Faculté des Sciences et Sciences Appliquées Département de ...

Ministère de L’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université L’Arbi Ben M’hidi Oum El Bouaghi

Faculté des Sciences et Sciences Appliquées

Département de Génie Civil

Présenté pour l’obtention du diplôme de MASTER

Spécialité : Structure Filière : Génie civil

Analyse plastique des structures en portique soumises à l’action

des charges horizontales et verticales

Encadré par :

Mr : Mamache Amar

Réalisé par :

Atammia Asma

Promotion 2018/2019

3

« Je remercie en premier Dieu pour tout.

Je remercie en second mes parents, qui ont sacrifiés

Leur vie pour notre bien.

En fin, mes sincères reconnaissances et gratitudes à tous

mes enseignants, et en particulier mon encadreur de ce

mémoire Mr : Mamache Amar,

Je remercie également le président et les membres de

Jury d’avoir accepté et d’examiner mon travail »

4

«Je dédie ce modeste travail : à toute la famille, mon

père, ma mère et mes frères et sœurs, personne qui

m'encourage toujours, à toute les amis proches et à tous

personne ayant contribué à ce travail de près ou de

loin.»

5

Notre travail à pour but de déterminer les différents mécanismes de ruines et les charges de

ruines des structures métalliques « en acier ».

Ces mécanismes sont obtenus par les différentes méthodes d’analyse plastique des structures

telles que :

L’analyse plastique manuelle basée sur les théorèmes fondamentaux

Analyse par combinaison de mécanismes

Méthode push over en utilisant sap2000V14 et vérifié par un calcul manuel

Pour cette étude, nous avons choisis plusieurs types de portiques :

Portique à un niveau et une travée (1N-1T) encastré à la base.

portique à un niveau et deux travées (1N-2T)

portique à deux niveaux et deux travées (2N-2T)

Les portiques sont dimensionnes à l’état élastique sous les charges verticales V ponctuelles

appliquées à mi-travées et les charges horizontales H appliquées aux nœuds « jonction

poteau-poutre ».

En 1er lieu on à adopté une section du profilé constantes pour les poteaux et les poutres ; en

2eme étape une variation de section du profilé juste pour voir son effet sur les charges

horizontales.

La structure métallique composée de portiques autostables, située en zone IIA de moyenne

sismicité avec un site meuble de type S3.

En fin, une comparaison sera faite entre les charges obtenues à partir de l’analyse élastique

(analyse modales) avec celle obtenues par l’analyse plastique manuelles, comparer avec les

résultats obtenus par le logiciel Sap2000.V .14 Push over.

6

Our work aims to determine the different mechanisms of ruins and ruins loads "Steel" steel

structures.

These mechanisms are obtained by the different methods of plastic analysis of structures such

as:

• Manual plastic analysis based on fundamental theorems

• Analysis by combination of mechanisms

• Push over method using sap2000V14 and verified by manual calculation

For this study, we chose several types of gantries:

Single level gantry and span (1N-1T) recessed at the base.

One level gantry and two bays (1N-2T)

Two-level and two-span gantry (2N-2T)

The gantries are dimensioned in the elastic state under vertical loads V applied mid-span and

horizontal loads H applied to the nodes "junction post-beam".

In the first place we adopted a section of the constant profile for the columns and beams; in

2nd stage a variation of section of the section just to see its effect on the horizontal loads.

The metal structure consists of freestanding gantries, located in zone IIA of medium

seismicity with a movable site type S3.

Finally, a comparison will be made between the loads obtained from the elastic analysis

(modal analysis) with that obtained by the manual plastic analysis, compare with the results

obtained by the software Sap2000.V .14 Push over.

7

Remerciement……………………………………………………………….3

Dédicace…………………………………………………………………….4

Résumé……………………………………………………………. ……….5

Abstract …………………………………………………………………….6

Table des matières…………………………………………………………..7

Liste des tableaux…………………………………………………………...9

Liste des figures……………………………………………………………10

Liste des notations et abréviations…………………………………………14

Chapitre I : Introduction générale.

I.1 Introduction……………………………………………………………17

I.2 Problématique…………………………………………………………..17

I.3 Objectif du travail………………………………………………………18

Chapitre II : méthodes d’analyse plastique des structures.

II.1 Introduction…………………………………………………………..21

II.2 Calcul plastique…………………………………………………….....21

II.2.1 Notion……………………………………………………………..21

II.2.2 Mécanisme de ruine et rotule plastique…………………………...22

II.2.3 Redistribution des efforts dans les structures hyperstatiques……….24

a) Ductilité du matériau…………………………………………….24

b) Capacité de rotation……………………………………………..24

c) Absence d’instabilité…………………………………………….24

II.2.4 Classes de sections et résistance ultime………………………….26

II.3 Méthode de l’équilibre ultime………………………………………....26

II.3.1 Hypothèses de base……………………………………………….26

II.3.2 Théorèmes fondamentaux………………………………………....27

II.3.2.1 Théorème cinématique…………………………………....28

II.3.2.2 Théorème statique………………………………………………...28

II.3.2.3 Théorème d’unicité……………………………………....28

II.3.3 Méthode par combinaisons de mécanismes……………………...29

II.3.4 Méthode des charges concentrées équivalentes………………….34

II.4/ Méthode pas à pas…………………………………………………….34

Chapitre III Mécanismes de ruine et charges de ruine.

III.1 Introduction…………………………………………………………...37

III.2 Portique a un niveau une travée : (1N-1T)…………………………….37

III.3 Portique a un niveau deux travées : (1N-2T)…………………………..41

III.4 Portique a deux niveaux une travée : (2N-2T)………………………....47

8

Chapitre IV Analyse push over.

IV.1 Introduction………………………………………………………………..57

IV.2 Le But de l’analyse Push over……………………………………………...57

IV.3 L’hypothèse de l’analyse Push over ……………………………………….57

IV.4 Logiciel SAP2000v14 [7]…………………………………………………..57

IV.5 Définition du comportement non linéaire des éléments……………………58

IV.5.1 Définition de la rotule plastique ………………………………….58

IV.5.2 Flexion plastique plane [6]………………………………………………59

IV.5.2.1 Dimensionnement élastique M ≤ Me …………………………...59

IV.5.2.2 Dimensionnement élasto-plastique Me ≤ M ≤ Mpl ................................ 60

IV.5.2.3 Gain dû à la plasticité dans la section rectangulaire (largeur b, hauteur

h).............................................................................................................................60

IV.5.3 Niveaux de dommages................................................................................61

IV.6 Analyse push over (calcul manuel) ............................................................ 63

IV.6.1 Exemple 1 : portique à IPE270 (poteau-poutre) .......................................... 63

a) Poteau……………………………………………………………………….64

b) Poutre………………………………………………………………………..64

c) Déflection élastique………………………………………………………….66

IV.6.2 Exemple 2 : portique avec un poteau en IPE300 et une poutre en IPE330…68

a) Poteau………………………………………………………………………..68

b) Poutre………………………………………………………………………...70

c) Déflection élastique…………………………………………………………..71

IV.6.3 Exemple 3 : portique avec un poteau en IPE330 et une poutre en IPE300…72

a) Poteau………………………………………………………………………...72

b) Poutre…………………………………………………………………………74

c) Déflection élastique…………………………………………………………...75

IV.7 Analyse push over (Sap2000V.14) …………………………………………….76

IV.7.1 Exemple : portique à IPE270 (poteau-poutre)………………………..76

IV.7.2 rotule plastique pour la poutre ………………………………………………76

IV.7.3 rotule plastique pour le poteau ………………....................................77

IV.8 Définition du chargement de l’analyse Push over ……………………………...80

IV.8.1 Sous charges gravitaires ………………………………………………..80

IV.8.3 Sous charges horizontales……………………………………………………...81

IV.9 Analyse statique non linéaire et extraction de la courbe de capacité ……………82

Chapitre V Interprétation des résultats.

V.1 Introduction……………………………………………………………………….86

V.2 portique a un niveau et une travée (1N-1T)………………………………………86

V.2.1 Dimensionnement de portique…………………………………………….87

V.2.2 Détermination des charges horizontales Hplastique par l’analyse plastique…87

9

V.3 Détermination et comparaison des charges horizontales Hmodale et Hplastique…….88

Conclusion…………………………………………………………………………….91

Référence bibliographique……………………………………………………………..104

Chapitre II Méthodes d’analyse plastique des structures

Tableau II.1 Classification des sections…………………………………………….26

Chapitre IV Analyse push over

Tableau IV.1: niveaux de performance, endommagement et déplacement relatif [8]….87

Chapitre V Interprétation des résultats

Tableau V.1 : Dimensionnement de portique……………………………………….87

Tableau V.2 : charges horizontales Hplastique………………………………………..87

Tableau V.3 : comparaison des charges horizontales Hmodales et Hplastique…………88

Tableau V.4 : comparaison des charges horizontales Hsap2000 (push over) et Hplastique ….89

10

Chapitre II : Méthodes d’analyse plastique des structures.

Figure II.1 : Distribution élastique………………………………………………..21

Figure II.2 : Distribution élasto-plastique………………………………………….22

Figure II.3 : Distribution plastique………………………………………….22

Figure II.4 : Phase élastique……………………………………………...23

Figure II.5 : Mécanisme de ruine………………………………………………….23

Figure II.6: Comportement des sections suivant la classification de l’Eurocode 3……24

Figure II.7 : Diagramme moment-courbure pour les classes 1et 2…………………25

Figure II.8 : Diagramme moment-courbure pour les classes 3 et 4…………….25

Figure II.9 : Diagramme moment-courbure…………………………………………26

Figure II.10 : Diagramme charge-moment………………………………………….27

Figure II.11 : Portique à un niveau et deux travées……………………………29

Figure II.12 : Mécanisme de poutre…………………………………………………30

Figure II.13 : Mécanisme de panneau……………………………………………….30

Figure II.14 : Mécanisme de joint……………………………………………………31

Figure II.15 : Mécanisme 3+1………………………………………..31

Figure II.16 : Mécanisme 3+2………………………………………………………..32

Figure II.17 : Mécanisme 6+4………………………………………32

Figure II.18 : Mécanisme 7+1………………………………………………………...33

Figure II.19 : Diagramme de moment Mp …………………………………………....33

Figure II.20 : Diagramme de moment………………………………………………...34

Chapitre III : Mécanismes de ruine et charges de ruine.

