Fiabilité

Cours (MI3) : Qualité et Fiabilité ISSI-Gabès

SOUISSI Ahmed Saâdeddine

La Fiabilité

1. Introduction

1.1. Système

Ensemble d’éléments interdépendantes orientés vers la réalisation d’une fonction (machine,

usine, etc.). Chaque système peut être décomposé en sous systèmes, composants et en

éléments.

1.2. Principales caractéristiques d’un système

Fonction : C’est la mission pour laquelle il a été conçu.

La structure : Les différents composants, leurs rôles, leurs caractéristiques, les

relations entre les composants et leur localisation.

Les conditions de fonctionnement : Les différentes procédures de conduite du

système et les consignes données aux opérateurs.

Les conditions d’exploitation (de surveillance) : Les conditions de surveillance

(visuelle, vibration, huiles…), les conditions d’intervention (préventif ou sorrectif) .

L’environnement : le milieu dans lequel baigne le système.

1.3. Défaillance

Une défaillance (en anglais failure) est la cessation du système à accomplir la fonction pour

laquelle il a été conçu. Un système est déclaré défaillant lorsque ses grandeurs caractéristiques

évoluent en dehors des tolérances définies lors de la conception.

Figure 1: Evolution temporelle de l'état d'un système.



Deux types de défaillances sont définis :

La défaillance progressive : due à une évolution dans le temps des caractéristiques

d’un système. Une telle défaillance peut être prévue par un examen ou une

surveillance.

La défaillance soudaine : purement aléatoire.

2. Fiabilité des systèmes

2.1. Définition

La est une caractéristique d’un système exprimée par la probabilité qu’il accomplisse la

fonction pour laquelle il a été conçu dans des conditions données et pendant une durée

donnée.

La fiabilité est une caractéristique du système au même titre que les caractéristiques

dimensionnelles.

La fiabilité s’exprime par une probabilité, c’est donc une grandeur comprise entre 0 et 1.

Ceci rend compte du caractère aléatoire de l’accomplissement de la fonction.

On ne peut parler de mesure de fiabilité qu’après avoir acquis une expérience suffisante dans

l’exploitation du système ou éventuellement par des essais appropriés.

On distingue :

a) La fiabilité estimée ou intrinsèque : c’est la fiabilité mesurée au cours d’essais

spécifiques effectués dans le cadre d’un programme d’essai entièrement défini

b) La fiabilité prévisionnelle : elle est obtenue à partir d’un modèle mathématique

connaissant la fiabilité estimée de ces composants (modèles déductifs). Les propriétés

du système complet sont déduites d’une connaissance détaillée des propriétés de ses

composants.

c) La fiabilité opérationnelle : c’est la fiabilité mesurée sur des dispositifs en

exploitation normale. Elle dépend des conditions réelles d’utilisation et du support

logistique. On parlera dans ce cas de « modèles inductifs ».



2.2. Etude de la fiabilité d’un système

L’étude de la fiabilité d’un système comprend trois phases importantes :

Une phase d’analyse :

Débute par un diagramme de fonctionnement qui fait apparaître les différents

constituants du système susceptibles de compromettre (exposer, risquer) la

fonction du système.

Pour chaque composant on détermine les modes de défaillances et on recense

toutes les causes.

Une phase d’estimation des probabilités d’apparition des défaillances.

Une phase de prévision ou d’estimation de la fiabilité du système.

Détermination expérimentale de la fiabilité

On soumet à l’essai un échantillon de taille N dans les mêmes conditions. Soit tN s le

nombre de survivant à l’instant t et tN f le nombre de défaillant à l’instant t .

1. tNtN fS



Si N tend vers l’infini (∞) alors

N

tN s tend sûrement vers la fiabilité du système.

2.3. Durée de vie d’un système

La durée de vie d'un système est une mesure de la quantité de services rendus. D’une façon

générale, on mesurera la durée de vie d’un système par le nombre d’heures durant lequel il a

effectivement fonctionné. On supposera que le système ne peut occuper que l’un des deux

états suivants : état de fonctionnement ou hors d’usage

La transition d’un état à un autre s’opère selon une loi de probabilité. La durée de vie est donc

une variable aléatoire non négative (voir figure 2)

Figure 2: Diagramme d'état.

Soit t une variable aléatoire continue. Cette variable aléatoire représente la durée de vie du

système considéré t0 .

t : durée de vie du système considéré, t est une variable aléatoire continue positive.

