Faire les exercices FONCTIONS PART3 E02 · Faire les exercices FONCTIONS PART3 E02 EXERCICE N°1...

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Faire les exercices FONCTIONS PART3 E02 EXERCICE N°1 Déterminer le signe de la fonction f définie sur par : f ( x )=0,8 ( x +3 )( x 5)( x 7) f ( x ) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes. 0,8 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x . x +3 > 0 x > 3 x 5 > 0 x > 5 x 7 >0 x > 7 x −∞ 3 5 7 +∞ 0,8 + | + | + | + x +3 0 + | + | + x 5 | 0 + | + x 7 | | 0 + f ( x ) 0 + 0 0 + La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f ( x ) en fonction de x EXERCICE N°2 Déterminer le signe de la fonction f définie sur par : f ( x )=−9 ( x +12 )( x +7 )( x 11) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes. 9 > 0 est faux quelque soit la valeur de x . x +12 > 0 x > 12 x +7 > 0 x > 7 x 11 >0 x > 11 x −∞ 12 7 11 +∞ 9 | | | x +12 0 + | + | + x +7 | 0 + | + x 11 | | 0 + f ( x ) + 0 0 + 0 La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f ( x ) en fonction de x
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    03-Jun-2020
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  • Faire les exercices

    FONCTIONS PART3 E02

    EXERCICE N°1

    Déterminer le signe de la fonction f définie sur ℝ par :f (x )=0,8(x+3)(x−5)(x−7)

    f (x ) est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun desfacteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

    ▪ 0,8 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .▪ x+3 > 0 ⇔ x > −3▪ x−5 >0 ⇔ x > 5▪ x−7 >0 ⇔ x > 7

    x −∞ −3 5 7 +∞0,8 + | + | + | +x+3 − 0 + | + | +x−5 − | − 0 + | +x−7 − | − | − 0 +

    f (x ) − 0 + 0 − 0 +

    La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

    EXERCICE N°2

    Déterminer le signe de la fonction f définie sur ℝ par : f (x )=−9( x+12)( x+7)( x−11)

    est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

    ▪ −9 > 0 est faux quelque soit la valeur de x .▪ x+12 > 0 ⇔ x > −12▪ x+7 >0 ⇔ x > −7▪ x−11 >0 ⇔ x > 11

    x −∞ −12 −7 11 +∞−9 − | − | − | −x+12 − 0 + | + | +x+7 − | − 0 + | +x−11 − | − | − 0 +

    f (x ) + 0 − 0 + 0 −

    La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

  • EXERCICE N°3

    On admet que les solutions de l'équation 4 x3−28 x2+19 x+105=0 peuvent toutes s'écrire

    sous la forme n2 où est un entier compris entre −100 et 100 .

    1) Trouver toutes les solutions de cette équation à l'aide d'un programme écrit en Python.def f(x): return 4*x**3-28*x**2+19*x+105

    def recherche(f): solutions=[] for n in range(-100,101): if f(n/2) == 0: solutions+= [n/2] return solutions

    """remarques :1) Commencer par définir f en premier rend notre programme plusfacilement réutilisable2) dans l'exemple présent le test f(n/2)==0 est pertinent, ce n'est malheureusementpas toujour le cas, il faut alors se contenter de :abs(f(n/2))

  • Faire les exercices

    FONCTIONS PART3 E03EXERCICE N°1

    Soit C f la courbe représentative de la fonctionf dont on précise certaines coordonnées des

    points : B(−0,5 ; −2,25) , C (0 ; −2) , E (−2 ; 0) , F (1 ; 0) , G(−1,55 ; 1,26) et H (0,22 ; −4,23) .

    1) Déterminer les racines de f .Graphiquement : −2 ; −1 et 12) Soit la fonction g ; définie sur ℝ à partir dela fonction f par : g ( x)= f ( x)+6 .

    2.a) Tracer l’allure générale de la fonction g .Voir en rouge ci-contre2.b) Déterminer le nombre de racines de g .Graphiquement une seule racine2.c) Déterminer les variations de la fonction g .Les variations de g sont les mêmes que celles def .