Figure III.1 : Caractéristique de portique…………………………………………….37

Figure III.2 : Mécanisme de poutre…………………………………………………..38

Figure III.3: Détail 1 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)………...38

11

Figure III.4 : Mécanisme de panneau……………………………………………39

Figure III.5: Détail 2 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)……39

Figure III.6 : Mécanisme de portique……………………………………………40


Figure III.8 : Caractéristique de portique………………………………………...42

Figure III.9 : Mécanisme de poutre………………………………………..43

Figure III.10: Détail 1 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)…...43

Figure III.11 : Mécanisme de panneau……………………………………………44


Figure III.13 : Mécanisme de joint……………………………………………45

Figure III.14 : Mécanisme 1+3……………………………………………………45

Figure III.15 : Mécanisme 6……………………………………………………….46

Figure III.16 : Caractéristique de portique…………………………………………47

Figure III.17 : Mécanisme de poutre……………………………………………….48

Figure III.18: Détail 1 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)……..48

Figure III.29 : Mécanisme de panneau 2ème niveau…………………………………49

Figure III.20: Détail 2 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)………49

Figure III.21 : Mécanisme de panneau 1er niveau…………………………………...50

Figure III.22 : Mécanisme de joint…………………………………………………..50

Figure III.23 : Mécanisme 8 : 5+6+7…………………………………………………51

Figure III.24 : Mécanisme 9………………………………………………………….52

Figure III.25 : Mécanisme 10 …………………………………………….52

Figure III.26 : Mécanisme 11 …………………………………………………………53

Figure III.27: Mécanisme 12 ………………………………………………………….54

Figure III.28: Détail 3 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)…………54

12

Chapitre IV : Analyse push over

Figure IV.1 : Sections doublement symétriques……………………………………….59

Figure IV.2 : Courbe force-déplacement ou moment- rotation pour une définition de rotule

utilisée dans SAP2000 (courbe de déformation plastique)…………………………….61

Figure IV.3 : portique à IPE270 (poteau-poutre)………………………………………63

Figure IV.4 : diagramme de moment en fonction de H………………………………..64

Figure IV.5 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau inferieur)…64

Figure IV.6 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau supérieur)…65

Figure IV.7 : diagramme de moment virtuel et courbure de poutre……………………..66

Figure IV.8 : mode virtuel du poteau……………………………………………………66

Figure IV.9 : mode virtuel de la poutre…………………………………………………..67

Figure IV.10 : portique avec un poteau en IPE300 et une poutre en IPE330……………68

Figure IV.11 : diagramme de moment en fonction de H…………………………….68

Figure IV.12 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau inferieur)…69

Figure IV.13 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau supérieur)…70

Figure IV.14 : diagramme de moment virtuel et courbure de poutre……………………..71

Figure IV.15: portique avec un poteau en IPE330 et une poutre en IPE300……………...72

Figure IV.16 : diagramme de moment en fonction de H………………………………72

Figure IV.17: diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau inferieur)........73

Figure IV.18 : diagramme de moment virtuel et courbure de poutre………………………74

Figure IV.19 : portique à IPE270 (poteau-poutre) suivant le Sap2000V.14………………..75

Figure IV.20 ………………………………………………………………76

Figure IV.21 ……………………………………………………….76

Figure IV.22……………………………………………………………….77

Figures IV.20 ; IV.21 ; IV.22 : Introduction des rotules plastiques des poutres………….77

Figure IV.23……………………………………………………………...77

Figure IV.24……………………………………………………….78

13

Figure IV.25……………………………………………………….78

Figures IV.23 ; IV.24 ; IV.25 : Affectation des rotules plastiques aux poteaux…………78

Figure IV.26 : Loi de comportement de rotule de cisaillement de type M3……………..79

Figure IV.27 : Définition du chargement de l’analyse Push over sous les charges

verticales.............................................................................................................................79

Figure IV.28 : Définition du chargement de l’analyse Push over………………………..80

Figure IV.29: Définir les cas de charge à exécuter………………………………81

Figure IV.30: Déplacement cible suivant X-X (U1)………………………………………82

Figure IV.31 : diagramme force-déplacement (élastique) en utilisant le Sap2000V14…..82

Figure IV.32 : diagramme force-déplacement (plastique) en utilisant le Sap2000V14…..83

Chapitre V : Interprétation des résultats

Figure (V.1) : Caractéristique de portique1N-1T…………………………………………..86

14

A : Section totale d’un profilé en charpente métallique

b: Largeur du profilé en charpente métallique

E : Module d’élasticité longitudinal de l’acier (module de Young)

𝜎𝑦=fy: Résistance caractéristique d’écoulement des aciers

G : Charge permanente

h: Hauteur d’étage

h : Hauteur totale de la section d’un profilé en charpente métallique

H : Charge concentrée horizontale

Hi : Charge concentrée horizontale au niveau i

I : Moment d’inertie de la section totale.

Iy : Moment d’inertie de la section totale par rapport à l’axe Y

Iz : Moment d’inertie de la section totale par rapport à l’axe Z

j: Nombre de rotules mécaniques

k : Nombre de barres

K : Rigidité ; facteur de forme

L : Portée de la poutre

m: Nombre de travée

M : Moment fléchissant

Mel : Moment élastique de la section

Mpb : Le moment de plastification de la poutre

Mpc : Le moment de plastification du poteau

Mpl : Moment plastique de la section

Mu : Moment ultime d’une section

N : Effort normal

n: Nombre de rotule plastique

15

n : Nombre d’étage

He : Charge à la limite élastique

Q : Charge d’exploitation

qc : Charge uniformément répartie de ruine

r : Nombre de redondance ou degré d’hyperstaticité

S : Moment statique de la moitié de la section

tf: Epaisseur de la semelle du profilé IPE

tw : Epaisseur de l’âme du profilé IPE

T(x ) : Effort tranchant dans la section à une distance (x)

V : Charge concentrée verticale

Ve : Charge concentrée verticale d’étage courant

υ : Demi-hauteur du profilé en charpente métallique

Wel : Module de résistance élastique

Wpl : Module de résistance plastique

x : Profondeur de l’axe neutre

α : facteur d’imperfection (EC3 tableau 5.5.1)

εy : Déformation limite d’écoulement de l’acier

εu : Allongement à la rupture

εz : Allongement de striction

σe : Contrainte limite d’écoulement des aciers

Φ : Rotation plastique

Χe : Courbure élastique de la déformée

χ r : Courbure de rupture de la déformée

χu : Courbure ultime de la déformée

E.L.U Etat limite ultime

E.L.S Etat limite de service

Chapitre I

16

Chapitre I

17

I.1 Introduction :

Jusqu’ici, on a essentiellement appris à calculer les éléments structuraux selon la

méthode élastique, supposant que le milieu était continu et que le matériau obéissait à la loi de

Hooke. L’hypothèse de linéarisation matérielle s’est développée dans la théorie de

l’élasticité issue des travaux de Cauchy (1822). Elle a été amenée à un grand degré de

perfection durant deux siècles environ de recherches.

Ceci a permis aujourd’hui de résoudre, grâce aux méthodes numériques de discrétisation

(éléments finis), les problèmes très complexes. Mais le reproche fait à cette théorie est d’être

basée sur une loi (droite brisée) qui ne représente absolument pas le comportement réel du

matériau pour autant qu’il soit ductile, même faiblement au-delà du domaine élastique borné

par la limite d’élasticité σe .Selon le dimensionnement élastique, la ruine d’une structure

serait atteinte dès qu’en un point quelconque, la contrainte de compression maximale

atteint σe (σmax = σe).

Par ailleurs, cette méthode néglige la capacité d’adaptation élasto-plastique des

matériaux ductiles que l’expérience montre être très importante et d’ailleurs très variable d’un

matériau et d’une structure à l’autre. Elle est actuellement jugée très insuffisante pour mesurer

avec précision la résistance ultime des structures employées en Génie Civil et, par suite, leur

degré réel de sécurité.

La théorie de la plasticité, dont les premiers progrès importants datent de 1925 est basée sur

le milieu continu et le modèle élastique parfaitement plastique. Ce dernier est caractérisé

par le palier indéfini de plasticité et le déchargement élastique. Aucun matériau ductile de

construction n’obéit rigoureusement à ce modèle ; les aciers au carbone (aciers doux et

faiblement alliés) s’en approchent assez fortement (palier étendu, mais comportement

discontinu dans ce palier, suivi d’une zone d’écrouissage), tandis que les autres

matériaux de construction (aciers alliés, alliages d’aluminium, béton) présentent un

comportement plus complexe (absence de palier) [1].

Néanmoins, ce modèle est bien meilleur que le modèle élastique. Il permet de prédire

l’extension progressive des zones plastifiées dans une structure soumise des charges

croissantes et aussi, ce qui est d’un grand intérêt, la charge de ruine ou d’effondrement,

dite charge limite, de cette structure. A cet effet le concept d’analyse limite a été

introduit et qui présente en fait la partie de la théorie de la plasticité vouée au calcul des

charges limites.

I.2 Problématique :

La détermination de la charge de ruine pour les structures simples (poutre

simplement appuyée, poutre encastrée à une extrémité et libre de l’autre, poutre continue) est

relativement facile et les modes de ruine sont complètement identifiables.

Pour les structures en portiques à un niveau ou plusieurs soumis à des combinaisons de

charges horizontales et verticales, les charges de ruine ainsi que les mécanismes de

ruine sont établis à partir de série de combinaison d’un grand nombre de mécanismes

élémentaires .

La détermination de la marge de sécurité réelle d’une structure peut être

Chapitre I

18

obtenue par une comparaison des charges horizontales obtenues par l’analyse plastique

avec des charges de dimensionnement en élasticité. Ceci aura pour but essentiel de vérifier a

posteriori une structure mal dimensionnée en élasticité ou ayant changée de destination

(utilisation) ou changement de zone et ainsi observer son comportement en plasticité avant ou

après un séisme.

Les charges de ruine obtenue par l’analyse plastique sont différentes aux charges calculées

par le logiciel SAP2000.

Ceci étant du au fait les deux méthodes n’utilisent pas le diagramme du matériau de la même

manière. Pour l’analyse deux paramètres ont été utilisé à savoir le nombre de niveaux et

le nombre de travées. Il est également question de la variation des sections des

profilés des poteaux pour vérifier la période fondamentale et ainsi les mécanismes de

rupture.[2]

I.3 Objectif du travail :[3]

Les objectifs assignés à la présente thèse peuvent être classés comme suit :

- Prendre des structures en portique soumises à des combinaisons des charges

verticales et horizontales (les charges verticales sont appliquées au milieu de

travées et les charges horizontales au niveau des jonctions poutres-poteaux pour les

niveaux) en faisant varier le nombre de niveaux et de travées.

- Dimensionner les différents portiques en élasticité, en utilisant le règlement

Eurocode 3.

- Faire une analyse plastique complète pour déterminer les mécanismes de ruine et

charges de ruine pour les différents portiques.

- Analyser l’effet de la jonction poteau-poutre pour la détermination des charges de

ruine et les mécanismes de ruine.

- Variation des profilés poteau-poutre juste pour avoir une idée sur les mécanismes de

ruine et les charges de ruine.

- Déterminer les charges horizontales modales « type sismique » des différents

portiques par la méthode modale spectrale et les comparer par les charges

horizontales de ruine obtenues par la méthode d’analyse plastique en se basant sur un

calcul manuel.

- Déterminer les charges de ruine par le logiciel SAP2000 (push over) pour les

différents Portiques, on se basant sur un calcul manuel.

Chapitre I

19


20


21

II.1 Introduction :

Dans ce chapitre, on présente les bases de calcul plastique des structures.qui se limite aux

structures planes et ne traite que les aspects liés à la mécanique des structures, soit,

principalement, la plastification des sections et les théorèmes fondamentaux de l’analyse

limite. L’étude plastique des ossatures (méthode par combinaison de mécanismes,

etc.)Relève de la théorie des structures. De plus, seule la théorie plastique simple est

abordée (hypothèse de linéarisation géométrique).

La théorie de la plasticité et de l’analyse limite a été développée intensivement en Grande

Bretagne sous l’impulsion du Professeur John Baker (Université de Cambridge), dès 1938

[1], pour être appliqué aux charpentes métalliques. Elle a ensuite trouvé un domaine

d’utilisation beaucoup plus vaste (acier, béton armé et précontraint, alliages

d’aluminium).Aussi, elle donne un vue largement plus réaliste du comportement des

structures à la ruine et du degré de sécurité réel que la théorie élastique. Elle conduit

également à un dimensionnement plus économique et à des calculs souvent plus simples.

Alors qu’elle convient idéalement à l’acier, c’est encore dans les structures en béton armé et

précontraint qu’elle trouve le plus d’applications concrètes. La plasticité permet

d’évaluer avec sûreté l’état limite ultime d’une construction, au sens de la méthode semi-

probabiliste de la sécurité.

II.2 Calcul plastique :

II.2.1 Notion :

Le comportement mécanique de l'acier n'est pas infiniment linéaire. La relation

contrainte-déformation d'un matériau idéal, élastique- parfaitement plastique ; ainsi il

s'ensuit que la loi de Hooke est limitée aux valeurs des contraintes fy (fy étant la

limite élastique du matériau). Au-delà de cette valeur, le matériau s'écoule

plastiquement à contrainte constante σ = σy.