Fonction de densité f t

Soit tf sa fonction de densité. Cette fonction peut être obtenue à partir de données de durées

de vie du système observées depuis le début de son exploitation.

0f t

10

dttf

dttf exprime la probabilité que le système tombe en panne entre t et dtt



Figure 3: Fonction de densité f(t).

Prob durée de vie .f t dt t t dt

Fonction de distribution F t

Soit F t la fonction de distribution (répartition) associée à la variable aléatoire t .

0

t

F t f x dx

Figure 4: Fonction de distribution F(t).



F t exprime la probabilité que le système tombe en panne avant l’instant t

Prob 0 durée de vieF t t .

Fonction de distribution R t

Soit R t la fonction de fiabilité du système.

R t exprime la probabilité que le système survive jusqu’à l’instant t .

Prob durée de vie

1t

R t t

R t f x dx F t

Figure 5: Fonction de fiabilité R(t).



Figure 6: Fonctions de distribution F(t) et de fiabilité R(t).

Taux de panne instantané t (taux de défaillance)

f t

R t t (le nombre de panne par unité de temps)

t : est une mesure de la disposition du système à briser en fonction de l’âge

dt :

Probabilité de panne entre et

survie jusqu'à

f t dt t t dtdt

R t t

t

Donc dt t n’est autre que la probabilité conditionnelle que l’équipement qui a survie à

l’instant t , brise (meure) entre t et t dt .

Modèle général de la fonction de fiabilité

0

t

x dx

R t e

Typologie du taux de panne

Un équipement possède 3 périodes de vie :

Jeunesse (mortalité infantile, défaillance précoce) : en état de fonctionnement à

l’origine (mise en service), période de rodage (pré usure), présélection des

composants électroniques (déverminage).



Maturité (période vie utile, de défaillances aléatoires) : période de rendement

optimal du matériel, taux de défaillance constant. Les défaillances apparaissent sans

dégradations préalables visibles, par des causes diverses, suivant un processus

suivant une loi de Poisson (défaillances aléatoires).

Obsolescence (vieillesse, usure). Un mode défaillance prédominant, généralement

visible, entraîne une dégradation accélérée, à taux de défaillance croissant (pour un

mécanisme). Souvent on trouve une usure mécanique, de la fatigue, une érosion ou

une corrosion. A un certain seuil de t , le matériel est « mort ». Il est alors

déclassé, puis rebuté ou parfois reconstruit. La détermination de T (seuil de

réforme), est obtenue à partir de critères technico-économiques.

L’évolution de la durée de vie d’un équipement peut être tracée selon une courbe appelée

courbe en baignoire. Selon que l’équipement, soit de type électronique ou mécanique, les

allures du taux de défaillance sont différentes.

Figure 7: Allure général du taux de panne d'un système.

On peut placer les équipements d’après l’allure de la fonction de taux de panne t (figure 6).

On distingue :

Les équipements à taux de panne croissant (Increase Failure Rate « IFR »). Exemple :

courroie.



Les équipements à taux de panne constant (Constant Failure Rate « CFR »). Exemple :

Lampe.

Les équipements à taux de panne décroissant (decrease Failure Rate « DFR »).

Exemple : rodage.

Durée de vie moyenne (MTBF)

1 2 3 4 1

4

n

i

i

tt t t t

MTBFn

1 2 3

3

y y yMTTR

Pour la durée de vie aléatoire t :

0 0

MTBF E t t f t dt R t dt

Variance : 22

0v t f t dt MTBF

Explication de la variance

Lorsqu'on a des données statistiques, l'espérance correspond à la moyenne de ces données.

Supposons par exemple qu'on dispose d'un lot de 20 ampoules d'un même modèle, et que l'on

souhaite connaître la durée moyenne de vie d'une ampoule. On appellera aussi ceci l'espérance

de vie d'une ampoule.



Le tableau qui suit montre le calcule de la moyenne la variance et l’écart type de trois séries

de test pour voir la différence entre les variances.

