Fiche de Rappel

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Fiche de Rappel Mécanique 1 Cinématique du point matériel 1.1 Coordonnées cartésiennes Repère : (O,e x ,e y ,e z ) Coordonnées : x ]−∞;+[ y ]−∞;+[ z ]−∞;+[ Position : −−→ OM = xe x + ye y + ze z Déplacement élémentaire : d −−→ OM = dxe x + dye y + dze z Vitesse : −→ v (M )=˙ xe x ye y ze z Accélération : −→ a (M )=¨ xe x ye y ze z 1.2 Coordonnées cylindriques Repère : (O,e r ,e θ ,e z ) Coordonnées : r [0; +[ θ [0; 2π[ z ]−∞;+[ Position : −−→ OM = re r + ze z Déplacement élémentaire : d −−→ OM = dre r + rdθe θ + dze z Vitesse : −→ v (M )=˙ re r + r ˙ θe θ ze z Accélération : −→ a (M ) = (¨ r r ˙ θ 2 ) e r +(r ¨ θ +2˙ r ˙ θ) e θ ze z

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Fiche de RappelMécanique

1 Cinématique du point matériel

1.1 Coordonnées cartésiennes

Repère : (O, ex, ey, ez)

Coordonnées :

x ∈ ]−∞; +∞[y ∈ ]−∞; +∞[z ∈ ]−∞; +∞[

Position :−−→OM = xex + yey + zez

Déplacement élémentaire : d−−→OM = dxex + dyey + dzez

Vitesse : −→v (M) = xex + yey + zez

Accélération : −→a (M) = xex + yey + zez

1.2 Coordonnées cylindriques

Repère : (O, er, eθ, ez)

Coordonnées :

r ∈ [0; +∞[θ ∈ [0; 2π[z ∈ ]−∞; +∞[

Position :−−→OM = rer + zez

Déplacement élémentaire : d−−→OM = drer + rdθeθ + dzez

Vitesse : −→v (M) = rer + rθeθ + zez

Accélération : −→a (M) = (r − rθ2)er + (rθ + 2rθ)eθ + zez

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1.3 Coordonnées sphériques

Repère : (O, er, eθ, eφ)

Coordonnées :

r ∈ [0; +∞[θ ∈ [0; π]φ ∈ [0; 2π[

Position :−−→OM = rer

Déplacement élémentaire : d−−→OM = drer + rdθeθ + r sin θdφeφ

Vitesse : −→v (M) = rer + rθeθ + r sin θφeφ

1.4 Mouvements usuels

Remarquons qu’on dit d’un mouvement qu’il est— accéléré si a · v > 0,— retardé si a · v < 0— et uniforme si a · v = 0.

Ce dernier cas se produit, soit pour une accélération nulle (cas du mouvement rectiligne uni-forme), soit pour un accélération normale à la vitesse (cas du mouvement circulaire uniforme).

1.4.1 Mouvement rectiligne uniforme

Le problème se réduit à un seul paramètre de position (par exemple x). L’accélération est nullea = 0.

On a

x = 0x = v0

x = v0t + x0

1.4.2 Mouvement rectiligne uniformément accéléré

Toujours avec un paramètre de position unique x, mais cette fois l’accélération est constantea = a0ex.

On a

x = a0

x = a0t + v0

x = 12

a0t2 + v0t + x0

Si la vitesse initiale n’est pas colinéaire à l’accélération, on a un mouvement parabolique dansle plan défini par (M0, v0, a0) :

x = 0y = 0z = a0

x = v0x

y = 0z = a0t + v0z

x = v0xt + x0

y = y0

z = 12

a0t2 + v0zt + z0

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1.4.3 Mouvement circulaire uniforme

On travaille en coordonnées polaires dans le plan xOy, avec le repère (O, er, eθ).On rappelle que les vecteurs de la base polaire sont mobiles et qu’il faut donc les dériver :(

der

dt

)= θeθ

(deθ

dt

)= −θer

Pour un mouvement circulaire r(t) = R = cte. Comme r = 0, il vient :

−−→OM = Rer

−→v (M) = Rθeθ

−→a (M) = −Rθ2er + Rθeθ

On introduit la notion de vitesse angulaire : ω = θ .

Le mouvement uniforme est caractérisé par a · v = 0, ce qui impose ici aθ = 0 soit θ = ω = 0 :la vitesse angulaire est constante pour un mouvement uniforme, et on retient les expressionssimplifiées des vecteurs position, vitesse et accélération :

Mouvement circulaire uniforme :−−→OM = Rer

−→v (M) = Rωeθ

−→a (M) = −Rω2er

L’accélération est radiale et centripète (dirigée vers O)

1.4.4 Mouvement circulaire non uniforme

Pour un mouvement circulaire non uniforme (oui oui ça existe), il y a une accélération orthora-diale :

−−→OM = Rer

−→v (M) = Rωeθ

−→a (M) = −Rω2er + Rωeθ

On peut remarquer que ar = −v2

Ret aθ = dv

dt.

Mouvement circulaire quelconque :

−→a (M) = −v2

Rer + dv

dteθ

Cette remarque se généralise à un mouvement quelconque, la composante de l’accélération pa-rallèle à la vitesse a∥ caractérise la variation de la norme de v et la composante de l’accélérationperpendiculaire à la vitesse a⊥ renseigne sur la courbure de la trajectoire, elle est dirigée vers lecentre de courbure.

