Figure 1. Exercice1 (Dessin: J. Grote) -...

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Exercices de math´ ematiques - S´ erie n 4 Cours 3MA2DF02 erie distribu´ ee le 10.10.2017 1. Probl` eme. Ecrire les vecteurs (voir figure 1) -→ AB, -→ AC, --→ AD, -→ AE, -→ AF , -→ AG, --→ AH, --→ AM, -→ AS, -→ AR, --→ AK, comme combinaisons lin´ eaires des vecteurs de B pour (1) B = { -→ AB, --→ AD, -→ AE} (2) B = { --→ CM, --→ CD, -→ CR} Figure 1. Exercice 1 (Dessin: J. Grote) 2. Simplifications. Simplifier au maximum (voir figure 2) (1) -→ AB + -→ FG (2) -→ AG + --→ CD (3) --→ EB + -→ CA (4) --→ AH + --→ EB (5) --→ EH + --→ DC + -→ GA (2) -→ AB + --→ BH + GF 3. Parall´ elogrammes. On donne trois points A, B et C . Calculer les coordonn´ ees du sommet D du parall´ elogramme ABCD, celles des milieux M , N , P et Q des cˆ ot´ es [AB], [BC ], [CD] et [DA] respectivement, ainsi que celles des centres de gravit´ e G 1 et G 2 respectifs des triangles ABC et CDA. 1) A =(-4; 1; 3) B = (4; 3; 6) C = (4; -6; 3) 20172018 MaTheX - http://www.mathex.net (page 1/6)

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Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4

Cours 3MA2DF02 Serie distribuee le 10.10.2017

1. Probleme.Ecrire les vecteurs (voir figure 1)

−→AB,

−→AC,

−−→AD,

−→AE,

−→AF,

−→AG,

−−→AH,

−−→AM,

−→AS,

−→AR,

−−→AK,

comme combinaisons lineaires des vecteurs de B pour

(1) B = {−→AB,

−−→AD,

−→AE}

(2) B = {−−→CM,

−−→CD,

−→CR}

Figure 1. Exercice 1 (Dessin: J. Grote)

2. Simplifications.Simplifier au maximum (voir figure 2)

(1)−→AB +

−→FG (2)

−→AG+

−−→CD

(3)−−→EB +

−→CA (4)

−−→AH +

−−→EB

(5)−−→EH +

−−→DC +

−→GA (2)

−→AB +

−−→BH +GF

3. Parallelogrammes.On donne trois points A, B et C. Calculer les coordonnees du sommet D du parallelogrammeABCD, celles des milieux M , N , P et Q des cotes [AB], [BC], [CD] et [DA] respectivement,ainsi que celles des centres de gravite G1 et G2 respectifs des triangles ABC et CDA.

1) A = (−4; 1; 3) B = (4; 3; 6) C = (4;−6; 3)

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4. Droites.On donne une droite d par la representation parametrique: P = {A+λ~v |λ ∈ R}, ou A = (5; 2; 3)et ~v = (−1; 3; 3). Le point Q appartient-il a la droite d ?

1) Q = (6;−10;−8)

5. Droites.Trouver une representation parametrique et donner des equations cartesiennes de la droite

(1) qui passe par A = (1; 2; 3) et a pour vecteur directeur ~v = (0;−2; 2)

(2) qui passe par A = (2; 3; 5) et B = (1; 5; 7)

(3) qui passe par A = (8; 6;−12) et parallele a la droite [BC] ou B = (4; 0;−2) et C =(5;−2; 3)

6. Distance.Calculer la distance du point P a la droite d(A,~v) pour:

1) P = (1; 2; 2) A = (1;−1; 2) ~v = (1; 1; 1)

2) P = (3; 1; 4) A = (1; 0; 0) ~v = (1; 2;−1)

7. Traces.Determiner les traces des droites suivantes:

1)

xyz

=

1−3

3

+ λ

11−3

2)

xyz

=

259

+ λ

053

8. Droites.

Determiner la position relative des droites suivantes, la distance des deux droites ou le pointd’intersection et l’angle aigu des deux droites

1) d1 :

x = −3λ− 2y = 8λ+ 10z = −5λ− 2

d2 :

x = 3µ+ 5y = −2µ+ 1z = 2µ+ 13

2) d1 :

xyz

=

08−7

+ λ

12−2

d2 :

xyz

=

−907

+ µ

31−4

Figure 2. Exercice 2 (Dessin: J. Grote)

Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 3/6)

3) d1 passe par les points A =

753

et B =

917

d2 passe par les points P =

313−5

et Q =

019−11

9. Droites tangentes.

Pour quels nombres reels a et b le graphe de la fonction f(x) = x3 +ax2 +bx admet-il une tangentehorizontale au point (1, 1) ?

10. Droites tangentes.Pour quels nombres reels a et b la courbe d’equation y = x3 + ax2 + bx admet-elle pour tangente,au point d’abscisse (i.e. de coordonnee horizontale) −1, la droite d’equation y = x+ 4 ?

11. Droites tangentes.Quels sont les points de la courbe d’equation y = x3 +x2 en lesquels la tangente passe par l’origine?

12. Droites tangentes.

(1) Trouver les equations de toutes les droites tangentes au graphe de la fonction f(x) =4− x2 + x4 passant par le point P = (0, 4)

(2) Meme question pour le point P = (0, 0).

13. Jeu video.Sur l’ecran d’un jeu video que montre la figure 3, on peut voir des avions qui descendent de

gauche a droite en suivant la trajectoire d’equation y = 2x+1x

et qui tirent des balles selon latangente a leur trajectoire en direction des cibles placees sur l’axe 0x aux abscisses 1, 2, 3, 4 et 5.