Numéro de

l'ampoule Série 1 Série 2 Série 3

1 48 5 100

2 49 95 50

3 50 5 0

4 51 95 99

5 52 5 1

6 48 95 30

7 49 5 70

8 50 95 55

9 51 5 45

10 52 95 60

11 48 5 40

12 49 95 50

13 50 5 33

14 51 95 67

15 52 5 80

16 48 95 20

17 49 5 52

18 50 95 48

19 51 5 75

20 52 95 25

moyenne (MTBF) 50 50 50

variance 2,11 2131,58 762,53

Ecart type 1,45 46,17 27,61

La variance et l'écart-type mesurent eux la dispersion des notes autour de la moyenne (ou

espérance). Par exemple, on sait qu'en moyenne une ampoule aura comme durée de vie

l'espérance, mais quelles peuvent-être les variations moyennes de cette durée. Autrement dit,

y-a-t-il des ampoules qui durent très peu et d'autres beaucoup, ou bien est-ce que toutes les

ampoules ont à peu près la même durée de vie? On appelle aussi cela mesure les caractères de

dispersion d'une série statistique.

Pour la série 1, l'espérance (ou moyenne des notes!) est 50. La variance vaut 2,11. Elle est

assez faible, les durées sont donc très centrées autour de la moyenne.



Pour la série 2, l'espérance vaut toujours 50, mais la variance vaut 2131,17. Cette variance est

beaucoup plus grande que dans le premier cas, ce qui signifie que les notes sont très espacées.

Donc cette série est très différente par rapport à la première.

La troisième série à était faite avec des valeurs quelconques juste pour voir l’évolution de la

variance.

Exercice 1 :

Soit f x , la fonction de densité associé à la durée de vie d’un équipement :

1 si 0 1

0 sinon

bx x xf x

1) Calculer b.

2) Calculer MTBF



Exercice 2 :

Une variable aléatoire continue a pour fonction de densité :

1

si

0 sinon

tf x

1) Etablir l’expression de F t .

2) Trouver la MTBF et la variance



3. Les lois de probabilité

Distribution exponentielle (ou Loi exponentielle)

La distribution exponentielle prend la forme suivante :

1

Taux de panne constant 0

1

t

t

t

f t e

F t e

R t e

t

MTBF

La distribution exponentielle est la seule distribution à taux de panne constant.

Un équipement dont la durée de vie suit une distribution exponentielle ne vieillit pas (pas

d’usure). On dit que la distribution exponentielle n’a pas de mémoire. Cette propriété se

traduit mathématiquement par l'équation suivante :

, 0P T t dt T t P T dt dt t

Imaginons que T représente la durée de vie d'une ampoule électrique avant qu'elle ne brûle:

la probabilité qu'elle dure au moins t dt heures sachant qu'elle a déjà duré t heures sera la

même que la probabilité de durer dt heures à partir de sa mise en fonction initiale. En

d'autres mots, le fait qu'elle n'ait pas brûlé pendant t heures ne change rien à son espérance de

vie à partir du temps t .

Démonstration

La probabilité conditionnelle de survie à t dt étant donnée la survie à t est

donnée par :

C.Q.F.D

t

t

R t

R t

R t e

R t e

R te R

R t



Un équipement dont la durée de vie suit une distribution exponentielle ne doit pas faire l’objet

d’une maintenance préventive.

La distribution exponentielle a était ajustée empiriquement à des donnée de durée de vie :

missiles air-air, torpilles navales, calculatrice, carte mère d’ordinateur, outil électrique,

système de contrôle d’incendie…

Figure 8: fonction de densité de la loi exponentielle.

Figure 9: fonction de distribution de la loi exponentielle.



Distribution Gamma

La distribution Gamma prend la forme suivante :

1

1 0

1

k=1

1

k=1

avec 1 1

t1

1 !

t

1 !

avec 0 0 0

x

t

k

t

k

t

X e dxf t t e

F t ek

R t ek

t

On peut vérifier que le taux de panne d’une distribution Gamma est croissant pour 1

2

si 1 alors

Variance

tf t e

MTBF

La distribution Gamma a été ajustée à des durées de vie de moteurs de chasseurs bombardiers.

Distribution de Weibull

La loi de weibull est d’un emploi très répondu, elle a été largement utilisée pour simuler des

phénomènes de fatigue des matériaux et dans les études de distribution des défaillances des

tubes à vide.

1

1

: paramètre de forme 0

: paramètre de l'échelle 0

t

t

f t t e

R t e

t t



Distribution Normale

Figure 10: Carl Friedrich Gauss



En probabilité, une variable aléatoire suit une loi normale (ou loi normale gaussienne, loi de

Laplace-Gauss) d'espérance et d'écart type (donc de variance 2 ) si elle admet une

densité de probabilité f telle que :

21

2

0

2

1

. 2

a : le coeficcient de normalisation pour obtenir 1

Variance

t

f t ea

f t dt

MTBF

La loi normale a un taux der panne croissant.