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2 Cinématique du solide

2.1 Repérage d’un solide

Pour repérer un solide, on a besoin de 6 paramètres : les 3 coordonnées d’un point particulierO1 du solide (un sommet de parallélépipède, le centre de masse ...) et 3 angles qui définissentl’orientation des "axes liés au solide" par rapport aux axes du référentiel :

2.2 Mouvement de translation

Un solide est dit en translation lorsque les directions du repère lié au solide sont fixes parrapport au référentiel d’étude. Le mouvement du solide est donc simplement repéré par le mou-vement du point particulier O1 qui le caractérise. Pour un point P quelconque du solide :−−→OP =

−−→OO1 +

−−→O1P , avec

−−→O1P = −→

cte car le solide est supposé indéformable, et il est fixe dans sonréférentiel propre.

Il vient −→v (P/R) = −→v (O1/R)

On peut alors assimiler le mouvement du solide à celui du point matériel O1.Si O1 a un mouvement rectiligne, le solide est en translation rectiligne.Si O1 a un mouvement circulaire, le solide est en translation circulaire (grande roue de fêteforaine).On peut aussi rencontrer des translations elliptiques (certains satellites présentent un tel mou-vement).

2.3 Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

On choisit cet axe fixe privilégié comme l’axe (Oz) du repère d’étude, et on choisit O1 commeorigine des deux repères.Pour un point P du solide, repéré par ses coordonnées cylindriques :

−−→OP = rer +zez, r et z sont

fixes, seul θ varie. On a donc −→v (P ) = rθeθ .

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Il suffit d’une seule coordonnée (angulaire) pour décrire le mouvement. On se ramène au cas dela cinématique d’un point matériel en mouvement circulaire (uniforme ou non).

La rotation propre de la Terre autour de l’axe des pôles est un exemple de rotation d’un solideautour d’un axe fixe (pour des durées courtes devant une année).

« Attention à ne pas confondre rotation et translation circulaire.

3 DynamiqueUn point matériel M est caractérisé par sa masse d’inertie m, et sa quantité de mouvement :−→p (M/R) = m−→v (M/R) .

Pour un système S de points matériels (ou un solide), on définit le centre de masse G du système

par−−→OG =

∑mi

−−→OMi∑mi

. On a alors −→p (S/R) = m−→v (G/R) , avec m =∑

mi.

3.1 Les trois lois de Newton

3.1.1 Principe d’inertie

Un point matériel est dit isolé lorsqu’il n’est soumis à aucune action, ou pseudo-isolé lorsquela somme de ces actions s’annule.

Principe d’inertie : Il existe une classe de référentiels appelés référentiels galiléensdans lesquels tout point matériel isolé est animé d’un mouvement rectiligne uni-forme.

En pratique, un référentiel est considéré comme galiléen tant que le mouvement étudié ne metpas cette propriété en défaut.

• Le référentiel du laboratoire (ou référentiel terrestre) est galiléen pour des durées négligeablesdevant la période de rotation propre de la Terre (1 jour).

• Le référentiel géocentrique (origine : centre de la Terre ; axes : pointant vers 3 étoiles lointaines)est galiléen pour des durées courtes devant la rotation de la Terre autour du Soleil (1 an).

• Le référentiel héliocentrique (origine : centre du Soleil ; axes : pointant vers 3 étoiles lointaines)est galiléen tant que le mouvement du Soleil est négligeable . . .

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3.1.2 Principe fondamental de la dynamique

Principe fondamental de la dynamique : Dans un référentiel galiléen, pour un systèmesoumis à des actions de résultante

−→F :

−→F = d−→p (S/Rg)

dt

3.1.3 Principe des interactions réciproques

Pour deux points matériels M1(m1) et M2(m2) en interaction réciproque :

Principe des interactions réciproques :

⋆−→f (M1 → M2) = −

−→f (M2 → M1)

⋆ ces forces sont portées par (M1M2)

3.2 Forces usuelles

Dans les forces usuelles, on distingue les interactions :

à distance interaction gravitationnelle entre massesinteraction électrostatique entre chargesinteractions nucléaires entre protons et neutrons d’un noyau atomique(forte et faible)

de contact tension d’un ressort ou d’un filréaction d’un support, frottement de glissementfrottements fluides (visqueux)forces pressantes exercées par un fluide

3.2.1 Force gravitationnelle - poids

Entre deux masses ponctuelles M1(m1) et M2(m2), on a

−→f (M1 → M2) = − Gm1m2

(M1M2)3−−−−→M1M2 = −Gm1m2

r2 er

Le poids d’un système n’est que l’expression particulière de la force gravitationnelle exercée par

la Terre sur un système à proximité de sa surface (ou presque) :−→P = −GmmT

R2T

ez = mg , avec

g = −GmT

R2T

.

3.2.2 Force électrostatique - force de Lorentz

Entre deux charges ponctuelles M1(q1) et M2(q2), l’interaction est donnée par la loi de Coulomb :

−→f (M1 → M2) = q1q2

4πε0(M1M2)3−−−−→M1M2 = q1q2

4πε0r2 er

La force de Lorentz correspond à la force ressentie par une particule chargée M(q), animée d’unmouvement de vitesse −→v placée dans un champ électromagnétique (

−→E ,

−→B ) :

−→F = q(

−→E + −→v ∧ −→

B )

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3.2.3 Tension d’un fil - d’un ressort

• Un fil tendu exerce une action de force qui assure le contact entre le fil et la masse qui y estaccrochée. Cette force a les caractéristiques suivantes :

— direction : celle du fil tendu— sens : celui dirigé vers le point d’attache du fil— norme : une valeur qui s’adapte aux autres forces et au mouvement— tension nulle lorsque le fil n’est plus tendu

On a−→T = −T eext , avec T > 0.

