Fiches pédagogiques « Table de Pythagore » Version du 31/08/2018

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Fiche séquence 5 Objectif de fin d’école élémentaire : Explorer les nombres et les propriétés des opérations. Objectifs opérationnels de la séance : Explorer les relations sur les nombres par les décompositions multiplicatives.

Programmes pour les cycles 2, 3 et 4 – B.O. n° 30 du 26 juillet 2018 Cycle 2 :

Nombres et calcul. L’étude de relations internes aux nombres : comprendre que le successeur d’un nombre entier c’est « ce nombre plus un », décomposer/recomposer les nombres additivement, multiplicativement, en utilisant les unités de numération (dizaines, centaines, milliers), changer d’unités de numération de référence, comparer, ranger, itérer une suite (+1, +10, +n), etc. L’appropriation de stratégies de calcul adaptées aux nombres et aux opérations en jeu. Ces stratégies s’appuient sur la connaissance de faits numériques mémorisés (répertoires additif et multiplicatif, connaissance des unités de numération et de leurs relations, etc.) et sur celle des propriétés des opérations et de la numération. Le calcul mental est essentiel dans la vie quotidienne où il est souvent nécessaire de parvenir rapidement à un ordre de grandeur du résultat d’une opération, ou de vérifier un prix, etc. Une bonne connaissance des nombres inférieurs à mille et de leurs relations est le fondement de la compréhension des nombres entiers, et ce champ numérique est privilégié pour la construction de stratégies de calcul et la résolution des premiers problèmes arithmétiques.

Objectifs de fin de Cycle 2 : Calculer avec des nombres entiers. Mémoriser des faits numériques et des procédures.

- tables d’additions et de multiplications. - décompositions additives et multiplicatives de 10 et de 100, compléments à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure, multiplication par 10 et par 100, doubles et moitiés de nombres d’usage courant, etc.

Mobiliser en situation ses connaissances de faits numériques et ses connaissances sur la numération pour par exemple : - répondre à des questions comme : 7 × 4 = ? ; 28 = 7 × ? ; 28 = 4 × ?, etc.; - retrouver que 24 × 10, c’est 24 dizaines, c’est 240.

Calcul mental et calcul en ligne Traiter a l’oral et a l’écrit des calculs relevant des quatre opérations ; Élaborer ou choisir des stratégies, expliciter les procédures utilisées et comparer leur efficacité :

- addition, soustraction, multiplication, division - propriétés implicites des opérations :

• 2 + 9, c’est pareil que 9 + 2 • 3 x 5, c’est pareil que 5 x 3 • 3 × 5 × 2, c’est pareil que 3 × 10.

- propriétés de la numération : • « 50 + 80, c’est 5 dizaines + 8 dizaines, c’est 13 dizaines, c’est 130 » • « 4 × 60, c’est 4 × 6 dizaines, c’est 24 dizaines, c’est 240 ».

- propriétés du type : 5 × 12 = 5 × 10 + 5 × 2. Calcul mental : Calculer sans le support de l’écrit, pour obtenir un résultat exact, pour estimer un ordre de grandeur ou pour vérifier la vraisemblance d’un résultat ; Résoudre mentalement des problèmes arithmétiques, à données numériques simples. En particulier :

- calcul sur les nombres 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100 en lien avec la monnaie ; - calcul sur les nombres 15, 30, 45, 60, 90 en lien avec les durées.

Calcul en ligne : calculer avec le support de l’écrit, en utilisant des écritures en ligne additives, soustractives, multiplicatives, mixtes. Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication.

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Programmes pour les cycles 2, 3 et 4 – B.O. n° 30 du 26 juillet 2018

Cycle 3 : Nombres et calcul. Au cycle 3, l’étude des grands nombres permet d’enrichir la compréhension de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs. Le calcul mental ou en ligne, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction. Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté permet de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres. Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l’exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s’agit d’amener les élèves à s’adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s’appuyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaires automatisés. De même, si la maitrise des techniques opératoires écrites permet à l’élève d’obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l’occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d’algorithmes complexes.

Objectifs de fin de Cycle 3 : Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux. Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul. Mobiliser les faits numériques mémorisés au cycle 2, notamment les tables de multiplication jusqu’à 9. Connaitre les multiples de 25 et de 50, les diviseurs de 100. Calcul mental ou en ligne Connaitre des procédures élémentaires de calcul, notamment :

- multiplier ou diviser un nombre décimal par 10, par 100, par 1000 ; - rechercher le complément à l’entier supérieur ; - multiplier par 5, par 25, par 50, par 0,1, par 0,5.