Si la contrainte diminue en un point quelconque du domaine plastique, le chemin de retour est

une droite parallèle à la loi de Hooke dont la pente est égale au module d'élasticité E. A la

fois E et σ y, mais aussi l'ensemble de la courbe contrainte- déformation, sont supposés

identiques en traction et en compression. Considérons une poutre isostatique soumise à une

charge uniformément répartie q. La section médiane, la plus sollicitée, est soumise à un

moment égal à ql²/8 dans un Premier temps, la répartition des contraintes normales est

linéaire (hypothèse de Navier-Bernoulli). Nous sommes dans la phase élastique du

comportement du matériau (figure II.1).[3]

Figure II.1 : Distribution élastique


22

Lorsque les contraintes sur les fibres extrêmes atteignent la limite élastique σy, le Moment

fléchissant sollicitant la section médiane est égale au moment élastique Mel. Si on augmente

la charge, les contraintes ne sont plus proportionnelles aux déformations. Les fibres

extrêmes se plastifient

(Figure II.2).

On peut augmenter la charge jusqu’à ce que la section médiane soit entièrement

plastifiée. C’est-à-dire que le moment fléchissant soit égal au moment plastique Mpl. La

courbure de la poutre est très importante dans la zone centrale de la poutre qui est

plastifiée. On admet qu’il se forme, dans la section médiane, une rotule plastique (ou

articulation). La poutre se comporte comme deux éléments rigides reliés par une

articulation. On dit qu’il y a plastification totales.

II.2.2 Mécanisme de ruine et rotule plastique :

Considérons une poutre bi-encastrée d’inertie constante, soumise à une charge

uniformément répartie q (figure 2.4).Dans un premier temps, la poutre a un comportement

élastique. On peut écrire:

Moment à l’encastrement : MA=MC= - ql²

12

Moment à mi portée : MB= ql²

24

Figure II.2 : Distribution élasto-plastique

Figure II.3 : Distribution plastique


23

Si on augmente la charge, les sections d’encastrement, les plus sollicitées, vont se plastifier en

premier. On attient dans ces sections le moment plastique Mpl.

MA=MC=Mpl= - ql²

12

MB=Mpl

2=

ql²

24

Il se forme alors une rotule plastique à chaque encastrement. L’apparition de rotule plastique

n’est possible que s’il n’y a aucun phénomène de voilement local.

Si la capacité de rotation des sections A et C importante on peut encore augmenter la charge.

L’accroissement de charge Δq est repris par la poutre qui a un comportement bi-articulé

après plastification des sections d’encastrement. On dit que les sections A et C sont épuisées

et travaillent comme des articulations pour ce supplément de charge. La poutre devient

isostatique.

Ce nouveau fonctionnement reste possible jusqu’à ce que la section médiane soit

complètement plastifiée. On a alors:

Figure II.4 : Phase élastique

(II.1)

(II.2)

Figure II.5 : phase plastique


24

MA=MC=Mpl= - ql²

12

MB= Mpl=ql²

12+

∆ql²

8

L’apparition d’une rotule plastique en B transforme la structure en mécanisme de ruine. Le

système est instable et s’effondre.

La charge de rupture vaut : qr=q+∆q=16.Mpl

l²=1.33q

La poutre, initialement hyperstatique, a successivement épuisé toutes ses possibilités de

résistance jusqu’à se transformer en mécanisme. Ce phénomène est appelé l’adaptation

plastique.

II.2.3 Redistribution des efforts dans les structures hyperstatiques :

L’exemple de la poutre bi-encastrée montre bien la redistribution du moment fléchissant

après plastification des sections d’encastrement (formation de rotules plastiques). Cette

redistribution n’est possible que si les éléments de la structure et le matériau le permettent

[4].

Le calcule plastique des sollicitations n’est possible que si les conditions suivantes sont

remplie :

a) Ductilité du matériau :

L’acier doit être suffisamment ductile afin de permettre la formation de rotules

plastiques (allongements plastique importantes).

b) Capacité de rotation :

Les éléments plastifiés doivent être capables de supporter la rotation des rotules

plastiques.

c) Absence d’instabilité :

La plastification des sections n’est possible qu’en l’absence de tout phénomène

d’instabilité (voilement locale, déversement).

(II.3)

(II.4)

Figure II.6 : Mécanisme de ruine

(II.5)


25

La figure suivante illustre la capacité de rotation des déférentes classes de sections. Elle

montre la résistance et la capacité de rotation qui peuvent être atteintes avant apparition

du phénomène de voilement local. Tout risque de déversement est supposé empêche.

Classe 1: les sections de classe1 peuvent former une rotule plastique et ont une capacité de

rotation importante.

Classe 2: les sections de classe 2 peuvent former une rotule plastique mais avec une

capacité de rotation limitée.

Classe 3: les sections de classe 3 ne peuvent pas former de rotule plastique. Le moment

fléchissant les sollicitant peut atteindre le moment élastique Mel mais le voilement local est

susceptible d’empêcher le développement du moment plastique Mpl.

Classe 4 : les sections de classe 4 ne peuvent pas former de rotule plastique. Le voilement

local est susceptible d’empêcher le développement du moment élastique Mel.

Figure II.7 : Comportement des sections suivant la classification de l’Eurocode 3

Figure II.8 : Diagramme moment-courbure pour les classes 1et 2


26

II.2.4 Classes de sections et résistance ultime :

Comme nous l’avons vu précédemment la classification des sections permet de préjuger

de leur comportement et leur résistance. Le tableau suivant indique, pour chaque classe, la

méthode d’analyse que l’on peut utiliser pour le calcul des sollicitations et pour le calcule de

la résistance ultime [5].

II.3 Méthode de l’équilibre ultime :

II.3.1 Hypothèses de base :

Par opposition à la méthode « pas à pas » qui consiste à analyser l’évolution des efforts

dans une structure depuis le début jusqu’à la ruine, la méthode de l’équilibre ultime ne fournit

que la répartition des efforts internes juste avant la ruine faisant ainsi abstraction au

comportement ultérieur de la structure, d’ou le nom de la méthode.

Les hypothèses principales de la méthode de l’équilibre ultime sont:

Les sections de la structure, où le moment fléchissant M est inférieur au moment

plastique Mpl, se comportant élastiquement, ceci conduit à admettre une loi du type

élasto-plastique pour le diagramme moment-courbure figure (II.10a).

Figure II.9 : Diagramme moment-courbure pour les classes 3 et 4

Tableau II.1 : Classification des sections


27

Si dans l’une des sections de la structure, le moment M atteint le moment plastique, il

se forme alors une rotule plastique parfaite.

La rotation de la section où se situe la rotule plastique peut augmenter sans

restriction et sans que le moment fléchissant s’accroisse.

Les efforts normaux naissant dans les barres de leur flexion par suite de l’effet

d’arc sont négligeables.

Avant la ruine, il ne se produit aucun phénomène de flambement dans la structure ou

dans l’une de ses parties.

Avec ces hypothèses, les moments ultimes Mpl sont atteints dans les différentes sections

critiques, et il y a formation de rotules plastiques au fur et à mesure de l’accroissement

de la charge.

Si la structure est r fois hyperstatique et s’il y a création de r rotules plastiques

supplémentaires, elle devient isostatique. La naissance d’une rotule plastique

supplémentaire a pour effet de transformer la structure en un système hypostatique, c’est à

dire qu’elle se transforme en un mécanisme qui s’ écroule par suite d’une augmentation

quelconque de la charge. La ruine de la structure peut se produire de deux façons:

- Ruine totale par la formation de r+1 rotules plastiques,

- Ruine partielle comportant q rotules plastique (q < r +1), c’est le cas par exemple des

travées des poutres continues et des portiques qui se transforment en un

mécanisme par la formation de trois rotules plastiques.[6]

II.3.2 Théorèmes fondamentaux :

Le calcul plastique des structures doit satisfaire les conditions suivantes :

- Equilibre : les forces extérieures et les réactions appliquées à la structure doivent

s’équilibrer.

- Résistance : les efforts intérieurs sont inférieurs aux valeurs limites durant toutes les

étapes de chargement.

- Mécanisme : un nombre suffisant de rotules plastiques doit se former afin que la

structure puisse se transformer en un système instable (Mécanisme).

Figure II.10 : Diagramme moment-courbure


28

Notons que dans le calcul élastique que la troisième condition est remplacée par la condition

de compatibilité et de continuité des déformations.

Par ailleurs, on admet une relation du type rigide plastique pour le diagramme moment

courbure, figure (II.10).Il n’est, en général, pas possible de satisfaire en une seule fois les

trois conditions du calcul plastique. On est obligé de partir de deux de ces conditions et

essayer de satisfaire la troisième par essais successifs.

A partir de ces considérations, on peut formuler les théorèmes fondamentaux de la méthode

de l’équilibre ultime.[7]

II.3.2.1 Théorème cinématique :

Le théorème de la méthode cinématique s’énonce comme suit :

" Si on peut trouver, pour le système étudié, plusieurs mécanismes de rupture auxquels

correspond pour chacun une charge ultime Pu , calculée selon le théorème des travaux

virtuels, cette charge est au moins égale à la charge ultime exacte".

En conséquence, lorsqu’on a déterminé par le procédé cinématique les charges ultimes P

correspondant à tous les mécanismes possibles, l a plus faible d’entre elles est la charge

ultime la plus probablement exacte. Le théorème de la méthode cinématique satisfait les

conditions d’équilibre et de mécanisme; il est également connu sous le nom du théorème de

la borne supérieure. Les résultats de la méthode cinématique ne se trouvent donc pas du côté

de la sécurité.[8]

II.3.2.2 Théorème statique :

Le théorème de la méthode statique s’énonce comme suit :

" Si pour une ossature donnée, soumise à un type de charge donnée il est possible de trouver

une répartition des moments statiquement admissible et si en toutes sections de la structure

les moments restent inférieurs aux moments ultimes, la charge ultime qui correspond à

une telle répartition est toujours au plus égale à la charge ultime exacte ".

Si on peut donc trouver différentes charges par là méthode statique, la plus grande d’entre

elles est la charge ultime la plus probable. Le théorème statique satisfait les conditions

d’équilibre et de résistance; il est également connu sous le nom de théorème de la borne

inférieure. Les solutions fournies par la méthode statique sont donc du côté de l à sécurité.

II.3.2.3 Théorème d’unicité :

Des deux théorèmes précédents, où :

Qu Statique ≤ Qu, exacte

Qu Cinématique ≥ Qu, exacte


29

On peut en déduire le théorème d’unicité suivant:

« Lorsqu’il est possible de faire correspondre à un mécanisme de ruine

cinématiquement admissible un champ de moments statiquement admissible, la charge

commune correspondante est la charge ultime théoriquement exacte » figure (II.11).

II y a donc deux approches possibles pour déterminer la charge ultime par la méthode

de l’équilibre ultime:

-Soit d’appliquer d’abord le théorème statique, avec contrôle par le théorème cinématique.

-Soit d’appliquer d’abord le théorème cinématique, avec contrôle par le théorème statique.

Le théorème d’unicité peut cependant être mis en défaut, c’est le cas par exemple, où le sens

des rotations plastiques admises ne corresponde pas au signe des moments des sections

plastifiées.

II.3.3 Méthode par combinaisons de mécanismes :

Lorsqu’on applique un système de charge à une structure hyperstatique, le théorème

cinématique consiste à choisir un mécanisme cinématiquement admissible puis écrire qu’il y a

équilibre par application du théorème des travaux virtuels.

Supposons que la structure est p fois hyperstatique, qu’elle ait n sections critiques et que le

moment de plastification soit constant dans toutes les sections. On imagine tous les

mécanismes de ruine possible. En cas de ruine totale un mécanisme comporte" r+1"

rotules plastiques et un nombre inférieur en cas de ruine partielle.

On démontre qu’il y a (n-r) mécanismes de ruines possibles linéairement

indépendant, tous les autres n’étant que des combinaisons linéaires de ceux-ci.

Si l’on a donc déterminé dans une structure (n-r) mécanismes linéairement indépendants,

on peut trouver des mécanismes par combinaisons linéaires de ces (n-r) mécanismes. La

méthode par combinaison de mécanisme consiste donc à :

- Chercher (n-r) mécanismes linéairement indépendants.[9]

-Ecrire les (n-r) relation découlant de l’application du théorème des travaux virtuels,

D’ou (n-r) valeur de Pu (pas nécessairement tous différentes).

