Fiche Bac S 108 Terminale S

Fonction Logarithme népérien

Exercice 1. Calcul de limites

Déterminer le domaine de définition de la fonction f suivante ; calculer ses limites aux bornes de son domaine de définition et interpréter graphiquement le résultat.

f : x→ f (x)= x ln xx−1

Exercice 2. Calcul de limitesOn considère la fonction f définie sur l'intervalle ] –3,+ [ par : f (x)=5 ln (x+3)−x

1°) Montrer que pour tout x ] –3,+ [ : f (x)=x(5ln x

x−1)+5 ln(1+ 3

x ).

2°) En déduire la limite de f (x) lorsque x tend vers +.

Exercice n° 3 . (Extrait BAC Asie 2011)Étude de fonctions ; Calcul de limites ; Position relative de deux courbes ; Calcul d'aires entre deux courbes.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O , i⃗ , j⃗).

1°. Étude d'une fonction f.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ,+∞ [ par : f (x)= ln xx

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère.La courbe de la fonction f est représentée en annexe.

1.a) Déterminer les limites de f en 0, puis en +∞ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.1.b) Calculerla dérivée f ' de la fonction f sur ]0 ,+∞ [ .1.c) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

2°. Étude d'une fonction g.

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ,+∞ [ par : g (x)=(ln x)2

xOn note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère.

2.a) Justifier l'égalité suivante : pour tout x∈]0 ,+∞ [ : ( ln x)2

x=4

(ln √ x)2

(√ x)2

2.b) Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus.2.c) Calculerla dérivée g ' de la fonction f sur ]0 ,+∞ [ .2.d) Dresser le tableau de variations de la fonction g.

3°) Étude de la position relative des deux courbes3.a) Démontrer que les courbes Cf et Cg possèdent deux points communs dont

on précisera les coordonnées.3.b) Étudier la position relative des courbes Cf et Cg .

3.c) Construire la courbe de la fonction g dans le même repère en annexe.

4°) Calcul de l'aire entre les deux courbesOn désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan délimitée, d’une part par les courbes Cf et Cg , et d’autre part par les droites d’équations respectives x=1 et x=e . En exprimant l’aire A comme différence de deux aires que l’on précisera, calculer l’aire A.

ANNEXE

CorrigéExercice 1. Calcul de limites

1°) Déterminer le domaine de définition de la fonction f suivante :

f : x→ f (x)= x ln xx−1

2°) Calculer ses limites aux bornes de son domaine de définition et interpréter graphiquement le résultat.

1°) Domaine de définition de la fonction f

x∈D f (ssi) i) ln x existe et ii) Le dénominateur est non nul.(ssi) i) x>0 et ii) x−1≠0 (ssi) i) x>0 et ii) x≠1

Par conséquent : D f =]0 ;1[∪]1 ;+∞[

2°) Calcul des limites aux bornes d u domaine de définition et interprétation graphiquement des résultats.

Nous devons donc calculer 4 limites : en 0 à droite, en 1 à gauche et à droite et en +.

En fait f (x) est de la forme :abc

. Pour calculer ces limites, nous allons écrire cette

expression de différentes manières et choisir la manière la plus adaptée à chacun des cas.

abc

=a×bc=a

c×b , donc : f (x)= x ln x

x−1= x×ln x

x−1= x

x−1×ln x .

a) Calcum de la limite à droite en 0

On utilise l'expression donnée de f (x). Un calcul direct montre que la limite au numérateur est une forme indéterminée 0×∞ . Nous devons lever l'indétermination.

D'après le cours, on sait que { limx→0x>0

x ln x=0

limx→0

x−1=−1

Donc, par quotient des limites, on a : limx→0x>0

x ln xx−1

=0 .

Par conséquent :

limx→0x>0

f (x)=0

I nterprétation graphique Comme nous avons une limite finie, la courbe C f n'admet pas d'asymptote en 0.

b) Calcum de la limite en 1

Un calcul direct montre que cette limite est une forme indéterminée00

.

Nous devons lever l'indétermination. Nous allons utiliser la deuxième expression de f

(x). Pour tout x∈D f : f (x)=x× ln xx−1

.

D'après le cours, on sait que {limx→1

ln xx−1

=1 taux d ' accroissement

et limx→1

x=1

Donc, par produit des limites, on a bien : limx→1

x ln xx−1

=1.

