LECTROTECHNIQUEET NERGIE LECTRIQUE

Exercices et problmes dlectrotechniqueNotions de bases, rseaux et machines lectriques2e ditionLuc Lasne272 pagesDunod, 2011

DU MME AUTEUR

lectronique de puissanceCours, tudes de cas et exercices corrigs

Luc Lasne288 pages

Dunod, 2011

LECTROTECHNIQUEET NERGIE LECTRIQUE

Luc Lasne

2e dition

Professeur agrg luniversit de Bordeaux 1

Prface deJean-Claude Gianduzzo

Enseignant-chercheur en physique et lectrotechnique luniversit de Bordeaux 1

Illustration de couverture : iStock.com / TebNad

Tirage corrig, 2014 Dunod, 2008, 2013

ISBN 978-2-10-059892-2

5 rue Laromiguire, 75005 Pariswww.dunod.com

Prface

Comme en littrature, un livre scientique ou technique rvle la personnalit de lauteur. Enpremier lieu, par del la rigueur scientique de son propos, Luc Lasne nous fait dcouvrir lersultat du travail opinitre quil a fourni tant pour le contenu lui-mme, que pour la qualitde la rdaction et pour la somme des schmas et illustrations. En deuxime lieu on y dcouvrelenseignant heureux de faire partager sa vision des choses et son savoir. Luc Lasne concrtise icila qualit des contacts quil a avec ses tudiants . Fasse que par lintermdiaire de ce livre iltransmette sa passion de llectrotechnique ses lecteurs.

Les premiers chapitres sont consacrs ltude des rseaux en rgime sinusodal monophaset triphas en insistant bien sur laspect nergtique, ce qui est primordial en lectrotechnique.Lensemble des exercices devrait amener ltudiant matriser le sujet assez rapidement.

Le chapitre 4, en dehors de son aspect un peu abstrait, est fondamental pour la comprhensiondu comportement des rseaux triphass dans le cas de dsquilibres et pour la justication descouplages des enroulements des transformateurs industriels.

Les chapitres 5 et 6 traitent des circuits magntiques linaires. Ceux-ci sont indispensables lacomprhension de la structure des machines tournantes. Cest l quon dcouvre que la majeurepartie de lnergie magntique utile est stocke dans le vide des entrefers et non pas dans lamasse du matriau magntique.

Ltude des aimants est faite au chapitre 7 avec une intressante comparaison entre les aimantsclassiques et les aimants terres rares.

Le chapitre 8 est abstrait, il fait penser un cours de physique. Il donne en effet des rsultatstrs gnraux, partir de considrations nergtiques, sur les calculs de forces ou de moments decouples lectromagntiques. Ce chapitre est fondamental pour ltude des machines de type pas pas en particulier. Deux exemples dapplication sont donns en n de chapitre pour illustrer lesnotions de force et de couple.

Le chapitre 9 tudie le transformateur, il exploite les acquis des chapitres 5 et 6. Ce dispositifest omniprsent dans la majorit des appareils lectroniques que nous manipulons quotidiennementet au chapitre 17 on dcouvrira pourquoi il est indispensable dans la distribution de lnergielectrique. La lecture de la plaque signaltique dun transformateur industriel sera facilite aprsavoir acquis la notion de grandeurs rduites .

Le chapitre 10 traite des isolants et des condensateurs, de leurs technologies de fabrication leur modlisation, en passant mme par les ralisations rcentes de super condensateurs .

Les chapitres 11, 12, 13 et 14 sont encore une application des chapitres 5 et 6 des circuitsmagntiques en interaction via un ou plusieurs entrefers : cest ltude des moteurs lectriques.

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vi Prface

Avant de rentrer dans le dtail de chacun deux, le chapitre 11 fait un survol trs instructif surlensemble des moteurs lectriques utiliss actuellement.

Le chapitre 15 peut tre omis en premire lecture mais il faut le lire ! Il est certes abstrait car ildonne une vision inattendue dune machine. En fait il nous montre quil existe une machine dipha-se capable davoir les mmes performances quune machine polyphase. De plus, les quationsqui dcrivent le fonctionnement de cette machine diphase ne sont pas les mmes si lobservateurqui les crit le fait partir du stator ou partir du rotor. Le contenu de ce chapitre est la base dela commande vectorielle des machines champ tournant, il est de ce fait fondamental. Cest enquelque sorte la partie dpoussire de llectrotechnique car cest l que la microlectronique,linformatique, lautomatique, llectronique de puissance et llectrotechnique se rencontrent. Lacomplmentarit de ces disciplines se rvle ici.

Notons ce propos que la transformation de Concordia-Park a vu le jour au dbut du vingtimesicle, ctait un trs bel outil mais inutilisable faute des moyens lectroniques dont nous disposonsactuellement.

Le chapitre 16 rappelle les bases de lanalyse harmonique et traite des origines des perturbationsharmoniques dans les rseaux de distribution. La non-production dharmoniques par des dispositifsnaturellement polluants ou leur attnuation par des dispositifs (actifs) sophistiqus sont unsujet de recherches trs actuel.

Enn le chapitre 17 traite des rseaux de distribution. La somme des informations recueilliespar Luc Lasne est prcieuse pour comprendre la structure dun tel rseau et pour qui veut se faireune ide de lampleur des problmes que doivent rsoudre producteurs et distributeurs dnergielectrique.

