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Construction mécanique Théorie des mécanismes

Ch 2 -

Licence de Mécanique et technologie – Université de la Réunion

PARTIE 2

Modélisation des liaisonset des mécanismes


Ch 2 -


Sommaire

.1. GENERALITES – TERMINOLOGIE. _______________________________________ 3.1.1. Aspect statique ou dynamique de la relation Sj/Si_______________________________________ 3.1.2. Aspect cinématique de la relation Sj/Si _______________________________________________ 3.1.3. Synthèse des deux aspects. ________________________________________________________ 4

.2. ASPECT COMBINATOIRE - LIAISONS SIMPLES ___________________________ 4.2.1. Combinaisons. __________________________________________________________________ 4.2.2. Liaisons simples suivant NF E 04 015________________________________________________ 5

.2.2.1. Représentation ______________________________________________________________ 5

.2.2.2. situations satisfaites par des liaisons simples: ______________________________________ 6

.2.2.3. Notion de centre de liaison ____________________________________________________ 6

.3. LOI GLOBALE DES MECANISMES. _______________________________________ 7.3.1. Définitions. ____________________________________________________________________ 7

.3.1.1. Chaîne ouverte. _____________________________________________________________ 7

.3.1.2. Chaîne fermée ______________________________________________________________ 7

.3.1.3. Mécanisme complexe. ________________________________________________________ 7.3.2. Loi globale. ____________________________________________________________________ 7.3.3. L'hyperstatisme et ses conséquences._________________________________________________ 8

.4. LIAISON COMPOSEE EN SERIE __________________________________________ 9.4.1. Définition. _____________________________________________________________________ 9.4.2. Exemples d’applications __________________________________________________________ 9

.4.2.1. Recherche d’un contact surfacique ______________________________________________ 9

.4.2.2. Recherche d'une situation non satisfaite par une liaison simple. ________________________ 9

.5. LIAISON COMPOSEE EN PARALLELE ___________________________________ 10.5.1. Définition: ____________________________________________________________________ 10.5.2. Exemples d'arborescences: _______________________________________________________ 10


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MODELISATION DES LIAISONS ETMECANISMES

.1. GENERALITES – TERMINOLOGIE.

Si Sj

LijUne liaison Lij établit une relation mécanique entre deux solides Si et Sj.En Mécanique Générale, ce concept peut rester abstrait. En ConstructionMécanique, il est nécessaire de s'intéresser à la réalisation pratique de laliaison.

On classe les liaisons de la façon suivante:

LIAISON

COMPLETEMOBILE

PERMANENTE TEMPORAIRE

ELASTIQUE

.1.1. Aspect statique ou dynamique de la relation Sj/SiLa relation sera caractérisée par le torseur d'interefforts Fij P de Si sur Sj exprimé dans un repère

R orthonormé associé de manière privilégiée à la liaison. La liaison est supposée parfaite (sans frottements).

X

LY M

Z

N

FijP

= R

M (P)

ij

ij

ZYX

= ijR et

NML

= ij(P)M

.1.2. Aspect cinématique de la relation Sj/SiLa relation sera caractérisée par le torseur cinématique Cij

P décrivant le mouvement de Sj par

rapport à Si.

Vy

Vx

Vz

ωx

ω

ω

y

z

(P) =

ij

ij

Pij

VΩC

ωzωyωx

= ijΩ et

VzVyVx

= ij(P)V


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.1.3. Synthèse des deux aspects.Si Sj a un mouvement dans (autour d') une direction par rapport à Si, on ne peut pas transmettre d'effort

(de couple) dans (autour de) cette direction entre les deux solides. Donc il existe un complément à 6 des valeursnulles et non nulles entre les deux torseurs.

Exemple:

X ZN P

00 0

ω ωx yVy P

00 0

Si le nombre de mouvements (translations + rotations) entre les deux solides est d, le nombre decomposants d'interefforts est (6-d). d est le degré de mobilité de la liaison.

D'autre part, le comoment ijΩij(P).Mij(P)Vij.RF PCijPij +=× est la puissance P dissipée dans laliaison. Pour une liaison parfaite sans frottement, cette puissance est nulle.

.2. ASPECT COMBINATOIRE - LIAISONS SIMPLES

.2.1. Combinaisons.Le nombre de combinaisons possibles de disposition de valeurs nulles ou non nulles dans le torseur

d'interefforts par exemple est:

CCCCCCC 6

6

6

5

6

4

6

3

6

2

6

1

6

0n ++++++=

P

6

0 000000C

⇔ traduit l'absence de liaison.

Parmi les 63 combinaisons restantes, certaines se déduisent les unes des autres par rotation de ±Π

2autour d'une direction de base. Le nombre de combinaisons correspondant à des liaisons vraiment différentesest 19.