Par conséquent : limx→1

f (x)=1

I nterprétation graphique Comme nous avons une limite finie, la courbe C f n'admet pas d'asymptote en 1.

c) Calcum de la limite en +

On utilise la troisième expression de f (x). Pour tout x∈D f : f (x)= xx−1

×ln x .

Or pour tout x>0 et x≠1 , on a :x

x−1= x×1

x×(1−1x)

= 1

(1−1x)

.

Et comme limx→+∞

1x=0 , on a : lim

x→+∞

xx−1

=1

On peut donc écrire : { limx→+∞

xx−1

=1

et limx→+∞

ln x=+∞

Donc, par produit des limites, on a bien : limx→+∞

xx−1

×ln x=1.

Par conséquent : limx→+∞

f (x)=+∞

I nterprétation graphique Comme nous avons une limite infinie en +, la courbe C f n'admet pas asymptote horizontale vers +.

Exercice 2 corrigé . Calcul de limites

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ] –3 ;+ [ par :f (x)=5 ln (x+3)−x

1°) Montrons que pour tout x ] –3 ;+ [ : f (x)=x(5ln x

x−1)+5 ln(1+ 3

x ).

Pour tout x ] –3,+ [ :f (x)=5 ln(x+3)−x

f (x)=5ln(x× x+3x )−x car x+3=x× x+3

x

f (x)=5[ln x+ln( x+3x )]−x car ln (ab)=ln a+ln b

f (x)=5ln x+5ln(1+ 3x)−x car

x+3x

=1+ 3x

f (x)=5 xln x

x−x+5ln(1+ 3

x ) On met −x en 2ème position.

f (x)=x(5ln x

x−1)+5 ln(1+ 3

x ). On factorise par x.

D'où le résultat.

2°) En déduire la limite de f ( x ) lorsque x tend vers + .Un calcul direct montre que cette limite conduit à une forme indéterminée .–Nous devons lever l'indétermination. Pour cela, nous allons utiliser la deuxième expression de f (x).

D'après le cours, on sait que { limx→∞

ln xx

=0

et limx→+∞

x=+∞

Donc, par composition des limites, on a : limx→+∞(5

ln xx

−1)=−1.

Et par produit des limites, on obtient la limite du 1er terme :

limx→+∞

x(5ln x

x−1)=−∞ (1)

Pour le 2ème terme, on effectue un changement de variable en posant : X =1+ 3x

.

Comme limx→∞

1x=0 , on a : lim

x→∞1+ 3

x=1. Donc { lim

x→∞X =1

et limX →1

ln X =0

Donc, par composition des limites, on a :

limx→∞

ln(1+ 3x )=0 (2)

En additionnant les deux limites (1) et (2), on obtient la limite demandée.

Par conséquent :limx→+∞

f (x)=−∞

Exercice n° 3 corrigé . (Extrait BAC Asie 2011)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O , i⃗ , j⃗) .

1°. Étude d'une fonction f.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ,+∞ [ par : f (x)= ln xx

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère.La courbe de la fonction f est représentée en annexe.

1°a) Déterminer les limites de f en 0, puis en +

Limite en 0. On décompose l'expression de f (x) comme suit : f (x)=1x×ln x .

Or, { limx→0x>0

1x=+∞

et limx→0x>0

ln x=−∞

Donc, par produit des limites, on obtient : limx→0x>0

f (x)=−∞

Par conséquent, la courbe C f admet une asymptote verticale d'équation x=0.

Limite en + .

D'après le cours, on sait que limx→∞

ln xx

=0. Par conséquent :

limx→+∞

f (x)=0

Par conséquent, la courbe C f admet une asymptote horizontale d'équation y=0.

1.b) Calculerla dérivée f ' de la fonction f sur ]0 ,+∞ [ .La fonction f est composée de fonctions définies et dérivables sur ]0 ,+∞ [ , donc f

est dérivable sur ]0 ,+∞ [ , et pour tout x > 0, f (x)= ln xx

=u(x)v (x)

, avec :

{u (x)=ln x donc u ' (x)= 1x

et v(x)=x donc v ' (x)=1

Or (uv )'=u ' v−uv '

v2 .