La lecture et lassimilation du contenu de cet ouvrage permettent dacqurir une excellenteculture gnrale en lectrotechnique. Pour ceux qui souhaitent approfondir leurs connaissances, ily a, en dehors des ouvrages spcialiss, des documents accessibles en Bibliothque Universitaire.Je pense aux Techniques de lIngnieur . Les articles sont crits par des spcialistes avec desmises jour rgulires. Depuis 1994 parat une revue (contenu accessible en ligne) nomme 3EIqui est rdige par des enseignants-chercheurs, des ingnieurs...Tous les sujets qui touchent llectrotechnique et llectronique de puissance sont abords.

Jean-Claude GIANDUZZO,Enseignant retrait de lUniversit de Bordeaux 1

Table des matires

PRFACE v

AVANT-PROPOS xv

REMERCIEMENTS xvi

INTRODUCTION 1

1 Quest ce que llectrotechnique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Quelle est aujourdhui la place de lnergie lectrique parmi lesautres nergies ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Quels sont les domaines concerns par llectrotechnique ? . . . . . . . 3

4 Quels sont les programmes universitaires lis lingnierielectrotechnique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5 Comment tester ses connaissances ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CHAPITRE 1 RAPPELS ET GRANDEURS SINUSODALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Lois de base et conventions des diples lectriques . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Rcepteurs lectriques linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Rgime continu et rgimes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Valeurs caractristiques des grandeurs priodiques quelconques . . . 8

1.5 Le rgime sinusodal et sa reprsentation complexe (vectorielle) . . . 9

1.6 Gnralisation du thorme de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

CHAPITRE 2 LES PUISSANCES LECTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 nergie et puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20D

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2.2 Gnralits sur la notion de puissance en lectrotechnique . . . . . . . . 22

2.3 La puissance active en rgime continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Puissances lectriques en rgime alternatif sinusodal . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Puissance apparente complexe, puissances associes aux rcepteurscommuns rencontrs en lectrotechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Thorme de Boucherot et triangle des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 Facteur de puissance, compensation de la puissance ractive . . . . . . 28

2.8 Puissances lectriques en rgime priodique non-sinusodal . . . . . . . 30

2.9 Mesure des puissances lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

CHAPITRE 3 CIRCUITS COURANTS ALTERNATIFS TRIPHASS . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Systme de tensions triphas quilibr direct (TED) . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Gnrateur triphas et diffrents couplages des phases . . . . . . . . . . . 40

3.4 Charges triphases, quilibre et dsquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Puissances en triphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 quivalence de charges, transformations Y/D . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Neutre, neutre ctif et schma quivalent monophas . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Mesures de puissances en triphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CHAPITRE 4 SYSTMES TRIPHASS DSQUILIBRS, RSOLUTIONS MATRICIELLESET COMPOSANTES SYMTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1 Notion de dsquilibre local et charges neutre reli . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Dsquilibre local sur charge neutre non reli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Exemple : Charge dsquilibre et rupture de neutre . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Problmatique gnrale des dsquilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Prsentation des composantes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6 Constructions graphiques et remarques importantes . . . . . . . . . . . . . . 62

Table des matires ix

4.7 Composantes symtriques des grandeurs triphases . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8 Applications des composantes symtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

CHAPITRE 5 MAGNTISME, MATRIAUX ET CIRCUITS MAGNTIQUES . . . . . . . . . . 73

5.1 Le magntisme : le phnomne et ses grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Classication des matriaux magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 Les matriaux ferro-magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Notions incontournables et thorme dAmpre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.5 Les circuits magntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.6 Limites de la thorie des C.M. et logiciels de calcul de ux . . . . . . . . 87

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

CHAPITRE 6 CIRCUITS MAGNTIQUES EN RGIME ALTERNATIF SINUSODAL . . . . 91

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Relations importantes en rgimes alternatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.3 Pertes et particularits lies aux matriaux rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.4 Notions complmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.5 Modle linaire dune bobine noyau de fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

CHAPITRE 7 CIRCUITS MAGNTIQUES AIMANTS PERMANENTS . . . . . . . . . . . . . . 101

7.1 Point de fonctionnement dun aimant permanent insr dansun circuit magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Critre de choix dun aimant permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.3 Caractristiques particulires des diffrents types daimants etutilisations classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.4 Dtermination pratique des dimensions dun aimant permanent . . . 105

Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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x Table des matires

CHAPITRE 8 NERGIES, PUISSANCES ET FORCES LIES AU MAGNTISME,MTHODE DES TRAVAUX VIRTUELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.1 Formules gnrales des nergies dun matriau aimant . . . . . . . . . . 107

8.2 Variations dnergie, puissance et force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.3 Principe de rluctance minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Mthode des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

CHAPITRE 9 TRANSFORMATEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.1 Transformateur monophas idal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.2 Mieux comprendre le transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.3 Le transformateur monophas rel et son modle . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.4 Grandeurs associes au schma et chute de tension au secondaire 126

9.5 Notions complmentaires associes au transformateur rel . . . . . . . . 128

9.6 Transformateurs triphass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.7 Impdances associes aux transformateurs et ordres de grandeur . 134

9.8 Transformateurs en parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9.9 Autotransformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

CHAPITRE 10 MATRIAUX ISOLANTS ET CONDENSATEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2 Matriaux isolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.3 Approche physique du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.4 Formules courant/tension et nergies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.5 Schma quivalent et comportement en frquence . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.6 Technologies de construction des condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.7 Applications classiques du domaine de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.8 Supercondensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Table des matires xi

CHAPITRE 11 CONVERTISSEURS LECTROMCANIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.1 Champ dapplication et classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.2 Principes gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.3 Les grandes familles de machines lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.4 Machines courant continu (MCC), machines collecteur . . . . 163