• La force de rappel élastique exercée par un ressort est, dans uncertain domaine d’allongement, proportionnelle à celui-ci :

−→F élast = −k(ℓ − ℓ0)eext

avec k constante de raideur du ressort (en N m−1) et eext vecteurunitaire dirigé vers «l’extérieur» du ressort (dans le sens de sonallongement).

3.2.4 Contact entre solides

Lorsqu’un objet est posé sur un solide, ce dernier exerce une action sur l’objet, caractérisé parune composante normale à la surface de contact :

−→R N et une composante tangentielle :

−→R T .

—−→R N assure la non interpénétrabilité des deux solides, sa norme s’adapte aux autres forcess’exerçant sur le solide pour assure le contact. Ce dernier est rompu lorsque RN = 0

—−→R T s’oppose au mouvement et caractérise les frottements solides. En l’absence de frotte-ments RT = 0.

• Pas de glissement−→v g = −→0||−→RT || ⩽ fs||−→

RN ||

• Glissement−→v g >

−→0 ,−→RT opposé à −→vg

||−→RT || = fd||−→RN ||

fs et fd sont les coefficients de frottement statique et dynamique, en pratique fs ≃ fd.

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3.2.5 Action d’un fluide sur un solide

Un solide au repos dans un fluide subit de la part de celui-ci des forces pressantes, dont larésultante est la poussée d’Archimède :

−→Π = −ρfluideVdéplacé

−→g .Si le solide est en mouvement relatif par rapport au fluide, à cette force d’Archimède s’ajoutentd’autres actions :

— la force de trainée, qui s’oppose à la vitesse relative du solide (frottements fluides), quis’écrit

−→F T = −k1

−→v à faible vitesse−→F T = −k2∥−→v ∥−→v à grande vitesse

— la force de portance, perpendiculaire à la direction de la vitesse relative, qui permet auxavions de voler

4 Travail - Énergie

4.1 Puissance et travail d’une force

La puissance est une grandeur scalaire et algébrique :

P(−→f /R) =

−→f · −→v (M/R)

Sa dimension est [P] = ML2T −3.Son unité SI est le watt : 1 W = 1 kg m2 s−3 = 1 N m s−1.Elle est motrice si P > 0, résistante sinon.Le travail élémentaire d’une force s’exerçant sur un point M est

δW (−→f /R) = P(

−→f /R)dt =

−→f · d

−−→OM

On obtient le travail total pour un déplacement fini du point d’application de la force parl’intégrale curviligne :

WA→B(−→f ) =

∫A→B

−→f · d

−−→OM

Cette intégrale dépend a priori du chemin suivi.

4.2 Théorème de la puissance et de l’énergie cinétique

On définit l’énergie cinétique par Ec(M/R) = 12

m[−→v (M/R)]2 .

La puissance cinétique en est la dérivée temporelle : Pc = dEc

dt

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Du principe fondamental de la dynamique découle le théorème de la puissance cinétique,s’appliquant pour un pour M en mouvement dans un référentiel galiléen sous l’action d’unerésultante de forces

−→F :

dEc

dt(M/Rg) =

−→F · −→v (M/Rg)

Par intégration entre les instants tA (M en A) et tB (M en B), on obtient le théorème del’énergie cinétique :

∆Ec = Ec(B) − Ec(A) = WA→B(−→F ) =

∫ tB

tA

P(−→F )dt =

∫A→B

−→F · d

−−→OM

Sous l’effet d’un travail moteur (W > 0), l’énergie cinétique augmente, donc la norme de lavitesse aussi, le mouvement est accéléré.

Sous l’effet d’un travail résistant (W < 0), l’énergie cinétique diminue, v aussi, le mouvementest ralenti.

Si W = 0, Ec reste constante, v aussi, le mouvement est uniforme.

4.3 Énergie potentielle

4.3.1 Définition

On dit d’une force qu’elle dérive d’une énergie potentielle lorsque son travail élémentaire peutse mettre sous la forme d’une différentielle.

δW (−→F ) =

−→F · d

−−→OM = −dEp

La fonction énergie potentielle n’est définie qu’à une constante près ; pour fixer cette constante,on se donne une référence en un point O : Ep(O) = 0.

4.3.2 Exemples

On peut citer— l’énergie potentielle de pesanteur : Ep,pes = mgz + c0 (avec une verticale ascendante)

— l’énergie potentielle élastique : Ep,elas = 12

k(ℓ − ℓ0)2 + c0 = 12

kx2

4.3.3 Positions d’équilibre

Si l’on étudie un problème à 1 degré de liberté (de paramètre x), l’étude de la fonction Ep(x)nous renseigne sur les positions d’équilibre et leur stabilité :On a F (x) = −dEp

dx.