Connaitre des propriétés de l’addition, de la soustraction et de la multiplication, et notamment - 12 + 199 = 199 + 12 - 5 x 21 = 21 x 5 - 27,9 + 1,2 + 0,8 = 27,9 + 2 - 3,2 × 25 × 4 =3,2×100 - 45 × 21 = 45 × 20 + 45 - 6 × 18 = 6 × 20 -6 × 2 - 23 × 7 + 23 × 3 = 23 × 10.

Connaitre les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10. Utiliser ces propriétés et procédures pour élaborer et mettre en œuvre des stratégies de calcul. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant un ordre de grandeur. Dans un calcul en ligne, utiliser des parenthèses pour indiquer ou respecter une chronologie dans les calculs. Calcul posé Connaitre et mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour effectuer :

- l’addition, la soustraction et la multiplication de nombres entiers ou décimaux ; - la division euclidienne d’un entier par un entier ; - la division d’un nombre décimal (entier ou non) par un nombre entier.

Calcul instrumenté Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

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Séance 1/1 - Déroulement

Objectifs :

- Explorer les relations sur les nombres par les décompositions multiplicatives. - Émettre des hypothèses et les vérifier de façon empirique et/ou par le calcul.

Nature de la séance : recherche. Matériel :

- un ordinateur équipé du logiciel « Table de Pythagore », - un vidéoprojecteur, - des supports pour des prises de notes partagées : affiches, traitement de texte projeté, table d’essais…

• Étape 1. Proposer le problème suivant : Le nombre 2 possède, en tout, 4 triples et tiers entiers dans la table de multiplications (0 tiers et 4 triples). À part zéro, quels sont les nombres qui possèdent le plus de triples et tiers entiers dans la table ?

Environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

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• Étape 2. Après avoir fait des essais de calculs, les élèves peuvent faire des propositions dont les résultats peuvent être aisément vérifiables. Par exemple, le nombre 4 possède plus de triples et tiers entiers que le nombre 2 dans la table.

À partir de l’environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

Le nombre 12 en possède encore davantage.

À partir de l’environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

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• Étape 3. Peut-être que des élèves penseront que les nombres qui possèdent le plus de triples et tiers entiers appartiennent à la table de 3. Des vérifications peuvent être faites rapidement.

À partir de l’environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

À partir de l’environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

Il est, à ce stade, intéressant de s’interroger quant au fait que les multiples de 3 ont plus de triples et tiers entiers. En fait ce sont les seuls qui peuvent présenter des tiers entiers. Les autres nombres ne peuvent présenter de tiers entiers, ce qui réduit mécaniquement les chances d’être une réponse pertinente à la question de départ.

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À partir de l’environnement « Triples et tiers entiers - E01 »

• Étape 4. Mise en commun de constats concernant les nombres de la table de 3. Le même type de tableau peut-être réalisé pour les nombres d’autres tables afin de vérifier si l’appartenance à la table de 3 permet de trouver les nombres possédant le plus de triples et tiers entiers.

Les multiples de 3 Nombre de triples Nombre de tiers entiers Total

3 1 3 4 6 2 4 6 9 2 2 4

12 3 5 8 15 2 2 4 18 4 2 6 21 2 2 4 24 4 4 8 27 30 33 ...

Les élèves peuvent, à partir de l’organisation de ces constats, émettre de nouvelles hypothèses sur des « règles » qui permettent d’expliquer pourquoi :

- le nombre 12 possède plus de triples et tiers entiers que le nombre 15, - le nombre 24, qui est le double du nombre 12, possède le même nombre de triples et tiers entiers, - …

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On peut s’intéresser à la décomposition multiplicative (en facteurs premiers) de ces nombres :

Les multiples de 3 Décomposition multiplicative

3 = 3 6 = 2 x 3 9 = 3 x 3 12 = 2 x 2 x 3 15 = 3 x 5 18 = 2 x 3 x 3 21 = 3 x 7 24 = 2 x 2 x 2 x 3 27 = 30 33 ...

Ce sont les multiples de trois qui ont le grand nombre de 2 dans leur décomposition multiplicative qui ont également le plus de triples et tiers entiers dans la table. Il suffit d’observer que les nombres pairs (donc des multiples de deux) sont les nombres les plus fréquents dans la table pour expliquer le constat.

• Étape 5. Conclure la séance en :

- rappelant les objectifs de départ, - conservant une trace des constats déjà effectués, - annonçant qu’il est possible de s’interroger sur d’autres situations de multiples et sous-multiples (quintuples et cinquièmes

entiers par exemple).