Figure II.11 : Diagramme charge-moment


30

-Chercher la combinaison linéaire de ces (n-r) relations qui donne la plus petite valeur

de Pu.

-Vérifier que cette valeur Pu est bien la charge ultime théoriquement exacte par

application du théorème statique au mécanisme obtenu.

On doit cependant souligner que le mécanisme exact peut être l’un des mécanismes

linéairement indépendants.

Exemple :

Soit la structure représenté sur la figure suivante :

Avec : λ est le multiplicateur de la charge

P=r-(k+n)=9-(3+0)=6 fois hyperstatique avec 10 sections critiques

Mécanisme 1 et 2: mécanisme poutre

Figure II.12 : Portique à un niveau et deux travées

100λKN 100λKN


31

Mécanisme 3 : mécanisme de panneau

100λu∙Өh=6Mp(Ө)

100λu3∙ 10Ө=6∙250(Ө)

Mécanisme 4 : mécanisme de joint

Figure II.13 : Mécanisme de poutre

Figure II.14 : Mécanisme de panneau

Mécanisme 1 :

100λu ∙ 𝑙

2 Ө=4∙Mp(Ө)

100λu ∙ 10

2 Ө=4∙250(Ө)

λu1=2

100λKN

λu3=1.5

Mécanisme 2 :

100λu ∙ 𝑙

2 Ө=4∙Mp(Ө)

100λu ∙ 10

2 Ө=4∙250(Ө)

λu2=2


32

Pas de force extérieure

Mécanisme 5 : mécanisme (3+1)

100λu∙Өh+100λu∙𝑙

2Ө =1500(Ө) +1000(Ө) -2Mp

100λu∙10Ө+100λu∙10

2Ө =1500(Ө) +1000(Ө) -2∙250

1500 λu5=2000


Figure II.16 : Mécanisme (3+1)

100λKN 100λKN

λu5=1.33

Figure II.15 : Mécanisme de joint


33

100λu∙Өh+100λu∙𝑙

2Ө =1500(Ө) +1000(Ө)

100λu∙10Ө+100λu∙10

2Ө =1500(Ө) +1000(Ө)

1500 λu6=2500


1500 λu7(Ө) =2500(Ө) -250(Ө) +250(Ө) + 250(Ө)

1500 λu7=2250


100λKN 100λKN

Figure II.17 : Mécanisme (3+2)

λu6=1.67

100λKN 100λKN

Figure II.18 : Mécanisme 6+4

λu7=1.5


34

1500 λu8(Ө) + 500 λu8(Ө) =2250(Ө) +1000(Ө)-2∙250(Ө)

2000 λu8=2750

On prend la plus petite valeur de « λ » la charge de ruine

λu=min (λu1 ; λu2 ; λu3 ; λu4 ; λu5 ; λu6 ; λu7 ; λu8)= λu5

λu= λu5=1.33

II.3.4 Méthode des charges concentrées équivalentes :

Les systèmes de poutre soumis à des forces ou des couples concentrés, les sections critiques

sont les sections d’appui, les nœuds du système de poutre et les sections des points

d’application des charges. Dans le cas de charges réparties, les sections au voisinage des

appuis ou au voisinage des nœuds sont des sections critiques connues. En outre, on sait que

pour une charge répartie entre nœuds extrêmes, il existe une section où la courbe passe par un

Figure II.19 : Mécanisme 7+1

λu8=1.38

Figure II.20 : Diagramme de moment Mp


35

maximum ou un minimum. Il y a donc une section critique entre nœuds de la poutre,

mais on n’en connait pas a priori la position, comme dans le cas de la charge

concentrée. Pour les portiques supportant des charges réparties, Baker, Horne et Heyman ont

proposé une méthode de calcul basée sur le concept des charges concentrées

équivalentes.

Si on considère une barre entre deux nœuds qu’on suppose isostatique, on peut

remplacer la charge repartie par plusieurs charges concentrées. On prend alors les points

d’application des charges concentrées comme sections critiques. Considérons une poutre

soumise à une charge répartie quelconque appliquée entre les nœuds i-1et i+1 figure

(II.16a). La charge concentrée équivalente a ce chargement est égale a la somme des

réactions en i des deux poutres i-1 i et i i+1 supposées simplement appuyées et soumises a la

charge réelle, mais de signe oppose figure(II.16 b et c).La force concentrée équivalente

appliquée en i es t déterminée alors par l’équation:[11]

Qi=l

li∙ ∫ x ∙ q(x) ∙ d(x) +

li

0

l

li+1 ∙ ∫ x ∙ q(x) ∙ d(x)

li

0 (II.5)

La courbe des moments obtenus avec les charges concentrées équivalentes

enveloppe la courbe des moments réels figure (2.16d).

II.4 Méthode pas à pas :

La méthode pas à pas consiste à analyser les structures par étapes en faisant croitre

progressivement le coefficient de charge. Chaque étape est un calcul élastique classique.

Lorsque le moment fléchissant atteint dans une section critique le moment de plastification

Mpl, une rotule plastique naisse au droit de ce nœud, ceci correspond à la fin de l’étape. La

structure sera analysée dans l’étape suivante en introduisant une articulation au droit de la

section où s’est formée la rotule plastique.

Figure II.21 : Diagramme de moment


36

Cette procédure sera répétée jusqu’à ce que la structure soit devenue un mécanisme. Le

facteur de charge λ est déterminé pour chaque étape de calcul. La charge ultime au moment

de la ruine aura alors pour valeur:

Pu=∑ λini=1 ∙ p (II.6)

n : étant le nombre de pas.

L’avantage appréciable de cette méthode est qu’elle donne, en plus de la charge ultime

(ruine):

-L’ordre de formation des rotules plastiques;

-Les déformations au cours des différents pas et les rotations plastiques;

-Les réactions hyperstatiques et les efforts internes au cours des différents pas.

Dans le cas où la ruine est partielle, le champ des réactions et par suite celui des moments

n’est pas unique et on peut aboutir à une répartition différente an partant d’un état initial

différent.

Les méthodes de calcul élastique sont très nombreuses, certaines de ces méthodes sont

destinées pour le calcul manuel, d’autre sont programmables. Les méthodes

programmables sont: la méthode des forces et la méthode des déplacements. Mais la

majorité des programmes sont basés sur la méthode des déplacements, car elle permet

l’écriture de programmes généraux applicables dans la plupart des cas de la pratique.

Chapitre III

37

Chapitre III

38

III.1 Introduction :

Le présent chapitre a pour objet de déterminer les mécanismes de ruine pour des structures

en portiques sous l’effet de la charge V et H (V étant la charge verticale concentrée et

H étant la charge horizontale concentrée).

On remarque que la détermination du mécanisme et de la charge de ruine des éléments

de structures ou structures simples par les différentes méthodes de l’analyse plastique,

a conduit aux mêmes résultats.

Mais il faut dire qu’en dehors des cas de structures simples, et chaque fois que le degré

d’hyperstaticité augmente, la détermination des vraies charges de ruine par la méthode

cinématique exige une série de combinaisons entre les différents mécanismes élémentaires

en incluant le mécanisme de joint afin de minimiser la valeur de la charge H.[12]

Pour notre étude nous avons sélectionné trois portiques:

Un portique à un niveau et une travée dénommé (1N-1T),

Un portique à un niveau et deux travées (1N-2T) qui va faire ressortir l’effet du rajout

de deux travées sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine.

Un portique à deux niveaux et deux travées (2N-2T) qui va faire ressortir l’effet du

rajout de deux niveaux sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine.

III.2 Portique à un niveau et une travée : (1N-1T)

Considérons figure (III.1) le portique encastré à sa base, soumis à une charge verticale

concentrée Vt au milieu de travée de poutre et de charge concentrée horizontale H1, appliquée

au niveau des jonctions poteaux-poutres.

L’objectif premier est la détermination et l’identification de l’ensemble de

mécanismes de ruine possibles et les différentes charges de ruine.

Figure III.1 : Caractéristique de portique

Chapitre III

39

Mpc: Le moment de plastification du poteau

Mpb: Le moment de plastification de la poutre

La rotule plastique apparait dans l’élément de faible inertie c'est-à-dire de faible de moment

plastique.

(III.1)

r : degré d’hyperstaticité

k : nombre de barres

j : nombre de rotules mécaniques

r =3-0=3

Le portique est trois fois hyperstatiques avec sept sections critiques, les sections critiques sont

représentées dans la figure (III.1) et sont numérotées de 1 à 7.

a) Mécanisme 1: Mécanisme de poutre :

Figure III.2 : Mécanisme de poutre

Figure III.3: Détail 1 (Rotule plastique dans les jonctions poteaux-poutres)

r = k-j

Chapitre III

40

a.1) Cas Mpc ≥ Mpb :

L’équation des travaux virtuels s’écrit :

Vt∙ [Ө𝐿

2]=Mpb ∙(Ө) + Mpb ∙(2Ө) + Mpb ∙(Ө) (III.2)

D’où : Vt=8Mpb

L (III.3)

a.2) Cas Mpc < Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2]=Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(2Ө) + Mpc ∙(Ө) (III.4)

D’où : Vt=4Mpc+4Mpb

L (III.5)

b) Mécanisme 2 : mécanisme de panneau

Figure III.4 : Mécanisme de panneau


Chapitre III

41

b.1) Cas Mpc > Mpb :


H1∙ (Ө h)=Mpc ∙(Ө) + Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) (III.6)

D’où : H1=2Mpc+2Mpb

h (III.7)

b.2) Cas Mpc ≤ Mpb :


H1∙ (Ө h)=Mpc ∙(Ө) + Mpc ∙(Ө) + Mpc ∙(Ө) + Mpc ∙(Ө) (III.8)

D’où : H1=4Mpc

h (III.9)

c) Mécanisme 3: Mécanisme de portique

Figure III.6 : Mécanisme de portique


Chapitre III

42

c.1) Cas Mpc > Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2] +H1 (Өh) =2 Mpc ∙(Ө) + 2 Mpb ∙(2Ө) (III.10)

D’où : Vt∙ 𝐿

2 + H1∙h= 2 Mpc + 4 Mpb (III.11)

H1= 2 Mpc + 4 Mpb−0.5∙Vt∙L

h (III.12)

c.2) Cas Mpc = Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2] +H1 (Өh) =3 Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) + Mpb ∙(2Ө) (III.13)


2 + H1∙h= 3 Mpc + 3 Mpb (III.14)

H1= 3Mpc + 3 Mpb−0.5∙Vt∙L

h (III.15)

c.3) Cas Mpc < Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2] +H1 (Өh) =2 Mpc ∙(Ө) + Mpc ∙(2Ө) + Mpb ∙(2Ө) (III.16)


2 + H1∙h= 4 Mpc + 2 Mpb (III.17)

H1= 4 Mpc + 2 Mpb−0.5∙Vt∙L

h (III.18)

III.3 Portique à un niveau et deux travées : (1N-2T)

Considérons figure (III.8) le portique encastré à sa base, soumis à des charges

verticales concentrées Vt au milieu de travée des poutres et de charge concentrée

horizontale H1, appliquées au niveau des jonctions poteaux-poutres.

L’objectif premier est la détermination et l’identification de l’ensemble de


Chapitre III

43


Mpb: Le moment de plastification de la poutre,


plastique.