L’équilibre (en xe) est caractérisé par F (xe) = 0 soit(

dEp

dx

)x=xe

= 0

Un développement de Taylor au voisinage de la position d’équilibre donne la force ressentielorsqu’on s’écarte légèrement de cette position :

F (x) = F (xe) + (x − xe)(

dF

dx

)x=xe

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Avec F (xe) = 0 et F (x) = −dEp

dxdonc dF

dx= −d2Ep

dx2 , il vient

F (x) = −(x − xe)(

d2Ep

dx2

)x=xe

L’équilibre est donc stable si(

d2Ep

dx2

)x=xe

> 0 et instable sinon.

Remarquons que le développement de Taylor de l’énergie potentielle donne un profil parabolique(cf oscillateur harmonique), ce qui justifie qu’on cherche fréquemment les "petites oscillations" auvoisinage d’une position d’équilibre stable (l’ordre 1 disparaît d’après la condition d’équilibre) :

Ep(x) = Ep(xe) + 12

(x − xe)2(

d2Ep

dx2

)x=xe

4.4 Énergie mécanique

On sépare les forces conservatives (dérivant d’une énergie potentielle) des forces dissipatives.Le théorème de l’énergie cinétique donne alors (sous forme élémentaire) :

dEc = δW (−→F c) + δW (

−→F d)

Or δW (−→F c) = −dEp, donc il vient finalement d(Ec + Ep) = δW (

−→F d) .

Ceci nous amène à définir l’énergie mécanique d’un système : Em = Ec + Ep

On nomme parfois théorème de l’énergie mécanique la forme intégrale du théorème del’énergie cinétique, réécrit en séparant les forces dissipatives :

∆Em = W (−→F d) < 0

L’énergie mécanique d’un système se conserve en l’absence de forces dissipatives, ou bien ellediminue au cours du temps si de telles forces existent.

4.5 Portrait de phase d’un système conservatif (ou non)

On considère un système conservatif (pas de forces dissipatives) à un degré de liberté (de para-mètre x), dont le profil d’énergie potentiel est le suivant :

La conservation de l’énergie mécanique ∆Em = 0, se traduit, sachant que Ec ⩾ 0, par unerelation qui limite le domaine spatial du mouvement : Ep(x) ⩽ Em0 .

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Selon la valeur de l’énergie mécanique du système, on peut obtenir différents types de mouve-ment :

— un état lié, où x est réduit à un certain intervalle— un état de diffusion, où x peut s’étendre jusqu’à l’infini.

On obtient les trajectoires de phase suivantes :

Si le système n’est pas conservatif, ∆Em < 0, alors les trajectoires de phases montrent la perted’énergie au cours du mouvement, et tendent vers le point attracteur que constitue la positiond’équilibre stable. Ce retour à l’équilibre peut se faire avec ou sans oscillation, selon l’importancede l’amortissement (force dissipative).

5 Puits de potentiel

5.1 Puits harmonique

Un puits de potentiel correspond à un oscillateur harmonique unidimensionnel (de paramètrex) si Ep(x) = 1

2kx2. On a un profil d’énergie potentielle parabolique, et on choisit la référence

d’énergie potentielle à la position d’équilibre stable (Ep(x = 0) = 0).Dans le cas d’un mouvement conservatif, la relation suivante constitue une intégrale premièredu mouvement :

Em = 12

mv2 + 12

kx2 = 12

mv20 + 1

2kx2

0 = Em0

Si xm est l’amplitude des oscillations (v(x = xm) = 0), alors on peut réécrire l’équation précé-dente pour donner l’équation de la trajectoire de phase :

x2

ω20x2

m

+ x2

x2m

= 1 avec ω20 = k

m

La trajectoire de phase est une ellipse, parcourue dans le sens horaire. Comme elle est fermée,le mouvement est périodique. Cette période T0 = 2π

ω0= 2π

√m

kest indépendante des conditions

initiales, on parle d’isochronisme des oscillations.

5.2 Puits quelconque

Pour une forme quelconque d’un puits de potentiel, on se ramène au puits harmonique auvoisinage d’une position d’équilibre (développement de Taylor de la fonction Ep(x). On parledans ce cas d’approximation harmonique.Pour des oscillations de plus grande amplitude, on ne peut plus faire de développement limité.On a encore un oscillateur (la particule reste dans un état lié) mais il n’est plus harmonique,les trajectoires de phase ne sont plus elliptiques, et la propriété d’isochronisme des oscillationsn’est (a priori) plus vérifiée.

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5.3 Barrière de potentiel

Dans le profil énergétique suivant, la position d’équilibre instable x′e matérialise une barrière

finie de potentiel.

Si l’énergie conférée à la particule qui se trouve initialement dans le puits (fini) de potentiel estinsuffisante (Em < Ep(x′

e)) alors la particule reste confinée dans un état lié autour de xe.

Si en revanche, l’énergie conférée à la particule (se trouvant initialement dans le puits) estsuffisante (Em > Ep(x′

e)) alors la particule peut s’échapper à l’infini dans un état de diffusion.Elle a franchi la barrière de potentiel.

