 est-il meilleur que ce simple filtre RC ?

Document 1 - Fiche Technique FILTRE Z-200FR (prises gigognes)

PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 12/14

Figure 3 – Schéma technique du câblage électrique. Description des composants L1, L2 : enroulements réalisés sur des bobinettes de ferrite dont les plus grandes dimensions sont d = 8 mm et l = 10 mm. Résistance : 21 W; Nombre de spires : 500 environ. L5, L6 : enroulements réalisés sur des bobinettes de ferrite dont les plus grandes dimensions sont d = 4,5 mm et l = 5,5 mm. Résistance : 2 W; Nombre de spires : 110 environ. L3, L4 : enroulements de 15 ou 16 spires sur de minuscules tores de ferrite dont le plus grand diamètre n’atteint pas 5 mm. Résistance : négligeable. Réponse en fréquence L’affaiblissement d’insertion mesuré, soit l’opposé du gain, entre un générateur d’impédance de 600 W et une résistance de charge de 600 W, en l’absence de courant continu est donné sur la figure 4.

Figure 4 – Diagramme de Bode représentant l’affaiblissement d’insertion mesuré (d’après http ://www.abcelectronique.com)

Réponse : RA = RB = 23 W ; RC = RD = 22 W ; LA = LB = 10,253 mH ; C1 = 22 nF ; passe-bas ; 𝐻 = ++19JK;A-9.MK;

; G(0) = 1 et

G(∞)=0 ; GdB(0) = 20 log H0 donc asymptote horizontale ; GdB(∞) = 20 log H0 – 40 log x donc asymptote à – 20 dB / décade ;

Graphiquement : 9x1+9§¨©(G7777)1§¨©(97777)

≈ −40𝑑𝐵/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑒 ; fC = f(3 dB) = 10 kHz ; f1 = 300 Hz ; A1e = 0,5 V ; A1s = 0,5 V ;

f2 = 500 Hz ; A2e = 0,6 V ; A2s = 0,6 V ; f3 = 700 Hz ; A3e = 0,8 V ; A3s = 0,8 V ; f4 = 20 kHz ; A4e = 0,8 V ; A4s = 0,2 V ;

f5 = 50 kHz ; A5e = 0,9 V ; A5s = 0,04 V ; quadripôle RC en sortie sur C avec 𝑓K =+

9:MK soit R = 16 kW.

PCSI 2 Filtrage linéaire

2018 – 2019 13/14

VIII Détecteur pyroélectrique Bien que l’effet pyroélectrique soit connu depuis les travaux de Brewster (1824), il n’est exploité qu’à partir de 1970 pour équiper des capteurs très sensibles et très robustes de flux lumineux modulé (qui varie légèrement autour d’une valeur moyenne). Son principe de fonctionnement est détaillé ci-après. Un flux lumineux (grandeur d’entrée) excite le matériau, un film très fin, ce qui modifie sa température. Or une température variable au sein de ce type de matériau produit un courant, dit de polarisation (effet pyroélectrique). Ce courant d’intensité i peut être considéré comme provenant d’un générateur de courant idéal en parallèle sur un condensateur de capacité C. Pour constituer le détecteur proprement dit, on lui associe en parallèle un résistor de résistance R très élevée et on détecte la tension à ses bornes (grandeur de sortie du dispositif). Ainsi, un flux lumineux présentant des variations, ici sinusoïdales, autour d’une valeur moyenne, force en cascade l’ensemble du système qui produit en sortie une tension sinusoïdale de même fréquence, et dont l’amplitude dépend de la fréquence du flux lumineux.

Les équations différentielles qui régissent les deux blocs du système, F1 et F2, sont les suivantes :

𝜏+}®}~+ 𝜃 = ¯2

°±²𝜑�(𝑡) (1)

𝑖(𝑡) = 𝑆´}®}~

(2)

où * ja(t) = ϕm.cos(ωt) donne les variations du flux lumineux autour de la valeur moyenne ϕ0 ;

* θ(t) est la variation de température du film autour de sa valeur moyenne T0 ; * i(t) est l’intensité du courant de polarisation qui apparaît dans le film ; * S est la surface du détecteur ; * p est un coefficient caractéristique du matériau appelé paramètre pyroélectrique ;

* τ1 est un temps caractéristique des échanges thermiques dans le matériau ;

* cth est la capacité thermique du film.