P= r-(k+n) (III.19)

p : degré d’hyperstaticité

r : nombre de réactions d’appuis

k : nombre d’équation d’équilibre

n : nombre d’efforts internes connues dans la structure (l’articulation)

p=9-(3+0)=6

Le portique est 6 fois hyperstatiques avec 12 sections critiques, les sections critiques sont



Chapitre III

44

a) Mécanisme 1,2 : Mécanisme de poutre



Pour les mécanismes1 et 2 :

Vt∙ [Ө𝐿

2]=Mpb ∙(Ө) + Mpb ∙(2Ө) + Mpb ∙(Ө) (III.20)

D’où : Vt=8Mpb

L (III.21)



Vt∙ [Ө𝐿

2]=Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(2Ө) + Mpb ∙(Ө) (III.22)

D’où : Vt=4Mpc+4Mpb

L (III.23)



Chapitre III

45

b) Mécanisme 3 : mécanisme de panneau



H1∙ (Ө h)=5 Mpc ∙(Ө) +Mpb ∙(Ө) (III.24)

D’où : H1=5Mpc+Mpb

h (III.25)



H1∙ (Ө h)= 6 Mpc (Ө) (III.26)

D’où : H1=6Mpc

h (III.27)

Figure III.11 : Mécanisme de panneau


Chapitre III

46

c) Mécanisme 4 : mécanisme de joint

Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) =0 (III.28)

d) Mécanisme 5 :1+3

d.1) Cas Mpc > Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2] +H1 (Өh) = 4Mpc ∙(Ө) + 2 Mpb ∙(Ө) (III.29)


2 + H1∙h= 4 Mpc + 2 Mpb (III.30)

H1= 4 Mpc + 2 Mpb−0.5∙Vt∙L

h (III.31)

d.2) Cas Mpc ≤ Mpb :


Vt∙ [Ө𝐿

2] +H1 (Өh) = 5 Mpc ∙(Ө) + Mpb ∙(Ө) +2 Mpb ∙(Ө) (III.32)

Figure III.13 : Mécanisme de joint

Figure III.14 : Mécanisme 1+3

Chapitre III

47


2 + H1∙h= 5 Mpc + 3 Mpb (III.33)

H1= 5 Mpc + 3 Mpb−0.5∙Vt∙L

h (III.34)

e) Mécanisme 6:

e.1) Cas Mpc > Mpb :


2∙Vt∙ [Ө𝐿

2] + H1∙ (Ө h) = 5 Mpc ∙(Ө) + 7 Mpb ∙(Ө) (III.35)

D’où : Vt∙ L + H1∙ h = 5 Mpc + 7 Mpb (III.36)

H1=5Mpc+7Mpb−Vt.L

h (III.37)

e.2) Cas Mpc ≤ Mpb :


2∙Vt∙ [Ө𝐿

2] + H1∙ (Ө h) = 4 Mpc ∙(Ө) + 7 Mpb ∙(Ө) (III.38)

Figure III.15 : Mécanisme 6

Chapitre III

48

D’où : Vt∙ L + H1∙ h = 4 Mpc + 7 Mpb (III.39)

H1=4 Mpc+7 Mpb−Vt.L

h (III.40)

III.4 Portique à deux niveaux et deux travées : (2N-2T)

Considérons figure (III.18) le portique encastré à sa base, soumis à des charges verticales

concentrées Vt au terrasse et Ve au étage courant au milieu de travée des poutres et des

charges concentrées horizontales H1 et H2 appliquées au niveau des jonctions poteaux-

poutres. L’objectif premier est la détermination et l’identification de l’ensemble de



Mpb: Le moment de plastification de la poutre,


plastique.

P= r-(k+n) (III.41)

p : degré d’hyperstaticité

r : nombre de réactions d’appuis

k : nombre d’équation d’équilibre

n : nombre d’efforts internes connues dans la structure (l’articulation)

p=9-(3+0)=6

Le portique est 6 fois hyperstatiques avec 24 sections critiques, les sections critiques sont



Chapitre III

49

a) Mécanisme 1, 2,3 et 4 : Mécanisme de poutre


Pour les mécanismes : 1 et 2

Ve= 8Mpb

L (III.47)

Pour les mécanismes 3 et 4 :

Vt= 8Mpb

L (III.48)




Chapitre III

50

Pour les mécanismes : 1 et 2

Ve= 8Mpb

L (III.49)

Pour les mécanismes 3 et 4 :

Vt= 2Mpc+6Mpb

L (III.50)

b) Mécanisme 5 : Mécanisme de Panneau de 2ème niveau


H2 = 4Mpc+4Mpb

h (III.52)

Figure III.19 : Mécanisme de panneau 2ème niveau


Chapitre III

51


H2 = 6Mpc

h (III.53)

c) Mécanisme 6 : Mécanisme de Panneau de 1er niveau

H1+H2= 6.Mpc

h (III.54)

d) Mécanisme 7: mécanisme de joint

Figure III.21 : Mécanisme de panneau 1er niveau

Chapitre III

52

e) Mécanisme 8 :5+6+7

Figure III.22 : Mécanisme de joint

Figure III.23 : Mécanisme 8 : 5+6+7

Chapitre III

53

e.1) Cas Mpc > Mpb :

H1+ 2.H2 = 4Mpc+6Mpb

h (III.55)

e.2) Cas Mpc ≤ Mpb :

H1+ 2.H2 = 6Mpc+4Mpb

h (III.56)

f) Mécanisme 9:

f.1) Cas Mpc > Mpb :

H1+ 2.H2 = 4Mpc+8Mpb−0.5Ve.L

h (III.57)

f.2) Cas Mpc ≤ Mpb :

H1+ 2.H2 = 6Mpc+6Mpb−0.5Ve.L

h (III.58)

g) Mécanisme 10 :


Chapitre III

54

g.1) Cas Mpc > Mpb :

H1+ 2.H2 = 4Mpc+10Mpb−Ve.L

h (III.59)

g.2) Cas Mpc ≤ Mpb :

H1+ 2.H2 = 6Mpc+8Mpb−Ve.L

h (III.60)

h) Mécanisme 11 :

h.1) Cas Mpc > Mpb :



Chapitre III

55

H1+ 2.H2 = 4Mpc+12Mpb−Ve.L−0.5Vt.L

h (III.61)

h.2) Cas Mpc ≤ Mpb :

H1+ 2.H2 = 5Mpc+11Mpb−Ve.L−0.5Vt.L

h (III.62)

i) Mécanisme 12 :

Chapitre III

56

i.1) Cas Mpc > Mpb :

H1+ 2.H2 = 4Mpc+16Mpb−Ve.L−𝑉𝑡.𝐿

h (III.63)

i.2) Cas Mpc ≤ Mpb :

H1+ 2.H2 = 5Mpc+14Mpb−Ve.L−Vt.L

h (III.64)



Chapitre III

57


58


59

IV.1 Introduction :

L’analyse push over est une méthode de calcul statique non linéaire largement utilisé pour

évaluer la performance sismique des structures.

IV.2 Le But de l’analyse Push over : [13]

Le but de l’analyse push over est de décrire le comportement réel de la structure et d’évaluer

les différents paramètres en termes de sollicitations et déplacements dans les éléments de la

structure. L’analyse push over est supposée fournir des informations sur plusieurs

caractéristiques de la réponse qui ne peuvent être obtenues par une simple analyse élastique,

on cite :

L’estimation des déformations dans le cas des éléments qui doivent subir des

déformations inélastiques afin de dissiper de l’énergie communiquée à la structure par

le mouvement du sol.

La détermination des sollicitations réelles sur les éléments fragiles, telles que les

sollicitations sur les assemblages de contreventements, les sollicitations axiales sur les

poteaux, les moments sur les jonctions poteau-poutre, les sollicitations de cisaillement.

Les conséquences de la détérioration de la résistance des éléments sur le

comportement global de la structure ce qui permet de déterminer les points forts et les

points faibles de notre structure.

L’identification des zones critiques dans lesquelles les déformations sont supposées

être grandes.

L’identification des discontinuités de résistance en plan et en élévation qui entraînent

des variations dans les caractéristiques dynamiques dans le domaine inélastique.

L’estimation des déplacements inter-étage qui tiennent compte des discontinuités de la

rigidité et de la résistance qui peut être utilisés dans le contrôle de l’endommagement.

IV.3 L’hypothèse de l’analyse Push over :

L’analyse push over est basée sur l’hypothèse que la réponse de la structure qui peut être

assimilée à la réponse d’un système à un seul degré de liberté équivalent, ce qui implique

que la réponse est fondamentalement contrôlée par un seul mode de vibration et la forme

de ce mode demeure constante durant la durée du séisme. Les chercheurs ont montré que

ces hypothèses donnent de bons résultats concernant la réponse sismique (déplacement

maximale) donnée par le premier mode de vibration de la structure simulé à un système

linéaire équivalent.

IV.4 Logiciel SAP2000v14 : [14]

SAP2000v14 est un logiciel développé par la compagnie ” Computers and Structures, Inc.”

Pour l’analyse et la conception des structures. C’est un système entièrement intégré pour

modéliser, analyser, concevoir et optimiser des types particuliers des structures.

SAP2000v14 est utilisé pour des structures générales, y compris ponts, stades, tours, usines

industrielles, structures en mer, systèmes de canalisation, bâtiments, barrages, sols, pièces de

mécanique, etc. la version 14 est la plus puissante version des séries connues de SAP des


60

programmes d’analyse structurale, pour analyser et concevoir une structure en passe par les

étapes suivantes :

1. Créer ou modifier un modèle qui définit numériquement les paramètres de géométrie, de

propriétés, de chargement et d’analyse pour la structure.

2. Exécuter une analyse du modèle.

3. Passer en revue les résultats de l’analyse.

4. Vérifier et optimiser la conception de la structure.

C’est un processus généralement itératif qui peut impliquer plusieurs cycles de l’ordre des

étapes ci-dessus.

Toutes ces étapes peuvent être exécutées sans aucune difficulté en utilisant l’interface

utilisateur graphique de SAP2000.

Il existe 3 types d’éléments finis principaux que sont les éléments linéaires, surfaciques et

solides.

Le logiciel SAP2000 facilite considérablement l’interprétation des résultats, en offrant

notamment la possibilité de visualiser : la déformée du système, les diagrammes des efforts et

courbes, les champs de contraintes, les modes propres de vibration, etc.

IV.5 Définition du comportement non linéaire des éléments:

IV.5.1 Définition de la rotule plastique :

Les poutres et les poteaux sont modélisés par des éléments ayant des propriétés élastiques

linéaires [15].

Les propriétés des rotules plastiques définies par défaut ont été utilisées pour exécuter

l’analyse de push over. Pour définis les propriétés de rotule par l'utilisateur, la procédure

utilisée par Saidi, Sozen [16], Park et Paulay [17] a été utilisé pour déterminer les relations

moment-rotation des éléments des relations moment-courbure. Dans cette procédure, on

assume que le moment varie linéairement le long des poutres et des poteaux avec un point

d’inflexion se dirigent au milieu des éléments. Sur la base de cette hypothèse, la relation entre

la courbure et la rotation d’écoulement est obtenu comme suit :

L : Longueur de l’élément.

𝜑𝑦 : Courbure au l’écoulement.

𝜃𝑦 : Rotation à l’écoulement.

La capacité rotule de rotation en plastique des éléments est estimée en utilisant l'équation

suivante proposée par l'ATC-40 et la valeur de rotation au moment ultime est obtenu en

ajoutant de rotation plastique à la rotation du l’écoulement.

Où

𝑙𝑝 : Longueur de rotule plastique.

𝜑𝑢𝑙𝑡 : Courbure ultime.

𝜃𝑝 : Rotation plastique.

ATC-40 suggère que la longueur de la rotule plastique est égale à la moitié de la profondeur

de coupe dans le sens de chargement est une valeur acceptable, qui donne généralement des

résultats conservatrice.


61

En SAP2000, le comportement non linéaire des poutres et des poteaux est représenté par

l'attribution concentrée des rotules plastiques aux extrémités des éléments là où on assume

que le rendement par flexion se produit. Les caractéristiques de flexion des poutres sont

définies par des relations moment-rotation assignées comme rotules de moment aux

extrémités des poutres. Une surface d'interaction en tridimensionnelle avec cinq diagrammes

de force axiale-flexion équidistants d'interaction de moment et une relation

moment-rotation sont définies pour représenter les caractéristiques de flexion des rotules

plastiques aux extrémités du poteau.

