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Files d’attente (1)

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Introduction

Vocabulaire

Caracteristiques

Notations de Kendall

Loi de Little

Modelisation dansle cadre Markovien

Processus de Poisson

File M/M/1

Autres files

Un exemple

Conclusion

Cours de Tronc Commun Scientifique

Recherche Operationnelle

Les files d’attente (1)

Frederic SurEcole des Mines de Nancy

www.loria.fr/∼sur/enseignement/RO/

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Conclusion


1 Introduction

2 VocabulaireCaracteristiquesNotations de KendallLoi de Little

3 Modelisation dans le cadre MarkovienProcessus de PoissonFile M/M/1Autres files

4 Un exemple

5 Conclusion

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Conclusion

Exemples de files d’attente (1)

Noah’s ark, Edward Hicks, 1846.

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Conclusion


Immigrants queuing at Ellis Island, Bettman/Corbis, ca. 1900.

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Conclusion


St Pancras Station, Londres, AFP, dec. 2010.

“File” d’attente ?

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Conclusion


et :

Trafic aerien

Telecommunications (telephonie, call-centers)

Serveurs informatiques

. . .

Objectif : dimensionnement, organisation

par l’estimation de mesures de performance comme :

temps moyen d’attente

nombre moyen de clients dans la file

nombre de serveurs occupes

probabilite que la file soit vide / pleine

. . .

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Un exemple

Conclusion


1 Introduction



4 Un exemple

5 Conclusion

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Conclusion

Caracteristiques d’une file d’attente

"Clients"

File d’attente

.........

"Serveurs"

S1

1234

S2

Sn

“loi” d’arrivee des clients ?

“loi” de la duree des services ?

combien de serveurs ?

quelle est la taille de la file ?

comment s’organise la file ?

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Un exemple

Conclusion

Les notations de Kendall (1953)

File d’attente decrite par :

A/B/m/N/S

ou :

A est la distribution des arrivees : stochastique oudeterministe ;

B est la distribution des temps de service : idem ;

m est le nombre de serveurs ;

N est le nombre maximum de clients dans le systeme ;

S est la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND. . .)

Question : sous quelles conditions peut-on faire des calculs ?

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Un exemple

Conclusion

La loi de Little (1)

Arrivees

Departs

temps

t

1

2

3

4

5

6

7

2

3

1

4

5

Nombre d’arrivees / departs

A(t) nombre d’arrivees pendant [0, t]

D(t) nombre de departs pendant [0, t]

N(t) = A(t)− D(t) nombre de clients au temps t

Ti : temps de sejour (attente + service) du i-eme client

Remarque :

∫ t

0N(u)du =

A(t)∑i=1

Ti − R(t)

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Un exemple

Conclusion

La loi de Little (2)∫ t

0N(u)du =

A(t)∑i=1

Ti − R(t)

Donc :

1

t

∫ t

0N(u)du =

A(t)

t

1

A(t)

A(t)∑i=1

Ti − R(t)

t

Hypotheses : lorsque t → +∞1 1

t

∫ t0 N(u)→ N (nombre moyen de clients presents par

unite de temps)

2A(t)

t → λ (nombre moyen d’arrivees par unite de temps)

3

(∑A(t)i=1 Ti

)/A(t)→ T (temps de sejour moyen)

4R(t)

t → 0

(hypotheses 1,2,3 : “regime permanent”, hypothese 4 naturelle)12/30


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Conclusion

La loi de Little (3)

Proposition - loi de Little (1961)

N = λ · T

Autre version :Nf = λ · Tf

avec :– Nf : nombre moyen de clients dans la file d’attente– Tf : temps d’attente moyen dans la file.

Remarque : resultat general !−→ pas d’hypothese sur la distribution des arrivees ou destemps de services, ni sur la discipline de service.

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Conclusion

Exemple

Un serveur informatique a 5 processeurs recoit en moyenne1000 requetes par seconde.L’administrateur du serveur se rend compte que le serveurest occupe a 100%, et qu’en moyenne 8 requetes sont enattente.

Question 1 : quel est le temps moyen d’attente d’unerequete ? (attention au time-out)loi de Little : Tf = Nf /λ = 8/1000 sec.

Question 2 : quel est le temps moyen de traitement d’unerequete ?T − Tf = (N − Nf )/λ = 5/1000 sec.