Donc, pour tout x > 0 : f ' (x)=

1x×x−1×ln x

x2

Par conséquent : f ' (x)=1−ln xx2

1.c) Dresser le tableau de variations de la fonction f . Le dénominateur de f ' (x) étant strictement positif, le signe de f ' est le même que celui du numérateur (1−ln x). Or, pour tout x > 0, on a : 1−ln x⩾0 (ssi) 1⩾ln x

(ssi) ln x⩽1(ssi) x⩽e

et par conséquent : 1−ln x<0 (ssi) x>e

On obtient alors le tableau de variations de f sur ]0 ,+∞ [ : avec f (e)= ln ee

=1e

2°) Étude d e la fonction g .

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ,+∞ [ par : g (x)=(ln x)2

xOn note Cg la courbe représentative de la fonction g dans le repère.

2° a) Montrons que pour tout x∈]0 ,+∞ [ : ( ln x)2

x=4

(ln√ x)2

(√ x)2

Il y a deux méthodes. On peut partir de gauche à droite ou bien de droite à gauche.

1 ère méthode : de gauche à droitePour tout x > 0, on a :

(ln x)2

x=

[ln (√ x)2]2

(√ x)2 car x=(√ x)2

.

=[2 ln √ x ]2

(√ x)2 car ln a2=2 ln a .

= 4 (ln √ x )2

(√ x)2 car (ab)2=a2 b2 .

D'où le résultat.

2 ème méthode : de gauche à droitePour tout x > 0, on a :

4 (ln √ x )2

(√ x)2 =

[2 ln √ x ]2

(√ x)2 car (ab)2=a2 b2 .

= [2×12

ln x]2

x

car ln √a=12

ln a .

=(ln x)2

x

D'où le résultat.

2.b) Déterminer les limites de g en 0, puis en + . Interpréter graphiquement les résultats.

Limite en 0. On décompose l'expression de g (x) comme suit : f (x)= 1x×(ln x)2.

Or, { limx→0x>0

1x=+∞

et limx→0x>0

ln x=−∞donc : { lim

x→0x>0

1x=+∞

et limx→0x>0

(ln x)2=+∞

Donc, par produit des limites, on obtient : limx→0x>0

g (x)=+∞

Par conséquent, la courbe C g admet une asymptote verticale d'équation x=0.

Limite en + . Un calcul direct montre que cette limite est une forme indéterminée ∞

∞ .Nous devons lever l'indétermination. Nous allons utiliser l'expression de g (x) trouvéedans la question précédente.

Pour tout x∈Dg : g (x)=(ln √ x)2

(√ x)2 . qu'on peut écrire : g (x)=( ln √ x

√ x )2

On effectue un changement de variable en posant : X =√ x .

Comme limx→+∞

√ x=+∞ , on a : limx→∞

X =+∞ .

Or, d'après le cours, on sait que : limX →+∞

ln XX

=0

La fonction carré est continue en 0 et on a : limX →0

X 2=0

Donc, par composition des limites, on a : limX →+∞( ln X

X )2

=0

Par conséquent, par composition des limites, on obtient :

limx→∞ ( ln √ x

√ x )2

=0

Ce qui montre que : lim

x→+∞g (x)=0

Par conséquent, la courbe C g admet une asymptote horizontale d'équation y=0.

2.b) Calculerla dérivée g ' de la fonction g sur ]0 ,+∞ [ .La fonction g est composée de fonctions définies et dérivables sur ]0 ,+∞ [ ,

donc g est dérivable sur ]0 ,+∞ [ , et pour tout x > 0, f (x)=(ln x)2

x=

u (x)v (x)

,

avec : {u(x)=(ln x)2 donc u ' (x)=2×1x

ln x= 2x

ln x

et v(x)=x donc v ' (x)=1

Or (uv )'=u ' v−uv '

v2 .

Donc, pour tout x > 0 : g ' (x)=(2×1

xln x)×x−1×(ln x)2

x2

g ' (x)=2ln x−(ln x)2

x 2

Par conséquent : g ' (x)=ln x(2−ln x)

x2

1.c) Dresser le tableau de variations de la fonction f . Le dénominateur de g ' (x) étant strictement positif, le signe de g ' est le même que celui du numérateur ln x (2−ln x). Or, pour tout x > 0, on a : ln x⩾0 (ssi) x⩾1donc : ln x<0 (ssi) 0< x<1et : 1−ln x⩾0 (ssi) ln x⩽2

(ssi) 0< x⩽e2

donc : 1−ln x<0 (ssi) x>e2.

