06/10/21 Troisième : Le calcul littéral .

Rappels : Développer : produit → somme.

Et*Distributivité : kxlatb ) = katkb .

* Double-distributivité : (atb) (Ctd ) = actadtbctbd .

* Identités remarquables : ( atb )"

= oft Zabtb?

la- b)"

= à -Zabtb'

Ktb) /a- b) = of - b?

Factorisation somme > produit .

* facteur en commun : katkb = klatb ) .

* Identités remarquables : n'+ zabtb"

= Ktb )"

à -2abtb"

= (a-b)"

à - b'

= (atb) /a- b) = (a- b)latb)

B = (site ) ( atz) - 51×+2)

B.= sitzxtx +2 -5×-10 .

B. = si - 2x - 8 .

2

(= (2×+1)+(2×+1) (Xts)

( = (2×172×2)(✗1+12+2×76 xtx +3 .

c- 4×2+4×+1 + 2×2+7×+3 .

D= -2×13×+11 - (6×-111×-3)G- 6×2+11×+4

.

D= -bi -2x - / 6×2-18x - x + 3) .

D= - Gx' -2×-6×719×-3

.

D= -12×2+17×-3 .

F- = 3×+5×14 - 2x) - 2 / À -3×+51 f- = 8f 2x - 2x /3×-41+5×13-x)

F- = 3×+20×-10×2 -2×2+6×-10.

F- 81-2×-6×2 +8×+15×-5×2 .

F- = -12×21-29×-10 .

f-= -11×725×+8 .

6=4×2-1×+3) / x-2) +21×-2 ).G = 4,5 - là-2×+3x - 6) tzx -4 .

4--4×2 - à - x +6+2×-4 .

4--3×2 txt2 .

Harriman : -414×+2)

q? }' ab✗ cbExercice bilan : factoriser les expressions suivantes :

=/atblla - b) = @ ✗ c) b.

1) 41×+35 - 96×+8 )"

.

1) 41×+35-912×+812 .

= 22×1×+35 - 32/2×+8122) (8×+4)/2×-1 ) - (4×+2)

"

.

= (2×1×+3) )"

_ (3×12×+8)"

3) 9 à + 6×+1.

= (2×+6)"

_ (6×+24) ?

4) Kitkat 8.

= (2×+6+6×+4) (2×+6-(6×+24)) .

= (8×+30)/2×+6 -6×-24 )

2) (8×+4)/2×-1 ) - ( 4×1-25 = (8×+30) (-4×-18) .

= (2×4×+2×2) / 2×-11 - (4×+2)/4×+2)= 214×+2112×-11 - (4×+2)/4×+2,

3) Doit 6×+1

= (3)c)21-2×3×+1 1- 12 oihtzabtb?= (4×1-2) (2/2×-1) - (4×+4) .

= #b)2-

= (3×+1) ?= (4×+2)*-2 # x -2) .=(4×+2) ( - 4)

= -414×+2 ) .

4) 4×712×+8Extant

"

=/2×121-2×2 ✗ ✗ 3+5-1 .

= (2×+3)"

_

l' a:b?

- 1 -

Equations I) Définitions et propriétés

1) Définitions

Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou plusieurs nombres inconnus. Ceux-ci sont désignés par des lettres (x, y, z, …). Exemple :

x + 3 = 12 – 2x

1° membre 2° membre

Résoudre une équation à une inconnue x, c’est déterminer toutes les valeurs numériques que l’on peut donner à x pour que l’égalité soit vraie. Chacune de ces valeurs est une solution de l’équation.

Exemples :

On considère l’équation d’inconnue x :

3 est-il solution de l’équation ? Oui car 3 + 3 = 6 et 12 - 2 × 3 = 12 – 6 = 6 1 est-il solution de l’équation ? Non car 1 + 3 = 4 et 12 - 2 × 1 = 12 – 2 = 10 ≠ 4

2) Egalités et opérations (rappels 4ème )

1. Règle 1

Lorsqu’on ajoute ou l’on retranche un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Si a = b alors a + c = b + c Si a = b alors a – c = b – c Exemple : x = 13

x + 5 = 13 + 5 x + 5 = 18 x – 9 = 13 – 9 x – 9 = 4

2. Règle 2 Lorsqu’on multiplie ou l’on divise par un même nombre (différent de zéro) les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Si a = b alors a u c = b u c Si a = b alors a y c = b y c Exemple : x = 18 x u 3 = 18 u 3 x u 3 = 54 ou 3 x = 54 x y9 = 18 y9 x y 9 = 2 ou

–

pour quelle valeur de x on a :

✗= 0.