Par exemple, 20C6

3= qui procure 20 combinaisons comprend en fait six situations qualitativement

différentes:

•••• 3 efforts P000

ZYX

•••• 2 efforts et 1 couple d'axes différents PPP 0M0

Z0X,

00LZY0

,N000YX

•••• 2 efforts et 1 couple avec un axe en commun

PPP

PPP

N00Z0X

,00LZ0X

,N00ZY0

0M0ZY0

,0M00YX

,00L0YX

•••• 1 effort et 2 couples avec un axe commun:

P

NM0Z00

,N0LZ00

,NM00Y0

0ML0Y0

,N0L00X

,0ML00X

PP

PPP

•••• 1 effort et 2 couples sans axe commun P

0MLZ00

,N0L0Y0

,NM000X

PP

•••• 3 couples:PNML

000


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.2.2. Liaisons simples suivant NF E 04 015

.2.2.1. Représentation

Liaison Lij Schéma plan PerspectiveTorseur

d'action decontact

Torseurcinématique

F i/j M i/j ΩΩΩΩ j/i V j/i

Ponctuelle 1 X

Y

O

Rx00

000

ΩxΩyΩz

0VyVz

Linéaire rectiligne 2X

Y 0Ry0

00Mz

ΩxΩy0

Vx0Vz

Linéaire annulaireBall and cylinder

2 XY 0

RyRz

000

ΩxΩyΩz

Vx00

PlanePlanar

3Y

0Ry0

Mx0Mz

0Ωy0

Vx0Vz

RotuleSpherical

3 X

Y RxRyRz

000

ΩxΩyΩz

000

Sphérique à doigtSpherical with pin

4RxRyRz

Mx00

0ΩyΩz

000

Pivot glissantCylindrical 4 X

Y 0RyRz

0MyMz

Ωx00

Vx00

PivotRevolute 5 X

YRxRyRz

0MyMz

Ωx00

000

GlissièrePrismatique

5X

Y 0RyRz

MxMyMz

000

Vx00

GlissièreHélicoidaleHelical

5X

Y

hélice à droite

RxRyRz

0MyMz

Ωx00

Vx00

EncastrementFixed

6X

Y RxRyRz

MxMyMz

000

000


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.2.2.2. situations satisfaites par des liaisons simples:ponctuelle 3 combinaisonslinéaire annulaire 3 combinaisonslinéaire rectiligne 6 combinaisonsplan 3 combinaisonsrotule 1 combinaisonsphérique à doigt 3 combinaisonspivot glissant 3 combinaisonspivot 3 combinaisonsglissière 3 combinaisonsencastrement 1 combinaison

Les liaisons simples normalisées satisfont à 10 situations sur 19 et 29 combinaisons sur 63

.2.2.3. Notion de centre de liaisonLe centre de liaison est l'ensemble des points où les torseurs ont la forme caractéristique de la liaison.

LIAISON CENTRE DE LIAISONPonctuelle Normale au plan de contact contenant le pointLinéaire rectiligne Plan perpendiculaire au plan de contact contenant l'arêteLinéaire annulaire Centre de l'anneauPlan ∀ PRotule CentreSphérique à doigt CentrePivot glissant AxePivot AxeGlissière ∀ PEncastrement ∀ P

Exemple de calcul

Recherche du centre de la liaison Pivot glissant d’axe X.

A

A

AA

NYMX

=Γ→

00

21 Exprimons ce torseur en un point M de coordonnées (a,b,c).

+−−

=

∧

+

=∧+= →

→

→→

aYNaZMcYbZ

ZY

cba

NMRMAMM

A

A

A

AAM

00

2121,21,

Ce torseur à la forme caractéristique

−−−−00

si b et c sont nul. Cela correspond à une droite « a

quelconque » : c’est à dire l’axe des x.


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.3. LOI GLOBALE DES MECANISMES.

.3.1. Définitions.

.3.1.1. Chaîne ouverte.

S0

S1

S2 Sn

Une liaison simple est une chaîne ouverte élémentaire.

Une chaîne ouverte est également dite liaison composée en série. Pour étudier ce type de système (nombre demobilités) il convient d’associer les torseur cinématique.

Application : Robots en tous genres.

.3.1.2. Chaîne fermée

S0 S0

S1

S2

Sn

Une chaîne fermée est également dite mécanisme simple.

.3.1.3. Mécanisme complexe.

S0 S0 S0

Dans le cas présenté, le mécanisme comporte 2 chaînes.

.3.2. Loi globale.

C'est un moyen simple d'évaluer rapidement le degré d'hyperstatisme d'un mécanisme, s'il n'y aaucune ambiguïté sur les différents termes qui la composent. Elle ne préjuge pas de théories beaucoup plusgénérales et élaborées qui font appel à des connaissances étendues d'algèbre linéaire.

Soit un mécanisme à p pièces en plus du bâti ((p+1) pièces au total) qui comporte un certain nombre deliaisons Lij avec une somme d'inconnues scalaires interefforts de liaison ΣLij. Soit d sa mobilité externe et m lenombre de mobilités internes.

d est le nombre de lois de mouvement indépendantes entre l'entrée et la sortie.


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On détecte une mobilité interne lorsqu'une pièce interne au mécanisme a une mobilité lorsque entrée et sortiesont bloquées.