Pour notre modèle de calcul, nous allons introduire dans les poutres et les poteaux des rotules

plastiques avec des lois de comportements définies par défaut par le logiciel comme suit :

IV.5.2 Flexion plastique plane [18]:

La flexion plastique des poutres, elle est faite d’un matériau élastique parfaitement plastique.

Le moment de flexion est considéré comme flexion simple M # 0 et N = 0, la loi de

conservation des sections plane de Bernoulli reste toujours applicable.

IV.5.2.1 Dimensionnement élastique M ≤ Me :

moment élastique maximal :

courbure élastique maximale :

Figure IV.1 : Sections doublement symétriques


62

IV.5.2.2 Dimensionnement élasto-plastique Me ≤ M ≤ Mpl :

Les fibres supérieures et inférieures plastifient simultanément.

L’équation d’équilibre de translation (N = 0) :

L’axe neutre est donc toujours au centre de gravité.

La distance 𝑦𝑒 (figure IV.1) est donné par :

Le moment plastique est donné par :

-

Alors :

Z : le module plastique qui est égale deux fois le moment statique d’une demi-section.

IV.5.2.3 Gain dû à la plasticité dans la section rectangulaire (largeur b,

hauteur h) :

Le module de résistance élastique :

Le module de résistance plastique :

Le gain (facteur de forme) :


63

IV.5.3 Niveaux de dommages :

La courbe de déformation plastique est une courbe force-déplacement (moment-rotation) qui

donne la valeur de plastification et déformation plastique après plastification. Cette courbe se

compose de cinq points comme illustré dans la figure (IV.1) :

Le point (A) représente l’origine.

Le point (B) représente la plastification, aucune déformation au niveau des rotules,

toutes les déformations élastiques sont ignorées.

Le point (C) représente la capacité ultime pour l’analyse push over.

Le point (D) représente la résistance résiduelle pour l’analyse push over.

Le point (E) représente la rupture totale des éléments.

Avant d’atteindre le point B, la déformation est linéaire et se produit dans l’élément

d’ossature lui-même, et non dans la rotule.

La déformation plastique au-delà du point B se produit dans la rotule en plus de n’importe

quelle déformation élastique pouvant se produire dans l’élément, la résistance résiduelle à

partir de D à E permet aux éléments d’ossature de supporter des charges de gravité.

L’utilisateur peut spécifier des mesures additionnelles de déformation aux points IO, LS et

CP, ceux- ci sont des mesures informationnelles qui sont rapporté dans les résultats d’analyse

et utilisées pour la conception basé sur la performance, n’ayant aucun d’effet sur le

comportement de la structure.

Selon FEMA-273 [19]:

Le niveau IO (Immédiate Occupancy) :

Indique que l'état des dommages suite au séisme est très limité, les systèmes de résistances

des forces horizontales et verticales de la construction conservent à peu près leur résistance et

rigidité antérieur au séisme. Le danger sur la vie présenté par les dommages structurels est

Figure IV.2 : Courbe force-déplacement ou moment- rotation pour une définition de rotule

utilisée dans SAP2000 (courbe de déformation plastique)


64

très faible, malgré cela, certaines réparations structurelles simples doivent avoir lieu qui ne

sont pas généralement exigibles avant la réutilisation de la construction.

Le niveau LS (Life Safety) :

Indique que l'état des dommages après le séisme subit par la structure est importante, mais il

existe une marge contre l'effondrement, certains éléments et composants structurels sont très

endommagés, mais ceci n’entraine pas la chute de débris importants à l'intérieur qu'à

l'extérieur de la construction. Les dommages peuvent avoir lieu durant le séisme, mais le

danger sur la vie résultant de ces dommages est faible, l’utilisation de la construction peut être

interdit jusqu'à réparation.

Le niveau CP (Collapse Prévention) :

Il indique que la construction est sur le point de faire face à un effondrement partiel ou total,

comme il indique que le grand dommage subit par les éléments structurels et non structurels

avec la probabilité d’une très grande dégradation dans la rigidité des systèmes de résistance de

chargement latéral avec la présence d’une marge infime contre l'effondrement, à ce niveau et

en présence d’une grande dégradation des systèmes de résistances des chargement latéral, il

est impératif pour les éléments principaux des systèmes de résistance aux forces de gravité

doit continuer à résister. Il peut exister un grand danger à cause de la chute des débris

structurels et il n’est pas pratique techniquement de réparer la structure, sécuritairement il est

inutilisable, par l’existence de répliques. Qui peut entrainer l’effondrement de la construction.

Il consiste à éviter les pertes de vie et des biens, la structure peut engendrer un sérieux

dommage durant un séisme majeur mais, elle doit rester debout après le mouvement de terre.

Alors, la conception de plus qu’un niveau d’intensité d’attaque sismique doit être adopté

comme une philosophie de base de la conception sismique en terme de déplacement, la

réponse structurelle peut être reliée à un état limite de déformation, qui à son tour supposé être

lié à un certain niveau d’endommagement Tableau (IV.1).

Niveau de performance Etat d’endommagement Déplacement relatif

Totalement opérationnel,

occupation immédiate

Négligeable < 0,2 %

Opérationnel,

endommagement modéré Réparable < 0,5%

Sécurité sur les vies Irréparable < 1,5% Pré ruine, sécurité limitée Sévère < 2,5% Ruine >2,5%

Les déformations (IO, LS, CP) qui définissent le niveau d’endommagement des rotules en se

référant aux tableaux présentées dans le règlement américain FEMA 273.

Tableau IV.1: niveaux de performance, endommagement et déplacement relatif


65

IV.6 Analyse push over (calcul manuel) :

IV.6.1 Exemple 1 : portique à IPE270 (poteau-poutre)

On a un IPE270 :

My = Me =𝜎y∙Wel=235∙428,9=100,8KN.m

Mu = MP =𝜎y∙Wpl=235∙484=113,7KN.m

Ky=Ԑ𝑦

𝜐=

15.3∗10⎺⁴

135=11,3.10-6 rad/mm=11,3.10-3 rad/m

Ku=Ԑ𝑢

𝜐=

2∗10⎺²

135=150.10-6 rad/mm=150.10-3 rad/m

Ky : courbure élastique (rad/m)

Ku : courbure plastique (rad/m)

Ԑy : Déformation correspondant a la limite d’élasticité 𝜎𝑦

Wpl=484cm3

Wel=428,9cm3

𝜎y=235Mpa

H

Figure IV.3 : portique à IPE270 (poteau-poutre)

Wpl : module de résistance plastique de profilé en cm3

Wel : module de résistance élastique de profilé en cm3

𝜎y =Fy : limite élastique en Mpa


66

Ԑu : Déformation correspondant a la limite plastique

Au Point « c » : 𝑀u

𝑀𝑦=

113.7

100.8=1,128

𝐾u

𝐾𝑦=

150

11.3=13,27

a) Poteau :

Niveau inférieur du poteau :

Figure IV.4 : diagramme de moment en fonction de H

Nœud 1 :

A l’état plastique :

Mp=1,0554.HP Hp=𝑀𝑝

1.0554=0,95.MP= 108,01KN

A l’état élastique :

Me=1,0554.He He=𝑀𝑒

1.0554=0,95.Me= 95,76KN

H


67

100,8

113,7=

𝑦

2,11

Et x=2,11-1,97=0,21m

La rotule plastique au niveau inferieur du poteau « nœud1 ».

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

0,21

100=h

h: la hauteur de la rotule plastique

Niveau supérieur du poteau :

La longueur de la rotule plastique niveau supérieure :

y=100,8.2,11

113,7=1,97m

h=11,3+150

2 ∙

0,21

100=0,17m

y=100,8.2,89

113,7=2,60m

x= 2,89-2,56=0,29m

Figure IV.5 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau inferieur)

Figure IV.6 : diagramme de moment virtuel et courbure de poteau (niveau supérieur)


68

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

0,29

100=h h=

150+11,3

2∙

0,29

100=0,234m

h=0,234m

b) La poutre :

100,8

113,7=

𝑦

3

x=3-2,66=0,34m

La rotule plastique au niveau de la poutre « nœud1 ».

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

𝑥

100=h

c) Deflection elastique :

y=100,8.3

113,7=2,66m

h=11,3+150

2 ∙

0,34

100=0,24m

Figure IV.7 : diagramme de moment virtuel et courbure de poutre


69

∆y=[0,5.Ky.Lpoutre].2+[0,5.Ky.Lpoteau].2

∆y =[0,5×11,3×3×0,703].2+[0,5×11,3×2,11×0,703].2

∆y=40,6mm=0,046m

Figure IV.9 : mode virtuel de la poutre

Figure IV.8 : mode virtuel du poteau


70

IV.6.2 Exemple 2: portique avec un poteau en IPE300 et une poutre en IPE330

a) Le poteau :

On a un IPE300 :

Wpl=628,4cm3

Wel= 557,1cm3

𝜎y=235Mpa

Figure IV.10 : portique avec un poteau en IPE300 et une poutre en IPE330



71

My = Me =𝜎y∙Wel=235×557,1=131KN.m.

Mu = Mp =𝜎y∙Wpl=235×628,4=147.7KN.m.

Ky=Ԑ𝑦

𝜐=

15.3∗10⎺⁴

150=10,2.10-6 rad/mm=10,2.10-3 rad/m.

Ku=Ԑ𝑢

𝜐=

2∗10⎺²

150=133.10-6 rad/mm=133.10-3 rad/m.

Point « c » :

𝑀u

𝑀𝑌=

147.7

131=1,127

𝐾u

𝐾𝑌=

133

10,2=13,06

Nœud 1 :



1.0554=0,95.MP= 140KN



1.0554=0,95.Me= 124,1KN

Niveau inférieur de poteau :



72

100,8

113,7=

𝑦

2,11 y=

131.2,11

147,7=1,87m

Et x=2,11-1,87=0,24 m

La rotule plastique au niveau inférieur du poteau « nœud1 ».

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

0,24

100=h

Niveau supérieur de poteau :

b) La poutre :

On a un IPE330 :

h=10,2+133,3

2∙

0,24

100=0,17m

y=131.2,89

147,7=2,56m

x= 2,89-2,56=0,33m

h=10.2+133,3

2∙

0.33

100=0,237m


Wpl=804,2cm3

Wel= 713,1cm3

𝜎y=235Mpa


73

My = Me =𝜎y∙Wel=235×804,3=189,01KN.m.

Mu = Mp =𝜎y∙Wpl=235×713,1=167,6KN.m.

Ky=Ԑ𝑦

𝜐=

15.3∗10⎺⁴

165=9,27.10-6 rad/mm=9,27.10-3 rad/m.

Ku=Ԑ𝑢

𝜐=

2∗10⎺²

165=121,2.10-6 rad/mm=121,2.10-3 rad/m.

Point « c » :

𝑀u

𝑀𝑌=

189,01

167,6=1,127

𝐾u

𝐾𝑌=

121,2

9,27=13,07

167,6

189,01=

𝑦

3 y=2,66m.

x=3 - 2,66 = 0,34m.

La rotule plastique au niveau de la poutre « nœud1 ».

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

𝑥

100=h


h=9,27+121,2

2∙

0.34

100=0,22m



74


∆y =[0,5×10,2×3×0,703].2+[0,5×10,2×2,11×0,703].2

∆y=36,64mm=0,036m

IV.6.3 Exemple 3: portique avec un poteau en IPE330 et une poutre en IPE300

a) Le poteau :

On a un IPE330 :

Figure IV.15: portique avec un poteau en IPE330 et une poutre en IPE300



75

My=𝜎𝑦 ∙Wel=235×713,1=167,58KN.m.

Mu=𝜎𝑦 ∙Wpl=235×804,3=189,01KN.m.

Ky=Ԑ𝑦

𝜐=

15,3.10⎺⁴

165=9,27×10-6 rad/mm=9,27.10-3 rad/m.

Ku=Ԑ𝑢

𝜐=

2∗10⎺²

165=121,2×10-6 rad/mm=121.10-3 rad/m.