    Elle est donc croissante jusque l’abscisse de G :1,55, puis décroissante jusque l’abscisse de H :0,22 et enfin croissante.2.d) Trouver, si possible, les coordonnées dessommets de la fonction gIl suffit d’ajouter 6 à ceux de f c’est à dire auxordonnées de G et F . On a donc un maximumlocal en 1,55 et valant 1,26+6=7,26 et unminimum local en 0,22 valant −4,23+6=1,77

  • FONCTIONS PART3 E03EXERCICE N°2

    Soient f et g deux fonctionspolynômes de degré 3 dont on noteC f et C g les courbes

    représentatives.

    1) Déterminer graphiquement lesracines des fonctions f et g .Les racines correspondant aux abscissesdes points d’intersection de la courbeavec l’axe des abscisses : pour f : −2 ; 0 et 2pour g : −1 ; 0,5 et 2,52) En déduire les expressionsfactorisées de f (x ) et g ( x) pourx∈ℝ .

    Rappel : ici (il nous restera à trouver a )

    Pour f :On sait que f (x )=a x (x+2)(x−2) et d’après le graphique f (3)=6 .Or f (3)=a×3×(3+2)(3−2)=15a

    Donc 15a = 6 ⇔ a = 615 ⇔ a = 2

    5Enfin :

    f (x )=25x ( x+2)(x−2)

    Pour g :On sait que g ( x)=a( x+1)( x−0,5)( x−2,5) et d’après le graphique g (1)=3 .Or g (1)=a×(1+1)(1−0,5)(1−2,5)=−1,5a

    Donc −1,5a = 3 ⇔ a = 3−1,5 ⇔ a = −2

    Enfin : g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

    3) Déterminer f ’ (x) et g ’ (x )Pour f ' :Commençons par développer et réduire l’expression de g ( x)g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

    Puis dérivons selon x cette expression.f ' ( x)=2

    5×3 x2−8

    5×1 = 65 x

    2−85

    Pour g ' :Commençons par développer et réduire l’expression de f (x )g ( x)=−2(x+1)(x−0,5)(x−2,5)

    =−2 (x+1) [x 2−3 x+1,25] =−2[ x3−3 x2+1,25 x+ x2−3 x+1,25] =−2(x3−2 x2−1,75 x+1,25) =−2 x3+4 x2+3,5 x−2,5

    Puis dérivons selon x cette expression.g ' (x )=−2×3 x2+4×2 x+3,5×1−0 = −6 x2+8 x+3,5

    https://landatome.pagesperso-orange.fr/images/03_fonction_part3_C04.gif

  • EXERCICE N°3

    Soient f et g deux fonctions polynômes de degré3 définies sur ℝ et dont on note C f et C g lescourbes représentatives.

    1) Déterminer les formes factorisées de de f (x )et g ( x) pour x∈ℝ .Pour f (x ) :On sait que f (x )=a (x−(−1))( x−2)(x−5) aveca∈ℝ

    De plus f (0)=1et f (0) = a (0−(−1))(0−2)(0−5) = 10a

    Donc 8a=1 ⇔ a= 110=0,1

    Ainsi f ( x )= 110 ( x+1)( x−2)( x−5)

    Pour g ( x) :On sait que g ( x)=a( x−(−2))( x−1)( x−3) avec a∈ℝDe plus g (0)=−3et (1) = a (0−(−2))(0−1)(0−3) = 6aDonc 6a=−3 ⇔ a=−0,5Ainsi g (x )=−0,5( x+2)( x−1)( x−3)

    2) Déterminer f ’ (x) et g ’ (x )Pour f ' ( x) :Commençons par développer et réduire l’expression de f (x )

    f (x ) = 110

    (x+1)(x−2)( x−5) = 110

    (x+1)(x2−7 x+10) = 110

    [ x3−7 x2+10 x+x2−7 x+10 ]

    = 110

    ( x3−6 x2+3 x+10) = 110 x3− 35 x

    2+ 310 x+1

    Ainsi :f ' ( x) = 1

    10×3 x2−3

    5×2 x+ 3

    10×1+0 = 310 x

    2−65 x+3

    10

    Pour g ' (x ) :Commençons par développer et réduire l’expression de g ( x)g ( x)=−0,5(x+2)(x−1)(x−3) = −0,5( x+2)(x2−4 x+3) = −0,5 [x3−4 x2+3 x+2 x 2−8 x+6]