11.5 Machines synchrones (MS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.6 Machines asynchrones (MAS) ou Machines induction . . . . . . . 171

11.7 Moteurs pas pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

11.8 Nombres de ples des machines lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.9 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

CHAPITRE 12 MACHINES COURANT CONTINU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.1 Principes et relations gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.2 Fonctionnement en rgime permanent continu linaire . . . . . . . . . . . 186

12.3 Non-linarits dues la saturation du circuit magntique . . . . . . . . . 188

12.4 Fonctionnement en rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

12.5 Les diffrents montages des machines courant continu . . . . . . . . . . 194

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

CHAPITRE 13 ALTERNATEURS ET MACHINES SYNCHRONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.1 Principes et relations gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

13.2 Alternateur indpendant dbitant sur charge linaire . . . . . . . . . . . . . 206

13.3 Machine synchrone couple un rseau dnergie innie . . . . . . . . . 208

13.4 Raction dinduit dune machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.5 tude des machines ples lisses : diagramme de Potier . . . . . . . . . . 212

13.6 tude des machines ples saillants : diagramme de Blondel . . . . . 214

13.7 Impdances associes rduites, ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.8 Moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221D

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CHAPITRE 14 MACHINES ASYNCHRONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

14.1 Principes et relations gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

14.2 Fonctionnement tensionet frquence constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.3 Dmarrage des moteurs asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

14.4 Variation de vitesse des moteurs asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.5 Fonctionnement en gnratrice et en frein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

14.6 Moteurs asynchrones monophass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

CHAPITRE 15 TRANSFORMATIONS MATRICIELLES. MODLES D, Q DES MACHINES COURANTS ALTERNATIFS TRIPHASS . . . . . . . . . . . 247

15.1 Matrices dimpdances et dinductances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

15.2 Transformations matricielles classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

15.3 La transforme de Park et le repre du champ tournant . . . . . . . . . . . 250

15.4 Modle d,q des machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

15.5 Modle d,q des machines asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

15.6 Conclusion sur les modles d,q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

CHAPITRE 16 HARMONIQUES ET RGIMES DFORMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

16.1 Bases mathmatiques de ltude des harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . 265

16.2 Expressions des puissances en rgime dform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

16.3 Sources, propagation et consquences des harmoniques . . . . . . . . . . 274

16.4 Harmoniques pairs et impairs, courant de neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

16.5 Rduction et compensation des harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

CHAPITRE 17 LES RSEAUX LECTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

17.2 Structure gnrale des rseaux lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Table des matires xiii

17.3 Production de lnergie lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

17.4 Caractristiques gnrales du transport et de la distribution . . . . . . . 285

17.5 Principes fondateurs des rseaux lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

17.6 Phnomnes lis au fonctionnement des rseaux lectriques . . . . . . 292

17.7 Stratgie de fonctionnement des rseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

17.8 Outils de modlisation et dtude des rseaux lectriques . . . . . . . . . 302

17.9 Exemples de calculs lis aux modlisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

CONCLUSION 311

BIBLIOGRAPHIE ET LIENS 313

INDEX 315

Avant-propos

Ltude de lnergie lectrique, ou lectrotechnique, est une science applique qui occupe uneplace centrale, la fois au sein des sciences de lingnieur et au cur de lindustrie mondiale.Aujourdhui, peu prs 45 % de lnergie produite dans le monde lest sous forme lectrique et le parc technologique associ est immense. En dehors de cet aspect industriel et social, tudierlnergie lectrique ncessite, dune part, la matrise de notions et de techniques mathmatiqueset physiques, et dautre part une bonne connaissance technologique des applications communes,qui sont assez diversies et concernent des puissances rparties sur une vaste chelle dordres degrandeurs. En consquence, lapproche doit tre la fois rigoureuse, pratique, efcace, et respecterune relation intime entre les notions thoriques et les applications industrielles.

Le but de ce livre est daccompagner ltudiant ou lingnieur depuis lapprentissage desnotions de base jusquaux notions avances utilises rgulirement dans le domaine professionnel.Paralllement, il peut galement convenir une formation cible, la comprhension de pointsparticuliers ou de principes gnraux, souvent pralables la spcialisation. Dans tous les cas, il estconstruit de manire ce que la lecture dun chapitre permette de comprendre, avec les notions quiy sont dveloppes, le pourquoi et le comment de ces notions, leurs applications classiquesainsi que les points retenir absolument. titre dexemple, lapproche matricielle des machineslectriques, ou la rsolution des circuits triphass dsquilibrs, ne sont pas des choses faciles.Souvent trs mathmatises et prsentes en n dtudes, ces notions sont pourtant trs prsentesdans lindustrie daujourdhui. En comprenant intimement leur origine et leurs applications,cest ensuite tout le travail de formalisation, de mmorisation et dinterprtation des rsultats quiest facilit. Enn, chaque chapitre est cltur par des exercices dapplications ou des illustrationsdestins cimenter les acquis et la progression scolaire.

La seconde dition de cet ouvrage, qui auparavant tait appel simplement lectro-technique , sadresse de faon trs gnrale aux tudiants des sciences de lingnieur et dela physique. ce titre, elle convient aux formations de type IUT, BTS, aux cycles universitairesLicence et Masters, aux coles dingnieurs de formation gnraliste ou spcialise, mais aussiaux prparations aux concours de lenseignement CAPET, CAPES et Agrgation.