Distribution Log-Normale

Une variable aléatoire est distribuée suivant une loi Log-normale si son logarithme suit une

distribution normale :

21 log

21

. 2

t

f t ea

Si les 1 2log , log , , log nt t t suivent une loi normale alors 1 2, , , nt t t suivent une

loi log-normale



Figure 11: fonction de densité de la loi normale.

Figure 12: fonction de distribution de la loi normale



4. Estimation des diverses fonctions empiriques de la fiabilité et

études de leurs relations

0N : nombre d’éléments bons à l’instant 0t

iN : nombre d’éléments bons à l’instant it

in : nombre d’éléments défaillants entre it et

1it , noté aussi

iN

it : intervalle de temps observé égal à 1i it t

On estime( )t le taux de défaillance par tranche t : .i

i

i i

nt

N t

On estime ˆ( ).i if t t la fonction défaillance sur l’intervalle it par :

0

( ). ii i

nf t t

N

On estime ˆ( )iF t la fonction de défaillance cumulée par :

0 0

0 0 0 0

( ) ( ). 1

i

iii i

i i i

nN N N

F t f t tN N N

On estime ˆ ( )iR t la fonction de fiabilité par : 0

( ) 1 ( ) ii i

NR t F t

N

On peut calculer alors ˆ( )it par :

0 0

0 0

. . ( )( )

.. ( )

.

i i

i ii ii

i i ii i i

i

n n

N t N tn f tt

N t NN t R t

N t N

( )

( )( )

ii

i

f tt

R t et

( )( ). .

( )i

i i i

i

f tt t t

R t (relations servant au calcul des lois de fiabilité)

On peut aussi calculer la MTBF par :



1 1 2 2

0 0 0 0

1. ( ). . ... ...i

i i i i i i

nMTBF t f t t t n t n t n t n t

N N

car en général t0=0

Exercice 3 :

Un service maintenance étudie le comportement d’un relais en fonctionnement sur 48

machines. Les résultats ont été consignés dans le tableau ci-dessous.

On demande :

D’estimer les fonctions empiriques ( ), ( ), ( )R t f t t

De tracer les histogrammes correspondants

Nb d'éléments

ayant

fonctionné

Nb de défaillants

dans la

tranche

Survivants

N(ti)

Cumul des

défaillants

Probabilité de survie

R(ti)

Densité de probabilité de

défaillance

f(ti).Δti

Taux de défaillance

λ(ti)

0 48

0 - 1000

heures

5

1000 - 2000 8

2000 - 3000 15

3000 - 4000 10

4000 - 5000 8

5000 - 6000 2

Nb d'éléments

ayant fonctionné

Nb de défaillants

dans la tranche

Survivants à la fin de

∆ti

Cumul des

défaillants


R(ti)

Densité de probabilité

de défaillance f(ti).Δti


λ(ti)

48

0 - 1000 heures 5 43 5 100,00% 10,42%

1,0417E-04

1000 - 2000 8 35 13 89,58% 16,67% 1,8605E-

04

2000 - 3000 15 20 28 72,92% 31,25% 4,2857E-

04

3000 - 4000 10 10 38 41,67% 20,83% 5,0000E-

04

4000 - 5000 8 2 46 20,83% 16,67% 8,0000E-

04

5000 - 6000 2 0 48 4,17% 4,17% 1,0000E-

03



Exercice 4 :

On a relevé sur un type de moteur les défaillances suivantes répertoriées par tranche.

L’étude a porté sur 37 moteurs.

0h à

1000h

1000h à

2000h

2000h à

3000h

3000h à

4000h

4000h à

5000h

5000h à

6000h

1 4 7 12 11 2

On demande :

D’estimer les fonctions empiriques ˆˆ ˆ( ), ( ), ( )R t f t t

De tracer les histogrammes correspondants

Nb d'éléments

ayant fonctionné

Nb de défaillants

dans la tranche

Survivants à la fin de

∆ti

Cumul des

défaillants


R(ti)

Densité de probabilité

de défaillance f(ti).Δti


λ(ti)