Remarque : En physique quantique, la probabilité de trouver la particule à une position x > x′e

est non nulle même si Em < Ep(x′e). On parle d’effet tunnel (mis à profit en microscopie, ou

encore dans les clés USB)

6 Moment cinétique

6.1 Définitions

⋆ Moment cinétiquePour un point matériel M(m) en mouvement de vitesse v par rapport à un référentiel R, lemoment cinétique de M , calculé en un point O est donné par

−→L O(M/R) ≜ −−→

OM ∧ −→p (M/R) ≜ −−→OM ∧ m−→v (M/R)

Sa dimension est [LO] = ML2T −1.Son unité SI est le kg m2 s−1 ou encore le N m s ou encore le J sLe moment cinétique de M , par rapport à un axe ∆ = (O, u) est la projection sur u du momentde M calculé en un point quelconque de l’axe :

L∆(M/R) =−→LO(M/R) · u

Dans le cas particulier d’un mouvement circulaire, on a (en coordonnées cylindriques)−→LO(M) = mR2ωez et L(Oz)(M) = mR2ω

⋆ Moment d’inertieCette remarque nous amène à définir (pour un mouvement quelconque) le moment d’iner-tie J(Oz) d’un point matériel M par J(Oz) ≜ mr2 , et donne une expression utile du momentcinétique par rapport à l’axe (Oz) :

L(Oz)(M/R) = J(Oz)(M)θ

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Bien entendu, pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (Oz), dont tous les pointssont en mouvement de rotation de même vitesse angulaire θ autour de l’axe (Oz), il vient

L(Oz)(S/R) = J(Oz)(S)θ

avec J(Oz)(S) le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe (Oz), défini comme la sommedes moments d’inertie des différents points matériels qui constituent le solide.On note que [J(Oz)] = ML2, et que plus une masse est éloignée de l’axe de rotation, plus ellecontribue au moment d’inertie.

⋆ Moment d’une forceOn définit le moment en O d’une force

−→F s’appliquant au point M par

−→MO(−→F ) ≜ −−→

OM ∧ −→F

Le moment d’une force par rapport à un axe ∆ = (O, u) est la projection sur cet axe du momentde la force calculé en un point (quelconque) de l’axe :

M∆(−→F ) ≜ −→MO(

−→F ) · u

Lorsque la force−→F est perpendiculaire à l’axe (Oz), le moment de la force par rapport à (Oz)

s’exprime simplement par M(Oz) = ±d∥−→F ∥, où d est la distance du point d’application de la

force à l’axe (Oz). On appelle cette distance le "bras de levier". Le signe à attribuer dépend dusens de "rotation" :

Cette propriété est mise à profit pour soulever des charges :

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⋆ Couple de forcesUn couple de forces est un ensemble de forces (ici 2) de résultante nulle mais de moment nonnul :

La distance D est le bras de levier du couple. Le moment résultant (ou "couple") est donné par

M(Oz) = Γ = ∥−→F ∥D

Remarque : le signe est positif si le couple tend à faire tourner le solide dans le sens positif choisi(donné par l’orientation de l’axe de rotation) comme sur le schéma précédent.

⋆ Liaison pivotL’action du stator sur le rotor est d’empêcher tout autre mouvement que la rotation d’axe (∆).

Pour une liaison pivot parfaite (sans frottement), le moment exercé par le stator sur le rotor estnul.

6.2 Théorème du moment cinétique pour un point matériel

Pour un point matériel M en mouvement dans un référentiel galiléen Rg sous l’action de forcesde résultante

−→F , le théorème du moment cinétique en un point O fixe donne :

TMC : d−→L O(M/Rg)

dt=

−→MO(−→F )

En projection sur l’axe ∆ = (O, ez), on a l’expression du théorème du moment cinétique parrapport à un axe fixe :

dL(Oz)(M/Rg)dt

= M(Oz)(−→F )

On applique ce théorème dans deux cas usuels :— mouvement pendulaire (variation du moment cinétique)— mouvement à force centrale (conservation du moment cinétique)

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Fiche de rappel - Mécanique

6.3 Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’unaxe fixe

On considère un solide S en rotation autour d’un axe fixe (O, ez) dans un référentiel galiléenRg, sous l’action de forces de résultante

−→F .

La loi scalaire du moment cinétique donne

dL(Oz)(S/Rg))dt

= M(Oz)(−→F )

Comme pour un solide indéformable en rotation de vitesse angulaire θ par rapport à un axe(Oz), le moment cinétique s’exprime L(Oz)(S) = J(Oz)θ, (avec J constant), il vient :

J(Oz)(S)θ = M(Oz)(−→F )

Remarque : cette équation scalaire rappelle la projection suivant (Oz) (par exemple) du PFD :mz = Fz.

6.4 Énergie cinétique d’un solide en rotation

Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe (Oz), l’expression de l’énergie cinétique conduità faire intervenir le moment d’inertie et la vitesse angulaire :

Ec(S) = 12

J(Oz)θ2

De même, la puissance d’une force s’exerçant sur le solide s’exprime par :

P(−→F ) = M(Oz)(

−→F ) × θ

Pour un solide S en rotation autour d’un axe fixe (Oz) dans un référentiel galiléen Rg sousl’action de forces de résultante

−→F , on peut exprimer le théorème de la puissance cinétique :

dEc(S/Rg)dt

= P(−→F )

6.5 Parallèle solide en translation/solide en rotation

On peut rassembler ces résultats dans un tableau récapitulatif menant l’analogie entre l’étuded’un solide en translation selon un axe (Oz) (assimilable à un point matériel) et un solide enrotation autour d’un axe (Oz) fixe :