Les particularits de cette deuxime dition sont essentiellement centres sur les deux nouveauxchapitres qui lenrichissent : le chapitre 10 qui est ddi aux matriaux isolants et aux condensateurspermettra au lecteur, en complment de ltude de lnergie magntique, dapprhender le stockagetemporaire de lnergie lectrique dans des condensateurs, ou mme des supercondensateurs .Le chapitre 17, qui tait auparavant en complment accessible sur le Web, prsentera au lecteur unexpos indit sur les rseaux lectriques. Son objectif est ambitieux : faire comprendre les origines,les particularits et les grands principes de fonctionnement et de gestion des grands rseaux lec-triques. Ce domaine, paradoxalement assez peu prsent dans la littrature de llectricit en France,reprsente pourtant la quasi-totalit de la production, du transport et de la fourniture de lnergielectrique dans le monde entier, et ce titre est indissociable de la notion mme dnergie lectrique.

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Remerciements

Je tiens remercier tout particulirement M. Jean-Claude Gianduzzo pour sa relecture complte etassidue, ses nombreuses suggestions, prcisions et discussions concernant les diffrents aspectsde cet ouvrage. Je le remercie galement de faon beaucoup plus gnrale pour sa passion dessciences, son travail denseignant lUniversit de Bordeaux 1 et les innombrables aides dont jaibnci en enseignant ses cts.

Je remercie M. Benot Delourme, Ingnieur RTE (Rseau de Transport de llectricit), poursa relecture attentive et ses nombreuses contributions concernant la partie relative aux rseauxlectriques. Je remercie galement Mme Souad Mechta et la mdiathque RTE , pour leurcontribution mes recherches de documents propres aux rseaux lectriques.

Je remercie M. Bruno Duvallet (RTE) pour toutes les photos quil a aimablement mis madisposition.

Je remercie du fond du cur M. Bernard Multon, enseignant lcole normale suprieure deCachan (ENS, Antenne de Bretagne), la fois pour la qualit et lactualit de ses cours et pour sacontribution substantielle au chapitre concernant les actionneurs lectriques.

De la mme manire, je remercie M. Gilles Feld, galement enseignant lENS de Cachan, pourses enseignements concernant les modles matriciels des machines lectriques et plus gnralementpour sa capacit expliquer simplement ce que tant dautres cachent derrire des quations.

De faon assez dcousue , je ne remercierai jamais assez M. Paul Bourgois, Messieurs Guyet Michel Lavabre, M. Louf, Mme Pnlon, et de faon trs gnrale tous ces enseignants fabuleuxqui mont permis daccder un mtier que jaime et qui me passionne.

Je joins ces remerciements une pense trs forte vers tous les collgues et amis du monde delenseignement et des sciences.

Plus personnellement, plus intimement, mais de faon inniment plus forte, je remercie monpetit Vadim, ma petite Salom, Armelle ma femme, ainsi que ma Maman pour tout le reste...vraiment TOUT le reste.

Introduction

Avant de commencer parcourir cet ouvrage, il est important de bien savoir ce quest llectrotech-nique et quels sont ses champs dapplication. Bien situer la place de cette matire, autant dans lepaysage industriel que dans le monde des tudes suprieures, constitue une bonne manire dabor-der ensuite des notions, parfois compliques, dont la prsence dans les programmes scolaires nestpas anodine. Il est en effet essentiel de retenir que llectrotechnique est une science applique et, ce titre, reprsente un ensemble de principes et dapplications utiles dans le monde technologiqueactuel. Cette introduction est donc destine rpondre, de faon pralable, quelques questionssimples nonces ci dessous :

1 QUEST CE QUE LLECTROTECHNIQUE?

Dnition lectrotechnique adj. et n. f. XXe sicle. 1. Adj. Relatif la production, au transport, la distribution et lutilisation de lnergie lectrique. 2. N. f. tude des applications techniqueset industrielles de llectricit. (source : Dictionnaire en ligne de lAcadmie Franaise)

De faon plus dtaille, llectrotechnique est ltude de lensemble des technologies qui sontrelatives aux industries suivantes :

Lindustrie de la production dnergie lectrique, cest--dire lensemble des centrales ther-miques, nuclaires, hydrolectriques, oliennes, etc.

Lindustrie du transport ou de la distribution lectrique, cest--dire lensemble des ligneslectriques constituant le maillage des territoires, des transformateurs, des postes de conver-sions et dinterconnexion, etc.

Lindustrie de la conversion de lnergie lectrique, cest--dire lensemble des convertisseursstatiques et dynamiques, des machines et moteurs lectriques, etc.

Lindustrie de lappareillage et des installations lectriques, cest--dire lensemble desdispositifs permettant lutilisation industrielle ou particulire de llectricit.

Le point commun tous les lments de cette liste est un rapport lnergie lectrique. Ainsi,de faon plus synthtique, il est possible de retenir que llectrotechnique est ltude destechniques relatives aux aspects nergtiques de llectricit et des systmes lectriques .

Sur un plan purement scolaire, llectrotechnique est une matire qui fait partie intgrantedes Sciences de lIngnieur et qui sinscrit gnralement dans les parcours de type EEA (lectronique, lectrotechnique, Automatique). Cest une science applique qui fait souvent par-tie de lenseignement technique et technologique dans les lyces et des enseignements lis lingnierie dans les tudes suprieures.