    =−0,5( x3−2 x2−5 x+6) = −0,5 x3+x 2+2,5 x+3 Ainsi :g ' (x )=−0,5×3x2+2 x+2,5+0 = −1,5 x2+2 x+2,5

  • Faire les exercices

    FONCTIONS PART3 E04EXERCICE N°1

    Soit la fonction définie sur ℝ par f (x )=2 x3−6 x2−2 x+6.1) Vérifier que pour tout réel x par : f (x )=2( x−1)( x+1)( x−3) .

    2( x−1)( x+1)( x−3) = 2( x−1)( x2−2 x−3) = 2[ x3−2 x 2−3 x−x2+2 x+3] = 2(x3−3 x2− x+3) = 2 x3−6 x2−2 x+6 = f ( x )

    Remarque : On ne commence pas par écrire f (x ) , on ne l’écrit qu’ à la fin.

    2) En déduire les racines de f sur ℝ .D’après la question précédente les racines sont : −1 ; 1 et 3

    Remarque : f (x )=2( x−1)( x+1)( x−3)

    3) Étudier le signe de f (x ) sur ℝ .est un produit de quatre facteurs, nous allons donc étudier le signe de chacun des facteurs puis dresser un tableau bilan à l’aide de la règle des signes.

    ▪ 2 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .▪ x−1 > 0 ⇔ x > 1▪ x+1 >0 ⇔ x > −1▪ x−3 >0 ⇔ x > 3 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

    x −∞ −1 1 3 +∞2 + | + | + | +x−1 − 0 − | + | +x+1 − | + 0 + | +x−3 − | − | − 0 +

    f (x ) − 0 + 0 − 0 +

    La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

  • EXERCICE N°2

    Soit la fonction f définie sur ℝ par f (t)=−2 t3+3 t 2+5t .1) Montrer que f (t)=−2 t( t+1)(t−2,5) .−2 t (t+1)(t−2,5) = −2 t (t 2−1,5 t−2,5) = −2 t3+3 t 2+5t = f (t)

    2) Quelles sont les racines de f ?D’après la question précédente, les racines sont −1 ; 0 et 2,5 t=t−0

    Remarque : f (t)=−2 t( t+1)(t−2,5)

    3) Déterminer le tableau de signes de f (t) sur ℝ .▪ −2 > 0 est faux quelque soit la valeur de t .▪ t > 0 ⇔ t > 0 (bah oui….)▪ t+1 >0 ⇔ t > −1▪ x−2,5 >0 ⇔ x > 2,5 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

    t −∞ −1 0 2,5 +∞−2 − | − | − | −t − 0 − | + | +t+1 − | + 0 + | +t−2,5 − | − | − 0 +

    f (t) − 0 + 0 − 0 +

    La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (t) en fonction de t

    4) En déduire les solutions de −2 t (t+1)(t−2,5) > 0 sur ℝ .D’après le tableau de signes, l’ensemble des solutions est : ]−1 ; 0 [∪ ]2,5 ; +∞ [

    Remarques : « >0 » veut dire qu’on cherche les « + » dans la dernière ligne du tableau.Si on avait eu « ⩾0 » les crochets auraient été « fermés » (sauf le dernier bien sûr)

  • EXERCICE N°3

    On considère une fonction f définie sur ℝ .

    1) Déterminer la forme factorisée de f .On voit dans le tableau que f (x )=0 pourx∈{−1,5 ; −0,5 ; 1}

    2) Déterminer le signe de la fonction de f sur ℝ .x f (x )

    −1,5 0−1 0,3

    −0,5 00 −0,45

    0,5 −0,61 0

    On sait que f (x )=a (x+1,5)(x+0,5)(x−1) et d’après le tableau f (−1)=0,3 .Or f (−1)=a (−1+1,5)(−1+0,5)(−1−1)=0,5a

    Donc 0,5a = 0,3 ⇔ a = 0,30,5 ⇔ a = 3

    5Enfin :

    f (x )=35( x+1,5)(x+0,5)(x−1)

    Dressons à présent le tableau de signes :

    ▪ 35=0,6 > 0 est vrai quelque soit la valeur de x .