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translation rotationinertie masse moment d’inertie

m J(Oz)vitesse linéaire angulaire

vz = z ω = θ

élément cinétique impulsion moment cinétiquepz = mz L(Oz) = J(Oz)θ

énergie cinétique Ec = 12mz2 Ec = 1

2J(Oz)θ2

action Force MomentFz M(Oz)

puissance P = Fz z P = M(Oz)θ

équation du mouvement mz = Fz J(Oz)θ = M(Oz)

théorème de la puissance dEc

dt= P dEc

dt= P

7 Force centrale conservativeUn force est dite centrale si elle est constamment dirigée vers un point fixe, qu’on prend commeorigine du référentiel. Elle est en outre conservative si elle dérive d’une énergie potentielle. Encoordonnées sphériques, on a alors

Ep(r) et−→F (r) = −dEp

drer

On peut citer comme exemples :

— Interaction gravitationnelle : F (r) = −Gm1m2r2 et Ep(r) = −Gm1m2

r

— Interaction coulombienne : F (r) = q1q24πε0r2 et Ep(r) = q1q2

4πε0r

— Rappel élastique : F (r) = −k(r − r0) et Ep(r) = 12

k(r − r0)2

7.1 TMC et conséquences

La force étant centrale, son moment en O est nul, ce qui implique que le moment cinétique dusystème soumis à une force centrale se conserve :

d−→L O(S/Rr)

dt=

−→MO(−→F ) = −→0

Le moment cinétique est donc une intégrale première du mouvement.Les deux conséquences majeures sont les suivantes :

À Le mouvement est plan :−→L O(M/Rg) ≜ −−→

OM ∧ −→v (M/Rg) donne la direction de la normale au plan tangent dumouvement. Si ce vecteur est constant, cela signifie que le mouvement se fait constammentdans le plan défini par (O, M0, −→v 0).On travaille donc en coordonnées polaires dans ce plan privilégié du mouvement, et doncen cylindriques dans l’espace.

Lavoisier - PC 16

Page 17: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

Á Loi des aires :

En coordonnées cylindriques :

−−→OM = rer−→v (M) = rer + rθeθ−→L O(M) = mr2θez

On introduit alors la constante des aires : C = r2θ , qui est (à un facteur 2 près) la vitessearéolaire.

Loi des airesLe rayon vecteur balaie des aires égales pendant des intervalles de tempsidentiques.

7.2 Approche énergétique

La force centrale étant conservative, le système voit son énergie mécanique conservée : dEm

dt= 0

L’énergie mécanique est donc une intégrale première du mouvement.Pour se ramener à la discussion sur le domaine spatial du mouvement accessible en fonctiondu profil d’énergie potentielle, on cherche à exprimer l’énergie mécanique en fonction du seulparamètre r (bien que le mouvement soit à deux dimensions). On ajoute alors à l’énergie poten-tielle une partie de l’énergie cinétique (la partie orthoradiale) pour définir l’énergie potentielleeffective :

Ep,eff (r) = Ep(r) + 12

mC2

r2 où C = r2θ = cte

On a alors Em = 12

mr2 + Ep,eff (r), et on peut exprimer le "domaine radial du mouvement" par

la condition Em ⩾ Ep,eff (r) .Selon la nature de la force centrale, on aura différents profils d’énergie potentielle effectivepossibles, donc différents types de trajectoires accessibles.

7.3 Champ newtonien attractif

7.3.1 Lois de Képler

On peut citer dans le cas du mouvement des planètes autour du soleil les trois lois énoncées parKépler :

1. Loi des orbites : les planètes du système solaire décrivent des trajectoires ellip-tiques dont le soleil occupe l’un des foyers.

2. Loi des aires : les aires balayées par le segment SP (soleil-planète) pendant desintervalles de temps identiques sont égales.

3. Loi des périodes : le rapport du carré de la période de révolution de la planètesur le cube du demi-grand axe de son orbite est le même pour toutes les planètes

du système solaire. T 2

a3 = cte

Lavoisier - PC 17

Page 18: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

7.3.2 profil énergétique

Le graphe suivant montre le profil énergétique correspondant à une force centrale newtonienne(en 1/r2) attractive (force gravitationnelle ou force électrostatique entre deux charges opposées).On choisit d’étudier le cas de l’interaction gravitationnelle avec le soleil.On a alors Ep(r) = −GmMS

r, où MS est la masse du soleil.

Il vientEp,eff (r) = −GmMS

r+ 1

2mC2

r2

Cette fonction admet un minimum en

r0 = C2

GMSet Ep,eff (r0) = −GmMS

2r0= E0

Selon la valeur de l’énergie mécanique, on peut avoir des trajectoires correspondant à des étatsdiffusifs ou à des états liés.

À Em > 0 : la trajectoire est une hyperbole (branche entourant le foyer où se trouve lesoleil)

Á Em = 0 : la trajectoire est une parabole, c’est l’état limite entre un état lié et un étatdiffusif.Comme la particule peut s’éloigner à l’infini du Soleil, cette trajectoire ne peut pas décrireun mouvement planétaire.

 E0 < Em < 0 : la trajectoire est une ellipse, l’état est lié, et r1 < r < r2.Le point le plus proche du soleil P (r = r1) s’appelle le périhélie, le point le plus éloignédu soleil A(r = r2) s’appelle l’aphélie. D’après la loi des aires, C = rv = cte et rP < rA

donc vP > vA.

L’énergie mécanique est donnée par Em = −GmMS

2aavec 2a = rP + rA où a est le

demi-grand axe de l’ellipse.

La troisième loi de Kepler s’exprime par T 2

a3 = 4π2

GMS.