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2 Introduction

2 QUELLE EST AUJOURDHUI LA PLACE DE LNERGIELECTRIQUE PARMI LES AUTRES NERGIES ?

lectricitnuclaire

1 338,4 TWh43 %

Renouvelable198 TWh

6,5 %Charbon132,5 TWh

5 %

Ptrole953,4 TWh

30 %

Gaz466,6 TWh

15 %

Figure 1 Lnergie primaire en France (2010)

Lnergie lectrique (et donc llectrotechnique)est trs prsente dans la vie quotidienne depratiquement tous les habitants de la plante.Les pays fortement industrialiss, en particulier,consomment une partie importante de leur ner-gie sous forme lectrique. titre dinformation,le graphe de la gure 1 reprsente la rparti-tion des nergies dites primaires (cest--dire totales) consommes en France en 2010(source : INSEE et http://www.developpement-durable.gouv.fr/-Energie-Air-et-Climat-).N.B. : 1 Tera Watt-heure = 1TWh = 109 kWh.

Il est bien visible sur ce graphe quenviron 45 % de lnergie totale consomme la t sousforme dlectricit (les oliennes font partie des nergies renouvelables). Si les rpartitions diffrentdun pays lautre, cette proportion reste du mme ordre de grandeur. Par voie de consquence,il faut bien comprendre que les industries de la production, du transport, de lappareillage et delquipement lectriques reprsentent une partie trs importante des industries mondiales.

Autrement dit, parmi les autres nergies la place de lnergie lectrique est tout fait centrale.Par ailleurs cette dernire est directement lie lensemble des nergies existantes, elle se transportebien, elle est inodore, invisible et autorise des transferts trs bons rendements. Pour toutes cesraisons, lnergie lectrique reprsente une proportion toujours croissante des nergies primaires. titre dexemple, la gure 2 prsente lvolution de la consommation lectrique en France de1996 2006. (source : DGEMP, les donnes sont ramenes un quivalent ne dpendant pas desgrandes uctuations des conditions mtorologiques). Enn, les difcults lies lenvironnement, lpuisement des ressources fossiles, la croissance des populations et de leur consommationdnergie donnent aujourdhui penser que cette augmentation devrait se conrmer dans lesannes venir.

Consommation Annuelle en France 1996 - 2006

370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

480

1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

TWh

Figure 2 Consommation dlectricit en France de 1996 2006

3 Quels sont les domaines concerns par llectrotechnique ? 3

3 QUELS SONT LES DOMAINES CONCERNSPAR LLECTROTECHNIQUE?

En ralit, llectrotechnique concerne directement, ou indirectement, un grand nombre dedomaines. titre dexemple, la plus grande partie des appareillages domestiques, sous le terme dlectromnager , utilise de lnergie lectrique. La plus grande partie des motorisationsassocies aux processus industriels aussi. De la mme manire, llectricit au sens large estutilise aussi bien dans lindustrie lectronique et informatique que dans les industries chimiques,mcaniques, le transport ferroviaire, etc. Ainsi, et de faon trs gnrale, les notions et les outilsspciques de llectrotechnique sont utilisables en physique, en chimie, mcanique, thermique,gnie civil, etc. Lensemble de ce cours ne sapplique donc pas exclusivement aux domaines delEEA.

4 QUELS SONT LES PROGRAMMES UNIVERSITAIRESLIS LINGNIERIE LECTROTECHNIQUE?

Les programmes correspondant au domaine de llectrotechnique comprennent gnralement lespoints suivants :

Ltude des grandeurs lectriques alternatives sinusodales (en rgime permanent). Ltude des diffrentes puissances lectriques. Ltude des systmes triphass (qui constituent les rseaux lectriques et les installations de

puissance). Ltude du magntisme, des circuits magntiques et des nergies lies au magntisme (car le

magntisme est la base du fonctionnement dun trs grand nombre dappareils et de machineslectriques).

Ltude des transformateurs (omniprsents dans les appareillages et travers tous les ordresde grandeur).

Ltude des systmes dforms (cest--dire non sinusodaux).Ces points sont en gnral tudis en dbut de cyle Licence (ou quivalent), aprs quoi ltude

des machines lectriques, le plus souvent abordes en n de cycle Licence et en Masters, estconstitue de :

Ltude des machines courant continu (trs prsentes dans llectromnager et les action-neurs).

Ltude des alternateurs (outil quasi universel de la production lectrique) et des machinessynchrones (qui constituent les meilleurs moteurs de traction actuels).

Ltude des machines asynchrones (trs prsents dans les motorisations de moyenne puissanceet bon march).

Ltude des modles classiques des moteurs et des modles matriciels qui permettent aujour-dhui des pilotages ns et trs rentables.

La motorisation reprsente en effet un domaine particulirement imposant qui couvre quasimenttoutes les gammes de puissances mises en jeu sur les rseaux. An de mettre en vidence les points

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4 Introduction

communs et les angles dapproche classiques, le chapitre 11 prsente un tour dhorizon desprincipes de fonctionnement des convertisseurs lectromcaniques les plus courants.

Enn, ltude des rseaux lectriques constitue une approche gnralement lie certaines colesdingnieur assez proches de lindustrie de la production et du transport de lnergie lectrique.Cest pourtant un point central de la culture lectrotechnique, qui mrite une place centrale dansles formations correspondantes

5 COMMENT TESTER SES CONNAISSANCES ?

Ce livre est un cours. ce titre, il prsente beaucoup de notions, lies llectricit et au magn-tisme en gnral ainsi qu la ralit industrielle de llectrotechnique. Pour un tudiant, il nestpas vident de passer de la lecture du cours au fait de savoir appliquer les notions de faon pratique.Pour ce faire, cet ouvrage prsente dans chaque chapitre plusieurs exercices corrigs. Ces dernierspermettent de se faire une ide de la manipulation pratique des notions exposes. Paralllement,et dans la mme collection, le livre Exercices et problmes dlectrotechnique (ISBN : 978-2-10-055625-0) propose de nombreux exercices et problmes corrigs qui sont le reet de ce qui esteffectivement demand ltudiant des cycles universitaires et des coles dingnieurs.