On a alors:

∑ −−−= m)d(6pLijn

où• ΣLij est le nombre d'inconnues statiques de liaison• 6p est le nombre d'équations données par le principe fondamental de la statique• d le nombre de loi entrée-sortie• m le nombre de mobilité interne

Remarque sur les mobilités

Chaque mobilité externe réduit le rang du système: il existe une relation entre les actions en entrée et en sortieindépendante des inconnues de liaison.Chaque mobilité interne fait perdre une équation du type 0=0.6p-d-m est donc le nombre d'équations utiles.

La différence entre le nombre d'inconnues de liaison et le nombre d'équations utiles à les déterminerdonne le degré d'hyperstatisme.

EXEMPLE: Elément de pompe volumétrique à pistons

p=3ΣLij=5+4+3+4=16d=2: rotation entrée 1 translation sortie 3 rotation propre de 3: mouvementindépendant du premierm=0

n = 16 - (6.3 - 2 - 0) = 0Le mécanisme est isostatique.

.3.3. L'hyperstatisme et ses conséquences.Un mécanisme est dit isostatique si le principe fondamental de la statique appliqué aux différentes

pièces qui le composent suffit à déterminer les inconnues d'interefforts entre les pièces à partir de données desactions qui lui sont extérieures.

Si l'on a plus d'inconnues de liaison que d'équations disponibles, le mécanisme est dit hyperstatique etle degré d'hyperstatisme est le résultat de la différence entre le nombre d'inconnues et le nombre d'équationsutiles à leur détermination. On peut compléter le système par des lois de comportement des pièces qui sontissues de la Résistance des Matériaux.

Pratiquement, l'hyperstatisme se traduit par une surabondance de positionnement des différentespièces. En Construction cela a pour conséquence soit l'exigence d'une perfection géométrique de la part dufabricant, soit la conception de positionnement réglables. L'isostatisme est en général recherché mais pastoujours possible ni souhaitable.

De l’hyperstatisme en construction, on peut dire : qu’il doit être connu du concepteur, que celui-ci doit savoir comment il assume cet hyperstatisme, en particulier :

par perfection de la géométrie par liaisons réglables, par appuis déformables, par jeu excessif,

mais en aucun cas par déformation de pièces au montage, ce qui induirait des efforts non pris encompte dans la note de calculs.


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.4. LIAISON COMPOSEE EN SERIE

.4.1. Définition.Entre les solides Si et Sj se situent un ou plusieurs autres solides de manière à constituer une chaîne

ouverte.

Si SjSkLik Lkj

Pour trouver le torseur équivalent à un ensemble de liaisons en série, il faut associer les torseurs cinématique.

.4.2. Exemples d’applications

.4.2.1. Recherche d’un contact surfaciqueLes liaisons linéaires et ponctuelle font appel à des contacts localisés qui posent des problèmes de

pression importante donc ont de faibles capacités de transmission d'efforts sans détérioration. On peut doncrechercher des liaisons composées en série de comportement mécanique équivalent.

Recherche d'une liaison ponctuelle par contacts surfaciques.

P

Pji

PPij

VzVy0ωzωyωx

et 00000X

F C

=

=

La loi globale peut permettre de mettre en évidence une ou plusieurs solutions, parmi lesquelles la suivante :

m = 1

Le torseur obtenu est bien celui d'une liaisonponctuelle de normale X, obtenu avec l'association ensérie d'une rotule et d'un plan de normale X.L'expression ωx+ω'x confirme la mobilité interne de lapièce intermédiaire. C'est une rotation autour de Xpuisqu'elle est possible dans les deux liaisons.

De même la liaison linéaire annulaire est obtenue en contacts surfaciques par la mise en série d'une rotule etd'une pivot glissant de centre de liaison commun et la liaison linéaire rectiligne par la mise en série d'un plan etd'une liaison pivot.

.4.2.2. Recherche d'une situation non satisfaite par une liaison simple.On a vu du point de vue combinatoire que 10 situations sur 19 étaient satisfaites par les liaisons simples

normalisées. Il reste 9 cas de figure que l'on peut aisément résoudre.

EXEMPLE: recherche de la liaison satisfaisant à la transmission d'un couple pur:

P

Pji

PPij

VzVyVxωzωy0

et 00L000

F C

=

=

Là encore, la loi globale est un outil élémentaire utile à la mise en évidence de solutions. On retrouve le joint deOLDHAM.

Si

Sk

Sj

m = 1


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.5. LIAISON COMPOSEE EN PARALLELE

.5.1. Définition:

Si

SjLij(1)

Lij(2)

Entre les solides Si et Sj existentplusieurs liaisons simples. On parle alors de liaisoncomposée en parallèle. Ce type de liaison est surtoutemployé pour délocaliser une liaison simple en plusieursliaisons simples de mobilité supérieure, toutes les liaisonssimples pouvant à l'extrême être obtenues à partir deponctuelles.

Lors de l’étude de la liaison équivalente à un ensemble de liaison en parallèle, il faut additionner lestorseurs d’action de liaison.

.5.2. Exemples d'arborescences:a) Plan:

b) Pivot:

Cela multiple les possibilités de réalisation.

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