Point « c » :

𝑀u

𝑀𝑌=

189,01

167,58=1,128

𝐾u

𝐾𝑌=

121,2

9,27=13,07

Nœud 1 :



1.0554=0,95.MP= 179,56 KN



1.0554=0,95.Me= 159,2KN

Niveau inférieur de poteau :

Wpl=804,3cm3

Wel=713,1cm3

𝜎𝑦=Fy=235Mpa


16


76

y=167,58∗2.11

189,01=1.87m

Et x=2.11-1.87=0.24 m

La rotule plastique au niveau bas du poteau à une hauteur.

ℎ =𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

0.24

100

Niveau supérieur de poteau :

b) La poutre :

On a un IPE300 :

h=9.27+121,2

2∙

0.24

100=15,6 m=0.16m

y=167,58∗2.89

189,01=2.56m

x= 2.89-2.56=0.33m

h=9.27+121,2

2∙

0.33

100=0,215m


Wpl=628,4cm3

Wel=557,1cm3

𝜎𝑦=Fy=235Mpa


77

My=𝜎𝑦 ∙Wel=235×557,1=131 KN.m.

Mu=𝜎𝑦 ∙Wpl=235×628,4=147,7 KN.m.

Ky=Ԑ𝑦

𝜐=

15,3.10⎺⁴

150=10,2×10-6 rad/mm=10,2.10-3 rad/m.

Ku=Ԑ𝑢

𝜐=

2∗10⎺²

150=133,3×10-6 rad/mm=133,3.10-3 rad/m.

Point « c » :

𝑀u

𝑀𝑌=

147.7

131=1,127

𝐾u

𝐾𝑌=

133,3

10,2=13,06

Nœud 1 :



1.0554=0,95.MP= 140KN



1.0554=0,95.Me= 124,1KN



78

167,6

189,01 =

𝑦

3 y=2,66m.

x=3 - 2,66 = 0,34m.

La rotule plastique au niveau de la poutre :

𝐾𝑦+𝐾𝑢

2∙

𝑥

100=h



∆y =[0,5×10,2×3×0,703].2+[0,5×10,2×2,11×0,703].2

∆y=36,64mm=0,036m

IV.7 Analyse push over (Sap2000V.14) :[20] Il suffit de garder le premier exemple car ce sera la même chose pour les deuxième et

troisième exemples.

IV.7.1 Exemple : portique à IPE270 (poteau-poutre)

IV.7.2 rotule plastique pour la poutre : Les rotules de flexion « M3 » et de cisaillement « V2 » sont introduites aux niveaux des zones

nodales des poutres comme suit :

Select ^ frame section ^ poutres.

Assign ^ frame ^ Hinges.

h=9,27+121,2

2∙

0,34

100=0,24m

Figure IV.20 : portique à IPE270 (poteau-poutre) suivant le Sap2000V.14


79

Dans la fenêtre qui apparait (figures IV.21 ; IV.22 ; IV.23), pour chaque type de rotule choisie

"Frame Hinges Assignements", on introduit dans la case "Relative Distance" les valeurs des

rapports (0) et (1) qui correspondent aux extrémités des poutres (Nœud).

Figure IV.21

Figure IV.22


80

IV.7.3 rotule plastique pour le poteau :

Pour les poteaux on introduit des rotules de cisaillement "V2", et des rotules de type "M3".

Dans la fenêtre qui apparait (figures IV.24 ; IV.25 ; IV.26), Pour chaque type de rotule

choisie "Frame Hinges Assignements", on introduit dans la case "Relative Distance" les

valeurs des rapports (0) et (1) qui correspondent aux extrémités des poteaux (Nœud).

Figures IV.21 ; IV.22 ; IV.23: Introduction des rotules plastiques des poutres

Figure IV.24


81

Les niveaux de dommage qui contrôlent la loi de comportement des rotules plastiques, définis

précédemment sont illustrés par les figures (IV.27) et (IV.28).

Figure IV.25

Figures IV.24 ; IV.25 ; IV.26 : Affectation des rotules plastiques aux poteaux


82

IV.8 Définition du chargement de l’analyse Push over : L’analyse push over consiste à appliquer à la structure une distribution des forces latérales

incrémentée de façon progressive jusqu'à ce que le déplacement au sommet de la structure

atteigne un déplacement cible (Analyse en mode "Déplacement contrôlé").

Ce type d’analyse est mené lorsque les charges ne sont pas connues, ou lorsque

l’augmentation des charges pendant l’analyse est susceptible de provoquer l’instabilité de la

structure [13 ; 14].

En plus de l’analyse en mode "Déplacement contrôlé", le programme offre la possibilité

d’effectuer des analyses en mode "Force contrôlée", ce type d’analyse est choisie lorsque les

charges appliquées à la structure sont connues et ne risquent pas de provoquer l’instabilité de

la structure (ex : Push gravitaire).

IV.8.1 Sous charges gravitaires : On clique sur :

define ^ load cases ^ on clique sur la charge gravitaire ^ modify load case ^ le type de

cette chargement est (static nonlinear).

Figure IV.27 : Loi de comportement de rotule de cisaillement de type M3


83

IV.8.3 Sous charges horizontales: On clique sur : define ^ load cases ^ add new load case ^ dans la case (load case name) on

écrire (push) ^ le type de cette chargement est (static Nonlinear) ^ dans la boite (initial

conditions) on choisit (continue from state at end of Nonlinear case, G) ^ dans la boite (loads

applied) on utilise deux types de distributions [15] [16] selon x-x et selon y-y ^ on clique sur

(modify), dans la boite (modify), l’analyse est effectuée en mode "Déplacement contrôlé", le

déplacement cible est définie par défaut par le logiciel en fonction de la hauteur de l’ouvrage

[7].

𝐷𝑐𝑖𝑏𝑙𝑒= h/25 = 3,40/25 = 0,136 m

Figure IV.28 : Définition du chargement de l’analyse Push over sous les charges verticales


84

Figure IV.29 : Définition du chargement de l’analyse Push over


85

IV.9 Analyse statique non linéaire et extraction de la courbe de capacité : On clique sur (analyse) ^ run analysis, une boite de dialogue apparaitra :

D’abord on exécute la charge sismique (E) et non pas les deux charges statique non linéaire

(push gravitaire et push horizontale), ceci est fait en sélectionnant les deux charges (push

gravitaire et push horizontale) et en cliquant sur (Run/don’t run case), et puis sur (Run Now).

Apres l’analyse élastique, on répète la même procédure, mais pour cette fois on sélectionne la

charge sismique (E) et on clique sur (Run/don’t run case) et clique sur (Run Now).

Pour visualiser la courbe de capacité: Display ^ Show Static Push over Curve.

On définit (Push over parameter sets)

Figure IV.30: Déplacement cible suivant X-X (U1)

Figure IV.31: Définir les cas de charge à exécuter


86

Force vs Displacement.

ATC 40 capacity Spectrum.

FEMA 440 displacement modification.

Dans le calcul manuel, nous avons trouvé :

He=95,76KN ∆𝑦 =0,04m

Hp=108,01KN

Figure IV.32 : diagramme force-déplacement (élastique) en utilisant le Sap2000V14


87

Figure IV.33: diagramme force-déplacement (plastique) en utilisant le Sap2000V14

Chapitre V

88

Chapitre V

89

V.1 Introduction :

L’objectif primordial de l’étude plastique des structures est la détermination des vraies

charges de ruine et des vrais mécanismes de ruine. Leur connaissance donne une idée

précise sur la vraie marge de sécurité d’un élément de l’ouvrage ou de l’ouvrage lui même.

L'analyse plastique des structures hyperstatiques consiste à considérer qu’au fur et à mesure

que la charge augmente il y a apparition de rotules plastiques à chaque fois que le moment

dans une section donnée atteint la valeur du moment plastique. Ce dernier est

indépendant du chargement ou de sa nature. Il est une caractéristique de la section

elle-même et ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques de celle-ci.

Evidement si r rotules plastiques se forment au total, la structure devient un système

isostatique (r étant le degré d’hyperstaticité). Elle se transforme en un mécanisme

immédiatement avec la naissance ou création ou développement de la

(r+1) nième rotule plastique. Pour cela, plusieurs cas de portiques avec des caractéristiques

géométriques et mécaniques ont été étudiés.

Pour cela, plusieurs cas de portiques avec des caractéristiques géométriques et

mécaniques ont été étudiés.

V.2 portique à un niveau et une travée (1N-1T) :

Les caractéristiques géométrique et mécanique ainsi que les charges sont

représentées ci-dessous :

Chapitre V

90

- Caractéristique géométrique: L = 6,00 m ; h = 3.40 m

- Caractéristique mécanique: 𝜎y= 235MPa

Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine est :

n =r + 1 = 6+1=7

V.2.1 Dimensionnement de portique :

Le portique est dimensionné en élasticité pour plus de détails concernant la méthode,

voir la méthode de dimensionnement dans l’Annexe A.

Niv Dimension Charge vertical Combinaison Moment

fléchissant KN.m

1 L(m) h(m) G(KN) Q(KN) poutre poteau poutre poteau

6.00 3.40 152 24 ELU, ELS

G+Q±E

ELU, ELS

G+Q±1.2E

161.88

-33.28

103.55

-20.72

Niv

1 Poutre potea

u

poutre poteau poutre poteau poutre poteau

0.00

0.00

90.17

90.17

89.02

-89.02

45.73

-45.73

IPE

270

IPE

270

113.7 113.7

Condition du poteau fort-poutre faible :

Mpc ≥1.25Mpb

Pour notre 1ère supposition Mpc=Mpb

Figure V.1 : Caractéristique de portique1N-1T

Effort normal

(KN)

Effort tranchant

(KN)

Dimensionnement Moment plastique

(KN.m)

Tableau V.1 : Dimensionnement de portique

Chapitre V

91

Périodes calculées ne doivent pas dépasser celles estimées d’après les formules

empiriques (RPA) de plus 30%

Tcal ≤ 1.30TRPA=1.30×0.085×3.43/4 =0.276 s

V.2.2 Détermination des charges horizontales Hplastique par l’analyse

plastique :

Profile Mpc profile Mpc V H Vt=G+Q H1

IPE270 113.7 IPE270 113.7 151.6 133.7 176 45.3

IPE300 147.7 IPE300 147.7 196.9 173.7 176 105.3

IPE330 189.7 IPE330 189.7 252.9 223.2 176 154

Mécanisme 1 :

Mpc ≥ Mpb

Mécanisme 2 :

Mpc ≤ Mpb

Mécanisme 3 :

Mpc < Mpb

V.3 Détermination et comparaison des charges horizontales Hmodales et

Hplastique :

Poteau Périodes Charges

horizontales

modales

Charges

verticales

Charges

horizontales

Plastiques

Le rapport

Hmodale/Hplastique

Profile T(s) Hmodale Vt=G+Q Hplastique Hmodale/Hplastique

IPE270

IPE300

IPE330

0.19

0.32

0.47

43.70

45.02

45.92

176

176

176

45.3

105.3

154

0.96

0.43

0.29

D’après les résultats exposes dans le tableau (V.3), on constate que :

Les charges horizontales plastiques varient en fonction de la section du profilé du

poteau.

Plus la section du profilé augmente le moment plastique résistant augmente aussi.

Poteau Poutre Mécanisme 1 Mécanisme 2 Mécanisme 2

Tableau V.2 : charges horizontales Hplastique

Vt=8Mpb

L =151.6KN

H1 =4Mpc

h =133.7KN

H1 =4Mpc+2Mpb−0.5Vt.L

h =45.3KN

+=133.7KN

Tableau V.3 : comparaison des charges horizontales Hmodales et Hplastique

Chapitre V

92

On déduit que les charges horizontales de ruine augmentent, par contre les charges

horizontales modales est presque constantes.

On sait que le moment plastique résistant est fonction de la section du profilé, plus la

section du profilé est importante plus sera le moment plastique résistant important.