Chapitre 1

Rappels et grandeurs sinusodales

1.1 LOIS DE BASE ET CONVENTIONS DES DIPLES LECTRIQUES

Il est impratif de bien connatre les lois de base de llectricit pour pouvoir accder aux diffrentschapitres de cet ouvrage. Sous forme de rappels, la loi des mailles, la loi des nuds, les conventions rcepteur et gnrateur , sont rappels ci dessous, de faon adapte et sufsante ltudedes systmes de conversion dnergie. Toutes ces notions tant des outils indispensables ltudedes circuits lectriques, il est naturel de les considrer par la suite comme des prrequis de fond.

1.1.1 Loi des mailles

u1

u2

u3

u4

u1 - u

2 - u

3+u

4 = 0

Figure 1.1 Loi des mailles

Cest le fondement de ltude des circuits. La loi des maillesscrit : la somme des tensions orientes le long dune maillede circuit lectrique est nulle . Lexemple reprsent sur lagure 1.1 prsente une maille de principe quatre diples, idalepour mettre en uvre le mcanisme de la loi des mailles traverslquation associe.

1.1.2 Loi des nuds

i1

i1 + i

2 + i

3 - i

4 = 0

i2

i3

i4

Figure 1.2 Loi des nuds

Elle est galement incontournable pour ltude des circuits lec-triques, et scrit ainsi : la somme des courants orients unnud de circuit est nulle . Encore une fois lexemple gurantsur la gure 1.2 prsente un nud de principe, quatre branches,idal pour mettre en uvre le mcanisme de la loi des nuds travers lquation correspondante.

1.1.3 Conventions gnrateur et rcepteur

Lorsquun diple lectrique constitue le gnrateur de tension dun circuit lectrique, on orientenaturellement ses grandeurs lectriques en convention gnrateur . Lorsquun diple lectrique

6 1 Rappels et grandeurs sinusodales

nest pas gnrateur, on le dit rcepteur et on oriente naturellement ses grandeurs lectriques en convention rcepteur . Les gures ci-dessous reprsentent ces orientations de principe, parall-lement il faut retenir que ces deux conventions se rapportent au sens pressenti dcoulementdes puissances dun gnrateur vers un rcepteur lectrique.

i

Convention gnrateur

u

Diple En convention gnrateur, la puissance lectrique associe au diplescrit : p = u.i Si p = u.i > 0, le diple fournit de la puissance au reste du circuit. Si p = u.i < 0, le diple reoit de la puissance du reste du circuit.

i

Convention rcepteur u

Diple En convention rcepteur, la puissance lectrique scrit galement :p = u.i , mais cette fois : Si p = u.i > 0, le diple reoit de la puissance du reste du circuit. Si p = u.i < 0, le diple fournit de la puissance au reste du circuit.

Ces considrations reviennent bien au fait quun gnrateur est naturellement fait pour fournirde la puissance (pfournie > 0) et un rcepteur pour en recevoir (preue > 0). Quand la puissancesinverse cest que le sens du transfert est en ralit inverse celui pressenti dans lapproche ducircuit.

NB : Cette notion de convention est trs importante puisquelle permet de xer le sens dit conven-tionnel des tensions et courants dun circuit, juste en ayant une ide de la nature de ses compo-sants. Trs souvent, cest la premire chose faire lors de ltude dun circuit pour lequel les sensdes grandeurs lectriques ne sont pas imposs. Si par hasard on se trompe de convention pour undiple, ce nest pas grave, sa puissance sera juste ngative.

1.2 RCEPTEURS LECTRIQUES LINAIRES

Il existe trois types de rcepteurs lectriques dits linaires : les rsistances, les inductances(ou selfs) et les condensateurs (ou capacits ). Leurs relations courant/tension gnralesfont apparatre des coefcients constants indpendants de u(t) et de i(t), cest ce qui caractriseleur linarit . Ces relations sont prcises, naturellement en convention rcepteur, ci-aprs.

Rsistance : u(t) = R.i(t)Le coefcient R sappelle la rsistance, son unit est lOhm (V). Ri

u

Inductance : u(t) = L.d i(t)d tLe coefcient L sappelle linductance, son unit est lHenry (H). L i

u

Condensateur : i(t) = C .d u(t)d tLe coefcient C sappelle la capacit, son unit est le Farad (F). Ci

u

Ces formules sont fondamentales et dcrivent le comportement de ces diples de faon gnrale.Pourtant, en fonction des particularits des tensions dalimentation des circuits lectriques, il existedes simplications possibles, ou encore dautres critures de ces formules. Il est ainsi fondamentalde savoir adapter ces relations aux diffrents rgimes de fonctionnement des circuits.

1.3 Rgime continu et rgimes variables 7

1.3 RGIME CONTINU ET RGIMES VARIABLES

1.3.1 Rgime continu

On parle de rgime (permanent) continu ds lors que les grandeurs lectriques (courants et tensions)dun circuit sont indpendantes du temps. Cest le cas lors quon utilise des gnrateurs de tensionou de courant continu tels les piles, accumulateurs, batteries, gnratrices courant continu, etc.Dans ce rgime particulier, les formules gnrales de fonctionnement des inductances et conden-sateurs se simplient considrablement (voir la gure 1.3). tant donn que ces deux rcepteursdeviennent sans effet en rgime continu, les rsistances restent alors les seuls rcepteurs linairesexistants. On retiendra ainsi lensemble des caractristiques gnrales du rgime continu citesci-dessous :

Les condensateurs sont quivalents des circuits ouverts .