0 37 0

0 - 1000 heures 1 36 1 100,00% 2,70% 2,7027E-05

1000 - 2000 4 32 5 97,30% 10,81% 1,1111E-04

2000 - 3000 7 25 12 86,49% 18,92% 2,1875E-04

3000 - 4000 12 13 24 67,57% 32,43% 4,8000E-04

4000 - 5000 11 2 35 35,14% 29,73% 8,4615E-04

5000 - 6000 2 0 37 5,41% 5,41% 1,0000E-03



5. Lois de composition en fiabilité : Association de matériels

Le problème qui se pose à la maintenance au niveau de la fiabilité est son amélioration

constante. Il peut pour cela intervenir sur la technologie du composant, agencer les

composants ou sous-systèmes de manière à les rendre plus fiables par l’utilisation de

redondances dont on distingue 3 grandes catégories :

Les redondances actives

Les redondances passives ou « stand-by »

Les redondances majoritaires



5.1. Redondance active :

Une redondance active est réalisée par la mise en parallèle d’éléments assurant les mêmes

fonctions et travaillant en même temps.

On a donc à faire à un système appelé par les fiabilistes « système parallèle ».

Hypothèses de départ :

Les défaillances sont indépendantes les unes des autres

La fiabilité de chaque sous-système ou de chaque élément a été déterminée

Système série :

On dit qu’un système est un système série d’un point de vue fiabilité si le système tombe en

panne lorsqu’un seul de ses éléments est en panne.

E1 E2 Ei En

( ) ( 1 2 ... ... ) ( 1). ( 2).... ( ).... ( )Rs P S P S S Si Sn P S P S P Si P Sn

1

n

i

Rs Ri

Cette association est caractéristique des équipements en ligne de production.

Système parallèle :

On dit qu’un système est un système parallèle d’un point de vue fiabilité si, lorsqu’un ou

plusieurs de ses éléments tombent en panne, le système ne tombe pas en panne.

Pour calculer la fonction fiabilité d’un système // à n éléments, il est plus aisé de passer par la

fonction défaillance F.



E1

E2

Ei

En

1 1 ( ) ( )

( 1). ( 2).... ( ).... ( ) 1. 2.... ....

(1 1).(1 2)....(1 )....(1 )

1 (1 1).(1 2)....(1 )....(1 )

F R P S P S

F P S P S P Si P Sn F F Fi Fn

F R R Ri Rn

Rs R R Ri Rn

1

1 (1 )n

i

Rs Ri

Dans un système parallèle, la fiabilité du système est plus grande que la plus grande des

fiabilités des éléments composant le système. On utilise ce fait pour améliorer la fiabilité ;

cela réalise une redondance active.

Si on désire effectuer un calcul en fonction du temps, on doit introduire la fonction R(t).

Si ( ) tR t e , alors1

1 (1 )n

t

i

Rs e

.

5.2. Redondance passive

Dans ce cas, un seul élément fonctionne, les autres sont en attente. Ceci a l’avantage de

diminuer ou de supprimer le vieillissement des éléments ne travaillant pas. En contrepartie, on

a l’inconvénient d’être obligé d’avoir un organe de détection des pannes et de commutation

d’un système sur un autre.

Le calcul d’un système à redondance passive ou « stand-by » se fait en tenant compte de la

variable temps. Il faut donc connaître au préalable, pour chaque composant, son taux de

défaillance λ(t) et sa loi de fiabilité R(t).



Si on prend en compte l’élément de détection et de commutation DC, on obtient alors :

2 1.. 1 2

( )

1 2

. ..

e e

DC

t tt e e

s t

e e

e eR e

Remarque : si on considère que tous les éléments ont le même taux de défaillance λ, on

obtient alors l’expression suivante :. .

( ) . .(1 . )DC t t

s tR e e t

Pour n éléments de taux de défaillance identiques montés en //, on trouve :

1( ).

( )

0

( . ).

!DC

ii nt

s t

i

tR e

i

43 – Redondance majoritaire :

La redondance majoritaire est telle que la fonction est assurée si au moins la majorité des

éléments est en état de fonctionnement.

Cette redondance concerne surtout des signaux de grande sécurité, et en particulier les

équipements électroniques. Le signal de sortie est celui de la majorité des composants. Le cas

le plus simple comporte 3 éléments.

E3

D

E1

E2

On considère que l’organe D de décision a une fiabilité égale à 1.