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Conclusion


1 Introduction



4 Un exemple

5 Conclusion

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Conclusion

Les clients n’ont pas de memoireHypotheses sur les arrivees A(t) pendant [0, t] :

∀0 6 t1 6 · · · 6 tk ,, les v.a.A(t1)− A(0), . . . ,A(tk)− A(tk−1) sont independantes(phenomene “sans memoire”)

Pr(A(t + h)− A(t) = 1) =h→0 λh + o(h)

Pr(A(t + h)− A(t) > 1) =h→0 o(h)

λ : taux d’arrivee (nombre par unite de temps).

Alors on peut montrer que

1 ∀t, A(t) suit une loi de Poisson :

∀k > 0, Pr(A(t) = k) = e−λt (λt)k

k!2 le temps Tarr entre deux arrivees suit une loi

exponentielle :

∀t > 0, Pr(Tarr = t) = λe−λt

On dit que A(t) est un processus de Poisson.16/30


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Un exemple

Conclusion


0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t

A(t

)

(exemple avec λ = 0.2)

Proprietes : E (A(t)) = λt, E (Tarr) = 1/λ

Remarque : les hypotheses pour arriver a Poisson semblent

restrictives, mais en fait le th. de Palm-Khintchine nous dit que

“sous certaines conditions”, le cumul de processus d’arrivee

non-Poissonniens tend vers un processus de Poisson.17/30


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Un exemple

Conclusion

Les serveurs n’ont pas davantage de memoire. . .

Hypothese : la duree d’un service suit une loi exponentielle.

∀t > 0, Pr(Tserv = t) = µe−µt

De maniere equivalente, si S(t) est le nombre de servicespossibles pendant [0, t],∀t, S(t) suit une loi de Poisson :

∀k > 0, Pr(S(t) = k) = e−µt (µt)k

k!

Ici µ est le taux de service (ou nombre moyen de services parunite de temps) d’un serveur donne.(1/µ est la duree moyenne d’un service.)

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Conclusion

Loi des departs hors du systeme

Attention : la loi des departs D(t) n’a pas de raison d’etrela loi de S(t).

−→ c’est le cas si les serveurs sont occupes en permanence−→ sinon le taux de depart est inferieur au taux de service.

Exemple : cas de s serveurs independants et “sansmemoire”, chacun ayant un taux de service µ.Le centre de service suit alors une loi de service “sansmemoire” de taux sµ.

−→ Loi des departs :

si n > s clients dans le systeme, taux sµ

si n < s clients dans le systeme : taux nµ < sµ.

Justification : Si X et Y v.a. independantes, suivant la loiexponentielle (parametres α et β),alors min(X ,Y ) est une v.a. de loi expo. (param. α + β).

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Conclusion

File M/M/1Exemple canonique : un serveur, file non-bornee.

Arrivees = processus de Poisson, taux d’arrivee λ

Duree des services exponentielle, taux de service µ

−→ hypothese Markovienne (M) dans les deux cas

+ proba d’arrivee et service pendant [0, h] est o(h)

Si m < n :Pr(Nt+h = n|Nt = m) = Pr(A(t +h)−A(t) = m−n|Nt = m)

donc (cf def processus de Poisson)si m < n − 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)et : Pr(Nt+h = n|Nt = n − 1) = λh + o(h)

De meme :si m > n + 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)et : Pr(Nt+h = n|Nt = n + 1) = µh + o(h)

Vocabulaire : Nt = processus de Markov a temps continu.20/30


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Un exemple

Conclusion

File M/M/1 : calculsComme (probabilites totales) :

Pr(Nt+h = n) = Pr(Nt+h = n|Nt = n − 1) · Pr(Nt = n − 1)

+ Pr(Nt+h = n|Nt = n) · Pr(Nt = n)

+ Pr(Nt+h = n|Nt = n + 1) · Pr(Nt = n + 1)

+ Pr(Nt+h = n|Nt 6= {n − 1, n, n + 1})·Pr(Nt 6= {n − 1, n, n + 1})

On deduit :

Pr(Nt+h = n) = (λh + o(h)) Pr(Nt = n − 1)

+(1− λh + o(h))(1− µh + o(h)) Pr(Nt = n)

+(µh + o(h)) Pr(Nt = n + 1)