)(0. tidtdUC == C

U=cte i=0

Les inductances sont quivalentes des courts-circuits .

0.)( == dtdILtu

L I=cte

u=0

Association de deux rsistances en srie :

Req = R1 + R2

Association de deux rsistances en parallle :

1Req

=1R1

+1R2

ou Req =R1.R2

R1 + R2U

I

R1

R2 U

I

R1 R2

I

U

Req

Les circuits lectriques deconversion dnergie seramnent ainsi souvent lassociation classique :gnrateur (E), rsistance desortie du gnrateur (Rs) etcharge (R).

R

I U

Rs

E

Gnrateur Rcepteur ou Charge

Figure 1.3 Rgime continu, association gnrateur rcepteur

NB : La puissance reue par la charge est alors : P = U .I = R.I 2, celle fournie par le gnrateurest alors :P = E .I .NB : partir de la dnition donne dans le chapitre 3, on remarque quen rgime permanentcontinu, le facteur de puissance vaut systmatiquement 1.

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8 1 Rappels et grandeurs sinusodales

1.3.2 Rgimes variables

Il existe deux grands types de rgimes variables, cest--dire dans lesquels les grandeurs lectriquesdpendent du temps : les rgimes transitoires et les rgimes entretenus priodiques .

Les rgimes transitoires : ce sont des volutions particulires des grandeurs lectriquesqui apparaissent lors des modications brutales des caractristiques dun circuit lectrique.En gnral ils ne se produisent pas de faon rpte, sinon on parle de rgime entretenupriodique.

Les rgimes priodiques : ils se caractrisent par le fait que les variations des grandeurslectriques en fonction du temps sont priodiques (rptitives). La dure de rptition sappellealors la priode (T en secondes) et son inverse est appele la frquence ( f = 1

Ten Hertz).

1.4 VALEURS CARACTRISTIQUES DES GRANDEURSPRIODIQUES QUELCONQUES

On parle de grandeur priodique ds lors quun signal s prsente une priode temporelle, T , telleque pour tout temps t : s(t + T ) = s(t).

Pour caractriser facilement les grandeurs lectriques variables des rgimes priodiques, ondispose de paramtres incontournables qui sont : la priode, la frquence, la valeur moyenne etla valeur efcace.

Ces notions sont des notions phares en lectrotechnique et il est impratif de les matriser parfai-tement dautant quelles sont universelles dans le domaine des rgimes priodiques. La gure 1.4reprsente une grandeur priodique quelconque, s (en lectronique on parle plus gnralement designal), pour laquelle on prcise lensemble de ces notions.

La priode : cest la dure de rptition de la grandeur, on la note T et elle sexprime ensecondes (s).

La frquence : cest le nombre de priodeseffectues par seconde par la grandeur, on lanote f = 1

Tet elle sexprime en Hertz (Hz).

La pulsation : cest lquivalent dune vitessede rotation de la grandeur, on la notev = 2p f = 2p

Tet elle sexprime en radians

par seconde (Rad/s). Attention, cette grandeurnest dnie quen rgime sinusodal.

s(t)

t

T

0

=

Figure 1.4 Grandeur priodique quelconque

1.4.1 Valeur moyenne

La valeur moyenne dune grandeur variable sappelle aussi la composante continue , cest--dire la partie constante de cette grandeur. Pour le signal priodique s, de priode T , on note < s >

1.5 Le rgime sinusodal et sa reprsentation complexe (vectorielle) 9

sa valeur moyenne dont on retiendra lcriture gnrale :

Smoy =< s >=1T

(T )

s(t)d t

NB : La valeur moyenne dun signal est la valeur qui spare le signal sur une priode en deux

aires gales (voir la gure 1.4). On la calcule souvent en crivant : < s >= 1T

T0

s(t) d t , maisil est possible de faire lintgration sur nimporte quel intervalle de largeur T .

1.4.2 Valeur efcace

La valeur efcace dune grandeur variable est une notion trs largement utilise en lectricitds lors quon sintresse aux rgimes variables. On note S ou Seff la valeur efcace du signalpriodique s et on retiendra absolument la formulation gnrale :

Seff = S =

1T

(T )

s2(t) d t

Cest la recherche de la puissance par effet Joule due un courant alternatif qui mne lanotion de valeur efcace. En ralit la valeur efcace dun courant alternatif est celle qui produit lamme puissance consomme par effet Joule quun courant continu de mme valeur. On retiendrapar exemple quun courant de 10A efcace passant dans une rsistance produira la mme chaleurquelle que soit la nature de ce courant.

Autrement dit, et cest trs important en lectrotechnique, le fait de prendre en compte lesvaleurs efcaces des tensions et des courants permet dunier lcriture des puissances lectriques.Ces considrations sont dveloppes dans le chapitre relatif aux puissances.

NB : tant donn des formules prcdentes, on remarque que la valeur moyenne dune sommeest gale la somme des valeurs moyennes, en revanche cest gnralement faux pour les valeursefcaces. En dautres termes : si s(t) = s1(t)+s2(t) alors < s >=< s1 > + < s2 > mais attention :Seff = S1eff + S2eff.