    ▪ x+1,5 > 0 ⇔ x > −1,5▪ x+0,5 >0 ⇔ x > −0,5▪ x−1 >0 ⇔ x > 1 Attention on range les valeurs dans l’ordre croissant.

    x −∞ −1,5 −0,5 1 +∞0,6 + | + | + | +x+1,5 − 0 + | + | +x+0,5 − | − 0 + | +x−1 − | − | − 0 +

    f (x ) − 0 + 0 − 0 +

    La dernière ligne du tableau nous indique le signe de f (x ) en fonction de x

    EXERCICE N°4 En vrac

    1) Calculer la longueur de côté d'un carré de 529 cm2 d'aire.

    √529=23

    Le côté mesure 23 cm.

    2) Calculer la longueur de l'arête d'un cube 343 cm3 de volume.

    3√343=7Le côté mesure 7 cm.

  • 3) Résoudre 3 x2+27=54 et x3+1=12168

    3 x2+27 = 54 ⇔ 3 x2 = 27 ⇔ x2 = 9Cette équation admet deux solutions : −√9=−3 et √9=3

    x3+1 = 12168 ⇔ x3=12167Cette équation admet une unique solution : 3√12167=23

  • Faire les exercices

    FONCTIONS PART3 E05

    EXERCICE N°1

    On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ par f (x )=3 x3−4 x .1) Calculer la dérivée f ' de f .2) 2.a) Factoriser f ' ( x) .2.b) Étudier le signe de f ' sur ℝ .3) En déduire le tableau de variations de f sur ℝ .

  • FONCTIONS PART3 E05corrigé de l’exercice n°1On considère la fonction f définie et dérivable sur ℝ par f (x )=3 x3−4 x .1) Calculer la dérivée f ' de f .f ' ( x) = 3×3 x2 − 4×1 = 9 x 2−4

    remarque : On a utilisé les formules du cours (fonctions part 2 propriété n°5 et exemple n°3)2) 2.a) Factoriser f ' ( x) .f ' ( x) = 9 x2−4⏟

    a2−b2 = (3 x )2−22⏟

    a2−b2

    = (3 x+2)(3 x−2)⏟(a+b)(a−b)

    2.b) Étudier le signe de f ' sur ℝ .Nous allons dresser un tableau de signes :

    ▪ 3 x+2 > 0 ⇔ 3 x > −2 ⇔ x > −23

    (On mettra donc les + après −23 dans la ligne : 3 x+2 )

    ▪ 3 x−2 > 0 ⇔ 3 x > 2 ⇔ x > 23

    (On mettra donc les + après 23 dans la ligne : 3 x−2 )

    x −∞ −2323 +∞

    3 x+2 − | + 0 +3 x−2 − − | +f ' ( x) + 0 − 0 +

    On en déduit que :

    f ' ( x) est strictement positif sur ]−∞ ; −23 [ ∪ ]23 ; +∞[f ' ( x) est strictement négatif sur ]−23 ; 23 [

    et que f ' ( x) vaut zéro sur {−23 ; 23}3) En déduire le tableau de variations de f sur ℝ .

    x −∞ −2323 +∞

    f ' ( x) + 0 − 0 +f (x ) −∞ 16

    9

    −169

    +∞

    f (23) = 3×(23)3

    −4×(23)=89−83 = 8−249 = −169

    f (−23) = 3×(−23)3

    −4×(−23)=−89 +83 = −8+249 = 169

    Pas demandé ici mais cela permet de faire le lien

    https://landatome.pagesperso-orange.fr/01_premiere/014_st2s/04_Fonctions_part2/04_fonctions_part2_le_cours.pdf

  • FONCTIONS PART3 E05EXERCICE N°2

    On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3 .

    1) Montrer que f ' ( x)=3(x+1)( x−1,5) .2) Étudier le signe de f ' ( x) et en déduire les variations de f sur [−2 ; 2] .3) Donner les extremums de f , ainsi que les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.

  • FONCTIONS PART3 E05corrigé de l’exercice n°2

    On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3 .