✗ = 18

✗✗3=

18×3 .

✗ =18

g-= ¥

- 2 -

II) Résolution d’équations de la forme a x + b = c x + d

Résolution de l’équation 3x + 1 = 21 – 2x

3x + 1 = 21 - 2x 3x + 1 -1 = 21 - 2x -1

3x = 20 - 2x 3x + 2x = 20 - 2x + 2x

5x = 20 5x

= 20

5 5 x = 4

On soustrait 1 aux deux membres de l’égalité 3x + 1 = 21 – 2x

On ajoute 2x aux deux membres de l’égalité 3x = 20 – 2x

On divise par 5 ou l’on multiplie par 1/5 les deux membres de l’égalité 5x = 20

Vérification : 3 u4 +1 =12 +1 =13 21- 2 u4 = 21- 8 =13 L’équation 3 x + 1 = 21 – 2 x admet une seule solution x = 4.

III) Résolution d’un problème

Corentin, Jean et Pierre se sont partagé 202 billes. Corentin en a le triple de Pierre et Pierre en a 17 de moins que Jean. Combien chacun a-t-il de billes ?

1e étape : Choix de l’inconnue

On pose x le nombre de billes reçues par Pierre. 2e étape : Traduction de l’énoncé et mise en équation.

Corentin reçoit 3 x billes Jean reçoit x + 17 billes x + 3x + x +17 = 202

3e étape : On résout l’équation

5x + 17 = 202 5x = 202 -17 5x = 185

1855

37

x

x

4e étape : Retour à l’énoncé et réponses Pierre a reçu 37 billes

Corentin a reçu 3 u 37 = 111 billes Jean a reçu 37 + 7 = 54 billes

Vérification : 37 + 111 + 54 = 202

3×+1=21-2"

3K

④ " j' ④ .

tu

- 3 -

IV) Résolution d’une équation produit du type (a x + b)( c x + d) = 0

1. Produit nul. Si A = 0 ou B = 0 alors AuB = 0

Si AuB = 0 alors A = 0 ou B = 0 (réciproque)

Autrement dit Dire qu’un produit de facteurs est nul revient à dire que l’un au moins de ses facteurs est nul.

2. Exemple : Résoudre l’équation (4x + 1) (9x – 7) = 0 Résoudre cette équation c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient l’égalité donnée. Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul donc : 4x + 1 = 0 ou 9x – 7 = 0 Soit 4x=� 1 ou 9x = + 7

x= 14

� ou x = 79

Conclusion : cette équation admet deux solutions : 1 7 1 7{ ; }4 9 4 9

et noté aussi S� �

d- ✗ 13=0! :

XÎ.

si -1=0

à - l' = 0

(x- 1) ( site) = O-

X- 1=0 onxtl =

O -

✗=1 on ✗=

-1.

= (2×+3+1) / 2×+3-11

=(2×+4112×+2) .

a) 2×1×+4/-314 - x) = 0 .

2×+8-121-3x = 0

5.x -4=0 .

5×-41-4=01-4 .

5.x = 4 .

b) (2x - e) lxtiltlx-41/3-2×1=5 .

15¥ = ¥# + 2x - x - 1 +3×2*-12+831=5 .

12×-13=5 .✗ =¥ .

12×-13/+1/3=5+13 .

c) IXHÎ = (x - il ?12 ✗ = 18 .

À +2×0411-12 = si - 2. ✗ ✗ ✗ 1+12✗ ✗ 18

1/2=

-12 JE +2×+1 = À -2×+1 .

* ✗ tl = F- 2×+1 -À✗ =%¥2×+1 = -2×+1 .

✗ = 3-2 .

2×1-1/-1=-2×+1/-7

f- 2x = -2x .

2x t 2x = # t#

4K = 0 .

1¥ -

- ÷✗ = 0 .

1) a) F-= (x - 5)

"

+ (x - 5) (2×+1)

F- = x? 10×+251-2×2 + x - tox - 5 .

F- = 3×2-19×+20 .

b) Calculons F-pour x =

M3.

F- = 3×512-19✗ f+20 .

F- = 3×3 - 19F +20 .

F- = 29 - 19 M3 .

13/10/21 : Finir le 2333 .