Les charges horizontales modales ne sont pas sensibles à la variation de la section du profilé,

alors les charges horizontales plastiques sont nettement sensibles à la variation de la section.

Le rapport des charges (Charges horizontales modales/ Charges horizontales Plastiques) est

expose dans le tableau (V.3).

V.4/ Détermination et comparaison des charges horizontales Hsap2000 (push

over) et Hplastique :

Les charges horizontales sont déterminées par le Sap2000V.14 accompagnée par un calcul

manuel suivant l’analyse push over et sont comparées alors aux charges horizontales

plastiques déterminées précédemment par l’analyse plastique.

Poteau Charges

verticales

Analyse

plastique

Charges

horizontales

push over par

le sap2000

Charges

horizontales

Push over

manuel

Rapport

H push over

/Hplastique

Profile Vt Hplastique Hsap2000 H push over H push over

/Hplastique

IPE270 176 45.3 104 108.01 2.38

IPE300 176 105.3 157.42 140.00 1.33

IPE330 176 154 181.01 179.56 1.17

Tableau V.4 : comparaison des charges horizontales Hsap2000 (push over) et Hplastique

Chapitre V

93

95

Lors de ce travail, nous avons l’occasion de déterminer les mécanismes de ruines ainsi que

les charges de ruine des structures métalliques composées de portiques autostables par

l’analyse plastique en utilisant les théorèmes fondamentaux ( statiques et cinématiques) et

aussi par le logiciel Sap2000.V14(analyse statique non linéaire de push over) tout en faisant

varier la section des profilés de poteau.

Une structure dimensionnée en élasticité présente toute la garantie d’être en sécurité même

après un séisme d’intensité supérieure à celle de calcul.

L’analyse plastique a donné un grand gain malgré que la méthode élastique conduise à un

dimensionnement plus économique.

On remarque une légère variation entre les résultats obtenus par l’analyse limite basée sur les

théorèmes fondamentaux et les résultats obtenus par l’analyse plastiques en utilisant le

logiciel Sap2000.V.14.

97

A.1 Définition des charges verticales :

A.1.1 Charge permanente et Surcharges d’exploitation : Charge permanente :

Pour plancher terrasse inaccessible: G=6.30 KN/m²

Pour plancher d'étage courant: G=5.50 KN/m²

Surcharges d’exploitation :

Pour plancher terrasse inaccessible: Q=1.00 KN/m²

Pour plancher d'étage courant: Q=1.50 KN/m²

A.1.2 Pour étage courant : Par m² :

G=5.50 KN/m²

Q=1.50 KN/m²

Par ml:

G=5.50x6 =33 KN/ml

Q=1.50x6 =9 KN/ml

98

- Concentré: l=4.00 m

G = 33x4 = 132 KN

Q = 9x4 = 36 KN

A.1.3 Pour terrasse : Par m² :

G=6.30 KN/m²

Q=1 KN/m²

Par ml:

G=6.30x6 =38 KN/ml

Q=1x6 =6 KN/ml

- Concentré: l=4.00 m

G = 38x4 = 152 KN

Q = 6x4 = 24 KN

Le rapport : 𝑉𝑡

𝑉𝑒=

176

168=1.047

A.2 Définition des charges horizontales :

A.2.1 Méthode modale spectrale :

Par cette méthode, il est recherché pour chaque mode de vibration, le maximum des effets

engendrés dans la structure par les forces sismiques représentées par un spectre de réponse de

calcul. Ces effets sont par la suite combinés pour obtenir la réponse de la structure.

A.2.1.1 Facteur de participation :

i:désigné pour l’Etage

j:désigné pour Mode

n: nombre d’étage

k: nombre du mode

𝚽ij: La matrice modale

mi: La masse du niveau i

A.2.1.2 Masses modales effectives : La masse modale est définie comme suite:

Vt=G+Q=152+24=176KN

Ve=G+Q=132+36=168KN

99

m j : Masse modale effective de mode j

Remarque :

La somme de toutes les masses modales effectives est égale à la masse totale de la structure.

A.2.1.3 Effort tranchant sismique modale :

A.2.1.4 Effort tranchant sismique modale à la base :

Forces latérales Modales:

Lorsqu’en commence de calcul par l’effort tranchant à la base, les forces latérales modales

peuvent être obtenues celui-ci comme suite:

Avec :

A.2.1.5 Déplacements modaux : Le déplacement modal de DDLi est:

100

D’une autre façon en peut utiliser l’accélérassions spectrale pour le calcul des

déplacements modales:

A.2.1.6 Déplacement relatif modale : Le déplacement relatif modal dans l’étage i est donnée par:

A.2.1.7 Moment de renversement: Le moment de renversement à la base:

A.2.1.3 Nombre de modes à considérer: -Pour les structures représentées par des modèles plans dans deux directions

orthogonales, le nombre de modes de vibration à retenir dans chacune des deux

directions d’excitation doit être tel que:

-la somme des masses modales effectives pour les modes retenus soit égale à 90 %au moins

de la masse totale de la structure.

-ou que tous les modes ayant une masse modale effective supérieure à 5% de la

masse totale de la structure soient retenus pour la détermination de la réponse totale de la

structure.

Le minimum de modes à retenir est de trois (03) dans chaque direction considérée.

-Dans le cas où les conditions décrites ci-dessus ne peuvent pas être satisfaites à cause

de l’influence importante des modes de torsion, le nombre minimal de modes(K) à retenir doit

être tel que:

Où : N est le nombre de niveaux au dessus du sol et TK la période du mode K

A.2.1.3 Combinaison des réponses modales:

- Les réponses de deux modes de vibration i et j de périodes Ti, Tj et d’amortissement ζi, ζj

sont considérées comme indépendantes si le rapport « r » vérifie :

- Dans le cas où toutes les réponses modales retenues sont indépendantes les unes des

autres, la réponse totale est donnée p :

K≥3.√𝑁 Avec TK≤0.20sec

Avec : Ti ≥ Tj

101

E : effet de l’action sismique considéré

Ei: valeur modale de E selon le mode «i»

K : nombre de modes retenus

-Dans le cas où deux réponses modales ne sont pas indépendantes; E1et E2 par exemple, la

réponse totale est donnée par :

a) Spectre de réponse de calcul :

b) Coefficient d’accélération de zone A:

Donné par le tableau 4.1 (RPA99 ver2003) suivant la zone sismique et le groupe d’usage du

bâtiment.

Groupe 2; Zone IIA, donc : A = 0.15

c) Facteur de correction d’amortissement η :

Donné par la formule :

Où (%) est le pourcentage d’amortissement critique fonction du matériau constitutif, du

type de structure et de l’importance des remplissages.

102

On a les portiques en avec un remplissage dense ξ=5 η=1.

d) Période caractéristique T1 et T2 :

Associée à la catégorie du site et donnée par le tableau 4.7 (RPA99 ver.2003).

Catégories du sol est S3 T1 = 0.15 s ; T2 = 0.30s.

e) Facteur d’amplification dynamique moyen D :

Fonction de la catégorie de site, du facteur de correction d’amortissement () et de la période

fondamentale de la structure (T).

f) Estimation de la période fondamentale de la structure :

La valeur de la période fondamentale (T) de la structure peut être estimée à partir de formules

empiriques ou calculée par des méthodes analytiques ou numériques. La formule empirique à

utiliser selon les cas est la suivante :

hN: Hauteur mesurée en mètres à partir de la base de la structure jusqu’au dernier niveau (N).

CT: Coefficient, fonction du système de contreventement, du type de remplissage et donné par

le tableau 4.6 (RPA 99 ver.2003).

CT = 0.085

g) Coefficient de comportement global de la structure R :

Sa valeur unique est donnée par le tableau 4.3 (RPA99 ver.2003) en fonction du

système de contreventement tel que défini dan le chapitre III.3.4 (RPA99 ver2003).

Structure en acier avec portique autostables ordinaires donc R = 4.

h) Facteur de qualité Q :

Le facteur de qualité de la structure est fonction de :

-La redondance et de la géométrie des éléments qui la constituent;

103

-La régularité en plan et en élévation

-La qualité du contrôle de la construction La valeur de Q est déterminée par la formule :

Pq: est la pénalité à retenir selon que le critère de qualité q "est satisfait ou non". Sa valeur est

donnée au tableau 4.4 (RPA99 ver.2003).

i) Poids total de la structure W :

W est égal à la somme des poids Wi, calculés à chaque niveau (i) :

WGi: Poids dû aux charges permanentes et à celles des équipements fixes

éventuels,solidaires de la structure

WQi: Charges d’exploitation.

β: Coefficient de pondération, fonction de la nature et de la durée de la charge

d’exploitation et donné par le tableau 4.5 β = 0.2.

j) Calcul de la force sismique totale V :

La force sismique totale V, appliquée à la base de la structure, doit être calculée

successivement dans deux directions horizontales selon la formule :

D'autre part on remarque que on a une structure présente une forme en plan semblable

à un rectangulaire, et que la rigidité n'est pas la même dans les deux directions, donc on calcul

la force sismique pour les deux directions.

k) Résultante des forces sismiques de calcul :

La résultante des forces sismiques à la base Vt obtenue par combinaison des valeurs

modales ne doit pas être inférieure à 80 % de la résultante des forces sismiques

déterminée par la méthode statique équivalente V pour une valeur de la période

fondamentale donnée par la formule empirique appropriée.

Si Vt < 0.80 V, il faudra augmenter tous les paramètres de la réponse (forces,

déplacements, moments,...) dans le rapport 0.8 V/Vt.

A.3 Dimensionnement du portique :

Avec :

104

A.3.1 Combinaisons des charges :

-Comb.1: G + Q

-Comb.2: 1.35G + 1.5Q

-Comb.3: G + Q ± E

-Comb.4: G + Q ± 1.2E

A.3.2 Dimensionnement des Poutres en Flexion simple:

La résistance de calcul d’un élément fléchi non maintenu latéralement au

déversement doit être prise égal à:

Ou :

βw =1

βw =Wel.y/ Wpl.y

Et χLT est le coefficient de réduction pour le déversement.

La valeur de χLT pour l’élancement réduit λLT peut être déterminée par la formule:

Il convient d’adopter la valeur suivante du facteur d’imperfection αLT pour le

déversement.

αLT = 0.21 Pour les profils laminés

αLT = 0.49 Pour les sections soudées

Les valeurs de coefficient de réduction χLT Pour l’élancement réduit approprié λLT

peuvent être obtenues à partir du tableau de Eurocode avec :

λ = λLT et χ = χLT en utilisant:

Pour les sections de classe 1 ou 2

Pour les sections de classe 3

Ou :

Mais : χLT≤1

105

-Pour les profils laminés, la courbe « a » (α= 0.21).

-Pour les sections soudées, la courbe « c » (α= 0.49).

La valeur de λLT peut être déterminée par la formule:

Ou :

Et Mcr = moment critique élastique de déversement.

Il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance au déversement d’une poutre

effectivement maintenue sur toute sa longueur.

A.3.3 Dimensionnement des Poteaux en flexion composée :

Les éléments à section transversale de classe 1 ou 2 sollicités en flexion et en

compression axiale,satisfaire à la condition suivante:

χmin est la plus petite des valeurs de χy et χz

Où : χy et χz sont les coefficients de réduction pour les axes y-y et z-z respectivement.

Et βMy et βMz sont les facteurs de moment uniforme équivalents pour le flambement par

flexion.

106

Les éléments à section transversale de classe 1 ou 2 pour lesquels le déversement représente

un mode potentiel de ruine doivent également satisfaire à la condition:

Ou :

βMLT est un facteur de moment uniforme équivalent pour le déversement Les éléments à

section transversale de classe 3 sollicités en flexion et compression axiale doivent satisfaire à

la condition:

Ou : ky,kz et χmin sont donnés en

Les éléments à section transversale de classe 3 pour lesquels le déversement représente

un mode potentiel de ruine doivent également satisfaire a la condition :

108

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[2]. Calcul des Structure Métalliques selon l’Eurocode 3, Jean Morel-Eyrolles 1996.

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