Le détecteur proprement dit, noté F3, correspond au circuit ci-dessous dans lequel l’entrée i(t) est le courant de polarisation et où l’on mesure la tension de sortie u(t).

* τ3 = RC est le temps caractéristique (ou constante de temps) du détecteur.

Données : S = 4,00 mm2 ; cth = 3,10.10-4 J.K-1 ; p = 17,0.10-5 C.m2.K-1 ; R = 24,0.109 Ω ; τ1 = 0,159 s ; τ3 = 1,49 s.

1) Enutilisant lanotationcomplexehabituellepour toutes lesgrandeursvariablesde façonsinusoïdaledans le temps,

établirleséquationscomplexes(1’)et(2’)associéesauxéquationsdifférentielles(1)et(2)reliantlesgrandeursja(t),θ(t)eti(t).

2) Établirl’expressiondelafonctiondetransfertH3dudétecteurF3reliantu(t)ài(t)danslaquelleonintroduiraτ3=RCletempscaractéristiquedudétecteur.Quelleestlanaturedecefiltre(onpourrautiliseruneformecanoniquesionlesouhaite)?

3) Montrerquel’ensembledusystèmepeutêtreconsidérécommelamiseencascadedetroisfiltressuccessifsF1,F2et

F3.Onpréciserapourchacunlesgrandeursd’entréeetdesortiesurun«schéma-bloc»dudispositif.

i'

C u (t) R

i (t)

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2018 – 2019 14/14

4) Exprimer la fonctionde transfertH1deF1à l’aidede l’équation (1’)etdéterminer lanaturedece filtre (onpourrautiliseruneformecanoniquesionlesouhaite).

5) ExprimerlafonctiondetransfertH2deF2à l’aidedel’équation(2’)etdéterminerlanaturedecefiltre(onpourrautiliseruneformecanoniquesionlesouhaite).

6) A l’aide des résultats précédents, établir la fonction de transfert H de l’ensemble du dispositif et montrer qu’elle se met sous la forme (A) qui conduit à la forme canonique (B) :

𝐻 = µ¶�= M´�

°±²

¯2¯2-¯|

+2

·O(¸2�¸|)-+-·O¸2¸|(¸2�¸|)

(A)

𝐻 = ¹<+-.P/01234

(B) avec 𝑥 = ;;<= =

=<

où f est la fréquence de modulation du flux lumineux.

Exprimer H0, f0 et Q en fonction des paramètres du problème. Quelle est la nature du filtre complet ? Justifier. 7) Ondonne ci-dessous la courbe de gain du diagrammedeBode fournie par le fabricant.Quelle fréquence donne la

réponse maximale? Comparer à la valeur attendue d’après le modèle. Déterminer H0 et comparer à la valeurattendue.

8) Tracer les asymptotes et déterminer leur pente. Comparer à la valeur attendue. En utilisant l’intersection des asymptotes,

déterminer graphiquement le facteur de qualité et comparer à la valeur attendue. Commenter.

Réponse du capteur pyroélectrique pour une amplitude du flux lumineux ϕm = 1 µW

En abscisse logarithmique : fréquence f de modulation du flux lumineux En ordonnée logarithmique : º𝐻º

Réponse : 𝑗𝜔𝜏+𝜃 + 𝜃 =¯2°±²𝜑� et 𝑖 = 𝑗𝑆𝑝𝜔𝜃; 𝐻, =

M+-.MK;

; 𝐻7 =M�´°±²

¯2¯2-¯|

; 𝑄 = �¯2¯|¯2-¯|

; 𝜔7 =+

�¯2¯|; (𝑓7)"0´ = 0,30𝐻𝑧;

(𝑓7)~½ = 0,33𝐻𝑧; (𝐻7)"0´ = 5,0. 10,;(𝐻7)~½ = 5,1. 10,;(𝐻7)"0´ = 5,0. 10,; (𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒)"0´ = ±19,7𝑑𝐵/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑒; (𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒)~½ = ±20𝑑𝐵/𝑑é𝑐𝑎𝑑𝑒; (𝑄)" = 0,50; (𝑄)~½ = 0,30.