    1) Montrer que f ' ( x)=3(x+1)( x−1,5) .On sait que :f (x )=x3−0,75 x2−4,5 x+3

    d’oùf ' ( x)=3x2−0,75×2 x−4,5×1+0 = 3 x2−1,5 x−4,5

    Et : 3(x+1)(x−1,5) = 3(x2−0,5 x−1,5) = 3 x2−1,5 x−4,5 = f ' (x )

    Remarque : Toujours la même technique :1) On dérive la forme développée réduite.2) On développe la forme factorisée donnée dans l’exercice et on constate que c’est bien lamême chose. (Et on n’écrit f ' ( x) qu’à la fin.2) Étudier le signe de f ' ( x) et en déduire les variations de f sur [−2 ; 2] .

    Pour étudier le signe, on choisit (presque) toujours la forme forme factorisée.

    Nous allons dresser un tableau de signe▪ 3 > 0 est vrai pour toute valeur de x▪ x+1 ⇔ x > −1▪ x−1,5 > 0 ⇔ x > 1,5

    x −2 −1 1,5 23 + | + | +x+1 − | + 0 +x−1,5 − − | +f ' ( x) + 0 − 0 +

    On en déduit que : f ' ( x) est strictement positif sur ]−2 ; −1[ ∪ ]1,5 ; 2[

    f ' ( x) est strictement négatif sur ]−1 ; 1,5[

    et que f ' ( x) vaut zéro sur {−1 ; 1,5}

    3) Donner les extremums de f , ainsi que les valeurs pour lesquelles ils sont atteints.

    (= pas de justifications)Pour identifier les extremums, on cherche les valeurs de x où la dérivée change de signe.On regarde donc les zéros dans la dernière ligne du tableau de signes et on garde ceux entouréspar des signes différents ( +0− ou –0+ mais pas +0+ ni –0− ).On pense aussi à regarder les valeurs de f (−2) et f (2) .f (−2)=1 ; f (−1)=5,75 ; f (1,5)=−2,0625 et f (2)=−1

    f possède un minimum qui vaut -2,0625 et qui est atteint en 1,5 f possède un maximum qui vaut 5,75 et qui est atteint en -1

  • FONCTIONS PART3 E05EXERCICE N°3

    Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions polynômes suivantes, après avoirétudier le signe de la dérivée.1) f (x )=x3−3 x+1 définie sur ℝ .f (x )=x3−3 x+1f ' ( x)=3x2−3

    Factorisons f ' ( x)f ' ( x) = 3 x2−3 = 3(x2−1) = 3( x+1)(x−1)

    ▪ 3 > 0 est vrai pour toute valeur de x▪ x+1 ⇔ x > −1▪ x−1 > 0 ⇔ x > 1

    x −∞ −1 1 +∞ 3 + | + | +x+1 − | + 0 +x−1 − − | +f ' ( x) + 0 − 0 +

    f (x )

    −∞

    3

    −1

    +∞

    Remarque : On fait bien attention : l’avant-dernière ligne, c’est pour le signe f ' et la dernière, c’est pourles variations de f . On ne se mélange pas les pinceaux dans les « ' »2) g ( x)=2 x3+4 x définie sur ℝ .g ( x)=2 x3+4 xg ' (x ) =2×3 x2+4×1 = 6 x 2+4

    Ici, on réfléchit un peu : x2 est toujours supérieur ou égal à zéro, cela reste vrai quand on lemultiplie par 6 et quand on ajoute 4, cela devient même strictement positif.De manière évidente, g ' (x ) > 0On en déduit que g est strictement croissante sur ℝ3) h( x)=x3+6 x2 définie sur ℝ .h( x)=x3+6 x2

    h ' ( x) = 3 x2+6×2 x = 3 x2+12 x Factorisons h ' ( x)h ' ( x) = 3 x2+12 x = 3 x (x+4)

    ▪ 3 x > 0 ⇔ x > 0▪ x+4 > 0 ⇔ x > −4

    x −∞ −4 0 +∞ 3 x − | − 0 +x+4 − 0 + | +f ' ( x) + 0 − 0 +

    f (x )

    −∞

    3

    −1

    +∞