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FICHE DE RÉVISION DU

BAC

Mathématiques – Séries S – ES/L – STMG – STI2D – STL

LOIS A DENSITÉ

LE COURS

[Série – Matière – (Option)] [Titre de la fiche]

1

Note liminaire

Programme selon les sections : - lois normales : toutes sections - lois uniformes : STI2D – STL – S – ES/L - lois exponentielles : STI2D, STL, S

Prérequis

Etude de fonctions – exponentielle – intégration – continuité – variable aléatoire – loi binomiale – espérance –

écart-type

Plan du cours

1. Lois à densité 2. Lois uniformes 3. Lois exponentielles 4. Lois normales

1. Lois à densité

Les lois à densité concernent l’étude des séries statistiques à caractère continu (contrairement aux probabilités discrètes). Définition : On dit qu’une fonction f définie sur un intervalle I ( ) est une densité de probabilité si : - f est continue sur I - f est positive sur I - l’aire sous la courbe est égale à 1 u. a. (unité d’aire).

f étant positive, la troisième condition peut se formuler :

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Exemple :

sur

f est continue sur et pour tout

donc f est une densité de probabilité.

Définition : Soit f une densité de probabilité sur I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I, si pour tout intervalle , la probabilité de l’événement « » est égale à :

Remarques : - correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle J. - Les probabilités correspondent aux intégrales, et non aux valeurs prises par la fonction f.

- (on retrouve la probabilité de l’événement certain)

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- (comme pour toute probabilité) Union d’événements incompatibles entre eux Soient des intervalles de I tels que les événements « » ( ) soient incompatibles entre eux (c’est-à-dire disjoints). On a alors :

Probabilités conditionnelles : Soient un intervalle et un intervalle tel que . On a alors :

Propriétés :

- si alors

- pour tout

- si J est un intervalle de I ou une réunion d’intervalles de I alors

Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité f sur est :

L’espérance correspond à la notion de moyenne.

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2. Lois uniformes

Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur un intervalle ( ) si sa densité de

probabilité est la fonction f définie sur par

- On a bien alors

-La loi uniforme correspond à une situation d’équiprobabilité.

Ex : est une loi uniforme sur .

Probabilité : La probabilité de l’événement « » (avec ) est alors :

Ex : sur .

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Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est :

Ex : sur .

3. Lois exponentielles

Définition : On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre ( réel strictement positif) si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur par :

- On a bien alors

- Ex : sur est une loi exponentielle.

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Probabilité : La probabilité de l’événement « » (avec ) est :

La probabilité de l’événement « » (avec ) est :

Ex : sur

Espérance : L’espérance d’une variable aléatoire X à densité uniforme f sur est :

Ex : sur

Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi exponentielle, et t et h réels positifs, alors :

Cette propriété est appelée de durée de vie sans vieillissement. En effet, si X est interprétée comme la durée de vie d’un appareil, la probabilité que l’appareil fonctionne encore à l’instant t+h sachant qu’il fonctionne à l’instant t est la même que la probabilité qu’il fonctionne à l’instant h (si l’appareil fonctionne encore à l’instant t, tout se passe comme s’il n’avait pas vieilli jusqu’à cet instant).

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4. Lois normales

Définition : On dit qu’un variable aléatoire Z est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son écart-type est égale à 1.

et Propriétés :

- Soit X est une variable aléatoire quelconque. Soit Z la variable aléatoire telle que :

Z est alors une variable aléatoire centrée réduite. Cette propriété permet de passer facilement d’une variable aléatoire quelconque à une variable aléatoire centrée réduite. - La loi de probabilité d’une variable aléatoire centrée réduite est une fonction paire (Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées). On a donc pour tout réel a positif:

Loi normale centrée réduite :

La fonction f définie sur R par est une densité de probabilité. On l’appelle loi normale

centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :

Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Etant centrée réduite, elle a pour espérance 0 et pour écart-type 1, et qu’elle est une fonction paire (avec les propriétés définies précédemment). Ex : (aire en rose sous la courbe)

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Propriété : - Soit Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel

tel que : - On peut en déduire : Soit . Si une variable aléatoire Z suit une loi normale , alors il existe un unique réel tel que : La calculatrice permet de trouver ce réel a en entrant en paramètres l’espérance, l’écart-type et la probabilité p.

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Loi binomiale : Dans le cadre de probabilités discrètes, pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale , on rappelle qu’on a :

Représentation graphique : Ex : En abscisse : k correspondant au nombre de succès En ordonnée : correspondant à la probabilité d’obtenir k succès

Si X suit la loi binomiale alors est centrée réduite.

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Théorème de Moivre-Laplace : Soit p réel tel que . Soit une suite de variables aléatoires telle que chaque variable aléatoire soit la loi binomiale

. A chaque on associe telle que ( est centrée réduite).

Alors, pour tous réels a et tels que , on a :

Ce théorème permet de passer du cas discret au cas continu, il permet de montrer que la loi normale est une extension au cas continu de la loi binomiale.

Loi normale :

Soient réel et réel positif.La fonction f définie sur R par est une densité de

probabilité. On l’appelle loi normale centrée réduite et on la note . Pour a et tels que on a :

Cette intégrale ne peut se calculer que de manière approchée (par la fonction spécifique de la calculatrice). Son espérance est est son écart-type est .

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Exemples :

(en bleu) (en rouge) (en vert)

Propriétés :

- Si une variable aléatoire X suit une loi normale , alors la variable aléatoire suit la loi

normale centrée réduite. - On a :

(à près)

(à près)

(à près) Presque l’intégralité des valeurs possibles pour X se situent donc dans l’intervalle .