On obtient ainsi le tableau de signes de g ' (x) suivant

x 0 1 e2 +

ln x – 0 + +

2−ln x + + 0 –

g ' (x) – 0 + 0 –

On obtient alors le tableau de variations de g sur ]0 ,+∞ [ :

avec : g (1)=0 et g (e)=(ln e)2

e=1

e

3°. Étude de la position relative des deux courbes

3.a) Démontrer que les courbes C f et C g possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.Les courbes Cf et Cg se coupent aux points dont les abscisses sont les solutions de l'équation : f (x)=g (x). Or, pour tout x > 0, on a les équivalences :

f (x)=g (x) (ssi) (ln x)

x=

(ln x)2

x

f (x)=g (x) (ssi) ln x=(ln x)2

(ssi) (ln x)2−ln x=0 (ssi) (ln x)(ln x−1)=0 (ssi) ln x=0 ou ln x−1=0

(ssi) x=1 ou x=e .

Or, f (1)=g (1)=0 et f (e)=g (e)=1e

.

Par conséquent, les courbes Cf et Cg se coupent en deux points communs dont les coordonnées sont :

A(1 ;0) et B(e ; 1e )

3.b) Étudier la position relative des courbes C f et C g .Pour étudier la position relative des deux courbes Cf et Cg , il faut et il suffit de déterminer le signe de la différence f (x)−g (x). Or

f (x)−g (x)=(ln x)

x−

(ln x)2

x

=ln x−(ln x)2

=ln x (1−ln x)

On obtient ainsi le tableau de signes de f (x)−g (x) comme suit :

x 0 1 e +

ln x – 0 + +

1−ln x + + 0 –

f (x)−g (x) – 0 + 0 –

Ce qui donne :• f (x)−g (x)>0 (ssi) 1< x<e

Par conséquent : Cf est située au-dessus de Cg (ssi) x∈ ]1 ;e [ .• f (x)−g (x)<0 (ssi) 0< x<1 ou x>e .

Par conséquent : Cf est située en dessous de Cg (ssi) x∈ ]0 ;1[∪]0 ;+∞[ .• Les deux courbes se coupent en x=1 et x=e .

3.c) Construction de la courbe de la fonction g dans le même repère(page suivante)

4°) Calcul de l'aire entre les deux courbesOn désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan délimitée, d’une part par les courbes Cf et Cg , et d’autre part par les droites d’équations respectives x=1 et x=e . En exprimant l’aire A comme différence de deux aires que l’on précisera, calculer l’aire A.

Sur l'intervalle [1 ; e]; les deux fonctions f et g sont définies et continues et la courbe de f est située au-dessus de la courbe de g , donc f −g est positive sur [1 ; e]. Donc :

A=∫1

e( f (x)−g (x))dx

donc : A=∫1

ef (x)dx−∫1

eg (x)dx

Pour tout x>0:

f (x)= ln xx

=1x×ln x=u '×u où u (x)=ln x .

Or une primitive de u ' u est12

u2+C .

Donc une primitive de f sur ]0 ; + [ est la fonction F définie par :

F (x)=12(ln x)2+C .

D'une manière analogue : Pour tout x>0:

g (x)=(ln x)2

x=1

x×(ln x)2=u '×u2 où u (x)=ln x .

Or une primitive de u ' u2 est13

u3+C .

Donc une primitive de g sur ]0 ; + [ est la fonction G définie par :

G (x)=13(ln x)3+C .

Par conséquent,

A=∫1

ef (x)dx−∫1

eg (x)dx

A=∫1

ef (x)dx−∫1

eg (x)dx

A=F (e)−F (1)−[G (e)−G (1)]

A=12(ln e−ln1)−[ 1

3(ln e)2−(ln1)2]

A=12−1

3Conclusion. L’aire A, exprimée en unités d'aires, de la partie du plan délimitée par les courbes Cf et Cg et les deux droites d'équatuins x=1 et x=e est :

A=16

u . a .

CQFD.