(1) Une cible sera-t-elle touchee si le joueur tire au moment ou l’avion est en P = (1; 3) ?(2) Meme question si P = (3

2; 8

3).

(3) Determiner les positions de l’avion permettant d’atteindre chacune des cibles.

14. Ombre. Une source lumineuse se trouve a 10 metres d’un mur vertical. Notre amiBernard, qui fait 1.8 m, s’approche de cette source lumineuse a la vitesse de 0.5 metres parseconde (voir figure 4). A quelle vitesse se deplace l’ombre de sa tete sur le mur ?

15. Continuite.Determiner une solution approchee a 0.01 pres dans l’intervalle prescrit de l’equation

1) cos(x)− x = 0 0 ≤ x ≤ π2

2) x3 − 3x2 − 7x+ 1 = 0 − 2 ≤ x ≤ 0

3) cos(x)− x2 = 0 0 < x < 1

16. Continuite.On considere deux nombres a et b tels que a < b, ainsi que la fonction f donnee par f(x) =x+ (x− a)(x− b). Utiliser le theoreme de la valeur intermediaire pour demontrer qu’il existe unevaleur x0 telle que f(x0) = a+b

2.

Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 4/6)

17. Continuite.Soit f une fonction continue de [a; b] vers [a; b]. Prouver qu’il existe c ∈ [a; b] tel que f(c) = c.(Indication: Faire une esquisse du graphe de f et de celui de la fonction identite.)

18. Continuite.Soit f la fonction de R dans R definie par

f(x) =

(x+ b)2 si x < −1

a si x = −1

−12x+ 1

2si x > −1

(1) Esquisser le graphique de f pour a = −12

et b = 2.(2) Si b = 2, existe-t-il une valeur de a pour laquelle la fonction f est continue en x0 = −1 ?(3) Calculer, si elle existe, la limite lim

x→−1f(x) pour b = 2.

(4) Si b = 1, existe-t-il une valeur de a pour laquelle la fonction f est continue en x0 = −1 ?(5) La fonction f admet-elle une limite en x0 = −1 si b = 1.

19. Miroir parabolique.Le graphe de la fonction f(x) = ax2 represente un miroir parabolique (voir figure 5). Montrer queles rayons verticaux tombant sur le miroir sont tous reflechis en un meme point (0, F ), appele lefoyer.

20. Plans.Soit π le plan d’equation 2x+ 3y − 3z − 5 = 0. Le point Q appartient-il au plan π ?

1) Q = (0; 2; 2) 2) Q = (4; 32; 5

2)

Figure 3. Exercice 13

Exercices de mathematiques - Serie n◦ 4 (page 5/6)

10 m

Figure 4. Exercice 14

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

i

ip

r

x

f(x)

F

Figure 5. Miroir parabolique (f(x) = ax2).

21. Distance.Calculer la distance du point P au plan (ABC) pour:

1) A = (0; 0; 0) B = (−1;−2;−3) C = (2;−3;−1) P = (3; 2;−1)

22. Plans.Trouver une representation parametrique et l’equation cartesienne du plan:

(1) qui passe par A = (1;−2; 3) et admet pour vecteurs directeurs ~v = (0;−2; 2) et ~w =(5; 8;−3)

(2) qui passe par A = (0; 0; 0), B = (2; 1;−1) et C = (1; 3;−1)

23. Plans.Trouver une representation parametrique des plans d’equations:

1) 2x− 3y + 4z + 5 = 0

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24. Intersections.Determiner les coordonnees du point d’intersection de la droite d et du plan Π pour:

1) d :

x = −4− 5λy = 8 + 6λz = 3− λ

Π : 2x+ 3y − z − 5 = 0

25. Plans.Determiner une representation parametrique de la droite d’intersection des deux plans Π1 et Π2

pour:

1) Π1 : x− 2y + z + 3 = 0 Π2 : x+ y − 3z − 2 = 0

2) Π1 :

x = 3 + ky = 1 + nz = 2 + n

Π2 :

x = 4y = 2 + 2pz = −p+ q

3) Π1 : x− 2y + z = 0 Π2 : (PQR) P = (2; 3; 1), Q = (−3; 0; 2), R = (1; 2; 3)

4) Π1 : (ABC) A = (6; 4; 7), B = (9; 2; 9), C = (1; 7; 0)

Π2 : (PQR) P = (2; 2; 4), Q = (6; 13; 4), R = (1; 3; 7)

26. Plans.Montrer que les plans d’equations 3x − y + 9z + 4 = 0, x + y − z = 0 et x + 2y − 4z − 1 = 0ont une infinite de points communs. Determiner une representation parametrique de leur droitecommune.

27. Traces.Determiner les traces des plans suivants:

1) 3x+ 4y − z − 5 = 0

2)

x = 6 + 3k − 2ny = 6 + k − nz = 2 + 2k − n

3) (A;B;C), A = (3; 4; 0), B = (−3; 8; 1), C = (1; 2;−3)

28. Limites. Calculer, si elles existent, les limites suivantes

1) limx→0

sin(2x)

x2) lim

x→0

sin(3x)

sin(2x)

3) limx→0

sin(x4

)5x

4) limx→0

1− cos(x)

sin2(x)

5) limx→0

tan(7x)

sin(3x)6) lim

x→0

sin(ax)

xa 6= 0

7) limx→1

sin(x− 1)

x− 18) lim

x→0

tan(x)

x

9) limx→π

2

cos(x)

x− π2

10) limx→0

sin(x)

2x2 + x