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Factorisation d’un trinôme carré parfait.

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Factorisation d’un trinôme carré parfait.

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Factorisation d’un trinôme carré parfait.

Un trinôme carré parfait est le produit d’un binôme par lui-même.

Exemples: ( x + 5 )2

( x + 5 ) ( x + 5 )

x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 )

x2 + 5x + 5x + 25

x2 + 10x + 25

On peut remarquer que: - le premier terme du trinôme est un carré;

- le troisième terme du trinôme est un carré;

- le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme.

( x - 5 )2

( x - 5 ) ( x - 5 )

x ( x - 5 ) - 5 ( x - 5 )

x2 - 5x - 5x + 25

x2 - 10x + 25

- le signe du 2e terme est le même que celui du binôme.

+ -

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x2 + 10x + 25

- le premier terme du trinôme est un carré;

- le troisième terme du trinôme est un carré;

Appelons le premier terme : T1 T1

Appelons le deuxième terme : T2

T2

Appelons le troisième terme : T3

T3

T1 est un carré :

T3 est un carré :

x2

+ 25

2 X T1 X T3

2 X x2 X 25

2 X x X 5 = 10 x

Un trinôme carré parfait doit respecter ces 3 conditions.

T2 =- le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme.

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Détermine si ces trinômes sont des trinômes carrés parfaits.

x2 + 8x + 16 oui

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 +16 2 X T1 X T3

2 X x2 X 16

2 X x X 4 = 8 x

T2 =

x2 - 12x + 36 oui

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 +36 2 X T1 X T3

2 X x2 X 36

2 X x X 6 = 12 x

T2 =

x2 + 7x + 12 non

T1 est un carré : T3 n’est pas un carré : x2 +12

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x2 + 5x - 36 non

T1 est un carré : T3 n’est pas un carré car il est négatif: x2 - 36

-x2 - x + 20 non T1 n’est pas un carré car il est négatif: - x2

x2 + 13x + 36 non

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 +36 2 X T1 X T3

2 X x2 X 36

2 X x X 6 = 12 x

T2 ≠

12 x ≠ 13 x

Un trinôme carré parfait doit respecter les 3 conditions.

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2x2 - 28x + 98 non,

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 + 49 2 X T1 X T3

2 X x2 X 49

2 X x X 7 = 14 x

T2 =

En faisant un simple mise en évidence, on obtient:

2 ( x2 - 14x + 49 )

Remarque: La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme.

mais il contient un trinôme carré parfait.

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Factoriser un trinôme carré parfait.

Pour factoriser un trinôme carré parfait, il faut d’abord vérifier si le trinôme en est un en l’analysant avec les 3 conditions:

T1 est-il un carré ? T3 est-il un carré ? 2 X T1 X T3T2 est-il égal à : ?

Si oui : - on extrait la racine carrée de T1 et T3 ;

- on récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme;

Exemple: Factoriser le trinôme suivant: x2 + 6x + 9

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 +9 2 X T1 X T3

2 X x2 X 9

2 X x X 3 = 6 x

T2 =

Analyse du trinôme:

x2 + 6x + 9 est donc un trinôme carré parfait.

- on indique que le binôme est un carré.

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x2 + 6x + 9

- On extrait la racine carrée de T1 et T3 ;

- On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme;

- On indique que le binôme est un carré.

x2 + 6x +9+

x 3( )2

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

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x2 - 16x + 64

- On extrait la racine carrée de T1 et T3 ;

- On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme;

- On indique que le binôme est un carré.

x2 - 16x +64-

x 8( )2

x2 - 16x + 64 = (x - 8)2

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Identifie puis factorise les trinômes carrés parfaits.

x2 + 22x + 121

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 121 T2 =

est un trinôme carré parfait;

x2 + 22x + 121 = ( x + 11 )2

x2 + 26x + 144

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 144

n’est pas un trinôme carré parfait;

2 X T1 X T3

2 X x2 X 144

2 X x X 12 = 24 x

T2 ≠

24 x ≠ 26 x

Remarque: x2 + 26x + 144 se factorise quand même mais par un autre procédé.

x2 + 26x + 144 = (x + 6) (x + 8)

= 22x2 X T1 X T3

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Identifie puis factorise les trinômes carrés parfaits.

x2 - 26x + 169

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 169 T2 =

est un trinôme carré parfait;

x2 - 26x + 169 = ( x - 13 )2

3x2 + 6x + 3

T1 est un carré : T3 est un carré : x2 1 T2 =

contient un trinôme carré parfait;

3( x + 1 )2

3(x2 + 2x + 1)

3x2 + 6x + 3 =

3(x2 + 2x + 1) =

Remarque: Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques.

Il est un carré: 12 = 1

Il est aussi un cube: 13 = 1

Il est aussi …

= 26x2 X T1 X T3

= 2x2 X T1 X T3

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Trouver un 3e terme pour former un trinôme carré parfait.

Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes,

la technique de complétion du carré.

C’est une technique comportant quelques étapes;

La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique.

Pour l’instant, voyons comment trouver ce troisième terme afin de compléter un trinôme carré parfait.

une d’elles s’appelle

trouver un troisième terme afin de créer un trinôme carré parfait.une de ces étapes consiste à

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On voudrait créer un trinôme carré parfait à partir de cette expression algébrique:

x2 + 6x + ?

Pour déterminer ce nombre, on peut utiliser une des conditions d’analyse d’un trinôme carré parfait soit

2 X T1 X T3T2 =

2 X T1 2 X T1

Élevons l’expression au carré

Comme nous cherchons T3 ,

2 X T1 X T3T2 =

T2

2 X T1

T3=

T2

2 X T1

T3

2

=

2

T2

2 X T1

2

T3=

isolons, à partir de cette équation, T3 :

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Pour obtenir le troisième terme, on peut le calculer à l’aide de cette expression:

T2

2 X T1

2

T3 =

x2 + 6x + ?6x

2 X x2

2

T3 =

6x

2 X x

2

T3 =

6

2

2

T3 =

2 T3 = ( 3 ) = 9

Le trinôme carré parfait est donc x2 + 6x + 9 ; factorisé: ( x + 3)2

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Détermine le troisième terme de ces expressions algébriques afin de créer un trinôme carré parfait.

x2 + 4x + ?T2

2 X T1

2

T3 =

4x

2 X x2

2

T3 =

T3

4x

2 X x

2

=

4

2

2

T3 =

2 T3 = ( 2 ) = 4

Le trinôme carré parfait est donc x2 + 4x + 4 ; factorisé: ( x + 2 )2

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x2 - 16x + ?T2

2 X T1

2

T3 =

-16x

2 X x2

2

T3 =

-16x

2 X x

2

T3 =

-16

2

2

T3 =

2 T3 = ( -8 ) = 64

Le trinôme carré parfait est donc x2 - 16x + 64 ; factorisé: ( x – 8 )2

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x2 + 7x + ?T2

2 X T1

2

T3 =

7x

2 X x2

2

T3 =

7x

2 X x

2

T3 =

7

2

2

T3 =

Le trinôme carré parfait est donc factorisé:

T3 =

49

4

x2 + 7x + 49 ;4

x + 7

2

2

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2x2 - 20x + ?

T2

2 X T1

2

T3 =

-10x

2 X x2

2

T3 =

-10x

2 X x

2

T3 =

-10

2

2

T3 =

2 T3 = ( -5 ) = 25

Le trinôme carré parfait est donc 2(x2 - 10x + 25) ; factorisé: 2( x – 5 )2

Il faut, en premier, faire une simple mise en évidence pour que T1 devienne un carré.

2(x2 - 10x + ?)