+o(h) Pr(Nt > n + 1 ou Nt < n − 1)

D’ou :

Pr(Nt+h = n) = λh Pr(Nt = n − 1) + (1− λh − µh) Pr(Nt = n)

+µh Pr(Nt = n + 1) + o(h)

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Autres files

Un exemple

Conclusion

File M/M/1 : vue comme une chaıne de Markov

Pr(Nt+h = n) = λh Pr(Nt = n − 1) + (1− λh − µh) Pr(Nt = n)

+µh Pr(Nt = n + 1) + o(h) (si n > 1 . . . )

D’ou la representation :

0��

λ

44 1��µ

tt

λ

44 2��µ

tt

λ

44 3��µ

tt

λ

33 . . .µ

tt

Remarque : chaıne ergodique ?

Formule des coupes (regime permanent) +∑

pn = 1 :

λp0 = µp1

λp1 = µp2

. . .λpn = µpn+1

. . .

=⇒ ∀n, pn =

(λ

µ

)n

·(

1− λ

µ

)

. . .sous la condition τ = λ/µ < 1

τ : nombre moyen d’arrivees pendant la duree de service.22/30


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Un exemple

Conclusion

File M/M/1 : proprietesSous condition : τ = λ/µ < 1

En regime permanent :

pn = τn(1− τ)

Nombre moyen de clients dans le systeme :

N =+∞∑n=0

npn =τ

1− τNombre moyen de clients dans la file d’attente :

Nf =+∞∑n=1

(n − 1)pn =τ 2

1− τTemps de sejour moyen dans le systeme : (loi de Little)

T = N/λ =1

λ

τ

1− τTemps d’attente moyen dans la file : (loi de Little)

Tf = Nf /λ =1

λ

τ 2

1− τ23/30


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File M/M/1

Autres files

Un exemple

Conclusion

Autres files markoviennes(convention : on ne represente pas les boucles du graphe)

M/M/3

0λ

44 1

µtt

λ

44 2

2µtt

λ

44 3

3µtt

λ

44 4

3µtt

λ

33 . . .3µ

tt

M/M/2/4

0λ

44 1

µtt

λ

44 2

2µtt

λ

44 3

2µtt

λ

44 4

2µtt

−→ formule des coupes.−→ cf formulaire dans le polycopie.−→ attention, la formule de Little dit : T = N/λou λ est le taux d’entree effectif.Et dans le cas M/M/n/K ? T = N/

(λ(1− p(K ))

)24/30


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Un exemple

Conclusion


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4 Un exemple

5 Conclusion

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Conclusion

Comparaison de differentes strategies

Des requetes sont envoyees sur un serveur, taux d’arrivee λ.Arbitrage entre trois types de serveurs :(ou trois types d’organisation de la file d’attente dans une

administration)

1 processeur unique tres puissant avec taux de service mµ,file M/M/1 ;

2 m processeurs legers avec taux de service µ,file M/M/m ;

3 m processeurs legers independants, taux de service µ,chacun possedant une file M/M/1 dans laquelle unnouveau service entre “au hasard” (proba uniforme)

Question : temps de traitement d’une nouvelle requete ?

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Conclusion

Comparaison de differentes strategies

1 M/M/1, taux de service mµ, taux d’arrivee λ

T =1

λ

λ/(mµ)

1− λ/(mµ)

2 M/M/m, taux de service µ, taux d’arrivee λT donne par les formules du polycopie.cf formule Erlang-C.

3 equivaut a m files M/M/1, taux de service µ, tauxd’arrivee λ/m

T =m

λ

λ/(mµ)

1− λ/(mµ)

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Comparaison de differentes strategiesExemple : m = 10, µ = 1

3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

λ

tem

ps d

’atte

nte

cas 1

cas 2

cas 3

Remarque : λ < 10.Explication intuitive ?

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Un exemple

Conclusion


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4 Un exemple

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Un exemple

Conclusion

Conclusion

Deux cas vus aujourd’hui :

File d’attente generale : formules de Little.

File d’attente Markovienne : modelisation par chaıne deMarkov, les calculs en regime permanent / stationnairesont faciles.

Prochaine seance :

Generalisation du cadre M/M(processus de naissance et de mort)

M/MX

M/G

reseaux. . .

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