à Em = E0 : la trajectoire est circulaire. L’absence de force orthoradiale implique que l’ac-célération est purement radiale, le mouvement circulaire est donc uniforme, de vitesse

v0 =√

GMS

r0.

Le moment cinétique est−→L O(M) = mr0v0ez.

L’énergie cinétique est Ec = GmMS

2r0.

L’énergie potentielle est Ep = −2Ec = −GmMS

r0.

Lavoisier - PC 18

Page 19: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

Finalement l’énergie mécanique est, pour une trajectoire circulaire Em = −GmMS

2r0.

La vitesse angulaire est ω0 = θ =√

GMS

r20

, et comme la période de révolution est T0 = 2π

ω0,

il vient T 20

r30

= 4π2

GMS.

7.3.3 Vitesses cosmiques

Il s’agit de vitesses particulières correspondant aux différents mouvements d’un satellite autourde la Terre, qui est désormais l’astre attracteur.

⋆ Satellite géostationnaireUn satellite est dit géostationnaire s’il reste à la verticale du même point de la surface de laTerre. Il faut pour cela qu’il soit dans le plan équatorial et que sa rotation soit synchrone avecla Terre, donc il a un mouvement circulaire de période T = 1 jour (sidéral).

On a T 2

r3GS

= 4π2

GMTd’où rGS = 3

√T 2GMT

4π2

Données :— Jour sidéral : Tsidéral = 86164 s— Jour solaire : Tsolaire = 86400 s— G = 6, 67.10−11 N m2 kg−2

— MT = 6, 0.1024 kg— RT = 6380 km

Finalement rGS = 42164 km, ce qui donne une altitude de hGS = 35786 km.

⋆ Vitesse minimale de mise en orbiteCette vitesse correspond à celle qu’il faut communiquer à un satellite pour le placer sur un orbitecirculaire basse (r0 ≃ RT ).On l’appelle la première vitesse cosmique.

v1 =√

GMT

RT

L’application numérique donne environ v1 = 8 km s−1 = 30000 km h−1.Si la vitesse communiquée au satellite est inférieure à cette vitesse limite, la satellisation échoueet le satellite retombe sur Terre.

⋆ Vitesse de libérationCette vitesse est celle qu’il faut communiquer au satellite lorsqu’il est au voisinage de la Terre(r = RT ) pour le placer sur un état diffusif limite (parabolique) dans lequel il peut s’éloigner àl’infini de la Terre ("libération").Il s’agit de la deuxième vitesse cosmique.

On a donc Em = 0 soit v2 =√

2GMT

RT=

√2v1

L’application numérique donne environ v2 = 11 km s−1 = 40000 km h−1.Finalement, pour lancer un satellite, il faut lui communiquer une vitesse v1 < v < v2 .

Lavoisier - PC 19

Page 20: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

Remarquons qu’on peut donner une estimation de la taille qu’un astre doit avoir pour pouvoirêtre un trou noir 1.

8 Mouvement d’une particule chargée

8.1 Force de Lorentz

Un particule M portant la charge q et animée d’un mouvement de vitesse v(M) placée dans unchamp électrique

−→E (M) et magnétique

−→B (M) ressent la force de Lorentz :

−→F = q(

−→E (M) + v(M) ∧ −→

B (M))

On remarque que les vecteurs v et−→B dépendent du référentiel d’étude.

La puissance de la force de Lorentz se limite à la puissance de sa composante électrique, la forcemagnétique est de puissance nulle, elle ne travaille pas :

P =−→F .v(M) = q

−→E (M) · v(M)

8.2 Action d’un champ électrique

Considérons une particule chargée M(m, q) soumise à l’action d’un champ électrique−→E uniforme.

Le poids d’une telle particule est généralement négligeable devant la force électrique 2.

8.2.1 Équation du mouvement

L’application du principe fondamental de la dynamique au point matériel M dans un référentielsupposé galiléen donne alors

ma = mdv

dt= q

−→E

Avec pour conditions initiales{−−→

OM(t = 0) =−−→OM0

−→v (t = 0) = −→v 0il vient

−−→OM(t) = q

2m

−→E t2 + −→v 0t +

−−→OM0

8.2.2 Aspect énergétique

D’un point de vue énergétique, la force électrique est conservative et dérive d’une énergie po-tentielle Ep = qV (M) où V (M) est le potentiel dont dérive le champ électrique

−→E .

L’énergie de la particule est conservée : Em = 12

mv2 + qV = cte

1. Trou noir : v2 > cPour qu’un astre (M donné) soit un trou noir, il faut que son rayon vérifie la condition suivante : R < rlim =

2GM

c2 .Pour le Soleil : MS = 2.1030 kg, rlim = 3 km (RS = 696.103 km).Pour la Terre : MT = 6.1024 kg, rlim = 9 mm (RT = 6, 3.103 km).

2. Pour un électron, m = 9, 1.10−31 kg et q = 1, 6.10−19C, on a mg

|qE| ≃ 10−10

|E| . Les champ usuels étant de

norme généralement supérieure à 1 V m−1, le poids est bien négligeable devant la force de Lorentz

Lavoisier - PC 20

Page 21: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

8.2.3 Applications

À Cas−→E ∥ v0

On a alors un accélérateur linéaire de particules. La conservation de l’énergie mécanique donne12

mv20 + qV0 = 1

2mv2

1 + qV1

On a donc v21 = v2

0 + 2q

mU où U = V0 − V1 est la tension accélératrice (les particules sont bien

accélérées si qU > 0) 3. Une des applications est le canon à électrons.