1.5 LE RGIME SINUSODAL ET SA REPRSENTATION COMPLEXE(VECTORIELLE)

Cest en rgime sinusodal que les transformateurs, les machines tournantes, etc., ont un fonction-nement optimal. Cest galement en rgime sinusodal quil est possible de transporter lnergielectrique sous trs haute tension grce lutilisation des transformateurs. Sans pour autant lesdvelopper dans ce chapitre, il est important de comprendre quun certain nombre de raisons fontque ce rgime correspond la plus grande partie des congurations rencontres dans le domainede lnergie lectrique, et donc de llectrotechnique. Il est impratif de matriser parfaitement lesnotions et les mthodes dapproche, elles sont incontournables pour aborder les chapitres suivantssans difcult.

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10 1 Rappels et grandeurs sinusodales

1.5.1 Nature et reprsentation des grandeurs alternatives sinusodales

Un signal alternatif sinusodal est un cas particulier de signal priodique. La gure 1.5 reprsenteun tel signal sur un peu plus dune priode et ses caractristiques sont les suivantes :

s(t ) = Smax. sin(vt w) Priode : T (s) Frquence : f = 1

T(Hz)

Pulsation : v = 2p f (rad/s) Phase lorigine : w Valeur moyenne : < s >= 0 Valeur efcace : Seff = S =

Smax2

2

maxSeffS

=

s(t)

t

T 0 T/2

maxS

Figure 1.5 Caractristiques des grandeurs sinusodales

1.5.2 Reprsentation en fonction de langle u = v.t

Si les valeurs maximales et efcaces de la grandeur s apparaissent naturellement sur sa reprsenta-tion temporelle, la contribution de la phase lorigine w se traduit, en revanche, par un temps deretard lorigine trs peu pratique quantier. On prfre ainsi trs souvent faire la reprsentationdes grandeurs sinusodales en fonction de langle u = v.t (voir gure 1.6), ce qui implique lesconsquences suivantes : La priode de rptition du signal devient la

valeur 2p, quelle que soit la frquence dusignal.

La phase devient lisible directement enradians sur laxe des abscisses. (voirgure 1.6)

Les intgrations, relatives aux valeursmoyennes et efcaces, faites en fonction dela variable u = v.t sont plus faciles rali-ser quen utilisant la variable t .

2

maxSeffS

=

s()

2 0

maxS

Figure 1.6 Reprsentation en fonction delangle u = v.t

NB : Il est impratif de retenir quune grandeur sinusodale damplitude Smax a pour valeur efcaceSeff = S =

Smax2

. Attention, il est galement impratif de se souvenir que ce rsultat est un casparticulier et nest valable que pour une grandeur sinusodale !

NB : Dmonstration de la formule de la valeur efcace

Seff = S =

1T

(T )

s2(t).dt =

S2max2p

2p0

sin2(u).du

=

S2max2p

2p0

1 cos(2u)2

.du =

S2max4p

2p0

du

1.5 Le rgime sinusodal et sa reprsentation complexe (vectorielle) 11

Seff = S =

S2max4p

.2p = Smax2

. La disparition du terme cos(2u) dans la troisime tape du calculest due au fait que la valeur moyenne dune sinusode est nulle, il est donc inutile de calculerlintgrale de ce terme.

1.5.3 Ncessit dune notation particulire des grandeurs sinusodales

En rgime sinusodal, les relations de maille exprimes laide des relations Courant/Tension desrcepteurs linaires deviennent des quations diffrentielles dont la rsolution se complique defaon prohibitive dans les circuits comportant plus dun ou deux rcepteurs. Pourtant le rgimesinusodal est le plus utilis dans le domaine de lnergie lectrique. Il est donc impratif de mettreen uvre une notation et une mthodologie particulires portant sur les grandeurs sinusodales.Cette notation est la notation complexe (ou vectorielle) des grandeurs sinusodales.

1.5.4 Rappels lmentaires sur les nombres complexes

Soit z C, lespace en deux dimensions des nombres complexes. Lcriture en coordonnescartsiennes du nombre complexe z est : z = a + i .b, avec i le nombre complexe unit tel quei2 = 1, a et b ses coordonnes.

On prfre, en lectricit, et pour ne pas confondre i avec un courant, crirez = a + j .b en notant j le nombre complexe unit tel que j2 = i2 = 1.

On reprsente les nombres complexes, partir de leurs coordonnes, dans un plan appel plancomplexe reprsent sur la gure 1.7. Par ailleurs il est important de savoir mettre en uvre lesnotions suivantes :

La norme (ou module) du complexe z scrit : r = |z| =

a2 + b2

La projection du module sur les axes donne : a = r . cos u etb = r . sin u. Ainsi : z = a + j .b = r (cos u + j . sin u). Dolcriture polaire du nombre complexe :

z = r .e ju

u est appel largument de z, on crit : u = Arg (z).Comme tan u = b

a, on retiendra :

u = Arg (z) = Arctan(

ba

)

Im

Re

a

b

r

+

z

Figure 1.7 Plan et nombrecomplexes

1.5.5 criture spcique des courants sinusodaux en lectrotechnique

En lectrotechnique, une source de tension (cest--dire un gnrateur) fournit gnralement delnergie un ensemble de charges connectes en parallle les unes sur les autres. titre dexemple,les appareils lectriques dune maison sont gnralement tous connects en parallle sur la mmetension, on appelle celle-ci tension dalimentation . Ainsi, lorsquune tension sinusodale u(t)(caractrise par sa valeur efcace U ) est la tension dalimentation dun systme de charges,il est trs usuel de considrer que sa phase lorigine est nulle (w = 0). Cest un lment de

Dun

od

Toute

repr

oduc

tion

non

auto

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nd

lit