RS=probabilité d’avoir plus de 2 éléments en fonctionnement correct

Si Re1=Re2=Re3=R

33 2 3

3

2

. .(1 ) 3 2k

k k k

S

k

R C R R R R

Si on généralise à n (impair obligatoirement pour avoir une majorité)

éléments, on obtient :



1. .(1 ) avec

2

k nk k n k

S n

k c

nR C R R c

La formule de calcul de « c » permet d’obtenir la majorité des éléments.

En tenant compte de la fiabilité du composant de décision :

1. . .(1 ) avec

2

k nk k n k

S D n

k c

nR R C R R c

44 – Application :

Un processus est représenté par le processus suivant :

M1

0,85

M2

0,99

M3

0,99

M4

0,99

M5

0,99

T1

0,8

T2

0,99

T3

0,99

La fiabilité du système entier est le produit de toutes les fiabilités élémentaires : Rs = 0,64

Pour améliorer cette fiabilité, on peut appliquer des redondances sur les systèmes les moins

fiables : M1 et T1.

Une des solutions peut consister à utiliser 3 T1 et 2 M1. Economiquement, il va de soi que

cette solution coûterait trop cher. On se contentera de redonder les éléments faibles des

systèmes M1 et T1

M1M2

0,99

M3

0,99

M4

0,99

M5

0,99T1

T2

0,99

T3

0,99

M1 T1

T1

2 4 3 21 (1 0,85) 0,99 1 (1 0,8) 0,99 0,91Rs x x x Résultat satisfaisant.



Exercices systèmes série et parallèle

Un dispositif se compose de 4 composants connectés en série dont les fiabilités sont

respectivement de 0,98 ; 0,97 ; 0,95 et 0,99.

A B C D

E S

Déterminer la fiabilité de l’ensemble

Un dispositif se compose de 4 composants connectés en série dont les fiabilités sont


A B C D

E S


Un dispositif se compose de 4 composants connectés en // dont les fiabilités sont


A

B

C

D

E S


Le dispositif donné ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures :

Ra=0,87 ; Rb=0,85 ; Rc=Rd=0,89 ;Re=0,94 ; Rf=0,96 ; Rg=0,97



A

B

E F

E SC

D

G

Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble.


Ra=Rb=Rc0,73 ; Rd=0,97 ;Re=0,88 ; Rf=0,92 ; Rg=0,88

A

B E F

E S

C

D

G



Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93

A

B

E S

C

G

D

E

F




Un simple circuit électronique monté en série contient 7 transistors dont le taux de défaillance

d’un transistor 60,8 10 Défaillance heure

it

6

6

6

6

5 diodes : 0,6 10 Défaillance heure

2 condensateurs : 0,6 10 Défaillance heure

12 résistances : 0,6 10 Défaillance heure

2 interrupteurs : 0,6 10 Défaillance heure

i

i

i

i

d

d

d

d

Calculer la fiabilité pour 1000 heures

Solution :

1

6

6

1

67,6 10 1000

67,6 10

0,93

93%

n

i

i

t

s

n

i

i

s

s

R e

R e

R

Soit le système de moto-compresseur composé d’une source principale (SP) en parallèle avec

une batterie (Bat) et onduleur (Ond). (Mot : Moteur, P : Pompe)

Déterminer la fiabilité du système pour une durée de service 10000T h , connaissant le

taux de défaillance de chacune de ces composant :

Solution :

4

4

1 10 Défaillance heure


SP

Bat



5

5

4




Ond

Mot

P

1 2

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

iPn

eq ij

i j

eq SP Bat Ond Mot P P

R r

R R R R R R R

4

4

5

5

4

10 10000

1510 10000 7

10 10000

9 10 10000

510 10000 3

0,36

3,05 10

0,9

0,4

6,7 10

SP

Bat

Ond

Mot

P

t

SP

t

Bat

t

Ond

t

Mot

t

P

R e e

R e e

R e e

R e e

R e e

2

7 3

1 2

3

1 1 0,36 1 3,05 10 0,9 0, 4 1 6,7 10

3,6 10 0, 4 1,33 10

1,92 10

eq

eq

eq

R

R

R



Références bibliographiques

Chelbi Anis, Support du cours « Fiabilité et maintenance », Ecole Supérieure des Sciences et

Techniques de Tunis, 1999-2000.

Références Electroniques

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/esperance.html

http://www.hubertfaigner.com

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale.htm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_gamma.htm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_exponentielle.htm

http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Weibull.htm

http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./e/esperance.html

http://www.hubertfaigner.com/

http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_uniforme_continue




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