Á Cas−→E ⊥ v0

On a alors une déflexion électrostatique dans la zone de champ non nul, puis une trajectoire

rectiligne en sortie. La déflexion est proportionnelle au rapport |qU |m

, ce qui permet d’envisagerdiverses applications (séparation isotopique pour une tension fixe, matérialisation d’une tensionU variable).

 Cas (−→E , v0) = α

Le mouvement de la particule chargée est alors parabolique, comme pour le lancement d’unprojectile dans le champ de pesanteur. On peut là aussi envisager des applications en séparationisotopique puisque les caractéristiques de la parabole dépendent du rapport q

m.

8.3 Action d’un champ magnétique

8.3.1 Aspect énergétique

La force magnétique ne travaille pas, elle est de puissance nulle, donc d’après le théorème de lapuissance cinétique :dEc

dt= P = 0

La vitesse de la particule a une norme constante : v = ∥v∥ = cte

3. Remarquons que pour atteindre une vitesse relativiste v = 0, 1c pour des électrons, une tension accélératricede U = 2530 V suffit

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Page 22: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

Attention toutefois, ce n’est pas parce que la norme de la vitesse reste constante que le vecteurvitesse reste inchangé !Remarquons que l’on néglige généralement le poids dans ces études 4.

8.3.2 Applications

À Cas−→B ∥ v0

Notons v0 = v0ez et−→B = Bez.

L’équation du mouvement de la particule dans un référentiel galiléen se déduit de l’applicationdu principe fondamental de la dynamique :

mdv

dt= qv ∧ −→

B

Il vient dv

dt= qB

mv ∧ ez.

En projection sur ez : d(v · ez)dt

= qB

m(v ∧ ez) · ez = 0

On a donc vz = cte = v0Comme d’autre part v = cte =

√v2

x + x2y + v2

z = v0, il vient v2x + v2

y = 0. On a donc vx = 0 etvy = 0, le mouvement est rectiligne uniforme.

Á Cas−→B ⊥ v0

Considérons un électron (m, q = −e) qui pénètre au point O dans un champ magnétique−→B =

B0ez uniforme, avec la vitesse initiale v0 = v0ex.L’application du PFD dans un référentiel galiléen donne

mdv

dt= −ev ∧ (B0ez) = eBez ∧ v

En posant ω = eB

m, homogène à l’inverse d’un temps, il vient

dv

dt= ωez ∧ v

En projection sur les trois axes cartésiens, on a par conséquent

dvx

dt= −ωvy ; dvy

dt= ωvx ; dvz

dt= 0

De la dernière équation on déduit que vz = cte = 0. Le mouvement est donc plan. L’électronreste dans le plan perpendiculaire à

−→B . D’autre part, comme v = cte = v0, il vient v2

x + v2y = v2

0.Pour découpler les deux premières équations, on peut introduire la variable complexe Z = x+jy,

qui vérifie l’équation différentielle dZ

dt= jωZ. Une fois intégrée en tenant compte des conditions

initiales, on en déduit l’expression de Z(t), puis celles de x(t) et y(t) :

x(t) = v0ω

sin(ωt) y(t) = v0ω

(1 − cos(ωt))

Remarquons qu’on obtiendrait les mêmes résultats en cherchant l’équation différentielle du se-cond degré dont vx (ou vy) est solution.

4. Pour un champ magnétique relativement intense (B = 0, 1 T) appliqué à un électron, F ≃ 10−20v etP ≃ 10−30 N. Pour des vitesses usuelles de l’ordre de v = 105 m s−1, le poids est bien négligeable devant l’actionmagnétique

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Page 23: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

On reconnait l’équation paramétrique d’un cercle de rayon R = v0ω

= mv0eB

, et de centre

C

(0,

v0ω

).

Le mouvement de la particule est alors circulaire uniforme, et la période de rotation T est

indépendante de la vitesse initiale : T = 2π

ω= 2πm

|q|B.

Cette propriété est à la base du principe des accélérateurs de particules appelés cyclotron.

 Cas généralOn décompose alors le vecteur vitesse initiale en une composante parallèle au champ magné-tique (qui donne lieu à un mouvement rectiligne uniforme dans la direction du champ) et unecomposante perpendiculaire au champ (qui donne lieu à un mouvement circulaire uniforme per-pendiculairement au champ magnétique). Le mouvement résultant est la superposition de cesdeux mouvements : il s’agit d’un mouvement hélicoïdal.

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Page 24: Fiche de Rappel

Fiche de rappel - Mécanique

9 Conclusion

Méthode. Pour résoudre un problème de mécanique :¬ Faire un schéma.­ Analyser le problème pour répondre aux questions suivantes : quel est le système à étudier ?

dans quel référentiel ? compte tenu des forces en présence et de la géométrie du problème,quel est le système de repérage le mieux adapté ?

® Mener l’étude cinématique : exprimer le(s) vecteur(s) position, vitesse et accélération dansle repère adapté au problème.

¯ Mener l’étude dynamique : exprimer les forces sur les vecteurs de base du repère adaptéau problème.

° Appliquer un théorème de la mécanique reliant les composantes cinématiques aux forces :PFD à projeter sur les vecteurs de base du repère adapté au problème, théorème énergé-tique, théorème du moment cinétique, . . .

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